高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课堂探究新人教B版选修2-2讲义

高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课堂探究 新人教B 版
选修2-2
探究一 用反证法证明否定性命题
所谓否定性命题，就是指所证问题的结论中含有“不”、“不是”、“不存在”、“不相等”、“不可能”等词语的命题，这类问题的结论的反面比较具体，适合用反证法进行证明．
【典型例题1】 (1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝1n
(n ∈N ＋)，求证{a n }中任意连续的三项都不可能构成等差数列．
(2)已知a 是整数，且a 2＋2a 是奇数，求证：a 不是偶数．
思路分析：两个命题均是否定性命题，可用反证法证明．
证明：(1)假设{a n }中存在连续的三项构成等差数列．
设这连续三项为a k ，a k ＋1，a k ＋2(k ∈N ＋)，
则2a k ＋1＝a k ＋a k ＋2，
即2k ＋1＝1k ＋1k ＋2
， 所以2k ＋1＝2k ＋2k 2＋2k
. 所以2k 2＋4k ＝2k 2＋4k ＋2，
即0＝2，这显然是矛盾的．
因此假设不成立，即{a n }中任意连续三项不可能构成等差数列．
(2)假设a 是偶数，不妨设a ＝2k (k ∈Z )，
于是a 2＋2a ＝(2k )2＋2·2k ＝4k 2＋4k ＝4(k 2
－k )，
由于k ∈Z ，所以k 2＋k ∈Z .
因此4(k 2＋k )是偶数，即a 2＋2a 是偶数．
这与已知a 2＋2a 是奇数相矛盾，
故假设不成立，即a 不是偶数．
探究二 用反证法证明唯一性命题
1．结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了．
2．用反证法证明问题时，若结论的反面呈现多样性，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种情况时，反证都是不完全的．
3．证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．
【典型例题2】 (1)求证：经过平面α外一点M ，只能作一条直线与该平面垂直．
(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断开，且f (a )＜0，f (b )＞0，且f (x )在
[a ，b ]上单调递增，求证：f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．
思路分析：对于(1)可假设能作两条直线与该平面垂直，然后根据空间中有关定理推出矛盾；对于(2)，应先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a ，b )内有零点，再用反证法证明零点唯一．
证明：(1)假设经过平面α外一点M ，能作两条直线a ，b 都与该平面垂直．
那么由线面垂直的性质可知a ∥b ，且a ，b 在同一平面内，
这与a ，b 相交(均过点M )矛盾，
因此假设不成立，即经过平面α外一点M ，只能作一条直线与该平面垂直．
(2)由于f (x )在[a ，b ]上的图象连续不断开，且f (a )＜0，f (b )＞0，即f (a )·f (b )＜0， 所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，m ∈(a ，b )，则f (m )＝0， 假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，则f (n )＝0，且n ≠m .
若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；
若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．
因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．
探究三 用反证法证明至少、至多命题
1．当命题出现“至多”“至少”等词语时，适合用反证法．
2．常见的“结论词”与“反设词”
中至少有一个不大于14. 思路分析：本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”，然后由假设入手，应用均值不等式证明．
证明：方法1：假设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14
. ∵a ，b ，c 都是小于1的正数，
∴ 1－a b ＞12， 1－b c ＞12， 1－c a ＞12
， ∴ 1－a b ＋ 1－b c ＋ 1－c a ＞32
. 又∵ 1－a b ＋ 1－b c ＋ 1－c a
≤ 1－a ＋b 2＋ 1－b ＋c 2＋ 1－c ＋a 2
＝3－ a ＋b ＋c ＋ a ＋b ＋c 2
＝32
， 与上式矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．
方法2：假设三式同时大于14
， 即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14
， 三式相乘，得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ＞164
. 又(1－a )a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14
. 同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14
. 以上三式相乘得(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164
， 这与(1－a )a (1－b )b (1－c )c ＞164
矛盾，故结论得证． 探究四 易错辨析
易错点：运用反证法，结论否定不当而出错
【典型例题4】 用反证法证明命题“a ，b 为整数，若ab 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”时，应假设________．
错解：a ，b 不都是偶数．
错因分析：a ，b 不都是偶数包括的情况有：
(1)a 是偶数，b 是奇数；
(2)a 是奇数；b 是偶数；
(3)a ，b 都不是偶数．显然，否定的结论并不是结论的对立面，所以不正确，题目中“a ，b 都不是偶数”指“a ，b 都是奇数”．
正解：“a ，b 都是偶数”或“a ，b 不都是奇数”．。