参考答案数学(理)
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4 所以实数 a 的取值范围为(5，2]．
4
18.解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|
，＜ ，
，＞
，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2； 当 x＞2 时，3≥1 恒成立，故 x＞2； 综上，不等式 f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在 x∈R 使得 f（x）﹣x2+x≥m 成立， 即 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）＝f（x）﹣x2+x．
,1
上单调递减.
故
f x 的单调增区间为
0,
1 4
，
1,
；单调减区间为
1 4
,1
（Ⅱ）因为 g x
f
x 2lnx
2x2
ax
1
lnx
在
x
1 e
,
e
上有两个零点，
等价于
ax
2x2
1
lnx
在
x
1 e
∴m 的取值范围为（﹣∞， ]．
19.试题解析：
（1）由已知
f
x
f
x ，∴
a ex 1
1
e
a x
1
1
∴
ae x ex 1
a ex 1
2
a
2
0
，
a
2
∵
f
'x
2ex ex 1
0
，∴
f
x
e
2 x
1
1
为单调递增函数.
（2）∵ f
∴ 3 log2x 1 ，
∴
x
1 8
,
2
.
20.【详解】 （1）∵f（x）=log2（1+a•2x+4x）， ∴f（-1）=log2（1+a2+14），f（2）=log2（1+4a+16）， 由于 f(2) = f( − 1) + 4， 即 log2（4a+17）=log2（a2+54）+4， 解得，a=﹣3；
（2）证明：（2）设 x1，x2∈（0，+∞），且 x1＞x2，则 ＞1，
∴f（ ）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅ ）﹣f（x2）=f（x2）+f（ ）﹣f（x2）=f（ ）＞0，
即 f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数． （3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
1 e
,
e
上单调递增，又
t(1)=0
t
x
在
x
1 e
,1
上有
t
x
0
，
t
x
在
x
1,
e
有
t(x)>0
x
1 e
,1
时，
h
x
0
，
x
1,
e
时，
h
x
0
h(x)
在
x
1 e
,1
上单调递减，在
1,
e
上单调递增.
h x h1 3 min
4
（2）因为 f（x）≥x﹣1 恒成立，
所以，log2（1+a•2x+4x）≥x﹣1，
即，1+a•2x+4x≥2x﹣1，
分离参数 a 得，a≥12﹣（2x+2﹣x）， ∵x≥1，∴（2x+2﹣x）min=52，此时 x=1，
所以，a≥12﹣52=﹣2， 即实数 a 的取值范围为[﹣2，+∞）． 21.试题解析：（1）∵函数 f（x）满足 f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）， 令 x1=x2=1，则 f（1）=f（1）+f（1），解得 f（1）=0．
,
e
上有两解，
a 2x 1 lnx xx
令 h x 2x 1 lnx ,
xx
x
1 e
,
e
则
h x
2x2
2 x2
lnx
令
t
x
2
x2
2
lnx,
x
1 e
,
e
则tx 4x2 1 0
x
t
x
在
x
f x 4x 5 1 4x 1 x 1
x
x
当
x
0,
1 4
，
x 1,
时，
f
x
0 ，
f
x
在
0,
1 4
和
1,
上单调递增.
当
x
1 4
,1 时，
f
x
0 ，
f
x
在
1 4
由（1）知，g（x）
， ， ＜＜ ，
，
当 x≤﹣1 时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为 x ＞ 1， ∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5； 当﹣1＜x＜2 时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x ∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（ ）
1；
当 x≥2 时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x ＜2， ∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g（x）max ，
若
，则 f（ ）+f（ ）=f（ ）=﹣2，
即 f（ •5）=f（1）=f（ ）+f（5）=0，
即 f（5）=1， 则 f（5）+f（5）=f（25）=2， f（5）+f（25）=f（125）=3，
即 f（x）在
上的最小值为﹣2，最大值为 3．
22.【详解】
（Ⅰ）当 a 5 时， f x 2x2 5x 1 lnx 的定义域为 x 0, ，
h
1 e
2 e
2e
，
h
e
2e
，
由
a
2
x
1 x
lnx x
有两解及
参考答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 A D C B A C D C B B D B
13． y x
14．[e,4] 15．8
5 16．(－2,3) 17.(1)当 a＝1 时，x2－5x＋4<0，解得 1<x<4. 即 p 为真时，实数 x 的取值范围是 1<x<4. 若 p 且 q 为真，则 p 真且 q 真， 所以实数 x 的取值范围是(2,4)． (2)非 q 是非 p 的必要不充分条件，即 p 是 q 的必要不充分条件，设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则 B A，由 x2－5ax＋4a2<0 得(x－4a)(x－a)<0，因为 a>0，所以 A＝(a,4a)，又 B＝(2,5]， 则 a≤2 且 4a>5，解得5<a≤2.
log 2 2 x
Байду номын сангаас
f
log 2x 3 0 ，∴ f
log
2 2
x
f
log 2x 3 ，而 f x 为
奇函数，
∴ f
log 2 2 x
f
log x 3 2
∵
f
x
为单调递增函数，∴
log
2 2
x
log
2x 3，
∴ log22 x 2log2 x 3 0 ，
4
18.解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|
，＜ ，
，＞
，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2； 当 x＞2 时，3≥1 恒成立，故 x＞2； 综上，不等式 f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在 x∈R 使得 f（x）﹣x2+x≥m 成立， 即 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）＝f（x）﹣x2+x．
,1
上单调递减.
故
f x 的单调增区间为
0,
1 4
，
1,
；单调减区间为
1 4
,1
（Ⅱ）因为 g x
f
x 2lnx
2x2
ax
1
lnx
在
x
1 e
,
e
上有两个零点，
等价于
ax
2x2
1
lnx
在
x
1 e
∴m 的取值范围为（﹣∞， ]．
19.试题解析：
（1）由已知
f
x
f
x ，∴
a ex 1
1
e
a x
1
1
∴
ae x ex 1
a ex 1
2
a
2
0
，
a
2
∵
f
'x
2ex ex 1
0
，∴
f
x
e
2 x
1
1
为单调递增函数.
（2）∵ f
∴ 3 log2x 1 ，
∴
x
1 8
,
2
.
20.【详解】 （1）∵f（x）=log2（1+a•2x+4x）， ∴f（-1）=log2（1+a2+14），f（2）=log2（1+4a+16）， 由于 f(2) = f( − 1) + 4， 即 log2（4a+17）=log2（a2+54）+4， 解得，a=﹣3；
（2）证明：（2）设 x1，x2∈（0，+∞），且 x1＞x2，则 ＞1，
∴f（ ）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅ ）﹣f（x2）=f（x2）+f（ ）﹣f（x2）=f（ ）＞0，
即 f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数． （3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
1 e
,
e
上单调递增，又
t(1)=0
t
x
在
x
1 e
,1
上有
t
x
0
，
t
x
在
x
1,
e
有
t(x)>0
x
1 e
,1
时，
h
x
0
，
x
1,
e
时，
h
x
0
h(x)
在
x
1 e
,1
上单调递减，在
1,
e
上单调递增.
h x h1 3 min
4
（2）因为 f（x）≥x﹣1 恒成立，
所以，log2（1+a•2x+4x）≥x﹣1，
即，1+a•2x+4x≥2x﹣1，
分离参数 a 得，a≥12﹣（2x+2﹣x）， ∵x≥1，∴（2x+2﹣x）min=52，此时 x=1，
所以，a≥12﹣52=﹣2， 即实数 a 的取值范围为[﹣2，+∞）． 21.试题解析：（1）∵函数 f（x）满足 f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）， 令 x1=x2=1，则 f（1）=f（1）+f（1），解得 f（1）=0．
,
e
上有两解，
a 2x 1 lnx xx
令 h x 2x 1 lnx ,
xx
x
1 e
,
e
则
h x
2x2
2 x2
lnx
令
t
x
2
x2
2
lnx,
x
1 e
,
e
则tx 4x2 1 0
x
t
x
在
x
f x 4x 5 1 4x 1 x 1
x
x
当
x
0,
1 4
，
x 1,
时，
f
x
0 ，
f
x
在
0,
1 4
和
1,
上单调递增.
当
x
1 4
,1 时，
f
x
0 ，
f
x
在
1 4
由（1）知，g（x）
， ， ＜＜ ，
，
当 x≤﹣1 时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为 x ＞ 1， ∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5； 当﹣1＜x＜2 时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x ∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（ ）
1；
当 x≥2 时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x ＜2， ∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g（x）max ，
若
，则 f（ ）+f（ ）=f（ ）=﹣2，
即 f（ •5）=f（1）=f（ ）+f（5）=0，
即 f（5）=1， 则 f（5）+f（5）=f（25）=2， f（5）+f（25）=f（125）=3，
即 f（x）在
上的最小值为﹣2，最大值为 3．
22.【详解】
（Ⅰ）当 a 5 时， f x 2x2 5x 1 lnx 的定义域为 x 0, ，
h
1 e
2 e
2e
，
h
e
2e
，
由
a
2
x
1 x
lnx x
有两解及
参考答案
题号 1
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10 11 12
答案 A D C B A C D C B B D B
13． y x
14．[e,4] 15．8
5 16．(－2,3) 17.(1)当 a＝1 时，x2－5x＋4<0，解得 1<x<4. 即 p 为真时，实数 x 的取值范围是 1<x<4. 若 p 且 q 为真，则 p 真且 q 真， 所以实数 x 的取值范围是(2,4)． (2)非 q 是非 p 的必要不充分条件，即 p 是 q 的必要不充分条件，设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则 B A，由 x2－5ax＋4a2<0 得(x－4a)(x－a)<0，因为 a>0，所以 A＝(a,4a)，又 B＝(2,5]， 则 a≤2 且 4a>5，解得5<a≤2.
log 2 2 x
Байду номын сангаас
f
log 2x 3 0 ，∴ f
log
2 2
x
f
log 2x 3 ，而 f x 为
奇函数，
∴ f
log 2 2 x
f
log x 3 2
∵
f
x
为单调递增函数，∴
log
2 2
x
log
2x 3，
∴ log22 x 2log2 x 3 0 ，