数列测试题及答案
数列测试题及答案
数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列\( a_n \)的通项公式为\( a_n = 3n - 1 \)，那么第10项的值为：A. 29B. 28C. 27D. 26答案：A2. 若数列\( b_n \)的前n项和为\( S_n \)，且\( S_n = n^2 \)，求数列\( b_n \)的第3项：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题1. 给定等差数列\( c_n \)，首项\( c_1 = 5 \)，公差\( d = 3 \)，其第5项为________。
答案：202. 若数列\( d_n \)是等比数列，且\( d_1 = 2 \)，公比\( q = 4 \)，求第4项：________。
答案：64三、解答题1. 已知数列\( e_n \)的前n项和为\( S_n \)，若\( S_3 = 21 \)，\( S_5 = 45 \)，求\( e_4 + e_5 \)。
解：由题意得\( e_4 + e_5 = S_5 - S_3 = 45 - 21 = 24 \)。
2. 某等差数列的前5项和为50，且第3项为15，求该数列的首项和公差。
解：设该等差数列的首项为\( a \)，公差为\( d \)，则有：\[ 5a + 10d = 50 \]\[ a + 2d = 15 \]解得：\( a = 5 \)，\( d = 5 \)。
四、证明题1. 证明等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。
证明：设等差数列\( f_n \)的首项为\( f_1 \)，公差为\( d \)，任取两项\( f_m \)和\( f_n \)（\( m < n \)），则它们的等差中项为\( f_{\frac{m+n}{2}} \)。
根据等差数列的性质，有：\[ f_{\frac{m+n}{2}} = f_1 + \left(\frac{m+n}{2} -1\right)d \]而算术平均数为：\[ \frac{f_m + f_n}{2} = \frac{f_1 + (m-1)d + f_1 + (n-1)d}{2} = f_1 + \frac{(m+n-2)d}{2} \]由于\( \frac{m+n}{2} - 1 = \frac{m+n-2}{2} \)，所以两者相等，证明了等差中项等于算术平均数。
数列测试题(附答案)
阶段性测试题五(数列)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(理)(2011·江西南昌市调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] 设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋nn －12d ，∴{S n n }是首项为a 1，公差为d2的等差数列，∵S 33－S 22＝1，∴d2＝1，∴d ＝2. 2．(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.3．(理)(2011·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定[答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．4．(2011·潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12[答案] C[解析] ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5－12. 5．(2011·北京日坛中学月考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，则该数列前2011项的和S 2011等于( )A ．1341B ．669C ．1340D ．1339 [答案] A[解析] 列举数列各项为：1,1,0,1,1,0，…. ∵2011＝3×670＋1，∴S 2011＝2×670＋1＝1341.6．(理)(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24,36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．(理)(2010·西南师大附中月考)在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15>0，S 16<0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是( )A.S 1a 1B.S 8a 8C.S 9a 9D.S 15a 15 [答案] B[解析] 由于S 15＝15a 8>0，S 16＝16a 1＋a 162＝8(a 8＋a 9)<0，所以可得a 8>0，a 9<0.这样S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 8a 8>0，S 9a 9<0，S 10a 10<0，…，S 15a 15<0，…而0<S 1<S 2<…<S 8，a 1>a 2>…>a 8>0，所以在S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是S 8a 8，故选B.8．(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列的( )A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] sin A cos A ＝2cos C ＋cos A2sin C －sin A ⇒2sin A sin C －sin 2A ＝2cos A cos C ＋cos 2A ⇒2cos(A ＋C )＋1＝0⇒cos B ＝12⇒B ＝π3⇒A ＋C ＝2B ⇒A 、B 、C 成等差数列．但当A 、B 、C 成等差数列时，sin Acos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A不一定成立，如A ＝π2、B ＝π3、C ＝π6.故是充分非必要条件．故选A.9．(理)(2010·海口调研)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，若|PF 2|、|PF 1|、|F 1F 2|是公差为正数的等差数列，则△F 1PF 2的面积为( )A ．24B ．22C ．18D ．12 [答案] A[解析] 由题意可知|PF 2|<|PF 1|，所以点P 在双曲线的右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2，又|PF 2|＋|F 1F 2|＝2|PF 1|，即|PF 2|＋10＝2|PF 1|，联立解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，所以△F 1PF 2是以点P为直角顶点的直角三角形，所以面积为12×8×6＝24.10.(理)(2011·海南嘉积中学模拟、四川广元诊断)若数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1a n且a 1＝2，则a 2011等于( )A ．1B ．－12C ．2 D.12[答案] C[解析] a 1＝2，a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12，a 6＝－1，…依次类推，数列{a n }的周期是3，而2011＝3×670＋1，故a 2011＝a 1＝2.11．(理)(2011·豫南九校联考)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1033B ．1034C ．2057D ．2058 [答案] A[解析] a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋1×210－12－1＝210＋9＝1033.12．(理)(2010·青岛质检)在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N *，a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA →，OB →，OC →满足OC →＝a 1OA →＋a 2010OB →，三点A 、B 、C 共线且该直线不过O 点，则S 2010等于( )A ．1005B ．1006C ．2010D ．2012 [答案] A[解析] 由条件知数列{a n }为等差数列，且A 、B 、C 三点共线，∴a 1＋a 2010＝1，故有S 2010＝2010a 1＋a 20102＝1005.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2011·江苏镇江市质检)已知1，x 1，x 2,7成等差数列，1，y 1，y 2,8成等比数列，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则线段MN 的中垂线方程是________．[答案] x ＋y －7＝0[解析] 由条件得x 1＝3，x 2＝5，y 1＝2，y 2＝4，∴MN 的中点(4,3)，k MN ＝1，∴MN 的中垂线方程为y －3＝－(x －4)，即x ＋y －7＝0.14．(理)(2010·无锡模拟)已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )为坐标的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上，则数列{a n }的通项公式为________．[答案] a n ＝n[解析] 由条件知，S n ＝12a n (a n ＋1)，∴S n －1＝12a n －1(a n －1＋1) (n ≥2)，两式相减得a n ＝12(a 2n－a 2n －1＋a n －a n －1)，整理得a n －a n －1＝1，∵a 1＝1，∴a n ＝n .15．(2011·苏北九校联考)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________．[答案]2π3[解析] 由题意，sin 22α＝sin α·sin4α，∴sin 22α＝2sin α·sin2α·cos2α，即sin2α＝2sin α·cos2α， ∴2sin αcos α＝2sin α·cos2α，即cos α＝cos2α， ∴2cos 2α－1＝cos α.∴(2cos α＋1)(cos α－1)＝0. ∴cos α＝－12，∴α＝2π3.16．(理)(2011·浙江宁波八校联考)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a ＋b ＋c 的值为________.a cb 6 1 2[答案] 22[解析] 由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q ＝2，∴b ＝2×2＝4由横行等差知c 下边为4＋62＝5，故c ＝5×2＝10，由纵列公比为2知a＝1×23＝8，∴a ＋b ＋c ＝22.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(理)(2011·四川广元诊断)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝3－b n .①求数列{a n }和{b n }的通项公式；②设c n ＝14a n ·13b n ，求数列{c n }的前n 项和R n 的表达式．[解析] ①由题意得a n ＝S n －S n －1＝4n －4(n ≥2) 而n ＝1时a 1＝S 1＝0也符合上式 ∴a n ＝4n －4(n ∈N ＋)又∵b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ， ∴b n b n －1＝12∴{b n }是公比为12的等比数列，而b 1＝T 1＝3－b 1，∴b 1＝32，∴b n ＝32⎝⎛⎭⎫12n －1＝3·⎝⎛⎭⎫12n (n ∈N ＋)． ②C n ＝14a n ·13b n ＝14(4n －4)×13×3⎝⎛⎭⎫12n＝(n －1)⎝⎛⎭⎫12n，∴R n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n＝⎝⎛⎭⎫122＋2·⎝⎛⎭⎫123＋3·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫123＋2·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －2)⎝⎛⎭⎫12n ＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴R n ＝1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n.18．(理)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n .(1)求b 2，b 3，b 4的值； (2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．[解析] (1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627.(2)⎩⎨⎧b n ＋1＝13S n ①b n＝13Sn －1②①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ，∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2)∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2n ≥2.(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－432n ]1－⎝⎛⎭⎫432＝37[(43)2n －1]． 19．(理)(2011·黑龙江林口四中)已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)设T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n 及数列{a n }的通项．[分析] 从题设入手，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上可得，a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，两边同时加1得a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2，取对数即可解决问题．由第(2)问的形式知可由(1)问继而求出1＋a n 的表达式．则T n 可求．[解析] (1)由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2.∵a 1＝2，∴a n ＋1>1，两边取对数得：lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg1＋a n ＋1lg1＋a n＝2.∴{lg(1＋a n )}是公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg(1＋a n )＝2n －1·lg(1＋a 1) ＝2n －1·lg3＝lg32n －1 ∴1＋a n ＝32n －1(*)∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )＝320·321·…·32n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n －1. 由(*)式得a n ＝32n －1－1.20．(理)(2011·安徽河历中学月考)设曲线y ＝x 2＋x ＋2－ln x 在x ＝1处的切线为l ，数列{a n }的首项a 1＝－m ，(其中常数m 为正奇数)且对任意n ∈N ＋，点(n －1，a n ＋1－a n －a 1)均在直线l 上．(1)求出{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n (n ∈N ＋)，当a n ≥a 5恒成立时，求出n 的取值范围，使得b n ＋1>b n 成立． [解析] (1)由y ＝x 2＋x ＋2－ln x ， 知x ＝1时，y ＝4，又y ′|x ＝1＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x ＋1－1x x ＝1＝2， ∴直线l 的方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2， 又点(n －1，a n ＋1－a n －a 1)在l 上，a 1＝－m ， ∴a n ＋1－a n ＋m ＝2n .即a n ＋1－a n ＝2n －m (n ∈N ＋)， ∴a 2－a 1＝2－m ， a 3－a 2＝2×2－m ， …a n －a n －1＝2×(n －1)－m .各项迭加得，a n ＝2(1＋2＋…＋n －1)－(n －1)m ＋a 1＝n 2－(m ＋1)n . ∴通项a n ＝n 2－(m ＋1)n (n ∈N ＋) (2)∵m 为奇数，∴m ＋12为整数，由题意知，a 5是数列{a n }中的最小项，∴m ＋12＝5，∴m ＝9，令f (n )＝b n ＝n 3－(m ＋1)n 2＝n 3－10n 2， 则f ′(n )＝3n 2－20n ，由f ′(n )>0得，n >203(n ∈N ＋)，即n >203(n ∈N ＋)时，f (n )单调递增，即b n ＋1>b n 成立，∴n 的取值范围是n ≥7，且n ∈N ＋.21．(理)(2011·辽宁丹东四校协作体联考)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，n ＝1,2,3，…. (1)求a 3，a 4，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n －1a 2n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n .证明：当n ≥6时，|S n －2|<1n.[分析] 考虑到递推关系式中的sin n π2和cos n π2，可以对n 分偶数和奇数进行讨论，从而求得数列{a n }的通项公式，然后再求出数列{b n }的前n 项和公式，用数学归纳法进行证明．[解析] (1)因为a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝(1＋cos 2π2)a 1＋sin 2π2＝a 1＋1＝2，a 4＝(1＋cos 2π)a 2＋sin 2π＝2a 2＝4.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k ＋1＝[1＋cos 22k －1π2]a 2k －1＋sin 22k －1π2＝a 2k －1＋1，即a 2k ＋1－a 2k －1＝1. 所以a 2k －1＝k .当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋cos 22k π2a 2k ＋sin 22k π2＝2a 2k . 所以a 2k ＝2k .故数列{a n }的通项公式为 a n＝⎩⎨⎧n ＋12n ＝2k －1k ∈N*2n2 n ＝2kk ∈N*(2)由(1)知，b n ＝a 2n －1a 2n ＝n 2n ，S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n2n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1.所以S n ＝2－12n －1－n2n＝2－n ＋22n . 要证明当n ≥6时，|S n －2|<1n 成立，只需证明当n ≥6时，nn ＋22n <1成立．(1)当n ＝6时，6×6＋226＝4864＝34<1成立．(2)假设当n ＝k (k ≥6)时不等式成立，即kk ＋22k <1.则当n ＝k ＋1时，k ＋1k ＋32k ＋1＝kk ＋22k×k ＋1k ＋32kk ＋2<k ＋1k ＋3k ＋2·2k<1， 由(1)、(2)所述可知，当n ≥6时，nn ＋22n <1.即当n ≥6时，|S n －2|<1n成立．22．(理)(2011·湖南长沙一中期末)已知数列{a n }和等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝4，a 2＝b 2＝2，a 3＝1，且数列{a n ＋1－a n }是等差数列，n ∈N *.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得a k －b k ∈⎝⎛⎦⎤12，3？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)易知b n ＝4·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －3， ∵a 2－a 1＝－2，a 3－a 2＝－1，… ∴a n ＋1－a n ＝－2＋(n －1)＝n －3. ∴a n －a n －1＝(n －1)－3，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝nn －12－3(n －1)＋4＝n 2－7n ＋142.(2)设c n ＝a n －b n ＝n 2－7n ＋142－⎝⎛⎭⎫12n －3.显然，当n ＝1,2,3时，c n ＝0.由c n ＋1－c n ＝n 2＋2n ＋1－7n －7＋142－n 2－7n ＋142－⎝⎛⎭⎫12n －2＋⎝⎛⎭⎫12n －3＝n －3＋⎝⎛⎭⎫12n －2. 当n ＝3时，c 4－c 3＝12，∴c 4＝a 4－b 4＝12；当n ＝4时，c 5－c 4＝1＋14＝54，∴c 5＝a 5－b 5＝74；当n ＝5时，c 6－c 5＝2＋⎝⎛⎭⎫123＝178，∴c 6＝a 6－b 6＝318>3； 当n ≥6时，c n ＋1－c n ＝n －3＋⎝⎛⎭⎫12n －2>3恒成立； 此时c n ＋1＝a n ＋1－b n ＋1>3＋c n >3恒成立． ∴存在k ＝5，使a k －b k ∈⎝⎛⎦⎤12，3.。
数列测试题及答案
数列测试题一.选择题1.假如等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）352.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =（A ）3 （B ）4（C）5（D ）63.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）644.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和,2580a a +=则52S S = (A)-11 (B)-8 (C)5(D)115.已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = A.21 B.22 C. 2 D.26.已知等比数列{}n a 知足0,1,2,n a n >=,且25252(3)n n a a n -⋅=≥,则当1n ≥时,2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -7.公役不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 90 8.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ,若63S S =3 ,则69S S = （A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）39.已知{}n a 为等差数列,1a +3a +5a =105,246a a a ++=99,以n S 暗示{}n a 的前n 项和,则使得n S 达到最大值的n 是（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 1810.无限等比数列,42,21,22,1…各项的和等于（） A ．22-B ．22+C ．12+D ．12-11.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S 为 A ．470B ．490C ．495D ．510 12.设,R x ∈记不超出x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ],则{215+},[215+],215+ 二.填空题13.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若36324S S ==，,则9a =.14.在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a =．15.设等比数列{}n a 的公比12q =,前n 项和为n S ,则44S a =． 16.已知数列{}n a 知足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________;2014a =_________.三.解答题17.已知等差数列{n a }中,,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .18.已知{}n a 是首项为19,公役为-2的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ;（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .19.已知等差数列{}n a 知足：37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ; （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-,证实数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式. 21.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S .(1) 求n S ; (2) 3,4nn nS b n =⋅求数列｛n b ｝的前n 项和n T .答案 1.【答案】C【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== 2.解析：选B. 两式相减得,3433a a a =-,44334,4a a a q a =∴==.3.答案：A【解析】887644915a S S =-=-=.5.【答案】B【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数,所以2q =,故211222a a q===,选B 6.【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=,0>n a ,则n n a 2=,+⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-,选C.答案：C7.【解析】由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得 1278a d +=则12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,.故选C8.【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3q 3＝2于是63693112471123S q q S q ++++===++【答案】B9.[解析]：由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =,由246a a a ++=99得4399a =即433a = ,∴2d =-,4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-,由10n n a a +≥⎧⎨<⎩得20n =,选B10.答案B 11.答案：A 【解析】因为22{cos sin }33n n ππ-以3 为周期,故 221010211(32)(31)591011[(3)][9]25470222k k k k k k ==-+-⨯⨯=-+=-=-=∑∑故选A12.【答案】B【解析】可分离求得515122⎧⎫+-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭,51[]12+=.则等比数列性质易得三者组成等比数列. 13.解析：填15. 316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩,91815.a a d ∴=+=14.【答案】n-14【解析】由题意知11141621a a a ++=,解得11a =,所以通项n a =n-14. 15.答案：15【解析】对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--16.【答案】1,0【解析】本题重要考核周期数列等基本常识.属于创新题型. 依题意,得2009450331a a ⨯-==, 17.解：设{}n a 的公役为d ,则即22111812164a da d a d⎧++=-⎨=-⎩解得118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或是以()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或18.19.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公役为d,因为37a =,5726a a +=,所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-（;n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n . （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =,所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅, 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1), 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1).20.解：（I）由11,a =及142n n S a +=+,有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+,．．．①则当2n ≥时,有142n n S a -=+．．．．．②②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅,113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n n a 是首项为12,公役为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-,2(31)2n n a n -=-⋅ : (1) 因为222cos sin cos 333n n n πππ-=,故1331185(94)2222k k k -+=+++=,故 1,3236(1)(13),316(34),36n n n k n n S n k n n n k ⎧--=-⎪⎪+-⎪==-⎨⎪+⎪=⎪⎩(*k N ∈) (2) 394,424n n n nS n b n +==⋅⋅ 两式相减得 故 2321813.3322n n n nT -+=--⋅。
高中数学--《数列》测试题(含答案)
高中数学--《数列》测试题（含答案）1.已知数列，它的第5项的值为（）A. B. C. D.【答案解析】D2.若成等比数列，则下列三个数：①②③，必成等比数列的个数为（）A、3B、2C、1D、0【答案解析】C3.在数列{}中，，则等于（）。
A B 10 C 13 D 19【答案解析】解析：C。
由2得，∴{}是等差数列∵4.是成等比数列的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】解析：不一定等比如若成等比数列则选D5.x=是a、x、b成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案解析】D6.已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（A）－2 （B）－（C）（D）2【答案解析】B解析：a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－7.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4，则公差d等于A．1 B C.- 2 D 3【试题来源】【答案解析】C解析∵且.故选C8.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，A. B. C. D.【答案解析】C解析:由得，，则，，选C.9.(2009年广东卷)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=A. B. C. D.2【答案解析】B解析：设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B10.已知数列…，则是该数列的A.第项B.第项C.第项D.第项【答案解析】C11.等差数列中，，那么的值是A． 12 B． 24 C ．16 D． 48【答案解析】B12.等差数列，，，则数列前9项的和等于A．66 B．99 C. 144 D. 297【答案解析】B13.等差数列中，，则A．8 B．12 C．24 D．25【答案解析】B14.等比数列{an}中，a4=4，则等于A．4 B．8 C．16 D．32【答案解析】C15.设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=A． B． C． D．【答案解析】C17若数列的前项和，则A.7B.8C.9D.17【答案解析】A18.等差数列的前项和为，若，则A.1004B.2008C.2009D.2010【答案解析】C19.若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a4=（） A．12 B．7C．9 D．15【答案解析】B20.（）A． B． C． D．【答案解析】D。
数列测试题及答案
数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_5的值为：A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B2. 数列{a_n}是等差数列，公差为3，且a_3=12，则a_1的值为：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=3a_n，那么数列的通项公式为：A. a_n = 2 * 3^{n-1}B. a_n = 2 * 3^nC. a_n = 3 * 2^{n-1}D. a_n = 3^n答案：B二、填空题4. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2，求a_3的值。
答案：65. 数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为4，求a_5的值。
答案：128三、解答题6. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+n，求数列的前5项。
答案：a_1 = 1a_2 = a_1 + 1 = 2a_3 = a_2 + 2 = 4a_4 = a_3 + 3 = 7a_5 = a_4 + 4 = 117. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_4=14，求数列的通项公式。
答案：a_n = 5 + (n-1) * 3 = 3n + 28. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，求数列的前5项。
答案：a_1 = 2a_2 = 2a_1 + 1 = 5a_3 = 2a_2 + 1 = 11a_4 = 2a_3 + 1 = 23a_5 = 2a_4 + 1 = 479. 已知数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为2，求数列的前5项。
答案：a_1 = 3a_2 = 3 * 2 = 6a_3 = 6 * 2 = 12a_4 = 12 * 2 = 24a_5 = 24 * 2 = 4810. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n-2，求数列的前5项。
数列试卷(附答案)
数列测试卷（B 卷） 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列3,3,15,…,)12(3-n , …，那么这个数列的第14项是（ ） A.7 B.8 C.9 D.102．将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3 层，…，则第6层正方体的个数是（ ） A ．28 B ．21 C ．15 D ．113．若a,b,c 成等比数列，则函数c bx ax x f ++=2)(的图象与x 轴的交点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．与c b a ,,的值有关 ４．一个等差数列共10项,偶数项的和为15,则此数列的第6项为( ) Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６５．如果等比数列}{n a 的首项是正数，公比大于1，那么数列}{log 31n a 是（ ）A ．递增的等比数列B ．递减的等比数列C ．递增的等差数列D ．递减的等差数列６．一机器狗每秒钟前进或后退一步，程度设计师让机器狗先前进3步，然后再后退2步的规律移动. 如果将此机器狗放在数轴的原点，面向数轴的正方向，每步的距离为1单位长，令)(n P 表示第n 秒时机器狗所在位置的坐标，那么下列结论中不正确的是（ ） A ．P （3）=3 B ．P （5）=1C ．P （10）=3D ．P （103）=237．设数列{}n a 的通项公式为2n a n pn =-，若数列{}n a 为单调递增数列，则实数p 的取值范围为（ ）Ａ．(,2)-∞ Ｂ．(,3)-∞ Ｃ．](,2-∞ Ｄ．](,3-∞８．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +++=21，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，若数列200621,,,a a a 的“理想数”为 2007，那么数列200621,,,,1a a a 的“理想数”为（ ） A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009９．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中，则使0<n S 成立的n 的最大值为（ ）A ．17B ．18C ．19D ．2010．数列}{n a 中，已知11=S ，22=S ，且)(,023*11N n S S S n n n ∈=+--+，则此数列为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
数列测试题及答案
数列测试题及答案数列测试题及答案 数列测试题及答案： ⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分． 1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6. 答案：A 2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满⾜S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( ) A.12 B．1 C．2 D．3 解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代⼊S33－S22＝1，得d＝2，故选C. 答案：C 3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( ) A．1 B．－4 C．4 D．5 解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，… 故{an}是以6为周期的数列， ∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1. 答案：A 4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( ) A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最⼤值 解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0. ⼜S7＞S8，∴a8＜0. 假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0. ∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成⽴，故S9＜S5.∴C错误. 答案：C 5．设数列{an}是等⽐数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公⽐q的值为( ) A．－12 B.12 C．1或－12 D．－2或12[ 解析：设⾸项为a1，公⽐为q， 则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意． 当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2， ∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0， 解得q＝1(舍去)，或q＝－12. 综上，q＝1，或q＝－12. 答案：C 6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最⼤项为第x项，最⼩项为第y 项，则x＋y等于( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45， ∴n＝2时，an最⼩；n＝1时，an最⼤． 此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3. 答案：A 7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25 解析：∵3an＋1＝3an－2， ∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23. ∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)． 令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5. ⼜n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，⽽a24＜0，∴a23a24＜0. 答案：C 8．某⼯⼚去年产值为a，计划今后5年内每年⽐上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个⼚的总产值为( ) A．1.14a B．1.15a C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a 解析：由已知，得每年产值构成等⽐数列a1＝a，w an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)． ∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a. 答案：C 9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最⼤值为( ) A．25 B．50 C．1 00 D．不存在 解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10. ⼜a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25. 答案：A 10．设数列{an}是⾸项为m，公⽐为q(q≠0)的等⽐数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn( ) A．在直线mx＋qy－q＝0上 B．在直线qx－my＋m＝0上 C．在直线qx＋my－q＝0上 D．不⼀定在⼀条直线上 解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y，② 由②得qn＝y－1，代⼊①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0. 答案：B 11．将以2为⾸项的偶数数列，按下列⽅法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的⾸项为( ) A．n2－n B．n2＋n＋2 C．n2＋n D．n2－n＋2 解析：因为前n－1组占⽤了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的⾸项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2. 答案：D 12．设m∈N*，log2m的整数部分⽤F(m)表⽰，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是( ) A．8 204 B．8 192 C．9 218 D．以上都不对 解析：依题意，F(1)＝0， F(2)＝F(3)＝1，有2 个 F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个． F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个． F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个． … F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个． F(1 024)＝10，有1个． 故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10. 令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，① 则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.② ①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝ 2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2， ∴T＝8×210＋2＝8 194， m] ∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204. 答案：A 第Ⅱ卷 (⾮选择共90分) ⼆、填空题：本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分． 13．若数列{an} 满⾜关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________． 解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴{an＋1}是以a1＋1＝3为⾸项，以3为公⽐的等⽐数列， ∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1. 答案：an＝3n－1 14．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的⼤⼩关系是__________． 解析：设{an}的公差为d，则d≠0. M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)] ＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N. 答案：M＜N 15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意⼤于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________. 解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上， ∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列． ∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n， ∴an＝6n2. ∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1 ∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1. 答案：6nn＋1 16．观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 … 则第__________⾏的各数之和等于2 0092. 解析：设第n⾏的各数之和等于2 0092， 则此⾏是⼀个⾸项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列． 故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092，解得n＝1 005. 答案：1 005 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分． 17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2. (1)求证：{bn}是等⽐数列，并求bn； (2)求通项an并求{an}的前n项和Sn. 解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12， ∴{bn}是等⽐数列． ∵b1＝a1－2＝－32， ∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n. (2)an＝bn＋2＝－32n＋2， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2 ＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3. 18．(12分)若数列{an}的`前n项和Sn＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满⾜b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n 项和Tn. 解析：(1)由题意Sn＝2n， 得Sn－1＝2n－1(n≥2)， 两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)． 当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2. ∴an＝2 (n＝1)，2n－1 (n≥2). (2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)， ∴b2－b1＝1， b3－b2＝3， b4－b3＝5， … bn－bn－1＝2n－3. 以上各式相加，得 bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3) ＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2. ∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n， ∴cn＝－2 (n＝1)，(n－2)×2n－1 (n≥2)， ∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1， ∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n. ∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n ＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n ＝2n－2－(n－2)×2n ＝－2－(n－3)×2n. ∴Tn＝2＋(n－3)×2n. 19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等⽐数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成⼀个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式． 解析：(1)依题意，得 3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 即an＝2n＋1. (2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1) ＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n. 20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn. (1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等⽐数列； (2)求通项an. 新课标第⼀⽹ 解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn， ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1， 两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1， 即an＋1＝ban＋2n.① (1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n. 于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n ＝2an－n2n－1. ⼜a1－ 120＝1≠0， ∴{an－n2n－1}是⾸项为1，公⽐为2的等⽐数列． (2)当b＝2时， 由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1 当b≠2时，由①得 an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n ＝ban－12－b2n， 因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn. 得an＝2， n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]， n≥2. 21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24⼩时后⼜⼀个超历史最⾼⽔位的洪峰到达，为保证万⽆⼀失，抗洪指挥部决定在24⼩时内另筑起⼀道堤作为第⼆道防线．经计算，如果有 20辆⼤型翻⽃车同时作业25⼩时，可以筑起第⼆道防线，但是除了现有的⼀辆车可以⽴即投⼊作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有⼀辆车到达并投⼊⼯作．问指挥部⾄少还需组织多少辆车这样陆续⼯作，才能保证24⼩时内完成第⼆道防线，请说明理由． 解析：设从现有这辆车投⼊⼯作算起，各车的⼯作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13. 所以各车的⼯作时间构成⾸项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24⼩时内最多可抽调72辆车． 设还需组织(n－1)辆车，则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25. 所以n2－145n＋3 000≤0， 解得25≤n≤120，且n≤73. 所以nmin＝25，n－1＝24. 故⾄少还需组织24辆车陆续⼯作，才能保证在24⼩时内完成第⼆道防线． 22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值． 解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)， 得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1. ∵P1为L的轨迹与y轴的交点， ∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1. ∵数列{an}为等差数列，且公差为1， ∴an＝n－1(n∈N*) ． 代⼊y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)． (2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)． ＝5n2－n－1＝5n－1102－2120. ∵n∈N*， (3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)， ∴c2＋c3＋…＋cn ＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.。
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、选择题1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = 2an，判断数列{an}是否为等比数列。
A. 是B. 不是C. 无法判断答案：A2. 若数列{bn}是等差数列，且b3=5，b5=9，求b7。
A. 11B. 13C. 无法确定答案：B二、填空题1. 给定数列{cn}，其中c1=1，cn+1 = cn + n，求c5的值。
答案：152. 已知等差数列{dn}的首项d1=3，公差d=2，求d20的值。
答案：43三、解答题1. 求等比数列{en}的前n项和Sn，若e1=1，公比q=3。
解：根据等比数列前n项和公式Sn = e1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入e1=1和q=3，得到Sn = (1 - 3^n) / (1 - 3)。
2. 已知等差数列{fn}的前n项和为Tn，若f1=2，d=3，求T10。
解：根据等差数列前n项和公式Tn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入f1=2和d=3，得到T10 = 10/2 * (2*2 + (10 - 1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
四、证明题1. 证明数列{gn}，其中gn = n^2，是一个单调递增数列。
证明：设n≥2，我们需要证明对于任意的n，有gn ≥ gn-1。
即证明n^2 ≥ (n-1)^2。
展开得n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 > 0，所以数列{gn}是单调递增的。
2. 证明等差数列{hn}的任意两项hn和hm（m > n）之和等于它们中间项的两倍。
证明：设等差数列{hn}的首项为h1，公差为d。
根据等差数列的定义，hn = h1 + (n - 1)d，hm = h1 + (m - 1)d。
将两项相加得hn + hm = 2h1 + (m + n - 2)d。
由于m > n，所以m + n - 2 = m - 1 + n - 1，即hn + hm = h1 + (m - 1)d + h1 + (n - 1)d = 2h1 + (m + n - 2)d = 2h((m + n - 1)/2)，这正是它们中间项的两倍。
数列单元测试题及答案解析
数列单元测试题及答案解析一、选择题1. 已知等差数列的首项为a1=3，公差为d=2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 292. 等比数列的首项为a1=2，公比为r=3，求第5项的值。
A. 162B. 243B. 324D. 4863. 一个数列的前5项为1, 3, 6, 10, 15，这个数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法判断二、填空题4. 等差数列的前n项和公式为：S_n = _______。
5. 等比数列的前n项和公式为：S_n = _______。
三、解答题6. 已知等差数列的前10项和为S10=185，求公差d。
7. 已知等比数列的前3项和为S3=28，首项a1=2，求公比r。
四、证明题8. 证明：等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。
答案解析：一、选择题1. 答案：A。
解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入n=10，得a10 = 3 + 9*2 = 21。
2. 答案：B。
解析：根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，代入n=5，得a5 = 2 * 3^4 = 243。
3. 答案：C。
解析：数列1, 3, 6, 10, 15不是等差也不是等比数列，因为相邻两项的差和比值都不是常数。
二、填空题4. 答案：S_n = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
解析：等差数列前n项和的公式。
5. 答案：S_n = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当r≠1时。
解析：等比数列前n项和的公式。
三、解答题6. 解：根据等差数列前n项和的公式，S10 = 10/2 * (2*3 + 9d) = 185，解得d = 3。
7. 解：根据等比数列前n项和的公式，S3 = a1 * (1 - r^3) / (1 - r) = 28，代入a1=2，解得r = 3。
四、证明题8. 证明：设等差数列中任意两项为an和am，它们的等差中项为a，即a = (an + am) / 2。
数列单元测试题含答案
数列单元练习试题一、选择题1．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n ∈n N ,则4a 等于A1 B2 C3 D02．一个等差数列的第5项等于10,前3项的和等于3,那么A 它的首项是2-,公差是3B 它的首项是2,公差是3-C 它的首项是3-,公差是2D 它的首项是3,公差是2-3．设等比数列}{n a 的公比2=q ,前n 项和为n S ,则=24a S A 2 B 4 C 215 D 217 4．设数列{}n a 是等差数列,且62-=a ,68=a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则A 54S S <B 54S S =C 56S S <D 56S S =5．已知数列}{n a 满足01=a ,1331+-=+n n n a a a ∈n N ,则=20aA 0B 3-C 3D 23 6．等差数列{}n a 的前m 项和为30,前m 2项和为100,则它的前m 3项和为A130 B170 C210 D2607．已知1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等比数列,公比1≠q ,则A 5481a a a a +>+B 5481a a a a +<+C 5481a a a a +=+D 81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定8．若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有A13项 B12项 C11项 D10项9．设}{n a 是由正数组成的等比数列,公比2=q ,且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ,那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于A210 B220 C216 D21510．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如：他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数；类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是A289 B1024 C1225 D1378二、填空题11．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ,且1a ,3a ,9a 成等比数列,则1042931a a a a a a ++++的值是 ． 12．等比数列}{n a 的公比0>q ．已知12=a ,n n n a a a 612=+++,则}{n a 的前4项和=4S ．13．在通常情况下,从地面到10km 高空,高度每增加1km,气温就下降某一固定值．如果1km高度的气温是℃,5km 高度的气温是－℃,那么3km 高度的气温是 ℃．14．设21=a ,121+=+n n a a ,21n n n a b a +=-,∈n N ,则数列}{n b 的通项公式=n b ． 15．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,则4S ,48S S -,812S S -,1216S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项积为n T ,则4T , , ,1216T T 成等比数列． 三、解答题16．已知}{n a 是一个等差数列,且12=a ,55-=a ．Ⅰ求}{n a 的通项n a ；Ⅱ求}{n a 的前n 项和n S 的最大值．17．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列．Ⅰ求}{n a 的公比q ；Ⅱ若331=-a a ,求n S ．18．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m ．Ⅰ甲、乙开始运动后几分钟相遇Ⅱ如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇19．设数列}{n a 满足333313221n a a a a n n =++++- ,∈n N ． Ⅰ求数列}{n a 的通项； Ⅱ设n n a n b =,求数列}{n b 的前n 项和n S ． 20．设数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知11=a ,241+=+n n a S ．Ⅰ设n n n a a b 21-=+,证明数列}{n b 是等比数列； Ⅱ求数列}{n a 的通项公式．21．已知数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+2n ≥,*n ∈N ．Ⅰ求数列{}n a 的通项公式；Ⅱ设n a n n n b 2)1(41⋅-+=-λλ为非零整数,*n ∈N ,试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有n n b b >+1成立．数列单元测试题 参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B6．C 7．A 8．A 9．B 10．C二、填空题11．1613 12．215 13．－ 14．12+n 15．48T T ,812T T 三、解答题16．Ⅰ设}{n a 的公差为d ,则⎩⎨⎧-=+=+.54,111d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,31d a ∴52)2()1(3+-=-⨯-+=n n a n ． Ⅱ4)2(4)2(2)1(322+--=+-=-⨯-+=n n n n n n S n ． ∴当2=n 时,n S 取得最大值4．17．Ⅰ依题意,有3212S S S =+,∴)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++,由于01≠a ,故022=+q q ,又0≠q ,从而21-=q ． Ⅱ由已知,得3)21(211=--a a ,故41=a , 从而])21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----⨯=． 18．Ⅰ设n 分钟后第1次相遇,依题意,有7052)1(2=+-+n n n n ,整理,得0140132=-+n n ,解得7=n ,20-=n 舍去．第1次相遇是在开始运动后7分钟． Ⅱ设n 分钟后第2次相遇,依题意,有70352)1(2⨯=+-+n n n n ,整理,得0420132=-+n n ,解得15=n ,28-=n 舍去．第2次相遇是在开始运动后15分钟． 19．Ⅰ∵333313221na a a a n n =++++- ,① ∴当2≥n 时,31333123221-=++++--n a a a a n n ．②由①－②,得3131=-n n a ,n n a 31=．在①中,令1=n ,得311=a ． ∴n n a 31=,∈n N ． Ⅱ∵nn a nb =,∴n n n b 3⋅=,∴n n n S 33332332⋅++⨯+⨯+= , ③∴14323333233+⋅++⨯+⨯+=n n n S ． ④ 由④－③,得)3333(32321n n n n S ++++-⋅=+ , 即31)31(3321---⋅=+n n n n S , ∴4343)12(1+-=+n n n S ． 20．Ⅰ由11=a ,241+=+n n a S ,有24121+=+a a a ,∴52312=+=a a ,∴32121=-=a a b ． ∵241+=+n n a S , ①∴241+=-n n a S 2≥n , ②由①－②,得1144-+-=n n n a a a ,∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a ,∵n n n a a b 21-=+,∴12-=n n b b ,∴数列}{n b 是首项为3,公比为2的等比数列． Ⅱ由Ⅰ,得11232-+⋅=-=n n n n a a b ,∴432211=-++n n n n a a , ∴数列}2{n n a 是首项为21,公差为43的等差数列, ∴414343)1(212-=⨯-+=n n a n n , ∴22)13(-⋅-=n n n a ．21．Ⅰ由已知,得()()111n n n n S S S S +----=2n ≥,*n ∈N ,即11n n a a +-=2n ≥,*n ∈N ,且211a a -=, ∴数列{}n a 是以12a =为首项,1为公差的等差数列, ∴1n a n =+．Ⅱ∵1n a n =+,∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅,要使n n b b >+1恒成立,∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立, ∴()11343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立, ∴()1112n n λ---<恒成立． ⅰ当n 为奇数时,即12n λ-<恒成立, 当且仅当1n =时,12n -有最小值为1,∴1λ<．ⅱ当n 为偶数时,即12n λ->-恒成立, 当且仅当2n =时,12n --有最大值2-,∴2λ>-． ∴21λ-<<,又λ为非零整数,则1λ=-． 综上所述,存在1λ=-,使得对任意*n ∈N ,都有1n n b b +>．。
小学数学数列练习题及答案
小学数学数列练习题及答案一、选择题1. 下列数列中，公差为3的是：A. 1，4，9，14，...B. 3，6，12，24，...C. 2，4，8，16，...D. 5，10，20，40，...2. 若数列的通项公式为an = 3n + 1，其中n为自然数，那么数列的前5项依次是：A. 1，2，3，4，5B. 4，7，10，13，16C. 3，6，9，12，15D. 1，4，7，10，133. 数列1，4，7，10，...的通项公式是：A. an = 3n - 2B. an = 3n + 1C. an = 3n - 1D. an = 3n + 24. 若数列的通项公式为an = n^2，其中n为自然数，那么数列的第6项是：A. 36B. 16C. 25D. 49二、填空题1. 数列7，14，21，28，...的公差是_________。
2. 数列2，5，8，11，...的通项公式是an = __________。
3. 数列3，6，12，24，...的通项公式是an = __________。
4. 数列1，-2，4，-8，...的通项公式是an = __________。
三、解答题1. 求等差数列25，21，17，13，...的第10项。
2. 已知数列-2，-3，-5，-8，-12，...的通项公式为an = 2n^2 - 3n，求数列的第8项。
3. 将以下数列的前5项填入括号中，使其成为等差数列：2，()，()，10，()。
答案：一、选择题1. B2. B3. A4. D二、填空题1. 72. 3n-13. 3×2^(n-1)4. (-1)^(n-1)×2^(n-1)三、解答题1. 第10项为25 + (-4)×(10-1) = 25 + (-4)×9 = 25 - 36 = -11。
2. 第8项为2×8^2 - 3×8 = 128 - 24 = 104。
高中数学数列测试题含答案
数列测试题一、选择题1、在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2+…+a 50=200，a 51+a 52+…+a 100=2700，则a 1等于（ ）A ．－20B ．－2021 C ．－2121 D ．－222、在等差数列{a n }中，a 1>0，且3a 8=5a 13，则S n 中最大的是（ ）A ．S 21B ．S 20C ．S 11D ．S 103、已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．（ ） A ．是等比数列 B ．当p ≠0时是等比数列C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列4、在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是 （ ）A ．14B ．16C ．18D ．205、已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝ （ ）A ．—8B ．8C ．±8D ．986、设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，那么由a n +b n 所组成的数列的第37项值为（ ）A ．0B ．37C ．100D ．－37 7、若数列{a n }前n 项和S n =n 2－2n +3，则这个数列的前3项为（ ）A ．－1，1，3B ．2，1，0C ．2，1，3D ．2，1，68、设数列{a n }是公比为a (a ≠1)，首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，对任意的n ∈N ＋ ，点(S n ，S n +1)在A ．直线y ＝ax －b 上B ．直线y ＝bx ＋a 上C ．直线y ＝bx －a 上D ．直线y ＝ax ＋b 上9、设f （n ）=11+n +21+n +…+n 21（n ∈N *），那么f （n +1）－f （n ）等于（ ） A ．121+n B ．221+nC ．121+n +221+nD ．121+n －221+n10、依市场调查结果预测某种家用商品以年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）．近似地满足S n =90n（21n －n 2－5），（n =1，2，…，12），则按此预测在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是（ ）A ．5月、6月B ．6月、7日C ．7月、8日D ．8月、9日 二、填空题1、在等差数列{a n }中，满足3a 4=7a 7．且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n =_______．2、若a ＋b ＋c ，b ＋c －a ，c ＋a －b ，a ＋b －c 依次成等比数列，公比为q ，则q 3＋q 2＋q ＝_______． 3、等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是第 项．4、已知f （n +1）=f （n ）－41（n ∈N *）且f （2）=2，则f （101）=_______． 5、在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______ 三、解答题1、设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n}的前n 项和，求T n ．2、设0a 为常数,)(2311*--∈-=N n a a n n n ,（１）510≠a ，求证：{}13--n n a a 为等比数列； （２）510=a ，求)(*∈N n a n 。
《数列》达标测试题 新人教BWord版含答案
《数列》达标测试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.，的一个通项公式是（ ）A. n a =B. n a =C. n a =D. n a =2. 已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-3. 已知命题甲：“任意两个数a ，b 必有唯一的等差中项”，命题乙：“任意两个数a ，b 必有两个等比中项”.则A ．甲是真命题，乙是真命题B ．甲是真命题，乙是假命题C ．甲是假命题，乙是真命题D ．甲是假命题，乙是假命题4. 在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （ ） A.45 B.75 C. 180 D.3005. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( ) A.－2B.－3C.－4D.－5 6. 在等差数列｛a n ｝中，设公差为d ，若S 10＝4S 5，则da 1等于( )A.21 B.2 C.41 D.47. 设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，且a 100＋b 100＝100，则数列｛a n＋b n ｝的前100项之和是( ) A.1000B.10000C.1100D.110008.已知等差数列｛a n ｝的公差d ＝1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 98＝137，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 98的值等于( )A.97B.95C.93D.919.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A.9B.10C.11D.1210. 数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为13的等比数列，则a n 等于 （ ） A. 32 （1－13n ）B. 32 (1－13n －1 ) C. 23 (1－13n )D. 23(1－13n －1 ) 11. 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为A ．6B ．8C ．10D ．1212. 等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有nn T S =132 n n ，则55b a 等于( )A.32 B. 149 C. 3120 D.1711第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共计16分.13. 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，则它的通项公式为 . 14. 已知｛na 1｝是等差数列，且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，则a 10＝ .15. 在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 16. 数列121，241，341，4161，…的前n 项和为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
数列测试题及答案
数列测试题及答案【篇一：数列测试题及答案】p> 1、（2010全国卷2理数）如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7? （a）14 （b）21（c）28 （d）35 【答案】c【解析】a3?a4?a5?3a4?12,a4?4,?a1?a2???a7?7(a1?a7)?7a4?28 22、（2010辽宁文数）设sn为等比数列?an?的前n项和，已知3s3?a4?2，3s2?a3?2，则公比q?（a）3（b）4（c）5（d）6解析：选b. 两式相减得， 3a3?a4?a3，a4?4a3,?q?a4?4. a33、（2010安徽文数）设数列{an}的前n项和sn?n2，则a8的值为（a） 15 (b) 16(c)49（d）64 答案：a【解析】a8?s8?s7?64?49?15.4、（2010浙江文数）设sn为等比数列{an}的前n项和，8a2?a5?0则(a)-11 (c)52s5? s2(b)-8 (d)1112 b. c. 222 d.2【答案】b【解析】设公比为q,由已知得a1q?a1q?2a1q为正数，所以q?28?42?,即q2?2,又因为等比数列{an}的公比故a1?a2,选b ??q25n?6（、2009广东卷理）已知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,?，且a5a?2则当n?1时，log2a1?log2a3???log2a2n?1??22nn(?3)，22a. n(2n?1)b. (n?1)c. nd. (n?1)22【解析】由a5?a2n?5?22n(n?3)得an则an?2n，log2a1?log2a3????? an?0，?22n，log2a2n?1?1?3?????(2n?1)?n2，选c.7、（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为sn.若a4是a3与a7的等比中项, s8?32,则s10等于a. 18b. 24c. 60d. 90 答案：c2【解析】由a4?a3a7得(a1?3d)2?(a1?2d)(a1?6d)得2a1?3d?0,再由56d?32得 2a1?7d?8则d?2,a1??3,所以290s10?10a?d?60,.故选c 12s8?8a1?8、（2009辽宁卷理）设等比数列{ an}的前n 项和为sn ，若s6s=3 ，则 9 = s3s6（a） 2 （b）78（c）（d）3 33s6(1?q3)s3【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 ? q3＝2 ?s3s3s91?q3?q61?2?47于是??? 3s61?q1?23【答案】b9、（2009安徽卷理）已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99，以sn表示?an?的前n项和，则使得sn达到最大值的n是（a）21（b）20 （c）19 （d） 18[解析]：由a1+a3+a5=105得3a3?105,即a3?35，由a2?a4?a6=99得3a4?99即?an?0得n?20，选b a4?33 ，∴d??2，an?a4?(n?4)?(?2)?41?2n，由? a?0?n?110、2009上海十四校联考）无穷等比数列1,212,,,…各项的和等于 224c．2?1d．2?1（）a．2?2 b．2?2答案b11、（2009江西卷理）数列{an}的通项an?n(cos22n?n??sin2)，其前n项和为sn，则33s30为a．470 b．490 c．495d．510 答案：a【解析】由于{cos2n?n??sin2以3 为周期,故 3312?2242?52282?29222s30?(??3)?(??6)???(??302)22210(3k?2)2?(3k?1)259?10?112??[??(3k)]??[9k?]??25?470故选a222k?1k?11012、2009湖北卷文）设x?r,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{[5?1?1], 22?1}，2a.是等差数列但不是等比数列b.是等比数列但不是等差数列c.既是等差数列又是等比数列d.既不是等差数列也不是等比数列【答案】b【解析】可分别求得?????数列.二、填空题，?1.则等比数列性质易得三者构成等比13、(2010辽宁文数）（14）设sn为等差数列{an}的前n项和，若s3?3，s6?24，则a9?3?2?s?3a?d?31??a1??1?32解析：填15. ?,解得?，?a9?a1?8d?15. 6?5d?2??s?6a?d?2461?2?14、（2010福建理数）11．在等比数列?an?中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an?．【答案】4n-1n-1【解析】由题意知a1?4a1?16a1?21，解得a1?1，所以通项an?4。
数列基础测试题及答案
数列基础测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，那么a_5的值为：A. 9B. 10C. 11D. 122. 等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，那么b_4的值为：A. 24B. 54C. 72D. 1083. 数列{c_n}满足c_1=1，且c_{n+1}=2c_n+1，那么c_3的值为：A. 5B. 9C. 17D. 334. 已知数列{d_n}是等差数列，且d_1=3，d_3=9，那么d_5的值为：A. 15B. 18C. 21D. 245. 数列{e_n}是等比数列，且e_1=8，e_3=64，那么e_5的值为：A. 512C. 128D. 64二、填空题（每题3分，共15分）6. 等差数列{f_n}的首项为5，公差为-1，那么f_7=________。
7. 等比数列{g_n}的首项为3，公比为-2，那么g_5=________。
8. 数列{h_n}满足h_1=2，且h_{n+1}=3h_n-2，那么h_4=________。
9. 已知数列{i_n}是等差数列，且i_2=7，i_5=16，那么i_8=________。
10. 数列{j_n}是等比数列，且j_2=6，j_4=36，那么j_6=________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 已知数列{k_n}是等差数列，且k_1=2，k_3=10，求k_5的值。
12. 已知数列{l_n}是等比数列，且l_1=4，l_3=36，求l_5的值。
答案：一、选择题1. B2. D3. C4. C5. A二、填空题6. 28. 339. 3110. 576三、解答题11. 等差数列的公差d=k_3-k_1=10-2=8，所以k_5=k_3+2d=10+2*8=26。
12. 等比数列的公比q=l_3/l_1=36/4=9，所以l_5=l_3*q^2=36*9^2=2916。
高中数列测试题及答案
高中数列测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下数列中，哪一个是等差数列？A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 2, 4, 8, 16D. 1, 1, 2, 3, 52. 等比数列的公比为2，首项为1，其第五项是多少？A. 16B. 32C. 64D. 1283. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n - 1，求a_5。
A. 7B. 9C. 11D. 134. 一个等差数列的前三项分别为3, 6, 9，求该数列的公差。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 数列{a_n}满足a_1 = 2，且a_n = 2a_{n-1} + 1（n≥2），则a_3等于多少？A. 7B. 9C. 11D. 136. 一个等差数列的前n项和为S_n，若S_5 = 75，S_10 = 175，则该数列的公差d是多少？A. 5B. 10C. 15D. 207. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n = 2n^2 + n，求a_5。
A. 19B. 21C. 23D. 258. 等比数列{a_n}的前三项分别为1, 2, 4，求该数列的公比。
A. 1B. 2C. 3D. 49. 一个等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求该数列的通项公式。
A. a_n = 3n - 1B. a_n = 3n + 1C. a_n = 2n + 1D. a_n = 2n - 110. 数列{a_n}满足a_1 = 1，且a_n = a_{n-1} + 2（n≥2），则a_4等于多少？A. 7B. 8C. 9D. 10二、填空题（每题4分，共20分）11. 若数列{a_n}是等差数列，且a_1 = 4，d = 3，则a_4 = _______。
12. 等比数列{a_n}的前三项分别为2, 6, 18，求该数列的公比q。
13. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 3n + 2，求a_7。
数列测试卷(含答案)
第五章数列测试卷一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分) ( )1. 数列1,-2,3,-4……的一个通项公式是A.a n=(一1)n•nB. a n= (-1)n+1 •nC. a n=nD. a n=-n2.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+n,且156是该数列的一项，则n 等于 ( )A.10B.11C.12D.133.若等差数列的前n项和S n=2n2- n,则它的通项公式a n为( )A.4n+3B.4n一3C.2n-1D.2n+14.在数列{ a n}中,若a1=2,a n=a n+1-2，则该数列的第5项等于( )A.16B. 14C.12D.55.已知2,m,8构成等差数列，则实数m的值是 ( )A.4B.4或一4C.10D.566.在等差数列{a n}中,已知S3=54,则a2为 ( )A.6B.12C.18D.247.在等差数列中，若a1=23,公差d为整数,a6>0,a7<0,则d等于 ( )A.-1B. -2C.-3D.-4 8.若a ≠b,且aa 1,a 2a 3,b 和a.b 1b 2b 3,b 4,b 都是等差数列，则a1−a2b1−b2等于( )A.43B.34C. 45D.549.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7= 39,a 3+a 6+a 9=27,则S 9等于 ( )A.66B.144C.99D.297 10.等差数列{a n }中,若a n = m,a m =n,且m ≠n,那么a m+n .等于( ) A. mn B.m+n C.m-n D.011.已知a,b,c 成等比数列，则函数y=2ax 2+ 3bx+c 与x 轴交点的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3 12.等比数列{a n }中,a 6=6,a 9=9,则a 3等于 ( ) A.4 B .32C.169D.213.已知等比数列{a n },前3项的和为7,积为8,则此数列的公比等于( )A.2B.2或32C.12D.-2或-12.14.已知等差数列{a n }的公差d=3,若a 1,a 3.a 4.成等比数列，则a 2等于 ( )A.-18B.-15C.-12D. -9 15.在等比数列(a n )中:若 a 2•a 6=8,Iog 2(a 1•a 7)= ( )A. 8 B .3 C.16 D.28 16.已知1和4的等比中项是log 3x,则实数x 的值是 ( ) A.2或12B.3或13C.4或14D.9或1917.已知等比数列{a n }的各项均为正数.且a 1, 12a 3,2a 2成等差数列，则a9+a10a7+a8= ( )A.1+√2B.1- √2C.3+2√2D.3-2√2 18.在等比数列{a n }中,著a4a7+a5a6=20.则此数列的前10项之积为( )A.50B.2010C.105D. 1010 19.为了治理沙漠，某农场要在沙漠上赖种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场共裁种植被的公顷数是 ( )A.510公顷B.330公顷C.186公顷D.51公顷 20.《九章算术)“竹九节”问题:现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积是 ( )A.1升B.6766升 C.4744升 D.3733升二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分) 21.在等差数列{a n }中,若Sn=3n 2+2n.则公差d 的值是22.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n 一49,则当n= 时,S n 有最小值.23.在等差数列{a n }中,已知公差d=12,且a 1+a 3+a 5…+a 97+a 99=60.则a1+a2+a3+…+a99+a100= .24.等比数列{a n}中,a2=2,a5=16,则S6=25.某种储蓄利率为2.5%，按复利计算,若本金为30 000元，设存入工期后的本金和利息为y元，则y随x变化的函数关系为三、解答题(本大题5个小题，共40分)26.(本小题6分)已知等差数列{a n}中,a n=33-3n,求前n项和S n的最大值.27.(本小题8分)设数列{a n}满足:a1=1,a n+1=2a n.n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式:(2)已知数列{b n}是等差数列,S n是其前n项和，且满足b1=a3,b3=a1+a2+a3,求S20的值。
2024年高考数学总复习第六章《数列》测试卷及答案解析
2024年高考数学总复习第六章《数列》测试卷及答案(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10＝100，则a 7的值为()A ．11B ．12C ．13D ．14答案C解析由S 10＝100及公差为2，得10a 1＋10×(10－1)2×2＝100，所以a 1＝1.所以a n ＝2n －1，故a 7＝13.故选C.2．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a2a 1等于()A.32B.23C.12D ．2答案A解析设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d .因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以a 2a 1＝2d ＋d 2d＝32.故选A.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝30，S 10＝10，则S 16等于()A ．－160B ．－80C ．20D ．40答案B解析a 1＋15d ＝30，a 1＋45d ＝10，解得a 1＝10，d ＝－2，故S 16＝16a 1＋120d ＝16×10＋120×(－2)＝－80，故选B.4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于()A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－qa 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－qa 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.5．(2019·湖南五市十校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6等于()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析由数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)得数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，即a 4＝4，同理a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，即a 3＝3，所以a 1＋a 6＝a 3＋a 4＝7.6．(2019·新乡模拟)为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前1天多跑200m ，则这个同学7天一共将跑()A ．39200mB ．39300mC ．39400mD ．39500m答案A解析依题意可知，这个同学第1天，第2天，…跑的路程依次成首项为5000，公差为200的等差数列，则这个同学7天一共将跑5000×7＋7×62×200＝39200(m)．故选A.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于()A ．38B ．20C ．10D ．9答案C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.8．(2019·青岛调研)已知各项均不相等的等比数列{a n }，若3a 2，2a 3，a 4成等差数列，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3a 3等于()A.139B.79C ．3D ．1答案A解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列，∴2×2a 3＝3a 2＋a 4，∴4a 2q ＝3a 2＋a 2q 2，化为q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或3.又数列的各项均不相等，∴q ≠1，当q ＝3时，S 3a 3＝a 1(33－1)3－1a 1×9＝139.故选A.9．(2019·广东六校联考)将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1，3)，(5，7，9)，(11，13)，(15，17，19)，…，称(1，3)为第1组，(5，7，9)为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中的()A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组答案A解析正奇数数列1，3，5，7，9，…的通项公式为a n ＝2n －1，则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中的第404组，故选A.10．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n .在直线y ＝2x －1上，则a 9等于()A ．1290B ．1280C ．1281D ．1821答案C解析由已知可得S n ＋1n ＋1－1＝又S11－1＝a 1－1＝1，1，公比为2的等比数列，所以Sn n －1＝2n －1，得S n ＝n (1＋2n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)2n －2＋1，故a 9＝10×128＋1＝1281.11．(2019·长沙长郡中学调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋4n ，若首项为13的数列{b n }满足1b n ＋1－1b n ＝a n ，则数列{b n }的前10项和为()A.175264B.3988C.173264D.181264答案A解析由S n ＝n 2＋4n ，可得a n ＝2n ＋3，根据1b n ＋1－1b n＝a n ＝2n ＋3，结合题设条件，应用累加法可求得1b n n 2＋2n ，所以b n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝所以数列{b n }的前n项和为T n －13＋12－14＋…＋1n －－1n ＋1－所以T 10－111－＝175264，故选A.12．已知数列{a n }的通项a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2018<1，则实数x 可以等于()A ．－23B ．－512C ．－1348D ．－1160答案B 解析∵a n ＝nx(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)＝1(x ＋1)(2x ＋1)…[n (x －1)＋1]－1(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ≥2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 2018＝x x ＋1＋1x ＋1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)＝1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)，当x ＝－23x ＋1>0，nx ＋1<0(2≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1.当x ＝－512时，x ＋1>0，x ＋2>0，nx ＋1<0(3≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)<1；当x ＝－1348时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，nx ＋1<0(4≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1；当x ＝－1160时，x ＋1>0，x ＋2>0，x ＋3>0，x ＋4>0，x ＋5>0，nx ＋1<0(6≤n ≤2018，n ∈N *)，此时1－1(x ＋1)(2x ＋1)…(2018x ＋1)>1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，则d 的值为________．答案－10解析由a 4＋a 10＝0，2S 12＝S 2＋10，1＋3d ＋a 1＋9d ＝0，a 1＋12×112d2a 1＋d ＋10，解得d ＝－10.14．(2019·沈阳东北育才中学模拟)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若Sn T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 3＋a 11＋a 19b 7＋b 15＝________.答案129130解析原式＝3a 112b 11＝32·2a 112b 11＝32·a 1＋a 21b 1＋b 21＝32·S 21T 21＝32·2×21＋13×21＋2＝129130.15．(2019·荆州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝(2n －2则S 2019＝________.答案2020解析∵a n ＝(2n －2＝(1－2n )sinn π2，∴a 1，a 2，…，a n 分别为－1，0，5，0，－9，0，13，0，－17，0，21，0，…，归纳可得，每相邻四项和为4，∴S 2019＝504×4＋a 2017＋a 2018＋a 2019＝2016＋[(1－2×2017)＋0＋(2×2019－1)]＝2016＋4＝2020.16．(2019·长沙长郡中学调研)已知点列P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)，P 3(3，y 3)，…，P n ＋1(n ＋1，y n ＋1)在x 轴上的投影为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1，且点P n ＋1满足y 1＝1，直线P n P n ＋1的斜率1n n P P k ＋＝2n .则多边形P 1Q 1Q n ＋1P n ＋1的面积为________．答案3×2n －n －3解析根据题意可得y n ＋1－y n ＝2n ，结合y 1＝1，应用累加法，可以求得y n ＋1＝2n ＋1－1，根据题意可以将该多边形分成n 个直角梯形计算，且从左往右，第n 个梯形的面积为S n ＝y n ＋y n ＋12＝3×2n －1－1，总的面积应用分组求和法，可求得多边形的面积为S ＝3(2n －1)－n ＝3×2n －n －3.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．(1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)．当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n＋k －1＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．18．(12分)(2019·安徽皖南八校联考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，且4S n ＝5a n －5，数列{b n }满足b n ＝log 5a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明T n <1.(1)解∵4S n ＝5a n －5，∴4a 1＝5a 1－5，∴a 1＝5.当n ≥2时，4S n －1＝5a n －1－5，∴4a n ＝5a n －5a n －1，∴a n ＝5a n －1，∴{a n }是以5为首项，5为公比的等比数列，∴a n ＝5·5n －1＝5n .∴b n ＝log 55n ＝n .(2)证明∵c n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴T n…＝1－1n ＋1<1.19．(12分)(2019·安徽皖中名校联考)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝2a n －n ＋1，a 1＝3.(1)设数列{b n }满足：b n ＝a n －n ，求证：数列{b n }是等比数列；(2)求出数列{a n }的通项公式和前n 项和S n .(1)证明b n ＋1b n ＝a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝2a n －n ＋1－(n ＋1)a n －n＝2(a n －n )a n －n ＝2，又b 1＝a 1－1＝3－1＝2，∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得b n ＝2n ，∴a n ＝2n ＋n ，∴S n ＝(21＋1)＋(22＋2)＋…＋(2n ＋n )＝(21＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )＝2(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.20．(12分)(2019·湖南衡阳八中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －n (n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋1}是等比数列；(2)若数列b n ＝log 2(a n ＋1)n 项和T n .(1)证明当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.∵S n ＝2a n －n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)，∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋1＝2n ，∴b n ＝log 22n ＝n ，∴1b 2n －1·b 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝∴T n －13＋13－15＋…＋12n －1－＝n 2n ＋1.21．(12分)(2019·青岛调研)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n .(1)若对任意n ∈N *，S n ＝n 2＋n ＋12都成立，求a n ；(2)若a 1＝1，a 2＝2，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，且数列{b n }是公比为3的等比数列，求S 2n .解(1)由S n ＝n 2＋n ＋12，得S n －1＝(n －1)2＋n2，n ≥2，两式相减得a n ＝n ，n ≥2，又a 1＝S 1＝32，不满足a n ＝n ，∴a n n ＝1，n ≥2.(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ，∵b 1＝a 1＋a 2＝3，{b n }是公比为3的等比数列，∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．22．(12分)(2019·湖南岳阳一中质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1＝1，点(T n ＋1，T n )在直线x n ＋1－y n ＝12上，若存在n ∈N *，使不等式2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n≥m 成立，求实数m 的最大值．解(1)∵S n ＝2a n －2，①∴S n ＋1＝2a n ＋1－2，②∴②－①得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n (n ≥1)，∴a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＝2n .(2)由题意得，T n ＋1n ＋1－T n n ＝12，成等差数列，公差为12.首项T 11＝b11＝1，∴T n n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，T n ＝n (n ＋1)2，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n ，当n ＝1时，b 1＝1成立，∴b n ＝n .∴2b n a n ＝2n2n ＝n 2n －1＝－1，令M n ＝2b 1a 1＋2b 2a 2＋…＋2b na n，只需(M n )max ≥m .∴M n ＝1＋2×12＋3＋…＋n －1，③12M n ＝12＋2＋3＋…＋n ，④③－④得，12M n ＝1＋12＋＋…－1－n 1－12n＝2－(n ＋，∴M n ＝4－(n ＋－1.∵M n ＋1－M n ＝4－(n ＋－4＋(n ＋－1＝n ＋12n>0.∴{M n }为递增数列，且(n ＋－1>0，∴M n <4.∴m ≤4，实数m 的最大值为4.。
(完整版)数列单元测试题(含答案)
《数列》一、选择题（每小题3分,共33分）1、数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是 （ ）A ．12)1(3++-=n nn a nnB ．12)3()1(++-=n n n a nnC ．121)1()1(2--+-=n n a n nD ．12)2()1(++-=n n n a nn 2、已知数列｛a n ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A 1 B 2 C 3 D 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A 4-B 4±C 2-D 2± 4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10-5、等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（ ）A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－16、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）．A ．245B ．12C ．445 D ．67、已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，若S 4=1，S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=（ ）．A ．7B ．16C ．27D ．648、一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是（ ）A B ．C ．D ．不确定 9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210、在等比数列{a n }中4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是 （ ）A ．14B ．16C ．18D ．2011、计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低31，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（ ） A ．2400元B ．900元C ．300元D ．3600元二、填空题（每小题4分,共20分）12、已知等比数列｛n a ｝中,1a =2,4a =54,则该等比数列的通项公式n a = 13、 等比数列的公比为2, 且前4项之和等于30, 那么前8项之和等于 14、数列11111,2,3,,,2482n n ++++……的前n 项和是 ． 15、 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.16、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ 三、解答题17、（本小题满分8分）等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值18、（本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．19、（本小题满分10分）已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ． （1）求n a ；（2）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n 2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ．20、（本小题满分10分）某城市2001年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，则从2002年起，每年平均需新增住房面积为多少万m 2，才能使2020年底该城市人均住房面积至少为24m 2？(可参考的数据1.0118=1.20，1.0119=1.21，1.0120=1.22).21、（本小题满分11分）已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }对任意自然数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ， 求c 1+c 2+c 3+……+c 2006值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 DDABCDCBABA12、3．2n-1 13、510 14、n （n+1）+1-2n 15、4n+2 16、4951 17、d=32，n=50 18、解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得181162a =，解得 12a =．将12a =代入②得()21324213n =-－，即 3243n =，解得 n ＝5．∴ 数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5． 19、解析：(1)、由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴ 11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩ 23+=∴n a n (2)、设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n n bn n G n n n 2)12(62)2222(3321+-=+++++=∴ *)(,62231N n n n ∈-+⋅=+20．解 设从2002年起，每年平均需新增住房面积为x 万m 2，则由题设可得下列不等式19500619500(10.01)24x ⨯+≥⨯+⨯解得605x ≥.答：设从2002年起，每年平均需新增住房面积为605万m 2.21、解：（1）由题意得（a 1+d ）(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.（2）当n =1时，c 1=3 当n ≥2时，,1n n nna abc -=+ 132-⋅=n n c ，⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n22005200612200632323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=。
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(C )5
(D )6
3、设数列{}n a 的前n 项和2
n
S n ,则8a 的值为
(A )15 (B)
16
(C)
49
(D )64
4、设
n s 为等比数列{}n a 的前n 项和,2
5
80a a 则
52
S S (A)-11 (B)-8 (C)5
(D)11
5、已知等比数列
}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =22
[
(3)]
[9]254702
2
2
k k k k k k
故选 A
12. 【答案】 B 【解析】可分别求得
5151
2
2
,51[]
12
.则等比数列性质易得三者构成等比
数列.
13.解析:填15.
3
16
1
3233
265624
2
S a d S a d
,解得
11
2
a d
,
91
815.
a a d 14.【答案】n-1
4
33a ,∴2d
,4
(4)(2)
412n
a a n n ,由
1
00
n n
a a 得20n
,选 B
10.答案B 11. 答案:A
【解析】由于2
2
{cos
sin }3
3n n 以3 为周期,故
2
2
2
2
2
2
2
2
2
30
1
24
5
28
29(
3)
(
6)
(
30)
2
2
2
S 2
2
10
10
2
1
1
(32)(31)591011
,
0n a ,则n
n
a 2
,
3
21
2log log a a 2
1
22)
12(3
1log n n a n
,选C.
答案:C
7.【解析】由
24
37
a
a a 得
2
1
11(3)
(2)(6)a d a d a d 得1230a d ,再由8156
8322S a d
得
1
278a d则1ຫໍສະໝຸດ 2,3da ,所以1
1
90
a .
3.答案:A 【解析】
887644915a S S .
5.【答案】 B
【解析】设公比为q ,由已知得2
2
8
4
1112a q
a q
a q
,即2
2q
,又因为等比数列}{n a 的公比
为正数,所以
2q
,故2112
2
2a a q
,选B 6.【解析】由
25
2
5
2
(3)n
n a a n 得n
n
a 222
S 等于A.
18
B. 24
C. 60
D. 90
8、设等比数列{
n a }的前n 项和为n
S ,若
63S S =3 ,则
6
9S S
=
(A ) 2 (B )
73
(C )83
(D )3
9、已知
n a 为等差数列,1a +3a +5a =105,2
46a a a =99,以n S 表示n a 的前n 项和,
数列测试题
一、选择题1、如果等差数列n a 中,34512a a a ,那么127
...a a a (A )14 (B )21 (C )28
(D )35
2、设
n S 为等比数列
n a 的前n 项和,已知3
432S a ,2332S a ,则公比q
(A )3
B .490
C .495
D .51012、设,R x
记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ],则
{
2
15},[
2
15],
2
15A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
二、填空题13、设
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若36324S S ,,则9
三、解答题
17、已知等差数列{
n a }中,,0,166473a a a a 求{n a }前n 项和n s .
18、已知
n a 是首项为19,公差为-2的等差数列,n S 为n a 的前n 项和.
(Ⅰ)求通项n a 及n S ;
(Ⅱ)设n
n b a 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列n b 的通项公式及其前
4
【解析】由题意知11141621a a a ,解得11a ,所以通项n
a n-1
4
。
15. 答案:15
【解析】对于
4
4
3
144
4
13
4
(1)
1,,
15
1(1)
a q s q s a a q q
a q q 16.【答案】1,0
10602
S a
d ,.故选C
8. 【解析】设公比为q ,则
3
63
33(1)S q S S S =1+q 3
=3
q 3
=2
于是
6
3
6
93
11247112
3
S q
q
S
q
【答案】B 9. [解析]:由
1a +3a +5a =105得3
3105,a 即335a ,由24
6a a a =99得4
399a 即
a 。
14、在等比数列
n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于
21,则该数列的通项公式
n
a .
15、设等比数列
{}n a 的公比12
q
,前
n 项和为n S ,则
44
S a .
16、已知数列
{}n a 满足:43
41
21,0,,N ,n
n
n n a a a a n 则2009
a ________;
2014a =_________.
则使得n S 达到最大值的n 是
(A )21 (B )20
(C )19
(D )18
10、无穷等比数列,4
2
,21,22,
1…各项的和等于(
)
A .22
B .2
2C .
1
2D .
1
211、数列{}n a 的通项2
2
2
(cos
sin
)3
3
n
n n a n ,其前n 项和为n S ,则30S 为
A .470
5a ,2a =1,则1a =
A.
2
1 B.
2
2
C.
2
D.2
6、已知等比数列
{}n a 满足0,1,2,n
a n
,且2525
2(3)n
n
a a n ,则当1n 时,
21
23
221
log log log n
a a a A. (21)
n n
B.
2
(1)
n C. 2
n
D.
2
(1)
n 7、公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S ,则10
n
项和
n T .
19、已知等差数列n a 满足:37a ,5726a a ,n a 的前n 项和为n S .
(Ⅰ)求
n a 及n S ;
(Ⅱ)令b n =
2
11
n
a (n N *
),求数列
n b 的前n 项和n T .
20、设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a 1
42
n
n
S a (I )设
1
2n n
n b a a ,证明数列{}n b 是等比数列
(II )求数列
{}n a 的通项公式。
答案
1.【答案】C 【解析】1
73
4544
1
2
7
4
7()
312,4,
728
2
a a a a a a a a a a a 2.解析:选 B. 两式相减得,
34
33a a a ,44
33
4,4a a a q