第4章-1振动

π 3 π 3
1 π cos 2 3
x

v0 A sin 0
sin 0
振动方程：
π 3
π x 0.12 cos( π t ) 3
dx π 1 v t 0.5 0.12π sin( π t ) t 0.5 0.189 m s dt t 0.5 3
• 旋转矢量A的角速度： 角频率 • 旋转矢量A与 x 轴的 夹角( t+ )： 相位 • t = 0 时， A与x 轴 的夹角 ：初相位。 • 旋转矢量A旋转一周， M点完成一次全振动。
y
P
A

t 0
M
x
周期：
T
2π

例1 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为12 cm，周期为 2s。当t = 0时, 位移为6 cm，且向x 轴正方向运动。 求:(1)振动方程；(2)t = 0.5 s时，质点的位置、速度和加 速度；(3)如果在某时刻质点位于x = -6 cm，且向 x 轴负 方向运动，从该位置回到平衡位置所需要的时间。
x A cos ( t ) 2π 1 已知：A =12 cm , T = 2 s ， πs T x 0.12 cost
解： 设简谐振动表达式为 初始条件： t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 > 0
0.06 =0.12 cos
y

：振动的“初相位 ”。
dx π v A sin( t ) vm cos( t ) dt 2
vm A
称为速度幅。 速度相位比位移相位超前/2。
dv 2 a A cos( t ) am cos( t π ) dt
弹簧振子： 一根轻弹簧和一个刚体构成的一个 振动系统。
F
O 根据胡克定律： x x （k为劲度系数）
F kx
（1） 在弹性限度内，弹性力F和位移x 成正比。
（2） 弹性力F和位移x 恒反向，始终指向平衡位置。 恢复力： 始终指向平衡位置的作用力
由牛顿第一定律：
得:
d x F m 2 k x dt 2 d x k x 2 dt m
dv π 2 2 a t 0.5 0.12π cos( π t ) t 0.5 0.103 m s dt t 0.5 3
设在某一时刻 t1， x = - 0.06 m 代入振动方程：
0.06 0.12 cos (π t1 π 3 )
1 cos ( π t1 π 3 ) 2
π 2π π t1 3 3
4π 或 3
y
2π 3
π 2π π t1 3 3
t1 1s
4π 3
x
π 3π π t2 3 2
11 t2 s 6
11 5 t t 2 t1 1 s 6 6
例2 两质点做同方向、同频率的简谐振动，振幅相 等。当质点1在 x1= A/2 处，且向左运动时，另一个质 点2在 x 2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相 位差。 解： -A
-A/2
2π 2π T
频率 ：单位时间内完成全振动的次数。 周期 T：完成一次全振动所经历的时间。
弹簧振子的频率:
弹簧振子的周期:
1 k 2π mm 来自 2π k 2π结论：弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性 质（k 和 m）有关，而与其他因素无关。
由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周 期称为固有频率和固有周期。 （ t + ) ：振动的“相位 ”。
设 t = 0时，振动位移：x = x0
振动速度：v = v0
x A cos ( t )
v A sin ( t )
x0 A cos
v0 A sin
x0 A cos
x
2 0

2 2
v0

A sin
2 2
v

2 0 2
A (sin cos ) A
简谐运动的加速度：
dv a 2 A cos( t ) am cos( t π ) dt
A A
2
O
x, v, a
x
a
v
O
T
A
t
4-1-2 描述简谐运动的物理量
x A cost
A ：振幅 （最大位移，x =±A ）
：角频率 （圆频率）
A x0
2
v0
2
vo tan xo
4-1-3 简谐运动的旋转矢量表示法
旋转矢量A在 x 轴上 的投影点 M 的运动规律： y
P
x A cos( t )
结论：
A

t 0
0
M
x
投影点M的运动 为简谐振动。
• 旋转矢量的模A：振幅
am A 称为加速度幅。
2
加速度与位移反相位。
比较：
a A cost
2
x A cost
a x
2
即
d x 2 x 2 dt
2
结论：做简谐运动的质点，其加速度与位移恒成正比， 而方向相反。
解题方法
由初始条件求解振幅和初相位：
2
令

k m
d x 2 x 2 dt
2
简谐运动表达式：
x A cost
简谐运动：
物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。 简谐运动的三项基本特征：
x A cost
F kx 2 d x 2 x 2 dt
简谐运动的速度：
dx π v A sin( t ) vm cos( t ) dt 2
第四章
振动与波动
机械振动： 物体在一定的位置附近做来回往复的运动。 振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作 周期性的变化。 波动：振动状态在空间的传播。 任何复杂的振动都可 以看做是由若干个简 单而又基本的振动的 合成。这种简单而又 基本的振动形式称为 简谐运动。
§4-1 简谐运动
4-1-1 简谐运动的基本特征