例谈反例教学在数学学习中的作用
例谈数学反例的四种用途
解疑”的教学程序 ，让学生从错误 中生疑
问。从疑问中来思考，从思考中明算理。
四、反 例 用在 纠正错 误 时
请看 下面Байду номын сангаас“ 三角形 面积公式 ”教学
否定错误的认识。另外 “ 等腰 ” “ 首尾相 片断 ：
反例是 纠正错误 的有 力工具 。反例 等突出特点 ．所以举反例揭露错误有特殊 认识到 ：通过反例教学 ，不但可以使学生 修补 。从而获得正确结论或命题。
生 ．抑制概念的泛化 ．老师出了一道错误 盖上 方 格 纸 ．说 ：“ 中每 个 方 格 的 面 积 图 整除的条件 不单是余数为 ０ ，除数和商应 是 多 少 ？ ”
生 ：（ 观察 后 说 ）面 积是 ４ 方 分米 。 平
是１ 平方分米 ．数一下这个三角形的面积 做 的：９ ０ （６ ３＝ ６ ÷ ２ ８ （ ６ ÷３ ÷ ）９ ０ １ ＝ ０ 时间 ） 。 很显然 ，单位名称用错了。下面是运
二 、反例 用 在 打破 思维 定 势 时
师：这个结果对不对？
生 ：对 。
个宇 宙飞船 ３秒钟 航行 ３ ６千米 。
照这样计算 ，如果要航行 ９ ０ ６ 千米 ，需要
批 改 作 业 时 ．发 现 不 少 学 生 是 这 样 答 ：需 要 ８ 间 。 ０时
教 师 不 加 评 述 ．课 件 在 三 角 形 上 覆 多少 时 间？
师 ：通过计算你懂得 了什么？ 生 ：我懂得 了要把 三角形的底 与对
。才能求出三角形的 例从 另 外一 个 侧 面抓 住概 念 的本 质 ，弥 补 再人 为强 调 “ 时 要 加 了” 多 。在 对 比教 学 应的高相乘再除 以 ２
正 面教 学 的不 足 ．从 而加 深 学生 对 知 识 的 中 ．我们 可 以是 实 物或 画 示 意 图进 行 深入 面积 。 “ 运用 三角形 的底 与对应 的高相乘 理解 ，给他们留下深刻的印象。 分析 ：为什么要加 ，为什么要减 。这样学
例谈小学数学课堂教学中“反例”的运用
几 个数 字依 次 不断 地重 复 出现 ， 这样 的 小数 叫做 循环 小数 。 依次 不 断地 反复 出现 ， 这 两个条 件缺 一 不可 ， 在 帮 助学 生理
解循 环 小数 的概 念 时 ， 可 以出示 这样 的反 例 ： ０ ． １ ９ １ ９ １ ９ １ ９和 ３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ６ …， ０ ． １ ９ １ ９ １ ９ １ ９虽 然 重 复 出现 了 四次 ，但 不 符 合 依次 不 断 这 个 条 件 ，而 ３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ６ …符 合 了依 次 不断 的条 件， 可不 符合 重 复 出现这 个条 件 ， 所 以这 两 个小 数都 不是 循 环 小数 。 通 过 举这 样 的两 个反例 就 能使 学生 很好 地理 解 循环 小 数 这个 概 念 ， 知道 作 为循 环小 数 ， 依次 不 断和 反复 出现 这 两
教苑 时 空 ・ 教法探讨
例 谈小学数学课 堂教 学 中∞ 厨锄∞ 的运用
浙
珍
本文 的 “ 反例” 是 指 教 师 在 教 育 实 践 中收 集 的 例题 的典 型误 解 、 重 要 知 识 点的 典型错 误 认 识 。 所 谓典 型 是 指 它 有丰 富 的教 学价 值 ， 通过 分析 对 例 题 的错 解 、知 识点 的 错误 认 识 ， 能 够 揭 示出 解题 的 规律 和 方法 ， 从 而帮
很 多学生 在 做这 样 的两道 判断题 时 ，很 容易 都把 它们
当作 是正 确 的命题 ， 这 时教师 就可 以及 时 出示反 例 ： 当另 一 个因 数为 ０时 ， ０乘 以任何 数 都为 ０， 显然 第 （ １ ） 个命题 是 错误的 ； 当 被除 数为 ０时 ， 得 到 的数 为 Ｏ ， 显然 小 于除 数 。 第 （ ２ ） 个命题 也 是错 的 。 通过 举反例 很 容 易就把 这样 的谬 论否 定 了 ，不 但学 生
反例在高中数学教学中的应用
反例在高中数学教学中的应用
在高中数学教学中，反例一般用于证明一个结论的时候。
例如，在证明一个命题时，如果能找到一个反例，则该命题就被证明为不
成立。
这种方法非常有用，因为一个反例可以直接反驳一个命题，
从而省去了繁琐的证明过程。
举一个具体的例子，假设我们想证明命题“任何正整数都能被
表示为两个平方数之和”。
如果我们使用反例法，则可以找到一个
正整数，例如3，它无法被表示为两个平方数之和。
因此，命题
“任何正整数都能被表示为两个平方数之和”不成立。
反例方法在高中数学教学中还有其他应用，例如证明函数不是
单调递增或递减的，证明两个图形不全等或不相似等等。
它是一种
非常直观的证明方法，让学生能够更好地理解和掌握一些数学概念
和定理。
反例在中学数学教学中的应用
反例在中学数学教学中的应用
随着数学教学的进步，反例的重要性正在被认识到。
反例是数学中的一种基本概念，它能够帮助学生构建准确的概念，而不是盲目地相信法则。
因此，在中学数学教学中应用反例是一个非常重要的概念。
首先，可以帮助学生理解数学概念。
反例可以帮助学生更准确地掌握概念，而不是把它们当作陈述的基础。
反例是一个能够支持学生理解的可视化图形，给学生一个证明数学概念的可见性，而不是把它们当作一个不透明的基础。
学生可以使用这些反例来更好地理解习题。
其次，反例可以帮助学生掌握技巧。
反例是一个能够给学生一个真实案例，让他们能够更准确地掌握数学技巧和方法的方法。
学生可以利用这些反例来更好地掌握技巧，而无需一味地靠自己思考而失去把握。
另外，反例也可以帮助学生思考深层次的问题。
反例能够帮助学生深入了解数学模式，同时能够帮助他们探索其中的复杂关系。
反例能够帮助学生进行更多的探索，并将探索的结果拓展到更复杂的关系中，从而使学生更加深入地理解数学概念。
最后，反例可以帮助学生构建精确的概念。
学生在使用反例时，可以更加准确地构建出精确的概念，而不是把它们当作一种模糊的概念。
反例能够给学生一个更全面的视角，从而帮助他们建立准确的概念，而不会陷入盲从的观念。
综上所述，反例在中学数学教学中具有重要的作用。
反例可以帮助学生更好地理解数学概念，掌握技巧，思考深层次的问题，并构建
准确的概念。
因此，中学数学教学中应更加重视反例的应用，以帮助学生更加准确有效地学习数学。
举反例在初中数学教学中的作用与实施
举反例在初中数学教学中的作用与实施晋元中学赖国献引言：一个正确的数学命题需要严密的证明，谬误则靠反例即可否定。
因此，在数学的教学中，反例也有着极为重要的意义，它在发现和认识数学真理，强化数学基础知识的理解和掌握，培养学生的思维能力和创造能力，以及提高学生解题速度等方面的意义和作用是不可低估的。
但在实际教学中，很多教师对数学思想教学的重视程度不够，原因在于其不了解数学思想对学生思维及分析能力发展的重要性，导致数学课堂出现诸多数学思想教学误区。
下面结合自己实习中的课堂实例，对反例的作用进行探讨。
一、反例的定义与实质数学中的反例，是指使某个数学命题不成立的例子。
具体地说它满足命题的题设但不具有命题的结论，从而成为推翻命题的例子。
反例的产生与命题的结构密切相关，因此，反例又可以分为3类：简单命题的反例，充分条件的反例和必要条件的反例。
在具体的课堂教学中，反例的使用揭示了数学上“失之毫厘差之千里”的特点，是学生不断理清思维的脉络，从中掌握相应的数学思想方法。
二、反例的来源以及如何构造反例2.1反例的来源证明一个命题是真实的，必须经过严格的推理论证；证明一个命题是假命题就只需找到一个反例。
在数学的学习中，为了向学生说明一个命题为假命题，就要举出一个例子，它虽然满足命题的题设但却没有命题的结论。
反例的强大的说服力能使学生豁然开朗，与获得证明的方法一样，反例来源于一系列深层次的思维活动包括观察、归纳、分析与综合。
2.2如何构造反例在具体的课堂教学中，反例并不是可以信手拈来的，有的反例的寻找十分困难。
因此要善于引导学生去寻找反例，同时，寻找反例的过程也是加深理解、发散思维、巩固知识的过程，也能提高学生的思维能力，为后继知识的学习做好铺垫。
以下介绍构造反例常用的几种方法：（1）通过对一般命题特殊化，发现反例。
有时候，遇到一个一般命题，可以用其某一特殊情况下不真来进行否定，以特殊情况为反例，是我们构造反例最先考虑的一种方法。
浅谈初中数学教学中反例教学的重要性
挥 和训 练 过 程 。
在这个 问题 中 ， 面的反例 的列举 难度 显然增 后 加 了， 而学 生却可 以通 过此题更 加加 深对 多边形 然 性质正反两方面 的理解 ， 另外列举 反例 的过 程也是 学 生 发 散 性 思 维 充 分 发 挥 和 展 示 的一 个 过 程 。 总 之 ， 学 反 例 是 数 学 课 堂 教 学 中一 个 调 节 器 ， 数 在数学教学中 ， 时地 引进 一些 反例或 适 当地引导 适 学生构建反例 ， 往能使学 生在认 识上 产生 质的飞 往 跃， 帮助他们 巩固和掌握 定理 、 式和法 则 ， 公 培养他 们思维 的缜密性 、 灵活性 、 发散性 、 深刻性 、 创新性和
经 不 是 质 数 了
反例教学还是一种很好 的培养学生发散思维 的 教学方式。 在学完正多边形 以后 ， 生们 都知 道 了正 多边 学 形的一些性 质 ， 如 ： 多边形 的所 有 的边都相 等 ， 例 正 所有 的内角都相等 。为 了加 深对这 一性质 的理 解 ， 教 师 可 以 从反 面 进 行 巩 固。 判 断 ：１所 有 边 都 相 等 的多 边 形 一 定 是 正 多 边 （） 形 ；２ 所有角都相等 的多边形一定是 正多边形 。 （） （） （） 是错误 的， 如菱 形和 矩形 。这 两 １和 ２ 都 例 个反 例学 生都 比较 容易能想到。但是 ， 除此之外 ， 还 有没有其余 的反 例 呢？教 师还 可 以做 进 ～ 步 的提 问。显然这时难度 就增 加 了。其 实 ， 所有边 都 相等 的多边形都是正 多边形 的反例 有无数 多个 ， 例如 我 们可 以先做一 个正 多边 形 （ 不是正 三角形 ） 利 用这 ， 些正 多边形具有 的不稳 定性 ， 它们 的 内角在变化 的 过程 中就会 出现边 都保持 相等 ， 但是 角度 却会 出现 不等 的情形 。对于所有 角都相等 的多边形是正 多边 形 的反 例 ， 实 也 是 有 无 数 个 。 其 对此正 五边形 下 面 的一 条边 进行 某 种平 行 移 动， 在移 动的 过程 中 ， 始终 可 以保 持 内角 都是 相 等 的 ， 而 却 会 出 现 不 是 正 多 边 形 的情 形 。 然
反例在中学数学教学中的作用
反例在中学数学教学中的作用首先，反例可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
在数学中，许多概念是抽象的，不容易直接理解。
通过引入反例，学生可以看到具体的例子，帮助他们形象地理解概念。
例如，在学习数列的收敛性时，引入一个反例可以让学生观察到一个不收敛的数列，从而理解收敛的概念。
其次，反例可以帮助学生发现和理解数学规律和定理。
数学中有许多规律和定理，它们的证明往往需要使用严谨的逻辑推理。
通过引入反例，学生可以发现一些规律不总是成立，从而激发他们思考为什么这些规律不成立，以及真实的规律是什么。
例如，学习三角形的内角和时，学生可能会发现一个反例，一个三角形的内角和大于180度，这有助于他们理解三角形内角和定理的真实含义。
此外，反例可以帮助学生培养他们的逻辑思维和推理能力。
在引入反例时，学生需要运用逻辑思维来找到一个合适的例子，并用推理来解释为何这个例子是一个反例。
通过这个过程，学生可以加深他们对逻辑思维和推理的理解，并且能够更好地运用这些技能解决数学问题。
这对他们在解决其他问题时也非常有用。
此外，引入反例还能帮助学生识别和纠正他们的错误。
在学习数学中，学生可能会犯错误或产生误解。
通过引入一个反例，学生可以发现自己的错误，并更好地理解正确的概念、规律和定理。
这有助于他们避免类似的错误，并帮助他们在学习和应用数学时更准确地思考。
在教学中，教师可以灵活运用反例。
他们可以在讲解新概念时引入反例，以便更好地帮助学生理解和记忆概念。
同时，在复习和巩固知识时，教师也可以通过让学生寻找和讨论反例来检验他们对知识的掌握程度。
这不仅能够加深学生对数学的理解，还能够激发学生的学习兴趣和思维能力。
然而，引入反例也需要一定的谨慎。
教师应该选择合适的反例，避免过于复杂或抽象的例子，以免给学生带来混淆。
此外，教师还应该确保学生充分理解反例的含义和作用，并与他们讨论为何这个例子是一个反例。
只有这样，学生才能真正受益于反例。
总的来说，反例在中学数学教学中具有非常重要的作用。
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用
数学是一种系统性的思维方式，它受到严格的证明和定理来保证其准确性、可靠性以及有效性。
反例在数学教学中发挥着重要的作用，它不仅有助于学生深入理解数学的概念，而且能够帮助学生正确地解决数学问题。
反例是一种有助于学生深入理解数学的概念的方法。
它是用来反驳一个先前在数学领域中所推断或推断出来的理论的例子，学生需要在一定范围内构建一个反驳理论的例子。
反例可以帮助学生更加深刻地理解数学的原理，让学生比较之前被认为是正确的推理和实际情况之间的差异，从而更好地理解数学的概念和原理。
此外，反例在数学教学中可以帮助学生正确地解决数学问题。
学生在解决数学问题时，往往容易迷失在无意义的思考和推断中。
有时他们可能会在错误的假设或推理上花费大量的时间，从而无法正确解决问题。
而反例可以帮助学生辨别错误推理和正确推理，从而更轻松地解决数学问题。
另外，反例不仅可以帮助学生深入理解数学概念，而且可以培养学生的创新思维、发现能力以及解决问题的能力。
通过反例的训练，学生可以学会在解决问题的过程中去思考，并从广泛的视角出发去发现问题的解决方案。
这样一来，学生不仅可以更加深刻地理解数学的原理，而且可以培养自己的创新思维、发现能力和解决问题的能力。
综上所述，反例在数学教学中发挥了重要的作用，它不仅有助于学生深入理解数学概念，而且可以帮助学生正确地解决数学问题，同
时还可以培养学生的创新能力、发现能力和解决问题的能力。
数学老师应该加强培养学生利用反例学习数学的能力，从而提高学生的数学思维和加深学生对数学原理的理解。
反例教学法在数学分析中的作用和构造
反例教学法在数学分析中的作用和构造反例教学法在数学分析和数学教学中引起越来越多的重视，它不仅能够加深学生对基础概念的理解，还能使数学思维的形成更具有深度和准确性。
因此，本文讨论了反例教学法在数学分析中的作用和构造。
思路解析反例教学法（CET）是由R.I. Jucowitz提出的教学模式，它基于实例失败的原则，即学生通过掌握反例，学习和理解更普遍的数学概念。
反例教学法的目的在于，通过提供与学生知识水平相关的实例，培养学生的数学解决问题的能力和技能，以从反例中获得知识。
反例教学法在数学分析中的作用通常，反例教学法能够有效支持数学分析，主要表现在：首先，反例教学法能够帮助学生明确和更好地理解基本数学概念。
学生通过反例学习，能够更好地理解数学原理，以掌握数学分析的基础知识；其次，反例教学法能够锻炼学生的数学逻辑思维能力和分析能力，从而提升学生对数学分析的准确性；最后，反例教学法能够激发学生对数学分析的学习兴趣，在拓宽思路、增强能力上发挥积极作用，促进学生学习数学分析的兴趣。
构造反例教学法反例教学法的构造分为三个步骤：第一步，要求老师对学生的能力进行全面考察，准确把握学生学习和知识水平，从而实现针对性教学；第二步，根据学生的不同学习水平，老师在例题中使用不同的反例，以针对性地提高其学习效果，达到突出重点、强化训练的目的；第三步，老师在介绍反例时，要充分运用可视化技术，以图表、模型等形式表示反例，使学生更加清晰地理解反例的内涵，并深入学习和掌握反例。
结论从上面的分析可以看出，反例教学法在数学分析中发挥着重要作用，它不仅能够提高学生的分析能力和解决问题的能力，而且还能增强学生的数学思维能力，从而改善学生的学习效果。
而构造反例教学法既要考虑学生的学习能力和知识水平，又要注重可视化技术，只有这样，才能真正发挥反例教学法的优势，增强学生的数学分析能力。
反例在数学中的作用
启发思考：通 过反例，启发 对数论的思考
和创新
PART FOUR
欧拉公式：e^πi + 1=0
反例：当i=0时， e^πi + 1 = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2，与 欧拉公式不符
结论：欧拉公式在 i=0时失效，说明反 例在数学中的重要性
启示：反例可以帮助我 们更好地理解数学概念， 发现数学定理的局限性， 从而推动数学的发展。
发现错误：通过反例，发现并 纠正几何学中的错误
启发思考：通过反例，启发对 几何学中某些问题的深入思考
教学工具：通过反例，帮助学 生更好地理解和掌握几何学知 识
证明定理：通过构造反例，可以证明某些定理不成立 发现错误：通过反例，可以发现并纠正数学中的错误 启发思考：反例可以启发数学家思考新的数学概念和方法 教学工具：反例可以作为教学工具，帮助学生理解数学概念和定理
证明定理：通过 反例证明某些定 理不成立
揭示问题：揭示 概率论中的某些 问题或错误
启发思考：启发 人们对概率论进 行更深入的思考
教学辅助：在教学 中通过反例帮助学 生理解概率论的概 念和方法
证明定理：通 过构造反例， 证明某些定理
不成立
发现规律：通 过反例，发现 数论中的规律
和性质
解决难题：通 过反例，解决 数论中的难题
证明定理：通过反 例，可以证明某些 定理或假设是错误 的
启发思考：反例可 以启发人们对数学 问题的深入思考， 促进数学的发展
检验方法：反例可 以用来检验数学方 法和理论的正确性
教学工具：反例可以 作为教学工具，帮助 学生更好地理解和掌 握数学概念和方法
PART THREE
证明定理：通过构造反例，证 明某些几何定理不成立
浅谈反例在高等数学教学中的作用-毕业论文
【标题】浅谈反例在高等数学教学中的作用【作者】彭小平【关键词】反例高等数学教学作用【指导老师】刘萍【专业】数学与应用数学【正文】1引言高等数学是培养学生抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，高等数学学习的好坏直接影响到其它学科的学习，在大学学习中占有极其重要的地位.但是，由于内容的高度抽象性与概括性、严密的逻辑性、独特的“公式语言”、简练的表达方式，高等数学常常成为我们学习的第一个难关.如何渡过这第一个难关，学好高等数学？1997年9月，张宏老师在他的《谈谈反例在高等数学教学中的作用》[1]一文中阐述了正确的应用反例，在高等数学的教学和学习中起到事半功倍的效果；内蒙古师范大学数学系旺吉乐先生在他的《谈反例在高等数学教学中的作用》[2]一文中讨论了反例在培养学生数学思维能力方面的功能并通过实例着重探讨了反例在高等数学教学中的作用, 指出“反例教学”是提高教学质量的重要一环, 又是培养学生数学思维能力的不可缺少的手段；南京邮电学院应用数理系丁秀梅老师在她的《反例在高等数学教学中的作用初探》[3]论述了重视和恰当地使用反例,不仅有助于学生全面正确地理解、掌握高等数学的基本概念和基本定理,还有助于激发学生的求知欲,提高数学思维能力。
我们知道，数学提出问题的主要类型为“若A则B”，如果要说明这一问题是正确的，则要建立严格的证明；但是如果要说明这一问题是不正确的，只要举出一个与结论不符合的例子就足够了.这种用来否定某个结论的例子，通常就称为反例.把使用反例这种数学推理方法应用在高等数学的教学中，有什么样的作用呢？前面这几位学者都作了深入的研究。
本文将更加广泛的来研究反例在高等数学教学中的作用，下面我们来简单谈一谈：2 反例能使学生正确、全面的理解数学基础知识2.1反例能使学生正确、全面的理解概念概念在高等数学中有着举足轻重的作用，学生的逻辑思维能力、空间想象能力、分析运算能力、解决问题的能力都是以清晰、正确的概念为基础的.从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念的掌握程度.而数学概念本身是抽象的.引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、加工、深化过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性.通过构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，帮助我们严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质，从而学好高等数学.例1：在学习数列极限的—N时，我们可以提出这样的问题.若，当n>N时，数列中有无穷多项满足 .是否有？解：答案是否定的.我们可以设，对有，但是，该数列显然是无极限的.用这个小小的反例简洁的否定了这种错误的认识，因为虽有无穷多项满足，但是也可能有无穷多项不满足 .而数列极限的定义当中要求当n>N时，所有的都满足，即不满足的至多为有限项.经过这一反例的判断和分析，学生自然对—N定义的本质有了进一步的认识，对定义的要求也有了更明确的理解.又如：在学习导数概念的时候，对差商的极限，即(2─1)存在的话，就说函数在点可导，有的学生理解不深，认为定义中的是可以指定的，而忽略了是任意的.为了帮助学生对导数概念准确的理解，可以举如下反例加以说名：函数对于，因为同为有理数或同为无理数所以(2─2)故(2─3)根据导数的定义，要求学生回答：此函数在点x处的导数为零吗？肯定有学生回答存在且等于零.老师可以继续提问，函数在定义区间上连续吗？有学生回答函数在内处处间断.这样说明函数在任何点都没有导数.通过这个例子，老师可以向学生讲清楚导数定义中的自变量的增量必须是趋向于零的任意量，它不能只是按某些特定的方式趋向于零.2.2反例能使学生分清定理中条件的充分性和必要性弄清楚数学问题中的充分条件和必要条件,有利于对数学问题的研究, 也有利于对定理的理解.反例能帮助学生分清定理中条件的充分性和必要性.例2：在复合函数的求导法则中, 在点u可导,而又在点可导,这个条件是在处可导的充分条件, 还是必要条件, 还是充分必要条件,学生分不清, 难以回答.即使老师告诉答案,学生也理解不透.但是,如果用反例来说明,学生不但能分清楚,而且还能深刻理解,牢固掌握.如：，，在点不可导，，在x=0点也不可导，但是在x=0处是可导的.因为(2─4)所以│x=0=1(2─5)此例说明复合函数求导法则中的条件是充分的,但并非必要条件.又如在定积分中值定理中，对函数在［］上连续这个条件，大部分同学都认为是使(2─6)成立的充分必要条件.其实不然，在闭区间不连续的可积函数，却可以有积分中值定理的结论.如：在x=0不连续，且，若取，则显然有(2─7)此反例说明,闭区间上连续函数乃是积分中值定理存在的充分条件,并非必要条件.2.3 反例能使学生明确定理、法则、公式中条件的严密性数学本身就是严密性很强的一门科学.在教学过程中，尽管教师把定理、法则、公式讲得十分深刻、十分彻底.但是学生运用时仍然忽视定理、法则、公式的条件，造成错误.恰当的反例可以帮助学生认识定理中条件的严密性.例３：Roll中值定理要求函数同时满足三个条件：１）在闭区间［］上连续；２）在开区间（）内可导；３）在闭区间两端点处的函数值相等，即 .为了说明Ｒoll中值定理中这三个条件是必不可少的，可以用反例来说明.如：（a）令判断是否存在使得成立？该例子中的函数除了不满足罗尔定理中的第一个条件外(因在在处不连续) 满足其余两个条件,但是不存在一点使得成立这个例子说明罗尔定理中的第一个条件是必不可少的.（b）设，判断是否存在使得成立?该例子中的函数除了不满足罗尔定理中的第二个条件外(因在处不可导) 满足其余两个条件， ,显然不存在使得成立.这个例子说明罗尔定理中的第二个条件是必不可少的.（c）设 ,判断是否存在使得成立?该例子中的函数除了不满足罗尔定理中的第三个条件外(因为 ) 满足其余两个条件, 显然不存在使得成立.这个例子说明罗尔定理中的第三个条件是必不可少的. 2.4 反例可以发现和纠正学习中存在的错误学习过程是一个知识积累的过程, 同时也是不断发现错误、改正错误的过程, 反例在辨析错误的过程中具有直观、明显、说明力强等突出特点.通过反例教学, 不但可以发现学习中存在的错误和漏洞, 而且可以从反例中修补相关知识, 从而获得正确结论或解答. 例4：在我们学习了“函数和的定积分等于它们积分的和”这个性质后，大家就想当然的把它推广到无限和的情形，但是无限个函数和的定积分可以不等于各个函数积分的和.如：因为所以即在闭区间[0，1]上恒有 .所以(2─8)但是= ,于是 = (2─9)所以有(2─10)此例说明了“函数和的定积分等于它们定积分的和”这一性质不能够无条件地推广到无限项和的情形.又如：我们在学习二元函数的连续、偏导、可微的时候，不少同学想当然的将一元函数的这些概念迁移过来.如果是正确的，当然是好的，但是是正确的吗？我们来看一看：函数在处存在两个偏导数，即，，但是它在处不连续.此例可以说明“偏导一定连续”是错误的.3 反例可以培养学生的科学的数学思维方法学习数学的目的在于培养我们的思维能力，通过数学知识的传播和数学思想方法的熏陶，使我们形成良好的思维品质，科学的数学思想方法.这就要注意培养我们思维的灵活性、思维的批判性、思维的严谨性和思维的广阔性.而反例在培养我们科学的思维方法中起到了正面例题所起不到的作用.如反例可以使我们可以克服定势思维、培养我们的发散思维能力.3.1 反例是克服定势思维的有力手段在学习过程中，学生在教师习惯性程序影响下容易形成固定的思维模式，即定势，它是发散的基础，没有一定的定势储备，便没有灵活的发散.但是受定势和习惯的影响便会产生“墨守成规”、“机械记忆”、“被动模仿”等负面影响，容易形成思维的障碍，反例正是解决这一弊端的有效方法.学生学完洛必塔法则入获至宝，认为符合条件的都能求解，形成定势思维.为了消除这样的定势思维，我们可以举出反例例5：，我们有，，所以(3─1)但是(3─2)仍然是不定式，再用洛必塔法则又回来到原来的比式，无法得到最终结果.3.2 反例是培养发散思维的重要途径著名数学教育家波利亚强调要教会学生会猜想，而高等数学教学现状是偏重于形式论证、逻辑推理的严密性，这对培养学生的创新能力来说是不利的.而反例的运用恰恰能够培养学生思维的批判性，发展逆向思维和发散思维，有利于创新思维能力的提高.所以，在教学过程中要鼓励学生敢于提出问题、敢于猜想，将定理的条件改变一下，加强或减弱，看看对结论会有什么样的影响？能否将定理的结论推广延伸等等.也就是要求学生不仅仅局限于证明现成的定理和习题，而是着眼于发现创新，自己提出问题，猜想结果，这时反例常常会发挥出意想不到的威力.例6：对于正项级数（D’Alembert）判敛法陈述为：若则当时级数收敛；当（或）时级数发散.当时判别法失效，这意味着时级数可能收敛也有可能发散.教师可以即时的构造反例加以说明，事实上收敛和发散的反例分别为和 .当然（D’Alembert）判敛法还有可能由于的跟本不存在而失效，进而引发学生去发现创造比（D’Alembert）判敛法更有效的判别方法.此时反例又的作用又得到了充分的展示.如：判定级数的敛散性.若用（D’Alembert）判敛法，则(3─3)故不存在，（D’Alembert）判敛法失效，但不能得到这个级数是收敛的还是发散的结论.事实上此级数是收敛的.利用Cauchy判别法有(3─4)故此级数是收敛的.又如：发散级数此时，， .所以不存在.进而得到（D’Alembert）判敛法极限不存在的推广形式：(3─5)但是注意到推广形式仍然可能由于 1 而失效.由此可见，在高等数学教学过程中构造恰当的反例，利用帮助学生深刻理解基本概念和重要定理，清楚的看到猜想和反驳在数学学习过程中的重要性，对培养学生的发散思维能力是十分有益的.4 反例可以培养学生的创新思维能力反例和证明一样推动了数学学科的发展，数学的发现也是朝着提出证明和构造反例这两个主要目标前进的.与证明一样,反驳也是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例(反驳的主要方式之一) 带有一定的技巧性,有时是费力的.它不仅与基础知识掌握的程度有关,还涉及到知识面的宽窄等等.所以在教学中除列举一些反例之外,在适当的时候,让学生自己构造反例,这对学生是很好的锻炼.事实上,反例的引出、构造、对命题的再分析??重视和体验这样的过程,不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力,也能提高分析问题和解决问题的能力, 增加数学素养.在教学中重视和恰当地应用反例,不仅可以调动学生的学习积极性, 养成重视条件、严格推理的习惯,而且还可以提高学生的数学能力、学习能力和创新能力.巧妙的一个反例便可否定似乎经过严格“证明”的结论, 因此, 有人误认为构造反例比证明轻松, 但实际上, 构造反例并不像证明那样有清晰可循的逻辑途径, 而给人一种不可捉摸的感觉, 因而, 需要更高的数学素养和勇于创新的能力.一般说来, 许多反例的构造并不是惟一的, 这就从另一方面给学生提供了培养创造性能力的多种途径.因此在教学中, 除教师应用反例教学外, 指导学生构造反例对提高他们的创造能力有良好的作用, 使学生在构造反例的过程中学会创新, 养成勤于探索, 不断进取的良好习惯.例7：例如在学习了商的极限法则后, 为强化学生对分母的根限不为零这一条件的注意, 设计了题目：若则必有以下结论吗?(4─1)我们可以举如下反例:我们设 ,那么 ,即没有意义那么就有(4─2)又如在学习了级数后为区分正项级数与任意项级数的不同, 设计了题目: 若级数收敛, 则级收敛吗?构造反例和给出证明, 不论是从纯数学的角度还是从数学教学的角度来看, 都起着同等重要的作用.通过构造反例, 可深化对知识的理解, 辨析错误, 发现数学真理, 培养创新能力和良好的思维品质.在数学教学中, 恰当地使用反例, 引导学生去构造反例, 将有助于教学质量的提高和学生数学素质的培养.5 反例有助于激发学生的求知欲有些问题稍作变化,再交给学生,在新旧的比较和思索中,往往能引起学生的兴趣.而通过教师有效的引导和学生积极的讨论, 许多反例将被举出.例如对于绝对值函数,我们可以提出下面一系例8：列命题让学生判断:(1) 若在点连续,则在点也连续; (是)(2) 若在点连续,则在点也连续; (非)(3) 若在点可导,则在点也可导; (非)(4) 若在点可导,则在点也可导. (非)又如学习洛必达法则时,我们可以提出这样的问题:若符合洛必达法则的条件, 通过该法是否就一定能求得极限呢? 只需举一反例:(5─1)在接连使用该法则的过程中总是出现不定式且发生循环现象.学生一旦发现这一反例中的恶性循环,便感到惊奇,引起解题的兴趣.像这些学生易犯而又意识不到的错误, 一经提出, 就会使学生感到诧异.因为学生有强烈的了解“为什么”的愿望,所以接下来反例的构造或列举自然会引起我们格外的注意.6 结束语从以上论述我们可以看出，反例在高等数学教学中的运用，对于准确理解定义、定理，正确运用所学知识，培养学生的数学能力，激发学生的求知欲，确实起到了事半功倍的效果.在教学过程中，我们应充分发挥它的作用.。
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用
数学是一门综合性学科，其中运用了证明、推理和假设等复杂的理论，对学生进行数学教学时，需要从不同的角度和多种方式来探讨和推动学生的学习进度。
通常给学生展示正例是广泛应用的一种教学方式，而反例在数学教学中也有重要的作用，具有十分重要的教育意义。
首先，反例在数学教学中能够更好地帮助学生理解知识点，这是因为正例可以提供一种假设，然后反例可以扩展该假设的有效范围。
比如，在学习内容是“定义域和值域”时，可以以反例的方式提出，“给定函数f(x) = x2 3x + 2，它的定义域是什么？该函数的值域是什么？”这样的反例，针对性更强，可以让学生对具体问题有更深刻的理解。
其次，反例能够有效地发展学生的创造能力和思维能力。
数学是客观性学科，学习时仅通过实例来理解规律是比较吃力的，只有借助反例，学生才能更清晰地看到数学规律，从而促进了学生学习兴趣和思维能力的培养。
另外，学生通过反例也可以善于发现问题，在解决实际问题时更具有创新能力。
最后，反例在数学教学中还有一个重要的作用，就是可以有效地帮助学生提高数学处理能力，这是因为反例提供的情景比正例更加完整，学生必须具备良好的数学处理能力才能解决问题。
比如，如果使用反例来教授“函数f(x)的导数”，而不是直接明示f(x)的导数，学生必须具备一定的处理能力，才能计算出函数f(x)的导数。
以上是反例在数学教学中的作用。
反例是一种有效的教学方式，能够使学生受益匪浅。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用一、引言数学是一门具有抽象性、逻辑性和形式性特点的学科，对于学生来说，理解数学概念和定理常常需要进行抽象思维和逻辑推理。
在初中数学教学中，为帮助学生更好地理解和掌握数学知识，教师可以通过使用反例的方法，引导学生深入思考、发现规律，从而提高他们的数学思维能力和问题解决能力。
二、反例的概念和作用反例是指通过举出一个与所要证明或阐述性质相违背的具体例子，从而使所要证明的命题不成立或所要阐述的性质无效。
在数学教学中，反例可以用来引导学生对数学问题进行深入思考，帮助他们理解概念、发现规律、提高数学思维能力。
具体作用有以下几点：1. 检验定理的正确性：通过反例可以验证定理的正确性，帮助学生理解和掌握定理的内涵和外延，避免一些误解和迷惑。
2. 引发思考和发现规律：通过展示反例，可以引导学生主动发现问题的本质和规律，激发他们的学习兴趣。
3. 推动思维发展：通过解决反例问题，学生需要运用逻辑推理、分析判断等思维方法，从而提高他们的数学思维能力和问题解决能力。
4. 培养数学直观：反例可以帮助学生抽象化、形式化的数学概念具体化，提高他们的数学直观和几何空间想象能力。
三、反例在初中数学教学中的具体运用1. 反例检验命题的正确性在教授某个定理时，教师可以提出一个命题，并要求学生验证其正确性。
学生可以通过构造一个反例来验证该命题是否成立，从而加深对定理内涵的理解。
在学习平行线的性质时，教师可以提出“两条平行线一定会相交”的命题。
学生可以通过画图构造两条平行线，并发现它们始终不会相交的反例，从而验证该命题的不成立性。
2. 反例引导思考、发现规律在课堂中，教师可以通过展示一个反例，引导学生主动思考和发现问题的本质和规律，从而激发他们的学习兴趣和探索欲望。
在学习因式分解时，教师可以给出一个多项式，要求学生将其进行因式分解。
学生可能通过试错法，先对其进行试除，发现无法被整除，再尝试其他方法，最终找到正确的分解方法。
反例在数学教学中的运用
反例在数学教学中的运用在数学教学中，反例是一种非常重要的教学策略，可以帮助学生更好地理解和掌握数学概念和定理。
反例指的是通过给出一个特殊情况的例子，来否定一个命题或者证伪一个定理。
通过引入反例，可以帮助学生更好地理解和记忆数学的抽象概念，培养他们的推理能力和创新思维。
一、引发兴趣和好奇心在数学教学中，引入反例可以帮助激发学生对数学的兴趣和好奇心。
传统的数学教学通常是基于一般规律和定理来进行讲解和推导，这样容易让学生产生距离感，并且难以理解和记忆。
而通过引入反例，可以让学生从一个特殊的例子开始思考和探索，从而引发他们对数学问题的兴趣和好奇心。
例如，在讲解负数乘法时，可以引入一个反例：(-2)×(-3)=6，这个例子直观地展示了负数乘法规律的异常，引发学生思考、质疑和探索。
二、帮助理解抽象概念数学中存在很多抽象概念，如零的性质、负数的性质等等，这些概念对于许多学生来说很难理解和掌握。
通过引入反例，可以将抽象的概念具体化，使其更易于理解。
例如，在讲解零乘法时，可以引入一个反例：0×2=1，这个反例可以帮助学生理解零与任何数相乘都等于零的规律。
同样，可以引入反例来帮助学生理解其他数学概念，如对角线不一定相等、平行线不一定没有交点等等。
三、矫正错误观念学生在学习过程中往往会形成一些错误的观念和惯性思维。
而通过引入反例，可以帮助学生纠正错误观念，从而更好地掌握和理解数学概念和定理。
例如，在讲解奇数相乘和偶数相乘的特性时，可以引入反例：3×5=15（奇数相乘为奇数），4×6=24（偶数相乘为偶数），通过这两个反例可以帮助学生纠正“奇数相乘为偶数”和“偶数相乘为奇数”的错误观念。
四、培养推理能力引入反例可以培养学生的推理能力和思维方式。
通过分析反例，学生需要从中发现规律，进而得出一般结论。
这种思维过程可以帮助学生培养逻辑思维和推理能力。
例如，在讲解直角三角形的性质时，可以引入一个反例：两条边长相等的三角形不一定是直角三角形，通过这个反例学生可以发现只有两条边长相等并且夹角为90度的三角形才是直角三角形。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用引言：反例是数学教学中一个非常重要的概念和方法。
它指的是通过举出一个例子，证明一个命题为假。
在初中数学教学中，我们通常用反例来帮助学生更好地理解和掌握抽象的数学概念，培养他们的逻辑思维和推理能力。
本文将以初中数学教学中常见的几个概念为例，探讨反例在数学教学中的运用方法。
一、分数的加减乘除分数是初中数学中一个比较抽象和难以理解的概念。
为了帮助学生更好地理解和掌握分数的加减乘除运算规律，我们可以通过反例来进行教学。
在教学分数的加法时，我们通常会告诉学生分母相同的分数可以直接相加，而分母不同的分数需要化为相同分母再相加。
我们也可以通过一个反例来帮助学生理解这个规律。
我们可以举出一个例子：1/2 + 1/3 = 5/6，这个例子就是一个反例，它告诉学生分数的加法并不一定遵循分母相同就可以直接相加的规律。
同样的道理，在教学分数的减法、乘法和除法时，我们也可以通过反例来帮助学生更好地理解和掌握相应的运算规律。
这样，学生就能够通过实际的例子来感受到分数的加减乘除运算规律，从而更好地理解和掌握这些概念。
二、几何图形的性质几何图形的性质是初中数学中一个非常重要的内容。
为了让学生更好地理解和掌握几何图形的性质，我们可以通过反例来进行教学。
在教学平行四边形的性质时，我们通常会告诉学生对角线互相平分和相互等长。
我们也可以通过一个反例来帮助学生理解这个性质。
我们可以举出一个例子：一个不是矩形的平行四边形，它的对角线不互相平分和相互等长。
这个例子可以让学生明白，只有矩形才满足对角线互相平分和相互等长的性质。
在教学函数的定义时，我们通常会告诉学生每个自变量对应一个唯一的因变量。
我们也可以通过一个反例来帮助学生理解这个定义。
我们可以举出一个例子：f(x) = x^2，这个函数就不满足每个自变量对应一个唯一的因变量的性质。
在数学课堂教学中反例的作用
在数学课堂教学中反例的作用苏轼曾有诗云“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。
当你对某一问题百思不得其解时，如果跳出问题本身，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外收获。
所以在小学数学教学中，教师不仅应从正面讲清概念、性质、法则、公式等基础知识，还需要通过恰当列举反例启发引导学生从反面揭示知识的本质，让学生在反例的辨析中全面深刻地认识事物的内涵与外延。
一、克服认识缺陷，获得正确认识小学数学同其他学科相比具有更高的抽象性和概括性。
但由于小学生的整体感知往往是笼统的、不精细的，他们往往不能一下子看出事物的主要方面或特征，以及事物各部分之间的联系，从而产生错误的认识。
因此，运用反例进行教学有利于克服小学生这一感知上的缺陷。
如，在教学分数的概念时，小学生容易得出以下笼统而粗浅的分数概念：把单位“1”分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
他们忽略了至关重要的“平均分”。
此时教师可以出示以下反例：把一个长方形分成大小不均的两份（出示图），每份是不是这个长方形的二分之一？让学生辨析并说明理由。
通过错例辨析，学生明白了只有“平均分”才会得出分数1/2。
又如，学生在学完小数的基本性质后，容易理解成去掉小数点后面的0，小数的大小不变。
这时我出示“5.002=5.2”，让学生辨析正误。
学生通过讨论，发现去掉小数点后面的0，小数的大小发生了变化。
通过辨析，学生理解了“小数末尾”和“小数点后面”的区别，从而真正掌握了小数的基本性质。
反例凸显了所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进了学生对所学知识的全面深刻理解。
二、克服学生因思维定式影响而产生的负迁移由于小学生的概括能力、分析能力较低，他们不可能一下子就牢固地掌握基础知识，因此他们在新知识的学习过程中容易产生负迁移。
运用反例进行教学是防止、克服这一弱点的好办法。
学完分数的乘除和加减混合运算后，有些学生常常产生因简便运算的定式影响而带来运算顺序负迁移。
如：①×÷×=1；②0.8 +1.2÷4=0.5。
反例在小学数学教学中的作用
反例在小学数学教学中的作用在小学数学教学中，经常要用到反例：反例，就是故意变换事物的本质属性．使之质变为其他知识，在引导思辩中，从反面突出事物的本质属性的否定例证。
这样做有助于学生从正反两方面辩证地思考问题，促进学生全面、深刻地认识事物的内涵与外延，培养学生思维的深度。
一、深化概念的常用手段小学生的感知具有范围窄小。
不精确等特点，很难同时注意几件事物，常会出现“丢三落四”的现象，所以对一个有丰富内涵的概念来说，学生在感知过程中，可能只会抓住感知对象的部分本质特征．而丢掉另外一部分本质特征．形成错误的概念。
例如，学习“等腰直角三角形”知识时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富，由“等腰”“直角”“三角形”三方面组成+一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至丢了三角形三条边“首尾相连”的性质。
此时要举反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。
另外“等腰”“首尾相连”等。
性质亦可如是强调、因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数学反例，凹显出所学知识中易为学生忽视的本质属性．促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。
二、理解新知的有力工具数学是一门严密的科学，是由知识点编织而成的稳固的网络系统，当一个新的知识点纳入原有知识结构时，学生常凭直观或想当然去理解它，这样往往会“失之毫厘，谬以千里”。
小学数学教学中．不仅要运用正确的例子深刻阐明新的知识，而且要运用恰当的反例，通过新、旧知识的对比，突出新知识的特点，从而真正理解新知识的本质。
例如，学生在学过整除之后，学习有余数除法，两者相比，对余数的处理以及引起的试商方法是教与学的难点和特点，为突出“余数比除数小”的特点，教学中出示如下反例：。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用初中数学教学中，反例具有重要的作用。
反例可以帮助学生理解知识点的本质，辨别正确与错误的推理，加深对数学概念的理解，提高数学思维能力等。
下面从数学教学中几个角度来探讨反例的运用。
一、辨别正确与错误的推理在数学教学中，常常会给出一个命题并要求学生证明其正确性。
此时，反例可以用来帮助学生辨别正确与错误的推理。
例如：正误命题：对于任意正整数 a、b，若 a+b 是奇数，则 a 和 b 必须一个是奇数，一个是偶数。
学生可能会直接用分类讨论法进行证明，但这种做法可能会感到比较繁琐。
此时，我们可以借助反例的思想来帮助学生更快、更简单地完成证明。
我们可以让学生举两组（a,b）使得 a+b 是奇数的反例，然后再分别讨论这两组反例中 a 和 b 的奇偶性，从而找到规律并证明原命题错误。
二、加深对概念的理解在数学教学中，反例可以用来帮助学生加深对概念的理解。
例如：定义：平方数是某个正整数的平方，例如 1、4、9 等。
学生有时候难以理解这个概念，很可能会以为只要是正整数就是平方数。
此时，我们可以通过举出非平方数的反例来加深学生对平方数的理解。
我们可以让学生分别判断 2、3、5、6、7、8、10 等数是否是平方数，从而使学生对平方数的概念有更加准确的认识。
三、发现问题、提高数学思维能力在数学教学中，反例不仅可以帮助学生理解知识点，也可以帮助学生发现问题、提高数学思维能力。
例如：问题：有一个班级，里面有 31 个学生。
他们每一个人的身高都在 1.4~1.8 米之间。
证明：这个班级里面至少有两个人的身高相差不超过 0.04 米。
此题中，如果学生直接进行分类讨论，可能会感到比较棘手。
此时，我们可以让学生尝试用反证法解决问题。
假设班级中不存在两个学生的身高相差不超过 0.04 米，然后找出两个身高相差最接近但又不相同的学生进行讨论，从而找出问题所在并进行证明。
通过这样的练习，学生不仅能够掌握反证法的使用方法，还能够提高自己的数学思维能力。
例谈反例教学在数学学习中的作用
例谈反例教学在数学学习中的作用从逻辑学上讲，若说明一个命题是正确的，必须经过严密的推证；而要说明一个命题是错误的，却只须举出一个“反例”，即举出一个符合命题的条件而不符合该命题的结论（或与某一已经证实的正确结论）的示例就可以了，这种与命题相矛盾的示例即称为反例.对于一个命题来说，反例是简明有力的否定方法；而对于学生的学习过程来说，它又是加深对概念、定理等数学对象理解的重要手段，更是我们认识一个新问题（或新数学对象）过程中的认知规律之一.在数学教学中教师若能通过反例的教学，对学生所犯的错误加以剖析，让学生从分析中认识到“错误”产生的原因，这对学生准确而深刻地把握概念，掌握知识与方法，预防知识性或方法性的错误，乃至提高学习数学的兴趣，形成严谨的思维品质，都将会起到积极的作用.一、运用反例，深入概念内涵，拓展概念外延教育心理学研究表明：“概念或规则的正例传递了最有利于辨别的信息.”即人们在获得一个正确认识的过程中，往往要经过正反两方面的比较和鉴别，才能完整地将新的认知“同化”于原有的认知结构之中.因为正面示例，只是回答了什么情况下“是”的问题，而“反例”显然通过另一个侧面抓住该概念的本质，回答了什么情况下“不是”的问题，即从认知的反方向，帮助学生加深对概念的认识.例1在学习定理“两边极其夹角对应相等的两个三角形全等”时，同学们自然想到结论“有两边及其中一边的对角对应相等”，教师可以引导学生动手画图，寻找是否会出现“例外”的情况，结果会出现这样的反例：如图，在△ABC 和△ABD中，AB=AB，BC=BD，∠A=∠A，但△ABC与△ABD不全等.由此可以引导学生思考：需要再添加什么条件两个三角形就全等了，由画图可知，只要两个三角形都是锐角三角形，它们就全等了.二、引入反例，深刻理解定理，全面掌握性质学生在学习一个新的定理、性质时，往往会因为种种原因而忽略定理、性质中语的理解与挖掘，从而造成认知“缺陷”，导致问题解决时的错误运用.若在教学中恰当引入反例，可以帮助学生牢记定理的语，并从“认知策略”上全面认识和掌握新知识，继而形成良好的思维习惯与方式.三、构造反例，准确把握法则，灵活运用公式新课程要求变革传统、单一的课堂，让学生有机会在产生知识的过程中学习.心理学家对人类认知活动的研究表明：对一个新事物的理解与运用，只有建立成功的经验和失败的教训的互相作用之下，有了一定的过程，才能真正地正确理解及灵活运用.数学中的很多性质、法则都是以公式的形式出现的，它们也一般都有一定的适用范围.运用过程中，学生出一点错误本属正常现象.但是，教师应该让这种“正常”现象，尽快地在学生的认知过程中“自觉”消失.教学中若有目的地恰当引用一些反例，能加深学生对公式、法则的适用条件的认识与理解，使他们达到对公式、法则有效的理解与掌握，从而在对比中积累“灵活运用”的机智，让这种“正常”现象化归“不正常”，最终从暂存的记忆中抹去.四、借助反例，增强防范意识，提高纠错能力由命题结构可知，中学范畴的数学结论可划分为三类：①充要条件型，②充分条件型，③必要条件型.特别是②③两种类型，在问题解决的应用时，学生经常会出现差错，并且极不易发现错误所在.倘若让学生在“反例”和“反问”中探索、讨论，则可增长“策略性知识”，修正原有的“陈述性知识”模块，提升其思维的准确性和防错意识，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法.例4已知关于x的方程x2-mx-m+3=0的两个根都大于-5，求m的取值范围.错解由题意得，x1-5，x2-5，Δ≥0，所以x1+x2=m-10，x1x2=-m+325，Δ=m2-4（-m+3）≥0，即m-10，m-22，m≥2或m≤-6，所以这样的m不存在.反例若取m=2时方程为x2-2x+1=0，它的两个根为1都大于-5.所以这道题并非无实数解.所以上述解答是错误的.事实上，x1-5与x1+x2-10x1x225并不等价.前者是后者的充分条件，但不是必要条件，其错误的原因是将充分条件当作“充要条件”使用了.新课程改革要求教师帮助学生设计恰当的学习活动和形成有效的学习方式.数学教学中，适时地、恰当地引入一些反例，对于巩固和掌握概念、公式、定理和法则，培养和发展学生的思维能力，特别是批判思维、逆向思维和逻辑思维能力，活跃课堂气氛，都有着不可估量的作用.。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用
反例是指一个命题的反命题或者是一个错误的示例。
在初中数学教学中，反例是一种非常有用的教学方法，可以帮助学生更好地理解和掌握数学的概念和性质。
下面将详细介绍反例在初中数学教学中的运用。
反例可以帮助学生纠正错误的观念和思维方式。
在学习数学的过程中，学生可能会对一些概念和定义有一些误解或者错误的理解。
通过给学生展示一个具体的反例，可以让他们发现自己的错误，并重新修正自己的观念。
在讲解直角三角形的时候，老师可以给学生举一个不是直角三角形的例子，比如边长相等的等边三角形，让学生发现直角三角形的特点并纠正错误的观念。
反例可以帮助学生深入理解数学概念的本质。
有时候，学生只是机械地记住了一些规则和定义，却没有真正理解其背后的意义和原理。
通过给学生展示一些反例，可以帮助他们思考为什么这个规则或者定义是成立的。
在讲解加法交换律的时候，老师可以给学生举一个不满足加法交换律的例子，比如3+4和4+3的结果不相等，让学生思考为什么加法交换律在一般情况下是成立的。
反例还可以帮助学生提高数学问题解决能力。
在解决数学问题的过程中，学生可能会遇到一些困难和挑战。
通过给学生展示一些反例，可以帮助他们更好地思考和解决问题。
在讲解因式分解的时候，老师可以给学生一个不能因式分解的多项式，让学生思考如何解决这个问题。
通过解决这个问题，学生可以提高自己的问题解决能力和思维能力。
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例谈反例教学在数学学习中的作用从逻辑学上讲，若说明一个命题是正确的，必须经过严密的推证；而要说明一个命题是错误的，却只须举出一个“反例”，即举出一个符合命题的条件而不符合该命题的结论（或与某一已经证实的正确结论）的示例就可以了，这种与命题相矛盾的示例即称为反例.
对于一个命题来说，反例是简明有力的否定方法；而对于学生的学习过程来说，它又是加深对概念、定理等数学对象理解的重要手段，更是我们认识一个新问题（或新数学对象）过程中的认知规律之一. 在数学教学中教师若能通过反例的教学，对学生所犯的错误加以剖析，让学生从分析中认识到“错误”产生的原因，这对学生准确而深刻地把握概念，掌握知识与方法，预防知识性或方法性的错误，乃至提高学习数学的兴趣，形成严谨的思维品质，都将会起到积极的作用.
一、运用反例，深入概念内涵，拓展概念外延
教育心理学研究表明：“概念或规则的正例传递了最有利于辨别的信息. ”即人们在获得一个正确认识的过程中，往往要经过正反两方面的比较和鉴别，才能完整地将新的认知“同化”于原有的认知结构之中. 因为正面示例，只是回答了什么情况下“是”的问题，而“反例”显然通过另一个侧面抓住该概念的本质，回答了什么情况下“不是”的问题，即从认知的反方向，帮助学生加深对概念的认识.
例1 在学习定理“两边极其夹角对应相等的两个三角形全等”时，同学们自然想到结论“有两边及其中一边的对角对应相等”，教师可以引导学生动手画图，寻找是否会出现“例外”的情况，结果会出现这样的反例：如图，在△abc和△abd中，ab = ab，bc = bd，∠a = ∠a，但△abc与△abd不全等. 由此可以引导学生思考：需要再添加什么条件两个三角形就全等了，由画图可知，只要两个三角形都是锐角三角形，它们就全等了.
二、引入反例，深刻理解定理，全面掌握性质
学生在学习一个新的定理、性质时，往往会因为种种原因而忽略定理、性质中关键词语的理解与挖掘，从而造成认知“缺陷”，导致问题解决时的错误运用. 若在教学中恰当引入反例，可以帮助学生牢记定理的关键词语，并从“认知策略”上全面认识和掌握新知识，继而形成良好的思维习惯与方式.
三、构造反例，准确把握法则，灵活运用公式
新课程要求变革传统、单一的课堂，让学生有机会在产生知识的过程中学习. 心理学家对人类认知活动的研究表明：对一个新事物的理解与运用，只有建立成功的经验和失败的教训的互相作用之下，有了一定的过程，才能真正地正确理解及灵活运用. 数学中的很多性质、法则都是以公式的形式出现的，它们也一般都有一定的适用范围. 运用过程中，学生出一点错误本属正常现象. 但是，教师应该让这种“正常”现象，尽快地在学生的认知过程中“自觉”消失. 教学中若有目的地恰当引用一些反例，能加深学生对公式、
法则的适用条件的认识与理解，使他们达到对公式、法则有效的理解与掌握，从而在对比中积累“灵活运用”的机智，让这种“正常”现象化归“不正常”，最终从暂存的记忆中抹去.
四、借助反例，增强防范意识，提高纠错能力
由命题结构可知，中学范畴的数学结论可划分为三类：①充要条件型，②充分条件型，③必要条件型. 特别是②③两种类型，在问题解决的应用时，学生经常会出现差错，并且极不易发现错误所在. 倘若让学生在“反例”和“反问”中探索、讨论，则可增长“策略性知识”，修正原有的“陈述性知识”模块，提升其思维的准确性和防错意识，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法.
例4 已知关于x的方程x2 - mx - m + 3 = 0的两个根都大于-5，求m的取值范围.
错解由题意得， x1 > -5，x2 > -5，δ≥ 0，所以x1 + x2 = m > -10，x1x2 = -m + 3 > 25，δ = m2 - 4（-m + 3）≥ 0，即m > -10，m -5x2 > -5与x1 + x2 > -10x1x2 > 25并不等价. 前者是后者的充分条件，但不是必要条件，其错误的原因是将充分条件当作“充要条件”使用了.
新课程改革要求教师帮助学生设计恰当的学习活动和形成有效的学习方式. 数学教学中，适时地、恰当地引入一些反例，对于巩固和掌握概念、公式、定理和法则，培养和发展学生的思维能力，特别是批判思维、逆向思维和逻辑思维能力，活跃课堂气氛，都有
着不可估量的作用.。