人教版八年级上册数学 《最短路径问题》轴对称PPT教学课件
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初中数学 人教版八年级上册13.4最短路径问题课件(共18张PPT)
Ｎ B
2020/8/2
9
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
如图，平移A到A1，使ＡA1等 于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ 作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋Ｍ Ｎ＋ＢＮ最短.
A
A1
M
N
B
2020/8/2
10
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
2020/8/2
11
知识小结
知识点1 用轴对称解决最短路径问题 求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，找到其中一 个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直 线的交点即为所求的位置．
知识点2 用平移解决造桥选址问题 我们把河的两岸看成两条平行线，把河的宽度作为固定的数值，桥 的位置作为动点，通过平移使桥的一端与已知两点在同一条直线上时， 根据“两点之间线段最短”确定桥的一端的位置，再结合桥垂直于河岸， 即可得出桥的位置．
2020/8/2
B
·
A
·
l C
B′
6
合作探究
步骤4：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC'，B′C′ 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′ ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′
AC′+BC′= AC′+B′C′ 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
2020/8/2
9
合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
如图，平移A到A1，使ＡA1等 于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ 作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋Ｍ Ｎ＋ＢＮ最短.
A
A1
M
N
B
2020/8/2
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合作探究
步骤2：能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
2020/8/2
11
知识小结
知识点1 用轴对称解决最短路径问题 求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，找到其中一 个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直 线的交点即为所求的位置．
知识点2 用平移解决造桥选址问题 我们把河的两岸看成两条平行线，把河的宽度作为固定的数值，桥 的位置作为动点，通过平移使桥的一端与已知两点在同一条直线上时， 根据“两点之间线段最短”确定桥的一端的位置，再结合桥垂直于河岸， 即可得出桥的位置．
2020/8/2
B
·
A
·
l C
B′
6
合作探究
步骤4：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC'，B′C′ 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′ ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′
AC′+BC′= AC′+B′C′ 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
初中数学人教八年级上册第十三章轴对称最短路径问题PPT
B A
l
探究 活动 1
探究 活动 1
追问1 这是一个实际问题，我们需要对实际问题
怎么转化呢？ 将A，B 两地抽象
·B
为两个点，将河l 抽 A·
象为一条直线．
l
上面的问题就转化为
B
：当点C 在l 的什么位
A
置时，AC 与CB 的和最
小（如图）．
C
l
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上
求一点，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
② 连接AB/,交直线l于点P.
B
点P的位置即为所求. A
为什么这样做就能得 到最短距离呢？
MP
l
MA + MB′>PA+PB ′
即MA + MB′>PA+PB
B/
三角形任意两边之和大于第三边
巩固 强化意识
问题2：如图，将军骑马从A点出发，经过河
各取一个点 C, D ，使得四边形 CMND 的周长最小.、
课堂 练习
如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N ，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的 度数为多少？
A B
D A″
N
M A′
C
总结 促我进步
我的收获：
.
还需提升：
.
总结 促我进步
1.知识收获：利用轴对称，平移等几何知识进行 最佳路径设计
13.4 课题学习 最短路径问题
温故 新旧链接
1.如图1：从A点到B点有三条路，走 ② 路最近，依
据是 两点之间线段最短 ；
l
探究 活动 1
探究 活动 1
追问1 这是一个实际问题，我们需要对实际问题
怎么转化呢？ 将A，B 两地抽象
·B
为两个点，将河l 抽 A·
象为一条直线．
l
上面的问题就转化为
B
：当点C 在l 的什么位
A
置时，AC 与CB 的和最
小（如图）．
C
l
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上
求一点，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
② 连接AB/,交直线l于点P.
B
点P的位置即为所求. A
为什么这样做就能得 到最短距离呢？
MP
l
MA + MB′>PA+PB ′
即MA + MB′>PA+PB
B/
三角形任意两边之和大于第三边
巩固 强化意识
问题2：如图，将军骑马从A点出发，经过河
各取一个点 C, D ，使得四边形 CMND 的周长最小.、
课堂 练习
如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N ，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的 度数为多少？
A B
D A″
N
M A′
C
总结 促我进步
我的收获：
.
还需提升：
.
总结 促我进步
1.知识收获：利用轴对称，平移等几何知识进行 最佳路径设计
13.4 课题学习 最短路径问题
温故 新旧链接
1.如图1：从A点到B点有三条路，走 ② 路最近，依
据是 两点之间线段最短 ；
13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
∙B A∙
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)
拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上 摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再 去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总 路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
拓展延伸
3. 如图,小华每天都要到李奶奶家做好事,在途中她要先到草场打
对点练习
4. 如图,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD
上求一点F,使EF+CF最小.
对点练习
5.如图,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求 作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值.
拓展延伸
1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接 游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船 的最短路径．【来源：2教育
E
一只在E处的蚂蚁要爬到圆柱内侧D点处，试
画出其最短路径。
对点练习
2.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮
马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
对点练习
3.点P是直线l上的一点,线段AB∥l,能使PA+PB 取得最小 值的点P的位置应满足的条件是 ( C ) A.点P为点A到直线l的垂线的垂足 B.点P为点B到直线l的垂线的垂足 C.PB=PA D.PB=AB
学习难点
确定最短距离及理论说明.
知识回顾：
思考：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？ (2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪 条线最短？ 以上路径选择基于什么原理？
类型一：两点之间，线段最短——直接应用
人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接
CB′。
B
A C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
根据前面的分析，我们认为的
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边 的什么地方饮水，可使所走的路径最 短？
B B
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
B
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
八年级数学人教版(上册)课件_13.4课题学习最短路径问题(共20张PPT)
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A··B源自有关知识，找到上问中符合条
l
件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
八年级数学上册·人教版
第13章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题．
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
• 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
人教八年级数学上册《轴对称作图最短路径问题》课件(共23张PPT)
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩 牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝 水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短 路线。
有四个班的同学分别在M、
N两处参加劳动，另外四个 班的同学分别在道路AB、 AC两处劳动，现要在道路 AB、AC的交叉区域内设 一个荼水供应点P ，使P到
两条道路的距离相等，且
使 PM= PN，请你找出点 A
P的位置，并说明理由。
B
P
M N
C
轴对称变换的特征: 由一个平面图形可以得到它关于一条直 线l对称的图形，这个图形与原图形的 形状、大小完全一样； 新图形上的每一点，都是原图形上的某 一点关于直线l的对称点； 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂 直平分。
路线：小明——P——A
A
P
小明
如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球， 还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎 样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍， 才能最快跑到目的地A处。
路线：按BDEA
DE
A
B
C
小明
■如图,OA、OB是两条相交的公路,点P 是一个邮电所,现想在OA、OB上各设立 一个投递点,要想使邮电员每次投递路 程最近,问投递点应设立在何处？
水管最短？
A
张村
B 李庄
C
A′
如图所示，水泵站修在 C 点可使所 用的水管最短.
思考： 为什么在C点的位置修建泵站，
就能使所用的管线最短呢？
总结： 实际上是通过轴对称变换，把
A，B在直线同侧的问题转化为在直 线的两侧，从而可利用“两点之间线 段最短”加以解决。
拓展应用，巩固提高
八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一 些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位 置的球，才能最快拿到球跑到目的地A处。
初中数学人教八年级上册第十三章轴对称人教版八年级上册-课题学习-最短路径PPT
·
处，满足直线l 上的任意一点
l
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A
·
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
B
·
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
（二）变式训练：如图，小河边有两个村庄A，B， 要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
（三）综合训练：茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚 会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)， AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站 在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座
探索新知
利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称 为“牧童饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线 ．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
C
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
《最短路径问题》轴对称PPT免费课件
在△A1N1B中，因为A1N1+BN1＞A1B. 因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
探究新知
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长
解：如图，P点即为该点.
探究新知
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于 B′
探究新知
如图，平移A到A1，使AA1等于 A 河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， A1
M Ｍ１
此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
N
Ｎ１
B
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋ A1N1+BN1.
组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，
使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
探究新知
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长
解：如图，P点即为该点.
探究新知
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于 B′
探究新知
如图，平移A到A1，使AA1等于 A 河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， A1
M Ｍ１
此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
N
Ｎ１
B
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋ A1N1+BN1.
组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，
使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
人教版八年级数学上册教学课件-13.4 课题学习 最短路径问题14优质课件PPT
∵直线l 是对称轴，
∴BC = B′C ，BC′= B′C′ （轴对称的性质）·．B
∴路径AC +BC
A
·
= AC +B′C = AB′（等量代换）
路径AC′+BC′ = AC′+B′C′（等量代换）
C′ C
l
B′
知识讲解 难点突破 （四）尝试用所学的知识证明“最短路径”AC +BC最短。
在△AB′C′中，
∵AB′＜AC′+B′C′
A
·
（三角形两边之和大于第三边）
C′
（或者：两点之间，线段最短）
C
∴ AC + B′C ＜AC′+BC′（等量代换）
∴ AC +BC＜AC′+BC′（等量代换）
即 AC +BC 最短．
B
·
l B′
课堂练习
难点巩固
（一）尝试解决变式问题： 1、已知：P、Q是∆ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上 确定一点R， 使∆PQR的周长最短吗？请你动手试一试。
转化 轴对称
两点之间，线段最短
·B l
B′
证明 逻辑推理
3、体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，提升数学素养。
小结
(二) 通过学习，我们是如何利用轴对称找 到最短路径的？
1、确定对称轴，找出定点的对称点。
2、连接对称点与另一点确定所求位置点（或 者连接各对称点确定所求位置点）。 （可结 合变式题1、2认真体会）
在科学的道路上没有平坦的大道，只有 不畏艰难，沿着陡峭山路攀登的人，才能达 到光辉的顶点。
--------马克思
拓展延伸
（三）“最短路径”拓展延伸---台球碰撞问题：
八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题课件 新人教版
上述方法都能做到使AM+MN+BN 不变吗？请检验.
1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？ 把A或B分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢?
精选教育课件
13
探索新知
如图，平移A到A1，使 ＡA1等于河宽，连接 A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥Ｍ Ｎ，此时路径ＡＭ＋Ｍ Ｎ＋ＢＮ最短.
精选教育课件
14
典题精讲
精选教育课件
4
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短？
B
A
l
M
s精选教育课件
N
5
探索新知
如图，点A，B 在直线ｌ的异侧， 点C 是直线上的一个动点，当点C 在ｌ 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
精选教育课件
18
课堂练习
如图：牧马人从A地出发，先到草地边某一 牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请 画出最短路径。
草地
N
河
M
A
B
精选教育课件
P
19
课堂练习
草地
A′
N
河
B′
M
A
B
P
精选教育课件
20
课堂练习
已知直线m∥n,直线m,n外分别有 两点A,B如图所示，分别在直线m,n上 确定P,Q两点（PQ⊥m），使得 AP+PQ+QB最小。
精选教育课件
9
典例精讲
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现 要在河上造一座桥MN.桥造在何处才 能使从A到B的路径AMNB最短？（假 定河的两岸是平行的直线，桥要与河 垂直） A
新人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A1
B
m
A
C
A2
n
解析：利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋B Nhomakorabea＋CA最小.
解：①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；
②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.
由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，
∴AB＋BC＋CA最小.
1
B处
B A
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
You made my day!
我们，还在路上……
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A1
B
m
A
C
A2
n
解析：利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋B Nhomakorabea＋CA最小.
解：①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；
②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.
由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，
∴AB＋BC＋CA最小.
1
B处
B A
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
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怎么确定取最小时的N点呢？
你能证明这个结论吗？
连接A’B，与直线b的交点就 是所求．
证明 证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作 M’N’⊥a于点M’，连接AM’,BN’，A’N’． 由平移的性质可知， AM’=A’N’，AM=A’N ∵A’N’+N’B＞A’B ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB
最有三条路可供选择，你会选走哪条路最近 ？你的理由是什么？
选第②条 两点之间，线段最短
两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P ，使得PA+PB最小．
这是为什么呢？ 两点之间，线段最短
连接AB，线段AB与直线l的交点P ，就是所求．
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
能不能把点在同侧的问题转化 为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧 B′处，得满足直线l 上的任意一 点C，都保持CB 与CB′的长度相 等 你．想到怎么做了吗？
提示：这本质上是“两定一动 ” 求线段和最小的将军饮马问题 ．
练习 如图，一个旅游船从大桥AB的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然 后将游客送往河岸BC上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径 ． 提示1：先把问题抽象为数学问题．
提示2：这本质上是“两定一动” 求线段和最小的将军饮马问题．
造桥选址问题
探究 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百 思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地 ．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
A
B
l
将军饮马问题
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
如图，A、B两地在一条河 的两岸，现要在河上建一座 桥MN，桥造在何处才能使 从A到B的路径AMNB最短 ？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
你能把这个问题抽象成一 个数学问题吗？
抽象
可以把河的两岸看成两条平行线a和b， N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M， 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′， ∵ AC ′+B ′C ′＞AB ′, ∴ AC ′+BC ′＞ AC +BC， 即AC+BC最短．
归纳总结
将军饮马问题
条件特点 简称为：两定一动 直线同侧的两个定点和直线上一个动点 问题特点 求线段和最小 求解思路 利用轴对称，化折为直 求解原理 两点之间，线段最短
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M ，同时向 A，B 两个居民小区送电 . （1） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的两旁，如图（1）所示 ，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置， 并说明理由．
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
作点B 关于直线l 的对称点B ′；
B’
你能证明此时 AC+BC最短吗？
连接AB ′，与直线l 相交于点C 则点．C 即为所求．
证明 证明此时AC+CB 最短
证明：如图，在直线l 上任 取一点C ′（与点C 不重合） ，连接AC ′，BC ′，B ′C ′． 由轴对称的性质知， BC =B ′C，BC ′=B ′C ′． ∴AC +BC= AC +B ′C = AB ′，
A
B
l
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
C
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
分析
这又是求线段和最小的问题 ，你能想到什么呢？
能变成这种基 本类型就好了
AM，MN，NB这三条线段的长度都会变化吗？ 只有AM和NB会变，MN是不变的． 所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．
思考
怎么把这个问题转化为基本类型呢？
将AM沿着垂直于河岸的方向 平移一个河宽的距离到A'N．
现在就变成基本类型了．
，同时向 A，B 两个居民小区送电 .
（2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示
，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，
并说明理由 .
作A的对称
点可以吗
？
B’
练习
如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求 作一点M，使△PMQ的周长最短．
提示2：分别作A点关于OM， ON的对称点．
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 答．案：分别作点A关于OM ，ON的对称点A′，A″；连 接A′，A″，分别交OM， ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求．
归纳总结 条件特点
造桥选址问题
平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用平移，转移线段
求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 ． 提示1：利用轴对称，化折为直．
将军饮马问题的变式
如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家 ， 是草地的边沿， 是一条笔直的河流 . 每天，牧民要从马厩 牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B 处 . 请在图上画出牧民行走的最短路线 ( 保留作图痕迹 ) .