第2章 平面机构及自由度计算
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2.2.1 平面机构运动简图 在分析和研究机构的运动时，为了使问题简化， 可以不考虑这些与运动无关的因素，而是采用规定 的符号和简单的线条表示运动副和构件，并按一定 的比例把各运动副之间的相对位置、机构的组成和 相对运动关系表示出来。这种表示机构的组成和各 个构件之间的相对运动关系的简单图形称为平面机 构运动简图。 平面机构运动简图明确地反映出机构中各个构 件之间的相对运动关系
运动副的分类
按照组成运动副的两构件之间的相对运动是平面运动，还 是空间运动，可将运动副分为平面运动副和空间运动副两大类。 两个构件之间的相对运动均在同一平面内，这样的运动副统称 为平面运动副；如果两个构件之间的相对运动为空间运动，则 称为空间运动副。本章只讨论平面运动副。
按照接触特性的不同，通常把运动副分为低副和高副。 1. 低副 在平面机构中，两个构件之间通过面接触而组成的运动副称 为低副。根据两个构件之间的相对运动形式，低副分为转动 副和移动副。一个低副引入两个约束限制了一个自由度
2.2.3 平面机构运动简图的绘制 绘制平面机构的运动简图时，通常可按下列步骤进行： (1) 分析机构的组成和运动。首先判断构件的类型，找出机 构中的主动件、机架以及从动件。然后从主动件开始，沿着 运动传递的顺序分析运动的传递情况。最后确定出机构中构 件的数目。 (2) 确定运动副的类型和数目。从主动件开始，沿着运动传 递的顺序，根据构件之间的相对运动性质，确定机构运动副 的类型和数目。 (3) 选择投影面。选择能够较好地表示构件运动关系的平面 作为投影面，一般选择机构中多数构件所在的运动平面。 (4) 测量。测量出机构中构件的尺寸以及各个运动副的相对 位置尺寸等。 (5) 选择适当的比例。按照构件中的实际尺寸和图纸幅面， 选择适当的比例绘制运动简图。长度比例尺为
平面机构中的虚约束常在以下几种情况中出现：
(1) 重复运动副的虚约束 当两个构件在多处 接触并组成相同的运动副时，就会引人虚约 束。
(2) 重复轨迹的虚约束 在机构的运动过程中，如果两个构件上的两点之间 的距离始终不变，则用一个构件和两个转动副将这 两点连接起来，就会引人虚约束
(3) 对称结构的虚约束
2-2 选择
1. 当机构中主动件数目( )机构自由度数目时，该机构具有确定的相对运 动。 A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 大于或等于 2. 平面运动构件最多具有( ) A. 一个自由度 B. 两个自由度 C. 三个自由度 D. 四个自由度 3. 一个高副可以对构件限制( ) A. 一个自由度 B. 两个自由度 C. 三个自由度 D. 四个自由度 4. 一个低副可以对构件限制( ) A. 一个自由度 B. 两个自由度 C. 三个自由度 D. 四个自由度
2. 构件的表示方法 平面机构中的构件不论其形状如何复杂，在机构运 动简图中，只需将构件上的所有运动副元素按照它 们在构件上的位置用规定的符号表示出来，再用直 线进行连接即可，如图所示。
当一个构件上的两个运动副元素均为转动副时， 该构件则用通过两个转动副的几何中心所连的线段来 表示，如图(a)所示；当构件具有一个转动副，而另 一个为移动副时，构件的表示如图(b)所示。习惯上， 图(b)常用图(c)来表示,在一般情况下，具有三个转动 副元素的构件可用三角形来表示，如图(d)所示，如 果在同一构件上的三个转动副元素中心位于一条直线 上，则用图(e)表示。
2.1.2 运动链和机构 1. 运动链 两个以上的构件通过运 动副联接而成的系统称 运动链。 为运动链。若运动链中 各构件组成首末封闭的 系统，称为闭式传动链 系统， (简称闭链 ；否则称为开 简称闭链 简称闭链)； 式运动链(简称开链)， 简称开链 式运动链 简称开链 ，各 种机械中， 种机械中，一般多采用 闭式传动链。 闭式传动链。
2.2.2 运动副和构件的表示方法 1. 运动副的表示方法 (1) 转动副 转动副用一个小圆圈表示， 其圆心代表相对转动的轴线。图 (a)表示组成转动副的两个构件都 是活动构件，称为活动铰链；图 (b)左图表示组成运动副的两个构 件之一为机架，在代表机架的构 件上画短斜线，称为固定铰链， 习惯上用右图形式来表示固定铰 链。
µl =
构件的图示长度 m/mm 构件的实际长度
机构具有确定运动的独立运动数目称为机构的自由度，用 F表示。 一个作平面运动的自由构件具有三个自由度，当该构件与 另外一个构件组成运动副之后，它的自由度的数目就会减少。 若机构中有N个构件，除去机架，机构中的活动构件数为n=N—1 在未用运动副联接之前，这些活动构件的自由度总数为3n。当 用运动副联接起来组成机构后，由于运动副引入了约束，将使 机构中各构件具有的自由度减少。若该机构中有PL个低副，PH 个高副，则机构中全部运动副所引人的约束总数为(2PL+PH)。因 此，活动构件的自由度总数减去运动副引人的约束总数就是该 机构的自由度，以F表示，即 F=3n—2PL—PH (2-1) 式中：PL为机构中的低副数目；PH为机构中的高副数目；n为 机构中的活动构件数。 由式(2-1)可知，机构的自由度F取决于机构中活动构件的数 目、运动副的类型及数目。
2-3 简答
1. 机构具有确定运动的条件？ 2. 计算机构的自由度时需要注意哪些问题？
2-4 试计算下列图示机构的自由度(若有复合铰链、局部自由度或虚约束， 必须明确指出)。
(2) 移动副 下图是两个构件组成移动副的表示方法。在组成 移动副的两个构件中，习惯上将长度较短的块状构件 称为滑块，而将长度较长的杆状或槽状构件称为导杆 或导槽。其中图 (a)表示导杆1与滑块2组成移动副；图 (b)表示滑块2与导槽1组成移动副；图 (c)表示导杆2与 导槽1组成移动副。
(3) 高副 高副的表示如图所示，图(a)表示齿轮副， 图(b)表示凸轮副。高副应画出两个构件在接触处的 曲线轮廓。
2. 局部自由度 机构中某些构件具有不影响其他构件运动的自由度称为 局部自由度。 图2-16(a), n=3, PL=3, PH=1,局部自由度=1 F=3n-2PL-PH-局部自由度=3x3-2x3-1-1=1 图2-16(b), n=2, PL=2，PH=1 F=3n-2PL-PH=3x2-2x2-1=1 局部自由度不影响整个机构的运动，可以改善构件之间 的受力状况，如将滚子的滑动摩擦改为滚动摩擦，以减少磨 损。所以，实际机械中常出现局部自由度。
[例2-3] 计算图所示平面机构的自由度。 解：该机构齿轮1为原动件，构件7为机架，共 有6个活动构件，n=6；C处是三个构件组成的复合 铰链，有2个转动副，故该机构共有8个转动副， PL=8，PH=1。由式(2-1)得 F=3n—2PL—PH=3x6—2x8—1=1 F与原动件个数相等，机构的运动是确定的。
第2章 平面机构及自由度计算
1. 构件的自由度 构件相对于参考系所具有的独 立Βιβλιοθήκη Baidu动的数目称为构件的自由 度。构件在空间无约束时共有6 个自由度。当两构件为面接触 时自由度将减少为三个，故构 件在某个平面时可认为只具有 三个自由度。一个作平面运动 的自由构件具有三个自由度。
2. 约束
当一个构件与其他构件组成运动副之后，构 件的相对运动就要受到限制，自由度就会随 之减少。这种对组成运动副的两个构件之间 的相对运动所加的限制称为约束。
2. 机构 具有下列三个条件的运动链就成为机构： ①在运动链中选定某一构件将其固定作为机 架。 ②根据不同情况，使运动链中一个或几个构 件按给定的运动规律作独立运动。这类运动 规律已知的构件称为原动件。 ③除原动件和机架外，其余各构件能随着原 动件的运动作确定的相对运动，这些构件称 为从动件。
2.2 平面机构的运动简图
2.3 平面机构的自由度
[例2-2] 计算图2-11所示偏心泵机构的自由度 解：在偏心泵机构中，有三个活动构件， n=3；包含四个低副(三个转动副,一个移动副)， PL=4；无高副，PH=0。由式(2-1)可得机构 自由度为F=3n—2PL-PH=3X3-2X4-0=1
2.3.2 机构具有确定运动的条件 机构具有确定运动的条件是： (1)自由度F>0 (2)机构的原动件个数应等于机构的自由度数 目。 自由度F等于零或小于零，此时不能运动， 不能成为机构，此时称为静定桁架或超静定 桁架。
2. 高副 两构件通过点或线接触所构成的 运动副称为高副。组成平面高副的两 构件，可以沿接触处切线t-t方向相对 移动，也可以在平面内绕通过A点垂 直于运动平面的轴转动。所以一个平 面高副引入一个约束，限制了一个自 由度(两构件过接触点A的法线n-n方向 的相对移动)。 低副的形状简单，容易制造，而 且在承受相同的荷载时，低副接触处 的压强较小，所以低副耐磨损，承载 能力较强，寿命较长，高副则相反。
2.3.3 计算平面机构自由度的注意事项 在式(2-1)推导过程中，只考虑了各个运 动副引人的约束条件，而没有考虑有些机构 中，由于运动副的特殊组合及运动副间相对 尺寸上的特殊配置使引入的约束条件有所变 化的情况。为此，在应用此公式时必须注意 以下几点，才能保证机构自由度计算准确无 误。
1. 复合铰链 两个以上的构件在同一轴线上用转动副 相连接所组成的运动副称为复合铰链。三个 构件在A点组成的复合铰链如图(a)，图(b)。 由图可以看出，这三个构件沿同一个轴线共 组成两个转动副。依此类推，若由K个构件组 成复合铰链，则在连接处应具K-1个转动副。
2.1 概
述
机构是用来传递运动和动力或者是改变 运动形式的机械装置。为达到这一目的，通 常要求机构具有确定的相对运动。因此，在 分析或设计新的机械时，除了判断机构是否 能够运动以外，还需要判断机构在什么条件 下才能实现确定的运动。
2.1.1 运动副的概念
机构是由若干构件组合而 成的。机构中相邻两构件，应 以适当的方式进行接触联接， 才能使两者保持确定的相对运 动。这种使两构件直接接触并 能产生一定的相对运动的联接 称为运动副
[例2-3] 试计算图所示机构的自由度。图中 AB//CD//EF，AB=CD=EF。 F=3n-2PL-PH=3x6-2x8-1=1 该机构有一个原动件，运动是确定的。
2-1 判断
习
题
)
1. 平面低副具有两个约束，而高副具有一个约束。 ( 2. 计算机构自由度时不需要考虑复合铰链。 ( ) 3. 齿轮与齿轮的接触属于低副联接。( )
3. 虚约束 在机构中与其他约束作用重复而对机构运动不 起独立限制作用的约束，称为虚约束。 在工程实际中，虽然虚约束不影响机构的运动， 但它却可以保证机构顺利运动，或增加机构的刚性， 改善机构的受力情况，所以虚约束的应用十分广泛。 虚约束是在特定的几何条件下形成的，计算机构 的自由度时，应将其除去不计。
运动副的分类
按照组成运动副的两构件之间的相对运动是平面运动，还 是空间运动，可将运动副分为平面运动副和空间运动副两大类。 两个构件之间的相对运动均在同一平面内，这样的运动副统称 为平面运动副；如果两个构件之间的相对运动为空间运动，则 称为空间运动副。本章只讨论平面运动副。
按照接触特性的不同，通常把运动副分为低副和高副。 1. 低副 在平面机构中，两个构件之间通过面接触而组成的运动副称 为低副。根据两个构件之间的相对运动形式，低副分为转动 副和移动副。一个低副引入两个约束限制了一个自由度
2.2.3 平面机构运动简图的绘制 绘制平面机构的运动简图时，通常可按下列步骤进行： (1) 分析机构的组成和运动。首先判断构件的类型，找出机 构中的主动件、机架以及从动件。然后从主动件开始，沿着 运动传递的顺序分析运动的传递情况。最后确定出机构中构 件的数目。 (2) 确定运动副的类型和数目。从主动件开始，沿着运动传 递的顺序，根据构件之间的相对运动性质，确定机构运动副 的类型和数目。 (3) 选择投影面。选择能够较好地表示构件运动关系的平面 作为投影面，一般选择机构中多数构件所在的运动平面。 (4) 测量。测量出机构中构件的尺寸以及各个运动副的相对 位置尺寸等。 (5) 选择适当的比例。按照构件中的实际尺寸和图纸幅面， 选择适当的比例绘制运动简图。长度比例尺为
平面机构中的虚约束常在以下几种情况中出现：
(1) 重复运动副的虚约束 当两个构件在多处 接触并组成相同的运动副时，就会引人虚约 束。
(2) 重复轨迹的虚约束 在机构的运动过程中，如果两个构件上的两点之间 的距离始终不变，则用一个构件和两个转动副将这 两点连接起来，就会引人虚约束
(3) 对称结构的虚约束
2-2 选择
1. 当机构中主动件数目( )机构自由度数目时，该机构具有确定的相对运 动。 A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 大于或等于 2. 平面运动构件最多具有( ) A. 一个自由度 B. 两个自由度 C. 三个自由度 D. 四个自由度 3. 一个高副可以对构件限制( ) A. 一个自由度 B. 两个自由度 C. 三个自由度 D. 四个自由度 4. 一个低副可以对构件限制( ) A. 一个自由度 B. 两个自由度 C. 三个自由度 D. 四个自由度
2. 构件的表示方法 平面机构中的构件不论其形状如何复杂，在机构运 动简图中，只需将构件上的所有运动副元素按照它 们在构件上的位置用规定的符号表示出来，再用直 线进行连接即可，如图所示。
当一个构件上的两个运动副元素均为转动副时， 该构件则用通过两个转动副的几何中心所连的线段来 表示，如图(a)所示；当构件具有一个转动副，而另 一个为移动副时，构件的表示如图(b)所示。习惯上， 图(b)常用图(c)来表示,在一般情况下，具有三个转动 副元素的构件可用三角形来表示，如图(d)所示，如 果在同一构件上的三个转动副元素中心位于一条直线 上，则用图(e)表示。
2.1.2 运动链和机构 1. 运动链 两个以上的构件通过运 动副联接而成的系统称 运动链。 为运动链。若运动链中 各构件组成首末封闭的 系统，称为闭式传动链 系统， (简称闭链 ；否则称为开 简称闭链 简称闭链)； 式运动链(简称开链)， 简称开链 式运动链 简称开链 ，各 种机械中， 种机械中，一般多采用 闭式传动链。 闭式传动链。
2.2.2 运动副和构件的表示方法 1. 运动副的表示方法 (1) 转动副 转动副用一个小圆圈表示， 其圆心代表相对转动的轴线。图 (a)表示组成转动副的两个构件都 是活动构件，称为活动铰链；图 (b)左图表示组成运动副的两个构 件之一为机架，在代表机架的构 件上画短斜线，称为固定铰链， 习惯上用右图形式来表示固定铰 链。
µl =
构件的图示长度 m/mm 构件的实际长度
机构具有确定运动的独立运动数目称为机构的自由度，用 F表示。 一个作平面运动的自由构件具有三个自由度，当该构件与 另外一个构件组成运动副之后，它的自由度的数目就会减少。 若机构中有N个构件，除去机架，机构中的活动构件数为n=N—1 在未用运动副联接之前，这些活动构件的自由度总数为3n。当 用运动副联接起来组成机构后，由于运动副引入了约束，将使 机构中各构件具有的自由度减少。若该机构中有PL个低副，PH 个高副，则机构中全部运动副所引人的约束总数为(2PL+PH)。因 此，活动构件的自由度总数减去运动副引人的约束总数就是该 机构的自由度，以F表示，即 F=3n—2PL—PH (2-1) 式中：PL为机构中的低副数目；PH为机构中的高副数目；n为 机构中的活动构件数。 由式(2-1)可知，机构的自由度F取决于机构中活动构件的数 目、运动副的类型及数目。
2-3 简答
1. 机构具有确定运动的条件？ 2. 计算机构的自由度时需要注意哪些问题？
2-4 试计算下列图示机构的自由度(若有复合铰链、局部自由度或虚约束， 必须明确指出)。
(2) 移动副 下图是两个构件组成移动副的表示方法。在组成 移动副的两个构件中，习惯上将长度较短的块状构件 称为滑块，而将长度较长的杆状或槽状构件称为导杆 或导槽。其中图 (a)表示导杆1与滑块2组成移动副；图 (b)表示滑块2与导槽1组成移动副；图 (c)表示导杆2与 导槽1组成移动副。
(3) 高副 高副的表示如图所示，图(a)表示齿轮副， 图(b)表示凸轮副。高副应画出两个构件在接触处的 曲线轮廓。
2. 局部自由度 机构中某些构件具有不影响其他构件运动的自由度称为 局部自由度。 图2-16(a), n=3, PL=3, PH=1,局部自由度=1 F=3n-2PL-PH-局部自由度=3x3-2x3-1-1=1 图2-16(b), n=2, PL=2，PH=1 F=3n-2PL-PH=3x2-2x2-1=1 局部自由度不影响整个机构的运动，可以改善构件之间 的受力状况，如将滚子的滑动摩擦改为滚动摩擦，以减少磨 损。所以，实际机械中常出现局部自由度。
[例2-3] 计算图所示平面机构的自由度。 解：该机构齿轮1为原动件，构件7为机架，共 有6个活动构件，n=6；C处是三个构件组成的复合 铰链，有2个转动副，故该机构共有8个转动副， PL=8，PH=1。由式(2-1)得 F=3n—2PL—PH=3x6—2x8—1=1 F与原动件个数相等，机构的运动是确定的。
第2章 平面机构及自由度计算
1. 构件的自由度 构件相对于参考系所具有的独 立Βιβλιοθήκη Baidu动的数目称为构件的自由 度。构件在空间无约束时共有6 个自由度。当两构件为面接触 时自由度将减少为三个，故构 件在某个平面时可认为只具有 三个自由度。一个作平面运动 的自由构件具有三个自由度。
2. 约束
当一个构件与其他构件组成运动副之后，构 件的相对运动就要受到限制，自由度就会随 之减少。这种对组成运动副的两个构件之间 的相对运动所加的限制称为约束。
2. 机构 具有下列三个条件的运动链就成为机构： ①在运动链中选定某一构件将其固定作为机 架。 ②根据不同情况，使运动链中一个或几个构 件按给定的运动规律作独立运动。这类运动 规律已知的构件称为原动件。 ③除原动件和机架外，其余各构件能随着原 动件的运动作确定的相对运动，这些构件称 为从动件。
2.2 平面机构的运动简图
2.3 平面机构的自由度
[例2-2] 计算图2-11所示偏心泵机构的自由度 解：在偏心泵机构中，有三个活动构件， n=3；包含四个低副(三个转动副,一个移动副)， PL=4；无高副，PH=0。由式(2-1)可得机构 自由度为F=3n—2PL-PH=3X3-2X4-0=1
2.3.2 机构具有确定运动的条件 机构具有确定运动的条件是： (1)自由度F>0 (2)机构的原动件个数应等于机构的自由度数 目。 自由度F等于零或小于零，此时不能运动， 不能成为机构，此时称为静定桁架或超静定 桁架。
2. 高副 两构件通过点或线接触所构成的 运动副称为高副。组成平面高副的两 构件，可以沿接触处切线t-t方向相对 移动，也可以在平面内绕通过A点垂 直于运动平面的轴转动。所以一个平 面高副引入一个约束，限制了一个自 由度(两构件过接触点A的法线n-n方向 的相对移动)。 低副的形状简单，容易制造，而 且在承受相同的荷载时，低副接触处 的压强较小，所以低副耐磨损，承载 能力较强，寿命较长，高副则相反。
2.3.3 计算平面机构自由度的注意事项 在式(2-1)推导过程中，只考虑了各个运 动副引人的约束条件，而没有考虑有些机构 中，由于运动副的特殊组合及运动副间相对 尺寸上的特殊配置使引入的约束条件有所变 化的情况。为此，在应用此公式时必须注意 以下几点，才能保证机构自由度计算准确无 误。
1. 复合铰链 两个以上的构件在同一轴线上用转动副 相连接所组成的运动副称为复合铰链。三个 构件在A点组成的复合铰链如图(a)，图(b)。 由图可以看出，这三个构件沿同一个轴线共 组成两个转动副。依此类推，若由K个构件组 成复合铰链，则在连接处应具K-1个转动副。
2.1 概
述
机构是用来传递运动和动力或者是改变 运动形式的机械装置。为达到这一目的，通 常要求机构具有确定的相对运动。因此，在 分析或设计新的机械时，除了判断机构是否 能够运动以外，还需要判断机构在什么条件 下才能实现确定的运动。
2.1.1 运动副的概念
机构是由若干构件组合而 成的。机构中相邻两构件，应 以适当的方式进行接触联接， 才能使两者保持确定的相对运 动。这种使两构件直接接触并 能产生一定的相对运动的联接 称为运动副
[例2-3] 试计算图所示机构的自由度。图中 AB//CD//EF，AB=CD=EF。 F=3n-2PL-PH=3x6-2x8-1=1 该机构有一个原动件，运动是确定的。
2-1 判断
习
题
)
1. 平面低副具有两个约束，而高副具有一个约束。 ( 2. 计算机构自由度时不需要考虑复合铰链。 ( ) 3. 齿轮与齿轮的接触属于低副联接。( )
3. 虚约束 在机构中与其他约束作用重复而对机构运动不 起独立限制作用的约束，称为虚约束。 在工程实际中，虽然虚约束不影响机构的运动， 但它却可以保证机构顺利运动，或增加机构的刚性， 改善机构的受力情况，所以虚约束的应用十分广泛。 虚约束是在特定的几何条件下形成的，计算机构 的自由度时，应将其除去不计。