信息论课程设计之线性分组码的计算

c = 0 (7)
式中，0代表零阵，它是[1×n] ×[n×(n-k)] = 1×(n-k)全零矢量。式（7）用以检验一个n重矢量是否为码字：若等式成立（得零矢量），该n重必为码字，否则不是码字。
G (8)
这里，0表示一个尺寸为[k ×n] ×[n×(n-k)] = k×(n-k)的零矩阵。
对于生成矩阵符合式（5）的系统码，其校验矩阵也是规则的，必为
G = [ P ] = (5)
这里p是k×(n-k)矩阵； 是k×k单位矩阵，从而保证了矩阵的秩是k。
信息组m乘以系统形式的生成矩阵G后所得的码字，其前k位由单位矩阵 决定，一定与信息组各码元相同，而其余的n-k位是k个信息位的线性组合，叫做冗余位或者一致校验位。这种把信息组原封不动的搬到码字前k位的码叫做系统码，其码字具有如下形式：
C = (1)
这种线性组合特征正是线性分组码名称的来历。研究线性分组码的关键是研究基底、子空间和映射规则，可把码空间与映射的关系化成如图1所示图形。
用 表示第i个基底并写成1 × n矩阵形式
＝[ ] (2)
再将k个基底排成k行n列的G矩阵，得
＝ (3)
对照式（1）可得
C＝[ ]＝ + = mG (4)
C = ( ) =（
反之，不具备“系统”特点的码叫做非系统码。非系统码与系统码并无本质的去北欧，它的生成矩阵通过行运算转变为系统形式，这个过程叫做系统化。系统化不改变码集，只改变映射规则。
由于C的基底和D的基底正交，空间C和空间D也正交，它们互为零空间。因此，（n,k）线性码的任意码字c一定正交于其对偶码的任一码字，也必定正交于校验矩阵H的任意一个行矢量，即
H = (9)
验证H的方法是看其行矢量是否与G的行矢量正交，即式（8）是否成立。此处
G = = [ ] + [ ] = [ ] + [ ] = 0 (10)
式中，两个相同的矩阵模2相加后为全零矩阵。这就说明了Ｈ确是校验矩阵。
四、MATLAB源代码
%已知生成矩阵G，可以求出校验矩阵H。
G源自文库[1,0,0,1,1,1;0,1,0,1,1,0;0,0,1,0,1,1];
信息论课程设计
一、所选题目
已知二元（6,3）线性分组码的系统生成矩阵，计算其校验矩阵H、消息与码集的映射关系，并对任意给定的二元6重矢量判断其是否为码字。
二、题目要求
1）计算校验矩阵
2）生成消息组
3）生成码集
4）判断输入的二元6重是否为码字
三、理论分析
线性分组码码空间Ｃ是由k个线性无关的基底 , … , 张成的k维n重子空间，码空间的所有元素（即码字）都可以写成k个基底的线性组合，即
fprintf('生成的码集为：C=\n');
disp(C);
r=input('输入码字r:');
if(r*H'==0);
r
fprintf('是码字\n');
else
r
fprintf('不是码字\n');
end;
五、结果截图
式中m = [ ]是1 x k的信息元矩阵， = [ ]，i = 0，…，k-1是G中第i行的矢量，也是张成码空间的第i个基底，同时也是码空间元素即码字之一。由于k个基底即Ｇ的k个行矢量线性无关，矩阵G的秩一定等于k。当信息元确定之后，码字仅由G矩阵决定，因此称k×n矩阵G为该（n,k）线性分组码的生成矩阵。
基底不是唯一的，生成矩阵也不是唯一的。事实上，将k个基地线性组合后产生令一组k个矢量，只要满足线性无关性的条件，依然可以作为基底张成一个码空间。不同的基底有可能生成同一码集，但因为编码涉及码集和映射两个因素，码集一样儿映射方法不同也不能说是相同的码。
基底的线性组合等效于生成矩阵G的运算，可以产生一组新的基底。利用这点可使生成矩阵具有以下的“系统形式”：
P=[G(1:3,4:6)];
H=[P',eye(3)];
fprintf('效验矩阵为：H=\n');
disp(H);
M=eye(8,3);%消息组矩阵
p=1;
for i=0:1
for j=0:1
for k=0:1
M(p,:)=[i,j, k];
p=p+1;
end
end
end
C=mod((M*G),2);