实验三 窗函数的特性分析
实验三 窗函数的特性分析报告
数字信号处理及实验实验报告实验题目窗函数的特性分析MYT 组别班级学号【实验目的】分析各种窗函数的时域和频率特性，灵活运用窗函数分析信号频谱和设计FIR数字滤波器。
【实验原理】在确定信号谱分析、随机信号功率谱估计以及FIR数字滤波器设计中，窗函数的选择对频谱分析和滤波器设计都起着重要的作用。
在确定信号谱分析和随机信号功率谱估计中，截短无穷长的序列会造成频率泄漏，影响频谱分析的精度和质量。
合理选取窗函数的类型，可以改善泄漏现象。
在FIR数字滤波器设计中，截短无穷长的系统单位脉冲序列会造成FIR滤波器的幅度特性产生波动，且出现过渡带。
【实验结果与数据处理】1、分析并绘出常用窗函数的时域特性波形。
程序如下：clc,clear,close allN=50figure(1)W1=boxcar(N);stem([0:N-1],W1);figure(2)W2=hanning(N);stem([0:N-1],W2);figure(3)W3=hamming(N);stem([0:N-1],W3);figure(4)W4=blackman(N);stem([0:N-1],W4);figure(5)W5=bartlett(N);stem([0:N-1],W5);figure(6)W6=kaiser(N,2*N);stem([0:N-1],W6);时域波形图如下：图 1 矩形窗图 2 汉宁窗图 3 汉明窗图 4 布莱克曼窗图 5 Bartlett窗图 6 凯泽窗2、研究凯泽窗（Kaiser）的参数选择对其时域和频域的影响。
（1）固定beta=4，分别取N=20，60，110。
clc,clear,close allN1=20;N2=60;N3=110;beat=4;figure(1)subplot(3,2,[1,2])W=kaiser(N1,beat);stem([0:N1-1],W);subplot(3,2,[3,4]);Ww=kaiser(N2,beat);stem([0:N2-1],Ww);subplot(3,2,[5,6]);WW=kaiser(N3,beat);stem([0:N3-1],WW);figure(2)subplot(3,2,[1,2])W1=fft(W,N1)plot([0:N1-1],abs(fftshift(W1)))subplot(3,2,[3,4]);W2=fft(Ww,N2)plot([0:N2-1],abs(fftshift(W2)))subplot(3,2,[5,6]);W3=fft(WW,N3)plot([0:N3-1],abs(fftshift(W3)))图7 凯泽窗频域图图8 凯泽窗时域图（2）固定N=60，分别取beta=1，5，11。
实验三窗函数的特性分析
实验三窗函数的特性分析窗函数是在时间域上对信号进行加权的一种方法。
它在信号处理领域中应用广泛，用于去除频谱泄露和减少频谱波动。
窗函数可以改变信号的频谱特性，有助于减小频谱波动，提高频谱分析的准确性。
本实验将分析三种不同类型的窗函数：矩形窗、汉明窗和布莱克曼窗。
1.矩形窗：矩形窗是一种简单的窗函数，它将输入的信号乘以常数1、它在时间域上呈现出矩形的形状，频域上表现为sinc函数。
矩形窗的特点是具有较宽的主瓣，但是有很高的边瓣衰减，对于频谱泄露较为敏感。
它适用于信号频谱比较窄的情况，可以提供较好的分辨率。
2.汉明窗：汉明窗是一种平滑且对称的窗函数，它在时间域上具有一对对称的凸边，频域上表现为sinc-squared函数。
汉明窗的特点是在频域上拥有较窄的主瓣和较小的边瓣泄露。
这使得它在频谱分析中具有较好的分辨率和较低的波动。
它适用于信号频谱分析的大多数情况。
3.布莱克曼窗：布莱克曼窗是一种设计用于音频处理的窗函数，它在时间域和频域上都具有较好的性能。
它的形状和汉明窗类似，但有更宽的底部。
布莱克曼窗的特点是具有更强的边瓣抑制能力，相对于汉明窗能够更好地抑制频谱波动和频谱泄露。
它适用于对频谱准确性要求较高的信号处理任务。
综上所述，不同的窗函数在频域上具有不同的特性。
矩形窗适用于频谱较窄的信号，提供较好的分辨率；汉明窗适用于大多数频谱分析的情况，具有较低的波动；布莱克曼窗能够更好地抑制频谱波动和泄露，适用于对准确性要求较高的任务。
在实际应用中，选择窗函数需要根据具体的信号特性和分析需求来进行。
需要折衷考虑分析的准确性和频谱泄露问题，并选择合适的窗函数来优化频谱分析的结果。
三次函数的像和性质
三次函数的像和性质三次函数是指次数为3的一元多项式函数，可以表示为$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。
在这篇文章中，我们将探讨三次函数的像和性质。
一、三次函数的图像首先，让我们来了解一下三次函数的图像。
一般来说，三次函数的图像呈现出一种典型的"S"形曲线，也称为“小波浪线”。
具体来说，三次函数的图像可能表现为以下几种情形：1. 当$a>0$时，函数具有下凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$上升，再下降。
2. 当$a<0$时，函数具有上凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$下降，再上升。
3. 当$a=0$时，函数退化为二次函数。
二、三次函数的像一元函数$f(x)$的像指的是其所有可能输出的实数值的集合。
对于三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其像的计算方法为：1. 首先，我们需要求出$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，并找出其实根$x_1$和虚根$x_2$、$x_3$。
2. 如果$a>0$，则$f(x)$在$x<x_1$时单调递减，在$x_1<x_2<x_3$处取得极小值，然后在$x_3<x$时单调递增。
3. 如果$a<0$，则$f(x)$在$x<x_1$时单调递增，在$x_1<x_2<x_3$处取得极大值，然后在$x_3<x$时单调递减。
4. 如果$a=0$，则$f(x)=bx^2+cx+d$，此时求出抛物线的顶点，便可得到函数的像。
三、三次函数的性质接下来，我们来探讨一些三次函数的性质。
1. 零点和极值对于一元三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其零点和极值如下所示：1.1 如果$f(x_1)=0$，则$x_1$为$f(x)$的一次零点。
1.2 如果$f(x_2)=f(x_3)=0$，则$x_2$和$x_3$为$f(x)$的二次零点。
简述窗函数法的特点
简述窗函数法的特点大凡讲高中数学的人都会听说过“窗函数法”，但这一名词从未进入高中教材，其含义也并不为多数老师所了解。
在初等函数里，我们经常可以用到许多函数方程，如二次函数、指数函数等，这些方程的实际意义往往比较抽象，有的甚至难以理解。
在实际应用中，我们可以借助某种简便手段把这些抽象函数化成具体的形式，使得实际问题更易处理。
这就是“转化”，即将研究对象由初等函数转化成其相应的次级数学表达式或微分方程。
在实际运用中，人们发现当一个函数值域很大时，将这个函数表示为有限个基本函数的乘积的形式，要比用有限个次级表达式去近似它更为简洁和准确。
因此人们便引入了“窗”（ window）函数的概念，并逐渐将研究对象由基本函数转化成窗函数，再利用窗函数求出有限个基本函数的乘积的近似值，这样既简化了问题又节省了计算时间。
首先，“窗”函数有两个要素：一是函数的变化范围，一般是区间端点；二是函数表达式。
其次，所谓“窗函数法”就是在“转化”思想指导下建立起来的，它有两个层次的含义： 1．将函数转化成适当的次级数学表达式， 2．求函数f(x)在闭区间[a,b]上的近似值。
这种转化思想，就是“转化”。
“窗函数法”的特点是：①省去了繁琐的计算过程，保留了计算结果；②通过利用窗函数探索研究区间上连续函数的性质。
“窗函数法”中对应的函数方程是，在函数区间端点附近存在一个内接正实数x，使得。
而在开区间(a,b)，则定义为。
也可以将窗函数定义为，当时，而且则。
当时，使得。
“窗函数法”的特点是，它只需作少量的初等变换，就能把数学模型的微分方程由原形式推广为非齐次、甚至可能不存在齐次解的形式。
同时，只要作较小的变换，使区间的范围缩小到函数表达式的允许误差范围之内，或改变解的形式，便可直接得到原微分方程的解。
此外，由于这种方法是依据初等函数的性质，运用解析法的一些基本技巧而构造出来的，因此，比之解析法，能得到更多、更好的近似解。
这些近似解和原形式之间的偏差是很小的。
窗函数及其对信号频谱的影响
实验六窗函数及其对信号频谱的影响一.实验目的1. 掌握几种典型窗函数的性质、特点，比较几种典型的窗函数对信号频谱的影响。
2. 通过实验认识它们在克服 FFT 频谱分析的能量泄漏和栅栏效应误差中的作用，以便在实际工作中能根据具体情况正确选用窗函数二、实验原理实际应用的窗函数，可分为以下主要类型：1. 幂窗--采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间（t）的高次幂；2. 三角函数窗--应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；3. 指数窗--采用指数时间函数，如e-st形式，例如高斯窗等。
下面介绍几种常用窗函数的性质和特点。
a) 矩形窗——矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为:相应的窗谱为：矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。
这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
b) 汉宁（Hanning）窗——汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：相应的窗谱为：由此式可以看出，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个 sine（t）型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。
可以看出，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。
c)海明（Hamming）窗——海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表达式为：相应的窗谱为：海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。
海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。
分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为一42dB．海明窗的频谱也是由3个矩形时窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB／（10oct），这比汉宁窗衰减速度慢。
海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。
不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。
窗函数的实现及分析
1窗函数1.1基本概念在实际进行数字信号处理时，往往需要把信号的观察时间限制在一定的时间间隔内，只需要选择一段时间信号对其进行分析。
这样，取用有限个数据，即将信号数据截断的过程，就等于将信号进行加窗函数操作。
而这样操作以后，常常会发生频谱分量从其正常频谱扩展开来的现象，即所谓的“频谱泄漏”。
当进行离散傅立叶变换时，时域中的截断是必需的，因此泄漏效应也是离散傅立叶变换所固有的，必须进行抑制。
而要对频谱泄漏进行抑制，可以通过窗函数加权抑制DFT 的等效滤波器的振幅特性的副瓣，或用窗函数加权使有限长度的输入信号周期延拓后在边界上尽量减少不连续程度的方法实现。
而在后面的FIR 滤波器的设计中，为获得有限长单位取样响应，需要用窗函数截断无限长单位取样响应序列。
另外，在功率谱估计中也要遇到窗函数加权问题。
窗函数的基本概念。
设x (n )是一个长序列，w (n )是长度为N 的窗函数，用w (n )截断x (n )，得到N 点序列x n (n )，即x n (n ) = x (n ) w (n )在频域上则有由此可见，窗函数w (n )不仅仅会影响原信号x (n )在时域上的波形，而且也会影响到频域内的形状。
1.2设计原理窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列()n h 逼近()n h d 。
由于()n h d 往往是无限长序列，而且是非因果的，所以用窗函数()n ω将()n h d 截断，并进行加权处理，得到：()n h 就作为实际设计的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数()ωj e H 为式中，N 为所选窗函数()n ω的长度。
用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数()n ω的()()()()⎰--⋅=ππj j j d e π21e θθωθωW e X X N ()()()n n h n h d ω=()()nj N n j en h eH ωω∑-==1类型及窗口长度N的取值。
(实验三窗函数的特性分析)
实验报告实验课程：数字信号处理实验开课时间：2020—2021 学年秋季学期实验名称：窗函数的特性分析实验时间：2020年9月16日星期三学院：物理与电子信息学院年级：大三班级：182 学号：1843202000234 姓名：武建璋一、实验预习（2）固定N=60，分别取beta=1，5，11。
clc,clear,close allbeat1=1;beat2=5;beat3=11;N=60;figure(1)subplot(3,2,[1,2])W=kaiser(N,beat1);stem([0:N-1],W);subplot(3,2,[3,4]);Ww=kaiser(N,beat2);stem([0:N-1],Ww);subplot(3,2,[5,6]);WW=kaiser(N,beat3);stem([0:N-1],WW);figure(2)subplot(3,2,[1,2])W1=fft(W,N)plot([0:N-1],abs(fftshift(W1))) subplot(3,2,[3,4]);W2=fft(Ww,N)plot([0:N-1],abs(fftshift(W2))) subplot(3,2,[5,6]);W3=fft(WW,N)plot([0:N-1],abs(fftshift(W3)))4、某序列为x[k] = (11πk/20) + cos(9πk/20),使用fft函数分析其频谱。
(1) 利用不同宽度N的矩形窗截短该序列，N分别为20，40，160，观察不同长度N 的窗对谱分析结果的影响。
clc,clear,close allN1=20;N2=40;N3=160;k1=0:N1;k2=0:N2;k3=0:N3;X1=0.5.*cos((11*pi*k1)/20)+cos((9*pi*k1)/20)X2=0.5.*cos((11*pi*k2)/20)+cos((9*pi*k2)/20)X3=0.5.*cos((11*pi*k3)/20)+cos((9*pi*k3)/20)figure(1)subplot(3,2,[1,2])W1=fft(X1,N1)plot([0:N1-1],abs(fftshift(W1)))subplot(3,2,[3,4]);W2=fft(X2,N2)plot([0:N2-1],abs(fftshift(W2)))subplot(3,2,[5,6]);W3=fft(X3,N3)plot([0:N3-1],abs(fftshift(W3)))figure(2)subplot(3,2,[1,2])W=abs(fftshift(W1))stem([0:N1-1],W);subplot(3,2,[3,4]);Ww=abs(fftshift(W2))stem([0:N2-1],Ww);subplot(3,2,[5,6]);WW=abs(fftshift(W3))stem([0:N3-1],WW);(2) 利用汉明窗重做（1）。
三次函数的特性总结
三次函数的特性总结三次函数，也被称为三次方程或者三次方程函数，是指具有三次幂的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d为函数的系数，且a不等于0。
在本文中，我们将总结三次函数的几个主要特性。
1. 零点和因式分解三次函数的零点即为函数与x轴交点的横坐标。
为了求解零点，我们可以利用因式分解的方法。
对于一个三次函数f(x)，如果x=a是它的零点，那么(x-a)就是它的一个因式。
通过将函数进行因式分解，我们可以更方便地确定它的零点。
2. 对称性三次函数有两个常见的对称性质：关于y轴的对称和关于原点的对称。
对于一个三次函数f(x)，如果f(-x) = f(x)，则该函数具有关于y轴的对称性。
如果f(-x) = -f(x)，则该函数具有关于原点的对称性。
3. 变化趋势三次函数的变化趋势可以通过函数的导数和导数的二次项来判断。
函数的导数表示了函数的变化速率，导数的符号则表示了函数的增减性。
如果函数的导数大于0，那么函数在该点上升；如果导数小于0，则函数在该点下降。
其次，导数的二次项可以用来判断函数的拐点位置。
如果导数的二次项大于0，则函数有一个拐点，该拐点位于导数为0的点处。
4. 最值点对于三次函数而言，它可能存在最大值或最小值点。
为了找到函数的最值点，我们可以计算函数的导数，令导数为0，并求解对应的x值。
通过找到导数等于0的点，我们可以确定函数的局部最值点。
5. 图像特征三次函数的图像通常呈现出“S”形状曲线。
当a>0时，函数的图像开口向上，底部为最小值点；当a<0时，函数的图像开口向下，顶部为最大值点。
同时，函数可能经过x轴的一次或两次。
通过观察函数的图像特征，我们可以初步判断函数的性质和行为。
总结起来，三次函数作为一种多项式函数，具有许多独特的特性。
通过研究它的零点、对称性、变化趋势、最值点以及图像特征，我们可以更好地理解和利用三次函数的性质。
实验三窗函数特性分析
实验三窗函数特性分析窗函数特性分析是信号处理领域中一个重要的研究方向，通过对窗函数的分析可以有效地应用于噪声抑制、频谱分析等方面。
下面我们来详细分析几个常见的窗函数特性。
1.矩形窗矩形窗函数也被称为哈曼窗，其表达式为：w(n)={1(n∈[0,N-1])0otherwise(1)其中，N表示窗口长度。
矩形窗函数在频域上等效为一个 sinc 函数，其主瓣宽度与窗口长度成反比。
由于矩形窗函数在主瓣两侧具有较深的零点，因此具有较高的频率分辨率。
然而，由于其旁瓣较大，矩形窗函数容易产生假响应和泄露现象。
2.汉宁窗汉宁窗函数是一种改进的矩形窗函数，通过在矩形窗函数的基础上增加两个旁瓣，以减小旁瓣电平并抑制假响应。
汉宁窗函数的表达式为：w(n)=0.5−0.5cos(2πnN−1)(2)其中，N表示窗口长度。
与矩形窗函数相比，汉宁窗函数的主瓣宽度增加了，旁瓣电平也较低。
在保持较高频率分辨率的同时，减小了假响应的可能性。
3.哈曼窗哈曼窗函数是一种基于最小旁瓣电平为目标的窗函数，通过调整汉宁窗函数的系数，使得旁瓣电平最小。
哈曼窗函数的表达式为：w(n)=0.4935N+0.4834cos(2πnN−1)+0.0133cos(4πnN−1)(3)其中，N表示窗口长度。
哈曼窗函数在主瓣两侧具有较深的零点，同时旁瓣电平较低，具有较高的频率分辨率和较小的假响应。
4.高斯窗高斯窗函数是一种基于高斯函数的窗函数，具有平滑的旁瓣衰减和较小的旁瓣电平。
高斯窗函数的表达式为：w(n)=e−n2/(2σ2)(4)其中，σ表示高斯函数的方差，N表示窗口长度。
高斯窗函数的主瓣宽度与窗口长度成反比，旁瓣电平随着远离主瓣而逐渐增大。
由于其旁瓣衰减较慢，高斯窗函数容易产生交叉干扰现象。
通过对以上常见窗函数的特性分析可知，不同的窗函数具有不同的频率响应特性。
在应用中需要根据具体需求选择合适的窗函数。
例如，当需要高频率分辨率时，可以选择矩形窗函数；当需要抑制假响应时，可以选择汉宁窗函数或哈曼窗函数；当需要平滑的旁瓣衰减时，可以选择高斯窗函数。
窗函数的特性分析
窗函数的特性分析
窗函数技术是滤波器设计的重要部分。
它主要用来控制信号滤波器的
频率响应特性。
窗函数包括矩形窗，三角窗，汉宁窗，汉明窗，Hamming 窗，Kaiser窗等。
本文通过分析各种窗函数的特性，从而指导滤波器设
计的实现。
一、矩形窗函数的特性
矩形窗函数的特性是信号量和宽度恒定，即信号量不随时间变化，宽
度也不变，如下形式所示：
w[n]=1(0≤n≤N-1)
矩形窗的经典应用是定义时间信号的加权数，即叠加N个信号之和，
是滤波器设计的最基本的窗函数，但其窗函数的频率响应特性比较差。
二、三角窗函数的特性
三角窗函数是矩形窗函数的改进，其特性是信号量和宽度随时间变化，即信号量随时间变化，宽度也随时间变化，如下形式所示：
w[n]={1-，n-(N-1)/2，/(N-1)/2}(0≤n≤N-1)
三角窗函数的频率响应特性比矩形窗函数略好，同时在设计滤波器时
可以使用它，如果在误差允许的范围内的话。
三、汉宁窗函数的特性
汉宁窗函数是三角窗函数的一种变形函数，其特性是信号量和宽度随
时间变化，但信号量只允许有限的值，如下形式所示：
w[n]=1-{1-，2n/N-1，}^2(0≤n≤N-1)
汉宁窗函数的频率响应特性比三角窗函数略好。
实验三窗函数的特性分析
实验三窗函数的特性分析
一.窗函数的概念
窗函数是一种算法，它是一种带有其中一种形状的函数，通过对信号
进行处理，可以增强信号的一些特征，从而改善信号的可检测性和抑制噪声。
窗函数的定义：它在一些时间段上取特定的值，而在此之外的时间段上，则取零。
在细分时间段上，都按照固定的函数变换来求取取值，以保
证窗函数满足频率应答的要求。
二.常用窗函数
1）矩形窗函数：即矩形窗，也称为方形窗，最简单的窗函数形式，
是通过将脉冲在时间上延伸，而延伸后的脉冲形态则形成了“矩形”这样
一种特殊形状，从而被称为矩形窗。
2）凯廷窗：也称为汉明窗，是在矩形窗的基础上，进一步改进的一
种窗函数形式，是最常用的窗函数之一，它采用对称的函数形式，使得其
在频率响应上比矩形窗更加接近极低通滤波器的频率响应，从而有效地提
高了信号抑制噪声的能力，同时也保持了信号的清晰度。
3）高斯窗：又称为高斯滤波器，是一种基于高斯分布特性的滤波器，它的函数形状完全符合高斯分布的概率分布，在低噪声、低失真的环境中，效果最佳，是非常常用的窗函数。
4）黎曼窗：又叫黎曼汉明窗，它的特点是连续非均匀。
窗函数的实现与分析
窗函数的实现与分析窗函数是一种在数字信号处理中常用的技术，用于对信号进行加窗处理。
加窗处理的目的是在频域上对信号进行平滑，以减少频谱泄漏或者减小窗口边界效应。
窗函数广泛应用于傅里叶变换、滤波器设计、频谱分析、信号重构等领域。
窗函数实现的原理是在信号的时域上对原始信号进行截断，即乘以一个截断窗口函数。
截断窗口函数通常是一个平滑、有限的、具有零边界值的函数。
这样可以使得信号在窗口内部逐渐减小，并在窗口外部变为零，从而达到减少频谱泄漏的效果。
常用的窗函数有矩形窗、汉明窗、汉宁窗、布莱克曼窗、海明窗等。
下面以汉明窗为例，介绍窗函数的实现与分析。
汉明窗是一种常用的窗函数，其定义为：w(n) = 0.54 - 0.46 * cos(2πn/N)，其中0 <= n <= N-1假设需要对长度为N的信号x(n)进行加窗处理，实现过程如下：1.初始化窗口长度N。
2.初始化一个长度为N的空数组w，用于存储窗函数的值。
3.对n从0到N-1循环，计算w(n)的值，并存储到w中。
4.对信号x(n)和窗函数w(n)进行逐点乘法运算，得到加窗后的信号y(n)。
y(n)=x(n)*w(n)，其中0<=n<=N-15.返回加窗后的信号y(n)。
分析：1.汉明窗的定义表明，在窗口中心附近，窗函数的值最大，逐渐向窗口两端减小，直至为零。
这样可以对信号进行平滑处理，减少频谱泄漏。
2.汉明窗的参数0.54和0.46是经验值，具体值的选择可以根据应用场景进行调整，以达到最佳的效果。
3.窗口长度N的选择也很重要。
如果窗口长度过短，会导致频谱分辨率降低，无法准确表示高频成分；如果窗口长度过长，会导致频域分辨率提高，但时间分辨率降低。
4.窗函数的选择也是根据应用场景的不同而不同。
汉明窗适用于大多数信号分析场景，但对于具有突变的信号，如短时能量突变的语音信号，汉明窗可能会引入较大的误差。
5.窗函数的性能可以通过计算频谱泄漏、主瓣宽度、旁瓣幅度等指标来评估。
三角窗函数
三角窗函数
三角窗函数是一种常用的数字信号处理中的窗函数，其形状类似于三角形。
它可以用于从信号中提取特定频率范围内的信息，减少频谱泄漏的影响，并且能够在分析信号时减少噪音的影响。
三角窗函数有多种形式，其中最常用的是Bartlett窗和Hanning 窗。
Bartlett窗的形式为：w(n) = 1 - |n - N/2| / (N/2)，其中N 为窗口长度，n为当前的采样点。
Hanning窗的形式为：w(n) = 0.5 - 0.5 * cos(2πn / (N - 1))，其中cos为余弦函数。
使用三角窗函数时，需要将窗函数应用于原始信号中的数据段，然后进行傅里叶变换以获取频域信息。
由于窗函数将信号限定在窗口内，因此可以减少频谱泄漏的影响，并且可以使用FFT算法快速计算频域信息。
三角窗函数在许多领域都有应用，例如音频处理、信号处理、图像处理等。
在音频处理中，可以使用三角窗函数对音频信号进行滤波、降噪和频谱分析等。
在信号处理中，可以使用三角窗函数对信号进行滤波、调制和解调等。
在图像处理中，可以使用三角窗函数对图像进行边缘检测、平滑处理和锐化处理等。
总之，三角窗函数是一种非常有用的数字信号处理工具，可以在许多应用中发挥作用，并且有着广泛的应用前景。
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窗函数的实现及分析
窗函数的实现及分析窗函数是指将理想的频谱截断成有限的频谱，并对信号进行加权的函数。
在信号处理中，窗函数被广泛应用于频谱分析、滤波器设计、波形合成和信号的时频分析等方面。
其作用是减小频谱泄漏、降低旁瓣干扰和改善频谱估计的准确性。
1. 直接实现法（Direct Approach）：直接实现法是指通过直接计算窗函数的定义式来得到窗函数的采样值。
例如，常见的矩形窗函数可以通过以下公式计算得到：w(n)=1,0<=n<Nw(n)=0,其他情况其中，n为窗函数的采样序号，N为窗函数的长度。
类似地，其他窗函数如汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗等也可以通过相应的定义式计算得到。
直接实现法的优点是实现简单，计算速度快。
缺点是窗函数的采样点数需要提前确定，并且无法根据需要动态调整窗函数的长度。
此外，直接实现法在频率分辨率方面相对较差，易产生频谱泄漏现象。
2. 卷积实现法（Convolution Approach）：卷积实现法是指利用卷积运算的性质，通过将序列信号和窗函数进行卷积来实现窗函数。
例如，矩形窗可以通过以下卷积运算实现：w(n)=RECT(n)=δ(n)*δ(n)其中，δ(n)为单位脉冲函数。
卷积实现法的优点是可以根据需要动态调整窗函数的长度和形状，适应不同的信号分析要求。
此外，卷积实现法拥有较好的频率分辨率和抗频谱泄漏能力。
对于窗函数的分析，可以从以下几个方面进行：1.主瓣宽度：主瓣宽度是指窗函数的主瓣在频谱中的宽度。
窗函数的主瓣宽度决定了频率分辨率的能力，主瓣宽度越窄，频率分辨率越高。
例如，矩形窗的主瓣宽度较宽，频谱分辨率相对较低；而汉宁窗、汉明窗等窗函数的主瓣宽度相对较窄，频谱分辨率较高。
2.旁瓣干扰：旁瓣干扰是指窗函数在频谱中产生的旁瓣能量。
窗函数的旁瓣干扰会引入频谱泄漏现象，降低频谱估计的准确性。
一般而言，窗函数的旁瓣干扰越低，频谱估计的准确性越高。
常见的窗函数如布莱克曼窗具有较低的旁瓣干扰能力。
窗函数类型和特点
窗函数有多种类型，它们各自具有不同的特性和用途。
以下是一些常见的窗函数类型及其特点：
1.矩形窗（Rectangular Window）：矩形窗的幅度为常数1，对应于时域上的矩形函
数。
在频域上，矩形窗的频谱为sinc函数，具有宽主瓣和高旁瓣的特性。
矩形窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
2.汉明窗（Hamming Window）：汉明窗是一种常用的窗函数，具有较低的旁瓣衰
减。
它在时域上的形式为0.54 - 0.46*cos(2πn/N)，n为时域上的序号，N为窗口长度。
汉明窗在频域上具有较为平坦的幅度响应和较低的旁瓣，适用于需要减少旁瓣干扰的应用场景。
3.海宁窗（Hanning Window）：海宁窗是汉明窗的一种特殊形式，也被称为汉宁
窗。
它在时域和频域上的特性与汉明窗类似，但是旁瓣衰减更快。
海宁窗在时域上表示为正弦函数和余弦函数的组合，其频谱具有较为尖锐的主瓣和较低的旁瓣。
适用于需要快速衰减旁瓣的应用场景。
4.凯泽窗（Kaiser Window）：凯泽窗是一种具有可调参数的窗函数，其旁瓣衰减速
度和主瓣宽度可以根据参数进行调整。
凯泽窗在频域上具有较为尖锐的主瓣和快速衰减的旁瓣，适用于需要灵活控制窗函数特性的应用场景。
这些窗函数类型各有特点，应根据具体应用场景选择适合的窗函数类型。
实验三窗函数的特性分析
（1）固定beta=4，分别取N=20,60,110
N=20;
beta=4;
w=Kaiser(N,beta);
subplot(3,2,1);
stem([0:N-1],w);
title('第3题凯泽窗N=20时域波形');
W=fft(w,256);
矩形窗，汉宁窗，汉明窗，布莱克曼窗，Bartlett窗的波形固定，一旦选择了某种窗函数，用它进行谱分析得到的频谱纹波或设计出的滤波器的阻带衰减是确定的。凯泽窗是一种可调窗，可以通过改变窗函数的形状来控制频谱纹波或阻带衰减指标，因而获得广泛的应用。
实验思考题：
1.什么是信号截短？什么是吉布斯现象？增加长度N能消除吉布斯现象吗？应如何解决？
stem([0:N-1],w);
title('汉明窗的时域波形')
实验运行结果如图 3.1
图3.1 矩形窗、汉宁窗及汉明窗的时域特性波形
N=51;
w=blackman(N);
subplot(3,1,1);
stem([0:N-1],w);
title('布莱克曼窗的时域波形');
w=bartlett(N);
W=fft(w,256);
subplot(3,1,1);
plot([-128:127],abs(fftshift(W)));
title('第4题 x[k]N=20频谱 ')
subplot(3,1,2);
N=40;
k=0:N-1;
w=0.5*cos((11*pi*k)/N)+cos((9*pi*k)/N);
窗函数
窗函数(window function)窗函数是频谱分析中一个重要的部分，CoCo包含了所有通用的窗函数以及冲击测试中的受迫/指数(force/exponential)窗。
窗函数修正了由于信号的非周期性并减小了频谱中由于泄露而带来的测量不准确性。
快速傅里叶变换假定了时间信号是周期无限的。
但在分析时，我们往往只截取其中的一部分，因此需要加窗以减小泄露。
窗函数可以加在时域，也可以加在频域上，但在时域上加窗更为普遍。
截断效应带来了泄漏，窗函数是为了减小这个截断效应，其设计成一组加权系数。
例如，一个窗函数可以定义为：w(t)=g(t) -T/2<t<T/2w(t)=0 其他g(t)是窗函数，T是窗函数的时间待分析的数据x(t)则表示为：x(t)=w(t)*x(t)'x(t)'表示原始信号x(t)表示待分析信号。
加窗在时域上表现的是点乘，因此在频域上则表现为卷积。
卷积可以被看成是一个平滑的过程。
这个平滑过程可以被看出是由一组具有特定函数形状的滤波器，因此，原始信号中在某一频率点上的能量会结合滤波器的形状表现出来，从而减小泄漏。
基于这个原理，人们通常在时域上直接加窗。
大多数的信号分析仪一般使用矩形窗（rectangular），汉宁（hann），flattop和其他的一些窗函数。
矩形窗函数：w(k)=1汉宁窗：w(k)=0.5*(1-cos(2*pi*k/(N-1))) 0<=k<=N-1由于加窗计算中衰减了原始信号的部分能量，因此对于最后的结果还需要加上修正系数。
在线性谱分析中，一般使用幅度系数（amplitude correction），在功率谱中，一般使用能量系数（energy correction）。
具体请看下以章节。
泄露效应对于简单的信号，比如一个单频率的正弦波，泄露就表现为不在其频率点上仍然会有能量的出现。
离其本身的频率越近的频率，泄露的情况越严重，而离的越远，则情况则会好一些。
信号谱分析——窗函数
实验三、信号的谱分析五、窗函数window1.通过MATLAB的help功能，探究一下window可以支持的窗函数类型。
输入help window，举例出现的函数类型如下：@bartlett - Bartlett window.@barthannwin - Modified Bartlett-Hanning window.@blackman - Blackman window.@blackmanharris - Minimum 4-term Blackman-Harris window.@bohmanwin - Bohman window.@chebwin - Chebyshev window.@flattopwin - Flat Top window.@gausswin - Gaussian window.@hamming - Hamming window.@hann - Hann window.@kaiser - Kaiser window.@nuttallwin - Nuttall defined minimum 4-term Blackman-Harris window. @parzenwin - Parzen (de la Valle-Poussin) window.@rectwin - Rectangular window.@tukeywin - Tukey window.@triang - Triangular window.2.用window产生的各种窗函数（可以设N=128），观察各个窗函数的波形。
N=128;w=window(@bartlett,N);plot(1:N,w)2040608010012014000.10.20.30.40.50.60.70.80.91w1=window(@barthannwin,N); plot(1:N,w1)2040608010012014000.10.20.30.40.50.60.70.80.91barthannwinw2=window(@blackman,N); plot(1:N,w2)2040608010012014000.10.20.30.40.50.60.70.80.91w3=window(@chebwin,N); plot(1:N,w3)2040608010012014000.10.20.30.40.50.60.70.80.91chebwinw4=window(@gausswin,N); plot(1:N,w4)2040608010012014000.10.20.30.40.50.60.70.80.91w5=window(@hamming,N); plot(1:N,w5)2040608010012014000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hamming3.计算并分析各个窗函数的谱，观测其谱形状的特点。
2.8数学探究活动(二)探究三次函数性质课件高二下学期数学北师大版选择性
必修第二册
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中阶段一种重要的函数,同时又是高考
的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律性,下面用导数工具探求其图
象及性质.
一、三次函数图象和性质
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),导数f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),
数知识的关系,使学生既学到了新知识,又巩固了旧知识,为更有效解决三
次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决
办法.
3.上述例题均以三次函数为背景,主要考查导数在研究函数的单调性、极
值、最值中的应用,意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决
问题的能力.
∴m的取值范围是[-22,+∞).
规律方法
1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类
题型:(1)已知函数解析式求单调性问题;(2)已知函数解析式求极值问题;(3)
已知含参数的函数解析式的极值问题求参数;(4)已知含参数的函数解析式
的单调性问题求参数.
2.通过上述例题研究了三次(高次)函数的性质,同时验证了高ax2-(a2-4),
∵当x=1时,函数f(x)有极大值,∴f'(1)=3a-(a2-4)=0,解得a=4,或a=-1.
若a=4,f'(x)=12x2-12=12(x+1)(x-1),
可得当-1<x<1时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,此时函数
2
-∞,- 3
2
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本科学生实验报告学号***************姓名***************学院物电学院专业、班级***************实验课程名称数字信号分析与处理教师及职称***************开课学期2015 至2016学年下学期填报时间2016 年 3 月25 日云南师范大学教务处编印一、验设计方案实验序号实验三实验名称窗函数的特性分析实验时间2016/3/25 实验室同析楼三栋313实验室1．实验目的分析各种窗函数的时域和频域特性，灵活应用窗函数分析信号频谱和设计FIR数字滤波器。
2． 实验原理、实验流程或装置示意图在确定信号谱分析、随机信号功率谱估计以及FIR 数字滤波器设计中，窗函数的选择对频谱分析和滤波器设计都起着重要的作用。
在确定信号谱分析和随机信号功率谱估计中，截短无穷长的序列会造成频率泄露，影响频率普分析的精确度和质量。
合理选取窗函数的类型，可以改善泄露现象。
在FIR 数字滤波器设计中，截短无穷长的系统单位脉冲序列会造成FIR 滤波器的幅度特性产生波动，且出出现过渡带。
【例1.3.1】 写出分析长度N=51点矩形窗的时域波行和频谱的MATLAB 程序。
[解] N=51;w=boxcar(N); W=fft(w,256); subplot(2,1,1); stem([0:N-1],w); subplot(2,1,2);plot([-128:127],abs(fftshift(W))); 运算结果如图1.3.1所示510152025303540455000.20.40.60.81-150-100-500501001500204060图1.3.1 矩形窗的时域波形和频谱3．实验设备及材料计算机，MATLAB 软件4．实验方法步骤及注意事项注意事项：（1）在使用MATLAB 时应注意中英输入法的切换，在中文输入法输入程序时得到的程序是错误的；（2）MATLAB中两个信号相乘表示为x.*u,中间有个‘.’，同样两个信号相除也是如此；（3）使用MATLAB编写程序时，应新建一个m文件，而不是直接在Comandante窗口下编写程序；（4）在使用ＭＡＴＬＡＢ编程时，应该养成良好的编写习惯。
5．实验数据处理方法图像法6．参考文献《信号分析与处理》《MATLAB数值计算与方法》二、报告1．实验现象与结果实验内容1.分析并绘出常用窗函数的时域波形特性。
N=51;w=boxcar(N);subplot(3,1,1);stem([0:N-1],w);title('矩形窗的时域波形')w=hanning(N);subplot(3,1,2);stem([0:N-1],w);title('汉宁窗的时域波形')w=hamming(N);subplot(3,1,3);stem([0:N-1],w);title('汉明窗的时域波形')实验运行结果如图3.10510152025303540455000.51矩形窗的时域波形0510152025303540455000.51汉宁窗的时域波形051015202530354045500.51汉明窗的时域波形图3.1 矩形窗、汉宁窗及汉明窗的时域特性波形N=51;w=blackman(N); subplot(3,1,1); stem([0:N-1],w);title('布莱克曼窗的时域波形'); w=bartlett(N); subplot(3,1,2); stem([0:N-1],w);title('Bartlett 窗的时域波形'); beta=2*N;w=Kaiser(N,beta); subplot(3,1,3); stem([0:N-1],w);title('凯泽窗的时域波形'); 实验结果如图3.2所示0510152025303540455000.51布莱克曼窗的时域波形0510152025303540455000.51Bartlett 窗的时域波形051015202530354045500.51凯泽窗的时域波形图3.2 布莱克曼窗、Bartlett 窗、凯泽窗时域特性波形 3. 研究凯泽窗（Kaiser ）的参数选择对其时域和频域的影响。
（1）固定beta=4，分别取N=20,60,110 N=20; beta=4;w=Kaiser(N,beta); subplot(3,2,1); stem([0:N-1],w);title('第3题凯泽窗N=20时域波形'); W=fft(w,256); subplot(3,2,2);plot([-128:127],abs(fftshift(W))); title('第3题凯泽窗N=20频域波形 ') N=60;w=Kaiser(N,beta); subplot(3,2,3); stem([0:N-1],w);title('第三题凯泽窗N=60波形'); W=fft(w,256); subplot(3,2,4);plot([-128:127],abs(fftshift(W))); title('第3题凯泽窗N=60频域波形 '); N=110;subplot(3,2,5); stem([0:N-1],w);title('第三题凯泽窗N=110波形'); W=fft(w,256); subplot(3,2,6);plot([-128:127],abs(fftshift(W))); title('第3题凯泽窗N=110频域波形 ') 实验结果如图3.3510152000.51第3题凯泽窗N=20时域波形-200-100100200051015第3题凯泽窗N=20频域波形02040600.51第三题凯泽窗N=60波形-200-100010020002040第3题凯泽窗N=60频域波形0501001500.51第三题凯泽窗N=110波形-200-1000100200050100第3题凯泽窗N=110频域波形图3.3 N 取不同值的时的时域和频域波形 （2）固定N=60，分别取beta=1,5,11.N=60 beta=1;w=Kaiser(N,beta); subplot(3,2,1); stem([0:N-1],w);title('第3题凯泽窗beta=1时域波形'); W=fft(w,256); subplot(3,2,2);plot([-128:127],abs(fftshift(W))); title('第3题凯泽窗beta=1频域波形 ') beta=5;subplot(3,2,3); stem([0:N-1],w);title('第三题凯泽窗beta=5波形'); W=fft(w,256); subplot(3,2,4);plot([-128:127],abs(fftshift(W)));title('第3题凯泽窗beta=5频域波形 '); beta=11;w=Kaiser(N,beta); subplot(3,2,5); stem([0:N-1],w);title('第三题凯泽窗beta=11波形'); W=fft(w,256); subplot(3,2,6);plot([-128:127],abs(fftshift(W)));title('第3题凯泽窗beta=11频域波形 '); 实验运行结果如图3.420406000.51第3题凯泽窗beta=1时域波形-200-1000100200050100第3题凯泽窗beta=1频域波形 020406000.51第三题凯泽窗beta=5波形-200-100010020002040第3题凯泽窗beta=5频域波形 020406000.51第三题凯泽窗beta=11波形-200-10010020002040第3题凯泽窗beta=11频域波形图3.4 beta 取不同值的时的时域和频域波形4.某序列为[]⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k k k x 209cos 2011cos 5.0ππ，使用fft 函数分析其频谱。
（1）利用不同宽度的N 的矩形窗截短该序列，N 分别为20,40,160，观察不同长度N 的窗对谱分析结果的影响。
实验matlab 程序代码N=20; k=0:N-1;w=0.5*cos((11*pi*k)/N)+cos((9*pi*k)/N); W=fft(w,256); subplot(3,1,1);plot([-128:127],abs(fftshift(W))); title('第4题 x[k]N=20频谱 ') subplot(3,1,2); N=40; k=0:N-1;w=0.5*cos((11*pi*k)/N)+cos((9*pi*k)/N); W=fft(w,256);plot([-128:127],abs(fftshift(W))); title('第4题 x[k]N=40频谱 ') subplot(3,1,3); N=160; k=0:N-1;w=0.5*cos((11*pi*k)/N)+cos((9*pi*k)/N); W=fft(w,256);plot([-128:127],abs(fftshift(W))); title('第4题 x[k]N=160频谱 ') 实验运行结果如图3.5-150-100-5050100150051015第4题 x[k]N=20频谱-150-100-50501001500102030第4题 x[k]N=40频谱-150-100-50050100150050100第4题 x[k]N=160频谱图3.5 不同宽度N 的矩形窗对谱分析结果影响（2）利用汉明窗重做（1）。
实验程序代码N=20; k=0:N-1;w=0.5*cos(((11*pi*k)/N)+cos((9*pi*k)/N)).*(0.54-0.46.*cos(2*pi.*k/(N-1))); W=fft(w,256); subplot(3,1,1);plot([-128:127],abs(fftshift(W)),'r'); title('第4题 第二问x[k]N=20频谱 ') subplot(3,1,2); N=40; k=0:N-1;w=0.5*cos(((11*pi*k)/N)+cos((9*pi*k)/N)).*(0.54-0.46.*cos(2*pi.*k/(N-1))); W=fft(w,256);plot([-128:127],abs(fftshift(W)),'r'); title('第4题 第二问x[k]N=40频谱 ') subplot(3,1,3); N=160; k=0:N-1;w=0.5*cos(((11*pi*k)/N)+cos((9*pi*k)/N)).*(0.54-0.46.*cos(2*pi.*k/(N-1))); W=fft(w,256);plot([-128:127],abs(fftshift(W)),'r');title('第4题 第二问x[k]N=160频谱 ')实验运行结果如图3.6-150-100-50050100150012第4题 第二问x[k]N=20频谱-150-100-500501001500246第4题 第二问x[k]N=40频谱-150-100-5005010015001020第4题 第二问x[k]N=160频谱图3.6 不同宽度N 的汉明窗对谱分析结果影响3．实验总结由实验结果可以看出矩形窗波形为方形，汉宁窗，汉明窗，布莱克曼窗，凯泽窗波形为正弦波形，Bartlett窗波形为三角形矩形窗，汉宁窗，汉明窗，布莱克曼窗，Bartlett窗的波形固定，一旦选择了某种窗函数，用它进行谱分析得到的频谱纹波或设计出的滤波器的阻带衰减是确定的。