习题参考解答(图论部分)Word版

习题十

1. 设G 是一个(n ，m)简单图。证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。

证明：（1）先证结论：

因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。

（2） =〉G 是完全图

因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。 G 是完全图 =〉

因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。■

2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。

证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。与题设m = n+1，矛盾。因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。■

3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）

解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。

可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。下面以（2）为例说明：

(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}

每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)

将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线

其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。■

4．证明：在（n ，m ）图中。

证明：图的点度数是一组非负整数{d(v 1),d(v 2)…d(v n )}，那么这组数的算术平均值一定大于等于其中的最小值，同时小于等于其中的最大值。对应到图的术语及为：最大值为，最小值为δ，平均值 = (d(v 1)+d(v 2)…+d(v n ))/n = 2m/n,所以。■

5．证明定理10.2。

【定理10.2】 对于任何（n ,m ）有向图G =（V ，E ），

证明：有向图中,每条有向边为图贡献一度出度，同时贡献一度出度，所以总出度和总入度相等，并和边数相等。因此，上述关系等式成立。■

6．设G 是（n ，m ）简单二部图，证明：。

证明：本题目，我们是需要说明n 阶的简单二部图的边数的最大值 = 即可。

设n 阶的简单二部图，其两部分结点集合分别为V1，V2,那么|V1| + |V2| = n 。此种情况下，当G 为完全二部图时，有最多的边数，即max(m) = |V1||V2|,变形为，max(m) =( n-|V2|)|V2|.此函数的最大值及为n 阶二部图的边的上限值，其上限值为当|V2|=n/2 时取得。及max(max(m)) = ,所以n 阶二部图(n,m), ■

7. 无向图G有21条边，12个3度数结点，其余结点的度数均为2，求G的阶数n。

解：根据握手定理有： 21 =( 3Χ12 + 2(n-12))/2, 解此方程得n = 15■

8．证明：完全图的点诱导子图也是完全图。

证明：方法1

为证明此结论，我们先证两个引论：

引论1：设G(V,E)为母图，,则G的任意子图G'(V’,E’)是G关于V’的点诱导子图G''(V’,E’’)的子图。

引论2：引论1中G’’(V’,E’’)的任意点诱导子图，也是G图的点诱导子图。

证明：略，请读者证明。

设有完全图Kn( n≥1),现根据其p阶点诱导子图作归纳证明。

Kn的1阶点诱导子图，显然是完全图，且都是K1图。当n≥2，Kn的2阶点诱导子图，显然是完全图，且都是K2图

假设Kn的p(n>p>2)阶点诱导子图，为Kp图，那么对任意的p+1阶点诱导子图G，根据引理2结论，G的任意p阶点诱导子图G’为Kn的p阶点诱导子图，且为Kp图。因此，G 必为Kp+1图。

根据以上论证可得原命题成立■

方法2

因为完全图的任意两个顶点均邻接，所以点导出子图任意两个顶点也邻接，为完全图。■9．若，称G是自补图。确定一个图为自补图的最低条件；画出一个自补图来。

解：设G为(n,m)图，为(n,m`)图，根据补图的定义有，至少应该满足

m+m`=n(n-1)/2 (1) 根据同构的定义有，至少应该满足

m=m` (2)

(1),(2)联立求解得：m=n(n-1)/4, 及一个图为自补图，最低条件为结点数为4的倍数或为4的倍数加1。

图示略■

10．判断图10.29中的两个图是否同构，并说明理由。

图9-1.15

图10.29

解：题中两个图不同构，因为左边图的唯一3度点有2个1度点为其邻接点，而右图唯一的3度点只有1个1度点为其邻接点。因此这两个图不可能同构■

11．证明：图10.30中的两个图是同构的。

解：略■

12. 求具有4个结点完全图K 4的所有非同构的生成子图。

解：我们可以把生成子图按总度数不同进行分类，不同总度数的子图类决不同构。总度数相同的子图类中，再去找出不同购的子图。因此求解如下： Σd(v) = 0: (0,0,0,0) =2: (1,1,0,0)

=4: (2,1,1,0) (1,1,1,1)

=6: (3,1,1,1) (2,2,1,1)(2,2,2,0) =8: (2,2,2,2) (3,2,2,1) =10: (3,3,2,2) =12: (3,3,3,3) 总共10个不同构生成子图■

13. 设有向图D=如下图10.31所示。

(1) 在图中找出所有长度分别为1，2，3，4的圈 (至少用一种表示法写出它们，并以子图形式画出它们)。

(2) 在图中找出所有长度分别为3，4，5，6的回路，并以子图形式画出它们。 解：

(1)

图10.30