人教版八年级上册数学 《最短路径问题》轴对称PPT教学课件
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提示：这本质上是“两定一动 ” 求线段和最小的将军饮马问题 ．
练习 如图，一个旅游船从大桥AB的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然 后将游客送往河岸BC上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径 ． 提示1：先把问题抽象为数学问题．
提示2：这本质上是“两定一动” 求线段和最小的将军饮马问题．
造桥选址问题
A
B
Biblioteka Baidu
l
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
C
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M ，同时向 A，B 两个居民小区送电 . （1） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的两旁，如图（1）所示 ，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置， 并说明理由．
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M
最短路径问题
知识回顾 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近 ？你的理由是什么？
选第②条 两点之间，线段最短
两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P ，使得PA+PB最小．
这是为什么呢？ 两点之间，线段最短
连接AB，线段AB与直线l的交点P ，就是所求．
AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′， ∵ AC ′+B ′C ′＞AB ′, ∴ AC ′+BC ′＞ AC +BC， 即AC+BC最短．
归纳总结
将军饮马问题
条件特点 简称为：两定一动 直线同侧的两个定点和直线上一个动点 问题特点 求线段和最小 求解思路 利用轴对称，化折为直 求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的变式
如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家 ， 是草地的边沿， 是一条笔直的河流 . 每天，牧民要从马厩 牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B 处 . 请在图上画出牧民行走的最短路线 ( 保留作图痕迹 ) .
探究 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百 思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地 ．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
A
B
l
将军饮马问题
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
怎么确定取最小时的N点呢？
你能证明这个结论吗？
连接A’B，与直线b的交点就 是所求．
证明 证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作 M’N’⊥a于点M’，连接AM’,BN’，A’N’． 由平移的性质可知， AM’=A’N’，AM=A’N ∵A’N’+N’B＞A’B ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB
，同时向 A，B 两个居民小区送电 .
（2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示
，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，
并说明理由 .
作A的对称
点可以吗
？
B’
练习
如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求 作一点M，使△PMQ的周长最短．
归纳总结 条件特点
造桥选址问题
平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用平移，转移线段
求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 ． 提示1：利用轴对称，化折为直．
提示2：分别作A点关于OM， ON的对称点．
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 答．案：分别作点A关于OM ，ON的对称点A′，A″；连 接A′，A″，分别交OM， ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求．
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
能不能把点在同侧的问题转化 为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧 B′处，得满足直线l 上的任意一 点C，都保持CB 与CB′的长度相 等 你．想到怎么做了吗？
分析
这又是求线段和最小的问题 ，你能想到什么呢？
能变成这种基 本类型就好了
AM，MN，NB这三条线段的长度都会变化吗？ 只有AM和NB会变，MN是不变的． 所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．
思考
怎么把这个问题转化为基本类型呢？
将AM沿着垂直于河岸的方向 平移一个河宽的距离到A'N．
现在就变成基本类型了．
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
作点B 关于直线l 的对称点B ′；
B’
你能证明此时 AC+BC最短吗？
连接AB ′，与直线l 相交于点C 则点．C 即为所求．
证明 证明此时AC+CB 最短
证明：如图，在直线l 上任 取一点C ′（与点C 不重合） ，连接AC ′，BC ′，B ′C ′． 由轴对称的性质知， BC =B ′C，BC ′=B ′C ′． ∴AC +BC= AC +B ′C = AB ′，
如图，A、B两地在一条河 的两岸，现要在河上建一座 桥MN，桥造在何处才能使 从A到B的路径AMNB最短 ？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
你能把这个问题抽象成一 个数学问题吗？
抽象
可以把河的两岸看成两条平行线a和b， N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M， 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
练习 如图，一个旅游船从大桥AB的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然 后将游客送往河岸BC上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径 ． 提示1：先把问题抽象为数学问题．
提示2：这本质上是“两定一动” 求线段和最小的将军饮马问题．
造桥选址问题
A
B
Biblioteka Baidu
l
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
C
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M ，同时向 A，B 两个居民小区送电 . （1） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的两旁，如图（1）所示 ，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置， 并说明理由．
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M
最短路径问题
知识回顾 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近 ？你的理由是什么？
选第②条 两点之间，线段最短
两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P ，使得PA+PB最小．
这是为什么呢？ 两点之间，线段最短
连接AB，线段AB与直线l的交点P ，就是所求．
AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′， ∵ AC ′+B ′C ′＞AB ′, ∴ AC ′+BC ′＞ AC +BC， 即AC+BC最短．
归纳总结
将军饮马问题
条件特点 简称为：两定一动 直线同侧的两个定点和直线上一个动点 问题特点 求线段和最小 求解思路 利用轴对称，化折为直 求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的变式
如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家 ， 是草地的边沿， 是一条笔直的河流 . 每天，牧民要从马厩 牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B 处 . 请在图上画出牧民行走的最短路线 ( 保留作图痕迹 ) .
探究 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百 思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地 ．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
A
B
l
将军饮马问题
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
怎么确定取最小时的N点呢？
你能证明这个结论吗？
连接A’B，与直线b的交点就 是所求．
证明 证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作 M’N’⊥a于点M’，连接AM’,BN’，A’N’． 由平移的性质可知， AM’=A’N’，AM=A’N ∵A’N’+N’B＞A’B ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB
，同时向 A，B 两个居民小区送电 .
（2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示
，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，
并说明理由 .
作A的对称
点可以吗
？
B’
练习
如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求 作一点M，使△PMQ的周长最短．
归纳总结 条件特点
造桥选址问题
平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用平移，转移线段
求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 ． 提示1：利用轴对称，化折为直．
提示2：分别作A点关于OM， ON的对称点．
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 答．案：分别作点A关于OM ，ON的对称点A′，A″；连 接A′，A″，分别交OM， ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求．
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
能不能把点在同侧的问题转化 为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧 B′处，得满足直线l 上的任意一 点C，都保持CB 与CB′的长度相 等 你．想到怎么做了吗？
分析
这又是求线段和最小的问题 ，你能想到什么呢？
能变成这种基 本类型就好了
AM，MN，NB这三条线段的长度都会变化吗？ 只有AM和NB会变，MN是不变的． 所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．
思考
怎么把这个问题转化为基本类型呢？
将AM沿着垂直于河岸的方向 平移一个河宽的距离到A'N．
现在就变成基本类型了．
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
作点B 关于直线l 的对称点B ′；
B’
你能证明此时 AC+BC最短吗？
连接AB ′，与直线l 相交于点C 则点．C 即为所求．
证明 证明此时AC+CB 最短
证明：如图，在直线l 上任 取一点C ′（与点C 不重合） ，连接AC ′，BC ′，B ′C ′． 由轴对称的性质知， BC =B ′C，BC ′=B ′C ′． ∴AC +BC= AC +B ′C = AB ′，
如图，A、B两地在一条河 的两岸，现要在河上建一座 桥MN，桥造在何处才能使 从A到B的路径AMNB最短 ？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
你能把这个问题抽象成一 个数学问题吗？
抽象
可以把河的两岸看成两条平行线a和b， N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M， 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？