7.5-7.7 惠菲原理、单缝衍射、光学仪器分辨率

光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物 的边缘继续前进，这种偏离直线传播的现象称 为光的衍射现象。
7.5 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理
一、 光的衍射现象及其分类 屏幕 屏幕
阴 影
缝较大时，光是直线传播的
缝很小时，衍射现象明显
衍射：光在传播过程中绕过障碍物的边缘而偏离直线 传播的现象
圆孔衍射
a sin 2k
则

2
k
k 1
a sin0
2 2 600 109 0 6 103 rad a 0.2 103
中央明纹的线宽度由
2 x0 f f 0 0.5 6 103 3 103 m a
(2)第1级明纹中心在屏上的位置和宽度
一、单缝夫琅禾费衍射
单缝衍射实验装置
E屏幕
L2
L1
K
S
*
用菲涅耳半波带法解释单缝衍射现象
将衍射光束分成一组一组的平行光，每组平行光的 衍射角（与原入射方向的夹角）相同
AC a sin
衍射角不同， 最大光程差也 不同，P点位 置不同。光的 强度分布取决 于最大光程差
A
a
B
C (2) (1 ) (2)
(b)当k=3时，光程差
a sin ( 2k 1 )

2
7

2
狭缝处波阵面可分成7个半波带。
例2.在复色光垂直照射下的某个单缝衍射图样中，其 中某一波长的第3级明纹位置恰好与波长为600nm的 单色光的第2级衍射明纹相重合，求此光波的波长 P202习题7.22 解：对单缝衍射明纹，由公式： a sin (2k 1)
•缝宽对衍射条纹的影响:
宽度变窄。
2 f x 2 x a
中央亮纹线宽度
缝宽增加，中央亮纹
•光源位置对衍射条纹的影响：光源上移，中央
亮纹位置向下移动，宽度不变。
2 f x 2 x a
中央亮纹线宽度
例1、一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在一个 单缝上。(1)已知单缝衍射的第一暗纹的衍射角1=300， 求该单缝的宽度a=? (2)如果所用的单缝的宽度 a=0.5mm，缝后紧挨着的薄透镜焦距f=1m，求：(a) 中央明条纹的角宽度；(b)中央亮纹的线宽度；(c) 第 一级与第二级暗纹的距离；（3）如果在屏幕上离中 央亮纹中心为x=3.5mm处的P点为一亮纹，试求(a)该 P处亮纹的级数；(b)从P处看，对该光波而言，狭缝 处的波阵面可分割成几个半波带？ 解： (1)
夫琅禾费集工艺家和理论家的才干于一身，把 理论与丰富的实践经验结合起来，对光学和光谱学 作出了重要贡献。1814年他用自己改进的分光系统， 发现并研究了太阳光谱中的暗线（现称为夫琅禾费 谱线），利用衍射原理测出了它们的波长。
他设计和制造了消色差透镜，首创用牛顿 环方法检查光学表面加工精度及透镜形状，对 应用光学的发展起了重要的影响。他所制造的 大型折射望远镜等光学仪器负有盛名。他发表 了平行光单缝及多缝衍射的研究成果（后人称 之为夫琅禾费衍射），做了光谱分辨率的实验， 第一个定量地研究了衍射光栅，用其测量了光 的波长，以后又给出了光栅方程。
k 1, 2L
暗纹中心 明纹中心
3. 相邻两衍射条纹间距

x k f / a
x ( 2k 1 ) f / 2a
kf (k 1) f xk ， xk 1 a a f x xk 1 xk a
其它各级明条纹（或暗条 纹）的宽度为中央明条纹 宽度的一半。
二、光学仪器的分辨率 点光源经过光学仪器的小圆孔后， 由于衍射的影响，所成的象不是一 个点而是一个明暗相间的圆形光斑 。若两物点距离很近，对应的两个 爱里斑可能部分重叠而不易分辨。
二、单缝衍射的动态变化
单缝上下移动，根据透镜成像原理衍射图不变 .
R
f
o
单缝上移，零级明 纹仍在透镜光轴上.
•单缝位置对衍射条纹的影响:单缝位置变化，
中央亮纹位置不变，宽度不变。
2 f x 2 x a
中央亮纹线宽度
2 f x 2 x 中央亮纹线宽度 a •波长对衍射条纹的影响: 波长减小,中央亮纹宽 度变窄.
A
E
障碍物
B
接收屏
二、惠更斯-费涅耳原理
从同一波阵面上各点所发出的子波，在传播过程 中相遇时，也可相互叠加产生干涉现象，空间各点波 的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。
若取时刻t=0波阵面上各点发 出的子波初相为零，则子波
S
dS在P点引起的光振动为：
dS r
v n
dS 2 r dE Fk ( ) cos(t ) r F----比例常数
(1 ) (2)
(1 )
P0
x P
f
菲涅耳半波带法
A
A1 A2 A3
C
相邻平面间的距离是入射 单色光的半波长。 任何两个相邻波带上对应 点所发出的光线到达AC平 面的光程差均为半波长 （即位相差为） ，在P点 会聚时将一一抵消。
B

AB面分成奇数个半波带，出现亮纹
AC a sin 3
解：由单缝衍射明纹所满足的条件 a sin (2k 1)
2
第1级明纹所对应的衍射角满足
600 109 sin (2k 1) (2 1 1) 4.5 103 2a 2 0.2 103

x f tan f sin 0.5 4.5 10 2.25 10 m

2
a
A . .. . C A1 .
A 2φ . B φ P x
.
f
AB面分成偶数个半波带，出现暗纹
AC a sin 4

2
a
A . .. A1 . . . C A 2. A 3 .φ
φ
x P
B
.
f
结论：分成偶数半波带为暗纹。
a sin

分成奇数半波带为明纹。
k 2k
2
由题意知
71 a sin 1 (2 3 1) 2 2
600 3000 a sin 2 (2 2 1) (2 2 1) 2 2 2
1
2
,
1 2
代入可得
3000 1 428.6nm 7
例3: 用波长为λ=600nm的单色光垂直照射到缝宽为 a=0.2mm的单缝上, 缝后用焦距为f=0.5m的凸透镜将衍 射光汇聚到屏上. 求: (1)中央明纹的角宽度和线宽度; (2) 第1级明纹中心在屏上的位置和宽度; (3)对第1级明纹, 单缝处的波面可划分为几个半波带. P177例题7.8 解:(1)中央明纹的角宽度为 0 , 0 为第1级暗纹的衍射角
2. 中央明纹
中央两侧第一暗条纹之间的区域，称做零极 （或中央）明条纹，它满足条件：
I

a
a sin


a 3 2a 5 sin 2a
5 3 2a 2a
0
0
a sin k
x
f
a
x a sin 0 a tan 0 a f f
x (2k 1) f / 2a
明纹中心
条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光 做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条 纹。该衍射图样称为衍射光谱。 由微分式 x k f / a 看出，λ 一定时，缝越窄 （ a 越小），条纹分散的越开，衍射现象越明显；反 之，当a一定时，λ 越长，衍射现象越明显 当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是 透镜所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。
2k 1 2 1 1 3 个
作业P203： 7.23、7.24、
7.7 圆孔夫琅和费衍射及光学仪器的分辨本领 一、圆孔夫琅和费衍射
S
D
d
第一暗环所围成的中央光斑称为爱里斑。
爱里斑半径d/2 对透镜光心的张角称为爱里斑的半角宽度
d 2 0 sin 0 1.22 / D f
S
*
H
P
G
单缝衍射
源自文库
S
*
正三边形孔
正四边形孔
正六边形孔
正八边形孔
单缝
衍射系统由光源、衍射屏、接收屏组成。
衍射的分类 菲涅耳衍射 (近场衍射) 光源和接收屏（或二 者之一）到障碍物的 距离为有限远。
A
E
S
光源 障碍物
B
接收屏
夫琅禾费衍射 (远场衍射) 光源、接收屏到 障碍物的距离均 为无限远。
S
光源
（2）(a)


a
sin

a
2 5000 107 mm 3 0 2 2 10 rad a 0.5mm
(b) (c)
2f x0 f 0 2 103 m 2mm a
2 5000 107 x21 f f f 1103 1mm a a a 0.5
k ( ) 0 k ( )最大 , k ( ) 0 dE 0
E dE Fk ( )
cos(t r
2 r

) dS
2012.4.10（17′）
7.6 单缝夫琅禾费衍射
夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787—1826) 夫琅禾费是德国物理学家。1787 年3月6日生于斯特劳宾，父亲是玻璃 工匠，夫琅禾费幼年当学徒，后来自 学了数学和光学。1806年开始在光学 作坊当光学机工，1818年任经理， 1823年担任慕尼黑科学院物理陈列馆 馆长和慕尼黑大学教授，慕尼黑科学 院院士。夫琅禾费自学成才，一生勤 奋刻苦，终身未婚，1826年6月7日因 肺结核在慕尼黑逝世。
亮纹 解：（3） (a) a sin (2k 1) 2 x sin tan f
ax 1 k 3 f 2
（3）如果在屏幕上离中央亮纹中心为x=3.5mm处的 P点为一亮纹，试求(a)该P处亮纹的级数；(b)从P处 看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可分割成几个 半波带？
3 3
而第1级明纹在屏上的宽度为第2级暗纹与第1级暗纹 在屏上的间距, 则 2 x x2 x1 f tan 2 f tan1 f a a
600109 f 0.5 1.5 103 m a 0.2 103

(3)由于第k级明纹对应单缝处的波面可划分的半 波带数为2k+1, 因此, 对第1级明纹, 单缝处的波面 可划分的半波带数为

2
(k 1, 2, L ) 暗纹
0
(2k 1)
中央明纹中心

2
(k 1, 2, L ) 明纹
正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧
对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，
在屏幕上光强介于最明与最暗之间。
2012.4.9（17）
讨论
1. 光强分布 当 增加时,为什么光强的 极大值迅速衰减？
k( )----倾斜因子，随 的增大而减小
P
dS 2 r dE Fk ( ) cos(t ) r
F----比例常数 k( )----倾斜因子
2 惠更斯-菲涅耳原理解释了波为什么在屏上会出 现明暗条纹且不能向后传播的问题，这是惠更斯原理 所无法解释的。
P点的光振动（惠更斯原理的数学表达）为：
x
2 f x0 2 f tan 0 a
(k 1, 2, L ) 暗纹
一级暗纹条件
a
一级暗纹坐标
中央亮纹线宽度
0

a
中央亮纹半角宽度
2 0 a
中央亮纹角宽度
2 f x 2 x a
中央亮纹线宽度
当缝宽a
条纹在接收 屏上的位置
中央亮纹线宽度 x
a sin k (k 1, 2,3L )
5000 1010 a 1.0 106 m o sin 1 sin 30
第一级暗纹 k=1，1=300

(2)如果所用的单缝的宽度a=0.5mm，缝后紧挨着的薄 透镜焦距f=1m，求：(a)中央明条纹的角宽度；(b)中 央亮纹的线宽度；(c) 第一级与第二级暗纹的距离.
I
5 3 2a 2a
0
3 2a
5 sin 2a
当 角增加时，半波带数增加，未被抵消的半 波带面积减少，所以光强变小； 另外，当：
k ( ) I
单缝夫琅禾费衍射光强分布图
这是在观察屏上所见的光强分布图，中央明纹区域 集中了光能的大部分，而次极大迅速减小，因此中 央明纹比其他明纹都更加明亮，而且宽。