第5章 刚体的定轴转动2011
第五章 角动量 角动量守恒(2011)
.中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 胡世祥,1940年生 黑龙江人,毕业于哈尔滨工业大学 年生, 胡世祥,1940年生,黑龙江人,毕业于哈尔滨工业大学 控制工程系。 控制工程系。 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师, 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师,西昌卫星发射 中心副主任、主任。 中心副主任、主任。 长期从事火箭卫星发射试验,主持发射过多种型号卫星, 长期从事火箭卫星发射试验,主持发射过多种型号卫星, 曾多次担任卫星发射现场的 总指挥。 总指挥。 现任总装备部副部长,中国载人航天工程副总指挥, 现任总装备部副部长,中国载人航天工程副总指挥,主 神舟”号飞船发射工作。 管“神舟”号飞船发射工作。
(2) 对 O 点的角动量 )
r r r r = r′ + R r r r r r r r r r r L = r × p =(R+r′)× p= R× p = R×m t g O r r L = Rm gt R ⊥g O
m r m v
确定质点有无角动量,要看位矢是否存在绕参考点的转动。 确定质点有无角动量,要看位矢是否存在绕参考点的转动。
老校长杨士勤曾说: 老校长杨士勤曾说: 神舟号”飞船研制过程中, 在“神舟号”飞船研制过程中,有5项关键技术 是由哈工大教师 是由哈工大教师 做出的成果解决的。 做出的成果解决的。 超大型空间环境模拟器; 超大型空间环境模拟器; 仿真试验OUT型闭式转台 型闭式转台; 仿真试验OUT型闭式转台; 飞船数据管理容错计算机; 飞船数据管理容错计算机; 返回舱焊接变形控制技术; 返回舱焊接变形控制技术; 飞船故障诊断专家系统。 飞船故障诊断专家系统。 国产舱外航天服 失重训练模拟水槽 出舱用反光镜体 舱外航天服试验舱
大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面,称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线,如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心,称为转心。 某质点对其转心的位矢,称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然:转动刚体内所有点有相同的角量,故用角量描述刚体 的转动更方便,只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题:已知J和力矩M:求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题:已知运动情况和力矩M,求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题:已知运动情况和 J ,确定运动学和动力学的联 系 例 :长为 l,质量为 m 的细杆,初始时的角速 度为 ωo ,由于细杆与 桌面的摩擦,经过时间 t 后杆静止,求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向:
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴,其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ,得到:
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即:刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度; ②令 t 0 取极限;
d d lim 2 t 0 t dt dt
第5章 刚体的定轴转动
角加速度矢量定义为
(2) 显然,若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同,见下图 (a),则角速度在增加;反之,若角加速度与角速度的方向相反,见 下图(b),则角速度在减小。从图(a)、(b)中不难验证,角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时,大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩,证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的,所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等,方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂,见下图,所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等,方向 相反,其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中,刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量,在很多问题的分析中都要用到这个概念,下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时,它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量,而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示,有一质点在z轴的垂面M内运动,质点的质量为m, 对z轴(即对质点转心)的矢径为r,速度为v,动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样,我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解:刚体、刚体转动、转动惯量的概念;刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握:转动惯量,转动中的功和能的计算;用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1.刚体的运动 2.刚体定轴转动定律 3.转动惯量的计算 4.刚体定轴转动定律的应用 5.转动中的功和能 6.对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量; 力矩计算、转动定律的应用; 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页,编辑于星期六:二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆:
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体:
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳:
J 直径
2 3
mR
2
球体:
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页,编辑于星期六:二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度: Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ,Ω M J
Ω
1
,
Ω
演示 车轮旋进(KL023) TV 旋进防止炮弹翻转(注2)
M外z 0 ,则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系, M外z = 0 时, Jizi const.,
此时角动量可在系统内部各刚体间传递,
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒:茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪(KL029)
30
第三十页,编辑于星期六:二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页,编辑于星期六:二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
第5章 刚体的定轴转动 习题解答
对飞轮,由转动定律,有 式中负号表示摩擦力的力矩方向与角速度 方向相反。
联立解得
以 F 100 N 等代入上式,得
Fr R 2 (l1 l2 ) F J mRl1
5-1
第 5 章 刚体的定轴转动
2 0.40 (0.50 0.75) 40 100 rad s 2 60 0.25 0.50 3 t
由以上诸式求得角加速度
(2)
Rm1 rm2 g I m1 R 2 m2 r 2 0.2 2 0.1 2
1 1 10 0.202 4 0.102 2 0.202 2 0.102 2 2
9.8 6.13 rad s 2
T2 m2 r m2 g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8N T1 m1 g m1 R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1N v 2a1h 2 Rh 2 6.13 0.2 2 2.21 m s 1
M M f J 1
t1
。移去力矩 M 后,根据转动定律,有
M f J 2
2
联立解得此转轮的转动惯量
0 t2
J
M 20 17.36 kg m 2 1 1 1 100 2 1 60 10 100 t1 t2
v0
6(2 3 3m M l J l 1M (1 2 ) (1 ) 2 ml 2 3m 12 m
(2) 由①式求得相碰时小球受到的冲量为:
I Fdt mv mv mv0
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。
第五章 刚体的定轴转动
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
第5章 刚体的定轴转动
m J 1 mR 2 2 2 pR l
可见,转动惯量与l无关。所以,实心圆柱对其轴的 转动惯量也是mR2/2。
例3、求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三 种转轴的转动惯量: 转轴通过棒的中心O并与棒垂直
转轴通过棒的一端B并与棒垂直 转轴通过棒上距质心为h的一点A并与棒垂直 A h
如图建立坐标,以物体初始位置为势能零 点。根据机械能守恒:
y
1 J w 2 1 mv2 mg h 0 2 2
滑轮转动动能 物体动能
物体势能
mg
O
1 MR2 , w v 代入可解得: 将J 2 R
物体的速度:
滑轮角速度:
4mgh v 2m M
v 4mgh R w 2m M R
力矩的功反映力矩对空间的积累作用,力矩越大,在 空间转过的角度越大,作的功就越大。这种力矩对空 间的积累作用的规律是什么呢?
2、定轴转动的动能定理
质点系动能定理 A外 A EKB EKA 也适用于刚体。 内 由于刚体内质点的间距不变,一切内力作的功都为零。 而对于定轴转动而言,外力作的功总表现为外力矩作 的功,故有: 1 2 1 2
dA Md
力对转动刚体作的元功 等于相应的力矩和角位 移的乘积。
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在考虑一个有限过程,设 在力矩作用下,刚体的角 位置由 1 2 则力矩的 功:
2 1
X X
1
w2 w1
O
2
M
M
A dA Md (2)
B
O质
B
A
h L
O质
dm
X
x
dx
刚体的定轴转动
(3)求摆到竖直位置时端点的速度。
§5.4 定轴转动的角动量守恒定律 (The Law of Conservation of Angular Momentum About a Fixed Axis) 1.对固定轴的角动量 ⑴质点对轴的角动量
⒌ 如图,质量为m、半径为R的圆盘可绕通 过其直径的光滑固定轴转动,转动惯量 J=mR2/4,设圆盘从静止开始在恒力矩M 作用下转动,则t秒后圆盘边缘上的B点的 at = ,an= .
R B
解: M恒定 恒定 匀变速率转动 ⑴ =M/J=4M/mR2 于是 at=R=4M/mR ⑵因恒定,故有 = t=4Mt/mR2 于是 an=R2=16M2t2/m2R3
本章: 定轴转动运动学
定轴转动定律
转动中的功和能 定轴转动的角动量守恒定律
§5.1 定轴转动运动学 (Kinematics of Rotation About a Fixed Axis)
一.定轴转动: 刚体内各质点都绕同一固定不动的轴作圆 周运动. 刚体定轴转动的特点:
1)刚体上各质点都作圆运动, 但半径不一定相等。 2)与轴线垂直的园平面为转动平面. 3)刚体上各点做圆运动的半径在 相等的时间间隔内转过相同的角度, ω 、α 相等。
e.g.
细杆质量m, 长L o 则对于 oo轴,J=mL2/3 对于 cc轴,J=mL2/12
o
c c
④转动定律与牛Ⅱ比较: M~ F J ~m ~a
ii)J量度了刚体转动惯性的大小
o 讨论:
o
o
o a
a A
a
a
B C
大学物理课件:刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得:
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得:
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为: t J
(4)
k0
(2)由刚体定轴转动定律得:
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得: k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度:
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘,绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动,已知其角速
惯量,故该量有关于刚体,还有关于转轴! 2.由上述结果看出:
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m( l )2 2
JO
+m( l )2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理:质量为 m的刚体,如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ,则对任
一与该轴平行,相距为 d 的转轴的转
动惯量为:
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 :
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消:
M ij M ji
注意:内力矩对刚体 动力学效应无贡献;
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计,如图所示用于固定被加工工件,卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
(12)
例1、如图所示,A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮.A滑轮挂一质量为M的物体,B滑轮受拉力F,而且
F=Mg.设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B,
不计滑轮轴的摩擦,则有
(A) β A= β B. (B) β A> β B. (C) β A< β B. (D) 开始时β A= β B,以后β A< β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M,R
M,R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
(1) T1
T1
(2)
m1
m1
M ,R
m1g (3)
T2
m2
T2
T1
补充方程:
a R
(4)
联立方程(1)---(4)求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
刚体的定轴转动
r1
r2
d
f1
内力中任一对作用力与反作用力大小 相等,方向相反,则任一对作用力与反作 用力的力矩相加为零。
f r sin 0 F r sin f r sin (
合内力矩
i i
i i i
f2
2
i
i i
i
刚体定轴转动的转动定律
M J
mi ri )
dV 2rdr
2 R2
1
J r dV R 2r dr
3
l
R1
R2
1 4 4 R2 R1 2
1 mR12 R22 2
1 2 2 2 2 l R2 R1 R1 R2 2
小结:
10.刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给 定转轴的分布情况。 (1) 与刚体的质量有关 (2) 在质量一定情况下,还与质量的分布有关, 亦即与刚体的形状、大小和各部分的密度有关。 (3) 转动惯量与转轴的位置有关 20.J的单位: SI 千克·米2(kg·m2) ;
ω v
动平 面 转
ω
0
θ
P
X
方向:当刚体转动加快时角加速度方向与角速度 方向相同;当刚体转动减慢时两者方向相反。
d d 2 2 dt dt
ω
与 方向相同
设向上为正方向
角速度增量 2 1
ω2 ω1
当刚体转动加快ω 2>ω 1,则Δ ω >0,β 为正值,方向向上; 当刚体转动减慢ω 2<ω 1,则Δ ω <0,β 为负值,方向向下。 若角加速度为恒矢量,这种变 速转动称为匀变速转动 0 t 运动方程:
05刚体的定轴转动习题解答
05刚体的定轴转动习题解答05刚体的定轴转动习题解答第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体,某时刻的角速度为ω,角加速度为α,则其转动加快的依据是:()A. α > 0B. ω > 0,α > 0C. ω < 0,α > 0D. ω > 0,α < 0解:答案是B。
2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘,质量相等且具有相同的厚度,则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。
()A. 相等;B. 铅盘的大;C. 铁盘的大;D. 无法确定谁大谁小解:答案是C 。
简要提示:铅的密度大,所以其半径小,圆盘的转动惯量为:2/2 Mr J =。
3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上,轮对轴的转动惯量为J ,一是以力F 向下拉绳使轮转动;二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动,若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2,则有:()A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解:答案是B 。
简要提示:(1) 由定轴转动定律,1αJ Fr =和11αr a =,得:JFra /21=(2) 受力分析得:===-2222ααr a J Tr ma T mg ,其中m 为重物的质量,T 为绳子的张力。
得:)/(222mr J Fr a +=,所以a 1 > a 2。
4. 一半径为R ,质量为m 的圆柱体,在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动,则在2秒内F 对柱体所作功为:()A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m 解:答案是A 。
简要提示:由定轴转动定律:α221MR FR =,得:mRFt 4212==?αθ 所以:mFM W /42=?=θ5. 一电唱机的转盘正以ω 0的角速度转动,其转动惯量为J 1,现将一转动惯量为J 2的唱片置于转盘上,则共同转动的角速度应为:()A .0211ωJJ J+ B .0121ωJJJ + C .021ωJ JD .012ωJ J解:答案是A 。
刚体定轴转动
[例1] 求质量均匀分布的细棒对(1)对通过质心垂直于细 棒;(2)通过端点的轴转动惯量。设棒长为 l ,质量为 m 。
解:(1)对过质心的轴
I1 r dm
2
l 2
l 2
x 2 dx
(2)
(1)
1 3 1 l ml 2 12 12
(2)对过端点的轴 利用平行轴定理:
x
O x dx
选择转轴上任何一点OR 作为 M 和 L 的参考点。
力矩: M z
Fi
力矩质点系的角动量改变
z
Mi
O ri riR
M
iz
i M iz riR Fi
M i riR Fi ri Fi
OR
A
NA
C
(1) (2) mg f B NB
N A=f N B mg
选B点为转轴
l (3) mg cos N A l sin 2 N A f 42.6( N ) 联立三式得 N mg 147( N ) B
例题 一质量为m、半径为R的均质圆柱,在水平外力作用下,在 粗糙的水平面上作纯滚动,力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距 离为l,如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
§5-2 刚体的角动量和转动惯量
1.刚体对固定轴的角动量
z
刚体作为质点系,其角动量为
L
i
Li
i
ri pi
如图,质元Δ mi 对定点O的位矢表示为
Liz
pi
Li
mi
rOi ri riz
ri
《刚体的定轴转动》课件
力矩
总结词
描述刚体转动受到外力矩作用的物理量
详细描述
力矩是描述刚体转动受到外力矩作用的物理量,单位为牛顿·米。它表示力对刚体转动效果的影响,由力和力臂的 乘积得到。力矩可以改变刚体的角动量或使其产生加速度。
动能与势能
总结词
描述刚体转动过程中能量状态的物理量
详细描述
动能和势能是描述刚体转动过程中能量状态的物理量。动能与刚体的质量和速度有关,势能则与刚体 的位置和高度有关。在定轴转动中,动能和势能之间可以相互转化,但总能量保持不变。
03
刚体的定轴转动的动力学规律
转动定律
描述刚体转动时力矩与角加速度关系的定律。
转动定律指出,刚体转动时受到的力矩等于刚体质量与角加速度乘积的两倍。即 M=Jα,其中 M 为力矩,J 为转动惯量,α 为角加速度。
动量矩守恒定律
描述刚体在无外力矩作用时动量矩保持不变的定律。
动量矩守恒定律指出,在没有外力矩作用的情况下,刚体的动量矩是守恒的。即 L=Iw,其中 L 为动 量矩,I 为转动惯量,w 为角速度。
详细描述
进动是指刚体自转轴绕其惯性轴的旋转运动,通常是由于外部力矩的作用引起的。章动 则是自转轴在空间中的摆动,可以看作是进动的补充。这两种运动形式在刚体的动力学
分析中具有重要意义。
刚体的振动与波动
要点一
总结词
振动和波动是描述刚体动态行为的另外两种重要方式,涉 及到刚体的位移、速度和加速度等参数的变化。
刚体上各点绕固定轴线的角速度相同 。
刚体上各点的角速度与转动的角位置 无关,即刚体绕固定轴线的转动是匀 角速度运动。
02
刚体的定轴转动的物理量
角速度
总结词
描述刚体旋转快慢的物理量
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解: 角动量守恒:
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒:
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系,且在外力 作用下,各个质元的相对位置保持不变。 因此,刚体的运动规律,可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动:刚体在运动过程中,其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动:刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
(线质量分布)
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d,则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量,等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和:
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示:利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转,开始时处于 水平位置,然后让它自由下落。求: ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体:定轴转动定律 M J
线量与角量的关系:at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮,滑轮可视为
圆 盘 , 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 , 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M,半径为R,绳与轮之间无 相对滑动,求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点, 希望大家课后好好复习,多多练习,熟练掌握。
切向分量式: Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和:
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力:F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量:m
加速度:a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩:M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量:J
角加速度:
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点:牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
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轴和绕一端转轴的转动惯量。
dx
解: 设棒单位长质量: λ=m/l,
dm 图⑴ o
x
1. 绕中心轴转动,在图⑴中建立一维坐标系, 取 dm=λdx
J1
x2dm
l 2
x2dx
1
m l2
l 2
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2.绕一端的转动惯量,建立一维坐标系如图⑵所示 dx
J2
x2dm l x 2dx 1 ml 2
各质点距转轴的距离分别为 r1 、r2、ri 、rn 各质点速率分别为 v1 、v2 、vi、 vn
Z ω
1. 第 i 个质点对转轴的角动量
Li ri mi vi ri pi
2. 刚体的角动量
oi ri
vi
mi
L
Li
ri mivi
ri 2mi
i
i
i
L
ri 2mi (
质元
Δmi
Δmj rij
2. 刚体的运动形式:
⑴平动: 在描述刚体的平动时,可以用一点的运动
来代表,通常就用刚体的质心的运动来代 表整个刚体的平动。
转轴
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且各
圆的圆心都在一条固定不动的直线上,这条 直线叫转轴。如果转轴方向不随时间变化, 则称定轴转动。
列方程
T2 (2r)-T1r = 9mr2 / 2
mg-T2 = ma2 T1-mg = ma1
2r = a2 r = a1
2r T2 T2 a2 m mg
r m 2m T1
T1 m a1
mg
解联立方程,得: 2g
19r
§5.3 转动惯量的计算
1. 定轴转动惯量定义:
分立刚体:
J
mi ri 2
解:两重物加速度大小a相同,滑轮角加速度为
隔离物体分析力方向如图
转动定律:
T1r-T2r =J
由牛顿第二定律: m1g-T1=m1a
T2-m2g=m2a
且有: a=r
T1 T1 a m1 m1g
r T2
m2 T2 a
m2g
解方程组得:
m1 m2 gr m1 m2 r 2 J
注意:
开始时系统静止,故 t 时刻滑轮的角速度:
o
θ
P
x
Δmi
转动平面
op r
2.定轴转动的角量描述 1.角位置θ
2.角位移
3.角速度: d
角速度是矢量 。dt
单位:rad/s
Zω 转动方向
v
方向与转动方向成右手螺旋法则。
o
P点线速度 v r
转动平面
P
θ op r
X
4. 角加速度矢量
d
(
rad
/
s2
)
dt
当加速转动时,
与
方向相同;
⑶ 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动 的结合。如图,车轮的转动。
二、刚体定轴转动的描述
1.特点: 其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动,且 所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同.一 般用角量描述。
转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。
转轴
Z 转动方向
vi
力矩的方向:
沿转轴方向,并与矢径 r 及 F
成右手螺旋法则 。
定轴转动中,M的方向可用正、负区分
M
Z ω
Fi
oi ri
vi
mi
如:使刚体逆时针转动,M > 0
使刚体顺时针转动,M < 0
2. 整个刚体受合外力矩: M Mi
定轴转动: M Mi (代数和)
三、刚体定轴转动定律
M
i
Mi
i
ห้องสมุดไป่ตู้
oi ri mi
转动惯量等于刚体中每个 质点的质量与这一质点到转轴 的距离的平方的乘积的总和。
连续刚体:
J r 2dm
or
dm
2. 转动惯量的计算
转轴
例 1 .刚性三原子分子其质量分布如图所示, 求绕转轴的转动惯量
r1
J m1r12 m2r22 m3r32
m1
r3 m3 r2
m2
例 2 质量为m ,长为 l 的均匀细棒,分别求其绕垂直中心转
0
3
o
dm
图(2)
x
例 3. 求质量为 m ,半径为 R 的均匀薄圆环的转 动惯量,轴与圆环平面垂直并通过其圆心。
Z
oR
解: J R2dm R2 dm mR2
dm
m
例4: 求质量为 m、半径为 R、薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解:设面密度为 ,取半径为 r 宽为
t
m1 m2 grt m1 m2 r 2 J
T1 T2
例2. 质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘,
同轴地粘在一起,可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑
固定轴转动,对转轴的转动惯量为9mr2 / 2,大小圆盘边缘
都绕有绳子,绳子下端都挂一质量为m的重物,如图所
示.求盘的角加速度的大小. 解:受力分析如图.
ri 2mi )
i
i
定义: J ( ri2mi ) -------刚体对于转轴的转动惯量 i
刚体的角动量
L
J
大小: 方向:
L的J方向。
与线量比较:
p L
mv
J
m 惯性质量(平动惯性) J 转动惯量(转动惯性)
二、刚体所受力矩
设刚体受外力:F1、F2…Fi…Fn
1. 当质元受 合外 力Fi 时该力对转轴的力矩 Mi ri Fi
由方于位在 不定 变,轴故转动中, 轴只的
当减速转动时,
与
方向相反;
有沿轴的正负两个方向, 可以用标量代替。
5.当角加速度是常量时:
0 t
(
0
)
t
1 2
t2
2 02 2 ( 0 )
P点线加速度
a r an 2r
§5.2 刚体定轴转动定律
一、刚体的角动量
将刚体看成许多质量分别为m1 ; m2 …mi……mn的质点;
i
d Li d d t dt
i
Li
dL dt
J d
dt
J
M J
刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴 的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘 积。--------刚体定轴转动定律
特例: 平衡时,β = 0, ∴M= 0 (合力矩为零)
应用时注意:M、 的正负号.
例1. 如图所示,设两重物的质量分别为m1和m2,且m1>m2, 定滑轮的半径为r,对转轴的转动惯量为J,轻绳与滑轮间 无滑动,滑轮轴上摩擦不计.设开始时系统静止,试求t时 刻滑轮的角速度.
第5章 刚体的定轴转动
转轴
第5章 刚体的定轴转动
本章将介绍一种特殊的质点系——刚体——所遵循的 力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。
§5.1 刚体转动的描述
一、 概念
1. 刚体: 在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。
(1)刚体是理想化模型。
(2)刚体可以看作是由许多质点组成的质点 系,每一个质点叫做刚体的一个质元,刚 体这个质点系的特点是,在外力作用下各 质元之间的相对位置保持不变。