第5章 刚体的定轴转动2011

t
m1 m2 grt m1 m2 r 2 J
T1 T2
例2. 质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，
同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑
固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘
都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所
示．求盘的角加速度的大小． 解：受力分析如图．
第5章 刚体的定轴转动
转轴
第5章 刚体的定轴转动
本章将介绍一种特殊的质点系——刚体——所遵循的 力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。
§5.1 刚体转动的描述
一、 概念
1. 刚体: 在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。
(1)刚体是理想化模型。
(2)刚体可以看作是由许多质点组成的质点 系，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚 体这个质点系的特点是，在外力作用下各 质元之间的相对位置保持不变。
由方于位在 不定 变，轴故转动中, 轴只的
当减速转动时,
与
方向相反;
有沿轴的正负两个方向， 可以用标量代替。
５.当角加速度是常量时：
0 t
(
0
)
t
1 2
t2
2 02 2 ( 0 )
P点线加速度
a r an 2r
§5.2 刚体定轴转动定律
一、刚体的角动量
将刚体看成许多质量分别为m1 ; m2 …mi……mn的质点;
0
3
o
dm
图(2)
x
例 3. 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆环的转 动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。
Z
oR
解: J R2dm R2 dm mR2
dm
m
例4: 求质量为 m、半径为 R、薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：设面密度为 ，取半径为 r 宽为
o
θ
P
x
Δmi
转动平面
op r
2.定轴转动的角量描述 1.角位置θ
2.角位移
3.角速度: d
角速度是矢量 。dt
单位：rad/s
Zω 转动方向
v
方向与转动方向成右手螺旋法则。
o
P点线速度 v r
转动平面
Ｐ
θ op r
X
4. 角加速度矢量
d
(
rad
/
s2
)
dt
当加速转动时,
与
方向相同；
i
oi ri mi
转动惯量等于刚体中每个 质点的质量与这一质点到转轴 的距离的平方的乘积的总和。
连续刚体:
J r 2dm
or
dm
2. 转动惯量的计算
转轴
例 1 .刚性三原子分子其质量分布如图所示， 求绕转轴的转动惯量
r1
J m1r12 m2r22 m3r32
m1
r3 m3 r2
m2
例 2 质量为m ，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转
质元
Δmi
Δmｊ ｒiｊ
2. 刚体的运动形式:
⑴平动： 在描述刚体的平动时,可以用一点的运动
来代表，通常就用刚体的质心的运动来代 表整个刚体的平动。
转轴
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且各
圆的圆心都在一条固定不动的直线上,这条 直线叫转轴。如果转轴方向不随时间变化, 则称定轴转动。
ri 2mi )
i
i
定义： J ( ri2mi ) -------刚体对于转轴的转动惯量 i
刚体的角动量
L
J
大小： 方向：
L的J方向。
与线量比较：
p L
mv
J
m 惯性质量(平动惯性) J 转动惯量(转动惯性)
二、刚体所受力矩
设刚体受外力：F1、F2…Fi…Fn
1. 当质元受 合外 力Fi 时该力对转轴的力矩 Mi ri Fi
各质点距转轴的距离分别为 r1 、r2、ri 、rn 各质点速率分别为 v1 、v2 、vi、 vn
Z ω
1. 第 i 个质点对转轴的角动量
Li ri mi vi ri pi
2. 刚体的角动量
oiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱri
vi
mi
L
Li
ri mivi
ri 2mi
i
i
i
L
ri 2mi (
列方程
T2 (2r)－T1r = 9mr2 / 2
mg－T2 = ma2 T1－mg = ma1
2r = a2 r = a1
2r T2 T2 a2 m mg
r m 2m T1
T1 m a1
mg
解联立方程，得： 2g
19r
§5.3 转动惯量的计算
1. 定轴转动惯量定义:
分立刚体:
J
mi ri 2
轴和绕一端转轴的转动惯量。
dx
解: 设棒单位长质量: λ=m/l,
dm 图⑴ o
x
1. 绕中心轴转动，在图⑴中建立一维坐标系, 取 dm=λdx
J1
x2dm
l 2
x2dx
1
m l2
l 2
12
2.绕一端的转动惯量，建立一维坐标系如图⑵所示 dx
J2
x2dm l x 2dx 1 ml 2
解：两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为
隔离物体分析力方向如图
转动定律：
T1r－T2r ＝J
由牛顿第二定律： m1g－T1＝m1a
T2－m2g＝m2a
且有： a＝r
T1 T1 a m1 m1g
r T2
m2 T2 a
m2g
解方程组得：
m1 m2 gr m1 m2 r 2 J
注意：
开始时系统静止，故 t 时刻滑轮的角速度：
力矩的方向:
沿转轴方向,并与矢径 r 及 F
成右手螺旋法则 。
定轴转动中，M的方向可用正、负区分
M
Z ω
Fi
oi ri
vi
mi
如：使刚体逆时针转动，M > 0
使刚体顺时针转动，M < 0
2. 整个刚体受合外力矩： M Mi
定轴转动: M Mi （代数和）
三、刚体定轴转动定律
M
i
Mi
i
d Li d d t dt
i
Li
dL dt
J d
dt
J
M J
刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴 的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘 积。--------刚体定轴转动定律
特例： 平衡时，β = 0， ∴M= 0 (合力矩为零）
应用时注意：M、 的正负号.
例1. 如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2， 定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间 无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t时 刻滑轮的角速度．
⑶ 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动 的结合。如图,车轮的转动。
二、刚体定轴转动的描述
1.特点: 其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动,且 所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同.一 般用角量描述。
转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。
转轴
Z 转动方向
vi