北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末数学(文)试题
2019北京昌平区高三(上)期末数学(文)
2019北京昌平区高三（上）期末数 学（文科） 2019.1本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡收回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) （1）若集合{}2|20A x x x =+≤，{}2,1,0,1,2B =--，则AB =A ．{}1-B ．{}1C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0--（2）已知数列,21a =,*12,n n a a n n ++=∈N ,则13a a +的值为A ． 4B ．5C ．6D ．8（3）若满足 则2x y +的最小值为A ．8B ．72C ．2D ．1- （4）右图是一个算法流程图，则输出的k 的值为A. 2B. 3C. 4D. 5（5）已知,a b ∈R ,则“a b <”是“22log log a b <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（6）已知向量,a b 满足=1,|=2,|a |b |+|a b |=，那么a 与b 的夹角为A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π {}n a ,x y 212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，，，（7）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米（米堆所形成的几何体的三视图如图所示），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有 A ．21斛 B ．34斛 C ．55斛 D ．63斛（8）现有1A ，2A ，…，5A 这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计1A ，2A ，3A ，4A 这4个球队已经赛过的场数分别为：1A 队4场，2A 队3场, 3A 队2场，4A 队1场，则5A 队比赛过的场数为A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）已知复数满足2i1iz =-（是虚数单位），则复数的共轭复数z = _____. （10）已知抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为_______．（11）为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ．（12） 在锐角△ABC 中，2AB =，3AC =．若△ABC，则A ∠=______；BC =_______. （13）能说明“若点(,)M a b 与点(5,5)N 在直线20x y +-=的同侧，则4a b +>”是假命题的一个点的坐标为_____________.（14）已知函数,1,(),1,2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩其中0,a >且 1.a ≠ z iz 频率(单位:分钟)M（i ）当2a =时，若()4f x <，则实数x 的取值范围是___________；(ii) 若存在实数m 使得方程()0f x m -=有两个实根，则实数a 的取值范围是_______. 三、解答题(本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) （15）（本小题满分13分）设{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1231, 6.a a a =+= （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求12ln ln ln n a a a +++.（16）（本小题满分13分）已知函数()2cos (sin )f x x x x =+-（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若在区间[,]6m π上的最小值为2-，求的最大值.（17）（本小题满分13分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：(Ⅰ) 从III 型号汽车的回访客户中随机选取1人，则这个客户不满意的概率为________； （将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） (Ⅱ) 从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率；(Ⅲ) 汽车公司拟改变投资策略，这将导致不同型号汽车的满意率发生变化.假设表格中只有两种型号汽车的满意率数据发生变化，那么哪种型号汽车的满意率增加0.1，哪种型号汽车的满意率减少0.1，使得获得满意的客户人数与样本中的客户总人数的比值达到最大？（只需写出结论） （18）（本小题满分14分）()f x mFE DCBA如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面ADE ⊥平面ABCD ，1,EF AE DE ==.(Ⅰ) 求证：CD ABFE 平面∥； (Ⅱ) 求证：平面ABFE ⊥平面CDEF ；(Ⅲ) 在线段CD 上是否存在点N ，使得FN ⊥平面ABFE ？ 说明理由. （19）（本小题满分13分）已知函数． (Ⅰ)若，求曲线()y f x =在点处的切线方程； (Ⅱ)若0e a <<，判断函数的零点个数，并说明理由. (20) （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，且离心率为12.设,A B 为椭圆C 的左、右顶点，为椭圆上异于,A B 的一点，直线,AP BP 分别与直线:4l x =相交于,M N 两点，且直线MB 与椭圆C 交于另一点H . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求证：直线AP 与BP 的斜率之积为定值； （Ⅲ）判断三点,,A H N 是否共线，并证明你的结论.x a ax x f ln 2)(2-=21=a ))1(,1(f )(x f P。
北京市昌平区新学道临川学校2020届高三数学上学期期末考试试题文
北京市昌平区新学道临川学校2020 届高三数学上学期期末考试一试题文一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（ 5 分）复数的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣D．2．（ 5 分）设会合M＝ { x| x2﹣ 2x≤ 0} ，N＝ { x| x＜ 1} ，则M∩ N＝（）A．{ x| x＜ 1}B．{ x| ﹣ 2≤x＜ 1}C． { x|0 ≤x＜ 1}D． { x| ﹣ 2≤x≤ 0} 3．（ 5分）已知 tan θ＝ 3，则 cos 2θ＝（）A．B．C．D．4．（ 5分）某校开设a，b， c，d 共4门选修课，一位同学从中随机选用 2 门，则a与b未同时被选中的概率为（）A．B．C．D．5．（ 5分） ? x＞0，使得，则实数 a 的取值范围是（）A．a＞ 2B．a≥ 2C．a＜ 2D．a≤ 26．（ 5分）某三棱锥的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A．B．C． 4D．87．（5 分）设向量，知足+ ＝（ 3，1），?＝1，则|﹣| ＝（）A．2B．C． 2D．8．（ 5 分）设 { a n} 为等差数列，a1＝ 22，S n为其前n项和，若S10＝S13，则公差d＝（）A．﹣ 2B．﹣ 1C． 1D． 29 ．（ 5 分）已知F 是抛物线：2＝ 2px（p＞ 0 ）的焦点，抛物线C的准线与双曲线C y的两条渐近线交于A，B 两点，若△ ABF为等边三角形，则Γ的离心率 e＝（）A．B．C．D．10．（ 5 分）已知函数f （ x）＝ e x+ax﹣1的图象与 x 轴相切，则 a＝（）A．﹣ 1B．0C．D． 111．（ 5 分）已知圆锥的极点为，为底面中心，，，C 为底面圆周上三点，为底面的直S O A B AB 径，SA＝ AB，M为 SA的中点， C为弧 AB的中点．设直线 MC与直线 SO所成角为α，则tanα＝（）A．B．C．D．12．（ 5 分）已知点P 在圆 x2+y2＝4上， A（﹣2，0）， B（2，0）， M为 BP 中点，则sin ∠BAM 的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13．（ 5 分）若x，y知足拘束条件，则x+2y的最大值为．14．（ 5 分）已知函数，则不等式 f （ x）＜1的解集为．15．（ 5 分）已知S是数列 { a } 的前n项和，S＝ 2﹣a，则S＝．n n n n516．（ 5 分）若函数 f （x）＝sin（ω x+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的图象对于点（，0）对称，且 f （x）在[0，] 上单一递减，则ω＝．三、解答题：共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～ 21题为必考题，每个试题考生都一定作答. 第22、23 题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：60 分AD上一点，AM＝2MD＝2，∠ BMC＝60°．17．如图，在梯形ABCD中，∠ A＝∠ D＝90°， M为（1）若∠AMB＝ 60°，求BC；（2）设∠DCM＝θ，若MB＝ 4MC，求 tan θ．18．在三棱柱ABC﹣A1B1 C1中，侧面CBB1C1是菱形，∠ C1CB＝60°，平面ABC⊥平面CBB1C1， M 为 BB1的中点， AC⊥ BC．（1）证明：CC1⊥平面A1C1M；（2）若CA＝CB＝ 2，求三棱锥C1﹣A1CM的体积．19．最近几年来，我国工业经济发展快速，工业增添值连年爬升，某研究机构统计了近十年（从2020 年到 2020 年）的工业增添值（万亿元），如表：年份2020202020202020202020202020202020202020年份序号12345678910 x工业增添28值 y依照表格数据，获得下边的散点图及一些统计量的值．（ 1）依据散点图和表中数据，此研究机构对工业增添值y（万亿元）与年份序号x 的回归方程种类进行了拟合实验，研究人员甲采纳函数y＝μ e vx，其拟合指数R2＝；研究人员乙采纳函数nR2＝；研究人员丙采纳线性函数y＝ bx+a，请计算y＝ mx，其拟合指数其拟合指数，并用数听说明哪位研究人员的函数种类拟合成效最好．（注：有关系数r 与拟合指数 R2知足关系 R2＝ r 2）．（ 2）依据（ 1）的判断结果及统计值，成立y 对于 x 的回归方程（系数精准到）；（ 3）展望到哪一年的工业增添值能打破30 万亿元大关．附：样本（ x i， y i）（ i ＝1，2，， n）的有关系数，，，．20．已知椭圆，离心率，过点（ 1，﹣ 1）的动直线l 与椭M 圆 C订交于 A， B 两点．当 l ⊥ x 轴时，．（1）求椭圆C的方程；（2）已知N为椭圆C的上极点，证明k NA+k NB为定值．21．已知函数 f （x）＝2alnx +x2﹣4x+3（ a＞0）．（ 1）若f（x）在定义域内单一递加，求 a 的取值范围；（ 2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明： f （ x1）+f （x2）＞0．（二）选考题：共10 分. 请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .22．在极坐标系中，直线，圆 C：ρ＝4sinθ．以极点O 为原点，极轴为 x 轴正半轴成立直角坐标系xOy．（ 1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（ 2）已知点P 在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，2，求1+ 2 的最大值．d d d23．已知f（x）＝ | x+1|+| x﹣ 1| ﹣1．（1）解不等式f（x）≤x+1；（2）证明： 3f（x）≥f（ 2x）．参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（ 5 分）复数的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣D．【剖析】利用两个复数代数形式的乘除法法例化简复数为﹣+i ，进而获得他的虚部．【解答】解：复数＝＝＝﹣+i ，故此复数的虚部为，应选： D．【评论】此题主要考察复数的基本观点，两个复数代数形式的乘除法法例的应用，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题．2．（ 5 分）设会合M＝ { x| x2﹣ 2x≤ 0} ，N＝ { x| x＜ 1} ，则M∩ N＝（）A．{ x| x＜ 1}B．{ x| ﹣ 2≤x＜ 1}C． { x|0 ≤x＜ 1}D． { x| ﹣ 2≤x≤ 0}【剖析】由一元二次不等式的解法得：M＝，由会合的交集的运算得：M∩N ＝，得解．【解答】解：由一元二次不等式的解法得：因为x 2﹣2 ≤0，解得 0≤x≤ 2，即＝x M，又 N＝{ x| x＜1}，所以 M∩N＝，应选：C．【评论】此题考察了一元二次不等式的解法及会合的交集的运算，属简单题．3．（ 5 分）已知 tan θ＝ 3，则 cos 2θ＝（）A．B．C．D．【剖析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果．【解答】解：知 tan θ＝ 3，则 cos 2θ＝＝．应选：．D【评论】此题考察的知识重点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转变能力，属于基础题型．4．（ 5 分）某校开设a ，，c，d共 4 门选修课，一位同学从中随机选用 2 门，则a与b未同b时被选中的概率为（）A．B．C．D．【剖析】先求出基本领件总数n＝＝ 6，a与b未同时被选中的对峙事件是 a 与 b 同时被选中，由此利用对峙事件概率计算公式能求出 a 与 b 未同时被选中的概率．【解答】解：某校开设a ，，，d共 4 门选修课，一位同学从中随机选用 2 门，b c基本领件总数 n＝＝ 6，a 与b 未同时被选中的对峙事件是 a 与 b 同时被选中，∴ a 与 b 未同时被选中的概率为：p＝1﹣＝．应选：D．【评论】此题考察概率的求法，考察对峙事件概率计算公式等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．5．（ 5 分） ? x＞0，使得，则实数 a 的取值范围是（）A．a＞ 2B．a≥ 2C．a＜ 2D．a≤ 2【剖析】问题转变为阿a≥（ x+）min，再用基本不等式求最小值．【解答】解： ? x＞ 0，使得+x﹣a≤ 0，等价于a≥（ x+）min，∵ x+≥ 2＝2，（当且仅当x＝1时取等）故 a≥2应选： B．【评论】此题考察了基本不等式及其应用，属基础题．6．（ 5 分）某三棱锥的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A．B．C． 4D．8【剖析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体的直观图如图：是正方体的一部分，几何体的体积为：＝．应选： A．【评论】此题考察三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的重点．7．（ 5 分）设向量，知足+ ＝（ 3，1）， ?＝1，则| ﹣| ＝（）A．2B．C． 2D．【剖析】配方变形得 |﹣ | ＝＝，再代入已知可得．【解答】解： |﹣ |＝＝＝＝应选： B．【评论】此题考察了平面向量数目积的性质及其运算，属基础题，8．（ 5 分）设 { a n} 为等差数列，a1＝ 22，S n为其前n项和，若S10＝S13，则公差d＝（）A．﹣ 2B．﹣ 1C． 1D． 2【剖析】依据等差数列的乞降公式即可求出．【解答】解：∵10＝13，a 1＝22，S S∴ 10× 22+× d＝13×22+d，解得 d＝﹣2，应选： A．【评论】此题主要考察了等差数列的乞降公式的简单应用，属于基础试题．9 ．（ 5 分）已知F 是抛物线：y2＝ 2px（p＞ 0 ）的焦点，抛物线C的准线与双曲线C的两条渐近线交于A，B 两点，若△ ABF为等边三角形，则Γ的离心率e＝（）A．B．C．D．【剖析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，而后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a，b 的关系式，联合离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为：x＝﹣，准线方程与双曲线的渐近线方程y＝±x，联立解得 y＝±，可得 | AB| ＝，△为等边三角形，可得p ＝? ，即有＝，ABF则 e＝＝＝＝．应选： D．【评论】此题考察抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考察剖析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．10．（ 5 分）已知函数f （ x）＝ e x+ax﹣1的图象与 x 轴相切，则a＝（）A．﹣ 1B．0C．D． 1【剖析】求出函数的导数，议论 a 能否为﹣1，求出极值点，利用极值为0，求出a的值即可．【解答】解： f （ x）＝ e x+ax﹣1， f ′（ x）＝ e x+a，若 f （ x）的图象与x 轴相切， y＝0是函数的切线方程，当＝﹣1时，x ＝ 0 是函数的极值点，而且f（ 0）＝ 0，知足题意；aa≥0不知足题意．应选： A．【评论】此题考察函数导数的应用，函数的极值的求法，考察分类议论思想的应用．考察计算能力．11．（ 5 分）已知圆锥的极点为S，O为底面中心， A， B， C为底面圆周上三点，AB为底面的直径，SA＝ AB，M为 SA的中点， C为弧 AB的中点．设直线 MC与直线 SO所成角为α，则tanα＝（）A．B．C．D．【剖析】先作图作出直线MC与直线 SO所成角，再在直角三角形中求其正切值即可．【解答】解：设圆的半径为R，则有 SO＝， EM＝R，过 M作 ME⊥AO交 AO于点 E，易得∠ EMC为直线 MC与直线 SO所成角，在 Rt △COE中，EC＝＝R，在 Rt △MEC中， tan ∠EMC＝＝＝，故直线 MC与直线 SO所成角为α，则tanα＝，应选： C．【评论】此题考察了作图能力及空间两异面直线所成的角，属中档题．12．（ 5 分）已知点P 在圆 x2+y2＝4上， A（﹣2，0）， B（2，0）， M为 BP 中点，则sin ∠BAM 的最大值为（）A．B．C．D．【剖析】设 P（2cosα，2sinα），则 M（1+cosα，sinα）先求出A M的斜率的最大值，在得出 sin ∠NAM的最大值．【解答】解：设P（2cosα，2sinα），则 M（1+cosα，sinα），tan ∠BAM＝＝≤，∴ sin ∠BAM，应选： C．【评论】此题考察了直线与圆的地点关系，属中档题．二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13．（ 5 分）若x ，y知足拘束条件，则x+2 的最大值为2 ．y【剖析】作出不等式对应的平面地区，利用线性规划的知识，经过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面地区，由 z＝ x+2y，得 y＝﹣x+，平移直线 y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点A时，直线 y＝﹣x+的截距最大，此时z 最大．由，得 A（0，1），此时 z 的最大值为z＝0+2×1＝2，故答案为： 2．【评论】此题主要考察线性规划的应用，利用数形联合是解决线性规划题目的常用方法．14．（ 5 分）已知函数，则不等式 f （x）＜1的解集为（﹣ 1，e ﹣1）．【剖析】分段求解x 的范围即可；【解答】解：函数，不等式 f （ x）＜1，即或解得：﹣ 1＜x＜ 0 或 0≤x＜e﹣ 1不等式 f （ x）＜1的解集为：（﹣1， e﹣1）．故答案为：（﹣ 1，e﹣1）．【评论】此题考察分段函数的运用，考察分段函数值对应的自变量，考察运算能力，属于中档题．15．（ 5 分）已知n 是数列{ n}的前n 项和， n＝2﹣n，则5＝．S a Sa S【剖析】≥ 2时，由n＝2﹣n，可得n＝2﹣（n﹣ n﹣1），化为n﹣2＝（ n﹣1﹣2），利n S a S S S S S用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解： n≥2时，∵ S n＝2﹣ a n，∴ S n＝2﹣（ S n﹣ S n﹣1），∴ S n﹣2＝（ S n﹣1﹣2），n＝1时， a ＝2﹣ a ，解得 a ＝1．111∴ S1﹣2＝﹣1．∴数列 { n﹣ 2} 是等比数列，首项为﹣1，公比为．S∴ S n﹣2＝﹣，5＝．∴S＝2﹣故答案为：．【评论】此题考察了数列递推关系、等比数列的通项公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（ 5 分）若函数f（x）＝ sin （ωx+φ）（ω＞ 0， 0＜φ≤）的图象对于点（，0）对称，且 f （x）在[0，] 上单一递减，则ω＝ 3 ．【剖析】由三角函数的对称性得：φ＝ kπ，由单一性及会合的包括关系得：[0，]? [，] ，再察看求解即可【解答】解：令ω x+φ＝ kπ，由函数 f （ x）的图象对于点（， 0）对称，则有 x＝为方程ω x+φ＝kπ的一个根，即φ＝ kπ，又令 2kπ + ≤ωx+φ≤ 2k，解得：，即函数的减区间为[，] ，又 f （ x）在[0，] 上单一递减，所以[0，] ? [，] ，所以＝ 0，即φ＝，即ω＝ 6k﹣3，k∈ Z．又，即ω≤ 6，所以ω＝ 3，故答案为： 3．【评论】此题考察了三角函数的对称性、单一性及会合的包括关系，属中档题．三、解答题：共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17～ 21 题为必考题，每个试题考生都一定作答. 第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：60 分17．如图，在梯形ABCD中，∠ A＝∠ D＝90°， M为 AD上一点， AM＝2MD＝2，∠ BMC＝60°．（1）若∠AMB＝ 60°，求BC；（2）设∠DCM＝θ，若MB＝ 4MC，求 tan θ．【剖析】（ 1）利用直角三角形的边角关系求得MB、 MC的值，再利用余弦定理求得BC的值；（ 2）用∠DCM＝θ，利用直角三角形的边角关系求出求得 tan θ的值．MC、MB的值，由MB＝4MC列出关系式【解答】解：（ 1）由∠BMC＝ 60°，∠AMB＝ 60°，得∠CMD＝ 60°，在 Rt △ABM中，MB＝ 2AM＝ 4，在Rt △CDM中，MC＝2MD＝2；在△ MBC中，由余弦定理得，222＝12，BC＝BM+MC﹣2BM?MC?cos∠BMC＝16+4﹣2×所以＝ 2；BC（ 2）因为∠DCM＝θ，所以∠ABM＝ 60°﹣θ， 0°＜θ＜ 60°，在 Rt △MCD中，MC＝，在 Rt △中，＝，MAB MB由 MB＝4MC，得＝，即 2sin （ 60°﹣θ）＝ sin θ，化简得cos θ＝ 2sin θ，求得 tan θ＝．【评论】此题考察了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18．在三棱柱ABC﹣A1B1 C1中，侧面CBB1C1是菱形，∠ C1CB＝60°，平面ABC⊥平面CBB1C1， M 为 BB1的中点， AC⊥ BC．（1）证明：CC1⊥平面A1C1M；（2）若CA＝CB＝ 2，求三棱锥C1﹣A1CM的体积．【剖析】（ 1）在菱形BB1C1C 中，由已知解三角形可得CC1⊥C1M，再由面面垂直的性质可得AC⊥平面 CBB1C1，获得 AC⊥ CC1，再由线面垂直的判断可得CC1⊥平面 A1C1M；（ 2）由（ 1）知，CC1⊥平面A1C1M，CC1⊥C1M，再由已知联合等积法求三棱锥C1﹣ A1CM的体积．【解答】（ 1）证明：在菱形BB1C1C中， M 为设 BC＝2a，则 MB1＝ a， B1C1＝2a，BB1的中点，∠MB1C1＝60°，，∴，可得B1M⊥C1M，则CC1⊥ C1M；∵平面ABC⊥平面CBB1C1，且平面ABC∩平面CBB1C1＝ BC，AC⊥ BC，∴AC⊥平面 CBB1C1，则 AC⊥ CC1，则 CC1⊥ A1C1．又 A1 C1∩ C1M＝ C1，∴ CC1⊥平面 A1C1M；（ 2）解：由（ 1）知，CC1⊥平面A1C1M，CC1⊥C1M，∵ CA＝ CB＝2，∴．则＝．【评论】此题考察直线与平面垂直的判断，考察空间想象能力与思想能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．最近几年来，我国工业经济发展快速，工业增添值连年爬升，某研究机构统计了近十年（从2020 年到 2020 年）的工业增添值（万亿元），如表：年份2020202020202020202020202020202020202020年份序号12345678910 x工业增添28值 y依照表格数据，获得下边的散点图及一些统计量的值．（ 1）依据散点图和表中数据，此研究机构对工业增添值y（万亿元）与年份序号x 的回归方程种类进行了拟合实验，研究人员甲采纳函数y＝μ e vx，其拟合指数R2＝；研究人员乙采纳函数nR2＝；研究人员丙采纳线性函数y＝ bx+a，请计算y＝ mx，其拟合指数其拟合指数，并用数听说明哪位研究人员的函数种类拟合成效最好．（注：有关系数r 与拟合指数 R2知足关系 R2＝ r 2）．（ 2）依据（ 1）的判断结果及统计值，成立y 对于 x 的回归方程（系数精准到）；（ 3）展望到哪一年的工业增添值能打破30 万亿元大关．附：样本（ x i， y i）（ i ＝1，2，， n）的有关系数，，，．【剖析】（ 1）依据有关数据求出r 的值，求出R2的值即可；（2）求出有关系数，进而求出回归方程；（3）分别求出y的预告值，判断即可．【解答】解：（ 1）r＝≈ 0.981 ，R2＝ r 2≈，∵R2越大，拟合成效越好，故丙的拟合成效最好；（2）＝≈ ，＝20.6 ﹣× 5.5 ≈ 11.96 ，故回归方程是：＝x ；（ 3）从2020 年开始计数，2020 年是第11 年，其工业增添值y 的预告值＝ 1.57 × 11+11.96 ＝＜30，2020 年是第12 年，其工业增添值y 的预告值＝× ＝＞30，故展望到2020 年工业增添值能打破30 万亿元大关．【评论】此题考察了拟合指数，考察回归方程以及函数求值，是一道惯例题．20．已知椭圆，离心率，过点M（1，﹣1）的动直线l 与椭圆C 订交于，B两点．当l⊥x轴时，．A（1）求椭圆C的方程；（2）已知N为椭圆C的上极点，证明k NA+k NB为定值．【剖析】（ 1）先由离心率得出a＝ 2b，由对称性得出点在椭圆上，将该点的坐标代入椭圆 C的方程，求出 b 和 a 的值，进而可得出椭圆C的方程；（ 2）对直线l的斜率能否存在进行分类议论．①当直线l与x轴垂直时，求出点、B的坐标，再利用斜率公式求出k+的值；NA NB②当直线 l的斜率存在时，设直线l的方程为 y﹣1＝ k（x+1），并设点 A（ x1， y1）、 B（x2，y2），将直线 l 的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并代入韦达定理计算出k NA+k NB的值，联合①②证明出结论．【解答】解：（ 1）因为椭圆C 的离心率为，所以，a＝2b，则椭圆C 的方程为，因为当 l ⊥ x 轴时，，所以，点在椭圆C上，将点的坐标代入椭圆方程得，解得 b＝1，则 a＝2b＝2，所以，椭圆 C的方程为；（ 2）①当直线l与x轴垂直时，设点、，点 N的坐标为（0，1），此时，；②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l的方程为 y+1＝ k（ x﹣1），即 y＝kx﹣ k﹣1，将直线l 的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得（ 42+1）2﹣8（+1）k x k kx+4k（ k+2）＝0，由韦达定理得，，所以，＝＝＝＝．综上所述， k NA+k NB为定值﹣2．【评论】此题考察直线与椭圆的综合问题，考察椭圆的方程与几何性质，同时也考察了韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，考察计算能力，属于中等题．21．已知函数 f （x）＝2alnx +x2﹣4x+3（ a＞0）．（ 1）若f（x）在定义域内单一递加，求 a 的取值范围；（ 2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明： f （ x1）+f （x2）＞0．【剖析】（ 1）求出函数的导数，依据函数的单一性获得a≥（﹣ x2+2x）max，求出 a 的范围即可；（ 2）求出函数的导数，求出f （1）+（2）＝ 2﹣ 2 +2，令（）＝ 2﹣ 2 +2，0 x f x alna a g a alna a＜ a＜1，依据函数的单一性证明即可．【解答】解：（ 1）f′（x）＝+2x﹣ 4，（x＞ 0，）由 f （ x）递加，故 f ′（ x）≥0，即+2x﹣ 4≥ 0 恒成立，a≥（﹣ x2+2x）max＝1，当且仅当x＝1时取“＝”，即 a≥1；（ 2）证明，由（1）得：f ′（ x）＝，由题意得 f ′（ x）的两个零点是x1， x2，故 0＜a＜ 1，且x1+x2＝ 2，x1?x2＝a，故 f （ x1）+f （x2）＝ 21+﹣41+3+22+﹣4 2+3alnx xalnx x＝ 2aln（x1x2） +﹣ 2x1x2+6＝2alna﹣ 2a+2，令 g（ a）＝2alna ﹣2a+2，0＜ a＜1，则 g′（ a）＝2lna ＜0， g（ a）递减，∵ g（1）＝0，∴ g（ a）＞0，∴ f （ x1）+f （x2）＞0．【评论】此题考察了函数的单一性，最值问题，考察导数的应用以及不等式的证明，考察分类议论思想，转变思想，是一道综合题．（二）选考题：共10 分. 请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .22．在极坐标系中，直线，圆C：ρ＝4sinθ．以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴成立直角坐标系xOy．（ 1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；（ 2）已知点P 在圆C上， P到l和 x 轴的距离分别为d1， d2，求 d1+d2的最大值．【剖析】（ 1）依据极坐标与直角坐标转变的规则，以及直角坐标方程与参数方程转变规则易得直线 l 的直角坐标方程和圆 C的参数方程；（ 2）点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1， d2，故可用点到直线的距离公式计算出点P 到直线l的距离，再由坐标的几何意义计算出点P到x轴的距离，将d1+ 2 的值表示d为θ 的三角函数，利用三角函数的最值求法即可求出最大值．【解答】解：（ 1）∵直线，整理得，所以直线 l 的直角坐标方程是，整理得，2θ，由公式得x 22y＝ 0，圆：ρ＝ 4sin θ，即ρ＝ 4ρ sin+﹣ 4C y所以圆的参数方程是；（ 2）∵点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1， d2，d1+d2＝+2+2sin θ＝+2+2sin θ＝+2＝5+2sin （）≤ 7，等号当且仅当时取到，故 d1+d2的最大值是7．【评论】此题考察了极坐标方程转变为直角坐标方程以及直角坐标方程转变为参数方程的方法，以及利用圆的参数方程解决圆的点到直线的距离的表示方程以及三角函数最值的求法，知识性强综合性强，23．已知f（x）＝ | x+1|+| x﹣ 1| ﹣1．（1）解不等式f（x）≤x+1；（2）证明： 3f（x）≥f（ 2x）．【剖析】（1）绝对值不等式的解法议论①当x≤﹣1时，②当﹣1＜ x＜1时，③当 x≥1时，得解；（ 2）分段议论①当x≤﹣1时，②当﹣1＜ x≤﹣时，③当﹣＜x≤时，④当＜x≤ 1时，⑤当 x＞1时，命题可得证．【解答】解：（ 1）①当x≤﹣1时， f （x）≤ x+1等价于﹣（ x+1）﹣（ x﹣1）﹣1≤ x+1，解得此方程无解，②当﹣ 1＜x＜1 时，f（x）≤x+1 等价于（x+1）﹣（x﹣ 1）﹣ 1≤x+1，解得 0≤x＜ 1，③当 x≥1时， f （ x）≤ x+1等价于（ x+1）+（ x﹣1）﹣1≤x+1，解得1≤ x≤2，综合①②③可得：不等式的解集为：（ 2）①当x≤﹣ 1 时， 3f（x）﹣f（ 2x）＝﹣ 2x﹣ 2＝﹣ 2（x+1）≥ 0．即 3f（x）≥f（ 2x），②当﹣1＜x≤﹣时， 3f（x）﹣f（ 2x）＝ 4（x+1）≥ 0，即3f（x）≥f（2x），③当﹣＜x≤时， 3f（x）﹣f（ 2x）＝ 3（x+1）﹣ 3（x﹣ 1）﹣ 3﹣（ 2x+1） +（ 2x﹣1）+1＝ 2≥ 0，即 3f（x）≥f（ 2x），④当＜ x≤1时，3f （ x）﹣ f （2x）＝3（x+1）﹣3（ x﹣1）﹣3﹣（2x+1）﹣（2x﹣1）+1＝﹣ 4（x﹣ 1）≥ 0，即 3f（x）≥f（ 2x），⑤当 x＞1时，3f （ x）﹣ f （2x）＝3（ x+1）+3（ x﹣1）﹣3﹣（2x+1）﹣（2x﹣1）+1＝2（ x﹣1）≥0，即3f （x）≥ f （2x），综合①②③④⑤得： 3（）≥f （ 2x），f x故命题得证．【评论】此题考察了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的证明，属中档题．。
北京市昌平区新学道临川学校2020届高三数学上学期期末考试试题文(含解析)
在考察学生的转变能力和计算求解能力.
9.已知F是抛物线C : y2
2 px( p
0)的焦点，抛物线
C的准线与双曲线
:x2
y2
1(a
0, b
0)的两条渐近线交于A，B两点，若
ABF为等边三角形， 则
a2
b2
的离心率e
（
）
A.
3
B.2
3
C.
21
D.
21
2
3
7
3
答案】D
分析】
剖析】
求出抛物线的焦点坐标，准线方程，而后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，
A.
4
【答案】C
【分析】
【剖析】
由圆的特点可确立
B.
10
1
1
10
C.
D.
3
2
BAM为锐角，所以只要求出BAM的正切值的最大值即可.
【 详 解 】 设P x, y
，由于为BP中点，所以M
x 2,y
， 所 以
2
2
y
y
tan BAM
2
，
x
2
x
2
6
2
由于点P在圆x2
y2
4
上，则
2
x 2,
不如令y
0，
y
4
x2
在RtVABM中，MB2AM4；
在RtVCDM中，MC 2MD 2．
在VMBC中，由余弦定理得，
BC2BM2MC22BMMC cosBMC12，
BC23．
（2）由于DCM
，所以
ABM
60o，0o
60o．
在RtVMCD中，MC
昌平区2019-2020学年第一学期期末高三数学试题及答案(WORD版)
昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学（满分150分，考试时间 120分钟）2020.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U（A ）(2,1)- （B ）(0,1) （C ）(0,)+∞ （D ）(2,)-+∞ （2）在复平面内，复数i(i 1)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（A ）x ∃∈+R ，ln 0x ≤ （B ）x +∀∈R ，ln 0x < （C ）x +∃∈R ，ln 0x < （D ）x +∀∈R ，ln 0x ≤（4）设,,a b c ∈R ，且a b <，则 （A ）ac bc < （B ） 11a b> （C ）22a b < （D ）33a b <（5）已知函数()f x 的图象与函数2xy =的图象关于x 轴对称，则()=f x（A ）2x - （B ）2x- （C ）2log x - （D ）2log x（6）已知向量(1,0),).k ==-=a b c 若2-a b 与c 共线，则实数k =（A ）0 （B ）1 （C （D ）3（7）已知双曲线221x y m-=，则m =DCBA11俯视图（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）2（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）13 （B ）23（C ）1（D ）2（9）设,m n 为非零向量，则“λ=m n ，1λ≤-”是“||||||+=-m n m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则 （A ）最少需要16次调动，有2种可行方案 （B ）最少需要15次调动，有1种可行方案 （C ）最少需要16次调动，有1种可行方案 （D ）最少需要15次调动，有2种可行方案第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市昌平区2019-2020学年第一学期高三期末质量检测数学试题及答案
（B） x R+ ， ln x 0
（C） x R+ ， ln x 0
（D） x R+ ， ln x 0
（4）设 a,b,c R ，且 a b ，则
（A） ac bc
（B） 1 1 ab
（C） a2 b2
（D） a3 b3
（5）已知函数 f ( x) 的图象与函数 y = 2x 的图象关于 x 轴对称，则 f (x) =
（Ⅲ）在棱 PC 上是否存在点 M ，使得 BM ⊥ 平面 PCD ？
D
若存在，求 PM 的值？若不存在，说明理由. PC
A
C B
（21）（本小题 13 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1 (a b 0) 的离心率为
3 ，点 M (0,
2
2) 在椭圆 C 上，焦点为
F1, F2 ，圆 O 的直径为 F1F2 ． y
平面 ABCD = AD ，
因为 PO 平面 PAD ， 所以 PO ⊥ 平面 ABCD .
所以 PO ⊥ OA, PO ⊥ OB .
5
故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为 3 . 5
...............................7 分
（III） 的所有可能取值为1, 2,3.
...............................8 分
P(
= 1)
=
C31C22 C53
=
3 , P( 10
所以 = π .
............................7 分
（Ⅱ）因为 0 x π , 0 ， 2
北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学试题 含解析
昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （ ） A. (2,1)- B. (0,1) C. (0,)+∞D.(2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】{}{}{}2102A B x x x x x x ⋃=-<<⋃>=>- 故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题. 2.在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()211i i i i i -=-=--Q ，在复平面内对应的点的坐标为()1,1--，位于第三象限，故选C.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义3.已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（ ） A. x ∃∈+R ，ln 0x ≤ B. x +∀∈R ，ln 0x < C. x ∃∈+R ，ln 0x < D. x +∀∈R ，ln 0x ≤【答案】A 【解析】【分析】由全称命题的否定的定义即可求解. 【详解】命题:p ⌝x ∃∈+R ，ln 0x ≤ 故选：A【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题. 4.设,,a b c ∈R ，且a b <，则 A. ac bc <B.11a b> C. 22a b <D.33a b <【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值排除A ，B ，C ，根据函数3y x =的单调性即可得出正确答案.【详解】对A 项，当0c <时，a b ac bc <⇒>，故A 错误； 对B 项，取2a =-，1b =时，112-<，不满足11a b >，故B 错误；对C 项，取2a =-，1b =-时，()2221->-()，不满足22a b <，故C 错误；对D 项，函数3y x =在R 上单调递增，a b <，则33a b <，故D 正确; 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象与函数2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x =（ ） A. 2x - B. 2x -C. 2log x -D. 2log x【答案】A 【解析】 【分析】由点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =图像上，列出方程，即可得到正确答案.【详解】设点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =的图像上即22x xy y -=⇒=-所以函数()f x 的解析式为：()2xf x =-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.6.已知向量(1(1,0),).a b c k ==-=r r r 若2a b -r r 与c r 共线，则实数k =（ ）A. 0B. 1C.D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】2a b -=rr因为2a b -rr与c r共线，所以30k -=，解得：1k = 故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.7.已知双曲线221x y m-=m =（ ）A.14B.12C.2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质求出a =，c =.【详解】a =c =因为双曲线221x y m-== 解得：12m = 故选：B【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 13 B. 23 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以111212ABC A B CV'''-=⨯⨯⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.9.设,m n u r r 为非零向量，则“λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可. 【详解】证充分性1(1)n n m n n n λλλ+=+=-++=r r u r r r r (1)m n n n n n n λλλ-=-=--=-+u r r r r r r r所以m n m n +=-u r r u r r，即充分性成立证必要性m n +==u r r因为m n m n +=-u r r u r r 所以()2222222m m n n m nm m n n +⋅+=-=-⋅+u r u r r r u r r u r u r r r ，即cos m n m n m n π⋅=-⋅=⋅u r r u r r u r r则向量,m n u r r 反向，即存在0λ<，使得λ=u r rm n由0n m n m n n n n λλ+=-==---≥r u r r u r r r rr ，则1λ≤-所以λ=u r rm n ，1λ≤-，即必要性成立所以 “λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的充分必要条件故选：C【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.10.为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（ ）A. 最少需要16次调动，有2种可行方案B. 最少需要15次调动，有1种可行方案C. 最少需要16次调动，有1种可行方案D. 最少需要15次调动，有2种可行方案 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.【详解】根据题意A ，B 两处共需向C ，D 两处调15个商品，这15个商品应给D 处11个商品，C 处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A 调动11个给D ，B 调动1个给A ，B 调动4个给C ，共调动16次； 方案二：A 调动10个给D ，B 调动5个给C ，C 调动1个给D ，共调动16次； 故选：A【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11.在()52x -的展开式中，3x 的系数为________．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】()52x -展开的通项为()552rr r C x --53r -=时，2r =此时3x 的系数为()225240C -=故答案为：40【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.12.各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1231,6a a a =+=,则63S S =_______ . 【答案】9 【解析】 【分析】求出公比，根据等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q 因1231,6a a a =+=，所以211116a a a q q =⎧⎨+=⎩ ，解得3q =-(舍)，2q = 661(12)6312S ⨯-==- ，331(12)712S ⨯-==-则636397S S == 故答案为：9【点睛】本题主要考查了求等比数列的前n 项和公式，属于基础题.13.抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p =_____；点M 的坐标为______ .【答案】 (1). 2(2). (3,± 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出2p =，根据抛物线的定义求出点M 坐标即可. 【详解】因为焦点(1,0)F ，所以2p =设点2(,)4y M y ，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±所以点M 的坐标为(3,±故答案为：2；(3,±【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.14.在ABC ∆中,,sin a C B == ,则cos B =_______．【解析】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得=c由余弦定理可得222222cos2a c b B ac +-===【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题.15.2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. 【答案】144 【解析】 【分析】先安排丁、戊、己，利用插空法得出甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法.【详解】先安排丁、戊、己共有333216A =⨯⨯=种再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有3443224A =⨯⨯=种则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有3334=144A A ⋅， 故答案为：144【点睛】本题主要考查了不相邻的排列问题，属于中档题. 16.已知函数()sin 2cos f x x x =-. ①()f x 的最大值为________ ；②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______. 【答案】(1).(2). 【解析】 【分析】由辅助角公式以及正弦函数的性质得到()f x 的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.【详解】①()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-， (其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=) 当22x k πϕπ-=+，即22x k πϕπ=++时，()f x ②由题意可知22k πθϕπ=++()2sin 2sin 2cos 5c s o k k πϕππθϕϕ⎛⎫++=-+=-= ⎪-⎝⎭= 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）记数列1{}n S 的前n 项和为n T ，若99100n T >，求n 的最小值. 【答案】（1）2n a n =，2n S n n =+；（2）100 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前n 项和公式求解即可得到数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (2)利用裂项求和得到111nT n =-+，解不等式即可得到最小值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有13428,4.a a a a +=⎧⎨-=⎩解得12,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以22,n n a n S n n ==+.（2）因为211111n S n n n n ==-++， 所以12111111111(1)()()122311n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++L L . 因为99100n T >，即19911100n ->+，所以99n >.所以n 的最小值为100【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式、前n 项和以及裂项求和，属于中档题. 18.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）196人，140人；（2）①35；②分布列见解析，()95E ζ=【分析】(1)按照比例求解即可；(2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解； ②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望. 【详解】（1）设高一年级有a 人，高二年级有b 人. 采用分层抽样，有75,3361233612a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人.（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. （3）ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,3335(3)110C P C ξ===. 所以ξ的分布列为故ξ的期望3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.19.已知函数2()cossin ,222xxxf x ωωω=+其中0>ω.（1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围. 【答案】（1）π；（2）43ω≥【分析】(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值； (2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【详解】（1）因为2()3sincossin 222xxxf x ωωω=+31cos sin 2x x ωω-=+311sin cos 222x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+.因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω==所以πω=. （2）因为π0,02x ω≤≤>， 所以6626x ππωππω-≤-≤-.若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥， 所以43ω≥.【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，CD AD ⊥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，,PA PD PA PD ⊥=.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角C PA D --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面PCD ？若存在，求PMPC的值？若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2（3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出CD PA ⊥； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；(3)由P ，C ，M 三点共线，利用向量共线得出PM PC λ=u u u u r u u u r，利用线面垂直的判定定理证明平面PCD ，由于BM u u u u r ，PA u uu r 不平行，则不存在棱PC 上的点M ，使得BM ⊥平面PCD .【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD = 又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD 因为PA ⊂平面PAD 所以CD PA ⊥（2）取AD 中点O ，连接,OP OB 因为PA PD = 所以PO AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD = 因为PO ⊂平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD 所以,PO OA PO OB ⊥⊥因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥= 所以//,BC OD BC OD =所以四边形OBCD 是平行四边形 所以OB AD ⊥如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P -- (2,2,0),(1,0,1)AC AP =-=-u u u v u u u v.设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0.AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v 即220,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1,1y z ==. 所以(1,1,1)n =r.因为平面PAD 的法向量(0,2,0)OB =u u u r，所以3cos ,.3n OB n OB n OB⋅==u u u v v u u u v vu u u v v 由图可知，二面角C PA D --为锐二面角， 所以二面角C PA D --的余弦值为3.（3）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=u u u u r u u u r.设000(,,)M x y z ，则000(,,1),(1,2,1).PM x y z PC =-=--uuu r uu u r所以000(,,1)(1,2,1).x y z λ-=--所以000,2,1.x y z λλλ=-==- 所以(,2,1)M λλλ--. 所以(,22,1)BM λλλ=---u u u r.因为,,,AP PD AP CD CD PD D ⊥⊥=I ,CD PD ⊂平面PCD 所以PA ⊥平面PCD .所以(1,0,1)PA =-uu r是平面PCD 的一个法向量. 若BM ⊥平面PCD ，则//BM PA uuu r uu r.所以220,1.λλλ-=⎧⎨=-⎩因为方程组无解，所以在棱PC 上不存在点M ，使得BM ⊥平面PCD .【点睛】本题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，点(0,2)M 在椭圆C 上，焦点为12,F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的标准方程； （2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．记OAB V的面积为S ，证明：3S <【答案】（1）22182x y +=，226x y +=；（2）见解析【解析】 【分析】(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆C 及圆O 的标准方程；(2)利用斜截式设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式得到点O 到直线l 的距离，将直线l 的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出AB 的长度，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明S <【详解】（1）由题意，椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.可得222c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,2,6.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22182x y +=．因为焦点在x 轴上，所以椭圆C的焦点为12(F F ． 所以直径为12F F 的圆O 的方程为226x y +=．（2）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ， 设直线l 的斜截式方程为(0,0)y kx m k m =+. 因为直线l 与圆O 相切， 所以点O 到直线l的距离为d ==即2266m k =+.因为直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，由22,48y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222()148480k x kmx m +++-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221228,1448,140km x x km x x k ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩. 因为222(8)4(14)(48)km k m ∆=-⨯+-2216(82)k m =⨯-+． 又2266m k =+， 所以232(2)0k ∆=->. 所以22k >. 又因为k 0<，所以k <因为12AB x =-=，所以11||22OABS AB d ∆=⋅=⨯=． 设214k t +=，则9t >，则OAB S ∆==令11,09u u t=<<.则OAB S ∆=. 设2214()276127().93h u u u u =--+=-++ 因为()h u 在1(0,)9上单调递减， 所以()1h u <.所以OAB S ∆<.【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及椭圆中的三角形面积问题，属于中档题.22.已知函数2()3ln f x x x x =-+．（1）求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； （2）证明：()22f x x ≤-；（3）确定实数k 的取值范围，使得存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有()(1)>-f x k x ． 【答案】（1）22y x =-；（2）见解析；（3）(,2)-∞ 【解析】 【分析】(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程； (2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式；(3)分类讨论，当2k =时，不满足题意；当2k >时，根据不等式的性质得出不满足题意；当2k <时，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.由2()3ln f x x x x =-+得3'()12f x x x=-+. 令'()2f x =，即3122x x -+=，得1x =，32x =-（舍）． 又(1)0f =，所以曲线()y f x =的斜率为２的切线方程为22y x =-（2）设2()()(22)3ln 2g x f x x x x x =--=--+，则2323(23)(1)'()21x x x x g x x x x x--+-+-=--==. 令'()0g x =得1x =，32x =-（舍）． 当'()0g x >时，01x <<； 当)'(0g x <时，1x >.所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 所以()(1)0g x g ≤=.所以()22f x x ≤-. （3）由（2）可知，① 当2k =时，()2(1)f x x ≤-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-； 所以2k =不符合题意.②当2k >时，对于1x >，()2(1)(1)f x x k x ≤-<-， 所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-； 所以2k >不符合题意.③当2k <时，设2()()(1)(1)3ln h x f x k x x k x x k =--=-+-++.因为22(1)3'()x k x h x x-+-+=，令'()0,h x =即22(1)30x k x -+-+=.因为2(1)240k ∆=-+>，解得12x x ==.又因为2k <， 所以120,1x x <>. 取02x x =.当0(1,)x x ∈时，'()0h x >； 所以()h x 在0(1,)x 上单调递增. 所以()(1)0h x h >=. 即()(1)>-f x k x . 所以2k <符合题意.所以实数k 的取值范围是(,2)-∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数证明不等式，属于较难题.。
北京市昌平区19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市昌平区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合A={x|3−2x<−1}，B={x|x(2x−5)≤0}，则A∪B=()A. [25,2) B. (2,52] C. [0,+∞) D. [52,+∞)2.在复平面内，复数−2+3i对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知命题p：∀x≥0，e x≥1或sinx≤1，则﹁p为()A. ョx<0，e x<1且sinx>1B. ョx<0，e x≥1或sinx≤1C. ョx≥0，e x<或sinx>1D. ョx≥0，e x<1且sinx>14.设a，b∈R，且a<b，则()A. a2<b2B. 1a >1bC. lna<lnbD. a 13<b 135.已知函数f(x)的定义域为R，若函数g(x)=f(x)+3x2为奇函数，函数ℎ(x)=f(x)−2x的图象关于y轴对称，则f(1)=()A. −49B. 49C. −94D. 946.若a⃗=(k,1)，b⃗ =(3,2)，且a⃗，b⃗ 共线，则(a⃗−b⃗ )·(2a⃗+b⃗ )=()A. −13B. 0C. −12D. −57.双曲线x2−y23=1的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. 38.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 23B. 43C. 2D. 839. 设a ⃗ 、b ⃗ 都是非零向量，下列四个条件中，使a ⃗ |a ⃗ |=b ⃗ |b⃗ |成立的充要条件是( ) A. a ⃗ =−b ⃗B. a ⃗ //b ⃗ 且方向相同C. a ⃗ =2b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ 且|a ⃗ |=|b ⃗ |10. 定义A ∗B 、B ∗C 、C ∗D 、D ∗B 分别对应下列图形，那么下面的图形中，可以表示A ∗D ，A ∗C 的分别是( )A. (1)、(2)B. (2)、(3)C. (2)、(4)D. (1)、(4)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. (x 2−2x+y)6的展开式中，x 3y 3的系数是_________.(用数字作答) 12. 已知等比数列{a n }中，a 1=2，S 3=6，则q =______．13. 若抛物线y 2=−2px(p >0)上有一点M ，其横坐标为−9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为______ ．14. 在△ABC 中，若asinA +bsinB −csinC =√3asinB.则角C 等于______ ．15. 有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有_______种．16. 函数y =cos2x +2sinx 的最大值为____．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）17. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3+a 6=20，S 5=35．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{1S n+n+2}的前n 项和为T n ，求使T n >920成立的n 的最小值．18.四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用其中参加跑步类的人数所占频率为713分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．(Ⅰ)求条形图中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；(Ⅱ)现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X，求离散型随机变量X的分布列与数学期望．19.已知函数f(x)=cos2(ωx−π6)+√3sin(ωx−π6)sin(ωx+π3)−12(ω>0)，满足f(α)=−1，f(β)=0，且|α−β|的最小值为π4．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的单调区间和最大值、最小值．20.在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，AB=AD=12CD，AB⊥AD，AB//CD，点M是PC的中点．(I)求证：MB//平面PAD；(Ⅱ)求二面角P−BC−D的余弦值；(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N，使得DN⊥平面PBC？若存在，请求出PNPB的值；若不存在，请说明理由．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(−1,2√33)在椭圆C上，|PF2|=4√33，过点F1的直线l与椭圆C分别交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若△OMN的面积为1211，O为坐标原点，求直线l的方程．22.已知函数f(x)=(x+1)lnx−a(x−1)．(Ⅰ)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|3−2x<−1}，B={x|x(2x−5)≤0}，}，即A={x|x>2},B={x|0≤x≤52∴A∪B=[0,+∞)．故选：C．本题主要考查集合的并集，是基础题．解出集合A，B，然后根据并集的定义求解即可．2.答案：B解析：解：由复数的几何意义可知：复数−2+3i对应的点为(−2,3)在第二象限，故选：B可知复数对应的点为(−2,3)，可得答案．本题考查复数的代数形式的几何意义，属基础题．3.答案：D解析：本题考查的知识点是全称命题的否定，属于基础题．根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．解：把全称改为特称，再否定结论，所以命题p：∀x≥0，e x≥1或sinx≤1，则￢p为∃x≥0，e x<1且sinx>1，故选D.4.答案：D解析：解：考察函数y=x13在R上单调递增，∵a<b，∴a13<b13．故选：D．考察函数y=x13在R上单调递增，即可得出．本题考查了函数的单调性，属于基础题．5.答案：C解析：本题主要考察函数的奇偶性，可直接根据定义得出f(−x)与f(x)之间的两个表达式，通过消f(−x)即可得出f(x)d的表达式．∵g(x)=f(x)+3x2为奇函数，所以我们有g(x)=−g(−x)即f(x)+3x2=−[f(−x)+3x2]∴f(x)+f(−x)=−6x2又∵ℎ(x)=f(x)−2x关于y轴对称即为偶函数即ℎ(x)=ℎ(−x)∴f(x)−2x=f(−x)−2−x即f(x)−f(−x)=2x−2−x联立可得：2f(x)=2x−2−x−6x2所以2f(1)=2−12−6=−92所以f(1)=−94，故答案为C．6.答案：A解析：本题主要考查了共线向量的性质，以及向量的坐标运算，属于基础题．由a⃗，b⃗ 共线可得k3=12，解得k=32，进而求解即可．解：∵a⃗，b⃗ 共线，∴k3=12，解得k=32，∴(a⃗−b⃗ )⋅(2a⃗+b⃗ )=(−32,−1)·(6,4)=−13．故选A．7.答案：C解析：解：双曲线x2−y23=1的a=1，b=√3，可得c=√a2+b2=2，即有e=ca=2．故选：C．求出双曲线的a，b，c，由离心率公式e=ca，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：如图所示，该几何体为：多面体DE−ABC.CE⊥底面ABC，DA⊥底面ABC.ADEC为矩形．△ABC为等腰直角三角形，BC=2，AC⊥AB．连接AE，该几何体的体积V=V E−ABC+V B−ADE=13×12×1×2×2+13×12×22×1=43．故选：B．如图所示，该几何体为：多面体DE−ABC.CE⊥底面ABC，DA⊥底面ABC.ADEC为矩形．△ABC为等腰直角三角形，BC=2，AC⊥AB.连接AE，该几何体的体积V=V E−ABC+V B−ADE，即可得出．本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：B解析：本题考查了向量共线定理、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．非零向量a⃗、b⃗ 使a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|成立⇔a⃗=|a⃗ ||b⃗|b⃗ ，利用向量共线定理即可判断出．解：若非零向量a⃗、b⃗ 使a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|成立⇔a⃗=|a⃗ ||b⃗|b⃗ ⇔a⃗与b⃗ 共线且方向相同，故选：B．10.答案：C解析：解：根据题意得：A、B、C、D分别对应的图形为则表示A∗D，A∗C的分别是(2)、(4)，故选：C．根据题中新运算所对应的图形确定出A，B，C，D分别对应的图形，即可得到正确结果．此题考查了进行简单的合情推理，根据题意确定出A、B、C、D分别对应的图形是解本题的关键．11.答案：−120解析：本题考查二项式系数的性质，考查数学转化思想方法，属于基础题．写出：(x2−2x +y)6的展开式的通项，由y的指数为3求得r值，再写出(x2−2x)3的展开式的通项，由x的指数为3求得s，则答案可求．解：(x2−2x +y)6的展开式的通项为T r+1=C6r⋅(x2−2x)6−r⋅y r，取r=3，得(x2−2x )6−r=(x2−2x)3．而(x2−2x )3的展开式的通项为T s+1=C3s⋅(x2)3−s⋅(−2x)s=(−2)s⋅C3s⋅x6−3s．取6−3s=3，得s=1．∴x3y3的系数是C63×(−2)×C31=−120．故答案为−120．12.答案：1或−2解析：本题考查了等比数列的求和，属于基础题．用等比数列的求和表示出S3，再代入数据即可求出q．解：已知等比数列{a n}中，a1=2,S3=6，所以S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=6，解得q=1或q=−2．故答案为q=1或q=−2．13.答案：(−9,6)或(−9,−6)解析：解：∵抛物线y2=−2px(p>0)的准线方程为x=p2，设M(−9,m)，∵点M到焦点的距离为10，∴由抛物线的定义知：p2−(−9)=10，解得：p=2，∴抛物线方程为：y2=−4x；将M(−9,m)点的坐标代入抛物线方程得：m2=−4×(−9)=36，∴m=±6，∴M点的坐标为(−9,6)或(−9,−6)，故答案为(−9,6)或(−9,−6)．依题意，知抛物线y2=−2px(p>0)的准线方程为x=p2，设M(−9,m)，利用抛物线的定义，将它到焦点的距离转化为它到其焦点的距离，从而可得答案．本题考查抛物线的标准方程，着重考查抛物线的概念，考查转化思想、分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．14.答案：π6解析：解：∵asinA+bsinB−csinC=√3asinB．∴由正弦定理可得a2+b2−c2=√3ab，∴由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =√32，∵0<C<π，∴C=π6．故答案为：π6．根据正弦定理和余弦定理将条件进行化简即可得到结论．本题主要考查三角函数角的求解，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键，属于基础题．15.答案：144解析：本题考查排列、组合及简单计数问题，着重考查“捆绑法”与“插空法”的应用，属于中档题．依题意，甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑；丙不排在两头，可对丙插空，最后对甲、乙松绑即可．解：∵甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有A44种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一个，有A31种方法；最后再对甲、乙松绑，有A22种方法，由分步计数乘法原理得：共有A44⋅A31⋅A22=144种．故答案为144．16.答案：32解析：本题考查三角函数的图象与性质，解决问题的关键是关键二倍角公司转化为关于sin x的一元二次函数，求解最值．解：由题，当且仅当时，取得最大值．故答案为32．17.答案：解：(1)设{a n}的公差为d，∵S5=35=5(a1+a5)2=5a3．∴a3=7=a1+2d，∵a3+a6=20，∴a6=13=a1+5d∴{a1=3d=2∴a n=2n+1；(2)由(1)得S n=n2+2n，∴1S n+n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴T n=(12−13)+(13−15)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2令12−1n+2>920，解得n>18，∴使T n>920成立的n的最小值为19．解析：本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式及前n项和公式、属于基础题．(1)设{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解．(2)由(1)得S n=n2+2n，所以1S n+n+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，利用l裂项相消求和求解．18.答案：解：(Ⅰ)由题意得参加跑步类的有：780×713=420，∴m=420−180=240，n=780−420−180−120=60，根据分层抽样法知：抽取的13人中参加200米的学生人数有：13×180780=3人．(Ⅱ)由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有13×240780=4，参加跳绳的学生人数有3人，所以X的所有可能取值为1、2、3、4，………………(6分)P(X=1)=C41C33C74=435，P(X=2)=C42C32C74=1835，P(X=3)=C43C31C74=1235，P(X=4)=C44C74=135，………………(9分)所以离散型随机变量X的分布列为：……………………………………………………………………………(11分)所以E(X)=1×435+2×1835+3×1235+4×135=167.………………(12分)解析：(Ⅰ)由题意参加跑步类的有420人，从而求出m=240，n=60，根据分层抽样法能求出抽取的13人中参加200米的学生人数．(Ⅱ)抽取的13人中参加400米的学生人数有4人，参加跳绳的学生人数有3人，从而X的所有可能取值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出离散型随机变量X的分布列和期望．本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：．依题意T4=π4，∴T=π，则2π2ω=π，∴ω=1，∴f(x)=sin(2x−π6)．(2)∵0≤x≤π2，∴−π6≤2x−π6≤5π6．令−π6≤2x−π6≤π2得0≤x≤π3，令π2≤2x−π6≤5π6得π3≤x≤π2，∴f(x)的单调递增区间为[0,π3]，单调递减区间为[π3,π2]．又f(0)=−12,f(π2)=12,f(π3)=1，∴f(x)max=f(π3)=1,f(x)min=f(0)=−12．解析：本题考查三角恒等变换以及求三角函数最值、单调区间的方法，是中档题．根据已知条件求出ω的值，从而求出函数解析式．(2)根据正弦函数的图像和性质求出函数的单调区间和最值．20.答案：证明：(Ⅰ)取PD中点H，连结MH，AH．因为M为PC中点，所以HM//CD,HM=12CD．因为AB//CD,AB=12CD，所以AB//HM且AB=HM．所以四边形ABMH 为平行四边形，所以BM//AH ．因为 BM ⊄平面PAD ，AH ⊂平面PAD ，所以BM//平面PAD ．解：(Ⅱ)取AD 中点O ，连结PO ．因为PA =PD ，所以PO ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．取BC 中点K ，连结OK ，则OK//AB ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB =2，则 A(1,0,0),B(1,2,0),C(−1,4,0),D(−1,0,0),P(0,0,√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3)． 平面BCD 的法向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，设平面PBC 的法向量n ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗⃗ =0PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗⃗ =0，得{−2x +2y =0x +2y −√3z =0.令x =1，则n ⃗⃗⃗ =(1,1,√3)． cos <OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗⃗⃗ >=OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|⃗⃗⃗⃗ =√155． 由图可知，二面角P −BC −D 是锐二面角，所以二面角P −BC −D 的余弦值为√155． (Ⅲ)在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．设点N(x,y ，z)，且 PN PB =λ,λ∈[0,1]，则PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(x,y,z −√3)=λ(1,2,−√3)．则{x =λy =2λz =√3−√3λ.所以N(λ,2λ,√3−√3λ)，DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+1,2λ,√3−√3λ)． 若 DN ⊥平面PBC ，则DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //n ⃗⃗⃗ ，即λ+1=2λ=√3−√3λ√3，此方程无解，所以在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查使得线面垂直的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．(Ⅰ)取PD 中点H ，连结MH ，AH ，推导出四边形ABMH 为平行四边形，由此能证明BM//平面PAD ．(Ⅱ)取AD 中点O ，连结PO ，以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −BC −D 的余弦值．(Ⅲ)设点N(x,y ，z)，且PN PB =λ,λ∈[0,1]，利用向量法求出在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ． 21.答案：解：(1)由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)， 由|PF 2|=(2√33)=4√33，解得：c =1，则F 1(−1,0)，PF 1⊥F 1F 2， 则丨PF 1丨=2√33， 由丨PF 1丨+丨PF 2丨=2a =2√3，a =√3， b 2=a 2−c 2=2，离心率e =c a =√33， ∴椭圆的标准方程：x 23+y 22=1；(2)当直线MN 与x 轴垂直时，丨MN 丨=4√33，则△OMN 的面积S △OMN =2√33，不符合题意，舍去； 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设直线l ：y =k(x +1)，{x 23+y 22=1y =k(x +1)，整理得：(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2−6)=0， 则x 1+x 1=6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2， 丨MN 丨=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(k 2+1)2+3k 2， 原点O 到直线MN 的距离d =√1+k 2， 则三角形的面积S △OMN =12×2√3(k 2+1)2+3k 2√1+k 2=1211，解得：k 2=3，则k =±√3， ∴直线MN 的方程为y =√3(x +1)或y =−√3(x +1)．解析：(1)由两点之间的距离公式|PF2|=4√33，即可求得c的值，即可求得丨PF1丨=2√33，根据椭圆的定义，即可求得a的值，求得b的值，求得椭圆方程；(2)由当直线MN与x轴垂直时，显然不成立，设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求k的值，求得直线l的方程．本题考查椭圆的定义及方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．22.答案：：(1)当a=4时，f(x)=(x+1)lnx−4x+4，∴x>0，f(x)=lnx+1x−3，∴f′(1)=1+ln1−3=−2，又f(1)=0，∴曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为：y−0=−2(x−1)，即2x+y−2=0．(2)令g(x)=f′(x)=lnx+1x+1−a，则1x −1x2=x−1x2，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0恒成立，即f′(x)在(1,+∞)上单调递增，f′(1)=2−a，①当a≤2时，f′(1)≥0，故f(a)在(1,+∞)上单调递增，且f(1)=0，此时a≤2符合题意；②当a>2时，由f(1)=0及f′(x)在(1,+∞)上单调递增，知∃x0>1，使得f′(x0)=0，即f(x0)<0，不符合题意，综上，a的取值范围是(−∞,2]．解析：本题考查切线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义和导数性质的合理运用．(1)对f(x)求导，进而可得切线的斜率，由此能求出曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程．(2)令g(x)=f′(x)，对g(x)求导，进而可判断f′(x)的单调性，再分别对a≤2，a>2两种情况讨论f(x)的单调性和最值，即可得到a的取值范围．。
北京市昌平区2019届高三上学期期末考试数学(文科)试题及答案
2019年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合{|21}A x x =-<<，{|(3)0}B x x x =->，则AB =A. {|13}x x x <>或B. {|21}x x -<<C.{|203}x x x -<<>或D. {|20}x x -<<2． 1+i||i= A. 2- B. 2 C. 1- D. 13. 若,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值为A ．4 B. 2 C. 1 D. 2-4．已知,a b 是实数，则“0a <，且0b <”是“()0ab a b ->”的 A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 直线2y kx =+被圆2240x y y +-=所截得的弦长是A ．2 B. 4 C. 26 D. 66. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A. 2B. 32 主视图左视图1 1 2C. 4D. 67. 《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”则可求得该女子第2天所织布的尺数为 A. 4031 B. 2031 C. 1031 D. 5318. 已知点A （-2,0），B （2,0）,00P x y （,）是直线4y x =+上任意一点，以A B ，为焦点 的椭圆过点P ，记椭圆离心率e 关于0x 的函数为0()e x ，那么下列结论正确的是 A. e 与0x 一一对应 B. 函数0()e x 是增函数C ．函数0()e x 无最小值，有最大值 D. 函数0()e x 有最小值，无最大值第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 某校高一（1）班有学生36人，高一（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从 两个班抽出13人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是 .10. 执行如图所示的程序框图， 输出的S 值为 .11. 已知函数()sin cos f x x x =,那么()f x 的最小正周期是 ．12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为抛物线212y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为2y x =±，则实数a = .开始否是1,18S n ==输出SS S n =+ 6n n =-0n >结束3m 5m 6m 4m 频率/组距13.已知Rt ABC ∆，1AB AC ==,点E 是AB 边上的动点，则CE AC ⋅uur uuu r 的值为 ；CE CB ⋅uur uu r的最大值为 .14．若函数4,3,()log ,3a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩ （0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.① 若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是 ； ② 若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差d 为1，且134,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列52n a n b n+=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .16. （本小题满分13分）在ABC ∆中，3sin cos a C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3ABC S ∆=，223b c +=+，求a 的值．17. （本小题满分13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某大学社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，在该校随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：MPEDCBA根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :学习时间 t (分钟/天) 20t <2050t ≤<50t ≥等级一般爱好痴迷(Ⅰ) 求m 的值；(Ⅱ) 从该大学的学生中随机选出一人，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅲ) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间．18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形， 且侧面P AB ⊥底面ABCD . E ，M 分别为线段AB ，PD 的中点.（I ）求证：PE ⊥平面ABCD ； （II ）求证：PB //平面ACM ； （III ）在棱CD 上是否存在点G ， 使平面GAM ⊥平面ABCD ，请说明理由．19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：2221(1)x y a a+=>，(,0),(0,1)A a B ，圆O ：221x y +=的圆心到直线AB 的距离为32.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与圆O 相切，且与椭圆C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最大值.20.(本小题满分13分)已知函数2()e (2)x f x x =+，()ex g x =.（Ⅰ）求曲线y =()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-在区间[2,0]-上的最大值和最小值.2019年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBBDBACC二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)9. 7 10. 37 11. π 12. 3 13. 1- ; 2 14. [1,1)- ；(1,3]三、解答题(共6小题，共80分.) 15.（共13分）解：（Ⅰ）在等差数列{}n a 中，因为134,,a a a 成等比数列，所以 2314a a a =， 即 22111+2)3a d a a d =+（，解得2140a d d +=.因为1,d =所以14,a =-所以数列{}n a 的通项公式5n a n =-. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5n a n =-,所以522n a n n b n n +=+=+. 得123231(2222)(123)2(12)(1)=122(1)222n nn n n S b b b b n n n n n +=++++=+++++++++-++-+=+-……………13分16. （共13分）解：（I ）因为3sin cos a C c A =，所以cos 0A ≠，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得3sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 (0,)C ∈π，sin 0C ≠，所以 3tan 3A =． 又因为 (0,)A ∈π， 所以 6A π=． …………… 6分 （II ）由11sin 324ABCS bc A bc ∆===，得43bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2222cos6a b c bc π=+-， 即222()23()8312a b c bc bc b c =+--=+--，因为223b c +=+， 解得 24a =.因为 0a >，所以 2a =. ……………13分17. （共13分）解：(Ⅰ) 由图知，(23426)101+++⨯+⨯=m m m m m ，得0.005=m . ……3分(Ⅱ) 由图知，该大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)1065%++⨯=， 所以从该大学中随机选出一人，“爱好”中华诗词的概率为0.65. ……………6分(Ⅲ) 由该大学学习“中华诗词”时间的频率分布直方图及题意，得该大学选取的40名学生学习“中华诗词”时间的数据分组与频率分布表：组号 1 2 3 4 5 6 分组 [0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]频率0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05由题意可得，100.1200.2300.3400.2500.15600.0532.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）故估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间为32.5分钟. ………13分18. （共14分）（I ）证明：因为PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB ，又因为面P AB ⊥面ABCD ，面P AB ∩面ABCD=AB ，PE ⊂平面P AB. 所以PE ⊥平面ABCD . …………… 4分（II ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点， 所以MH // BP .又因为 BP ⊄平面ACM , MH ⊂平面ACM . 所以 PB // 平面ACM . ……………8分（III ）在棱CD 上存在点G ，G 为CD 的中点时，平面GAM ⊥平面ABCD ．…… 9分HMPEDCBAGMPE DCBA OG MPED CBA 证明：（法一）连接EC ．由（Ⅰ）得，PE ⊥平面ABCD ， 所以PE ⊥CD ，因为ABCD 是菱形，∠ ABC ＝60°，E 为AB 的中点， 所以ABC ∆是正三角形，EC ⊥AB . 因为CD // AB ， 所以EC ⊥CD ． 因为PE ∩EC=E ， 所以CD ⊥平面PEC ， 所以CD ⊥PC ．因为M ，G 分别为PD ，CD 的中点， 所以MG //PC ， 所以CD ⊥MG ．因为ABCD 是菱形，∠ADC ＝60°， 所以ADC ∆是正三角形. 又因为G 为CD 的中点，所以CD ⊥AG ， 因为MG ∩AG=G ， 所以CD ⊥平面MAG ， 因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面MAG ⊥平面ABCD ． ……………14分（法二）：连接ED ，AG 交于点O . 连接EG , MO . 因为E ，G 分别为AB ，CD 边的中点. 所以//AE DG 且AE DG =，即四边形AEGD 为平行四边形，O 为ED 的中点. 又因为M 为PD 的中点， 所以//MO PE .由（I ）知PE ⊥平面ABCD . 所以MO ⊥平面ABCD .又因为MO ⊂平面GAM ，所以 平面GAM ⊥平面ABCD ……………14分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，直线AB 的方程为:1,0xy x ay a a+=+-=即：. 由1a >, 得点O 到直线AB 的距离为：23,21a a =+ 解得3a =故椭圆C 的方程为 2213x y +=. ……………5分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =±，代入2213x y +=，得63y =±，此时263PQ =. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 因为直线l 与圆O 相切，所以2||1,1m k =+即221m k =+由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得222(13)63(1)0k x kmx m +++-= 所以22222223612(13)(1)12(13)24,k m k m k m k ∆=-+-=+-=由0,∆>得0k ≠，设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则212122263(1),1313km m x x x x k k -+=-=++， 所以222222121222(1)224()()1=231313k k k PQ x x y y k k k+⋅-+-=+⨯⨯++｜｜= 222(1)2223313k k k ++≤⨯=+， 当且仅当2212,k k +=即1k =±时，||PQ 有最大值为3.综上所述，||PQ 的最大值为3. …………… 14分20.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()e (22)x f x x x '=++，(0)2f '=，又(0)2f = .故曲线y =()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为22y x =+ . …………… 4分（Ⅱ）2()()()e (2)e x x h x f x g x x =-=+-设21()()e (22)e x p x h x x x '==++-，则22()e (44)=e (2)0x x p x x x x '=+++≥，则p (x )在区间[2,0]-上单调递增，又(1)0p -=，当[2,1]∈--x 时，()()0p x h x '=<； 当[1,0]∈-x 时，()()0p x h x '=>.所以函数()h x 在区间[2,1]--上单调递减，在区间[1,0]-上单调递增，又因为22262e 2e (2)2(0)e eh h +-=<==， 所以min max 4()(1),()(0)2e h x h h x h =-=== . ……………13分 .。
昌平区2019-2020学年第一学期高三期末质量检测数学答案
昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 2020.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）40 （10）9 （11）2；(3,23)±（12）63 （13）144 （14）5；255- （第一空３分，第二空２分）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有13428,4.a a a a +=⎧⎨-=⎩解得12,2.a d =⎧⎨=⎩ ................................2分所以22,n n a n S n n ==+. ................................6分（Ⅱ）因为211111n S n n n n ==-++， ................................7分 所以12111111111(1)()()122311n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++L L . ...................................9分因为99100n T >，即19911100n ->+， .................................10分 所以99n >. .................................12分 所以n 的最小值为100 .................................13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设高一年级有a 人，高二年级有b 人.采用分层抽样，有75,3361233612a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人. .................................4分（II ）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”.题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答 案 DCADABBCCA故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. ...............................7分（III ）ξ的所有可能取值为1,2,3. ...............................8分1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,33351(3)10C P C ξ===. 所以ξ的分布列为ξ 123P31035110故ξ的期望3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. .............................13分 (17)（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为2()3sincossin 222xxxf x ωωω=+31cos sin 22x x ωω-=+ 311sin cos 222x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+. ............................5分因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω==，所以πω=. ............................7分（Ⅱ）因为π0,02x ω≤≤>， 所以6626x ππωππω-≤-≤-. ...........................10分若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥，..........................12分 所以43ω≥. ............................14分(18)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在四棱锥P ABCD -中，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，MOz y xD CBA P所以CD ⊥平面PAD . 因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥. ............................5分（Ⅱ）取AD 中点O ，连接,OP OB .因为PA PD =， 所以PO AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，因为PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD . 所以,PO OA PO OB ⊥⊥.因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥=， 所以//,BC OD BC OD =. 所以四边形OBCD 是平行四边形. 所以OB AD ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P --(2,2,0),(1,0,1)AC AP =-=-u u u r u u u r.设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r，则 0,0.AC n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uuu r r 即220,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1,1y z ==.所以(1,1,1)n =r.因为平面PAD 的法向量(0,2,0)OB =u u u r，所以3cos ,.3||||n OB n OB n OB ⋅==r uu u rr uu u r r uuu r 由图可知，二面角C PA D --为锐二面角， 所以二面角C PA D --的余弦值为33. ............................10分（Ⅲ）法一：设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=uuu r uu u r.设000(,,)M x y z ，则000(,,1),(1,2,1).PM x y z PC =-=--uuu r uu u r所以000(,,1)(1,2,1).x y z λ-=-- 所以000,2,1.x y z λλλ=-==-所以(,2,1)M λλλ--.所以(,22,1)BM λλλ=---u u u r.因为,,,AP PD AP CD CD PD D ⊥⊥=I 所以PA ⊥平面PCD .所以(1,0,1)PA =-uu r是平面PCD 的一个法向量.若BM ⊥平面PCD ，则//BM PA uuu r uu r.所以220,1.λλλ-=⎧⎨=-⎩因为方程组无解，所以在棱PC 上不存在点M ，使得BM ⊥平面PCD . ............................14分 法二：因为,,,AP PD AP CD CD PD D ⊥⊥=I 所以PA ⊥平面PCD . 因为PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面PCD .因为平面PAC I 平面PCD PC =，若在棱PC 上存在点M ，使得BM ⊥平面PCD ， 则BM ⊂平面PAC . 因为B ∉平面PAC ， 所以BM ⊄平面PAC .所以在棱PC 上不存在点M ，使得BM ⊥平面PCD . ............................14分(19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.可得2223,22,c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,2,6.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22182x y +=． ............................4分因为焦点在x 轴上，所以椭圆C 的焦点为126,0,(,0)()6F F -．所以直径为12F F 的圆O 的方程为226x y +=． ............................6分（Ⅱ）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，设直线l 的斜截式方程为(0,0)y kx m k m =+<>. ............................7分 因为直线l 与圆O 相切， 所以点O 到直线l 的距离为2||61m d k==+.即2266m k =+. ............................8分因为直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，由228,4y kx m x y ++==⎧⎨⎩，整理得222(14)8480k x kmx m +++-=， ............................9分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221228,1448,140km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩. ..........................10分 因为222(8)4(14)(48)km k m ∆=-⨯+-2216(82)k m =⨯-+． 又2266m k =+， 所以232(2)0k ∆=->. 所以22k >. 又因为0k <，所以2k <-． ............................11分因为2221222||1||42114k AB k x x k k -=+-=++，所以222112||42162214OABk S AB d k k ∆-=⋅=⨯⨯+⨯+ 2222(1)(2)43(14)k k k +-=⨯+．设214k t +=，则9t >，则22(9)(3)276433116OAB t t S t t t∆-+=⨯=⨯--+. 令11,09u u t =<<.则232761OAB S u u ∆=⨯--+.设2214()276127().93h u u u u =--+=-++因为()h u 在1(0,)9上单调递减，所以()1h u <.所以3OAB S ∆<. ...........................13分(20)（本小题满分13分）解：（I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ............................1分由2()3ln f x x x x =-+得3'()12f x x x=-+． ............................2分 令'()2f x =，即3122x x -+=，得1x =，32x =-（舍）．............................3分又(1)0f =， ............................4分 所以曲线()y f x =的斜率为２的切线方程为22y x =-． ............................5分（II ） 设2()()(22)3ln 2g x f x x x x x =--=--+，则2323(23)(1)'()21x x x x g x x x x x--+-+-=--==. 令'()0g x =得1x =，32x =-（舍）． ............................7分当'()0g x >时，01x <<； 当'()0g x <时，1x >.所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. ............................8分 所以()(1)0g x g ≤=.所以()22f x x ≤-. ............................9分 （III ）由（II ）可知，① 当2k =时，()2(1)f x x ≤-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-；所以2k =不符合题意. ............................10分 ②当2k >时，对于1x >，()2(1)(1)f x x k x ≤-<-， 所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-；所以2k >不符合题意. ............................11分 ③当2k <时，设2()()(1)(1)3ln h x f x k x x k x x k =--=-+-++.因为22(1)3'()x k x h x x-+-+=，令'()0,h x =即22(1)30x k x -+-+=. 因为2(1)240k ∆=-+>，解得22121(1)241(1)24,44k k k k x x ---+-+-+==. 又因为2k <， 所以120,1x x <>. 取02x x =.当0(1,)x x ∈时，'()0h x >； 所以()h x 在0(1,)x 上单调递增. 所以()(1)0h x h >=.即()(1)f x k x >-. 所以2k <符合题意.所以实数k 的取值范围是(,2)-∞. ............................13分。
北京市昌平区2020届高三第一学期期末数学试题及答案
昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学（满分150分，考试时间 120分钟）2020.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U（A ）(2,1)- （B ）(0,1) （C ）(0,)+∞ （D ）(2,)-+∞ （2）在复平面内，复数i(i 1)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（A ）x ∃∈+R ，ln 0x ≤ （B ）x +∀∈R ，ln 0x < （C ）x +∃∈R ，ln 0x < （D ）x +∀∈R ，ln 0x ≤（4）设,,a b c ∈R ，且a b <，则 （A ）ac bc < （B ） 11a b> （C ）22a b < （D ）33a b <（5）已知函数()f x 的图象与函数2xy =的图象关于x 轴对称，则()=f x（A ）2x - （B ）2x- （C ）2log x - （D ）2log x（6）已知向量(1,0),).k ==-=a b c 若2-a b 与c 共线，则实数k =（A ）0 （B ）1 （C （D ）3（7）已知双曲线221x y m-=，则m =DCBA11俯视图（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）2（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）13 （B ）23（C ）1（D ）2（9）设,m n 为非零向量，则“λ=m n ，1λ≤-”是“||||||+=-m n m n ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则 （A ）最少需要16次调动，有2种可行方案 （B ）最少需要15次调动，有1种可行方案 （C ）最少需要16次调动，有1种可行方案 （D ）最少需要15次调动，有2种可行方案第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三
上学期期末数学（文）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 复数的虚部为（）
A．B．C．D．
2. 设集合，，则( ) A．B．C．D．
3. 已知，则＝（）
A．B．C．D．
4. 某校开设共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，则与
未同时被选中的概率为( )
A．B．C．D．
5. ，使得，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
C．4 D．8
A．B．
7. 设向量，满足，，则（）
A．2 B．C．D．
8. 设为等差数列，，为其前项和，若，则公差
( )
A．-2 B．-1 C．1 D．2
9. 已知是抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线
的两条渐近线交于，两点，若为等边三角形，则的离心率（）
A．B．C．D．
10. 已知函数的图像与轴相切，则( )
D．1
A．-1 B．0
C．
11. 已知圆锥的顶点为，为底面中心，为底面圆周上三点，为底面的直径，，为的中点，为弧的中点.设直线与直线所成角为，则( )
A．B．C．D．
12. 已知点在圆上，，，为中点，则
的最大值为( )
A．B．C．D．
二、填空题
13. 若，满足约束条件则的最大值为__________．
14. 已知函数则不等式的解集为__________．
15. 已知是数列的前项和，，则__________．
16. 若函数（，）的图像关于点对称，且在上单调递减，则__________．
三、解答题
17. 如图，在梯形中，，为上一点，
，.
（1）若，求；
（2）设，若，求.
18. 在三棱柱中，侧面是菱形，，平面
平面，为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
19. 近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：
年份2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
年份
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
工业
增加
13.2 13.8 16.5 19.5 20.9 22.2 23.4 23.7 24.8 28 值
依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 20.6 82.5 211.52 129.6
（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值（万亿元）与年份序号的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数，其拟合指数；研究人员乙采用函数，其拟合指数；研究人员
丙采用线性函数，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数与拟合指数满足关系）. （2）根据（1）的判断结果及统计值，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附：样本的相关系数，，，.
20. 已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.当轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为椭圆的上顶点，证明为定值.
21. 已知函数.
（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；
（2）若有两个极值点，，证明：.
22. 在极坐标系中，直线，圆.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.
（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；
（2）已知点在圆上，到和轴的距离分别为，，求的最大值.
23. 已知.
（1）解不等式；
（2）证明：.。