利用平面向量判断三角形形状练习题专题
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【详解】
解： ， ， 分别为单位向量，
的角平分线与 垂直，
，
，
，
，
三角形为等边三角形．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．
4．在 中，若 ，且 ，则 的形状为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．以上都不对
【答案】A
即 ，整理可得 ，则向量 与 的夹角为钝角，即 ，据此可知 的形状为钝角三角形.
【点睛】
本题考查向量的平方运算及向量数量积的运算，属于中档题。
18．已知在 中， 是边 上的一个定点，满足 ，且对于边 上任意一点 ，恒有 ，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示：以 所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系，设 根据 得到 ，即 得到答案.
【详解】
三角形的中线和底边垂直 是等腰三角形
本题正确选项：
【点睛】
本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.
16．若 ，则 为( )
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数量积的运算法则推导得 即可.
，
∴ ，∴ ，
由余弦定理得 ，即 为钝角，三角形为钝角三角形．
故选：B．
2．若 为 所在平面内任一点，且满足 ，则 的形状为（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.
【详解】
由 ，即 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．
15．若 为 所在平面内一点， ，则 形状是（）．
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．以上答案均错
【答案】A
【解析】
【Fra Baidu bibliotek析】
根据向量的减法运算可化简已知等式为 ，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状.
利用平面向量判断三角形形状
1．三角形 中， ， ， 分别为三角形 的重心和外心，且 ，则三角形 的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是
【答案】B
【解析】
【分析】
取 中点 ，利用 代入计算，再利用向量的线性运算求解．
【详解】
如图，取 中点 ，连接 ，
则 在 上， ， ，
A．直角三角形B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形D．等腰非等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入数量积的计算公式第一个条件求出 ，第二个条件得到 即可求出结论.
【详解】
解：因为在 中，
，
，
，
∴ 为等边三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
14．点 是 所在平面上一点，满足 ，则 的形状是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出 ，由此可判断出 的形状.
【详解】
点 是 所在平面上一点，满足 ，
则 ，可得 ，即 ，
等式 两边平方并化简得 ， ，
因此， 是直角三角形.
以 为一组邻边作平行四边形 .如图.
则平行四边形 为菱形,即对角线 为角 的角平分线.
由 ，即 ,也即
所以 ,即角 的角平分线 满足 .
所以在 中有 .
又 ，即 ，所以
所以 .
所以 为等边三角形，
故选：D.
9．若 为 所在平面内一点,且满足 , ,则 的形状为( )
A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
12．若 ，则三角形ABC必定是（）三角形
A．锐角B．直角C．钝角D．等腰直角
【答案】B
【解析】
【分析】
由 得到， ，即可求解.
【详解】
，即
所以三角形ABC必定是直角三角形
故选：B
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题.
13．已知 是非零向量，且满足 ，则 的形状为（）
A．等腰（非等边）三角形B．直角（非等腰）三角形
5．若O为平面内任意一点，且 ，则△ABC是()
A．直角三角形或等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形但不一定是直角三角形
D．直角三角形但不一定是等腰三角形
【答案】C
【解析】
由 ＝0得 · ＝0，∴ 2－ 2＝0，即| |＝| |，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.
【详解】
, , , 为直角三角形.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了根据向量的数量积运算判断三角形形状的问题,属于基础题.
17．在 中，若 ，则 的形状为（）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
两边平方 ，化简可得 ，从而可判断三角形的形状。
【详解】
由题意可得 ，
【解析】
【分析】
由题中 ，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行求解
【详解】
如图所示.
，
，
.
∵ ，∴ .作 于 ，则 ，∴ ，
∴ 为 的中点，∴ .
同理可证 ，∴ 为等边三角形.
答案选A
【点睛】
个别设及三角形形状题型，可先进行预判，再想法设法去进行证明比如此题，可先预判为等边三角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解
【答案】C
【解析】
,点M在底边BC的中垂线上，又 ,所以点M在底边BC的中线上，因而底边BC的中线与垂直平分线重合，所以 ABC的形状为等腰三角形.
10．点 是 所在平面上的两点，满足 和 ，则 的形状是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量的加法与减法运算，将表达式化简.即可由向量数量积定义求得 的关系，进而判断 的形状.
所以， ，即 ，故 为直角三角形.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.
3．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 的形状是
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 ，判断出 的角平分线与 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得 ，判断出三角形的形状．
【答案】C
【解析】
为锐角，
为钝角．故选C
8．已知在 中，向量 与 满足 ，且 ，则 为（）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
分别在 上取点 ，使得 ，由条件可得在 中有 ， ，可得 ，从而得到答案.
【详解】
分别在 上取点 ，使得 ，则 .
【详解】
如图所示：以 所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系.
设 ，则 ， ，设 ，
即 恒成立
恒成立，故 即 在 的垂直平分线上，
故选：
【点睛】
本题考查了向量的恒成立问题，建立坐标系可以简化运算，是解题的关键.
6．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知 ，则 的形状是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】
试题分析：：∵ ，
∴ ，即|AB|=|AC|．△ABC的形状是等腰三角形
7．△ABC中， · <0， · <0，则该三角形为( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
先将题中 进行转化，再观察转化条件存在的基本关系，根据向量夹角的余弦公式和模长公式来进行判断即可
【详解】
∵ ，∴ ，
即 .
∵ ，∴ ，
即 ，
∴ ，即 .
∵ ，∴ ，∴ 为等边三角形.
答案选C
【点睛】
三角形形状的判断向量法常采用模长公式、夹角的余弦公式、向量垂直公式进行求解，解题时可灵活选用
【详解】
点 是 所在平面上的两点，满足
所以
即
因为
所以
即 ，所以
又因为
则
所以
即
两边同时平方并展开化简可得
即
所以
综上可知， 的形状是等腰直角三角形
故选：A
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量数量积的运算律与定义，向量垂直与数量积关系，三角形形状的判断，属于中档题.
11．在 中, ,则 为( )
解： ， ， 分别为单位向量，
的角平分线与 垂直，
，
，
，
，
三角形为等边三角形．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．
4．在 中，若 ，且 ，则 的形状为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．以上都不对
【答案】A
即 ，整理可得 ，则向量 与 的夹角为钝角，即 ，据此可知 的形状为钝角三角形.
【点睛】
本题考查向量的平方运算及向量数量积的运算，属于中档题。
18．已知在 中， 是边 上的一个定点，满足 ，且对于边 上任意一点 ，恒有 ，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示：以 所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系，设 根据 得到 ，即 得到答案.
【详解】
三角形的中线和底边垂直 是等腰三角形
本题正确选项：
【点睛】
本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.
16．若 ，则 为( )
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数量积的运算法则推导得 即可.
，
∴ ，∴ ，
由余弦定理得 ，即 为钝角，三角形为钝角三角形．
故选：B．
2．若 为 所在平面内任一点，且满足 ，则 的形状为（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.
【详解】
由 ，即 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．
15．若 为 所在平面内一点， ，则 形状是（）．
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．以上答案均错
【答案】A
【解析】
【Fra Baidu bibliotek析】
根据向量的减法运算可化简已知等式为 ，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状.
利用平面向量判断三角形形状
1．三角形 中， ， ， 分别为三角形 的重心和外心，且 ，则三角形 的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述均不是
【答案】B
【解析】
【分析】
取 中点 ，利用 代入计算，再利用向量的线性运算求解．
【详解】
如图，取 中点 ，连接 ，
则 在 上， ， ，
A．直角三角形B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形D．等腰非等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
直接代入数量积的计算公式第一个条件求出 ，第二个条件得到 即可求出结论.
【详解】
解：因为在 中，
，
，
，
∴ 为等边三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
14．点 是 所在平面上一点，满足 ，则 的形状是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出 ，由此可判断出 的形状.
【详解】
点 是 所在平面上一点，满足 ，
则 ，可得 ，即 ，
等式 两边平方并化简得 ， ，
因此， 是直角三角形.
以 为一组邻边作平行四边形 .如图.
则平行四边形 为菱形,即对角线 为角 的角平分线.
由 ，即 ,也即
所以 ,即角 的角平分线 满足 .
所以在 中有 .
又 ，即 ，所以
所以 .
所以 为等边三角形，
故选：D.
9．若 为 所在平面内一点,且满足 , ,则 的形状为( )
A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
12．若 ，则三角形ABC必定是（）三角形
A．锐角B．直角C．钝角D．等腰直角
【答案】B
【解析】
【分析】
由 得到， ，即可求解.
【详解】
，即
所以三角形ABC必定是直角三角形
故选：B
【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题.
13．已知 是非零向量，且满足 ，则 的形状为（）
A．等腰（非等边）三角形B．直角（非等腰）三角形
5．若O为平面内任意一点，且 ，则△ABC是()
A．直角三角形或等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形但不一定是直角三角形
D．直角三角形但不一定是等腰三角形
【答案】C
【解析】
由 ＝0得 · ＝0，∴ 2－ 2＝0，即| |＝| |，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.
【详解】
, , , 为直角三角形.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了根据向量的数量积运算判断三角形形状的问题,属于基础题.
17．在 中，若 ，则 的形状为（）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
两边平方 ，化简可得 ，从而可判断三角形的形状。
【详解】
由题意可得 ，
【解析】
【分析】
由题中 ，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行求解
【详解】
如图所示.
，
，
.
∵ ，∴ .作 于 ，则 ，∴ ，
∴ 为 的中点，∴ .
同理可证 ，∴ 为等边三角形.
答案选A
【点睛】
个别设及三角形形状题型，可先进行预判，再想法设法去进行证明比如此题，可先预判为等边三角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解
【答案】C
【解析】
,点M在底边BC的中垂线上，又 ,所以点M在底边BC的中线上，因而底边BC的中线与垂直平分线重合，所以 ABC的形状为等腰三角形.
10．点 是 所在平面上的两点，满足 和 ，则 的形状是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量的加法与减法运算，将表达式化简.即可由向量数量积定义求得 的关系，进而判断 的形状.
所以， ，即 ，故 为直角三角形.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.
3．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 的形状是
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 ，判断出 的角平分线与 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得 ，判断出三角形的形状．
【答案】C
【解析】
为锐角，
为钝角．故选C
8．已知在 中，向量 与 满足 ，且 ，则 为（）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
分别在 上取点 ，使得 ，由条件可得在 中有 ， ，可得 ，从而得到答案.
【详解】
分别在 上取点 ，使得 ，则 .
【详解】
如图所示：以 所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系.
设 ，则 ， ，设 ，
即 恒成立
恒成立，故 即 在 的垂直平分线上，
故选：
【点睛】
本题考查了向量的恒成立问题，建立坐标系可以简化运算，是解题的关键.
6．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知 ，则 的形状是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】
试题分析：：∵ ，
∴ ，即|AB|=|AC|．△ABC的形状是等腰三角形
7．△ABC中， · <0， · <0，则该三角形为( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
先将题中 进行转化，再观察转化条件存在的基本关系，根据向量夹角的余弦公式和模长公式来进行判断即可
【详解】
∵ ，∴ ，
即 .
∵ ，∴ ，
即 ，
∴ ，即 .
∵ ，∴ ，∴ 为等边三角形.
答案选C
【点睛】
三角形形状的判断向量法常采用模长公式、夹角的余弦公式、向量垂直公式进行求解，解题时可灵活选用
【详解】
点 是 所在平面上的两点，满足
所以
即
因为
所以
即 ，所以
又因为
则
所以
即
两边同时平方并展开化简可得
即
所以
综上可知， 的形状是等腰直角三角形
故选：A
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量数量积的运算律与定义，向量垂直与数量积关系，三角形形状的判断，属于中档题.
11．在 中, ,则 为( )