含参数二次函数分类讨论的办法总结

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分类讨论参数,解含参数的二次不等式

分类讨论参数，解含参数的二次不等式
在解含参数的一元二次不等式时，需要对参数进行分类讨论。

虽然分类的方法很多，但一般从以下三个方面着手：（1）若二次项的系数含有参数，则不等式的类型未定，需对的符号分类讨论，即a〉0，a=0，a<0;（2）若判别式△=b2-4ac 中含有参数，则不等式所对应的二次函数与x轴的位置未定，须对判别式△的符号分类，即分△〉0，△=0，△<0;（3）若不等式对应方程的根x1，x2中含有参数，则x1，x2大小关系未定，须按x1，x2的大小来分类，即x1〉x2分，x1=x2，x11+a。

②当a=0时，原不等式的解集为x丨x≠1。

③当a1-a。

例2：解关于的不等式：2x2+ax+1>0
分析：由于△=a2-8中含有参数a，△的符号受a影响，所以须a按分类讨论。

即对a与2和-2的大小关系展开分类讨论。

解：①a2时，△>0，方程2x2+ax+1=0当的两根为，x1=，x2=，
所以原不等式的解集为x丨x0：
分析：因为x2的系数含有参数，所以该不等式的类型及不等式为二次时所对应的抛物线的开口方向均未定，需对a与0的关系进行讨论：当a≠0时，原不等式对应的方程为ax2+（1-a）x-1=0，其两根为x1=，x2=1。

因两根中含有参数，其大小关系不能确定，由x2-x1=知，需对a与0、-1的大小关系进行讨论。

解：①当a=0时，原不等式变形为x-1>0，所以不等式的解集为x丨x>1。

②当a>0时，-1;③-11，所以原不等式的解集为x丨x0的解集为Φ。

⑤当a<-1时，0<-<1，所以原不等式的解集为x丨-<x<1。

二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总

二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总含参的二次函数在高中阶段考试中经常出现，因为参数的存在使得函数形成一种动态，随着参数的变化，函数也会不同。

这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。

例如，考虑求解$f(x)=x-2ax$在$[2,4]$上的最大值和最小值。

由于参数的存在，这个函数是动态的。

为了解决这个问题，我们需要考虑动轴定区间问题，即对称轴随着参数的变化而变化，但是在给定区间上问最大值和最小值。

对于这个问题，需要分类讨论。

在$[2,4]$这个区间上，可能出现对称轴不在这个区间里面的情况，对称轴就在区间里面的情况，或者对称轴在区间右侧的情况。

因此，我们需要分别考虑这些情况。

具体来说，我们需要找到在整个函数的区间上，哪个数离对称轴最远。

这个分界线就应该在$2$和$4$中间的位置上，即$3$。

当对称轴在$x=3$这条线左边的时候，对称轴离$2$就比较近，离$4$就比较远；对称轴在右边的时候，离$2$就比较近，离$4$就比较远。

因此，这个函数的最大值可以表示为：f_{\max}(x)=\begin{cases}f(4)=16-8a& (a\leq 3)\\f(2)=4-4a&(a>3)\end{cases}$$当$a=3$时，放在哪边都可以。

代入上面的式子，得到$f_{\max}(x)=-8$。

因此，最大值为$-8$。

接下来，我们来讨论含参的二次函数的最大值和最小值问题。

这类问题的重点在于能否清晰地做分类讨论，得到一个分段函数的解析式。

我们可以按照对称轴的位置进行分类讨论。

首先，对于对称轴在区间左侧，且$a\leq 2$的情况，函数在$x=2$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(2)=4-4a$。

其次，对于对称轴在区间中间，即$24$的情况，函数在$x=4$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(4)=16-8a$。

另外，还有一类问题叫做定轴动区间的问题。

对于这类问题，我们同样需要进行分类讨论，只不过区间在变化。

例析二次函数问题解决的基本思想_分类讨论和数形结合

时
，M(a)∈(-
2 a
,0)（注：
M(a)在对称轴右边），所以 f[M(a)]=-4，令 ax2+4x-2=-4，
解
得
x=
-2±
姨4-2a a
，故
M(a)=
-2+
姨4-2a a
；
（2）
当
-2-
4 a
≥-4，
即 a≥2 时，
M(a)<- 2 a
（注：
M(a)在对称轴左边），所以 f[M(a)]=4，令 ax2+4x-2=-4，
题．
下面，我们从一个具体例子出发，给同学们详细
分析一下解决的基本过程．
例题．已知函数 f(x)=3x2+a，g(x)=2ax+1(a∈R)．
（I）证明：方程 f(x)=g(x)恒有两个不相等的实数
根；
（II）若函数 f(x)在(0,2)上无零点，请你探究函数
责任编校徐国坚
高中 2011 年第 5 期
17
数学有数
点拨
例析二次函数问题解决的基本思想 —— —分类讨论和数形结合
■俞新龙
二次函数问题是同学们初中重点解决的一类函数
问题，有范围限制的二次函数问题（包括换元后可化
为二次函数）是高中一类比较重要的函数问题，此类
问题比同学们初中遇到的难度要大，因此，同学们经
常会感觉处理起来比较难．其实，该类问题的解决还
优越性．
变式 1：
设
f(x)=1-
2 2x+1
，方程 f(x2-2x-a)=0 在(0,3)

高考数学专题04：含参数的一元二次分类讨论策略(老师版)

专题04：含参数的一元二次分类讨论策略精讲温故知新三个两次之间的关系含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时,解集为⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22举一反三解不等式()00652≠>+-a a ax ax 分析因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

本号@资料皆来源于微信公众号：数学第数理化专栏解()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2解不等式042>++ax x 分析本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或举一反三解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或；当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R。

二次函数中分类讨论思想

二次函数中的分类讨论思想一、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定例1. （2008年陕西卷）22．本小题满分14分）设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围．2. 轴定区间动例2. （全国卷）设a 为实数，函数2()||1,,f x x x a a R =+-+∈，求f(x)的最小值。

3. 轴动区间定评注：已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得()f x 在[,]m n 上的最大值或最小值。

例3．求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

4. 轴变区间变例4. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。

（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。

例5. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

例6. 已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ，求m ，n 的值。

练习：1、（2008江西卷21）．已知函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．2、已知二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值。

二次函数分类讨论

二次函数【复习目标】1．掌握二次函数解析式的求解方法——待定系数法；2．能灵活应用二次函数的单调性和对称性解决有关问题；3．理解二次函数，二次方程，二次不等式之间相互转换的关键；4．掌握二次函数值域求解的三种基本类型：定轴定区间，动轴定区间，定轴动区间；5．能熟练应用二次方程的实根分布知识解决二次函数中的参数取值范围问题。

【重点难点】二次函数值域求解中分类讨论；函数中的“换元”思想及如何控制换元的等价性；数形结合思想在二次方程实根分布知识中的应用。

【典型例题】例1（1）设二次函数)(x f 满足)2(-x f ＝)2(--x f ，且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求)(x f 的解析式。

（2）若定义在[]6,6-上的奇函数)(x f 在[]3,0上为一次函数，在[]6,3上为二次函数，且]6,3[∈x 时，)(x f ≤)5(f ＝3，)6(f ＝2，求)(x f 的解析式。

例2（1）已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是______________（2）设函数)1(,0)()0()(2+<>++=m f m f a a x x x f 则满足的符号是 .（3）已知函数a x x x x a ax ax x f +=+<>+-=1,),1(12)(21212且若，则)()(21x f x f 与的大小关系是。

例3．（1）已知31≤a ≤1，若f (x )＝a x 2－2x ＋1在区间[1，3] 上的最大值为M （a ），最小值为N （a ），令g(a )=M （a ）－N （a ）。

①求g(a )的解析式 ②判断g(a )的单调性并求出g(a )的最小值。

（2）已知二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x +=-，且方程()f x x =有两个相等实根，若函数()f x 在定义域为[,]m n 上对应的值域为[2,2]m n ，求,m n 的值。

(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

函数单调性之分类讨论

函数单调性之分类讨论本文介绍了含参函数单调性的分类讨论方法。

首先，根据函数的形式（一次函数、二次函数、分式函数、含ex函数）进行分类讨论。

对于一次函数，根据参数k的正负和零来标记数轴上的根，并确定单调区间；对于二次函数，先进行因式分解，然后根据参数a的正负和零以及判别式Δ的大小来确定单调区间；对于分式函数和含ex函数，需要进行通分或提取e 等操作，然后根据参数分类讨论。

接下来，通过两个例题来演示如何使用分类讨论方法讨论函数单调性。

第一个例题中，给定函数f(x)=lnx-ax，根据导数的正负确定函数在定义域上的单调性；第二个例题中，给定函数f(x)=lnx-ax+(a-1)x^2/2，先求导得到导数，然后根据判别式Δ的大小和根的位置确定函数在定义域上的单调性。

总的来说，分类讨论法是一种通用的方法，适用于各种含参函数单调性的讨论。

在具体操作时，需要根据函数的形式和参数的取值进行分类讨论，然后根据导数的正负、判别式的大小和根的位置等来确定函数在定义域上的单调性。

首先需要进行一些符号的修正和排版调整，然后再进行改写。

1.讨论函数$f(x)=ae^x$的单调性。

解析：定义域为$(-\infty。

+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=ae^x$。

当$a0$时，$f(x)$在$(-\infty,1)$单调递减，在$(1,+\infty)$单调递增。

2.讨论函数$f(x)=\ln x+ax^2+(2a+1)x$的单调性。

解析：定义域为$(0,+\infty)$，函数的导数为$f'(x)=\frac{1}{x(x+1)}+(4a+2)x+2a+1$。

当$a\geq 0$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$单调递增；当$a<0$时，令$f'(x)=0$得到$x_1=-\frac{1}{2a}$和$x_2=-1$，因此$f(x)$在$(0,x_1)$和$(x_2,+\infty)$单调递减，在$(x_1,x_2)$单调递增。

微专题13 含参数二次函数的最值问题(原卷版)

微专题13 含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。

【题型归纳目录】题型一：定轴定区间型题型二：动轴定区间型题型三：定轴动区间型题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数【典型例题】题型一：定轴定区间型例1．（2022·全国·高一专题练习）函数()232f x x x =++在区间[] 55-，上的最大值、最小值分别是（） A ．1124-，B ．212，C ．1424-， D ．最小值是14-，无最大值例2．（2022·全国·高一课前预习）函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（） A ．10，5 B ．10，1 C ．5，1 D ．以上都不对例3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期中）若二次函数()()()24f x a x x =+-的图像经过点()0,4-，则函数()f x 在[]4,2-上的最小值为___________.例4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数242y x x =-+-，当14x ≤≤上时y 的最小值是________例5．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数2()25,[1,5]f x x x x =-+∈-．则函数的最大值和最小值之积为______题型二：动轴定区间型例6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式．（2）定义在()(),00,∞-+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．例7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数2()2(f x x mx m m =-++∈R)．当[1,1]x ∈-时，设()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（）A ．14B ．0C ．14-D ．1-例8．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在13x -≤≤上的最大值和最小值； (2)求()f x 在22x -≤≤上的最小值；(3)在区间12x -≤≤上的最大值为4，求实数m 的值．例10．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()()f x x x a =-.其中a R ∈，且0a >. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.例11．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数2(1)h x ax x=+（常数a R ∈）.(1)当2a =时，用定义证明()y h x =在区间[]1,2上是严格增函数； (2)根据a 的不同取值，判断函数()y h x =的奇偶性，并说明理由；(3)令1()()2f x h x x a x=--+，设()f x 在区间[]1,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.例12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()21f x x x a x R a R =+-+∈∈，，． (1)当1a =时，求函数()f x 的最小值 (2)求函数()f x 的最小值为()g a ．例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．(1)补充完整图象并写出函数()()f x x R ∈的增区间； (2)写出函数()()f x x R ∈的解析式；(3)若函数()()[]()211,2g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值．例14．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设函数2()43f x x ax =-+ (1)函数f (x )在区间[1，3]有单调性，求实数a 的取值范围； (2)求函数f (x )在区间[1，3]上的最小值h (a )．题型三：定轴动区间型例15．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；例16．（2022·江苏·高一单元测试）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =． (1)求()f x 的解析式；(2)当[]11x ∈-，时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．(3)设函数()f x 在区间[]1a a +，上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式．例17．（2022·全国·高一期中）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值．例19．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知关于x 的函数22 4.y x mx =-+ (1)当23x -≤≤时，求函数224y x mx =-+的最大值； (2)当23x -≤≤时，若函数最小值为2，求m 的值．例20．（2022·全国·高一专题练习）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05，，且()f x 在区间[]2-，4上的最大值是28． (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[]1x t t ∈+，上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式．题型四：动轴动区间型例21．（2022·江苏·楚州中学高一期中）已知函数2()2(0)f x x ax a =-> (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<(2)函数()y f x =在[],2t t +的最大值为0，最小值是-4，求实数a 和t 的值．例22．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．例23．（2022·四川巴中·高一期中）已知a R ∈，函数()f x x x a =-． (1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）例24．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值.例25．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知R a ∈，函数()f x x x a =-， (1)当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； (2)当2a >时，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值；(3)设0a ≠，函数()f x 在(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）例26．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()()(){}1max ,H x f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =．记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=______．例27．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数()f x x x a =-， (1)若()f x 在R 上是奇函数，求a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在区间(0,4]上的最大值和最小值；(3)设0a >，当m x n <<时，函数()f x 既有最大值又有最小值，求m n 、的取值范围（用a 表示）题型五：根据二次函数的最值求参数例28．（2022·全国·高一专题练习）已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴的一个交点为(1,0)-，且经过点(2,)c ．(1)求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．(2)当2t x t ≤≤-时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若3M N -=，求t 的值．例29．（2022·全国·高一专题练习）若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－1，2]上有最大值4，则a 的值为( ) A ．38B ．－3C ．38或－3D ．4例30．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x x x a =-在区间()0,1上既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．)222,0⎡-⎣ B ．()0,222 C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．)222,1⎡⎣例31．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知二次函数[]224,0,y x x x m =-+∈的最小值是3，最大值是4，则实数m 的取值范围是___________.例32．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数21()2f x x x =-+．若()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，则m n +=__________．【过关测试】一、单选题1．（2022·甘肃·民勤县第一中学高一阶段练习）有如下命题：①若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()132f >； ②函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,2； ③函数()1221log f x x x =--有两个零点； ④若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2．其中真命题的序号为（）． A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③2．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()23f x x bx a =-+在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值m ，则M m -（）A ．与a 无关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 有关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关3．（2022·河南·郏县第一高级中学高一开学考试）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，2()42f x x x =-+，则()f x 在区间[]4,2--上（） A ．单调递增且最大值为2 B ．单调递增且最小值为2 C ．单调递减且最大值为-2D ．单调递减且最小值为-24．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高一期中）已知函数()22f x x x a a =-++在区间[0，2]上的最大值是1，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．110,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（） A ．9B ．8C ．6D ．46．（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]01x ∈，时，()()41f x x x =-，则当(]20x ∈-，时，()f x 的最小值为（） A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-7．（2022·河北省博野中学高一开学考试）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t +4=0的两个实数根，则（m +2)(n +2）的最小值是（）. A ．7B ．11C ．12D ．168．（2022·陕西商洛·高一期末）若函数()2f x x bx c =++满足()10f =，()18f -=，则下列判断错误的是（）A ．1b c +=-B ．()30f =C ．()f x 图象的对称轴为直线4x =D ．f （x ）的最小值为－1二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）设函数()21,21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（） A ．2B ．-1C ．0D ．110．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-上的解析式()()1f x x x =+，则()f x 在[)0,∞+上正确的结论是（） A ．()00f =B ．()10f =C ．最大值14D ．最小值14-11．（2022·浙江省龙游中学高一期中）已知函数()221f x x mx =-+，则下列结论有可能正确的是（）A ．()f x 在区间[]1,2上无最大值B ．()f x 在区间[]1,2上最小值为()f mC ．()f x 在区间[]1,2上既有最大值又有最小值D ．()f x 在区间[]1,2上最大值()1f ，有最小值()2f12．（2022·全国·高一单元测试）若[]()()11,9f x x x =+∈，()22()()g x f x f x =+，那么（）A ．()g x 有最小值6B ．()g x 有最小值12C ．()g x 有最大值26D ．()g x 有最大值182三、填空题13．（2022·上海·复旦附中高一开学考试）已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3yx上，设点M 的对称点坐标为(),a b ，则二次函数()2y abx a b x =-++的最小值为______．14．（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数22y x x c =-++，当12x -≤≤时，函数的最大值与最小值的差为______15．（2022·全国·高一专题练习）若函数()221f x x ax a =-+-在[0,2]上的最小值为1-．则=a ____．16．（2022·全国·高一专题练习）设函数()2,2,x x a f x x x a ⎧≤=⎨+>⎩，若()f x 有最小值，则a 的取值范围是______．四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，交y 轴于点C ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当1m x m -≤≤时，函数23y ax bx =+-有最小值2m ，求m 的值．18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2y x x a =-+，其中R a ∈． (1)若函数的图象关于直线1x =对称，求a 的值； (2)试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值．19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()221f x x mx =++．(1)若1m =，求()f x 在[]13，-上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[]22-，为单调函数，求m 的值； (3)在区间[]12-，上的最大值为4，求实数m 的值．20．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习）二次函数()()2210g x mx mx n m =-++>在区间[]0,3上有最大值4，最小值0.(1)求函数()g x 的解析式；(2)设()()(2)f x g x a x =+-，且()f x 在[1,2]-的最小值为3-，求a 的值.1121．（2022·全国·高一课前预习）（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[-1，2]上最大值为4，求实数a 的值；（2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[-1，1]，求函数()f x 的最小值．22．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．。

二次函数专题——含参二次函数

含参的二次函数二次函数在初中的时候就比较重要，那么在高中阶段二次函数的考点更加重要，难度也会加大。

高中阶段比较喜欢考含有参数的二次函数，参数就会让函数形成一种动态，随着参数不同，函数是不一样的，这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。

例1. 求2()2f x x ax =-在[2,4]上的最大值和最小值。

解析：这道题因为参数的存在使得函数的本身是动的，在动的情况下考虑这个函数最大值和最小值的问题，这就涉及到高中比较爱考的一类问题，动轴定区间问题。

这道题中对称轴正好是x a =，随着a 不同，这个对称轴在变化，但是在给定区间上问最大值和最小值，那么就会有下面几种情况，在[2,4]这个区间上，有可能（1）这个对称轴不在这个区间里面这个时候的最大值最小值；也有可能（2）这个对称轴就在区间里面，这个时候的最值，还可能（3）对称轴在区间右侧这几个图针对这个函数并不严谨，上面的是一般函数的示意图，这道题中的函数一定是过原点的。

可以感受，随着a 的不同，最大值和最小值是不一样的，所以这种含参的动态的问题往往需要我们做的一个工作就是分类讨论。

那么函数在什么时候取到最大值呢，比如说（1），就会在4的地方取得最大值，（2）在4的地方取得最大值，（3）就会在2的地方取得最大值。

那么在整个函数的区间上，什么时候能取得最大值呢，我们就要看在这个区间上，哪个数离对称轴最远。

那么就有两种情况了，有的时候是2离得比较远，有的时候是4离得比较远，是怎么分界的呢？这个分界线就应该在2和4中间的位置上是3，当对称轴在3x =这条线左边的时候，对称轴离2就比较近，离4就比较远，对称轴在右边的时候，离2就比较近，离4就比较远。

因此这个函数的最大值，经过分类讨论之后，就会得到一个分段函数：max (4)=168(3)()(2)44(3)f a a f x f a a -≤⎧=⎨=->⎩也就是如果这个对称轴在3的左侧，也就是3a ≤的时候，离4远，在4处取得最大值，如果在右侧的话，也就是3a >的时候，离2远，在2处取得最大值。

高考核心解题方法总结—第六期【分类讨论法】-解析版

于是，通过第一问的玩法，试求试算，这样是不是在暗示我们，这题的基本路线？
（2）要证明原命题，只需证明 f (x) x c 对任意 x R 都成立， f (x) x c 2 | x c 4 | | x c | x c （等价转化到同等命题）
即只需证明 2 | x c 4 || x c | +x c （你看，依然不用讨论，去绝对值）
15
3
三、因绝对值大小不确定，取绝对值而进行分类讨论：
例 1：已知 f (x) x | x a | b, x R ．
（1）当 a 1, b 0 时，判断 f (x) 的奇偶性，并说明理由；
（2）当 a 1, b 1 时，若 f (2x ) 5 ，求 x 的值； 4
（3）若 b 0 ，且对任何 x 0,1 不等式 f (x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
1）若
a
3
，则
2a 3 a 1
2a
3a
1
0
，此时方程有两个正根，算作
2
个交点．
2）若
3 4
a
1，则对称轴
t
2a 3(a 1)
0
，则方程有两个负根，故算作
0
个交点．
3）若
a
1 ，则对称轴
t
2a 3(a 1)
0
，此时方程一个正根一个负根，算作
1
个交点．
3°若 0 ，即 3 a 3 时，则方程无解，故算作 0 个交点． 4
立，求实数 m 的取值范围．解： (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为 [1,1] ，
又 f (x)2 2 2 1 x2 [2, 4], 由 f (x) ≥0 得值域为[ 2, 2] ，

二次函数中的分类讨论问题

二次函数中的分类讨论问题
教学目标：
1 学生经历课上对简单动点问题的讲解，对简单动点问题的解题方法有初步的理解。

2.在学习过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等主要数学思想方法在解题中的应用，体会探索数学的乐趣。

教学重点：在二次函数中探讨分类讨论问题。

教学难点：运用图形的性质和判定寻找特殊位置，利用分类讨论思想解决问题。

教学过程：
一、教师导学：
本节课就二次函数中的分类讨论问题进行讲解。

（一）常见考点:
（1）确定二次函数解析式
（2）与动点有关的存在性问题（直角、等角、等腰三角形、直角三角形、等腰三角形全等三角形、相似三角形、特殊四边形等）
（3）函数类最值问题
（4）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想）本节课主要解决与动点有关的存在性问题。

二例题解析
1已知抛物线y=-x2-2x+3与直线y=x+3相交于点B(-3,0), C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为A（1，0）.
设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.
2已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴负半轴交于点A，
与y轴交于点B.在抛物线的对称轴上是否存在点Q,
使ΔQAB为等腰三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由。

三练习思考
（2）在（1）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标（1）作垂直x 轴的直线x=t,在第一象限交直线AB 于M ，
交这个抛物线于N ，求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少
思考题：直线y=-12x+2与抛物线y=-x 2+72
相交于A 、B 两点。

导数中含参数问题该如何进行分类讨论.doc

导数中含参数问题该如何进行分类讨论
一、导函数是二次函数或者类二次函数形式的
注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符号相同，很容易判断a 非负状态下的单调性，切记，切记。

二、导函数不是二次函数和类二次函数形式
能因式分解的先分解，之后求根，注意所求的根在所给出的定义域有没有意义，如果两个根中有一个或两个含有参数，则需要对比两根的大小关系，最后如果原函数有定义域，还需判断极值点和定义域端点处的位置关系。

三、最高次项系数含有参数，对该系数分类讨论
四、根的个数不确定时，对判别式Δ分类
五、两根大小不确定时，对两根大小分类讨论
六、不确定根是否在定义域内时，对根与定义域端点值的大小分类讨论
七、复杂问题，按顺序分类讨论。

二次函数求最值参数分类讨论的方法

二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。

为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。

然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例1 求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

例2 已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值变式练习：已知3a ≤，若函数()221f x x ax =-+在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g -=，求()a g 的表达式。

题型二：“动区间定轴”型的二次函数最值例3 求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

变式练习：已知函数()222f x x x =++，若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。

题型三：恒成立问题例5 已知函数2()3f x x =-+，若()26f x kx ≤-+在区间[]2,1-上恒成立，求实数k 的取值范围。

变式练习：1.已知函数()12-+=ax ax x f ，若()0<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

含参数二次函数分类讨论的方法总结

含参数二次函数分类讨论的方法总结二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略。

它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类然后逐类解决问题。

对于二次函数y=a(x-m)+n，x∈[t，s]求最值的问题，解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。

为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

分类图如下：t+s/2为对称轴，①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。

然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论。

题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值。

例如，求函数f(x)=x-2ax+3在x∈[0,4]上的最值。

先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：f(x)=x-2ax+3=(x-a)+3-a，此函数图像开口向上，对称轴x=a。

①、当a＜0时，距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，∴x=0时，ymin=3，x=4时，ymax=19-8a。

②、当0≤a＜2时，a距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a 最远，∴x=a时，ymin=3-a2，x=4时，ymax=19-8a。

③、当2≤a＜4时，a距对称轴x=a最近，距对称轴x=a最远，∴x=a时，ymin=3-a2，x=0时，ymax=3.④、当4≤a时，4距对称轴x=a最近，距对称轴x=a最远，∴x=4时，ymin=19-8a，x=0时，ymax=3.题型二：“区间定动轴”型的二次函数最值。

例如，已知函数f(x)=ax^2+(1-2a)x-3在[0,1]上最小值为-2，求实数a的值。

(完整版)含参数的一元二次不等式的分类讨论

复习引入：一元一次的分类讨论：2(2)(31)2(2)0k x k x x +--+->、含参数的一元二次不等式——分类讨论1. 优先考虑十字相乘，若两根大小不确定，即分121212,,x x x x x x >=<三种情况．2. 若不能十字相乘，则考虑按判别式∆的正负分类，即分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，结合图像法求解。

3. 按二次项系数正负是否确定：当二次项系数含参数时，按2x 项的系数a 的符号分类，即分0,0,0a a a >=<三种情况．1.2(1)0x a x a -++< 2.22560x ax a -+> 3.223()0x a a x a -++> 4.2(1)0x a x a -++< 5.2(2)20x a x a +--< 6.21()10 x a x a -++< 7.22210 x x a -+-≥1.2210x mx m -++> 2.220x kx k +-≤ 3.240x ax ++> 4.2(2)0x a x a +-+>2560()x ax ax a a R -+>∈解关于的不等式1.2210ax x ++< 2.210.ax ax +-< 3.220ax x a -+<1.21)10ax a x -++<（ 2.21)10ax a x +-->（ 3.22(1)40 mx m x -++< 4.2(32)60 ax a x -++< 5.22(1)40 ax a x -++<综合提高题1. 集合{}{}2222(1)0,540A x x a x a a B x x x =-+++<=-+≥，且A B ⊆，求a 的范围2. 集合{}(){}22320,10A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤，且A B ⊆，求a 的范围 3. 设全集U=R ，集合{}{}22(41)40,21A x x a a B x a x a =-++≤=≤≤+，且B A ⊆，求a 的范围4. 集合{}{}22540,220A x x x B x x ax a =-+≤=-++≤，且B A ⊆，求a 的范围含参数的一元二次不等式—恒成立和无解问题（数形结合） 1.220x x a ++>的解集为R ，求a 范围 2.220x x a ++≥的解集为R ，求a 范围 3.210x ax -+≥的解集为R ，求a 范围 4.()2140x k x +-+>的解集为R ，求a 范围5.2(1)10ax a x a +-+->恒成立，求a 范围 6.210ax ax -+>恒成立，求a 范围 7.23208kx kx ++<恒成立，求k 范围 8.22(2)0ax ax a +-+<恒成立，求k 范围 9. 2(3)10mx m x -+-<恒成立，求m 范围10. 2(2)(2)10a x a x -+-+≥恒成立，求a 范围11. 2(2)2(2)-40a x a x -+-<恒成立，求a 范围12. 22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，求a 范围13. 22(1)(1)10t x t x -+-->恒成立，求t 范围14. 22(23)(3)10m m x m x -----<恒成立，求m 范围15. 2(1)1mx m x m x m --+-函数的图像在轴下方，求实数的取值范围。

二次函数含参问题总结归纳

二次函数含参问题总结归纳1. 引言二次函数是数学中的一种重要函数形式，在各个领域都有广泛的应用。

它的一般形式可以表示为y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数。

在二次函数中引入参数之后，我们可以进一步研究函数的特性及其与其他变量之间的关系。

本文将对二次函数含参问题进行全面、详细、完整且深入地探讨。

2. 二次函数含参的一般形式二次函数含参可以表示为y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数，也可以是变量。

这样的表达方式使得函数可以根据不同的参数取值呈现出不同的性质和特性。

3. 二次函数的图像特征二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。

若a> 0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。

3.1 顶点坐标对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)。

通过求解一阶导数为零的方程，我们可以得到顶点的横坐标−b2a，然后将横坐标代入函数中求得对应的纵坐标。

3.2 对称轴二次函数的对称轴是以顶点为中心的直线。

对于一般形式的二次函数y=ax2+ bx+c，其对称轴的方程为x=−b2a。

对称轴将抛物线分为两个对称的部分。

3.3 焦点和准线对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，如果a≠0，则该函数的图像是一个抛物线。

在抛物线上存在一个焦点和一条准线。

焦点的坐标可以通过以下公式求得：(−b 2a ,1−4ac 4a) 准线的方程为 y =14a 。

4. 二次函数含参的特性研究通过引入参数，我们可以进一步研究二次函数的特性及其与其他变量之间的关系。

4.1 参数 a 的影响参数 a 决定了二次函数的开口方向和抛物线的斜率。

当 a >0 时，图像开口向上，抛物线的斜率为正；当 a <0 时，图像开口向下，抛物线的斜率为负。

同时，a 的绝对值越大，抛物线的开口越宽。

4.2 参数 b 的影响参数 b 决定了抛物线与 y 轴的位置关系，也是对称轴的横坐标。

二次函数含参问题总结归纳

二次函数含参问题总结归纳二次函数含参问题总结归纳二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是考试中经常考察的知识点。

在学习二次函数的过程中，我们会遇到含参问题，即函数中会存在一个或多个参数，这些参数会对函数的图像、性质等产生影响。

本文将对二次函数含参问题进行总结归纳。

一、二次函数基本性质回顾在介绍二次函数含参问题之前，我们先来回顾一下二次函数的基本性质。

1. 二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

2. 二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。

- 当a>0时，抛物线开口向上；- 当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的对称轴方程为x = -b/2a，对称轴与抛物线的凹凸性质相同。

4. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)即为函数的最值。

- 当a>0时，函数有最小值；- 当a<0时，函数有最大值。

二、含参二次函数的图像变化含参二次函数是指函数中存在一个或多个参数，这些参数会对函数的图像产生影响。

下面我们讨论几种常见的含参二次函数的图像变化情况。

1. 含参二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的参数a的变化对图像的影响：- 当a>0时，随着a的增大，抛物线的开口变得越来越窄，即变得越陡；- 当a<0时，随着a的减小，抛物线的开口变得越来越宽，即变得越矮胖。

2. 含参二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的参数b的变化对图像的影响：- 当b>0时，整个抛物线向左平移；- 当b<0时，整个抛物线向右平移。

平移的距离与b的绝对值成正比。

3. 含参二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的参数c的变化对图像的影响：- 当c>0时，在y轴上方平移；- 当c<0时，在y轴下方平移。

平移的距离与c的绝对值成正比。

含参数二次函数分类讨论的方法总结

二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a (x ?m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。

为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论. 解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠0 2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122a x a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠ (Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当302a -+=<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或a =评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。