第四章工程材料课后习题

4-29 .....................................................................................................................................................21
4-8 .........................................................................................................................................................3
4-11 .......................................................................................................................................................6
4-24 .....................................................................................................................................................16
4-13 .......................................................................................................................................................7
（也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解）
4-4 图示圆截面轴，AB 与 BC 段的直径分别为 d1 与 d2，且 d1 = 4d2 /3。试求轴内的
最大扭转切应力。
题 4-4 图
解：由题图可知， AB 段和 BC 段的扭矩分别为 T1 = 2M，T2 = M
AB 段内的最大扭转切应力为
1
τ1max＝π16dT131
4-9 .........................................................................................................................................................4
(e)
将式(d)与式(e)作比较，即
τ = T ⋅ πβδ 3(4β 2 + 1) = 4β 2 + 1 τmax 2πβ 2δ 3 T (2β + 1) 2β (2β + 1)
当 β = R0 = 10 时， δ
τ = 4 ×102 +1 = 0.9548 τ max 2 ×10 × (2 ×10 +1) 可见，当 R0 / δ ≥ 10 时，按公式(4-7)计算 τ 的最大误差不超过 4.53％。
3
γ
ρ＝ ρ
dϕ dx
(a)
根据题设，轴横截面上距圆心为 ρ 处的切应力为
τ
ρ ＝C ( ρ
ห้องสมุดไป่ตู้
dϕ dx
)1/
T = R0τA
(b)
对于薄壁圆管，其横截面面积可表示为
A ≈ 2πR0δ
(c)
将式(c)代入式(b)，得薄壁圆管的扭转切应力公式为
2
τ= T 2πR02δ
(4-7)
设 R0 /δ = β ，按照公式(4-7)计算的扭转切应力为
τ= T = T
(d)
2πR02δ 2πβ2δ3
按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径依次为
4-36 .....................................................................................................................................................25
4-26 .....................................................................................................................................................17
= 1.894 ×108 Pa = 189.4MPa
依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为
τ ′ = τ = 189.4MPa
该圆管表面纵线的倾斜角为
γ
=
τ G
=
189.4 ×106 75 ×109
rad
=
2.53 ×10-3 rad
4-7 试建立薄壁圆管的扭转切应力公式，即式（4-7），并证明当 R 0 /δ ≥ 10 时，该
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4-28 .....................................................................................................................................................20
4-14 .......................................................................................................................................................9
4-33 .....................................................................................................................................................22
第四章 扭 转
题号
页码
4-4 .........................................................................................................................................................1
4-5 .........................................................................................................................................................2
4-34 .....................................................................................................................................................22
4-20 .....................................................................................................................................................10
d = 2R0 − δ，D = 2R0 + δ
横截面的极惯性矩为
Ip
=
π 32
(D4
−
d4)
=
π 32 [(2R0
+
δ)4
−
(2R0
−
δ)4 ]
=
πR0δ 2
(4R02
+
δ2)
由此可得
τ max
=
T Ip
( R0
+
δ) 2
=
T πR0δ (4R02
+δ
2 ) (2R0
+δ
)
=
T (2β + 1) πβδ 3(4β 2 + 1)
4-19 .......................................................................................................................................................9
变模量 G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。 解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为
R0
=
1(D 22
+
d)= 2
20.5mm，δ
=
D 2
−
d 2
= 1mm
于是，该圆管横截面上的扭转切应力为
τ
=
T 2πR02δ
=
500N 2π × 0.02052 × 0.001m2
4-8 图 a 所示受扭圆截面轴，材料的τ − γ 曲线如图 b 所示，并可用τ = Cγ 1/m 表示，
式中的 C 与 m 为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分 布图。
题 4-8 图 解：这里是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到（见书中§4-2 节）
4-35 .....................................................................................................................................................24
公式的最大误差不超过 4.53%。
解：我们设薄壁圆管的平均半径和壁厚分别为 R0 和 δ 。微剪力τ dA 对截面圆心（矩心）
的微力矩为 R0τdA ，由构成关系知，该截面的扭矩为
∫ T = A R0τdA
(a)
由于中心对称，τ 沿圆周方向大小不变；又由于管壁很薄，τ 沿壁厚方向也可近似地认为是均
匀分布的。这样一来，式(a)可以写成
=
16(2M ) × 33 π( π (4d2 )3
=
13.5M π d23
BC 段内的最大扭转切应力为
τ 2max
= 16T2
πd
3 2
= 16M
πd
3 2
结论：轴内的最大扭转切应力为τ max
= 16M
/(
πd
3 2
)
。
4-5 一受扭薄壁圆管，外径 D = 42mm，内径 d = 40mm，扭力矩 M = 500N·m，切
4-21 .....................................................................................................................................................11
4-7 .........................................................................................................................................................2
4-22 .....................................................................................................................................................12
4-23 .....................................................................................................................................................14