数据结构第6章树和二叉树
数据结构-6 树和二叉树
第六章树和二叉树一．选择题1. 以下说法错误的是。
A.树形结构的特点是一个结点可以有多个直接前趋B.线性结构中的一个结点至多只有一个直接后继C.树形结构可以表达(组织)更复杂的数据D.树(及一切树形结构)是一种"分支层次"结构2. 如图6-2所示的4 棵二叉树中，不是完全二叉树。
图6-2 4 棵二叉树3. 在线索化二叉树中，t 所指结点没有左子树的充要条件是。
A. t->left == NULLB. t->ltag==1C. t->ltag==1 且t->left==NULL D .以上都不对4. 以下说法错误的是。
A.二叉树可以是空集B.二叉树的任一结点最多有两棵子树C.二叉树不是一种树D.二叉树中任一结点的两棵子树有次序之分5. 以下说法错误的是。
A.完全二叉树上结点之间的父子关系可由它们编号之间的关系来表达B.在三叉链表上，二叉树的求双亲运算很容易实现C.在二叉链表上，求根，求左、右孩子等很容易实现D.在二叉链表上，求双亲运算的时间性能很好6. 如图6-3所示的4 棵二叉树，是平衡二叉树。
图6-3 4 棵二叉树7. 如图6-4所示二叉树的中序遍历序列是。
A. abcdgefB. dfebagcC. dbaefcgD. defbagc图6-4 1 棵二叉树8. 已知某二叉树的后序遍历序列是dabec，中序遍历序列是debac，它的前序遍历序列是。
A. acbedB. decabC. deabcD. cedba9. 如果T2 是由有序树T 转换而来的二叉树，那么T 中结点的前序就是T2 中结点的。
A. 前序B.中序C. 后序D. 层次序10. 某二叉树的前序遍历结点访问顺序是abdgcefh，中序遍历的结点访问顺序是dgbaechf，则其后序遍历的结点访问顺序是。
A. bdgcefhaB. gdbecfhaC. bdgaechfD. gdbehfca11. 将含有83个结点的完全二叉树从根结点开始编号，根为1号，后面按从上到下、从左到右的顺序对结点编号，那么编号为41的双亲结点编号为。
数据结构PPT树和二叉树
(c)
L
R
R
(d)
(e)
(a) 空树
(b) 只含根结点
(d) 左右子树均不为空树
(c) 右子树为空树 (e) 左子树为空树
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质1 在二叉树的第 i 层上至多有 2i - 1个结点。(i ≥ 1)
[证明用归纳法]
证明：当i=1时，只有根结点，2 i-1=2 0=1。
一般树和森林与二叉树的转换关系，最后介绍树的应用实
例。
安
徽 理
6.1 树的定义和基本术语
工
大 学
❖ 什么是树？树是由 n (n ≥ 0) 个结点的有限集合。如果 n
= 0，称为空树；如果 n > 0，则
▪ 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直
接后继，但没有直接前驱；
▪ 当n > 1，除根以外的其它结点划分为 m (m >0) 个互不
树构成(即不存在度大于2的结点)，并且左、右子树本身也
是二叉树。 说明： 1. 二叉树中每个结点最多有两棵子 树，二叉树每个结点度小于等于2；
A
B
D
E
C F
2. 左、右子树不能颠倒——有序树；
G
3. 二叉树是递归结构，在二叉树的定
义中又用到了二叉树的概念。
安
徽 理
二叉树的形态
工
大
学
φ
L
(a)
(b)
例1. 家族族谱
设某家庭有13个成员A、B、C、D、E、F、G、H、I、J
、K、L、M，他们之间的关系可如图所示的树表示。
例2. 单位行政机构的组织关系
数据结构第6章习题答案
第6章树和二叉树习题解答一、下面是有关二叉树的叙述，请判断正误（每小题1分，共10分）（√）1. 若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。
（×）2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。
（√）3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。
（×）4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。
（×）5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值，且小于其右非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值。
（应当是二叉排序树的特点）（×）6.二叉树中所有结点个数是2k-1-1，其中k是树的深度。
（应2i-1）（×）7.二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。
（×）8.对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第i层上最多能有2i—1个结点。
（应2i-1）（√）9.用二叉链表法（link-rlink）存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n+1个为空指针。
（正确。
用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点共有2n个链域。
由于二叉树中，除根结点外，每一个结点有且仅有一个双亲，所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针，还有n+1个空指针。
）即有后继链接的指针仅n-1个。
（√）10. 〖01年考研题〗具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。
最快方法：用叶子数＝[n/2]＝6，再求n2=n0-1=5二、填空（每空1分，共15分）1．由３个结点所构成的二叉树有5种形态。
2. 【计算机研2000】一棵深度为6的满二叉树有n1+n2=0+ n2= n0-1=31 个分支结点和26-1 =32个叶子。
注：满二叉树没有度为1的结点，所以分支结点数就是二度结点数。
3．一棵具有２５７个结点的完全二叉树，它的深度为9。
（注：用⎣ log2(n) ⎦+1= ⎣ 8.xx ⎦+1=94.【全国专升本统考题】设一棵完全二叉树有700个结点，则共有350个叶子结点。
数据结构 第六章 树和二叉树作业及答案
第六章树和二叉树作业一、选择题（每题2分，共24分）。
1. 一棵二叉树的顺序存储情况如下：树中，度为2的结点数为（ C ）。
A．1 B．2 C．3 D．42. 一棵“完全二叉树”结点数为25，高度为（B ）。
A．4 B．5 C．6 D．不确定3．下列说法中，（B ）是正确的。
A. 二叉树就是度为2的树B. 二叉树中不存在度大于2的结点C. 二叉树是有序树D. 二叉树中每个结点的度均为24.一棵二叉树的前序遍历序列为ABCDEFG,它的中序遍历序列可能是（B ）。
A. CABDEFGB. BCDAEFGC. DACEFBGD. ADBCFEG5．线索二叉树中的线索指的是（C ）。
A．左孩子 B.遍历 C.指针 D.标志6. 建立线索二叉树的目的是（A ）。
A. 方便查找某结点的前驱或后继B. 方便二叉树的插入与删除C. 方便查找某结点的双亲D. 使二叉树的遍历结果唯一7. 有 D ）示意。
A.B.C.D.8. 一颗有2046个结点的完全二叉树的第10层上共有（B ）个结点。
A. 511B. 512C. 1023D. 10249. 一棵完全二叉树一定是一棵（A ）。
A. 平衡二叉树B. 二叉排序树C. 堆D. 哈夫曼树10．某二叉树的中序遍历序列和后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定是（ C ）的二叉树。
A ．空或只有一个结点B ．高度等于其结点数C ．任一结点无左孩子D ．任一结点无右孩子11．一棵二叉树的顺序存储情况如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15A B C D E 0 F 0 0 G H 0 0 0 X结点D 的左孩子结点为（ D ）。
A ．EB ．C C ．FD ．没有12．一棵“完全二叉树”结点数为25，高度为（ B ）。
A ．4B ．5C ．6D ．不确定二、填空题（每空3分，共18分）。
1. 树的路径长度：是从树根到每个结点的路径长度之和。
对结点数相同的树来说，路径长度最短的是 完全 二叉树。
数据结构二叉树习题含答案
第 6 章树和二叉树1．选择题（ 1）把一棵树变换为二叉树后，这棵二叉树的形态是（）。
A．独一的Ｂ．有多种C．有多种，但根结点都没有左孩子Ｄ．有多种，但根结点都没有右孩子（ 2）由 3 个结点能够结构出多少种不一样的二叉树？（）A． 2 B ． 3 C ． 4 D． 5（ 3）一棵完整二叉树上有1001 个结点，此中叶子结点的个数是（）。
A． 250 B ． 500 C ． 254 D． 501（ 4）一个拥有 1025 个结点的二叉树的高h 为（）。
A． 11 B ． 10 C．11 至 1025 之间 D ．10 至 1024 之间（ 5）深度为 h 的满 m叉树的第 k 层有（）个结点。
(1=<k=<h)k-1B kCh-1 hA． m ． m-1 ． m D．m-1（ 6）利用二叉链表储存树，则根结点的右指针是（）。
A．指向最左孩子 B ．指向最右孩子 C ．空 D ．非空（ 7）对二叉树的结点从 1 开始进行连续编号，要求每个结点的编号大于其左、右孩子的编号，同一结点的左右孩子中，其左孩子的编号小于其右孩子的编号，可采纳（）遍历实现编号。
A．先序 B. 中序 C. 后序 D.从根开始按层次遍历（8）若二叉树采纳二叉链表储存结构，要互换其全部分支结点左、右子树的地点，利用（）遍历方法最适合。
A．前序B．中序C．后序D．按层次（9）在以下储存形式中，（）不是树的储存形式？A．双亲表示法 B ．孩子链表表示法 C ．孩子兄弟表示法D．次序储存表示法（ 10）一棵非空的二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树必定满足（）。
A．全部的结点均无左孩子B．全部的结点均无右孩子C．只有一个叶子结点D．是随意一棵二叉树（ 11）某二叉树的前序序列和后序序列正好相反，则该二叉树必定是（）的二叉树。
A．空或只有一个结点B．任一结点无左子树C．高度等于其结点数 D ．任一结点无右子树（ 12）若 X 是二叉中序线索树中一个有左孩子的结点，且 X 不为根，则 X 的前驱为（）。
云大《数据结构》课程教学课件-第6章 树和二叉树(147P)_OK
^d ^ ^ e ^ 三叉链表
3）二叉链表是二叉树最常用的存储结构。还有其它链接方 法，采用何种方法，主要取决于所要实施的各种运算频度。
例:若经常要在二叉树中寻找某结点的双亲时，可在每个结 点上再加一个指向其双亲的指针域parent，称为三叉链表。
lchild data parent rchild
2021/8/16
2021/8/16
9
6.2 二 叉 树
6.2.1 二叉树的概念
一、二叉树的定义： 二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集，它或者是 空集(n=0)或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称 为根的左子树和右子树的二叉树组成。 可以看出，二叉树的定义和树的定义一样，均为递归定 义。
A
集合3
集合1
BCD
EF
G
集合2
2021/8/16
3
2、树的表示方法 1）树形图法
A
BCD
EF
G
2）嵌套集合法
3）广义表形式 ( A(B, C(E,F), D(G) )
4）凹入表示法
2021/8/16
A B
D
CG
EF
A B C E DF G
4
3、 树结构的基本术语
1）结点的度(Degree)：为该结点的子树的个数。 2）树的度：为该树中结点的最大度数。
7）路径(Path)：若树中存在一个结点序列k1,k2,…,kj,使得ki是 ki+1的双亲(1<=i<j)，则称该结点序列是从ki到kj一条路径 (Path)
路径长度：路径的长度为j-1,其为该路径所经过的边的数 目。
A
BCD
EF
G
《数据结构——C语言描述》第6章：树
先根遍历: -+a*b–cd/ef 中根遍历: a+b*c–d–e/f 后根遍历: abcd-*+ef/-
typedef struct Node { datatype data; struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; } BTnode,*Btree;
满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结 点的二叉树称为满二叉树。 完全二叉树：深度为k，有n个结点的 二叉树当且仅当其每一个结点都与深度 为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一 对应时，称为完全二叉树。
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1 3 5 7
树的度：树中最大的结点的度数即为 树的度。图6.1中的树的度为3。 结点的层次(level)：从根结点算起， 根为第一层，它的孩子为第二层……。 若某结点在第l层，则其孩子结点就在 第l+1层。图6.1中，结点A的层次为1， 结点M的层次为4。 树的高度(depth)：树中结点的最大层 次数。图6.1中的树的高度为4。 森林(forest)：m(m≥0)棵互不相交的 树的集合。
数据结构——用C语言描述(第3版)教学课件第6章 树与二叉树
6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义与基本操作 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构
6.2.1 二叉树的定义与基本操作 定义：我们把满足以下两个条件的树型结构叫做二 叉树（Binary Tree）： （1）每个结点的度都不大于2； （2）每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。
有序树：在树T中，如果各子树Ti之间是有先后次序的，则称为有序树。 森林：m（m≥0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一 个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。
同构：对两棵树，通过对结点适当地重命名，就可以使两棵树完全相等（结点对应相 等，对应结点的相关关系也像等），则称这两棵树同构。
二叉树的基本结构由根结点、左子树和右子树组成
如图示
LChild Data RChild
Data
LChild RChild
用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍 历右子树，那么对二叉树的遍历顺序就可以有：
(1) 访问根，遍历左子树，遍历右子树(记做DLR)。 (2) 访问根，遍历右子树，遍历左子树(记做DRL)。 (3) 遍历左子树，访问根，遍历右子树(记做LDR)。 (4) 遍历左子树，遍历右子树，访问根 (记做LRD)。 (5) 遍历右子树，访问根，遍历左子树 (记做RDL)。 (6) 遍历右子树，遍历左子树，访问根 (记做RLD)。
(8) NextSibling（Tree，x）： 树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x不 是其双亲的最后一个孩子结点，则返回x后面的下一个兄弟结点，否则 返回“空”。
基本操作:
(9) InsertChild（Tree，p，Child）： 树Tree存在，p指向Tree 中某个结点，非空树Child与Tree不相交。将Child插入Tree中， 做p所指向结点的子树。
数据结构第六章树和二叉树习题及答案
习题六树和二叉树一、单项选择题1．以下说法错误的是 ( )A．树形结构的特点是一个结点可以有多个直接前趋B．线性结构中的一个结点至多只有一个直接后继C．树形结构可以表达(组织)更复杂的数据D．树(及一切树形结构)是一种"分支层次"结构E．任何只含一个结点的集合是一棵树2．下列说法中正确的是 ( )A．任何一棵二叉树中至少有一个结点的度为2B．任何一棵二叉树中每个结点的度都为2C．任何一棵二叉树中的度肯定等于2D．任何一棵二叉树中的度可以小于23．讨论树、森林和二叉树的关系，目的是为了（）A．借助二叉树上的运算方法去实现对树的一些运算B．将树、森林按二叉树的存储方式进行存储C．将树、森林转换成二叉树D．体现一种技巧，没有什么实际意义4．树最适合用来表示 ( )A．有序数据元素 B．无序数据元素C．元素之间具有分支层次关系的数据 D．元素之间无联系的数据5．若一棵二叉树具有10个度为2的结点，5个度为1的结点，则度为0的结点个数是（）A．9 B．11 C．15 D．不确定6．设森林F中有三棵树，第一，第二，第三棵树的结点个数分别为M1，M2和M3。
与森林F 对应的二叉树根结点的右子树上的结点个数是（）。
A．M1 B．M1+M2 C．M3 D．M2+M37．一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（）A． 250 B． 500 C．254 D．505 E．以上答案都不对8. 设给定权值总数有n 个，其哈夫曼树的结点总数为( )A．不确定 B．2n C．2n+1 D．2n-19．二叉树的第I层上最多含有结点数为（）A．2I B． 2I-1-1 C． 2I-1 D．2I -110．一棵二叉树高度为h,所有结点的度或为0，或为2，则这棵二叉树最少有( )结点A．2h B．2h-1 C．2h+1 D．h+111. 利用二叉链表存储树，则根结点的右指针是（）。
A．指向最左孩子 B．指向最右孩子 C．空 D．非空12．已知一棵二叉树的前序遍历结果为ABCDEF,中序遍历结果为CBAEDF,则后序遍历的结果为（）。
数据结构第六章：树和二叉树
性质2：深度为 的二叉树至多有 个结点(k≥ 性质 ：深度为k的二叉树至多有2 k 1 个结点 ≥1)
证明：由性质 ，可得深度为k 证明：由性质1，可得深度为 的二叉树最大结点数是
(第i层的最大结点数 ) = ∑ 2 i 1 = 2 k 1 ∑
i =1 i =1
k
k
10
性质3：对任何一棵二叉树 ，如果其终端结点数(即 性质 ：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数 即 叶节点)为 度为2的结点数为 的结点数为n 叶节点 为n0，度为 的结点数为 2，则n0=n2+1 证明： 为二叉树 中度为1的结点数 为二叉树T中度为 证明：n1为二叉树 中度为 的结点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 所以：其结点总数 又二叉树中，除根结点外， 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个 分支进入； 分支进入； 为分支总数， 设B为分支总数，则n=B+1 为分支总数 又：分支由度为1和度为 的结点射出，∴B=n1+2n2 分支由度为 和度为2的结点射出， 和度为 的结点射出 于是， 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 ∴n0=n2+1
7
结点A的度：3 结点 的度： 的度 结点B的度：2 结点 的度： 的度 结点M的度：0 结点 的度： 的度 结点A的孩子： ， ， 结点 的孩子：B，C，D 的孩子 结点B的孩子 的孩子： ， 结点 的孩子：E，F 树的度： 树的度：3 E K 结点A的层次： 结点 的层次：1 的层次 结点M的层次 的层次： 结点 的层次：4 L B F A C G H M
数据结构 第六章 树和二叉树
F
G
H
M
I
J
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
5
树的基本操作
树的应用很广，应用不同基本操作也不同。下面列举了树的一些基本操作： 1）InitTree(&T); 2）DestroyTree(&T); 3）CreateTree(&T, definition); 4）ClearTree(&T); 5）TreeEmpty(T); 6）TreeDepth(T); 7） Root(T); 8） Value(T, &cur_e); 9） Assign(T, cur_e, value); 10）Paret(T, cur_e); 11）LeftChild(T, cur_e); 12）RightSibling(T, cur_e); 13）InsertChild(&T, &p, i, c); 14）DeleteChild(&T,&p, i); 15）TraverseTree(T, Visit( ));
1
2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1
3
5 7
证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1 根据二叉树的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2
又因为在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩子结点 数为 n0*0+n1*1+n2*2(分支数） 而一棵二叉树中，除根结点外所有都为孩子结点，故该二叉 树的结点数应为孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1
文件夹1
文件夹n
数据结构zl-第6章树4-1
E K
有序树——结点各子树从左至右有序,不能互换 结点各子树从左至右有序, 有序树 结点各子树从左至右有序 左为第一) (左为第一) 无序树——结点各子树可互换位置. 结点各子树可互换位置. 无序树 结点各子树可互换位置
15
A
2.
若干术语
E K
B F L
C G H M
D I J
双亲——即上层的那个结点 直接前驱 即上层的那个结点(直接前驱 双亲 即上层的那个结点 直接前驱) 孩子——即下层结点的子树的根 直接后继 即下层结点的子树的根(直接后继 孩子 即下层结点的子树的根 直接后继) 兄弟——同一双亲下的同层结点(孩子之间互称兄弟) 同一双亲下的同层结点( 兄弟 同一双亲下的同层结点 孩子之间互称兄弟) 堂兄弟——即双亲位于同一层的结点(但并非同一双亲 即双亲位于同一层的结点( 堂兄弟 即双亲位于同一层的结点 ) 祖先——即从根到该结点所经分支的所有结点 祖先 即从根到该结点所经分支的所有结点 子孙——即该结点下层子树中的任一结点 子孙 即该结点下层子树中的任一结点
讨论3:树的链式存储方案应该怎样制定? 讨论 :树的链式存储方案应该怎样制定? 链式存储方案应该怎样制定
可用多重链表:一个前趋指针, 个后继指针. 可用多重链表:一个前趋指针,n个后继指针. 细节问题:树中结点的结构类型样式该如何设计? 细节问题:树中结点的结构类型样式该如何设计? 即应该设计成"等长"还是"不等长" 即应该设计成"等长"还是"不等长"? 缺点:等长结构太浪费(每个结点的度不一定相同); 缺点:等长结构太浪费(每个结点的度不一定相同); 不等长结构太复杂(要定义好多种结构类型). 不等长结构太复杂(要定义好多种结构类型). 解决思路:先研究最简单,最有规律的树,然后设法把一般 解决思路:先研究最简单,最有规律的树, 的树转化为简单树. 的树转化为简单树.
数据结构第6章树和二叉树
数据结构第6章树和⼆叉树第六章树和⼆叉树⼀、选择题1．已知⼀算术表达式的中缀形式为 A+B*C-D/E，后缀形式为ABC*+DE/-，其前缀形式为( )A．-A+B*C/DE B. -A+B*CD/E C．-+*ABC/DE D. -+A*BC/DE2.设树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结点个数分别为4，2，1，1 则T中的叶⼦数为（）A．5 B．6 C．7 D．83.在下述结论中，正确的是（）①只有⼀个结点的⼆叉树的度为0; ②⼆叉树的度为2；③⼆叉树的左右⼦树可任意交换;④深度为K的完全⼆叉树的结点个数⼩于或等于深度相同的满⼆叉树。
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①④4.设森林F对应的⼆叉树为B，它有m个结点，B的根为p,p的右⼦树结点个数为n,森林F中第⼀棵树的结点个数是（）A．m-n B．m-n-1 C．n+1 D．条件不⾜，⽆法确定5．⼀棵完全⼆叉树上有1001个结点，其中叶⼦结点的个数是（）A．250 B． 254 C．500 D．5016.设给定权值总数有n 个，其哈夫曼树的结点总数为( )A．不确定 B．2n C．2n+1 D．2n-17.有关⼆叉树下列说法正确的是（）A．⼆叉树的度为2 B．⼀棵⼆叉树的度可以⼩于2 C．⼆叉树中⾄少有⼀个结点的度为2 D．⼆叉树中任何⼀个结点的度都为2 8．⼆叉树的第I层上最多含有结点数为（）A．2I B． 2I-1-1 C． 2I-1 D．2I -19.⼀个具有1025个结点的⼆叉树的⾼h为（）A．11 B．10 C．11⾄1025之间 D．10⾄1024之间10．⼀棵⼆叉树⾼度为h,所有结点的度或为0，或为2，则这棵⼆叉树最少有( )结点A．2h B．2h-1 C．2h+1 D．h+111.⼀棵具有 n个结点的完全⼆叉树的树⾼度（深度）是（）A．?log2n?+1 B．log2n+1 C．?log2n? D．log2n-112．深度为h的满m叉树的第k层有（）个结点。
数据结构 第六章-树
20
A B C D
E
F
G H
I J
A
E F H
G
B C
D A
I J
A
B C F
E H
G
B C D F
E G H I J
21
I
D
J
5. 二叉树转换成树和森林
二叉树转换成树 1. 加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩 子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩 子，都与p的双亲用线连起来 2. 抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 3. 调整：将结点按层次排列，形成树结构7Fra bibliotek6.3.2
树和森林的存储结构
树的存储结构有很多，既可以采用顺序存储结构， 也可以采用链式存储结构。但无论采用哪种存储方式， 都要求存储结构不仅能存储各结点本身的数据信息，还 要能惟一地反映树中各结点之间的逻辑关系。 双亲表示法 孩子链表表示法 孩子兄弟表示法
8
1.双亲表示法 除根外，树中的每个结点都有惟一的一个双亲结点，所以可以用一 组连续的存储空间存储树中的各结点。一个元素表示树中一个结点， 包含树结点本身的信息及结点的双亲结点的位臵。 A B E F C G H D I
}CTBox;
//树结构 typedef struct {CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; }Ctree
12
3. 孩子-兄弟表示法（树的二叉链表）
孩子兄弟表示法用二叉链表作为树的存储结构。将树中的多支关系用 二叉链表的双支关系体现。 ※ 结点的左指针指向它的第一个孩子结点
//孩子结点结构 typedef struct CTNode
1 2 3 4 5 6
数据结构详细教案——树与二叉树
数据结构教案第六章树与二叉树目录6.1树的定义和基本术语 (1)6.2二叉树 (2)6.2.1 二叉树的定义 (2)6.2.2 二叉树的性质 (4)6.2.3 二叉树的存储结构 (5)6.3树和森林 (6)6.4二叉树的先|中|后序遍历算法 (7)6.5先|后|中序遍历的应用扩展 (9)6.5.1 基于先序遍历的二叉树(二叉链)的创建 (9)6.5.2 统计二叉树中叶子结点的数目 (9)6.5.3 求二叉树的高度 (10)6.5.4 释放二叉树的所有结点空间 (11)6.5.5 删除并释放二叉树中以元素值为x的结点作为根的各子树 (12)6.5.6 求位于二叉树先序序列中第k个位置的结点的值 (12)6.5.7 线索二叉树 (13)6.5.8 树和森林的遍历 (14)6.6二叉树的层次遍历 (16)6.7判断一棵二叉树是否为完全二叉树 (16)6.8哈夫曼树及其应用 (18)6.8.1 最优二叉树(哈夫曼树) (18)6.8.2 哈夫曼编码 (19)6.9遍历二叉树的非递归算法 (19)6.9.1 先序非递归算法 (19)6.9.2 中序非递归算法 (20)6.9.3 后序非递归算法 (21)第6章二叉树和树6.1 树的定义和基本术语1、树的递归定义1）结点数n=0时，是空树2）结点数n>0时有且仅有一个根结点、m个互不相交的有限结点集——m棵子树2、基本术语结点：叶子(终端结点)、根、内部结点（非终端结点、分支结点）；树的规模：结点的度、树的度、结点的层次、树的高度(深度)结点间的关系：双亲(1)—孩子(m)，祖先—子孙，兄弟，堂兄弟兄弟间是否存在次序：无序树、有序树去掉根结点非空树森林引入一个根结点3、树的抽象数据类型定义树特有的操作：查找：双亲、最左的孩子、右兄弟结点的度不定，给出这两种操作可以查找到一个结点的全部孩子插入、删除：孩子遍历：存在一对多的关系，给出一种有规律的方法遍历(有且仅访问一次)树中的结点ADT Tree{数据对象：D={a i | a i∈ElemSet, i=1,2,…,n, n≥0}数据关系：若D为空集，则称为空树；若D仅含一个数据元素，则R为空集，否则R={H}，H是如下二元关系：(1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root，它在关系H下无前驱；(2) 若D-{root}≠Ф，则存在D-{root}的一个划分D1, D2, …, D m (m>0)（D i 表示构成第i棵子树的结点集），对任意j≠k (1≤j, k≤m) 有D j∩D k=Ф，且对任意的i (1≤i≤m)，唯一存在数据元素x i∈D i, 有<root,x i>∈H（H表示结点之间的父子关系）；(3) 对应于D-{root}的划分，H-{<root, x1>,…, <root, x m>}有唯一的一个划分H1, H2, …, H m(m>0)（H i表示第i棵子树中的父子关系），对任意j≠k(1≤j,k≤m)有H j∩H k=Ф，且对任意i(1≤i≤m)，H i是D i上的二元关系，(D i, {H i})是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。
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第六章树和二叉树一、选择题1．已知一算术表达式的中缀形式为 A+B*C-D/E，后缀形式为ABC*+DE/-，其前缀形式为( )A．-A+B*C/DE B. -A+B*CD/E C．-+*ABC/DE D. -+A*BC/DE2.设树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结点个数分别为4，2，1，1 则T中的叶子数为（）A．5 B．6 C．7 D．83.在下述结论中，正确的是（）①只有一个结点的二叉树的度为0; ②二叉树的度为2；③二叉树的左右子树可任意交换;④深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树。
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①④4.设森林F对应的二叉树为B，它有m个结点，B的根为p,p的右子树结点个数为n,森林F中第一棵树的结点个数是（）A．m-n B．m-n-1 C．n+1 D．条件不足，无法确定5．一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（）A．250 B． 254 C．500 D．5016.设给定权值总数有n 个，其哈夫曼树的结点总数为( )A．不确定 B．2n C．2n+1 D．2n-17.有关二叉树下列说法正确的是（）A．二叉树的度为2 B．一棵二叉树的度可以小于2 C．二叉树中至少有一个结点的度为2 D．二叉树中任何一个结点的度都为28．二叉树的第I层上最多含有结点数为（）A．2I B． 2I-1-1 C． 2I-1 D．2I -19.一个具有1025个结点的二叉树的高h为（）A．11 B．10 C．11至1025之间 D．10至1024之间10．一棵二叉树高度为h,所有结点的度或为0，或为2，则这棵二叉树最少有( )结点A．2h B．2h-1 C．2h+1 D．h+111.一棵具有 n个结点的完全二叉树的树高度（深度）是（）A．⎣log2n⎦+1 B．log2n+1 C．⎣log2n⎦ D．log2n-112．深度为h的满m叉树的第k层有（）个结点。
(1=<k=<h)A．m k-1 B．m k-1 C．m h-1 D．m h-113．高度为K的二叉树最大的结点数为（）。
A．2k B．2k-1 C．2k-1 D．2k-1-114. 一棵树高为K的完全二叉树至少有（）个结点A．2k–1 B. 2k-1–1 C. 2k-1 D. 2k15.将有关二叉树的概念推广到三叉树，则一棵有244个结点的完全三叉树的高度（）A．4 B．5 C．6 D．716．对二叉树的结点从1开始进行连续编号，要求每个结点的编号大于其左、右孩子的编号，同一结点的左右孩子中，其左孩子的编号小于其右孩子的编号，可采用( )次序的遍历实现编号。
A．先序 B. 中序 C. 后序 D. 从根开始按层次遍历17．树的后根遍历序列等同于该树对应的二叉树的( ).A. 先序序列B. 中序序列C. 后序序列 D从根开始按层次遍历18．若二叉树采用二叉链表存储结构，要交换其所有分支结点左、右子树的位置，利用( )遍历方法最合适。
A．前序 B．中序 C．后序 D．按层次19．在下列存储形式中，哪一个不是树的存储形式？（）A．双亲表示法 B．孩子链表表示法 C．孩子兄弟表示法 D．顺序存储表示法20．二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK；中序遍历: HFIEJKG 。
该二叉树根的右子树的根是：A、 EB、 FC、 GD、 H21．一棵非空的二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定满足（）A．所有的结点均无左孩子B．所有的结点均无右孩子C．只有一个叶子结点D．是任意一棵二叉树22.若X是二叉中序线索树中一个有左孩子的结点，且X不为根，则X的前驱为( )A.X的双亲B.X的右子树中最左的结点C.X的左子树中最右结点D.X的左子树中最右叶结点23. 引入二叉线索树的目的是（）A．加快查找结点的前驱或后继的速度 B．为了能在二叉树中方便的进行插入与删除C．为了能方便的找到双亲 D．使二叉树的遍历结果唯一24．n个结点的线索二叉树上含有的线索数为（）A．2n B．n－l C．n＋l D．n25．下述编码中哪一个不是前缀码（）。
A．（00，01，10，11）B．（0，1，00，11）C．（0，10，110，111）D．（1，01，000，001）参考答案1-5:D D D B D 6-10:D B C C B 11-15:A A C C C 16-20 C B C D C 21-25 C C A C B二、判断题1.二叉树是度为2的有序树。
2.完全二叉树一定存在度为1的结点。
3.二叉树的前序遍历并不能唯一确定这棵树，但是，如果我们还知道该树的根结点是那一个，则可以确定这棵二叉树。
4．由一棵二叉树的前序序列和后序序列可以唯一确定它。
5．完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是树叶。
6.一棵有n个结点的二叉树，从上到下，从左到右用自然数依次给予编号，则编号为i的结点的左儿子的编号为2i(2i<n)，右儿子是2i+1（2i+1<n）。
7.给定一棵树，可以找到唯一的一棵二叉树与之对应。
8. 二叉树中每个结点至多有两个子结点,而对一般树则无此限制.因此,二叉树是树的特殊情形.9．树形结构中元素之间存在一个对多个的关系。
10．在二叉树中插入结点，则此二叉树便不再是二叉树了。
11．树与二叉树是两种不同的树型结构。
12.非空的二叉树一定满足：某结点若有左孩子，则其中序前驱一定没有右孩子13．哈夫曼树的结点个数不能是偶数。
14．当一棵具有n个叶子结点的二叉树的WPL值为最小时，称其树为Huffman树，且其二叉树的形状必是唯一的。
三、填空题1．二叉树由根结点，左子树，___三个基本单元组成。
2．在二叉树中，指针p所指结点为叶子结点的条件是______。
3．深度为k的完全二叉树至少有______个结点，至多有2k-1个结点。
4．在完全二叉树中，编号为i和j的两个结点处于同一层的条件是______。
5．一棵有n个结点的满二叉树有__ _个度为1的结点。
6．假设根结点的层数为１，具有ｎ个结点的二叉树的最大高度是______。
7．设只含根结点的二叉树的高度为0，则高度为k的二叉树的最大结点数为______。
8．高度为8的完全二叉树至少有______个叶子结点。
9．完全二叉树中，结点个数为n，则编号最大的分支结点的编号为______。
10．具有N个结点的二叉树，采用二叉链表存储，共有______个空链域。
11．利用树的孩子兄弟表示法存储，可以将一棵树转换为______。
12．若一个二叉树的叶子结点是某子树的中序遍历序列中的最后一个结点，则它必是该子树的______序列中的最后一个结点。
13.在一棵存储结构为三叉链表的二叉树中，若有一个结点是它的双亲的左子女，且它的双亲有右子女，则这个结点在后序遍历中的后继结点是______。
14．若以{4，5，6，7，8}作为叶子结点的权值构造哈夫曼树，则其带权路径长度是______。
15．有一份电文中共使用 6个字符:a,b,c,d,e,f,它们的出现频率依次为2,3,4,7,8,9，字符c的编码是_(2)__。
参考答案：1.右子树，2.p->lchild==null && p->rchlid==null，3.(1)2k-1，4.⎣log2i⎦=⎣log2j⎦5.0，6.n，7.2K+1-1，8.64，9.⎣n/2⎦,10.N+1,11.二叉树12.前序，13. 双亲的右子树中最左下的叶子结点，14.69，15. 001（不唯一）四、应用题1．从概念上讲，树，森林和二叉树是三种不同的数据结构，将树，森林转化为二叉树的基本目的是什么，并指出树和二叉树的主要区别。
2．一个深度为L的满K叉树有以下性质：第L层上的结点都是叶子结点，其余各层上每个结点都有K棵非空子树，如果按层次顺序从1开始对全部结点进行编号，求：1）各层的结点的数目是多少？2）编号为n的结点的双亲结点（若存在）的编号是多少？3）编号为n的结点的第i个孩子结点（若存在）的编号是多少？4）编号为n的结点有右兄弟的条件是什么？如果有，其右兄弟的编号是多少？请给出计算和推导过程。
3．已知完全二叉树的第七层有10个叶子结点，则整个二叉树的结点数最多是多少？4．若一棵树中有度数为1至m的各种结点数为n1,n2,…,n m(n m表示度数为m的结点个数)请推导出该树中共有多少个叶子结点n0的公式。
5．一棵二叉树的先序、中序、后序序列如下，其中一部分未标出，请构造出该二叉树。
先序序列：_ _ C D E _ G H I _ K中序序列：C B _ _ F A _ J K I G后序序列：_ E F D B _ J I H _ A6．设有正文AADBAACACCDACACAAD,字符集为A,B,C,D,设计一套二进制编码，使得上述正文的编码最短。
7．设T是一棵二叉树，除叶子结点外，其它结点的度数皆为2，若 T中有6个叶结点，试问：（1）T树的最大深度Kmax=?最小可能深度Kmin=?（2）T树中共有多少非叶结点？(3) 若叶结点的权值分别为1,2,3,4,5,6。
请构造一棵哈曼夫树，并计算该哈曼夫树的带权路径长度wpl。
参考答案：1．树的孩子兄弟链表表示法和二叉树二叉链表表示法，本质是一样的，只是解释不同，也就是说树（树是森林的特例，即森林中只有一棵树的特殊情况）可用二叉树唯一表示，并可使用二叉树的一些算法去解决树和森林中的问题。
树和二叉树的区别有三：一是二叉树的度至多为2，树无此限制；二是二叉树有左右子树之分，即使在只有一个分枝的情况下，也必须指出是左子树还是右子树，树无此限制；三是二叉树允许为空，树一般不允许为空（个别书上允许为空）。
2．(1)k h-1(h为层数)（2）因为该树每层上均有K h-1个结点，从根开始编号为1，则结点i的从右向左数第２个孩子的结点编号为ki。
设n 为结点i的子女，则关系式(i-1)k+2<=n<=ik+1成立，因i 是整数，故结点n的双亲i的编号为⎣n-2)/k⎦+1。
(3) 结点n(n>1)的前一结点编号为n-1（其最右边子女编号是(n-1)*k+1），故结点 n的第 i个孩子的编号是(n-1)*k+1+i。
(4) 根据以上分析，结点n有右兄弟的条件是，它不是双亲的从右数的第一子女，即(n-1)%k!=0，其右兄弟编号是n+1。
3.235。
由于本题求二叉树的结点数最多是多少，第7层共有27-1=64个结点，已知有10个叶子，其余54个结点均为分支结点。
它在第八层上有108个叶子结点。
所以该二叉树的结点数最多可达(27-1+108)=235。
(注意；本题并未明说完全二叉树的高度，但根据题意，只能8层。