计量经济学三到十章课后习题答案

3.1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛yn y y M 21 ⎝⎛111M 12111xn x x M 22212xn x x MΛΛΛ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫xnp p x p x M 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p βββM 10 +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n εεεM 21即y=x β+ε基本假定（1）解释变量x1,x2...,xp 是确定性变量，不是随机变量，且要求rank(X)=p+1<n,表明设计矩阵X 中自变量列之间不相关，样本量的个数应大于解释变量的个数（2)随机误差项具有零均值和等方差，即高斯马尔柯夫条件nE Λ,2,1,0)(==τετ⎩⎨⎧=0)cov(2,σεεγτγτγτ≠=n Λ2,1,=γτ（3）对于多元线性回归的正态分布假定条件的矩阵模型为 ε~N （0，n I 2σ） 随即向量y~N(X n I 2,σβ) 3.2当(1)-X X T存在时，回归参数的最小二乘估计为Y X X X T T 1)(-∧=β，要求出回归参数∧β，即要求X X T 是一个非奇异矩阵，0≠X X T ，所以可逆矩阵X X T 为p+1阶的满秩矩阵，又根据两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩rank(X)≥p+1,而X 为n ⨯(p+1)阶矩阵，于是应有n ≥p+1 结论说明，要想用最小二乘法估计多元线性回归模型的未知参数，样本量n 必须大于模型自变量p 的个数。

3.31)())1((11)1(11)1(11)(11]))(()([11)(11)(11)11()(21)(122211121121121222222+===⨯+-⨯--=---=---=--=+--=--=--=--=++=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑========∧=∧p h H tr p n p n h p n h p n e D p n e E e D p n e E p n e E p n SSE p n E E en e e y y SSE nnn nn n nn nτττττττττττττττττττττσσσσσ注Λ 3.4不能断定这个方程一定很理想，因为样本决定系数与回归方程中自变量的数目以及样本量n 有关，当样本量个数n 太小，而自变量又较多，使样本量与自变量的个数接近时，2R 易接近1，其中隐藏一些虚假成分。

3.5当接受H 0时，认定在给定的显著性水平α下，自变量x1,x2,Λxp 对因变量y 无显著影响，于是通过x1,x2,Λxp 去推断y 也就无多大意义，在这种情况下，一方面可能这个问题本来应该用非线性模型去描述，而误用了线性模型，使得自变量对因变量无显著影响；另一方面可能是在考虑自变量时，把影响因变量y 的自变量漏掉了，可以重新考虑建模问题。

当拒绝H 0时，我们也不能过于相信这个检验，认为这个回归模型已经完美了，当拒绝H 0时，我们只能认为这个模型在一定程度上说明了自变量x1,x2,Λxp 与自变量y 的线性关系，这时仍不能排除排除我们漏掉了一些重要的自变量。

3.6中心化经验回归方程的常数项为0，回归方程只包含p 个参数估计值p ∧∧∧βββΛ,,21比一般的经验回归方程减少了一个未知参数，在变量较多时，减少一个未知参数，计算的工作量会减少许多，对手工计算尤为重要。

在用多元线性回归方程描述某种经济现象时，由于自变量所用的单位大都不同，数据的大小差异也往往很大，这就不利于在同一标准上进行比较，为了消除量纲不同和数量级的差异带来的影响，就需要将样本数据标准化处理，然后用最小二乘法估计未知参数，求得标准化回归系数。

3.7对p p x x x y ττττββββ∧∧∧∧∧++++=Λ22110进行中心化处理得)()()(222111p p p x x x x x x y y -++-+-=-∧∧∧∧ττττβββΛ再将等式除以因变量的样本标准差yy L 则有*τ∧y ==-++-+-=-∧∧∧∧)()()(222111p p yypyy yy yy x x L x x L x x L L y y ττττβββΛppp p yypp p yyyyL x x L L L x x L L L x x L L )()()(22222221111111-++-+-∧∧∧τττβββΛ=******2211p p x x x τττβββ∧∧∧+++Λ所以=∧*j βp j L L yyjjj Λ,2,1,=∧β3.8 （ij ∆为相关阵（ij r )p p ⨯第i 行，第j 列的代数余子式）2211123;12∆•∆∆-=r =11)1(11)1(1)1(13312223321123312121r r r r r r r +++-⨯---)1)(1(221323312321r r r r r ---=3.9 F j =)1()1()11()1()()1()()1()1()1()1(12222)()()()()()()()()()()(yjyj yj yj j j j j j j j j j j j r r p n r r p n SSE SSE SSE SSE SSE p n SSE SSE SSE SSE p n SSE SSE p n SSE SSR p n p n SSE SSR -⨯--=-⨯⨯--=∆-⨯∆⨯--=⨯∆⨯--=∆⨯--=∆⨯--=--∆2yjr 小于1，F j 与2yj r 一一对应，所以F j 与2yj r 等价 3.10=--+--⨯--⨯=--+p p n SSE p n p SSR SSEp n p SSR p p n F F 111)1(2)1(11R SSTSSR SST SSE SSE SSR SSESSE SSR SSE SSR SSE SSR p p n SSE SSR p p n ==⨯=+=+⨯--⨯--证得pp n F FR )1(2--+=3.11(1)(2)（3）（4）（5）（6）1回归方程为y= -348.280+3.754x1+7.101x2+12.447x32复相关系数R=0.898，决定系数为0.806，拟合度较高。

3方差分析表，F=8.283，P值=0.015<0.05，表明回归方程高度显著，说明x1,x2,x3,整体上对y 有高度显著的线性影响4回归系数的显著性检验x1工业总产值的P值=0.100X2农业总产值的P值=0.049X3居民非产品支出的P值=0.284在0.1的显著性水平上，x3未通过检验，应将其剔除掉1回归方程为y= -459.624+4.676x1+8.971x22复相关系数R=0.872，决定系数为0.761，由决定系数看回归方程接近高度相关3方差分析表，F=11.117，P值=0.007，表明回归方程高度显著说明x1,x2,整体上对y有高度显著的线性影响4回归系数的显著性检验x1工业总产值的P值=0.037X2农业总产值的P值=0.008在0.05的显著性水平上,自变量x1,x2对y均有显著影响（7）( 8 ) 标准化回归方程y=0.479x1+0.676x2（9）把x01=75,x02=42带入y= -459.624+4.676x1+8.971x2得y=267.86y置信水平95%的区间估计为（211.09492 , 324.57506）y置信水平95%的近似区间估计为（219.6978 , 316.0222）E（y)置信水平95%的区间估计为(245.00541 ,290.66457)(10)由于X3的回归系数显著性检验未通过，所以居民非商品支出对货运总量影响不大，但是回归方程整体对数据拟合较好。

3.12VIF 的值都大于10，所以变量之间存在多重共线性表中第三行x0(常数项），x1,x2的系数分别为0.73,1.00,0.97，说明x0(常数项），x1,x2之间存在多重共线性。

回归方程为y=2914.646+0.607x1+1.709x2, 第一产业的增加值x1的P 值=0.065第二产业的增加值x2的P 值=0.000 在0.05的显著性水平上x1对y 无显著影响第4章 违背基本假设的情况4.1答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 i 01i i Y =+X +ββε其中：ψι表示第ι个家庭的储蓄额，Ξι表示第ι个家庭的可支配收入。

由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以∑ι的方差呈现单调递增型变化。

例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型123i i i i i Y =A K L eβββε 被解释变量：产出量ψ，解释变量：资本K 、劳动Λ、技术A ，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。

由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。

这时，随机误差项∑的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。

4.2答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OΛ∑估计模型参数，会产生下列不良后果：1、参数估计量非有效2、变量的显著性检验失去意义3、回归方程的应用效果极不理想总的来说，当模型出现异方差性时，参数OΛ∑估计值的变异程度增大，从而造成对ψ的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。

4.3答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。

其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。

在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。

然而在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。

由OΛ∑求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。

所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。

这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。

加权最小二乘法的方法：20111110122222ˆˆ()()()ˆ()ˆ1=1()1Ni i ii Niiwi w i wNiwi w w w w i i ii i Q w y x w x xy y x xy x w k kx x βββββσσ===----=-=-===∑∑∑2i （kx ） 因为比例系数在参数估计中可以消去4.4答：运用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与一元线性回归的类似。

多元线性回归加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为：∑=----=ni ip p i i i p w x x y w Q 1211010)( ),,,(ββββββΛΛ（2）加权最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10Λ的估计值pw w w βββˆ,,ˆ,ˆ10Λ使式（2）的离差平方和w Q 达极小。