8图论习题

b)是否有3个结点或6个结点的自补图. 解:不存在.因为K3与K6 的边数分别是3和15.
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P287(3)证明如果图G是不连通的,则它的补图Ḡ是连通的. 证明:任取u,v∈V(G),如果u与v在G中不邻接,则在Ḡ中有 边(u,v),所以在Ḡ中 u与v是连通的.
2 4 6 2
3 5 4 6
P321(1)画出下面各图的对偶图.











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(3)用韦尔奇.鲍威尔法,对下面各图着色. 求图的着色数. (a)图课堂已作. C (b)结点按照度数降序排序: D B F, B, A, C, E, D, G, H E A 可见此图是4色的. H F G
如果在G中u与v邻接, 则u与v在G的同一个连通分支, 例如 u,v∈V1(G)(即由结点集合V1构成的连通分支G(V1)), 由于G是不连通的,所以G必有另一个连通分支G(V2), 设 结点w∈V2(G), 于是在Ḡ中必有边(u,w),(w,v),于是在Ḡ中 必有路uwv, 所以Ḡ是连通的.
V1 u V2 w u V1 v V2 w
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(7)a)一个完全图K6 的边涂上红色或者蓝色,证明对于任何 一种随意涂边的方法,总有一个完全图K3 的所有边被涂上 红色,或者涂上蓝色. 证明:因为K6中任何结点都有5条边与之关联, 这5条边涂 上红色或者蓝色, 那么必有要么3边是红色,要么3边是蓝 色, 如图所示.我们假设 3条边涂上红色,而这3条 边的另一端的3个结点之 间3条边构成一个三角形, 下面考察这3条边涂的颜色, 如果至少有一条边是涂红色, 则与上边两条红色边构成一个红色的三角形.如果没有一 条涂红色,那么这个下面的三角形就是全是蓝色的边. 对于开始时3边都涂蓝色,类似证明结论成立.
第八章 习题课
P279(1)证明任何有向简单完全图中,所有结点的入度平方 之和等于所有结点出度平方之和. (设图有n个结点) 证明: 因有向简单完全图中每个结点v: degi(v) =dego(v) =n-1 故,所有结点的入度平方之和等于所有结点出度平方之和. 或者∑(degi(v))2 -∑(dego(v))2 = ∑[(degi(v))2 -(dego(v))2] = ∑{[(degi(v))+(dego(v))] [(degi(v)) -(dego(v))]} = 2(n-1)∑{[(degi(v)) -(dego(v))]} = 2(n-1)0=0 所以∑(degi(v))2 =∑(dego(v))2
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(3) n取何值时,完全图Kn是个欧拉图. 解: 因为Kn有n个结点, 每个结点的度数是n-1, 要使n-1为 偶数, 必使n=3,5,7,…等奇数. (6)a)画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图. b)画一个有一条欧拉回路但没有一条汉密尔顿回路的图. c)画一个没有一条欧拉回路但有一条汉密尔顿回路的图. P 317(3)证明：在6个结点12条边的连通平面简单图中， 每个面由3条边围成. 证明:因为G中所有面的边界长总和为边数的2倍. 即 ∑deg(r)=2×12=24, 由欧拉公式得;r=2-v+e=2-6+12=8 而G中无环和平行边, 24/8=3 所以每个面由3条边围成.
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P337(1)从简单有向图的邻接矩阵如何判定它是否为根 树?如果是根树,如何判定树根和树叶. 011000 000110 解:先看个例子: v1 A= 000001 v2 v3 000000 000000 v4 v5 v6 000000
根:入度为0----列为0的结点 叶:出度为0----行为0的结点 (2)求出右图的二叉树. 1 1 2
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(2).一棵树T有两个结点度数为2,一个结点度数为3,三个结 点度数为4,问它有多少个度数为1的结点? 解:设有n1个度数为1的结点, 又令T有v个结点,e条边.于是 v= n1+2+1+3= n1+6 T的所有结点度数总和=n1+2×2+1×3+3×4=n1+19=2e 因e=v-1 ∴ n1+19=2(n1+6-1) ∴ n1=9 (6).给定图G如图所示,用Kruskal算法,求G的一棵最小生 成树. 3 2 2 1 9 2 8 7 1 4 1 3 3 5 6 2 2 1 3 4 10 2 2
1Hale Waihona Puke Baidu
按照教材定义 (将完全图的各个边任意添加方向，成为有 向完全图)证明: 因为对任何结点v有，degi(v)＋dego(v)＝n-1 ∑degi(v)=∑dego(v) 或者∑(degi(v))2 -∑(dego(v))2 ＝∑[(degi(v))2 -(dego(v))2] ＝∑{[(degi(v))+(dego(v))] [(degi(v)) -(dego(v))]} ＝ (n-1)∑{[(degi(v)) -(dego(v))]} ＝(n-1)[∑degi(v)－∑dego(v)] ＝(n-1)0=0 所以∑(degi(v))2 =∑(dego(v))2
v
k 2 e 2 k
k
v 2
k 2 e k
e
k(v 2) k 2
(5)如果可能, 把下面画成平面图,否则说明它包含一个与 K5或K3,3在2度结点内同构子图.
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(7)证明a)对于K5中任何边e, K5 -e 是平面图. b)对于K3,3中任何边e, K3,3 -e 是平面图. 1 3 5 1
B E
C F
ADECF
ADECF
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(8)求右图的图G的强分图,单侧分图和弱分图. 3 4 6 解:找强分图:在回路中的结点构成 一个强分图,其余结点自己构成各自 2 1 5 的强分图. 强分图有:{1,2,3},{4},{5},{6}各自导出的子图. 单侧分图:{1,2,3,4,5,6}导出的子图. 弱分图: G本身. P300(3)求右图的邻接矩阵,可达矩阵和距离矩阵. 解: 00000 v2 v1 10110 v5 A= 10000 00100 v3 v4 00000
a b c d e f g h i j
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(5)一个图与它的补图同构,称为自补图. c)一个图是自补图,其对应的完全图的边数是偶数. 证明:此命题显然成立,因为一个图与其补图同构,则它们 的边数相等, 于是它们对应完全图的边数为它们边数的和 所以该完全图的边数是偶数. a)给出5个结点的自补图.
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P311(1)判定下面图是否能一笔画.
13 12 2 11 18 19 1 14 3 17 16 a 15 20 29 28 10 4 23b 24 25 27 26 5 9 22 21 8 7 6 因为这两个图中,都只有两个奇数度的结点, 有欧拉路, 所 以可以一笔画. (2)构造一个欧拉图,使得结点数 v和边数e满足: a)v,e奇偶性一样. b)v,e奇偶性相反.
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b)证明6个人的人群中,或者有3个人相互认识,或者有3个 人彼此陌生. 证明:以6个人为结点画一个K6图,如果两个相互认识就把 相应边涂上红色,如果彼此陌生就涂上蓝色. 由a)的结论得 必有三个人它们构成的三角形的三条边要么都涂上红色, 要么都涂上蓝色. P327(3)一棵树T有n2个结点度数为2,n3个结点度数为3,… nk个结点度数为k,问它有多少个度数为1的结点? 解:设有n1个度数为1的结点, 又令T有v个结点,e条边.于是 v= n1+n2+…+nk T的所有结点度数总和= n1+2n2+…+knk=2e 因e=v-1 ∴ n1+2n2+…+knk=2(n1+n2+…+nk -1) ∴ n1= n3+2n4+…+(k-2)nk+2
v
G
－
G
5
(5)分析右图,求 A a)从A到F的所有通路. D 通路:路中结点不同. ABCF ABEF ADEF ABECF ABCEF ADEBCF b)从A到F的所有迹. 迹:路中边不同. ABCF ABEF ADEF ABECF ABCEF ADEBCF ADEBCEF ADECBEF c)A和F之间的距离. 距离:就是最短的路长. A和F之间的距离为3.
25,30,36,49,64,81,100 14,16,25,36,49,64,81,100
5,9,16,25,36,49,64,81,100
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
5 1 4
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b)权: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 注意:在画最优三叉树时要考虑是否补充权为0的结点:先 在前面取3个结点,以后的结点每两个一组,看分到最后是 否还是两个元素,如果最后只有一个元素,则要补充一个权 为0的结点,以确保三叉.
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(1)证明:若G是每一个面至少由k(k≥3)条边围成的连通平 k (v 2) e 面图,则, k 2 ,这里v,e分别是G的结点数和边数. 证明:设G中有r个面,因为G中所有面的边界长总和为边数 2e 的2倍. 所以 2e≥kr, 所以r≤ ,代入欧拉公式得:
v e
2e 2 k
7
00000 00000 00000 00000 10110 10100 10000 00000 A= 10000 A2 = 00000 A3 = 00000 A4 = 00000 00100 10000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 P=A∨A(2)∨A(3)∨A(4)∨A(5) 00000 0 ∞∞∞∞ 10110 10 1 1 ∞ P= 10000 1 ∞0 ∞∞ D= 10100 2 ∞1 0 ∞ 00000 ∞∞∞∞ 0 距离矩阵D: 主对角线为0; (d(u,u) =0) 在P主对角线以外的0, 在D中变成∞. 对P中1：可能来自几个A(k) , D中对应元素，取各个A(k) 最小的 k (k=1,2,…,n)。因为k表示两点间路径的长度。
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解:a)权: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 385 166,219 166 81
385
219
100,119,166
81,85,100,119 55,64,81,85,100
85
36 49
100 119 55 25 14
64 30 16
9
36,49,55,64,81,100
2
(2)画出右图的补图.







a b c d e f g h i j
V1 V1
f
(4)证明下面两个图是同构的. a a f j g f b e b e i h i d g c j c d h 再验证边之间的对应关系.
5
9 6 7 8
12 13
3
4
2
3
4
10
11 5 6 7 8 9 10 11 14 12 13 14
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(3). 证明完全二叉树T中,边的总数等于2(nt -1),其中nt是叶 结点数. v1 证明:由完全m叉树公式 (m-1)i=t-1 v2 v3 这里t=nt , ∴(2-1)i=nt -1, ∴ i=nt -1, v4 v5 v6 v7 ∴T中总的结点数v为: v=i+nt =(nt -1)+nt=2nt -1 T的边数e=v-1= 2nt -1-1= 2nt -2 =2(nt -1) (5)给定一组权:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 a)构造一棵最优完全二叉树. b)构造一棵最优完全三叉树. c)构造一棵最优完全m叉树.