高等数学理工类考研真题

1...sin 12lim1.4/1/0+++→x xe e xx x 求=+∞-∞+=-∞→,0)(lim ,),()(2.a x f e a xx f x bx、则常数且内连续在设函数00数一考研题⎩⎨⎧>≤=1(B)0(A)).()]}([{,1,0,1,1)(3.x f f f x x x f 等于则设01数二考研题b 满足00数二考研题).(<≥>≤>><<0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(b a D b a C b a B b a A [];;.;;;考研真题一.,}{),,2,1()3(,307.).(,00,,0,2arcsin 1)(6.112tan 并求此极限的极限存证明数列设则处连续在设函数n n n n x xx n x x x x a x x ae x xe xf Λ=-=<<==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=+02数二考研题02数二考研题8.,lim ,1lim ,0lim }{},{},{9.则必有均为非负数列设n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→===且,03数一考研题)(.(D)(C)(B)(A);成立对任意n n n b a <;成立对任意n n n c b <;lim 不存在极限n n n c a ∞→.lim 不存在极限n n n c b ∞→._____sin 1)1(,0412=--→a x x ax x 是等价无穷小与时若则,03数二考研题.4)(3)(2)(1)(,)1(sin ,sin )1ln )cos 1(,05.213lim4.2212等于则正整数高阶的无穷小是比而高阶的无穷小是比时设当x n n x D C B A n e x x x x x x x x x xx -+-→=-++--→(01数二考研题01数二考研题;;;在__________.∞>≤>≤.1,11,0(D)1,01,1(C)x x ⎩⎨⎧x x ⎩⎨⎧;2..._________)(,1)1(lim)(10.2=+-=∞→x x f nx x n x f n 的间断点为则设04数二考研题12.设函数,11)(1-=-x xe xf 则( ).(A)1,0==x x 都是)(x f 的第一类间断点;(B)1,0==x x 都是)(x f 的第二类间断点;(C)0=x 是)(x f 的第一类间断点,1=x 是)(x f 的第二类间断点;(D)0=x 是)(x f 的第二类间断点,1=x 是)(x f 的第一类间断点.05数二考研题11.当0→x 时, 2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无, 则.________=k 穷小05数二考研题13.=-+→xx x x cos 1)1ln (lim.06数一、二考研题3..考研真题二)3)0(0)1ln )(2.)(,2)(1.)(20≥=+==+===n f n x x x x f d yy x x y y n x xy阶导数处的在求则所确定由方程设函数填空.((.00数二考研题00数二考研题0,5)(3.的某个邻域内满足关系式它在的连续函数是周期为已知=x x f )(8)sin 1(3)sin 1(α+=--+x x x f x f ,:0)(,0)0(5.)()1,0()(,1)cos )(4..)6(,6()(,1)(,0)(,2可导的充要条件为在点则设处的法线方程为在点则曲线所确定由方程设函数填空处的切线方程在点求曲线处可导在且高阶的无穷小时比是当其中α===-=-===→+(D)(C)(B)(A)x x f f x f y e xy e x f y f x f y x x f x x x y x )(.;cos 1(1lim2存在-→f h h h );sin (1lim 20存在-→h f h h h );)1(1lim 0存在-→e f hh h .)()2([1lim存在-→h f h f hh ]00数二考研题01数二考研题01数一考研题)()1(,1.0,1.01)(,)(7.).()0(,016)(6.22则的线性主部为相应的函数增量时处取得增量在当自变量可导设函数则所确定由方程设函数填空='∆-=∆-===''=-++=(D)(C)(B)(A)f y x x x x f y u f y x xy e x y y y .02数一考研题02数二考研题;1-;1.0;1.5.06,cos 18.求该曲线上对应于已知曲线的极坐标方程是πθθ=-=r 处的.切线与法线的直角坐标方程02数二考研题03数二考研题.______________)1,1()(,ln 2)(9.4处的切线方程是在点则曲线所确定由方程设函数x f y y x xy x f y ==+=.________1ln 10.垂直的切线方程为与直线曲线=+=y x x y 04数一考研题.),2()(),4()(,]2,0[,),()(11.2为常数其中都满足若对任意的上在区间上有定义在设函数+=-=+∞-∞k x kf x f x x x x f x f 04数二考研题;)0,2[)((1)上的表达式在写出-x f 4...0)(,(2)处可导在为何值时问=x x f k 13.设,)sin 1(x x y +=则.__________|==πx d y 05数二考研题14.设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)1ln(22t y tt x 确定, 则曲线)(x y y =在3=x 处的法线与x 轴交点的横坐标是( ).(A)32ln 81+;32ln 81+-;32ln 8+-;32ln 8+.(B)(C)(D)05数二考研题12.设函数,||1lim )(3nn n x x f +=∞→则)(x f 在),(+∞-∞内(A) 处处可导;恰有一个不可导点;(C)恰有两个不可导点;至少有三个不可导点.( ).(B)(D)05数一、二考研题15.设函数)(x y y =由方程y xe y -=1确定则,0=x d xd y =.16.设函数)(x g 可微2,1(1),)()(1='='=+g h e x h x g 则(1),,g 等于(1)).((A)13ln -;(B)13ln --;(C)12ln --(D)12ln -.;06数二考研题06数二考研题5..考研真题三时有且是恒大于零的可导函数设b x a x g x f x g x f x g x f <<<'-',0)()()()(,)(),(3.);()()()(x g a f a g x f (B)>);()()()(x g b f b g x f (A)>00数二考研题填空x xx x =+-→.)21ln(arctan lim1.3000数二考研题⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽填空2.曲线的斜渐近线方程为.⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽)(x y=-21e 1/x00数二考研题则当出其类型求该函数的间断点并指记此极限为求极限.),(,sin sin lim8.sin sin -→x f x txt xx t 01数二考研题)(,1)1()1(,)(,)1,1()(6.)3()1(5.22(A)f f x f x f x x y ='='+---=则且严格单调减内有二阶导数在区间已知函数的拐点个数为曲线δδ;0(A);1(B);2(C).3(D);)()1,1()1,1(x x f <+-内均有和在δδ01数二考研题01数二考研题).((D)(C)(B);)()1,1()1,1(x x f >+-内均有和在δδ;)(,)1,1(,)(,)1,1(x x f x x f >+<-内在内在δδ.)(,)1,1(,)(,)1,1(x x f x x f <+>-内在内在δδ[]成立使存在唯一的内的任一对试证内具二阶连续导数且在设.2/1)(lim (2);)()0()(),1,0()(,0)1,1((1):,0)()1,1()(7.0='+=∈≠-≠''-=→x x x f x f x f x x x f x f y x θθθ01数一考研题).3)(0(0)1ln()(4.)(2n f n x x x x f n ≥=+=阶导数处的在求);()()()(b g b f x g x f (C)>).()()()(a g a f x g x f (D)>00数二考研题少则内具界且可导在设函数,),0()(9.+∞=x f y ;0)(lim ,0)(lim ='=+∞→+∞→x f x f (A)x x 必有时当02数一考研题( ).6...1ln ln 2,011..,,0)0()2()(,0)0(,0)0(0)(10..0)(lim ,)(lim ;0)(lim ,0)(lim ;0)(lim ,)(lim 220<--<+<<→-+≠'≠=='='=='='++++→→→→+∞→+∞→aba b a b b a a b a b a h h f h bf h af f f x x f x f x f (D)x f x f (C)x f x f (B)x x x x x x 证明不等式设试确定高阶的无穷小时是比在若的某个邻域内具有一阶连续导数且在设函数必有存在时当必有时当必有存在时当02数一考研题02数二考研题的值'0)(),()1(>x f b a 内在;;)(2)(,),()2(22⎰=-baf dxx f a b b a ξξξ使内存在点在)2(),()3(b a ηξ使相异的点中内存在与在)(),()(13两个极小值点和一个极大值点一个极小值点和两个极大值点有则内连续在设函数(B)(A)x f x f +-.∞其导,,∞)(03数一考研题数的图形如图所示.2高阶的无穷小是比h 02数二考研题;;三个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点(D)(C)14.03数一考研题;..______=lim 0→x cos x )(ln()1x 2+1Oxy.ln 4ln 44的交点个数与讨论曲线x x y k x y +=+=15.,),(,],[)(b a b a x f 且在开区间上连续在闭区间设函数16.内可导03数二考研题03数二考研题,)2(lim .0)('-->+→ax ax a x f x f 证明：存在若极限,0)0(,0)(12.≠=f x x f 且的某邻域内具有二阶连续导数在设函数)0()3()2()(,0,,,.0)0(,0)0(321321时使得当证明存在唯一的一组实数f h f h f h f h f f -++→≠''≠'λλλλλλ7..).0()()0,((D));0()(),0((C);)0,()((B);),0()((A)( ).,0,0)0(,)(17.f x f x f x f x x f x f f x f >-∈>∈->>'有对任意的有对任意的内单调减少在内单调增加在使得则存在且连续设函数δδδδδ04数一、二考研题).(4ln ln ,18.2222a b e a b e b a e ->-<<<证明设04数一、二考研题.)(2))(('22⎰-=-badx x f a a b f ξξη;)(,)(0;)()0,0(,)(0的拐点是曲线但的极值点不是的拐点不是曲线但的极值点是x f y x f x x f y x f x ====(B)(A))0,0(0;)()0,0(,)(0不是的拐点是曲线且的极值点是x x f y x f x ===(D)(C),)(的极值点x f .)()0,0(的拐点也不是曲线x f y =.13cos 21lim21.30-+→xx x x 求极限()[]04数二考研题._________)(,1313)(19.23取值范围为向上则曲线确定由参数方程设函数x x y y t t y t t x x y =⎩⎨⎧+-=++=04数二考研题|,)1(|)(20.则设x x x f -=( ).04数二考研题凸的22.曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为_________.05数一考研题24.曲线xx y 2/3)1(+=的斜渐近线方程为__________.05数二考研题23.已知函数)(x f 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且.1(1),0)0(==f f 证明:(1) 存在),1,0(∈ξ使得;1)(ξξ-=f (2) 存在两个不同的点),1,0(,∈ζη使得.1)()(=''ζηf f 05数一、二考研题25. 设函数)(x f y 具有二阶导数,且0)(,0)(>''>'x f x f ,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与d y 分别为)(x f 在点0x 处对应的增量与微分,若0>∆x ,则(A)y d x ∆<<0;(B)d y y <∆<0;( ).=06数一考研题(C)0<∆d y y ;(D)0<∆<y d y .<8..26. 设数列}{n x 满足),2,1(sin ,011K ==<<+n x x x n n π(1)证明1lim +n x 存在, 并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→.27. 曲线xx xx y cos 25sin 4-+=的水平渐近线方程为.28.证明:当π<<<b a 0时,a a a a Bb b b ππ++>++cos 2sin cos 2sin .06数一、二考研题06数一、二考研题06二考研题9..,)()(lim ,1)(lim ,0)(,),0()(13.?,873,.0,,12..1)12(11..arctan :10..)(,)1ln()(ln 9.1100222e x f hx x f x f x f x f r K S x x d xd xe e d x xf xx x f x hh x xx且满足内可导在已知函数问雪堆全部融化需要多少小时小时内融化了其体积的堆在开始融化的的雪已知半径为假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状例常数比成正比其体积融化的速率与半球面面积一个半球体状的雪堆求求不定积分计算设=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=>+∞>+++=→+∞→00数二考研题01数一考研题01数二考研题01数二考研题02数二考研题[]:7.:6.:5.:4..)(,ln )(,2ln )1(3.:2.222d x x x x f x x x f =-=-计算不定积分计算不定积分计算不定积分计算不定积分求且设计算不定积分ϕϕ.x ..d x .d x 94数一考研题95数二考研题96数二考研题96数二考研题97数二考研题98数二考研题考研真题四:1.计算不定积分.32d x e x x 94数二考研题.:8.计算不定积分.d x 99数二考研题10..).(x f 求+.)1(23/2arctan d x x xe x计算不定积分14.03数二考研题.________)(,0)1(,)(15.==='-x f f xe e f x x 则且已知04数一考研题16.求x .06数二考研题11..考研真题五2.1.填空填空2)7(2=-+∞+x x d x⎽⎽⎽⎽⎽⎽.2210=-d x x x ⎽⎽⎽⎽⎽⎽.00数一考研题00数二考研题,,0)(3.x f π且上连续在设函数,0)(0=d x x f π,0cos )(0=x d x x f π,)().0(:10,10),(4..0)()(,,),0(2121l D t S t t y x l y x y x D xOy f f 试求左下方部分的面积位于直线表示正方形若及直线平面上有正方形设使内至少存在两个不同的点试证在≥=+≤≤≤≤===ξξξξπ).0()(0x d t t S x ≥00数一考研题00数二考研题[]{});1(2)(2,)1((1),cos )(5.0n x S n n x n n d t t x S x 证时为正整数且当设函数+<≤+<≤=ππ./)(lim (2)x x S x 求+∞→00数二考研题cos )sin (6.22322x d x x x 填空=+-ππ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.01数二考研题).(.)().(,0)0(,,0)(7.2)(0x f e x d t t g x g f x f x x f 求若且其反函数为上可导在设函数==+∞;)((1),0)0(,)0(,)(8.=>-x f f a a a x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式写出上有二阶连续导数在区间设01数二考研题01数二考研题[)[]ln 9.2=∞+xx d xe填空⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.02数一考研题.)(3)(,,(2)3=''--d x x f f a a a a a使上至少存在一点证明在ηη[]cos 12cos1cos 11lim 10.=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n 填空πππΛ02数二考研题⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.12..(D)(C),)(11.(B)(A)x f 则下列函数中必为偶函数的是连续设函数;)(20d t t f x ;)(20d t t f x02数二考研题;)()(0--d t t f t f t x [].)()(0-+d t t f t f t x [].2lim ,,)0,0()(12.2arctan 0==∞→-n nf e y x f y n t x并求极限写出此切线方程处的切线相同在点与已知两曲线02数一考研题.)()(,1001,)1/(,2/32)(13.122的表达式求函数已知函数d tt f x F x x e xe x x x f x x x -=⎩⎨⎧≤≤<≤-++=02数二考研题,tan,tan 4021(D)(C)(B)(A)d x xxI d x x xI ==则设π15.)(.;21I I >>;21I I >>.12I I >>12I I >>03数二考研题11;11d t .)(e e e e na d x x a n n n n n n n ( ).1)11)1;1)11)1lim ,114.123/111-+++-++++=--∞→+-则极限设x ;;((((.=23/23/23/A)(C)(B)(D)(.)1(,21)(922ln 2112=+>⎪⎩⎪⎨⎧=+==x t u d x y d t d u u e y t x x y y 所确定由参数方程设函数16.求,03数二考研题( )..,,(D);,,(C);,,(B);,,(A)αγβγαββγαγβα04数一、二考研题( ).,,,tan ,cos 017.3022γβαd tt d t t d t t x x x 则正确的排列次序是使排在后面的是前一个的高阶无穷小排列起来时的无穷小量把==→+13..23.._________1)2(1022=--x x x d x 05数二考研题22.如图, 曲线C 的方程为),(x f y =点(3,2)是它的一个拐点, 直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线, 其交点为(2,4). 设函数)(x f 具有三阶连续导数, 计算积分.)()(302'''+d x x f x x 05数一、二考研题12341234OC l 1l 2y f (x )=y x24.设函数)(x f 连续, 且,0)0(≠f 求极限05数二考研题.)1(ln ;)1ln(2;ln 2;ln ( ).12111lnlim 18.2122121212222+++++∞→d x x d x x x d x x d x nn nnnn 等于Λ)()()(04数二考研题(D)(C)(B)(A).)()(;)()(,|sin |)(19.2的值域求为周期的周期函数是以证明设x f x f d t t x f x xII I =+ππ04数二考研题.__________120.12=-+∞x x d x 04数二考研题21.设)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数,”“N M ⇔表示M 必要条件是N ,则必有( ).(A))(x F 是偶函数)(x f ⇔是奇函数;(B))(x F 是奇函数)(x f ⇔是偶函数;(C))(x F 是周期函数)(x f ⇔是周期函数;(D))(x F 是单调函数)(x f ⇔是单调函数.”“05数一、二考研题的充分14...)(lim-→x d tt x f x 25.设函数⎪⎩=≠=0,0,sin )(2x a x d t t A x f 在0=x 处连续则,a =.26.广义积分=+∞+022)1(x x d x.27.设)(x f 是奇函数0=x 外处处连续0=x 除,,是其第一类间断点x d t t f 0)(是则,).((A)连续的奇函数(B)连续的偶函数;;(C)在0=x 间断的奇函数(D)在0=x 间断的偶函数.;28.已知曲线L 的方程为),0(4122≥⎩⎨⎧-=+=t tt y t x (1)讨论L 的凹凸性;(2)过点)1,1(-引L 的切线),,(00y x 求切点,并写出切线的方程;积.(3)求此切线与L 对应于0x x ≤及x 轴所围成的平面图形的面(的部分)06数二考研题06数二考研题06数二考研题06数二考研题15..)(,)0(3.)1((3,)1,1()(,)1),()(2.23/2223轴上方的无界图形的面下方位于曲线填空在直角坐标系下曲率公式为值计算之间的弧长于是该抛物线上介于点处的曲率半径上任一点是抛物线设x x xe y y y K d sd d s d M A x s s x y x M x y x x +<≤='+''=-=≥==-ρρρρρ(.∞.01数二考研题02数二考研题?最大体积是多少?转一周所得的旋转体体积最大00数二考研题积是(),.,,,4.当水面与闸门的上端相平所围成下部由二次抛闸门的上部为矩形为对称轴其中直线某闸门的形状与大小如图所示AB ABCD l 欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承lABCD物线与线段时,.,1)0,0(1.222该图形绕为何值时问围成一平面图形的直线与曲线和过坐标原点交于点与设曲线x a ax y A O A x y x a ax y =-=≥>=轴旋点)考研真题六的.20,,02;02,25.?)(,4:52221其中所围成的平面区域直线是由抛物线所围成的平面区域及和直线是由抛物线设米闸门矩形部分的高a a x y x y D y x a x x y D m h <<=======02数二考研题Oxy22x y =1D 2a2D 受的水压力之比为应为和.?(2);;(1)212211试求此最大值取得最大值为何值时试问轴旋转而成的旋转体的体积绕轴旋转而成的旋转体体积绕试求V V a V y D V x D +02数三考研题多少;(1).ln ,ln A D D x x y x y 的面积求平面图形及该切线与曲线的切线过坐标原点作曲线==6.轴围成03数一考研题16..):(?,(2)?,3(1).)20(表示长度单位米注汽锤至多能将桩打进地下多深若击打次数不限可将桩打进地下多深次后汽锤击打桩问m r r <<.)((1).,),(,21,22)(x f y x PQ Q y y x P x f y 的方程求曲线轴平分被且线段轴的交点为处的法线与其上任一点过点设位于第一象限的曲线==9.03数一考研题03数二考研题)(.)(,],0[sin (2)s x f y l l x y 的表示曲线试用上的弧长为在已知曲线==π弧长.(2)V e x D 直线旋转一周所得旋转体的体积绕求=,,,汽锤每次击打需用汽锤将桩打进土层某建筑工程打地基时8.都将.______20),0(7.的一段弧与极轴所围成的图形的面积为变到从则该曲线上相应于设曲线的极坐标方程为πθρθ>=a e a 03数二考研题,.),0,(根据设计方汽锤第一次击打将桩打进地下比例系数为a m k k >成正比要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打所作的功之比为常数.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度克服土层对桩的阻力而作功案.)()(lim(2);)()((1)).(),(),(,.0)0(,0210.t F t S t V t S t F t x t S t V x y t t x x e e y t xx +∞→-==>==+=计算极限的值求处的底面积为在侧面积为其体积为轴旋转一周得一旋转体该曲边梯形绕围成一曲边梯及与直线曲线04数二考研题形11.如图, 1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象, 过点(0,1)曲线3C 是一单调增函数的图象, 过2C 上任一点),(y x M 分别作垂直于x 轴y 轴的直线x l 和.y l 记21,C C 与x l 所围图形的面积为321,);(C C x S 与y l 的和17..所围图形的面积为).(2y S 如果总有),()(21y S x S =求曲线3C 的方程).(y x ψ=05数二考研题11Oyxl C C C y321l xM x y )(,18...1122112,1,11.都平行且过原点的平面及求与直线z y x t z t y x +=+=⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==考研真题七87数一考研题,11122:,130211:3..1,43,2:)1,2,1(2.21已知两条直线方程垂直的平面方程且与直线求过点zy x L z y x L t z t y t x L M =-=+--=-=-⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=-90数一考研题.(2);012:11111:(1)7..,824),2,3,6(6..00轴旋转一周而成的曲面方程绕直线的方程上的投影在平面直线求此平面方程垂直且与平面设一平面经过原点及点位置关系y L L z y x z y x L z y x =-+-∏-+==-=+--求直线96数一考研题98数一考研题0224:031020123:5.).()]()[(,2)(4.与平面试确定直线求设z y x z y x z y x L a c c b b a c b a =-+-∏⎩⎨⎧=+--=++++⋅+⨯+=⋅⨯95数一考研题95数一考研题.21的平面方程且平行于求过L L 91数一考研题的方程8.点012(到平面0543=++z y x 的距离z =.),,06数一考研题19...,,,,1.2yx z g f x y g y x xy f z ∂∂∂+=求具有二阶连具有二阶连续偏导数其中设续导数00数一考研题()(),1)0,0(,3)0,0(,)0,0(),(2.则且的附近有定义在点设函数选择(A)f f y x f y x ='=';3)0,0(d y d x d z+=01数一考研题.)(),(,()(,3,2,1)1,1(,)1,1(),(3.13)1,1()1,1(求且处可微在点设函数x d xd x x f x f x yf xf f y x f z (D)(C)(B)x ==∂∂=∂∂===ϕϕ}1,1,3{)0,0(,0,0(),(的法向量为在点曲面f y x f z =);}3,0,1{0),(的切向量为在点曲线y y x f z ⎩⎨⎧==)0,0(,0,0(f );}1,0,3{0),(的切向量为在点曲线y y x f z ⎩⎨⎧==)0,0(,0,0(f ).).01数一考研题:4),(4.条性质的下面考虑二元函数选择y x f 02数一考研题( ).①;),(),(00处连续在点y x y x f ④③②;),(),(00处的两个偏导数连续在点y x y x f ;),(),(00处可微在点y x y x f ),(),(00处的两个偏导数存在.在点y x y x f 考研真题八.75),(}75),({,,5.2222小山的高度函数为其底部所占的区坐标面取它的底面所在的平面为设有一小山xy y x y x h xy y x y x D xOy +--=≤-+=,.;;;,④①③①④③①②③①③②则有推出性质表示可由性质若用(D)(C)(B)(A)Q P Q P ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒( ).域为20...,),((1)75,,,(2);),(),(?),(,),((1)22000000试确定攀登起点的位置达到最大值的点中的上找出使的边界线要在也就是说为此需要在山脚寻找一上山坡度最大现欲利用此小山开展攀登活动的试写出的方向导数最大在该点沿平面上什么方向问上一点为区域设y x g xy y x D y x g y x g y x h D y x M =-+,的点作为攀登的起点若记此方向导数的最大值为02数一考研题____.0426.22平行的切平面的方程是与平面曲面=-++=z y x y x z ,)0,0(),(7.且的某个领域内连续在点已知函数y x f 03数一考研题03数一考研题.),()0,0(;),()0,0(;),()0,0(;),()0,0(,1)(),(lim2220的极值点是否为根据所给条件无法判断点的极小值点是点的极大值点是点的极值点不是点则y x f (D)y x f (C)y x f (B)y x f (A)y x xyy x f y x =+-→→( )..),(,0182106),(8.222的极值点和极值求确定的函数是由设y x z z z yz y xy x y x z z ==+--+-=04数一考研题__________.3,2),(9.32=∂∂+∂∂+==-yz x z y e z y x z z z x 则确定由方程设函数04数二考研题,),,(10.22f e y x f z xy -=求具有连续二阶偏导数其中设表达式.,,2yx z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂04数二考研题11.设函数,181261),,(222z y x z y x u +++=单位向量},1,1,1{31=n 则.______)3,2,1(=∂∂nu 05数一考研题21..12.设有三元方程,1ln =+-xz e y z xy 根据隐函数存在定理, 存在点的一个邻域, 在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数),(y x z z =;(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z x y y =和),(y x z z =;(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(y x z z =;(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(z x y y =;1)( ).05数一考研题14.已知),(y x f z =的全微分,22y d y x d x d z -=并且.2)1,1(=f 求(f ),y x 在椭圆域}14|),{22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.(05数二考研题13.设函数,)()()(),(+-+-++=y x yx d t t y x y x y x u ψϕϕ其中函数ϕ二阶导数, ψ具有一阶导数, 则必有( ).(A)2222y u x u ∂∂-=∂∂;2222y u x u ∂∂=∂∂;222y uy x u ∂∂=∂∂∂;222x uy x u ∂∂=∂∂∂.具有(B)(C)(D)05数一、二考研题(0,1,(D)若0),(00≠'y x f x 则0),(00≠'y x f y .,(C)若0),(00≠'y x f x 则0),(00='y x f y ;,(B)若0),(00='y x f x 则0),(00≠'y x f y ;,(A)若0),(00='y x f x 则0),(00='y x f x ;,下列选项正确的是( ).,),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点15.设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数0),(≠'y x y ϕ. 已知且,06数一、二考研题22..考研真题九}10,10),({,2..)0(,,1.),max 0022≤≤≤≤=>y x y x D d x d y e k P P R Dy x 其中计算求球体的重心位比例常数距离的平方成正比一点的密度与该点到是此球体的表面上的一个定点的球体设有一半径为球体上任00数一考研题(.02数一考研题,)(x f 连续且恒大于零设函数3.置},|),{()(},|),,{()(,)()()()()(22222222)(22222t y x y x t D t z y x z y x t d xx f d y x f t G d vz y x f t F t tt D σ≤+=≤++=Ω+=++=-其中;),0()((1)t F +内的单调性在区间讨论∞).(2)(,0(2)t G t F t π>>时证明当03数一考研题.0(D));2((C));2((B));2(2(A)( ).)2(,)()(,)(4.1ff f Fd x x f d y t F x f t yt -'=等于则为连续函数设04数一考研题.)cos sin (;)cos sin (;)(2;)(( ).)(},2|),{(,)(5.sin 2020sin 2020201122-≤+=θπθπθθθθθθr d r r f d d r r f d d x xy f d d y xy f d d x d yxy f y y x y x D u f D等于则区域连续设函数⎰⎰(D)(C)(B)(A)04数二考研题6.设]1[},0,0,2|),{(2222y x y x y x y x D ++≥≥≤+=表示不超过1+22y x +的最大整数. 计算二重积分.]1[22++d x d y y x xy D05数一考研题23..7.设区域)(},0,0,4|),{(22x f y x y x y x D ≥≥≤+=为D 函数上的正值连续函数,b a ,为常数, 则=σd ( ).(A)πab ;π2ab ;π)(b a +;π2b a +.(D)(C)(B)上的正值连续05数二考研题8.计算二重积分,|1|22-+d y x σ其中}.10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D D05数二考研题10.设区域D }0,1),{(22≥≤+x y x y x ,计算二重积分=x d y I.9.设),(y x f 为连续函数)sin ,cos (θθθr d r r r f 等于则,( ).(B)),(d y y x ;),(d y y x ;(C)),(d x y x .),(d x y x ;106数一、 二考研题06数一、 二考研题24..考研真题十;4;4;4;4( ).,)0(:2.)()2,2,1(21321.122222221111则有在第一卦限中的部分为设的法线方程为在点曲面xyz d S xyz d S (D)x d S z d S (C)x d S ydS (B)x d S x d S (A)S S z az y x S z y x S SS SS====≥=++-=++.00数一考研题,00数一考研题,)0,1(,43.22为中心是以点其中计算曲线积分R L y x y d xx d y I +-=为半.)1(取逆时针方向径的圆周R >00数一考研题,0)()(2z d z d y e d z d x x xyf d y d z x xf x =--,05.)()(,4.)2,2,1(222都有内任意的光滑有向封闭曲面设对于半空间则设S x grad div z y x r >=++=-r .00数一考研题01数一考研题?130)9.0(),()()(2)(,,)()(.7.22的雪堆全部融化需多少小时问高度为比例系数已知体积减少的速度与侧面积成正比时间单位为小时设长度单位为其侧面满足方程在融化过程中的雪堆为时间设有一高度为cm cm t h y x t h z t t h +-=,,01数一考研题.,,12为逆时针方向轴正向看去从的交线与柱面L z y x z y x =+=++01数一考研题,)3()2()(.6.222222是平其中计算L d z y x d y x z d x z y I -+-+-=)(,1)(lim ,),0()(0求且内具有连续的一阶导数在其中函数x f x f x f x =+∞+→.面]1)([)](1[1),(),(,)0(,),()(.8.222记终点为其起点为内的有向分段光滑曲线是上半平面内具有一阶连续导数在设函数d y xy f y yxd x xy f y y I d c b a y L x f L-++=>+-∞∞,,02数一考研题25...,(2);(1)的值求时当无关与路径证明曲线积分I cd ab L I =.},0,0|),{(ππ≤≤≤≤=D L y x y x D 试证：的正向边界为已知平面区域.9.03数一考研题.2(2)(1)2sin sin sin sin sin sin π≥--=----x y x y x y d x ye d y xe d x ye d y xe d x ye d y xe ;._____________2,210.22的值为则曲线积分在第一象限中的部分为正向圆周设-=+Ly d x x d y y x L 04数一考研题,)1(32211.233计算曲面积分-++=∑d x d y z d z d x y d y d z x I 04数一考研题.)0(122的上侧是曲面其中≥--=∑z y x z 12.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区14.设∑是锥面)10(22≤≤+=z y x z 的下侧则,∑=-++d x d y z y d z d x x d y d z )1(32.15.设在上半平面D =}0),{(>y y x 内),(y x f 具有连续的偏导函数,06数一考研题域,∑是Ω的整个边界的外侧, 则._______=++∑z d x d y y d z d x x d y d z 05数一考研题13.设函数)(y ϕ具有连续导数, 在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线(1)证明: 对右半平面0>x内的任意分段光滑简单闭曲线C , 有(2) 求函数)(y ϕ的表达式.L 上, ++y x xy d yd x y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.++y x xy d yd x y 4222)(ϕ;0=05数一考研题26..0>t 都有).,(),(2y x f t xy tx f -=数且对任意的,证明对滑的有向简单闭曲线都有:D L ,yf 0-=06数一考研题(x , y )d x xf (x , y )d y .内的任意分段光27..考研真题十一,.1.n u 则必收敛的级数为收敛设级数00数一考研题(D)(C)(B)(A);)1(-nnn u ;2nu .)(1u u n n ++;)(212u u n n +-.,)2(31.2.并讨论该区间端点处的收敛性的收敛区间求幂级数n x nnn -+01数一考研题.41)1(,)(,,10,arctan 1)(.3.22的和并的幂级数展开成试将设nx x f x x x x x x f n--=≠+=00数一考研题求级数.;;;11)1(,1lim ),,3,2,1(0.4.11不能判定条件收敛绝对收敛发散则级数且设(D)(C)(B)(A)u u u nn u n n n nn n ++∞→+-==≠Λ02数一考研题1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n {().______,)(cos 5.22=≤≤-=a x nxa x n 则设ππ.12)1(,2121arctan )(的和并求级数的幂极数展开成将函数+-+-=n n x x xx f lim ,17.11+=∞→+-na d x x x a n n n n n n n 等于则极限设.03数一考研题6..)(.03数一考研题03数二考研题∑∞=n 0∑∞=n (D)(C)(B)(A);1)1(23++e ;1)1(231-+-e ;1)1(231++-e .1)1(23-+e ( )..8.n a 下列结论中正确的是为正项级数设1∑∞=n 04数一考研题28...lim ,,(D);0lim ,(C);,lim ,(B);,0min (A)2λλλλ====∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n nn n na a a n a a na a na 使得则存在非零常数发散若级数则收敛若级数发散则级数使得若存在非零常数收敛则级数若1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n 1∑∞=n .,1,.,019.收敛级数时并证明当证明方程存在惟一实根为正整数其中设有方程>=-+n n n x x n nx x αα1∑∞=n 04数一考研题10.求幂级数-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-21)12(11)1(nn x n n 的收敛区间与和函数).(x f ∑∞=1n 05数一考研题11.若级数n a 收敛( )则级数,(A)收敛;(B)收敛;n a ∞=1n ∑-)1(n n a ∞=1n ∑(C)收敛;(D)++12n n a a 收敛.n a ∞=1n ∑1+n a ∞=1n ∑∞=1n ∑12.将22x x x-+展成为x 的幂级数.)(x f =06数一考研题06数一考研题29..考研真题十二.)())0(,0(,)()0()(;)())0(,0()(;)()0()(;)()0()(( ).,0)0(,)()()(3.).?,.,2000,.,51999.3,6,2.000的拐点也不是曲线点的极值不是的拐点是曲线点极小值是极大值是则且满足方程设函数的浓度是均匀的设湖水中以内湖泊中污染物问至多需要经过多少年污水的浓度不超过限定排入年初起从为了治理污染超过国家规定指标的含量为年底湖中已知的水量为流的污水量为每年排入湖泊内含污染物某湖泊的水量为x f y f x f f D x f y f C x f f B x f f A f x x f x f x f A m A V m A m A V A V A V ==='='+''入湖泊内不含(,0)0(),(2)(),()()(),(7.___.11arcsin )0,21(6..____________,),)cos sin (5..1)(,0:)2();()1(,0)(11)()(,1)0(,),0[)(4.221210且满足设函数的曲线方程为且满足关系式过点则该方程为线性齐次微分方程的通解为某二阶常系数为任意常数设成立不等式时当证明求导数且满足等式上可导在函数f x f e x g x g x f x g x f x y x y C C x C x C e y x f e x x f d t t f x x f x f f x f x x x x =-='='=-+'+=≤≤≥'=+-+'=+∞-(00数二考研题00数二考研题00数二考研题01数一考研题01数二考研题流出湖泊的水量为6V ,湖泊中含的含量降至.__________031.的通解为微分方程y y x ='+''00数一考研题/.,)2(;)1().0,21/(,)0),(,.8.围成的图形的面积最小以及两坐标轴所使该切线与位于第一象限部分的一条切线求的方程试求曲线经过点且轴上的截距距离恒等于该点处的切线在到坐标原点的其上任意一点是一条平面曲线设L L L L y x y x P L >(01数二考研题.])1()(1)([,2)0(02求d x x x f x x g g +-+=π01数二考研题30...2,1)(),(0)2(.13.( ).)()1ln(,0,0)0()0()(.12..)!3()1()2(2303旋转体体积最小轴旋转一周的轴所围成的平面图形绕以及与直线使得由曲线的一个解求微分方程的极限函数时则当的特解满足初始条是二阶常系数微分方程设的和函数的结果求幂级数利用x x x x x y y x y y d x y x x d y x y x x y y e qy y p y x y y n x x n n=====-++→='==+'+''=∑∞=;)()!3(!9!6!31)()1.11.____________21,10.10396302满足微分方程验证函数是满足初始条件微分方程e y y y x n x x x x x y y y y y y x nx x =+'+''+∞<<-∞++++++=='=='+''==ΛΛ(的特解.)()(,0',),()(的反函数是且内具有二阶导数在设函数==≠+∞-∞=x y y y x x y x y y 14.02数一考研题02数一考研题02数二考研题02数二考研题03数一考研题?,87/3,.0,,.9.0问雪堆全部融化需要多少小小时内融化了其体积的的已知半径为假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状比成正比其体积融化的速率与半球面面积一个半球体状的雪堆r K S >例常数雪堆在开始融化的01数二考研题时件;)(不存在A ;2)(等于C .3)(等于D ;1)(等于B .23)0(',0)0((2);)(的解求变换后的微分方程满足初始条件所满足的微分方程变换为===y y x y y )((1)所满足的微分方程试将=y x x 0))sin (322=++d yd xx y d y x d ()(,)('ln 15.y xy x x y y xx y +==的表达式为则的解是微分方程已知ϕϕ31..y)(y x ϕ=yO-22x).,:(.)((2);)(,(1)).,表示时间单位分表示长度单位米注的方程求曲线之间的关系式与写出时刻液面的面积根据假设注入液体前y x y t t ϕϕ=容器内无液体03数二考研题(min /,min /3,.2),()0)(,23的速度均匀扩大液面的面积将以的速率向容器内注入液体时当以根据设计要求容器的底面圆的半径为如图的旋转曲面绕其内侧壁是由曲线有一平底容器m m m y y x πϕ≥=16.(轴旋转而成y ______.)0(02417.222的通解为欧拉方程>=++x y d xd y xd x y d x 04数一考研题/,?,).100.6(,,./700,9000.,,,,,18.6表示千米/小时表示千克注机滑行的最长距离是多少问从着陆点算起比例系数为总阻力与飞机的速度成正比减速伞打开后经测试着陆时的水平速度为的飞机现有一质量为使飞机迅速减速并停下以增大阻力飞机尾在触地的瞬间为了减少滑行距离某种飞机在机场降落时h km kg k h km kg ⨯=部张开减速伞04数一、二考研题.______56|02)(19.13的特解为满足微分方程==-+=x y x d y d x x y 04数二考研题(D)(C)(B)(A)( ).;22xy -;22xy ;22y x -.22y x 03数二考研题飞机所受的飞).(min m .cos (D);sin (C));cos sin ((B));cos sin ((A)( ).sin 120.22222x A c bx ax y x A c bx ax y x B x A c bx ax x y x B x A x c bx ax y x x y y +++=+++=++++=++++=++=+''****的特解形式可设为微分方程04数二考研题21.微分方程x x y y x ln 2=+'满足91(1)-=y 的解为_________.05数一、二考研题32..22.用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程,0)1(2=+'-''-y y x y x 并求其满足2|,1|00='===x x y y 的特解.05数二考研题验证0(1))(=+''uu f ;:)('u f 若0(1)=f 1='f , 求函数)(u f 的表达式(2)(1), .2222=∂∂+∂∂y z x z 24.设函数)(u f 在0∞内具有二阶导数)(22y x f z +=)(,且,系式25.函数x x x xe e C e C y ++=-221满足一个微分方程是( ).(A)x xe y y y 32=-'-''(B)x e y y y 32=-'-'';;(C)x xe y y y 32=-'+''(D)x e y y y 32=-'+''.;23.微分方程xx y y )1(-='的通解是.06数一、二考研题06数一、二考研题06数二考研题满足关33..考研真题答案考研真题一1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8..1 D. B.-2/6. B.2..3/2.9.4- D..010.12. D.11..43=k 考研真题二8.04543=+--y x 3,0414=+-+y x 3.1. 2.3. 4.d x )12(ln -.2!)1(1---n n n .0122=--y x .022=+-y x .5. 6.7.B.2-.D..0=-y x 9..1-=x y 10..1);4)(2()(-=++=k x x kx x f )()(II I 11.213..d x π-14.A.12.C.考研真题三13.2.15.2.16..e -17.C.22..4121-=x y 24..23+=x y 1. 2.61/-.1.2+=x y 3. 4. 5. 6.8.9.10. A.2)1(!1---n n n .C. A.0=x 为可去间断点;),2,1(Λ±±==k k x π是无穷间断点.B.1,2-==b a .13.C..1/14.15.e 两个.C 17.19.]).1,()(1,(-∞-∞或.C 20..1/6-21.26.61-e.27.51=y ..A 25.考研真题四1.1x e 22x 2-()1+C .3. 4.C x x ++-)1ln(2.C x x x +-++-222)(arctan 211ln 21arctan x x .2.C x x x ++++---]cos 12)cos 1ln()cos 1[81ln(.5. 6.xcos -1x tan C +.2arcsin x +C .7.--ln x sin cot x x cot x .-+C .34..8.+221()+-1362x x +ln -3x 4arctan C .10.11.12.13.雪球全部融化需6小时.e -x 1.C e e e e x x x x +++---)arctan arctan (212.C x+)arctan +12x (.14.x +12x 2-1()e arctan x+C .9.C e e x x x +++--)1ln()1(..)(ln 212x 15.8.],[a a x -∈.∀)(x f =f '2!2)()0(x x ξ+f '',考研真题五1./π.42./π.3 4.>-≤<+-+-≤≤=2,121,10,)(2x x x x x x d t t S x63x 63x 31{5.π2/.6.8π/.7.1)1(-+x e x .9.31.-c e e x x ++---+1111ln 2122.e e x x arcsin 16.10.π22.11.D.12.切线方程x y =; 2.所求极限13.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++++-<≤--+=10,2ln 1ln 12101,2121)(23x e e e x x x x x F x x x ,.14.B.15.B.2ln +116)(22-e 16...B 17.18.B.].2,22[)(-值域为II 19../2π20.23..4π22..2024..2121.A.25.31.26.21.27. B.28.凸.(1));3,2(1+=x y .(2)(3)37.考研真题六1. 2. 3. 4.5.4=a ,最大体积π1875532.9. 1.m.2π5129. 6.(1)(2)1e 21-A =V π6()e 2-e 12+3=;.535..8.(1)(2)a ra r r )m (11)m (12+++7.e aa).1(414-π;.9.l y x 421222=+(2)(1).1)()(lim(2);2)()((1)==+∞→t F t S t V t S t 10.;.11..21)12ln()(yy y y x ---==ϕ1. 2. 3.4. 5. 6.7.-x y z +=0.y x z =--03.4+z y x -3+=02+.4. C.2y x z =-+302.{y x -2-=0.3z 1+2z y x +1--=0,0.-x 2y 2=z 24417+2y +-1考研真题七考研真题八2. 3. 4.5. C.51. A.00),(y x g =002020855y x y x -+;(1)(2))5,5(1-M 或).5,5(2-M 1."'1132"223"11'22'1g xy g x f y x xyf f y f ---+-.6.52=-+y x .4z 7.A..3)3,9(,),()3,9(.3)3,9(,),()3,9(-=----=z y x z z y x z 极大值为的极大值点是点极小值为的极小值点是点8.9. 2..)1()(24,2,2222212221122121f xy e f xye f e y x f xy yx zf xe f y yzf ye f x x zxy xy xy xy xy '++''+''-+''-=∂∂∂'+'-=∂∂'+'=∂∂10.58..11..3312.D.14.最大值为3, 最小值为.2-13. B.15.D.考研真题九),,(.004R 51-e .)(4R ,,00-或.B 4..D 5.1. 2. 6..8336..考研真题十1.2.624211-=-+=-z y x . C.6.7.100小时.24-.b a d c -.8.(2)3. 4. 5.π./32.)(1-xe xe x .//./23π10..π-11.12..22123R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π13.(2).)(2y y -=ϕ考研真题十一7.D.8..314-π9.C.2ln .2π10.1. D.在点3=x 处发散.在点3-=x 处收敛,收敛区间为)3,3[-;2.4-π21.3. 4.C.5.1..4π6.7.B.8.B.),1ln(arctan 22+-+x x x 122+xx .1||<x 10.11.D.0∑∞=n 13][)1(-n n x +2n 1+11<x ).(12..2π14.221x C C +=.y 1.3ln 6年.2. 3.C .1)(+-=x e x f '-x;4.(1)022=+-y y y'''.5.12.B .212475x x y -=.13.;sin ''x y y =-14.(1)(2).sin 21)(x e e x y x x --=-15.A..4)(2y t ϕ-=16.(1)(2).2/6y e x π=ππ++11e .7.3133+-=X .8.(1)(2)2x y -=;Y 6小时.9.12+=x y .10.).(cos )(+∞<<-∞+=-x x e x y 322331e x 2x.11.(2)21arcsin -=x x y .6.41考研真题十二.221xC x C y +=17..05.1km 18..53x x y +=19.20.A.。