《复变函数与积分变换》2-1(全集)

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复变函数及积分变换第二章

x
arg z在负实轴上不连续.
若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点
arctan( y / x),
arg z arctan( y / x) π,
arctan( y / x), arctan( y / x),
x0 0
lim
z z0
arg
z
lim
( x, y)( x0
,
y0
)
arctan(
) ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连内每一点都连续，那么称函
数f(z)在区域D内连续.
定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、商（要求分母不为零）在点z0处连续.
(1)多项式 w a0 zn a1zn1 an1z an 在整个复平
面上连续；
(2)任何一个有理分式函数
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存
在，试求出极限值：
(1) f (z)
z Re(z) ; z
(2) f (z)
Re( z
z
2
2
)
.
解： (1)方法一
因为
f (z)
z
Re(z) z
z
所以 0，取，当0 z 时，总有
f (z) 0 f (z) z
根据极限定义 lim f (z) 0 z0
解：dw lim f (z Δz) f (z) lim (z Δz)n zn
dz Δz0
Δz
Δz 0
Δz
Δlizm0(Cn1 zn1 Cn2 zn2Δz
C n1 n
zΔz
n2
Cnn Δz n1 )
Cn1zn1 nzn1,

复变函数与积分变换课件

9
根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R( z ) 1 z
mn
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m 1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m

20
四、小结与思考
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点.
21
本章内容总结
孤立奇点
可去奇点极点
函数的零点与极点的关系
本性奇点
留数
计算方法留数定理
1.
计算
f ( z )dz
C
留数在定积分计算中的应用

2
0
R(sin ,cos )d f ( x )dx
z2 1 , dz ie i d , 令 z e i , 则 sin 2 zi
I
2π
0
1 d 5 3 sin
1 dz 1 3( z 2 1) iz z 5 2iz
z 1
2 2 2 dz 3z 10iz 3 3 z 1

2 i ( z )(z 3i) 3
封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
2
形如
0
2π
R(cos , sin )d
i
令ze
dz ie d
i
dz d , iz
z2 1 1 i sin (e e i ) , 2i 2iz

(完整版)复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

复变函数与积分变换_第一章.

2.复数的概念
对于任意两实数 x , y, 我们称形如 z x yi 或 z x iy 的数为复数.
其中实数 x , y 分别称为 z 的实部和虚部,
记作 x Re( z ),
y Im( z ).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数 x. 当 x 0, y 0时, z 0.
§1.1-1.2 复数及其表示式
1 复数的概念
2 复数的四则运算
3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
1. 虚数单位
简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍
理论，引入等式
i 2 1.
由该等式所定义的数i称为虚数单位
虚数单位为i=j=sqrt(-1)
解
z1 3 4i (3 4i )( 1 i ) z2 1 i ( 1 i )( 1 i )
( 3 4) (4 3)i 7 1 i. 2 2 2 7 1 z1 i . 2 2 z2
例 1.2
i i,
1.1.2 复数的四则运算
1. 复数相等设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2.
注意
复数不能比较大小.
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1) 两复数的和 z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2) 两复数的积 z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3)两复数的商 z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2

《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案

复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解：设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根．解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ． 9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

机械工业出版社复变函数与积分变换第2章解析函数

u ex siny
u v
y v ex cosy
x v
y u
y
x y
故 f (z) ex(cosy i siny)在全平面可导，解析
f'( z ) u i v e x cy o is x e si y n f( z ) x x
29
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
C-R方程 f (z )在点z=x+iy处可导）
∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：
u u x x u y y1 x2 y v x vx v yy3 x4 y
其 lx 中 i m 0 k0 ,(k1 ， 2 ,3 ,4 )
y 0
f(z z)f(z) u i v
如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析在D内可导。
(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
12
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
y0
iy
y0
iy
1uvviu i y y y y
19
f '(z )存在
u i v v i u x x y y
u v v u
x y x
y
定义方程
uv v u x y x y
记忆
u u
x
y
v
v
x
y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
20
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是

复变函数与积分变换(全套课件334P)

z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程平面曲线有直角坐标方程和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z

复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件

将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
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1.1.5无穷远点与扩充复平面取一个与相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线与球面S交于另一点N，O和N分别称为球面的南极和北极（图1.7）.
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1.1.1复数域形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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1.1.2复平面、复数的模与辐角由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：

复变函数与积分变换全套精品课件

复变函数与积分变换
全套课件
§1.1 复数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)

复变函数和积分变换第2章解析函数.ppt

的可导性与解析性．
解由例2.1、例2.2知在C 上可导，在上处处不可导，从而由导数的运
算法则知，函数f(z)=
在z≠0时不可导.当z=0时,可得
即在z=0处可导．综上所述，函数f(z)= 仅在z=0可导，故在全平面 C上处处不解析．由复变函数的求导法可推出解析函数的以下性质:
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复变函数与积分变换
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复变函数与积分变换
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定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某点z=x+iy可导的充分必要条件是 ①u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微； ②在点(x,y)处有
此时f(z)的导数为
称式(2.3)为柯西—黎曼（Cauch-Riemann）方程，或简称为C.-R.条件．
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复变函数与积分变换
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下面我们列出复变函数导数的运算法则，其证明方法与微积分中方法类似. 如果函数f(z)，g(z)在区域D内可导，则在对任意z∈D有
②设函数ξ=g(z)在区域D内可导，w=f(ξ)在区域G内可导，且对于D内每一点z，函数值ξ=g(z)均在区域G内，则对任意z∈D有
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2.1解析函数的概念 2.1.1复变函数的导数与微分 (1)复变函数的导数把一元实变函数的导数概念形式推广到复变函数中来，就得到复变函数导数的概念. 定义2.1设w=f(z)是定义在区域D内的复变函数，z0,z0+Δz∈D，若极限
存在，则称f(z)在点z0可导，这个极限值称为f(z)在z0的导数，记作
复变函数与积分变换
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第2章解析函数
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复变函数与积分变换第1章

第一章复变函数与解析函数§1.1 复数 §1.2 平面点集 §1.3 连续函数 §1.4 解析函数§1.5 函数可导的充要条件 §1.6 初等解析函数复变函数与积分变换及应用背景M.Kline {Morris Kline (1908-1992) , 纽约大学Courant 数学研究所的教授. 他的著作包括《数学: 确定性的丧失》等.}(《古今数学思想》(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作者, 美国数学史家) 指出: 从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一. (1) 代数方程210x +=在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数的概念, 从而建立了复变函数理论.Gauss {(Carl Friedrich Gauss( 幼时家境贫困, 但聪敏异常, 曾被誉为数学神童.1795～1798年在哥廷根大学学习,1796年发现正十七边形的尺规作图法, 解决了Euclid 以来悬而未决的问题. 1799年证明了代数基本定理获得博士学位. Guass 是近代数学奠基者之一, 有“数学王子”之称. 从1807年起担任哥廷根大学教授兼哥廷根天文台台长, 直至逝世. Guass 的数学研究几乎遍及所有领域, 在很多方面都做出了开创性的贡献. 他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法. Guass 曾说: “数学是科学之王.”}应用复变函数理论证明了代数基本定理. {复系数n 次代数方程1110n n n n z a z a z a --++++=在复数域必有n 个根. }(2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分.J. Hadamard {( 他在1896年应用复变函数理论证明了当 x =1时, Riemann ζ函数()0,z ζ≠从而证明了素数定理.他曾于1936年来华在清华大学讲学. Riemann ζ函数11()n n z z ζ∞==∑}说: 实域中两个真理之间的最短路程是通过复域.(3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.(4) 应用于计算绕流问题中的压力和力矩等. 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算, 从而研究机翼的造型问题.(5) 应用于计算渗流问题. 例如: 大坝、钻井的浸润曲线.(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如: 热炉中温度的计算.(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域.(9) Fourier {Joseph Fourier (, 1822年出版名著《热的分析理论》, 形成了一种在数学物理问题中有普遍意义的方法, 它开辟了Fourier分析这样一个近代数学的重要分支. Fourier分析在物理、数学和工程技术上都有广泛的应用. 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.} 变换应用于频谱分析和信号处理等. 频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析. 随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(10) Laplace {Pierre Simon de Laplace(, 他都感兴趣.最著名的著作有《天体力学》(1799-1825, 5卷本)和《概率的分析理论》(1812). 提出了太阳系生成的星云假说. 以他的名字命名的Laplace变换和Laplace方程有广泛的应用. 我们知道的, 是很微小的; 我们不知道的, 是无限的.}变换应用于控制问题. 在控制问题中, 传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比.(11) Z变换应用于离散控制系统.(12) 小波分析的应用领域十分广泛, 如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等.(13) 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件MA TLAB{MA TLAB 是一个为科学和工程计算而专门设计的高级交互式软件包, 是一种高性能的编程软件, 具有通用科技计算、图形交互系统和程序设计语言, 并且语法规则简单, 容易掌握和调试方便. 在Windows系统中, 点击MA TLAB图标启动程序, 进入MATLAB界面.}主要内容本章首先引入复数的概念及其运算、平面点集的概念.然后讨论复变函数的连续性，重点研究解析函数.最后介绍几个基本的初等解析函数.§1.1 复数1 复数的概念2 复数的四则运算3 复数的表示方法4 乘幂与方根1.1.1 复数的概念由于解代数方程的需要, 人们引进了复数. 例如, 简单的代数方程210x +=在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍理论，引入等式21i =-由该等式所定义的数称为虚数单位i =称形如x iy +或x yi +的表达式为复数，其中x 和y 是任意两个实数. 把这里的x 和y 分别称为复数x iy +(或x yi +)的实部和虚部, 并记做Re x z =, Im y z =当复数的虚部为零、实部不为零( 即0y =, 0x ≠)时，复数x iy +等于0x i +为实数x , 而虚部不为零(即0y ≠)的复数称为虚数. 在虚数中, 实部为零(即0x =, 0y ≠)的称为纯虚数. 例如, 303i +=是实数,45i +, 3i -都是虚数, 而3i -是纯虚数.共轭复数复数x yi -称为复数x yi +的共轭复数 (其中x ,y 均为实数), 并记做z . 显然, x yi -是x yi +的共轭复数, 即()z z z == 1.1.2 复数的四则运算设111z x iy =+, 222z x iy =+是两个复数, 如果12x x =, 12y y =,则称1z 和2z 相等, 记为12z z =. 注意复数不能比较大小.复数111z x iy =+和222z x iy =+的加、减、乘、除运算定义如下： (1) 复数的和与差 (2) 复数的积 (3) 复数的商复数运算的性质 1. 交换律 2. 结合律 3. 分配律4. 1212z z z z ±=± 1212z z z z ⋅=⋅ 1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. z z =6. [][]22Re()Im()z z z z ⋅=+7. 2Re(),2Im()z z z z z i z +=-=例1.1 设1234,1,z i z i =-=-+求12z z 与12z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭解:1234(34)(1)1(1)(1)z i i i z i i i ----==-+-+-- 例 1.21i i =, 21i =-, 32i i i i =⋅=-, 4221i i i =⋅=……41n i =, 41n i i +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 441n i +=例1.3 设12,z z 是两个复数, 证明()2121212Re z z z z z z += 证明因为212112z z z z z z ==所以由运算规律7，有()21222121112Re z z z z z z z z z z +=+=本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明. 1.1.3 复平面与复数的表示法给定一复数z x iy =+, 在坐标平面XOY 上存在惟一的点(,)P x y 与z x iy =+对应. 反之, 对XOY 平面上的点(,)P x y , 存在惟一的复数z x iy =+与它对应. 根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射. 因此可以用XOY 平面上的点表示复数z .这时把XOY 平面平面称为复平面. 有时简称为z 平面.显然, 实数与x 轴上的点一一对应, 而x 轴以外的点都对应一个虚数, 纯虚数()0iy y ≠与y 轴上的点(除原点)对应. 因此, 称x 轴为实轴, y 轴为虚轴.今后把复平面上的点和复数z 不加区别, 即“点z ”和“复数z ”是同一个意思. 有时用 C 表示全体复数或复平面复数z 也可以用以原点为起点而以点P 为终点的向量表示(如图). 这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.用OP 表示复数z 时, 这个向量在x 轴和y 轴上的投影分别为x 和y .把向量OP 的长度r 称为复数z 的模或称为z 的绝对值, 并记做z .显然z r ==, , z x y x z y z ≤+≤≤.如果点P 不是原点(即0z ≠), 那么把 x 轴的正向与向量OP 的夹角q 称为复数z 的辐角, 记做Argz . 对每个0z ≠, 都有无穷多个辐角, 因为用0θ表示复数z 的一个辐角时, ()02 0,1,2,k k θθπ=+=±±就是z 的辐角的一般表达式.满足πθπ-<≤的复数z 的辐角称为主辐角(或称辐角的主值), 记做argz , 则: 有时, 在进行说明后, 把主辐角定义为满足02θπ≤<的辐角, 这时上式仍然成立. 当0z =时, Argz 没有意义, 即零向量没有确定的方向角；但当0z =时, 0z =. 当0z ≠时, 有()tan Arg y z x=利用直角坐标与极坐标之间的关系cos x r θ=, sin y r θ=复数z x iy =+可表示为(cos sin )z r i θθ=+称为复数z 的三角表示式. 再利用Euler 公式 cos sin i e i θθθ=+.复数z x iy =+又可表示为 i z re θ=,称为复数的指数表示式, 其中r z =, Argz θ=.当0z ≠时, Arg Arg z z =-当i z re θ=时, i z re θ-=.共轭复数的几何性质一对共轭复数z 和z 在复平面的位置是关于实轴对称的.从几何上看, 复数21z z -所表示的向量, 与以1z 为起点、2z 为终点的向量相等 (方向相同, 模相等). 复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算. 复数和与差的模的性质因为12z z -表示点1z 和2z 之间的距离故1212z z z z -≥-; 1212z z z z +≤+ 1.1.4 乘幂与方根设复数1z 和2z 的三角表示式为1111(cos sin z r i θθ=+）, 2222(cos sin z r i θθ=+）根据乘法定义和运算法则及两角和公式,于是121212z z r r z z =⋅=⋅; 1212Arg()Arg Arg z z z z =+两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.应该注意的是1212Arg()Arg Arg z z z z =+中的加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的元素相加构成的集合(){}12121122Arg Arg ,Arg z z z z θθθθ=+∈∈ 两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为1111(cos sin z r i θθ=+）2222(cos sin z r i θθ=+）先将1z 按逆时针方向旋转角度2θ, 再将模变到原来的2r 倍,于是所得的向量z 就表示乘积12z z ⋅利用数学归纳法可以证明：如果()(cos sin ) 1,2,,k k k k z r i k n θθ=+=那么特别地, 如果那么如果写成指数形式，即如果 () 1,2,,k i k k z r e k n θ==, i z re θ=那么()121212n i n n z z z rr r e θθθ+++=,n n in z r e θ=.特别地，当1z r ==时, 121212[cos()n n n z z z r r r θθθ=+++12sin()]n i θθθ++++变为()cos sin (cos sin )ni n i n θθθθ+=+.称为De Movie 公式. 如果定义负整数幂为1n n z z-=, 那么De Movie 公式仍然成立. 设1111(cos sin )z r i θθ=+, 2222(cos sin )z r i θθ=+.当20z ≠(即20r ≠)时,2112211222222211z z z z z z z z r z z z ===112122[cos()sin()]r i r θθθθ=-+- 如果将1z 和2z 写成指数形式111i z r e θ=, 222i z r e θ=, 则12()1122i z r e z r θθ-=于是1122z z z z =,1122Arg Arg Arg z z z z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差对给定的复数z , 方程nw z =的解w 称为z 的n 次方根,或1n z 如果(cos sin )z r i θθ=+, (cos sin )w i ρφφ=+于是, (cos sin )(cos sin )nn i n r i ρϕϕθθ+=+, 当0r ≠时, nr ρ=, cos cos n φθ=, sin sin n ϕθ=.满足以上三式的充分必要条件是1nr ρ=, 2π (0,1,2,)n k k ϕθ=+=±±其中1nr 表示算术根. 于是当取0,1,2,1k n =-时, 对一个取定的θ, 可得n 个相异根如下:10cos sin n w r i n n θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 112π2πcos sin n w r i n n θθ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 112(1)π2(1)πcos sin n n n n w r i n n θθ-+-+-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由三角函数的周期性可见, 除011,,,n w w w -外, 均是重复出现的, 故这n 个复数就是所要求的n 个根. 当0z =时, 0w =就是它的n 次方根.在上面的推导过程中, 可取θ为一个定值, 通常取主辐角. 若用指数表示式, 则当i z re θ=时, 例1.4 求方程4160w +=的四个根.解: 因为-16=24e (2k +1)pi , 所以()21442k iw eθ+=. 于是()()121442422 0,1,2,3k i k iw eek πππ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭⎡⎤===⎣⎦.4022cos sin )44iw ei i πππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭; 3413322cos sin 1)44i w e i i πππ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭. 5425522cos sin)44iw ei i πππ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭; 7437722cos sin)44i w e i i πππ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭1234,,,w w w w 恰好是以原点为圆心、半径为2的圆2z =的内接正方形的四个顶点(如图).一般情况下, 1n z =, n 个根就是以原点为中心、半径为1nr 的圆的内接正多边形的n 个顶点所表示的复数.1.1.5 复球面与无穷远点复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数. 设∑是与复平面C 切于原点O 的球面. 过原点O 做垂直于平面 C 的直线, 与∑的另一交点为N . 原点O 称为∑的南极(s 极), 点N 称为∑的北极(如图).球面上的点, 除去北极N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面上的点来表示复数.球面上的北极N 不能对应复平面上的定点,当球面上的点离北极 N 越近,它所表示的复数的模越大. 规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 球面上的北极N 就是复数无穷大的几何表示.不包括无穷远点的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 包括无穷远点的复平面称为扩充复平面. 球面上的点与扩充复平面的点构成了一一对应, 这样的球面称为复球面.对于复数的无穷远点而言, 它的实部、虚部, 辐角等概念均无意义, 规定它的模为正无穷大. 关于∞的四则运算规定如下: (1) 加法()ααα+∞=∞+=∞≠∞;(2) 减法()ααα-∞=∞-=∞≠∞; (3) 乘法(0)ααα⋅∞=∞⋅=∞≠;(4) 除法0,(),(0)0ααααα∞==∞≠∞=∞≠∞§1.2 平面点集1 区域2 Jordan 曲线、连通性 1.2.1 区域 1. 邻域0z 是复平面内的定点, 满足不等式0z z δ-<的一切点所组成的集合{}0z z z δ-<称为0z 的δ邻域,简称为0z 的邻域, 其中0δ>. 0z 的邻域实际上是以0z 为中心, δ为半径的圆的内部所有点组成的点集,简记为0(,)B z δ.由满足不等式00z z δ<-<的一切点所组成的集合称为0z 的去心邻域 .满足不等式()0z R R >>的一切点(包括无穷远点)的集合称为无穷远点的邻域. 用R z <<+∞表示无穷远点的去心邻域. 2. 内点设E 是复平面上的点集, 0z 是一个定点, 若存在0z 的一个邻域, 使得该邻域内的一切点均属于E , 则称0z 是E 的内点. 即存在0ρ>, 满足:(){}00, B z z z z E ρρ=-<⊂. 3. 外点设E 是复平面上的点集, 0z 是一个定点, 若存在0z 的一个邻域, 使得在此邻域内的一切点均不属于E , 则称0z 是E 的外点. 即存在0ρ>, 满足:(){}10, B z E z z z E ρρ=-<=∅4. 边界点设E 是复平面上的点集, 0z 是一个定点, 若0z 的任何邻域内都含有属于E 的点和不属于E 的点, 则称0z 是E 的边界点. 即对任意的0ρ>, 存在()120,,z z B z ρ∈, 满足12, z E z E ∈∉E 的边界点的全体所组成的集合称为E 的边界, 记做E ∂. 显然, E 的内点属于E , 而外点不属于E ,但边界点既可能属于E , 也可能不属于E .5. 开集设G 是复平面上的点集, 如果G 内每一点都是它的内点,则称G 为开集.例1.5 设0z 是定点, 0r >是常数, 则0z 为中心,以r 为半径的圆的内部点, 即满足不等式0z z r -<的一切点z 所组成的点集 (0z 的r 邻域) 是开集.当0r R ≤< (r 和R 均是常数) 时, 满足不等式0r z z R <-<的一切z 所组成的点集也是开集. 但满足不等式0r z z R <-<的一切点所组成的点集不是开集. 因为在圆周0z z R -=上的点属于集合0r z z R <-<, 但这些点不是它的内点, 而是边界点.在圆周0z z r -=和圆周|0z z R -=上的点都是点集0r z z R <-<和0r z z R <-≤的边界点. 两个圆周上的点都不属于点集0r z z R <-<, 内圆周0z z r -=不属于点集0r z z R <-≤, 外圆周0z z R -=属于点集0r z z R <-≤.6. 区域设D 是复平面上的点集，如果满足以下两个条件:(1) D 是开集；(2) D 内的任何两点1z 和2z 都可以用一条完全在D 内的折线, 把1z 和2z 连接起来(具有这个性质的点集叫做连通的). 则称D 是复平面上的区域.简单地说, 连通开集称为区域. 基本概念的图示由区域D 和它的边界D ∂所组成的点集，称为闭区域, 记做D如果一个平面点集完全包含在原点的某一个邻域内, 那么称它是有界的. 不是有界集的点集叫做无界集.例如, 满足不等式0z z r -<和0r z z R ≤-≤的一切点所组成的点集都是有界的闭区域, 满足不等式z R ≥的一切点所组成的点集是无界的闭区域.例1.6 判断下列区域是否有界? (1) 圆环域: 102r z z r <-< (2) 上半平面: Im 0z > (3) 角形域: 12arg z φφ<<(4) 带形域: Im a z b << 答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界.,,,(1) (2) (3) (4) 1.2.2 Jordan 曲线、连通性 (1) 连续曲线、 Jordan 曲线参数方程()(), ()x x t y y t a t b ==≤≤在XOY 平面上表示一条曲线C . 把XOY 平面视为复平面时, 曲线C 的参数方程可表示为: ()()()()z z t x t iy t t αβ==+≤≤如果()(), ()x x t y y t a t b ==≤≤为连续函数时, 则称曲线C 为连续曲线.曲线C 在复平面上的参数方程不仅确定了曲线的形状, 实际上还给出了曲线的方向, 也就是说, 曲线是沿着t 增加的方向变化的.复平面上对应于()()()z x iy ααα=+的点称为曲线C 的起点, 对应于()()()z x iy βββ=+的点称为曲线C 的终点.若曲线C 的起点与终点重合, 即()()z z αβ=, 则称C 是闭曲线.例如, ()() cos sin (02)z z t r t i t t π==+≤≤是一条闭曲线, 因为()()02z z r π==.对曲线C 的参数方程()()()()z z t x t iy t t αβ==+≤≤, 做变量代换可得()() z z t t βααβ=+-≤≤ 这两个方程所确定的曲线形状相同, 起点和终点互易, 从而方向相反. 用C -表示与C 形状相同、方向相反的曲线.如果12t t ≠, 有()()12z t z t =, 则称()()12z t z t =是曲线()z z t =的重点.如果曲线:()()C z z t t αβ=≤≤除起点与终点外无重点,即除12,t t αβ==之外, 如果12t t ≠有()()12z t z t ≠, 则称曲线C 是简单曲线.连续的简单闭曲线称为Jordan 曲线. 任何Jordan 曲线C 将平面分为两个区域, 即内部区域(有界)与外部区域(无界), C 是它们的公共边界.下列曲线是否为简单闭曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭关于曲线方向的说明:设C 为平面上给定的一条连续曲线,如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正向, 则称C 为有向曲线.如果从A 到B 作为曲线C 的正向, 那么从B 到A 为曲线C 的负向, 就是C -. 除特殊声明外, 正向总是指从起点到终点的方向.Jordan 曲线C 有两个方向, 当点z 沿着C 的一个给定方向变化时, 若C 的内部出现在点z 前进方向的左侧, 就规定这个方向是正的; 否则就说是负的.如果没有特别说明, 约定Jordan 曲线的正向为这条曲线的方向.对于圆周曲线可以简单地说, 逆时针方向为曲线的正向, 顺时针方向为曲线的负向. (2) 光滑曲线如果曲线C 参数方程中的()x t 和()y t 都在[,]a b 上存在连续的导函数, 且对任何[,]t a b ∈, 都有称C 是一条光滑曲线.光滑曲线分段光滑曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线. 能求出长度的曲线称为可求长曲线. 分段光滑曲线是可求长曲线. (3) 单连通区域与多连通区域设D 是复平面上的一个区域, 如果位于D 内的任何Jordan 曲线的内部区域也都包含于D , 则称D 为单连通区域.若区域D 不是单连通区域, 则称它为多连通区域.单连通域多连通域练习 1 指出下列不等式所确定的点集, 是否有界? 是否区域? 如果是区域, 单连通的还是多连通的? 解 (1) 当z x iy =+时, 222Re()z x y =-, 222Re()11,z x y <⇔-<无界的单连通区域(如图).(2)arg 3z π<. arg arg 333z z πππ<⇔-<<, 是角形域, 无界的单连通域(如图).1(3)3z <. 1133z z <⇔>,是以原点为中心, 半径为13的圆周外部, 无界多连通区域(如图). (4)114z z -++<因为114z z -++=表示到1, –1两点的距离之和为定值 4 的点的轨迹, 和为定值4的点的轨迹, 114z z -++<表示该椭圆的内部, 这是有界的单连通区域(如图).(5)111z z -⋅+<, 令cos sin z r ir θθ=+.111z z -⋅+<⇔222222[(cos 1)sin ][(cos 1)sin ]1r r r r θθθθ-+⋅++<,22(2cos 1)(2cos 1)1r r r r θθ++-+<, 222(1)4(cos )1r r θ+-<2 2cos 2r θ⇒<22cos 2r θ=是双叶玫瑰线(也称双纽线). 111z z -⋅+<表示双纽线的内部. 这是有界集, 但不是区域.练习 2 满足下列条件的点集是否区域? 如果是区域, 是单连通区域还是多连通区域?(1)Im 3z =这是一条平行于实轴的直线, 不是区域.(2)Re 2z <-这是以为Re 2z =-右边界的半平面, 不包括直线Re 2z =-它是单连通区域.(3)012z i <++<这是以(1)i -+为圆心, 以2为半径的去心圆盘.它是多连通区域. (4)arg()4z i π-=这是以i 为端点, 斜率为1的半射线, 不包括端点i . 它不是区域.§1.3 连续函数1 复变函数的定义2 复变函数的极限3 函数的连续性 1.3.1 复变函数的定义定义1.1 设E 是复平面上的点集, 若对任何z E ∈, 都存在惟一确定的复数w 和z 对应, 称在E 上确定了一个单值复变函数，用()w f z =表示. E 称为该函数的定义域.在上述对应中, 当z E ∈所对应的w 不止一个时, 称在E 上确定了一个多值复变函数. 例如, w z =是以复平面C 为定义域的单值函数, 而Arg arg 2 (0,1,2,)w z z k k π==+=±±是定义在{}\0C 上的多值函数. 以后不特别申明时，所指的复变函数都是单值函数.因为z x iy =+和w 都是复数, 若把w 记为u iv +时, u 与v 也是z 的函数, 因此也是x 和y 的函数. 于是, 可以写成()(,)(,)f z u x y iv x y =+, 其中(,)u x y 和(,)v x y 都是实变量的二元函数.例如: 2w z =是一个复变函数. 令,z x iy w u iv =+=+, 因为222()2x iy x y xyi +=-+于是函数2w z =对应于两个二元实函数22, 2u x y v xy =-=. 反之, 如果22(,)(,)2w u x y iv x y x y xyi =+=-+.令,22z z z z x y i +-==于是22222222z z z z z z z z w i z i i +-+-⎛⎫⎛⎫=-+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭反函数的定义设函数()w f z =的定义域为复平面上的点D , 称复平面上的点集{}(), G w w f z z D ==∈, 为函数()w f z =的值域.对于任意的w G ∈, 必有D 中一个或几个复数与之对应.于是, 确定了G 上一个单值或多值函数()z w ϕ=, 称之为函数()w f z =的反函数. 1.3.2 复变函数的极限定义 1.2 设复变函数()w f z =在0z 的某个去心邻域内有定义, A 是复常数. 若对任意给定的0ε>, 存在0δ>, 使得对一切满足00z z δ<-<的z , 都有()f z A ε-<成立, 则称当z 趋于0z 时, ()f z 以A 为极限，并记做0lim ()z z f z A →=或0() ()f z A z z →→.注意: 定义中0z z →的方式是任意的. 例1.7 当0z →时, 函数() (0)zf z z z=≠极限不存在. 事实上, 当z 沿直线y kx =趋于零时, 001lim ()lim.1z x y kxx ikx ikf z x ikx ik→→=++==-- 该极限值随k 值的变化而变化,所以极限0lim ()z f z →不存在.1.3.3 函数的连续性定义 1.3 设()f z 在0z 的邻域内有定义, 且00lim ()()z z f z f z →=则称()f z 在0z 处连续. 若()f z 在区域D 内的每一点都连续，则称()f z 在区域D 上连续.关于函数()f z 在连续曲线C 上的连续性和闭区域D 上的连续性, 只要把上述定义中的z 限制在C 或D 上即可.定理1.1 设()(,)(,),f z u x y iv x y =+ 则()f z 在000=+z x iy 处连续的充分必要条件是(,),u x y (,)v x y 都在00(,)x y 点连续. 证明只须注意, 由等式可得不等式又有不等式利用这些不等式及定义1.3, 结论易证.这个定理说明复变函数()(,)(,)=+f z u x y iv x y 的连续性等价两个二元实函数(,),(,)u x y v x y 的连续性.例1.8 设复变函数()f z 在点0z 连续，并且0()0f z ≠, 则存在0z 的某个邻域，使()f z 在此邻域内恒不为0.证明由于()f z 在点 0z 连续, (,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续, 故()=f z 在00(,)x y 点连续. 因0()0f z ≠, 所以0()0.>f z 由二元函数的连续性, 必存在00(,)x y 的某个邻域, 使得在此邻域内, ()0,>f z 即在此邻域内0()0f z ≠.定理1.2 设(),()f z g z 都在0=z z 点连续, 则()(),()()±f z g z f z g z 都在0=z z 点连续，而0()0≠g z 时,()()f zg z 也在0=z z 点连续. 定理1.3 设()ϕz 在0z 处连续, 00(),ϕ=z w 而()f w 在0=w w 点连续，则复合函数[()]f g z 在0=z z 点连续.应用定理1.1或仿证明实函数类似结论的方法可以证明上述两个定理.由前面的结论可知, 多项式1011()--=++++n n n n P z c z c z c z c 在复平面内处处连续. 有理分式:在复平面内除分母为零的点之外, 处处连续.(),0, 1, 2,, ,=i i a c i n ()0, 1, 2, , =j b j m 都是复常数. 为了后面的需要, 给出下面一个关于函数有界性的定理.定理 1.4 设()f z 在有界闭区域D (或有限长的连续曲线C )上连续，则()f z 在D ( 或C )上有界, 即存在0M >, 当∈z D 或∈z C 时，有().≤f z M§1.4 解析函数1 复变函数的导数2 解析函数1.4.1 复变函数的导数 (1) 导数的定义定义1.4 设()w f z =是定义在区域D 上的复变函数, 0z 是区域D 内的定点. 若极限000()()limz z f z f z z z →--存在，则称()f z 在0=z z 点可导, 并把这个极限值称为()f z 在0=z z 点的导数，记做0().f z ' 定义中的极限式可以写为 000()()lim, z f z z f z z∆→+∆-∆即当()f z 在0=z z 点可导时,注意: 0(0)z z z →∆→的方式是任意的.若()f z 在区域D 内每一点都可导, 则称()f z 在区域D 内可导. 此时，对D 内任意一点z , 有也可用d d (),d d w f z z z等表示()f z 在z 点的导数.例1.9 设2(),f z z =则()f z 在复平面内处处可导，且()2.f z z '= 解因为所以()22.z z '=例1.10 证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +∆-()2()2x x y y i x yi =+∆++∆--2.x yi =∆+∆ 故0lim[()()]0.z f z z f z ∆→+∆-=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.但是,()()f z z f z z+∆-∆()2()2x x y y i x yi x yi +∆++∆--=∆+∆2.x yix yi ∆+∆=∆+∆设z ∆沿着平行于x 轴的方向趋向于0, 即0, 0.x y ∆→∆=于是0002limlim 1.x x y x yi xx yi x ∆→∆→∆=∆+∆∆==∆+∆∆设z ∆沿着平行于y 轴的方向趋向于0, 即0, 0,x y ∆=∆→ 所以()2f z x yi =+的导数不存在. (2) 可导与连续的关系函数()f z 在0z 处可导，则在0z 处一定连续, 但函数()f z 在0z 处连续不一定在0z 处可导.事实上, 由()f z 在0z 点可导, 必有0000()()lim()0,z f z z f z f z z∆→+∆-'-=∆令000()()()()f z z f z z f z zρ+∆-'∆=-∆.再由0lim ()0,z z ρ∆→∆=所以即()f z 在0z 处连续.反之, 由例1.10知, ()2f z x yi =+不可导.但是二元实函数(,), (,)2u x y x v x y y ==连续, 于是根据定理1.1知, 函数()2f z x yi =+连续. (3) 求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同. 求导公式与法则:(1) ()0,c '=其中c 为复常数. (2) 1(),n n z nz -'=其中n 为正整数. (3) []).()()()(z g z f z g z f '±'='± (4) []).()()()()()(z g z f z g z f z g z f '+'='(5) 2()()()()(),(()0).()()f z f z g z f z g z g z g z g z '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦(6){}[()]()(),f g z f w g z '''=其中().w g z =(7) 1(),()f z w ϕ'='其中()w f z =与()z w ϕ=是两个互为反函数的单值函数, 且()0.w ϕ'≠ 1.4.2 解析函数定义1.5 设()f z 在区域D 有定义.(1) 设0z D ∈, 若存在0z 的一个邻域，使得()f z 在此邻域内处处可导, 则称()f z 在0z 处解析, 也称0z 是()f z 的解析点.(2) 若()f z 在区域D 内每一点都解析，则称()f z 在区域D 内解析, 或者称()f z 是区域D 内的解析函数.(3) 设G 是一个区域，若闭区域,D G ⊂且()f z 在G 内解析，则称()f z 在闭区域D 上解析.函数()f z 在0z 处解析和在0z 处可导意义不同，前者指的是在0z 的某一邻域内可导, 但后者只要求在0z 处可导.函数()f z 在0z 处解析和在0z 的某一个邻域内解析意义相同. 复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的. 事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.反之, 设函数()f z 在区域D 内可导, 则对任意,z D ∈ 存在z 的某一个邻域U , 使得,U D ∈由在D 内可导, 可知()f z 在U 内可导, 即在z 处解析.由例1.9和例1.10知, 函数2()f z z =是全平面内的解析函数，但是函数()2f z x yi =+是处处不解析的连续函数.若函数()f z 在0z 处不解析，则称0z 是()f z 的奇点. 若0z 是()f z 的奇点, 但在0z 的某邻域内除0z 外,没有其他的奇点，则称0z 是函数()f z 的孤立奇点.根据求导法则，很容易得到下面的结论.设函数(), ()f z g z 在区域D 内解析, 则()(), ()()f z g z f z g z ±也在D 内解析. 当00, ()0z D g z ∈≠时, 0z 是()()f zg z 的解析点. 特别地, 多项式()P z 在全平面内解析, 有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析, 分母为零的点是有理分式的孤立奇点. 例1.11 证明2()f z z z =在0z =处可导, 但处处不解析. 证明根据导数的定义, 20()(0)limlim 0.z z f z f z z→→-== 因此()f z 在0z =处可导，且(0)0.f '= 当00z ≠时, 由2200, z zz z z z ==得22000()()f z f z z z z z -=-22220000()().z z z z z z z z =-+-故2000000()()().f z f z z z z z z z z z z z --=++--虽然020000lim()22,z z z z z z z z →+==但是当z 分别从平行于x , y 轴方向趋于0z 时,z z z z --分别以1和-1为极限，因此 0limz z z z z z →--不存在. 又因为00,z ≠ 所以000()()lim z z f z f z z z →--不存在, 即()f z 在0z ≠时不可导, 从而在复平面内处处不解析.§1.5 函数可导的充要条件1 函数可微的概念2 函数可导的充要条件 1.5.1 函数可微的概念定义1.6 设函数()f z 在0z 的某邻域内有定义, 若存在复常数A , 使得00()(),f z z f z A z z α+∆-=⋅∆+⋅∆ 其中0lim 0,z α∆→= 则称()f z 在0z 点可微.复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致. 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？引理复变函数()f z 在0z 可导的充分必要条件是()f z 在0z 点可微，且0().A f z '= 证明若0()f z '存在，设0()A f z '=，则000()()lim.z f z z f z A z ∆→+∆-=∆, 令00()(),f z z f z A zα+∆-=-∆ 则00()(),f z z f z A z z α+∆-=⋅∆+⋅∆ 且.0lim 0=→∆αz反之，如果00()(),f z z f z A z z α+∆-=⋅∆+⋅∆ 则00()().f z z f z A zα+∆-=+∆令0,z ∆→ 则0()f z A '=存在.这个引理表明, 函数()f z 在0z 可导与在0z 可微等价.与一元实函数类似, 记000d ()()()d ,f z f z z f z z ''=⋅∆=⋅称之为()f z 在0z 处的微分. 如果函数()f z 在区域D 内处处可微, 则称在区域D 内可微, 并记为d ()()d .f z f z z '=⋅ 1.5.2 函数可导的充要条件定理 1.5 复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点000z x iy =+处可微(即可导)的充分必要条件是二元函数(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 处都可微，并且满足Cauchy-Riemann 方程, .u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂此时: 证明必要性. 若0()f z '存在，设0()f z a ib '=+(,a b 是实常数).由引理000()()()f z z f z f z z z α'+∆-=∆+∆12()()()()a ib x i y i x i y αα=+∆+∆++∆+∆。

复变函数与积分变换精品PPT课件

间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。
复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质：必修
选课对象：电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理论和方
法。为学生学习有关专业课和扩大数学知识面提供必要的数学基础。
| z || x | | y |,

复变函数与积分变换课堂PPT第二章

由加法定理, 可以推出exp z的周期性。它的周期是 ,即
其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。
2.对数函数
和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反函数。将满足方程
的函数w = f (z)称为对数函数。令
,则
所以因此
由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w = f (z)为多值函数，并且每两个值相差的整数倍,记作
是两个互为
反函数的单值函数，且
。
iv) 微分的概念设函数w =f (z)在z0可导, 则有
其中
因此,
是的高阶无穷
小量, 而
是函数w=f (z) 的改变量的线性部
分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作
如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。
特别, 当f (z) = z时, 得
如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导
法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为
和
利用柯西-黎曼方程得
例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f '(z)0，则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为常数。
[证] 利用柯西-黎曼方程得
例3 研究函数
和
的解析性。
[解] 由解析函数的定义与前面的例题可知，
在复平面内是解析的，而
却是处
处不解析的。下面研究
的解析性。
由于
如果，那么当
时，上式的极限是零。如果
，令
沿直线
趋于，由于k 的任意性，
不趋于一个确定的值。所以当
时，
的极限不存在。
因此，