一维连续型随机数序列的产生方法

随机数序列的产生方法

一维连续型随机数序列的产生方法 一．综述

由具有已知分布的总体中抽取简单子样，在蒙特卡罗方法中占有非常重要的地位。总体和子样的关系，属于一般和个别的关系，或者说属于共性和个性的关系。由具有已知分布的总体中产生简单子样，就是由简单子样中若干个性近似地反映总体的共性。

随机数是实现由已知分布抽样的基本量，在由已知分布的抽样过程中，将随机数作为已知量，用适当的数学方法可以由它产生具有任意已知分布的简单子样。 二．随机数的定义及性质

在连续型随机变量的分布中，最简单而且最基本的分布是单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样称，随机数序列，其中每一个体称为随机数。单位均匀分布也称为［0，1］上的均匀分布，其分布密度函数为：

分布函数为：

其中P (·)表示事件·发生的概率。反之，如果随机变量序列ξ1, ξ2…对于任意自然数s ，由s 个元素所组成的s 维空间上的点（ξ

n+1

，…ξ

n+s

）在G s 上均匀分布，则它们是随机数序列。

由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊地位，它们虽然也属于由

1,

01()0,

x f x ≤≤⎧=⎨

⎩其他

0,0(),

011,1

x F x x x x <⎧⎪

=≤≤⎨⎪>⎩

具有已知分布的总体中产生简单子样的问题，但就产生方法而言，却有着本质上的差别

三．连续型随机数的模拟产生

最常用、最基础的随机数是在（0,1）区间内均匀分布的随机数(简记为RND)。一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到.通常是利用递推公式： 给定k 个初始值ξ1,ξ2,…,ξk , 利用递推公式递推出一系列随机数ξ1,ξ2,…，ξn ,….

利用在(0 , 1) 区间上均匀分布的随机数来模拟具有给定分布的连续型随机数. 1.反函数法

设连续型随机变量Y 的概率函数为 f (x ), 需产生给定分布的随机数.

（1）算法:1）产生n 个RND 随机数r 1，r 2，…，r n ；

所得y i ,i =1,2, …,n 即所求。

（2）基本原理：

设随机变量Y 的分布函数F (y )是连续函数，而且随机变量X ～

U (0,1)，令Z =F －1(X )，则Z 与Y 有相同分布.

证明：F Z (z )= P {F －1(X ) ≤ z }= P {X ≤F (z )}=G (F (z )) = F (z ) 因G (x )是随机变量X 的分布函数：

12(,,,)

n

n n n k f ξξξξ---= ;

)()2i y i y dy y f r i

中解出从等式⎰∞

-=

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤<≤<=.

1,1;10,

;0,

0)(x x x x x G

若Y 的概率密度为f (y )，由Y =F －1

(X )可得：

对给出定的(0, 1)上均匀分布随机数r i ，则具有给定分布的随机数 y i

可由方程 解出。

例题：模拟服从参数为λ的指数分布的随机数，其概率密度函数为

若随机变量X ～U(0, 1)→1－X ～U (0, 1) 所以(1－r i )与r i 均为RND 随机数 ； 因此，模拟公式可改写为： （3）优点：一种普通而适用的方法；

缺点:当反函数不存在或难以求出时, 不宜于使用. 2.舍选法

（1）基本思想：实质上是从许多RND 随机数中选出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数.

设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，存在实数 a

()()Y X F Y f y dy

-∞

==

⎰

⎰∞

-=i y

i dy y f r )(⎩⎨

⎧≤>=-.0,

0,0,)(x x e x f x λλ⎰∞-=

i y

i dy

y f r )(代入公式

i

y

i

y

x

i e

dx e

r λλλ---==

⎰10

有

)

1ln(1i i r y -=λ

可得

i

i

r y ln 1λ

=

（2）算法步骤：1）选取常数λ，使λf (x )＜1，x ∈(a, b)；

2）产生两个RND 随机数r 1 、r 2，令y = a ＋(b －a )r 1 ； 3）若r 2≤λf (y )，则令x=y ,否则剔除r 1和r 2, 重返步骤2）；

重复循环, 产生的随机数x 1，x 2，…，x N 的分布由概率函数 f (x )

确定.

（3）舍选法算法原理分析：

设P {a ＜Z ＜b }=1，Z 的概率密度为f (z ), a.选常数λ，使λf (z )≤1，z ∈(a ，b )；

b.随机变量X 1，X 2相互独立X i ～U (0, 1),令 Y 1=a+(b －a)X 1

～U(a, b);

c.若X 2≤λf (Y 1)，则令 X = Y 1，否则剔除X 1，X 2重复到(2)。 则随机变量X 的分布与Z 相同。 （4）注：

可选取有限区间(a 1,b 1)，使得 ε是很小的正数.

例如，取 a 1=μ－3σ,b 1=μ＋3σ，有

在区间(a 1, b 1)上应用舍选法,不会出现较大的系统误差. 3．物理方法

用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在计算机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随机数发生器。用来作为随机数发生器的物理源主要有两种：

,

1)(=⎰b

a

dx x f 若不满足条件：ε

-≥⎰1)(1

1

b a

dx x f 003

.011

1

2

2)(

221->⎰σμ-σ

π-dx e b a

x