(完整版)《概率论与数理统计》讲义

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示，例如n ωωω ,,21（离散）。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。

通常用大写字母A ，B ，C ，…表示事件，它们是Ω的子集。

如果某个ω是事件A 的组成部分，即这个ω在事件A 中出现，记为A ∈ω。

如果在一次试验中所出现的ω有A ∈ω，则称在这次试验中事件A 发生。

如果ω不是事件A 的组成部分，就记为A ∈ω。

在一次试验中，所出现的ω有A ∈ω，则称此次试验A 没有发生。

Ω 为必然事件，Ø为不可能事件。

（2）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：A B，或者AB。

A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：∞=∞==11iiii AABABA=，BABA=例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。

现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。

写出该试验的样本空间Ω。

若A表示取到的两只球是白色的事件，B表示取到的两只球是红色的事件，试用A、B表示下列事件：（1）两只球是颜色相同的事件C，（2）两只球是颜色不同的事件D，（3）两只球中至少有一只白球的事件E。

例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用A i 表示下列事件：（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C ，（2）至少有一次正面朝上的事件D ，（3）前两次正面朝上的事件E 。

3、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1，2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11)(i i i i A P A P常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωω 21,=Ω， 2° nP P P n 1)()()(21===ωωω 。

设任一事件A ，它是由m ωωω 21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωω =)()()(21m P P P ωωω+++nm =基本事件总数所包含的基本事件数A = 例1．18：集合A 中有100个数，B 中有50个数，并且满足A 中元素与B 中元素关系a+b=10的有20对。

问任意分别从A 和B 中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b 的概率。

例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ 例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是A ．141B ．131C ．121D ． 111 例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） 例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） 例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。

4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：A ＝“三个数字中不含0或者不含5”。

（2）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(A +B ). 例1．26：对于任意两个互不相容的事件A 与B ， 以下等式中只有一个不正确，它是： (A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P(A ∪B )-1 (C) P(A -B)= P(A )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A -B)]=P(A) (E)p[B A -]=P(A) -P(A ∪B )（3）条件概率和乘法公式定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1⇒P(B /A)=1-P(B/A)乘法公式：)/()()(A B P A P AB P =更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。

例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

（4）全概公式设事件n B B B ,,,21 满足1°n B B B ,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i =>，2° n i iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。

此公式即为全概率公式。

例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。

用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。

从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：A ．0.5625B ．0.5C ．0.45D ．0.375E ． 0.225例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？（5）贝叶斯公式设事件1B ，2B ，…，n B 及A 满足1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，)(Bi P >0，=i 1，2，…，n ，2°n i iB A 1=⊂，0)(>A P ，则 ∑==n j jj i i i B A P B P B A P B P A B P 1)/()()/()()/(，i=1，2，…n 。