混沌图像加密

解因子的任务。因此，RSA从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐
为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
•
RSA的缺点还有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到
一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很
高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，
100
U 1U 10
2
3 100
U
3
• 采用运放基本加减电路、积分器、反相器、乘法器构建电路。连接各项电路，则得系统
电路。
此时，系统方程如下：
.
U1
1 R5C1
R4 R1
U
2
1
R4 R1
R3 R2
1
R3
R2
U 1
.
U
2
1 R12C 2
1
R9 R6
R8 R7
1
R8
R7
U
加密算法
目前主流的加密算法: DES(基本淘汰） AES（Rijndael ） RSA RC4/RC5 Diffie-Hellman (sha 、MD4/MD5） ECC（椭圆曲线加密算法）
AES加密算法
RC5加密算法
• RC5分组密码算法是1994由麻萨诸塞技术研究所的Ronald L. Rivest教授发明的，并由RSA实验室
混沌图像加密
——混沌系统类型与加密算法
各种类型的混沌系统
1.典型蔡氏混沌电路
2. 采用里奥登电感的蔡氏电路
本变形主要是改变Chua氏电路的电感部分，使用模拟电感代替原有 的电感。
完整电路：
• 里奥登电感实现电路
混沌图像：
3.文氏桥蔡氏氏电路
采用RC文氏桥进行驱动，去除原CHUA氏电路的电感部分
Chen氏混沌电路混沌图像
(a)x-y相平面图
(b)x-z相平面图 (c)y-z相平面图
6. Lü混沌电路
Lü系统方程描述如下：
.
X a(y x)
.
Y xz cy
.
Z xy bz
当a=36,b=3,c=20时，最大Lyapunov 指数为1.544030424＞0，系统处于混沌状态。
算法。
•
RSA的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大素数（100到200位十进
制数或更大）的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数
之积（这是公认的数学难题）。
•
当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数
学难题。比如当pq大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分
• 椭圆曲线离散对数问题ECDLP定义如下：给定素数p和椭圆曲线E，对 Q=kP, 在已知P,Q的情况下求出小于p的正整数k。可以证明，已知k和P计算Q比较容 易，而由Q和P计算k则比较困难，至今没有有效的方法来解决这个问题，这 就是椭圆曲线加密算法原理之所在。
• 我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程： 1、用户A选定一条椭圆曲线Ep(a,b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点G。 2、用户A选择一个私有密钥k，并生成公开密钥K=kG。 3、用户A将Ep(a,b)和点K，G传给用户B。 4、用户B接到信息后 ，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上一点M（编码方法很 多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r（r<n）。 5、用户B计算点C1=M+rK；C2=rG。 6、用户B将C1、C2传给用户A。 7、用户A接到信息后，计算C1-kC2，结果就是点M。因为 C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M 再对点M进行解码就可以得到明文。 在这个加密通信中，如果有一个偷窥者H ，他只能看到Ep(a,b)、K、G、C1、 C2 而通过K、G 求k 或通过C2、G求r 都是相对困难的。因此，H无法得到A、
这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。因此，使用RSA只能加密少量数据，
大量的数据加密还要靠对称密码算法。
ECC加密算法
• 同RSA一样，ECC（Elliptic Curves Cryptography，椭圆曲线密码编码学） 也属于公开密钥算法 。
• 椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯（Weierstrass）方程 y2+a1xy+a3y＝ x3+a2x2+a4x+a6 所确定的平面曲线。若F是一个域，ai ∈F,i=1,2,…,6。满 足式1的数偶(x,y)称为F域上的椭圆曲线E的点。F域可以式有理数域，还可以 式有限域GF(Pr)。椭圆曲线通常用E表示。除了曲线E的所有点外，尚需加上 一个叫做无穷远点的特殊O。
2）当α 由0 逐渐增加到1 时，系统（1）也有Lorenz 系统经Lü 系统逐渐过渡到Chen 系 统；
3）当α ∈[0,0.8)时，系统（1）属于广义Lorenz 系统；α ∈(0.8,1]时，系统（1）属于 广义Chen 系统；当α = 0.8时，系统（1）属于Lü 系统。三种系统具有不同的拓扑结构。
RSA加密算法
•
RSA加密算法是最常用的非对称加密算法，CFCA在证书服务中离不了它。但是有
不少新来的同事对它不太了解，恰好看到一本书中作者用实例对它进行了简化而生动
的描述，使得高深的数学理论能够被容易地理解。我们经过整理和改写特别推荐给大
家阅读，希望能够对时间紧张但是又想了解它的同事有所帮助。
•
RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。
RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，
这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA
的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥
U 1
R4 U R1
2
.
U
2
1 R21C 2
R18 R14
1
R9 R6
R8 R7
1
R8
R7
U 1
R9 U R6
2
1
R18 R14
R17 R16 R17
U 1U 3 10
1
R18 R14
R17 R15 R17
R20 R19
1
R13 R10
1
R12 R11 R12 R11
B间传送的明文信息。
混沌系统在图片加密的应用
• 混沌置换 • 产生混沌序列，具有良好的伪随机性质，
2
R9 R6
U 1U 3
10
.
U3
1 R17C 3
1
R16 R13
R15 R14
Байду номын сангаас
1
R15
R14
U 3
R16 R13
U 1U 2
10
Lü混沌电路原理图
Lü混沌电路波形
7.统一混沌电路
由于洛仑兹、Lü以及Chen不论是系统微分式上还是波形上都存在很多类 似的特征，统一混沌系统将三者联系在一起
如下：
dx
dt
1 R4C1
R3 R6 R1R5
x
R3 R2
y,
dy
dt
1 R11C2
R6 R10 R5 R7
x R6R10 10 R5 R8
xz
R10 R9
y,
dz
dt
1 R15C3
R14 10R12
xy
R14 R17 R13 R16
z,
我们给出了电路方程参数：
.
U
2
100
28 100
U1
U 1U 10
3
U2 100
.
U
3
100
U 1U 10
2
8 300
U
3
现在对上式构建电路。采用运放加减法、 积分电路，反相器，乘法器。
• 连接各项电路，即各项电路的输入端U1、U2、U3分别与积分电路输出端的U1、U2、
U3相连，则构成系统电路。此时，系统方程如下，并得出电路图
• 文氏桥蔡氏氏电路的混沌图像：
4.洛仑兹混沌电路
对于一个洛仑兹混沌电路，可以将其写成：
.
X 10( y x)
.
Y 28x xz y
.
Z
xy
8
z
3
为确保系统输出电压在运放、乘法器的
电源提供电压范围内，将上式变量变换
成U1＝x/10，U2＝y/10，U3＝z/10。
则有：
.
U 1 10U 2 U 1
• 比例压缩变换法重新调整了原系统方程，令x=10u，y=10v，z=10w。化成
u& 35(v u), v& 7u 10uw 28v, w&10uv 3w,
这里的状态变量做了10倍的缩小变换，调整后的系统（2）与原系统（1）等价，并不
改变系统的物理性质。由于乘法器AD633的增益为0.1， 因此，从图3得到的电路方程
分析。它是参数可变的分组密码算法，三个可变的参数是：分组大小、密钥大小和加密轮数。在此
算法中使用了三种运算：异或、加和循环。 RC5是种比较新的算法，Rivest设计了RC5的一种 特殊的实现方式，因此RC5算法有一个面向字的结构：RC5-w/r/b，这里w是字长其值可以是16、 32或64对于不同的字长明文和密文块的分组长度为2w位，r是加密轮数，b是密钥字节长度。由于 RC5一个分组长度可变的密码算法，为了便于说明在本文中主要是针对64位的分组w=32进行处理 的，下面详细说明了RC5加密解密的处理过程：
U
3
洛伦兹混沌电路的混沌图像
5. Chen氏混沌电路
• Chen氏混沌系统的无量纲状态方程如下：
x& a( y x),
y&
(c
a)x
xz
cy
z& xy bz
其中参数取值为a=35，b=3，c=28。采用Matlab进行数值仿真，用三阶Runge-Kutta法 求解微分方程。选取初始值x(0)=0.01,y(0)=0.1,z(0)=0.11。步长取0.001。计算机模拟 相图如图所示。
R3, R5 , R6 , R10 , R14 , R16 , R17 10K, R4 , R11, R15 100K, R1, R2 2.85K,
R8, R12 1K, R7 14.28K, R9 3.57K, R13 33.33K, C1, C2, C3 1F
• Chen氏混沌电路电路图
.
对于一个统一混沌电路，可以将其写成： X 25a 10 y x
.
Y 28 35a x xz 29a 1 y
.
Z
xy
a
8 3
z
其中参数α ∈[0,1]。统一混沌系统实质上是把Lorenz 系统和新近发现的Chen 系统和Lü 系统写成了统一的描述形式，它具有如下特性：
1）对所有的α ∈[0,1]，系统（1）均表现为混沌行为，且比其他的混沌系统结构更加复 杂；
现对该系统写成：
.
X 36( y x)
.
Y xz 20 y
.
Z xy 3z
为确保系统输出电压在运放、乘法器的电源提供电压范围内，变换变量成U1＝x/10， U2＝y/10，U3＝z/10。则有此时系统方程为：
.
U 1 36 U 2 U 1
.
U
2
100
1 5
U
2
U 1U 10
3
.
U
3
• 在椭圆曲线加密（ECC）中，利用了某种特殊形式的椭圆曲线，即定义在 有限域上的椭圆曲线。其方程如下：
y2=x3+ax+b(mod p) 这里p是素数，a和b为两个小于p的非负整数，它们满足：
4a3+27b2(mod p)≠0 其中，x,y,a,b ∈Fp,则满足式（2）的点 （x,y）和一 个无穷点O就组成了椭圆曲线E。
U
1
29a 100
U
2
.
U
3
100
U 1U 10
2
a8 300
U
3
• 采用运放基本加减电路、积分器、乘法器构建电路，则上式构建的U1、U2、U3项电路 依次如下
连接U1、U2、U3项电路，则得统一混沌的电路原理图。此时系统的微分形式为：
.
U1
1 R5C1
1
R4 R1
R3 R2
1
R3
R2
• 现在由描述这个系统的微分方程组来设计一个统一混沌电路。为确保系统输出电压在 运放、乘法器的电源提供电压范围内，变换变量成U1＝x/10，U2＝y/10，U3＝z/10。 则有此时系统方程为：
.
U1 25a 10U 2 U 1
.
U
2
100
28 100
U
1
1 100
U
2
U 1U 10
3
35a 100
U
2
R13 R10
U
1
.
U3
1 R 26C 3
1
R25 R22
R24 R23
1
R24
R23
U 3
R25 R22
U 1U 2
10
统一混沌电路原理图：
• a在[0，1]，系统均处于混沌状态。 当a＝0时，系统呈现洛仑兹混沌状态 ：
当a＝0.8时，系统呈现Lü混沌状态 ：
当a＝1时，系统呈现Chen混沌状态：
.
U1
1 R5C1
1
R4 R1
R3 R2
1
R3
R2
U
2
R4 R1
U
1
.
U2
1 R13C 2
R9 R8 R9
R10 R7
R10 R6
1U1
R10 R7
U 1U 3 10
R10 R6
U
2
.
U
3
1 R18C 3
R17
R14
U 1U 2 10
1
R17 R14
1
R16 R15 R16 R15