双星问题

专题：“双星”及“三星”问题 1. 甲、乙两名溜冰运动员m 甲=70kg,m 乙=36 kg ，面对面拉着弹簧秤做圆周

运动的溜冰表演（如图1），两人相距0.9 m ，弹簧秤的示数为21 N ，下列判

断正确的是（ ）

A ．两人的线速度相同，约为1 m/s

B ．两人的角速度相同，为1 rad/s

C ．两人的运动半径相同，为0.45 m

D ．两人的运动半径不同，甲为0.6 m,乙为0.3 m 知识梳理

★“双星”问题：

两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源

双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提

供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系

两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等

的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角

速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：

M 1： 22121111121M M v G M M r L r ω==

M 2： 22122222222M M v G M M r L r ω==

在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

4.“双星”问题的分析思路

质量m 1，m 2；球心间距离L ；轨道半径 r 1 ，r 2 ；周期T 1，T 2 ；角速度ω1，ω2 线速度V 1 V 2； 周期相同：（参考同轴转动问题） T 1=T 2

角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2

向心力相同：Fn 1=Fn 2

（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）

轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）r 1：r 2=m 2：m 1

m 1ω2r 1=m 2ω2

r 2

m 1r 1=m 2r 2 r 1:r 2=m 2:m 1

线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导）

V 1:V 2=m 2:m 1

V 1=ωr 1 V 2=ωr 2

V 1:V 2=r 1:r 2=m 2:m 1

M 1 M 2 ω1 ω2

L r 1 r 2

图1

★“三星”问题有两种情况：

第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；

第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。

★例题精析

【例题1】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为，质量分别为和，试

计算：

（1）双星的轨道半径；

（2）双星的运行周期；

（3）双星的线速度。

分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。

解：设行星转动的角速度为，周期为

（1）如图，对星球，由向心力公式可得：

同理对星球有：

两式相除得：（即轨道半径与质量成反比）

又因为