几何最值及路径长(讲义及答案)

几何最值及路径长（讲义）

➢课前预习

1.如图，A，B 为定点，P 为直线l 上一动点，若点P 恰好使

AP+BP 最短，请画出点P 的位

置．提示：

①分析定点（A，B），动点（P 在直线l 上动），不变特征

②以l 为对称轴利用轴对称进行转化

③由“两点之间，线段最短”确定位置

2.如图，A，B 为定点，MN 为直线l 上一可以移动的线段，且

MN 长度固定，若点M 恰好使AM+MN+BN 最短，请画出点

M 的位置．

提示：

①分析定点（A，B），动点（M，N 在l 上动，且MN 长度固

定），不变特征

②先平移BN，使平移后的点N 与M 重合，将其转化为问题 1

③以l 为对称轴，利用轴对称进行转化

④由“两点之间，线段最短”确定位置

3.如图，∠AOB=60°，点P 在∠AOB 的平分线上，OP=10 cm，

点E，F 分别是∠AOB 两边OA，OB 上的动点，当△PEF 的

周长最小时，点P 到EF 的距离是．

提示：

①分析定点（P），动点（E 在OA 上动，F 在OB 上动），不

变特征

②分别以OA，OB 为对称轴，将P 对称过去，得到P1，P2

③连接P1P2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求

解P 到EF 的距离．

1

➢知识点睛

1.几何最值问题的处理思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；

若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题．

转化原则：

尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．

基本定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）

过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦

常用模型、结构示例：

①轴对称最值模型

求PA+PB 的最小值，求|PA-PB|的最大值，

使点在线异侧使点在线同侧

固定长度线段MN 在直线l 上滑动，求AM+MN+BN 的最小值，需平移BN（或AM），转化为AM+MB′解决．

②折叠求最值结构

求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC 的最小值（利用

A′N+NC 为定值）．

2.解决路径长问题的思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②确定运动路径；

通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特

征进行验证．

③设计方案，求出路径长．

➢精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的直角顶点A 在x

轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，)，点C 的坐标为(

1

，

2

0)，点P 为斜边OB 上一动点，则PA+PC 的最小值为

．

2.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点．若

P，Q 为BC 边上的两动点，且PQ=2，则当BP= 时，四边形APQE 的周长最小．

3

3.如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的

中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．

4.如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，

BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，

A 的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ 的长为．

5.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片

折叠，使顶点A 落在BC 边的A′处，折痕所在直线同时经过边A B，A D（包括端点），设BA′=x，则x 的取值范围是．

6.如图，E，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足

AE=DF．连接CF 交BD 于点G，连接BE 交AG 于点H，连接DH．若正方形的边长为2，则DH 长度的最小值是．

7.如图，△ABC，△EFG 均是边长为2 的等边三角形，点D 是

边BC，EF 的中点，直线AG，FC 相交于点M．当△EFG 绕

点D 旋转时，线段BM 长的最小值是．

第7 题图第8 题图

8.如图，A B是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=

30°，点E，F 分别是AC，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G，H两点．若⊙O 的半径为7，则GE+FH 的最大值为．

9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1-a，0)，

C(1+a，0)（a＞0），点P 在以D(4，4)为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是．

10.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把

BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时

正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点

O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为

．

2 3

11. 如图，在等腰 Rt △ABC 中，AC =BC = 2 ，点 P 在以斜边 AB

为直径的半圆上，M 为 PC 的中点，当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是

．

12. 已知等边三角形 ABC 的边长为 4，点 D 是边 BC 的中点，点E

在线段 BA 上由点 B 向点 A 运动，连接 DE ，以 DE 为边在DE 右侧作等边三角形 DEF ．设△DEF 的中心为 O ，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点 O 运动的路径长为

．

13. 如图，点 A 是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC ⊥x

轴于点 M ，交直线 y =-x 于点 N ．若点 P 是线段 ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥PA ，则点 P 在线段 ON 上运动时， A 点不变，B 点随之运动．当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点B 运动的路径长是

．