雅礼中学届高考数学文科模拟卷(一)
雅礼中学2024届高三数学模拟试卷(一)与答案
注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人.雅礼中学2024届高三数学模拟试卷（一）现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（ ） A.9 B.12 C.15 D.182.已知集合{}2|680,{|13}Mx xx N x x =−+<=<≤，则M N ∩=（ ）A.{|23}x x ≤≤B.{|23}x x <≤C.{|24}x x <≤D.{|13}x x <≤3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和抛物线()220y px p =>相交于A ､B 两点，直线AB 过抛物线的焦点1F ，且8AB =.则抛物线和椭圆的标准方程分别为（ ）. A.28y x =；22194x y += B.28y x =；2213618x y +=C.24y x =；22194x y += D.24y x =；2213618x y +=5.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH ，其中1,AB O =为正八边形的中心，则AB HD ⋅=（ ）1−1+6.人工智能领域让贝叶斯公式：()()()()P B A P A P A B P B =站在了世界中心位置，AI 换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI ”视频，“AI ”视频占有率为0.001.某团队决定用AI 对抗AI ，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI ”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI ”.已知某个视频被鉴定为“AI ”，则该视频是“AI ”合成的可能性为（ ） A.0.1% B.0.4% C.2.4% D.4%7.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）.已知椭圆C ：22197x y +=，P 是直线l ：43200x y −+=上一点，过P 作C 的两条切线，切点分别为M ､N ，连接OP （O 是坐标原点），当MPN ∠为直角时，直线OP 的斜率OP k =（ ）A.43 B.43− C.34 D.34− 8.已知61log 4a =，41log 3b =，()1e 1ec =+，则（ ）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.a c b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设a ，b 为两条不重合的直线，α为一个平面，则下列说法正确的是（ ）A.若a b ⊥，b α⊂，则a α⊥B.若a α⊥，a b ∥，则b α⊥C.若a α∥，b α⊂，则a b ∥D.若a α∥，b α⊥，则a b ⊥10.已知()22ππsin cos (0)33f x x x ωωω=+−+>，下列判断正确的是（ ） A.若()()120f x f x ==，且12min π2x x −=，则2ω= B.1ω=时，直线π6x =为()f x 图象的一条对称轴C.1ω=时，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称D.若()f x 在[]0,2π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359,242411.若实数,x y 满足1221x y ++=，则下列选项正确的是（ ） A.0x <且1y <−B.11122x y − +的最小值为9C.x y +的最小值为3−D.1112222x y x y−+ +⋅<三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数13i z =−，其中i 为虚数单位，则2i z +=__________. 13.已知数列{}n a 满足()*3213223n n a a a a n n ++++=−∈N ，则n a =__________.14.设A 为双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的一个实轴顶点，,B C 为Γ的渐近线上的两点，满足4BC AC =，AC a =，则Γ的渐近线方程是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系； 性别 运动达标情况 合计 运动达标 运动欠佳 男生 女生 合计（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.参考公式()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++.α0.1 0.05 0.01 x α2.7063.8416.63516.（本小题满分15分） 已知函数()ln 1xf x x =+. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当1x ≥时，()()1f x a x −≤，求a 的取值范围. 17.（本小题满分15分）如图，已知在正三棱柱111ABC A B C −中，12AA AB ==，且点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点.（1）过点,,A E F 作三棱柱截面交11C B 于点P ，求线段1B P 长度； （2）求平面AEF 与平面11BCC B 所成角的余弦值. 18.（本小题满分17分）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆1C 的“特征三角形”为1 ，椭圆2C 的“特征三角形”为2 ，若12 ∽，则称椭圆1C 与2C “相似”，并将1 与2 的相似比称为椭圆1C 与2C 的相似比.已知椭圆1C ：2212x y +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>相似.（1）求椭圆2C 的离心率；（2）若椭圆1C 与椭圆2C 的相似比为()0λλ>，设P 为椭圆2C 上异于其左､右顶点1A ，2A 的一点.①当λ=时，过点P 分别作椭圆1C 的两条切线1PB ，2PB ，切点分别为1B ，2B ，设直线1PB ，2PB 的斜率为1k ，2k ，证明：12k k 为定值；②当λ=时，若直线1PA 与椭圆1C 交于D ，E 两点，直线2PA 与椭圆1C 交于M ，N 两点，求DE MN +的值.19.（本小题满分17分） 设n 次多项式()121210()0nn n n n n P t a t a ta t a t a a −−=+++++≠ ，若其满足(cos )cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如：由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =，由2cos 22cos 1θθ=−可得切比雪夫多项式22()21P x x =−. （1）若切比雪夫多项式323()P x ax bx cx d +++，求实数a ，b ，c ，d 的值；（2）对于正整数3n 时，是否有()()()122n n n P x x P x P x −−=⋅−成立？ （3）已知函数3()861f x x x =−−在区间()1,1−上有3个不同的零点，分别记为123,,x x x ，证明：1230x x x ++=.一､二､雅礼中学2024届高三数学模拟试卷（一）答案选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CBCBDCDABDBDABD1.C 【解析】高三年级被抽到的男生人数为12003004005363615120012−−×=×=.故选：C.2.B 【解析】因为{}2|680{|24}Mx xx xx =−+<=<<，{|13}Nx x =<≤，所以{|23}M N x x =<≤ .故选：B3.C 【解析】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸， 因为积水深9寸，所以水面半径为()1146102×+=寸， 则盆中水的体积为()221π9610610588π3××++×=立方寸， 所以平地降雨量等于2588π3π14=×寸. 故选：C.4.B 【解析】由椭圆与抛物线的对称性知，AB x ⊥轴，且1,02p F，故2A Bp x x == 根据抛物线的定义可知1228AB x x p p =++==，所以抛物线的标准方程为28y x =. 所以椭圆过点()2,4A ， 因此222224161c a a b a b c=+= =+ ，解得223618a b = = ，则椭圆的标准方程为2213618x y +=.故选：B.5.D 【解析】在正八边形ABCDEFGH 中，连接HC ，则HC AB ∥， 而135ABC ∠= ，即45BCH ∠= ，于是90HCD ∠= ，在等腰梯形ABCH 中，121cos 451CH =+××=+ ，所以1||cos ||1AB HD HD CHD HC ⋅=×∠=+ .故选：D6.C 【解析】记“视频是AI 合成”为事件A ，记“鉴定结果为AI ”为事件B ，则()()()()0.001,0.999,0.98,0.04P A P A P B A P B A ====∣，由贝叶斯公式得：()0.0010.980.0240.0010.980.9990.04P A B ×==×+×， 故选：C.7.D 【解析】由椭圆C ：22197x y +=可知：3,a b ==，当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为6和，因此蒙日圆半径为4，圆方程为2216x y +=， 当MPN ∠为直角时，可知点当P 在圆2216x y +=，因为O 到直线43200x y −+=的距离为4d =， 所以直线l ：43200x y −+=为圆的切线， 因为直线43l k =，1l OP k k ⋅=−，所以34OP k =−.故选：D.8.A 【解析】由61log 4a =，得到146a =，又41log 3b =，所以134b =， 所以112124(6)216a ==，112123(4)256b ==，又256216>， 所以1212b a >，又0,0a b >>，得到b a >，令1(1)(1)xy x x =+>，则1ln ln(1)y x x=+，所以2111ln(1)(1)y x y x x x ′=−+++， 得到112211(1)[ln(1)](1)[(1)ln(1)](1)(1)xxx y x x x x x x x x x x +′=−+++=−++++，令()(1)ln(1)h x x x x =−++，则()1ln(1)1ln(1)0h x x x ′=−+−=−+<在区间(1,)+∞上恒成立， 所以()(1)ln(1)h x x x x =−++在区间(1,)+∞上单调递减，又(1)1(11)ln(11)12ln 21ln 40h =−++=−=−<，当(1,)x ∈+∞时，12(1)0(1)xx x x +>+，得到12(1)[(1)ln(1)]0(1)xx y x x x x x +′=−++<+在区间(1,)+∞上恒成立， 所以1(1)x y x =+在区间(1,)+∞上单调递减，又e 3<，所以()113e1e (13)c b =+>+=，得到c b a >>， 故选：A.9.BD 【解析】对于A ，直线a 可能在平面α内，可能与平面α相交，也可能平面α平行，故A 错误. 对于B ，设直线l 为平面α内的任意一条直线，因为a α⊥，l α⊂，所以a l ⊥， 又a b ∥，所以b l ⊥，即b 与α内任意直线垂直，所以b α⊥，故B 正确. 对于C ，若a α∥，b α⊂，则直线a 与直线b 可能平行，也可能异面，故C 错误.对于D ，过直线a 作平面β，使得平面β与平面α相交，设m αβ∩=， 因为a α∥，m αβ∩=，a β⊂，所以a m ∥， 又b α⊥，m α⊂，所以b m ⊥，则b a ⊥，故D 正确.故选：BD10.BD 【解析】()22ππ2πcos sin cos 2,0333f x x x x ωωωω=−+−+=−+>， 对于A ，根据条件，可得π2π,π,1222T T ωω=∴==∴=，故A 错误； 对于B ，当1ω=时，()2πππ2πcos 2,cos cos π13633f x x f=−+∴=−+=−=， 所以直线π6x =为()f x 的一条对称轴，故B 正确； 对于C ，当1ω=时，()2πcos 23f x x=−+，将()f x 向左平移π3个单位长度后可得π2ππcos 2cos 2333y x x=−++=+，为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ，由题意[]0,2πx ∈2π2π24π33x ωω++ ，因为()f x 在[]0,2π上恰有9个零， 所以19π2π21π4π232ω+< ，解得53592424ω< ，故D 正确.故选：BD. 11.ABD 【解析】对于A ，由1221x y ++=，可得112120,2120y x x y ++=−>=−>， 所以0x <且10y +<，即1y <−，故A 正确；对于B ，()11111112222225222222x y x y y x x y x y −−+ ⋅⋅ +=++=++59≥+=， 当且仅当222222y x x y ⋅⋅=，即2log 3x y ==−时，等号成立，所以11122xy − +的最小值为9，故B 正确；对于C ，因为1221x y ++=≥12≤，即121224x y ++−≤=， 所以3x y +≤−，当且仅当122x y +=，即11x y =+=−，即1,2x y =−=−时，等号成立， 所以x y +的最大值为3−，故C 错误；对于D ，因为1212x y +=−，则()112212242x y y ++=−=−⋅，所以()111112222212232222x y x yy x y y y−+++ +⋅=+=+−=−⋅<，故D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【解析】由复数13i z =−，可得13i z =+，则2i 15i z +=+，所以2i 15i z +=+=. 13.11,1,23, 2.n n n n −=× 【解析】因为()*32132,123nn a a a a n n n ++++=−∈N ， 当1n =时，11321a =−=， 当2n 时，1312132231n n a a a a n −−++++=−− ，所以113323n n n n a n−−=−=×，所以123n na n −=×， 当1n =时，123n n a n −=×不成立，所以11,1,23, 2.n n n a n n −= =×14.y = 【解析】根据题意，作图如下：依题意，OA 为COB ∠的角平分线，且444CB OA CA a ===， 设OC m =，由角平分线定理可得：3OBABOCAC==，则3OB m =； 在OAC 中，由余弦定理2222cos 222AC CO OA m mOCA AC CO am a+−∠===； 在OBC △中，由余弦定理可得，2222cos OB OC BC OC BC OCA =+−⋅∠，即222916242m m m a m a a =+−×××，解得m a =.故cos cos 2m COA OCA a ∠=∠=，tan COA ∠， 所以Γ的渐近线方程是y =.故答案为：y =.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）22×列联表为 性别 运动达标情况 合计运动达标 运动欠佳 男生 20 5 25 女生 40 35 75 合计6040100 零假设为0H ：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，22100(2035540)505.556 3.841,604025759χ××−×==≈>×××根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05. （2）因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人， 按分层随机抽样的方法从中抽取6人， 则男生､女生分别抽到2人和4人，则选中的2人中恰有一人是女生的概率为114226C C 8C 15P ==. 16.【解析】（1）由于()10f =，则切点坐标为()1,0，因为()21()1ln 1x x x f x +−=+′，所以切线斜率为()112f ′=， 故切线方程为1(1)2y x −=−，即1122y x =−. （2）当[)1,x ∞∈+时，()()1f x a x −≤等价于()2ln 1x a x −≤，令()()21ln g x a x x =−−，[)1,x ∞∈+，()2ln 1x a x −≤恒成立，则()0g x ≥恒成立，2121()2ax g x ax x x−=−=′，当0a ≤时，()0g x ′≤，函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意；当102a <<时，由()0g x ′=，得1x =>，x ∈ 时，()0g x ′≤，函数()g x 单调递减，()()10g x g ≤=，不符合题意； 当12a ≥时，21a ≥，因为1x ≥，所以2210ax −≥，则()0g x ′≥， 所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=，符合题意. 综上所述，12a ≥. 17.【解析】（1）由正三棱柱111ABC A B C −中，12AA AB ==，又因为点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点，可得AF AE ==如图所示，延长AF 交1CC 的延长线于M 点，连接ME 交11B C 于点P ，过点E 作BC 的平行线交1CC 于N ，则四边形AFPE 为所求截面，又由1123MC PC MPME MN EN ===，所以1142,33PC B P ==.（2）以点A 为原点，以1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴，以过点A 垂直于平面yAz 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为2AB =，可得()())0,0,0,0,1,2,A F E，则())0,1,2,AF AE ==，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0,20,n AEy z n AF y z ⋅=++= ⋅=+=取1z =，则2,y x =−，所以2,1n=−， 取BC 的中点D ，连接AD .因为ABC 为等边三角形，可得AD BC ⊥， 又因为1BB ⊥平面ABC ，且AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，因为1BC BB B ∩=，且1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，又由3,02D，可得3,02AD = ， 所以平面11BCC B的一个法向量为)m =，设平面AEF 与平面11BCC B 所成角为α，则5coscos ,8m n m n m n α⋅===， 所以平面AEF 与平面11BCC B 所成角的余弦值为58. 18.【解析】（1）对于椭圆1C ：2212x y +=，则长轴长为，短轴长为2，焦距为2，椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为2a ，短轴长为2b，焦距为，=，所以b a =，则椭圆2C的离心率e （2，解得2a b = = 2C ：22142x y +=， 设()00,P x y ，则直线1PB 的方程为()010y y k x x −=−，即1010y k x y k x =+−，记010t y k x =−，则1PB 的方程为1y k x t =+， 将其代入椭圆1C 的方程，消去y ，得()22211214220k x k tx t +++−=， 因为直线1PB 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()222114421220k t k t ∆=−+−=，即221210k t −+=，将010t y k x =−代入上式，整理得()222010*******x k x y k y −−+−=， 同理可得()222020*******x k x y k y −−+−=， 所以12,k k 为关于k 的方程()22200002210x k x y k y −−+−=的两根， 所以2122012y k k x −=−. 又点()00,P x y在椭圆22:14x C +上，所以2200122y x =−， 所以212201211222x k k x −−==−−，为定值.，解得1a b = =，所以椭圆2C ：2221x y +=， 其左､右顶点分别为()11,0A −，()21,0A ，恰好为椭圆1C 的左､右焦点，设()33,P x y ，易知直线1PA ､2PA 的斜率均存在且不为0，所以1223233333111PA PA y y y k k x x x =⋅=+−−， 因为()33,P x y 在椭圆2C 上，所以332221x y +=，即232312x y −=−，所以123223112PA PA y k k x ==−−.设直线1PA 的斜率为k ，则直线2PA 的斜率为12k−，所以直线1PA 的方程为()1y k x =+. 由()22112y k x x y =+ +=，得()2222124220k x k x k +++−=， 设()44,D x y ，()55,E x y ，则2425412k x x k−+=+，22452212k x x k −=+， 所以5DE x =−==同理可得221121122k MN k+−== +−，所以D E NM =+=19.【解析】（1）依题意，()()()223cos cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos P θθθθθθθθθθθθ==+=−=−−()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=−−−=−，因此()3343P x x x =−，即32343ax bx cx d x x +++=−，则4,0,3a b d c ====−， （2）()()()112n n n P x x P xP x +−=⋅−成立.这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++−=⋅. 首先有如下两个式子：()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ+=+=−， ()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ−=−=+，两式相加得，()()()11cos cos 2cos cos 2cos cos n n n P P n P θθθθθθ−++，将cos θ替换为x ，所以()()()112n n n P x x P x P x +−=⋅−. 所以对于正整数3n 时，有()()()122n n n P x x P x P x −−=⋅−成立. （3）函数()3861f x x x =−−在区间()1,1−上有3个不同的零点123,,x x x ，即方程31432x x −=在区间()1,1−上有3个不同的实根， 令()cos ,0,πx θθ=∈，由()1知1cos32θ=，而()30,3πθ∈，则π33θ=或5π33θ=或7π33θ=，于是123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===， 则123π5π7ππ4π2πcos cos cos cos cos cos 999999x x x ++=++=−+，。
高中数学 2023年河北省衡水市名校高考数学模拟试卷(一)
2023年河北省衡水市桃城区衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校高考数学模拟试卷（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{2}B ．{5}C ．{1，3，4，5}D ．{1，2，3，4}1．（5分）已知全集U ={l ,2，3，4，5}，集合A ={1，2，4}，B ={2，3}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ）A ．3B ．4C ．-3D ．-42．（5分）复数25i 3+4i的虚部为（ ）A ．OA 与OH 的夹角为π3B ．OD +OF =OEC ．|OA −OC |=22|DH |D ．OA 在OD 上的投影向量为22e （其中e 为与OD 同向的单位向量）3．（5分）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中|OA |=1给出下列结论，其中正确的结论为（ ）→→→→→→→→√→→→√→→→A ．67B ．57C ．914D ．11144．（5分）从属于区间[2，8]的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ）A ．[83，113)∪(4，143)B ．[113，4)∪[143，173)C ．[113，143)∪(5，173)D ．[143，5)∪[173，203)5．（5分）已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)在[π3，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．2a =3b B ．a 3b 2=1C ．a 2=b 3D ．a 3=b 26．（5分）在某款计算器上计算log a b 时，需依次按下“Log ”、“（”、“a ”、“，”、“b ”、“）”6个键．某同学使用该计算器计算log a b （a >1，b >1）时，误按下“Log ”、“（”、“b ”、“，”、“a ”、“）”这6键，所得到的值是正确结果的49倍，则（ ）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届湖南省长沙市雅礼中学高三一模数学试题及答案
雅礼中学2024届高三一模数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,4,6,8U =，集合{}{}2320,4,Mxx x N x x a a M =−+===∈∣∣，则()U M N ∪=（）A.{}6B.{}4,6,8C.{}1,2,4,8D.{}1,2,4,6,82.设复数z 满足1i 1zz+=−−，则z =（ ）A.iC.13.已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，则（）A.若m ∥,n α∥α，则m ∥nB.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥C.若,m m n α⊥⊥，则n ∥αD.若m ∥,m n α⊥，则n α⊥4.已知向量()234πlog 3,sin ,log 8,3abm=，若a b ⊥，则m =（）A.−B.C.D.5.函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x-2-10 1 2 3 5 ()f x 2.31.10.71.12.35.949.1A.()x f x ka b=+ B.()e xf x kx b=+C.()f x k x b =+ D.()2(1)f x k x b=−+6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以12,A A 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.12,A A 互斥B.()157P B A =∣C.()217P A B =D.()1321P B =7.已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T −+=有实数解，那么以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i −+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.499B.500C.501D.5028.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的左､右焦点分别是12,F F ，点()11,P x y 是C 的右支上异于顶点的一点，过2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足是M ，MO =，若C 上一点T 满足125FT F T ⋅=，则T 到C 的两条渐近线距离之和为（ ）A. B. C. D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变10.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>满足：π2π2,063f f==，则（）A.曲线()y f x =关于直线7π6x =对称B.函数π3y f x=−是奇函数C.函数()y f x =在π7π,66单调递减D.函数()y f x =的值域为[]2,2−11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ABC −容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.直线AE 与PB 所成的角为π2B.ABE 的周长最小值为4+C.如果在这个容器中放入1D.如果在这个容器中放入4三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在二项式()6112x x x −+的展开式中，常数项为__________. 13.已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时__________，圆锥的体积最大，最大值为__________.14.对于任意两个正实数,a b ，定义aa b b λ⊗=⋅，其中常数λ ∈.若0u v ≥>，且u v ⊗与v u ⊗都是集合,2nxx n=∈Z 的元素，则u v ⊗=__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知函数()3f x x ax a =−+.（1）若1x =是函数()f x 的极值点，求()f x 在()()1,1f −−处的切线方程.（2）若0a >，求()f x 在区间[]0,2上最大值.16.（15分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，11,90AB AD AA DAB ∠====，111cos ,,2AA AB AA AD <>=<>=，点M 为BD 中点. （1）证明：1B M ∥平面11AC D ；（2）求二面角1B AA D −−的正弦值.17.（15分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P ；第1次摸到红球的概率为2P ；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为3P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P .求1234,,,P P P P ；（3）对于事件,,A B C ，当()0P AB >时，写出()()()(),,,P A P BA P C AB P ABC ∣∣的等量关系式，并加以证明.18.（17分）己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2 − 在椭圆上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若一条斜率不为0的直线过点()1,0−与椭圆交于,M N 两点，椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线BN 的斜率为1k ，直线AM 的斜率为2k ，求证：221212k k k k +⋅为定值.19.（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数.设正整数a 共有k 个正约数，即为()12112,,,,k k k a a a a a a a −<<< .（1）当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；（2）当4k ≥时，若21321,,,k k a a a a a a −−−− 构成等比数列，求正整数a ； （3）记12231k k A a a a a a a −=+++ ，求证：2A a <.雅礼中学2024届高三一模数学参考答案1.A 【解析】由题知{}{}(){}U 1,2,4,8,6M N M N ==∴∪= .2.C 【解析】由1i 1zz+=−−解得1i1i ,11i 1iz z ++=∴==−+−+. 3.B 【解析】若m ∥,n α∥α，则,m n 相交或平行或异面，故A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若,m m n α⊥⊥，则n ∥α或n α⊂，故C 错误；若m ∥α，m n ⊥，则n ∥α或n α⊂或n α⊥或n 与α相交，故D 错误.故选：B .4.C 【解析】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即234πlog 3log 8sin03m ×+=，所以2log 80−=，所以m =故选C.5.A 【解析】由函数()f x 的数据可知，函数()()()()22,11f f f f −=−=，偶函数满足此性质，可排除B,D ；当0x >时，由函数()f x 的数据可知，函数()f x 增长越来越快，可排除C.故选：A.6.C 【解析】因为每次只取一球，故12,A A 是互斥的事件，故A 正确；由题意得()113P A =，()()()()()211225152413,,37373721P A P B A P B P A B P A B ===+=×+×=∣，故B ，D 均正确；因为()22483721P A B =×=，故C 错误.故选C.7.D 【解析】由题意得：210031003410030S T −× ，其中()110031003502100310032a a S a +==，()110031003502100310032b b T b +=，代入上式得：250250240a b − ，要方程()201,2,3,,1003i i x a x b i −+== 无实数解，则240i i a b −<，显然第502个方程有解.设方程2110x a x b −+=与方程2100310030x a x b −+=的判别式分别为11003Δ,Δ，则()()()22221100311100310031100311003ΔΔ444a b a b a a b b +=−+−=+−+ ()()()221100350225025025025022428240,22a a ab b a b +−×=−=− 等号成立的条件是11003a a =，所以11003Δ0,Δ0<<至多一个成立，同理可证：21002Δ0,Δ0<<至多一个成立，501503Δ0,Δ0<< 至多一个成立，且502Δ0 ，综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多501个，故有实数解的方程至少有502个.故选：D. 8.A 【解析】设半焦距为c ，延长2F M 交1PF 于点N ，由于PM 是12F PF ∠的平分线，2F M PM ⊥，所以2NPF 是等腰三角形，所以2PN PF =∣，且M 是2NF 的中点.根据双曲线的定义可知122PF PF a −=，即12NF a =，由于O 是12F F 的中点，所以MO 是12NF F的中位线，所以11||2MO NF a ===，所以1cb ，所以双曲线C 的方程为2212x y −=.所以())12,F F ，双曲线C的渐近线方程为0x ±=，设(),,T u v T 到两渐近线的距离之和为S，则S(2221235FT F T u u vu v ⋅=++=+−=，得228u v +=，又T 在22:12x C y −=上，则2212u v −=，即2222u v −=，解得226,2u v ==，所以u >S =，即距离之和为.故选A .9.AD 12，16，22，24，25，31，33，35，45，其中位数为25，平均数是()121622242531333545927++++++++÷=，方差是2222222221824(15)(11)(5)(3)(2)4681899×−+−+−+−+−++++= ，由40%9 3.6×=，得原数据的第40百分位数是第4个数24.将原数据去掉12和45，得16,22,24,25,31,33,35，其中位数为25，平均数是()1861622242531333577++++++÷=，方差是222222217432181131455919167777777749 ×−+−+−+−+++=，由40%7 2.8×=，得新数据的第40百分位数是第3个数24，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故,A D 正确，,B C 错误.故选：AD.10.ABD 【解析】()π2sin 3f x x ω=+，所以函数()y f x =的值域为[]2,2−，故D 正确；因为2π03f=，所以112πππ,33k k Z ω+=∈，所以1131,2k k Z ω−=∈，因为π26f=，所以22πππ2π,632k k Z ω+=+∈，所以22121,k k Z ω=+∈，所以12311212k k −=+，即1281k k =+，所以{}1,13,25,37ω∈ ，因为()227π7ππ3π2sin 1212sin 14π26632f k k=++=+=−，所以曲线()y f x =关于直线7π6x =对称，故A 正确；因为()()()()()2222πππ2sin 1212sin 1214π2sin 121333f x k x k x k k x−=+−+=+−=+即ππ33f x fx−=−−−，所以函数π3y f x=−是奇函数，故B 正确；取13ω=，则最小正周期2π2π7πππ1366T ω<−，故C 错误.故选：ABD 11.ACD 【解析】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以,PB CD PB AD ⊥⊥，又,,CD AD D AD CD ∩=⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ， 所以PB AE ⊥，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 在同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于4AD CD AC ===，2221cos ,23CD AD AC ADC CD AD ∠+−==⋅πcos cos sin 2ADB ADC ADC ∠∠∠=+=−所以222222cos 22216AB BD AD BD AD ADB ∠ =+−⋅=+−××=AB ABE 的周长最小值为4B +错误； C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF上，过点O 作ON PM ⊥于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM ==，同理PM =，则13MF BM==PF =OF ON R ==，故OP PF OF R =−=−，因为PNO PFM ∼ ，所以ON OP FM PM ==，解得R C =正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG −，由C选项可知，其高为，由C 选项可知，PF P ABC −的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z，则,QS SF r=，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14，如图正四面体P HIJ −中，,3QZ r QP r ==，正四面体P ABC −高为34r r +=，解得D r =正确.故选：ACD.12.-160 【解析】()6661111222x x x x x x x x −+=+−+ ，因为612x x + 的通项公式为()66621661C (2)C 206,kkkk k kk T x x k k x −−−+ =∈N ，所以在612x x x + 中，当621k −=−时，不满足；在612x x +中，当620k −=时，3k =，则常数项为3346C 2160T ==，故答案为-160.π【解析】设圆锥的底面半径r ，母线为l ，高为h ， 设母线与底面所成的角为π02αα<<，则cos (0cos 1)r lαα=<<，则2cos r α=，则h ==，则圆锥的体积为22118πr π(2cos )333V h α=⋅⋅=⋅⋅令cos (01)x x α=<<，则()83V x =，令()46f x x x =−，求导得()()353246223f x x x xx ′=−=−，令()0f x ′=，则x =所以当x ∈ 时，()()0,f x f x ′>单调递增，当x∈时，()(0,f x f x ′<单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，也是最大值.此时()83V x =最大，max πV V =，即圆锥的母线与底面所成的角的余弦值cos α=.π. 14.3/1.52【解析】解：由u v ⊗与v u ⊗都是集合,2n x x n =∈Z 的元素， 不妨设121211,,,,22u v u v n v u n n n v u λλ⊗=⋅=⊗=⋅=∈Z 因为0u v ≥>，所以01v u<≤，由已知λ ∈ ，所以()210,12v n u λ=⋅∈，则()20,2n ∈， 又2n ∈Z ，所以21n =，即12v uλ=，所以2u v λ =∈ ，所以)()222,2,4u u v v ∈∈，则()212111,222u u n v v λ⋅=×=∈，即()12,4n ∈， 因为1n ∈Z ，所以13n =，则11322n =，即32u v ⊗=. 四､解答题（本题共6小题，共70分）15.解：（1）()23f x x a =−′，又1x =是函数()f x 的极值点，()130f a =′∴−=，即3a =()()3233,33f x x x f x x ∴=′=−+−()()15,10f f −=′∴−=()f x 在()()1,1f −−处的切线方程为()501y x −=+，即5y =，所以()f x 在()()1,1f −−处的切线方程是5y =（2）()23f x x a =−′，令()0f x ′=，得x =，()f x ∴在 单调递减，在∞ + 单调递增而()()0,28f a f a==−①当8a a ≥−，即4a ≥时，max ()f x a=②当08a a <<−，即04a <<时，max ()8f x a =−综上，当4a ≥时，max ()f x a =；当04a <<时，max ()8f x a=−16.解：（1）因为1cos ,AA AB = 145A AB ∠= ， 因为11cos ,2AA AD = ，所以160A AD ∠= ， 以A 为原点建立如图所示的坐标系，所以()111111111311,,,,,,,1,,,0,1,022222222B M A C D ++ ，所以()11111111,0,,1,1,0,1,,2222B M A C C D =−==−−−，设面11AC D 的法向量为()111,,m x y z =，所以111110111022x y x y z += −−=，令11x =，所以()1,1,1m −− ，因为110,B M m B M ⋅= 不在面11AC D 内，所以1B M ∥平面11AC D ；（2）()1,0,0B ，所以()1,0,0AB = ，设面1BAA 的法向量()222,,n x y z =，因为111,22AA =，所以2222011022x x y z = ++=，令21y =，则()0,1,1n =− ，设面1AA D 的法向量()333,,o x y z = ，因为()0,1,0AD =，所以3333110220y z y ++= = ，令31x =，所以(1,0,o =，所以cos n o n o θ⋅== ，所以二面角1B AA D −−.17.（1）记事件“第i 次摸到红球”为()1,2,3,,10i A i = ，则第2次摸到红球的事件为2A ，于是由全概率公式，得()()()()()21211217237710310910P A P A P A A P A P A A =+=×+×=∣∣. （2）由已知得()371123310A 7A 24P P A A A ===，()21710P P A ==，()()()21273212110A 107102A 71573P A A P P A A P A ===×=×=∣， ()()()12343121271552478P A A A P P A A A P A A ===×=∣. （3）（2）可得1234P P P P =，即()()()()123121312P AA A P A P A A P A A A =∣∣， 可猜想：()()()()P ABC P A P BA P C AB =∣∣，证明如下：由条件概率及()()0,0P A P AB >>，得()()()()()(),P AB P ABC P B A P C AB P A P AB ==∣∣，所以()()()()()()()()()P AB P ABC P A P B A P C AB P A P ABC P A P AB =⋅⋅=∣∣. 18.（1）解：由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2 − 在椭圆上，可得12c a =，所以22222131124b c a a =−=−=，又点31,2− 在该椭圆上，所以221914a b+=，所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）证明：设()()1122,,,M x y N x y ，由于该直线斜率不为0，可设:1MN L x my =−， 联立方程1x my =−和22143x y +=，得()2234690m y my +−−=，Δ0>恒成立，根据韦达定理可知，()1212121222693,,34342m y y y y my y y y m m −+=⋅=⋅=−+++，211221,22y y k k x x ==−+，()()()()1212212111212122233,21y x y my k my y y k x y my y my y y −−−===+++()()221212121211221122331023,.332y y y k k k k k k k k k k y y y −+−+∴==∴=+=⋅−++ 19.解：（1）当4k =时正整数a 的4个正约数构成等比数列，比如1,2,4,8为8的所有正约数，即8a =.（2）由题意可知112231,,,k k k a a a a a a a a a −−====， 因为4k ≥，依题意可知3212112kk k k a a a a a a a a −−−−−=−−，所以3222123a a a a a a a a a a a −−=−−，化简可得()()2232231a a a a −=−，所以232321a a a a a −= − ，因为*3N a ∈，所以*3221N a a a a −∈−，因此可知3a 是完全平方数.由于2a 是整数a 的最小非1因子，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以21321,,,k k a a a a a a −−−− 为212222221,,,k k a a a a a −−−−− ，所以()12,4k a a k −= .（3）证明：由题意知()1211,,,,,1k k i k i a a a a a a a a a i k −+−===≤≤ ， 所以22212112k k k k a a a A a a a a a a −−−=+++ ，因为121121************,,k k k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a a a −−−−−≤=−≤=− ，所以22221211212112111k k k k k kk k a a a A a a a a a a a a a a a a a −−−−−− =+++=+++22122311111111k k a a a a a a a a a ≤−+−++=− ，因为11,k a a a ==所以1111ka a −<，所以22111k A a a a a ≤−< ，即2A a <.。
2023届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期仿真卷(一)数学试题含答案
新高考2023届高三仿真卷（一）数学(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·吕梁模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |log 2x <2}，则A ∩B 等于()A ．(－1,4)B ．(－1,3)C ．(0,3)D ．(0,4)2．(2022·长春模拟)已知复数z 的共轭复数z ＝2＋i3－i ，则复数z 在复平面内对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(2022·合肥模拟)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则说法不正确的是()A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．立春的晷长与立秋的晷长相同D ．立冬的晷长为一丈五寸4．(2022·重庆调研)函数y ＝ln cos x －π2<x ()5．(2022·邯郸模拟)(2－x 2展开式中的常数项为()A ．－15B ．－13C ．13D ．156．(2022·郑州模拟)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝4，EF ＝2，△BCF ，△ADE 都是等边三角形，则五面体ABCDEF 的体积为()A.4113B.20113C.8113D ．4117．(2022·荆州模拟)甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中．则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是()A.730B.715C.760D.1208．(2022·成都模拟)已知双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作斜率为3的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，则△AF 1B 的内切圆半径为()A.a 2B.a 6C.63a D.66a 二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9．(2022·洛阳模拟)已知m >n ，且m ＋n >1，则()A ．2m >2nB ．m 2>n 2C ．m 2－m <n 2－nD ．ln|m |＋ln|n |>010．(2022·淄博模拟)某人投掷骰子5次，由于记录遗失，只有数据平均数为3和方差不超过1，则这5次点数中()A ．众数可为3B ．中位数可为2C ．极差可为2D ．最大点数可为511．(2022·高邮模拟)已知函数f (x )＝sin(3x ＋φ－π2<φx ＝π8对称，那么()A ．函数fB ．函数f (x )在－π24，5π24上单调递增C ．若|f (x 1)－f (x 2)|＝2，则|x 1－x 2|的最小值为π3D ．函数f (x )的图象向右平移3π8个单位长度得到函数y ＝－cos 3x 的图象12．(2022·徐州模拟)已知函数f (x )＝x e x ，则()A ．曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝xB ．函数f (x )的极小值为－eC ．当23e 2≤a <12e时，f (x )<a (x －1)仅有一个整数解D ．当2e<a ≤3e 22时，f (x )<a (x －1)仅有一个整数解三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2022·淮安模拟)a ，b 满足a ＝(1,2)，|b |＝10，a ·b ＝522，则cos 〈a ，b 〉＝________.14．(2022·蚌埠模拟)国家发展改革委为贯彻落实《长三角一体化发展规划“十四五”实施方案》有关部署，制定沪苏浙城市结对合作一对一帮扶皖北城市工作计划，帮扶城市(区)包括上海市3个区、江苏省3个市、浙江省2个市，受帮扶城市包括安徽省淮北市、亳州市、宿州市、蚌埠市、阜阳市、淮南市、滁州市、六安市共8个市，则帮扶方案中上海市3个区没有被安排帮扶蚌埠市、阜阳市、滁州市的方法种数为________．(用数字作答)15．(2022·济宁模拟)已知点A 是焦点为F 的抛物线Γ：y 2＝4x 上的动点，且不与坐标原点O 重合，线段OA 的垂直平分线交x 轴于点B .若AF →＝2CF →，则|AB |－|AC |＝________.16．(2022·哈尔滨模拟)已知m >0，若对任意的x ∈[1，＋∞)，不等式2mx －1－1m log 4x ≥0恒成立，则m 的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2022·秦皇岛模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝36，且a 8是a 5与a 13的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n .18．(12分)(2022·兰州模拟)重楼，中药名，具有清热解毒、消肿止痛、凉肝定惊之功效，具有极高的药用价值．近年来，随着重楼的药用潜力被不断开发，野生重楼资源已经满足不了市场的需求，巨大的经济价值提升了家种重楼的热度，某机构统计了近几年某地家种重楼年产量y (单位：吨)，统计数据如表所示．年份2016201720182019202020212022年份代码x 1234567年产量y /吨130180320390460550630(1)根据表中的统计数据，求出y 关于x 的经验回归方程；(2)根据(1)中所求方程预测2024年该地家种重楼的年产量．附：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝错误!＝错误!，a ^＝y －b ^x .19．(12分)(2022·深圳模拟)已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＋a ＝b (3sin C ＋cos C )．(1)求B ；(2)若a ＝2，求c 的取值范围．20．(12分)(2022·新余模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，已知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ，E 是PA 的中点．(1)求证：平面PAB ⊥平面BCE ；(2)若BC ＝62AB ，求平面ABC 与平面ABE 夹角的正弦值．21．(12分)(2022·长沙模拟)已知离心率为12的椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P PF 1F 2的周长为6，且F 1为抛物线C 2：y 2＝－2px (p >0)的焦点．(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)过椭圆C 1的左顶点Q 的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，点O 为原点，射线OA ，OB 分别交椭圆于C ，D 两点，△OCD 的面积为S 1，△OAB 的面积为S 2.则是否存在直线l 使得S 2＝133S 1？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．(12分)(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )＝e x －ax －a ，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调区间；(2)当a＝1时，令g(x)＝2f(x)x2.①证明：当x>0时，g(x)>1；②若数列{x n}(n∈N*)满足x1＝13，1e n x＋＝g(x n)，证明：2n(e n x－1)<1.参考答案1．C 2.D3.C4.A5.B6.B7．A[由题知，若两次取球后，甲的袋子中恰有6个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为12×12＝14，则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白球，乙的袋子中有1个红球和2个白球；第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为35×13＋25×23＝715，故第一次取球甲﹑乙都取到红球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为760.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为760.故所求概率为760＋760＝730.]8．C[如图，不妨设A 在第一象限，A (x 1，y 1)，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，得F 2(2a ,0)，则|AF 2|2＝(x 1－2a )2＋y 21＝(x 1－2a )2＋x 21－a2＝2x 21－22ax 1＋a 2＝(2x 1－a )2，所以|AF 2|＝2x 1－a .(*)又∠AF 2M ＝60°，则|AF 2|cos 60°＝|F 2M |＝x 1－2a ，即x 1＝12|AF 2|＋2a ，代入(*)式得|AF 2|2|＋2a ，即|AF 2|＝(2＋2)a ，同理|BF 2|＝(2－2)a ，则|AB |＝4a ，1AF B S △＝12|F 1F 2|·|AB |sin 60°＝26a 2，故△AF 1B 的内切圆半径r 满足12(|F 1A |＋|F 1B |＋|AB |)r ＝1AF B S △，又|F 1A |＋|F 1B |＝|AB |＋4a ＝8a ，所以12×12a ×r ＝26a 2，解得r ＝63a .]9．AB 10．AC[如果五次都为3，满足题意，众数为3，符合题意，故A 正确；若中位数为2，则出现2,2,2,4,5这组情况方差最小，但此时方差大于1，不符合题意，故B 错误；2,3,3,3,4这种情况下方差为0.4，极差为2，故C 正确；若最大点数为5，当方差最小时，该组数为2,2,3,3,5，该组数的方差大于1，故D 错误．]11．AC [因为f (x )＝sin(3x ＋φ)的图象关于直线x ＝π8对称，所以3×π8＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，得φ＝π8＋k π，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以k ＝0，φ＝π8，所以f (x )＝x对于A ，f ＝sin 3＋π8＝sin 3x ，所以fA 正确；对于B ，当x ∈－π24，5π24时，3x ＋π8∈0，3π4，函数f (x )在－π24，5π24上不是单调函数，故B 不正确；对于C ，因为f (x )max ＝1，f (x )min ＝－1，又因为|f (x 1)－f (x 2)|＝2，所以|x 1－x 2|的最小值为半个周期，即2π3×12＝π3，故C 正确；对于D ，函数f (x )的图象向右平移3π8个单位长度得到y ＝sin 3＋π8＝sin(3x －π)＝－sin 3x ，故D 不正确．]12．AC[f ′(x )＝(x ＋1)e x ，则切线的斜率为k ＝f ′(0)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x ，故A 正确；f (x )＝x e x 在(－1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，则当x ＝－1时，f (x )有极小值，即f (－1)＝－e －1，故B 不正确；由于f (x )＝x e x 在(－1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，则当x ＝－1时，f (x )有最小值，即f (－1)＝－e －1.当x <－1时，x e x <0，则函数f (x )的图象在x 轴下方；当x >－1时，f (0)＝0，则函数f (x )存在一个零点x ＝0，故f (x )＝x e x 的图象如图所示，函数f (x )＝x e x 在直线y ＝a (x －1)下方的横坐标为整数的点只有一个，点A (－1，－e －1)，B (－2，－2e －2)，其中k P A ＝e －12＝12e ，k PB ＝2e －23＝23e 2，则k PB ≤a <k P A ，即23e 2≤a <12e，故C 正确，D 不正确．]13.1214.720015.32解析方法一由题意，不妨设A (x 0，y 0)，x 0>0，B (x B ,0)，D 为OA 的中点，则y 20＝4x 0，线段OA 的中点依题意得k OA ·k DB ＝－1，所以y0x 0·y 02x 02－x B ＝－1，所以y 20x 0(x 0－2x B )＝－1，所以4x 0x 0(x 0－2x B )＝－1，得x B ＝2＋12x 0，故|AB |＝|OB |＝12x 0＋2.因为AF →＝2CF →，所以C 为线段AF 的中点，又F (1,0)，所以|AC |＝12|AF |＝x 0＋12，所以|AB |－|AC |＝32.方法二由题意得F (1,0)，C 为线段AF 的中点，不妨设A (x 0，y 0)，x 0>0，则设线段OA 的垂直平分线为y＋y 02，令y ＝0，得x B ＝y 202x 0＋x 02，又y 20＝4x 0，所以x B ＝2＋x 02，则|AB |＝|OB |＝2＋x02.又|AC |＝x 0＋12，所以|AB |－|AC |＝2＋x 02－x 0＋12＝32.16.1eln 2解析2mx －1－1m log 4x ≥0变形为2mx －1－12mlog 2x ≥0，即2mx ≥1mlog 2x ，mx ·2mx ≥log 2x ·2log 2x ，设f (t )＝t ·2t (t >0)，f ′(t )＝2t ＋t ·2t ln 2>0，则f (t )是增函数，由f (mx )≥f (log 2x )恒成立得mx ≥log 2x ，即m ≥log 2x x，设g (x )＝log 2x x(x ≥1)，g ′(x )＝1－ln x x 2ln 2，当1<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1eln 2，所以m ≥1eln 2，即m 的最小值是1eln 2.17．解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题可知d >0，因为a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝4a 5＝36，所以a 5＝9，又a 8是a 5与a 13的等比中项，所以a 28＝a 5a 13，即(a 5＋3d )2＝a 5(a 5＋8d )，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1.(2)因为b n ＝1a n a n ＋1，所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n…＝n 2n ＋1.18．解(1)由表格数据，得x ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋77＝4，y ＝130＋180＋320＋390＋460＋550＋6307＝380，错误!i y i ＝1×130＋2×180＋3×320＋4×390＋5×460＋6×550＋7×630＝13020，错误!2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＝140，则b ^＝13020－7×4×380140－7×16＝238028＝85，所以a ^＝y －b ^x ＝380－85×4＝40，所以y 关于x 的经验回归方程为y ^＝85x ＋40.(2)由题可知，2024年的年份代码为9，即x ＝9，将x ＝9代入回归方程，得y ^＝85×9＋40＝805，所以预测2024年该地家种重楼的年产量为805吨．19．解(1)由c ＋a ＝b (3sin C ＋cos C )及正弦定理得sin C ＋sin A ＝3sin B sin C ＋sin B cos C ，所以sin C ＝3sin B sin C ＋sin B ·cos C －sin(B ＋C )＝3sin B sin C －cos B sin C ，因为0<C <π2，所以sin C ≠0，所以3sin B －cos B ＝1，从而＝12.因为0<B <π2，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，所以c ＝2sin C sin A ＝2sin (A ＋B )sin A ＝sin A ＋3cos A sin A＝1＋3cos A sin A ＝1＋3tan A.因为△ABC 是锐角三角形，A <π2，C ＝2π3－A <π2，解得π6<A <π2.因为y ＝tan x所以tan A >33.从而0<3tan A<3，所以1<c <4，即c 的取值范围是(1,4)．20．(1)证明因为PB ＝AB ，E 是PA 的中点，所以PA ⊥BE ，同理可得PA ⊥CE ，因为BE ∩CE ＝E ，BE ，CE ⊂平面BCE ，所以PA ⊥平面BCE .因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面BCE .(2)解设AB ＝2，因为BC ＝62AB ，所以BC ＝6，又BE ＝CE ＝3，所以BE 2＋CE 2＝BC 2，所以BE ⊥CE .如图，以点E 为坐标原点，EB ，EC ，EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，则E (0,0,0)，A (0,0，－1)，B (3，0,0)，C (0，3，0)，所以AB →＝(3，0,1)，AC →＝(0，3，1)，设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，1·AB →＝0，1·AC →＝0，＋z ＝0，＋z ＝0，令x ＝3，可得z ＝－3，y ＝3，所以平面ABC 的一个法向量为n 1＝(3，3，－3)．易知CE ⊥平面ABE ，所以平面ABE 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝315×1＝55，所以平面ABC 与平面ABE 夹角的正弦值为255.21．解(1)＋2c ＝6，＝12，＝b 2＋c 2，＝2，＝3，＝1，∴椭圆C1的方程为x24＋y23＝1，F1(－1,0)，∴抛物线C2的方程为y2＝－4x.(2)由题意得，直线l的斜率不为0，Q(－2,0)，设直线l的方程为x＝my－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，＝my－2，2＝－4x，得y2＋4my－8＝0，∴y1＋y2＝－4m，y1y2＝－8，∵S2＝133S1，∴S2S1＝12|OA|·|OB|sin∠AOB12|OC|·|OD|sin∠COD＝|OA|·|OB||OC|·|OD|＝|y1y3||y2y4|＝|y1y2y3y4|＝133，∵y21＝－4x1，∴直线OA的斜率为y1x1＝－4y1，即直线OA的方程为y＝－4y1x，＝－4y1x，＋y23＝1，得y23＝3×643y21＋64，同理可得y24＝3×643y22＋64，y23·y24＝3×643y21＋64×3×643y22＋64＝32×6429y21y22＋3×64(y21＋y22)＋642＝32×6429×64＋3×64×[(－4m)2＋16]＋642＝32×6448m 2＋121，＝|y 1y 2|2|y 3y 4|2＝121＋48m 29＝13232，解得m ＝±1，∴存在直线l ，方程为x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0.22．(1)解函数f (x )＝e x －ax －a 的定义域为R ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，当a >0时，令f ′(x )＝e x －a >0，解得x >ln a ，令f ′(x )＝e x －a <0，解得x <ln a ，即f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，ln a )，单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)证明当a ＝1时，g (x )＝2(e x －x －1)x2，①当x >0时，2(e x －x －1)x 2>1⇔e x >1＋x ＋x 22⇔12x 2＋x ＋1ex <1，令F (x )＝12x 2＋x ＋1ex －1，x >0，则F ′(x )＝－12x 2e x<0恒成立，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递减，F (x )<F (0)＝1e0－1＝0，因此12x 2＋x ＋1e x<1成立，所以当x >0时，g (x )>1.②由①可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>1，由x 1＝13得2e x ＝g (x 1)>1，即x 2>0，由1e n x ＋＝g (x n )，可得x n >0，而113e 1=e 1x --，又e ＝e －278<0，即13e <32，则113e 1=e 1x --<12，由于2n (e n x －1)<1⇔e nx －，只需证1e n x ＋－1<12(e n x －1)⇔g (x n )－1<1e 2n x －12，又当x >0时，g (x )－1<12e x －12⇔(x 2－4)e x ＋x 2＋4x ＋4＝(x －2)·(x ＋2)e x ＋(x ＋2)2>0⇔(x －2)e x x ＋2＋1>0，令h (x )＝(x －2)e x x ＋2＋1，x >0，h ′(x )＝x 2e x (x ＋2)2>0恒成立，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增，h (x )>h (0)＝0，则当x >0时，恒有(x －2)e x x ＋2＋1>0，而x n >0，即g (x n )－1<1e 2n x －12成立，不等式1e n x ＋－1<12(e n x －1)成立，因此1en x ＋－1<12(e n x －1)<122(1e n x -－1)<…<12n (1e x －1)<12n ＋1成立，即e n x －成立，所以原不等式得证．。
2019年湖南省长沙市雅礼中学 高三数学文模拟试卷含解析
2019年湖南省长沙市雅礼中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程是（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．x2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y+3）2=1参考答案：A【考点】J1：圆的标准方程．【分析】设圆心的坐标为（0，b），则由题意可得1=，解出b，即得圆心坐标，根据半径求得圆的方程．【解答】解：设圆心的坐标为（0，b），则由题意可得1=，∴b=2，故圆心为（0，2），故所求的圆的方程为 x2+（y﹣2）2=1．故选：A．2. 如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④参考答案：C【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．【解答】解：由题意知，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，则从上向下投影时，点P的影子落在对角线AC上，故△PAC在下底面上的射影是线段AC，是第一个图形；当从前向后投影时，点P的影子应落在侧面CDC1D1的中心上，A点的影子落在D上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形；当从左向右投影时，点P的影子应落在侧面BCB1C1的中心上，A点的影子落在B上，故故△PAC在面CDC1D1上的射影是三角形，是第四个图形．故选C．3. 已知全集集合则（）A. B. C. D.参考答案：B略4. 在△ABC中，若?=?=?，且||=||=||=2，则△ABC的周长为（）A． B． 2 C． 3 D． 6参考答案：D考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：在△ABC中，由?=?=?，且||=||=||=2三角形是等边三角形，只要求出△ABC的一边长度即可．解答：解：因为在△ABC中，?=?=?，且||=||=||=2，所以△ABC是等边三角形；由在△ABC中，若?=?=?，且||=||=||=2，所以∠AOB=120°，由余弦定理得AB2=OA2+OB2﹣2OA×OBcos120°=4+4+4=12，所以AB=2，所以三角形的周长为6；故选D．点评：本题考查了向量的数量积定义的运用，关键是由已知向量关系判断三角形的形状以及利用余弦定理求三角形的边长．5. 已知实数，满足，则的最大值为（）A． B．C． D．参考答案：D6. 在平面直角坐标系xoy中，以x的非负半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于点A,B，已知A的横坐标为，B的纵坐标为，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D考点：三角函数的基本关系式；二倍角公式；两角和的正弦公式.【易错点睛】本题主要考查了三角函数的定义；三角函数的基本关系式；二倍角公式；两角和的正弦公式.利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：(1)角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标；(2)纵坐标；(3)该点到原点的距离.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．7. 设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为A． B． C．) D．参考答案：C略8. 已知满足，则目标函数的最小值是A．B． C．D．参考答案：C9. 已知为互不重合的三条直线，平面平面，，，那么是的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：B略10. 某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表：A．90% B．95% C．99% D．99.9%附：参考公式和临界值表：参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是这7个数据的中位数，且这四个数据的平均数为1，则的最小值为．参考答案：略12. 锐角△ABC中，AB＝4，AC＝3，△ABC的面积为，则BC＝_______。
2020届湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟试卷(一)(含解析)
2020届湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟试卷(一)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x(x +1)≤2}，B ={x||x −1|>1}，则A ∩B =( )A. [−1,0)B. [−2,0)C. (0,1]D. (0,2]2. 复数1−2i3+4i 在复平面上对应的点位于( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限3. “”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻(芝麻落到任何位置的可能性相等)，恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为( )A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π5. 贵州省的五个旅游景区门票票价如表所示：景区名称 黄果树 龙宫 百里杜鹃 青岩古镇 梵净山 票价(元)1501509080290关于这五个旅游景区门票票价，下列说法错误的是( )A. 众数为150B. 平均数为152C. 中位数为90D. 极差为2106. 已知x ，y 满足约束条件{x +y −1≥02x −y −2≤0x −2y +2≥0，则x+1y−1的取值范围是( )A. [−12,13]B. [−2,3]C. (−∞,−12]∪[13,+∞)D. (−∞,−2]∪[3,+∞)7. 已知a 为如图所示的算法框图中输出的结果，则二项式(x +ax 2)9的展开式中的常数项为( )A. 84B. −84C. 672D. −6728. 甲乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后二人同时到达B 地，甲乙两人骑自行车速度都大于各自跑步速度，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快．若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数用图象表示如下，则在下列给出的四个函数中甲乙二人的图象只可能( )A. 甲是图①，乙是图②B. 甲是图①，乙是图④C. 甲是图③，乙是图②D. 甲是图③，乙是图④9. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(5π9)的值是( ) A. 1 B. −1 C. 12 D. −1210. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 8B.C.D.11. 若存在唯一的正整数x 0，使关于x 的不等式x 3−3x 2−ax +5−a <0成立，实数a 的取值范围是( )A. (0,13)B. (13,54]C. (13,32]D. (54,32]12. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，若a =2b ，则双曲线的离心率为( )A. √52B. √5C. 2√5D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若∫(t12x+1x)dx=3+ln2，且t>1，则t的值为．14.若向量a⃗=(x,1)，b⃗ =(x+1,6)，且a⃗//b⃗ ，实数x=______ ．15.已知△ABC三边均不相等，且cosAcosB =ba，则角C的大小为______ ．16.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD且PA=1，则点P到直线BD的距离是．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2n−1−1(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项a n；(2)求数列{|a n−n|}的前n项的和T n=|a1−1|+|a2−2|+|…+|a n−n|．18.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A，B的一点，AD⊥⊙O所在的平面PAB，四边形ABCD是边长为2的正方形，连结PA，PB，PC，PD．(1)求证：平面PBC⊥平面PAD；(2)若PA=1，求四棱锥P−ABCD的体积．19. 为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．(1)请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率．(2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表(单位：件)，并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”．(3)已知每件产品的纯利润y(单位：元)与产品质量指标t 的关系式为y ={2,30<t ≤451,15<t ≤30.若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．P(K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820. 已知椭圆C 1：x 24+y 2=l ，曲线C 2：上的动点M(x,y)满足：√x 2+(y +2√3)2+√x 2+(y −2√3)2=8． (Ⅰ)求曲线C 2的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，第一象限的点A ，B 分别在C 1和C 2上，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求线段|AB|的长．21. 已知x >0，函数f(x)=lnx −axx+1．(1)当a ≥0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当f(x)有两个极值点(设为x 1和x 2)时，求证：f(x 1)+f(x 2)≥x+1x⋅[f(x)−x +1]．22. 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，直线l 的极坐标方程是ρcos(θ+π4)=2.试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．23. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈[0,12]，都有f(x 1+x 2)=f(x 1)⋅f(x 2)，且f(1)=a >0． (1)求f(12)及f(14)； (2)证明f(x)是周期函数．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵A={x|x(x+1)≤2}={x|−2≤x≤1}，B={x||x−1|>1}={x|x<0或x>2}，∴A∩B={x|x<0}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：复数1−2i3+4i =(1−2i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=−5−10i25=−15−25i对应的点(−15,−25)在第三象限，故选：B．利用复数的运算法则和几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．3.答案：A解析：试题分析：当，则，所以；当，则，而此时；故“”是“”的充分而不必要条件．考点：充分必要条件4.答案：B解析：解：设该多边形的面积为S，则40200=π⋅12S，∴S=5π，故选B．由几何概型概率计算公式，以面积为测度，可求该阴影部分的面积．本题考查概率的性质和应用，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概型．解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题．5.答案：C解析：解：由题意知，这组数据从小到大排列为：80，90，150，150，290； 所以这组数据的众数是150，中位数是150，A 正确，C 错误； 极差是290−80=210，D 正确；平均数是x −=15×(80+90+150+150+290)=152，B 正确． 故选：C ．根据题意分别求出这组数据的众数、中位数、极差和平均数即可．本题考查了一组数据的众数、中位数、极差和平均数的计算问题，是基础题．6.答案：D解析：解：x+1y−1表示可行域内的点(x,y)与点(−1,1)连线的斜率的倒数，A(2,2)；B(1,0)；k AD =2−12+1=−13， k DB =0−11+1=−12， 作出可行域，可知点(x,y)与点(−1,1)连线的斜率的范围 是[−12,13]，所以x+1y−1的取值范围是(−∞,−2]∪[3,+∞)． 故选：D ．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力．7.答案：B解析：解：a =2，i =1<2015，执行a =11−2=−1，i =1+1=2； i =2<2015，执行a =11−(−1)=12，i =2+1=3； i =3<2015，执行a =11−12=2；…∴执行过程中a 的值以3为周期周期出现，∵2014=671×3+1，∴a=−1．则(x+ax2)9=(x−1x2)9．由T r+1=C9r x9−r⋅(−1x2)r=(−1)r C9r⋅x9−3r．令3−r=0，得r=3．∴二项式(x+ax2)9的展开式中的常数项为(−1)3C93=−84．故选：B．通过读取框图求得a的值，代入二项式，写出二项展开式的通项，由x的指数等于0求得r值，则答案可求．本题考查程序框图，考查了二项式系数的性质，正确读取框图是解答该题的关键，是基础的计算题．8.答案：B解析：解：由题设，两人都是到中点变换了行走方式，且同时到达目的地，由于甲骑自行车的速度较快，故其骑车用时比乙少，而跑步用时比乙多，故甲骑车时函数图象比乙骑车时图象增加得快，即斜率大，跑步斜率比乙跑步斜率小，且其骑车用时比乙少，跑步用时比乙多，甲的图象是先斜率大，后斜率小，而乙的是先斜率小后斜率大，由此规律知符合甲的运行规律的图象应为①，符合乙的运行规律的图象应为④故甲、乙各人的图象只可能甲是图①，乙是图④故选：B．先研究两个人赶往B地的速度变化规律，再研究四个函数图象的变化特点，两相对照，选出正确答案本题考点是函数的图象，考查用函数图象表示行程问题中路程关于时间的变化规律，此类题是考查函数单调性的一类题，是最近几年新教材考试中的热门题型9.答案：B解析：解：由题意可得：周期T=2(11π18−5π18)=2πω，解得ω=3，∴f(x)=Asin(3x+φ)，∵由函数图象过点(5π18,0)可得0=Asin(3×5π18+φ)，∴3×5π18+φ=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ−5π6，k∈Z，∵0<φ<π2，可得φ=π6，∴函数的解析式为f(x)=Asin(3x+π6)，∵由函数图象过点(0,1)可得：1=Asinπ6，解得：A=2，∴函数的解析式为f(x)=2sin(3x+π6)，∴f(5π9)=2sin(3×5π9+π6)=2sin11π6=−1．故选：B．由函数图象可求周期T，利用周期公式可求ω，由函数图象过点(5π18,0)，结合范围0<φ<π2，可得φ，由函数图象过点(0,1)可得A的值，从而可求函数的解析式为f(x)=2sin(3x+π6)，由已知利用诱导公式化简求值即可得解．本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．10.答案：C解析：试题分析：由三视图知，此几何体可以看作是一个边长为2的正方体被截去了一个棱台而得到，此棱台的高为2，一底为直角边长为2的等腰直角三角形，一底为直角边长为1的等腰直角三角形，棱台的两底面的面积分别为和，故几何体的体积为.选C．考点：1.三视图；2.割补法求体积11.答案：B解析：设g(x)=x3−3x2+5，ℎ(x)=a(x+1)，在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可．本题考查了函数图象以及不等式整数解问题；关键是将问题转化为两个函数图象交点问题；属于难题．解：设f(x)=x 3−3x 2−ax +5−a ，则存在唯一的正整数x 0，f(x 0)<0，再设g(x)=x 3−3x 2+5，ℎ(x)=a(x +1)，两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数x 0，使得f(x 0)<0，只要{g(1)≥ℎ(1)g(2)<ℎ(2)g(3)≥ℎ(3)，即{1−3+5≥2a8−12+5<3a 27−27+5≥4a，解得13<a ≤54；故选B ． 12.答案：A解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．直接利用双曲线的几何量的关系，求出离心率即可．解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，a =2b ，可得a 2=4b 2=4(c 2−a 2)，解得e =√52． 故选：A ．13.答案：2解析：试题分析：根据题意找出2x +1x 的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出t 值；∫(t 12x +1x )dx =(x 2+lnx)|1t =t 2+lnt −(1+ln1)=3+ln2，t >1， ∴t 2+lnt =4+ln2=22+ln2，∴t =2，故答案为2；14.答案：15解析：解：∵a⃗//b⃗ ，且a⃗=(x,1),b⃗ =(x+1,6)，∴6x−(x+1)=0，解得x=15．故答案为：15．根据a⃗//b⃗ 即可得出6x−1⋅(x+1)=0，然后解出x的值即可．本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：90°解析：解：由正弦定理asinA =bsinB，得到ba=sinBsinA，代入已知等式得：cosAcosB =sinBsinA，即sinAcosA=sinBcosB，整理得：12sin2A=12sin2B，即sin2A=sin2B，∴2A=2B(此三角形为不等边三角形，舍去)或2A+2B=180°，∴A+B=90°，则C=90°．故答案为：90°．已知等式右边利用正弦定理化简，整理后再利用二倍角的正弦函数公式化简，得到2A与2B相等或互补，进而求出C的度数．此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．16.答案：135解析：本题考查空间距离，考查学生的计算能力，属于基础题．过A作AE⊥BD，垂足为E，连接PE，则PE为点P到对角线BD的距离，即可得出结论．解：如图所示，过A作AE⊥BD，垂足为E，连接PE，PA⊥平面ABCD，AE，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥BD∵AE⋂PA=A，AE，PA⊂平面PAE，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE则PE为点P到对角线BD的距离，∵矩形ABCD ，AB =3，BC =4，∴3×4=5×AE∴AE =125 又∵PA =1，PA ⊥AE ，∴PE =√1+(125)2=135．故答案为135．17.答案：解：(1)当n =1时a 1=S 1=0，当n ≥2时a n =S n −S n−1=2n−1−2n−2=2n−2，所以a n ={0(n =1)2n−2(n ≥2)． (2)数列{|a n −n|}前3项都小于0，第4项等于0，从第5项开始都大于0当n ≤3时，T n =|a 1−1|+|a 2−2|+⋯+|a n −n|，=(1+2+⋯+n)−S n =n(n+1)2+1−2n−1，当n ≥4时T n =|a 1−1|+|a 2−2|+|…+|a n −n|=(1−a 1)+(2−a 2)+(3−a 3)+(a 4−4)+(a 5−5)+⋯+(a n −n)，=(a 1+a 2+⋯+a n )−2(a 1+a 2+a 3)−(1+2+⋯+n)+2(1+2+3)，=(a 1+a 2+⋯+a n )−(1+2+⋯+n)−2S 3+12，=S n −n(n+1)2−6+12．=2n−1−n(n+1)2+5．所以T n ={n(n+1)2+1−2n−1(0<n ≤3)2n−1−n(n+1)2+5(n ≥4)．解析：(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，分组法求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18.答案：(1)证明：∵AD ⊥⊙O 所在的平面PAB ，PB ⊂⊙O 所在的平面PAB ，∴AD⊥PB，∵PA⊥PB，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAD；(2)解：在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，∵AD⊥⊙O所在的平面PAB，PE⊂⊙O所在的平面PAB，∴AD⊥PE，∵AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，直角△PAB中，AB=2，PA=1，∴PB=√3，∴PE=1×√32=√32，∴四棱锥P−ABCD的体积V=13×22×√32=2√33．解析：【试题解析】(1)证明PB⊥平面PAD，即可证明平面PBC⊥平面PAD；(2)若PA=1，在平面PAB内过P作PE⊥AB于E，证明PE⊥平面ABCD，即可求四棱锥P−ABCD的体积．本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查四棱锥P−ABCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)根据题意，估计新设备所生产的产品优质率为30+25+15100×100%=70%，估计旧设备所生产的产品优质品率为5×(0.06+0.03+0.02)×100%=55%；(2)根据已知图表数据填写下面列联表，由表中数据，计算K 2=200×(30×55−70×45)2100×100×75×125=4.8>3.841， 所以有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”．(3)因为新设备所生产的产品优质率为70%， 所以每台新设备每天所生产1000间产品中，估计有1000×70%=700件优质品，有1000−700=300件合格品， 所以每台新设备每天生产的产品纯利润为700×2+300×1=1700(元)，买一台新设备需要80万元，则80×10000÷1700≈471(天)，所以估计至少需要生产471天才可以收回设备成本．解析：(1)根据频率分布表和直方图分别计算新、旧设备所生产的产品优质率；(2)根据已知图表数据填写列联表，计算K 2，对照临界值得出结论；(3)计算每台新设备每天产品的纯利润，求出至少需要生产多少天才能收回设备成本．本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用问题，也考查了独立性检验应用问题，是中档题． 20.答案：解：(Ⅰ)动点M(x,y)满足：√x 2+(y +2√3)2+√x 2+(y −2√3)2=8，可得点(x,y)到点P(0,−2√3)和点Q(0,2√3)的距离之和为8，且8>|PQ|，即有动点的轨迹为以P ，Q 为焦点的椭圆，且a =4，c =2√3，b =2，则C 2的方程为y 216+x 24=1；(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得x 2=2x 1，可设AB 的方程为y =kx ，代入椭圆C 1：x 24+y 2=l ，可得(1+4k 2)x 2=4， x 12=41+4k 2；将y =kx 代入y 216+x 24=1，可得(4+k 2)x 2=16， 即x 22=164+k 2， 则164+k 2=4⋅41+4k 2，解得k =±1，即有A(2√55,2√55)，B(4√55,4√55)， |AB|=√(4√55−2√55)2+(4√55−2√55)2=2√105． 解析：(Ⅰ)由两点的距离公式和椭圆定义，即可得到所求轨迹方程；(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得x 2=2x 1，可设AB 的方程为y =kx ，联立椭圆方程求得交点的坐标，再由两点的距离公式，计算可得所求值．本题考查曲线方程的求法，注意运用椭圆定义，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f ′(x)=1x −a (x+1)2=x 2−(a−2)x+1x(x+1)2，x >0，设g(x)=x 2−(a −2)x +1， 当Δ=a 2−4a ≤0，即0≤a ≤4时，在(0,+∞)上，f ′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增；当Δ=a 2−4a >0，即a >4时，方程x 2−(a −2)x +1=0有两个不相等的实数根：x 1=(a−2)−√(a−2)2−42，x 2=(a−2)+√(a−2)2−42，显然0<x 1<x 2，∵当x ∈(0,x 1)，x ∈(x 2,+∞)时，f ′(x)>0；当x ∈(x 1,x 2)时，f ′(x)<0；∴函数f(x)在(a−2−√a2−4a 2,a−2+√a 2−4a 2)上单调递减， 在(0,a−2−√a2−4a 2)和(a−2+√a 2−4a 2,+∞)上单调递增．(2)∵x 1，x 2是f(x)的两个极值点，故满足方程f ′(x)=0，即x 1，x 2是x 2−(a −2)x +1=0的两个解，∴x 1x 2=1，x 1+x 2=a −2，∵f(x 1)+f(x 2)=lnx 1−ax 1x 1+1+lnx 2−ax 2x 2+1 =ln(x 1x 2)−a(2x 1x 2+x 1+x 2)x 1x 2+x 1+x 2+1=−a ， 而在f(x)=lnx −ax x+1中，−a =x+1x ⋅[f(x)−lnx] 因此，要证明f(x 1)+f(x 2)≥x+1x ⋅[f(x)−x +1]， 等价于证明x+1x ⋅[f(x)−lnx]≥x+1x⋅[f(x)−x +1] 注意到x >0，只需证明f(x)−lnx ≥f(x)−x +1，即证lnx ≤x −1，令g(x)=lnx −x +1，则g ′(x)=1x −1=1−x x ，当x ∈(0,1)时，g ′(x)>0，函数g(x)在(0,1)上单调递增；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x)<0，函数g(x)在(1,+∞)上单调递减；因此g(x)max =g(1)=ln1−1+1=0，从而g(x)≤0，即lnx ≤x −1，原不等式得证．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的能力和分类讨论的数学思想，属于难题．(1)先求出函数的定义域，然后求出导函数，设g(x)=x 2−(a −2)x +1，二次方程g(x)=0的判别式Δ=a 2−4a ，然后讨论Δ的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间；(2)对f(x)求导数，由f ′(x)=0有两个不同的根x 1，x 2，利用判别式和根与系数的关系得到x 1x 2=1，由x 1、x 2的关系，则f(x 1)+f(x 2)=−a ，又由−a =x+1x ⋅[f(x)−lnx]，将问题转化为lnx ≤x −1即可，令g(x)=lnx −x +1，利用导数求出g(x)的最大值即得证．22.答案：解：曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，转换为直角坐标方程为(x −1)2+y 2=1，直线l 的极坐标方程是ρcos(θ+π4)=2.转换为直角坐标方程为x −y −2√2=0，所以圆心(1,0)到直线l 的距离d =√2|√2=2−√22>1=r ，所以直线与圆相离．解析：直接利用方程之间的转换和点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解；(1)∵f(1)=f(12+12)=f(12)⋅f(12)=f 2(12)=a ，∴f(12)=±√a 又∵f(12)=f(14+14)=f 2(14)>0，∴f(12)=a 12同理可得f(14)=a 14(2)∵f(x)是偶函数，∴f(−x)=f(x)又∵f(x)关于x =1对称，∴f(x)=f(2−x)∴f(x)=f(−x)=f[2−(−x)]=f(2+x) (x ∈R)这表明f(x)是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．解析：(1)已知任意x 1，x 2∈[0,12]，都有f(x 1+x 2)=f(x 1)⋅f(x 2)，令x 1=x 2=12，求出f(12)，根据12=14+14进行求解； (2)已知f(x)为偶函数，再根据f(x)关于x =1对称，进行证明；此题主要考查函数的周期性，此类抽象函数的题，主要利用特殊值法，此题比较简单．。
湖南省长沙市雅礼中学高考数学模拟卷试题(一)文(含解析)
湖南省长沙市雅礼中学2014届高考数学模拟卷试题（一）文（含解析）本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、函数模型等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【题文】1.复数z 满足(z-i)i=2+i ，则z=A.-1-iB.1-iC.-1+3iD.1-2i 【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】B 由(z-i)i=2+i 得，故选B【思路点拨】先化简再出z.【题文】2.已知全集U=R.集合A={x|x<3},B={x|lnx<0},则AU B ?=A.{x|1<x<3}B.{x|x ≤0或1≤x<3}C.{x|x<3}D.{x|1≤x<3} 【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B 由lnx<0得0<x<1,U C B ={x 所以答案为x ≤0或1≤x<3故答案为B【思路点拨】先求出B 再求出其补集，再去求结果。
【题文】3.下列说法中，错误的是A.“存在实数x ，使x>1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”B.命题“若m>0，则方程20x x m +-=有实数根”的否命题是“若m ≤0，则方程20x x m +-=没有实数根”C.若x y ∈R 、，且2x y <+，则x y 、至多有一个大于1D.设R x ∈，则“x<-1”是“2230x x -->”的必要不充分条件 【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】D 因为2230x x -->的解为x<-1或所以x<-1能推出x<-1或x<-1或x<-1，所以应为充分不必要条件。
2025届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期一模考试数学试题含解析
2025届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期一模考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12B ．21C ．24D ．362．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．33．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()axf x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( ) A ．3-B ．3C ．13-D ．134．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 5．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2nn a =C ．21nn S =-D ．121n n S -=-6．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③7．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ）A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x xB ．20,(1)(1)∀+>-x x x xC ．20,(1)(1)∃>+-x x x xD ．20,(1)(1)∃+>-x x x x8．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．149．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ） A ．1212,()()p p E E ξξ>< B．1212,()()p p E E ξξ C ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<10．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．13,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n，则2nx ⎛- ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．12012．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学-2023届雅礼中学高三一模数学试题
2023届模拟试卷(一)数 学注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 已知集合A ＝(x |y －}，B ＝(y |y ＝ln x )，则A ∩B＝ A .(x |x ＞0) B .{x |x ＜0} C .{x |x ∈R 且x ≠0)D .Ø 2． 下列说法正确的是A .若a //b ，则a 与b 的方向相同或者相反B .若a ，b 为非零向量，且，则a 与b 共线C .若a //b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λbD .若e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1－e 2|＝1，则|e 1＋e 2|3． 函数y ＝|sin 2x ＋|的最小正周期为 A .π B .2π C . D .不能确定4． 给定一组数据：1,3,2,1,5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是A .5,2B .,2C .,1.5D .5,1.55． 已知(3x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝A .1024B .1023C .1025D .5126． 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝,若［x ］表示不超过x 的最大整数，则［a 10］＝ A .1B .2C .3D .57． 若X ～B (100,)，则当k ＝0.1,2，…，100时 A .P (X ＝k )≤P (X ＝50) B .P (X ＝k )≤P (X ＝32)C .P (X ＝k )≤P (X ＝33)D .P (X ＝k )≤P (X ＝49)8． 已知a ＝(e －0.1)e ＋0.1，b ＝e e ，c ＝(e ＋0.1)e －0.1，则a ，b ，c 的大小关系是A .a ＜b ＜cB .c ＜a ＜bC .b ＜a ＜cD .a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合1x||=a b a |b |12π256255625311n n a a -+13题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9． 已知复数z 的共轭复数为，则下列说法正确的是A .z 2＝|z |2B .z ＋一定是实数C .若复数z 1，z 2满足|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1·z 2＝0D .若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等或者互为相反数10．已知不恒为0的函数f (x )，满足x ,y ∈R 都有f (x )＋f (y )＝，则 A .f (0)＝(0)B.f (0)＝1 C .f (x )为奇函数D .f (x )为偶函数 11．如图，已知双曲线：的左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B ,连接BF 1，BF 2，BF 1与双曲线左支交于点P ，与渐近线分别交于点M ,N ,则A .|PM |＝|BN |B .C .过F 2的双曲线的弦的长度的最小值为8D .点B 到两条渐近线的距离的积为 12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3,E 为AB 的中点，C 1F ＝2FC，动点M 在侧面AA 1D 1D 内运动(含边界)，则A .若MB //平面D 1EF ，则点M B .平面D 1EF 与平面ABCDC .平面D 1EF 截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得的截面多边形的周长为D .不存在一条直线l ，使得l 与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱所成的角都相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算：＝ . 14．六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他(她)前面的那个人高，则共有 种排法.15．函数f (x )＝x x (x ＞0)的最小值为 .16．如图，已知抛物线C ：y 2＝2x ，圆E ：(x －2)2＋y 2＝4,直线OA ,OB 分别交抛物线于A ,B 两点，且直线OA 与直线OB 的斜率之积等于－2，则直线AB被圆E 所截的弦长最小值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知正数数列{a n }，a 1＝1，且满足 z z ∀2()()22x y x y f f +-2214y x -=122F BF S ∆=45+2si cos 1n 20sin 100︒-︒︒2211(1)0(2).n n n n a n a a na n -----=≥(1)求数列{a n }的通项公式：(2)设b n ＝，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．(本小题满分12分) 在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C ．(1)求A ；(2)若a BC 边上的高AD 的最大值．19．(本小题满分12分)斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2,∠A 1AB ＝60°,点A 1在下底面ABC 的投影为AB 的中点O .(1) 在棱BB 1(含端点)上是否存在一点D 使A 1D ⊥AC 1？若存在，求出BD 的长；若不存在，请说明理由：(2) 求点A 1到平面BCC 1B 1的距离．20．(本小题满分12分)20235名志愿者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等．(1)求甲部门志愿者入选人数为1人的概率；(2)求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率；(3)求某小组志愿者入选人数X 的分布列及期望．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x －sin 2x ．(1)当0≤x ≤π时，求f (x )的最大值；(2)当≤x ≤时，求证：f (x )＞ln (x ＋1)(记ln ＝0.739).1nn a π3π22π322．(本小题满分12分)已知椭圆C ：，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． (1) 点P (x 0，y 0)为椭圆C 上的动点(与点A ，B 不重合)，若直线PA ，直线PB 的斜率存在且斜率之积为－，试探究直线l 是否过定点，并说明理由： (2) 若OA ⊥OB ，过点O 作OQ ⊥AB ，垂足为点Q ，求点Q 的轨迹方程．2214x y +=14。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
雅礼中学2012届高考模拟卷(一)数学(文科)分值:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共9个小题,每小题5分,共45分. 1.已知复数12z i =-+,则z i ⋅的虚部为 ( ) A ．－1 B ．i - C ．1 D ．i 2.若{1,3,1},{0,1}A B =-=,则AB =( )A ．{1}B ．{0,1,3,1}-C ．{0,1,3}-D ．{0,1,3}3.已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==⋅=,则a 与b 的夹角为 ( )A ．3πB ．34π C ．4π D ．6π 4.设0,0a b >>,若1是a 与b 的等比中项,则11a b+的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1D ．25.已知ABC ∆中,a b c 、、分别是,,A B C 的对边,4,30a b A ===,则B ∠等于 ( )A. 30B. 30或150C. 60D. 60或120 6.右边程序执行后输出的结果是S = ( )A ．1250B ．1275C ．1225D ．13267.如图是一正方体1111ABCD A B C D -被两个截面截去两个角后所得的几何体,其中M N 、分别为棱11A B 、11A D 的中点,则该几何体的正视图为( )8.设函数2()ln 1(0)2f x xx x =-+>,则函数()y f x = ( )B ．在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点C ．在区间(0,1),(1,2)内均无零点D ．在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点9.设抛物线28y x =-的焦点为F ,准线为,l P 为抛物线上一点,,PA l A ⊥为垂足,如果直线AF 的斜,那么||PF = ( ) A．B．C ．16D ．8二、填空题:本大题共7个小题,考生作答6个小题,每小题5分,共30分,把答案填写在题中的横线上.(一)选做题(请在第10、11两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分) 10.极坐标系中,直线l 的方程为sin 4ρθ=,则点(2,)6π到直线l 的距离为 .11.关于优选法有如下一些说法:①若目标函数为单峰函数,则最佳点与好点在差点的同侧;②黄金分割法是最常用的单因素单峰目标函数的优选法之一;③用0.618法确定试点时,n 次试验后的精度为0.618n n δ=;④分数法一旦用1n nF F -确定了第一个试点,后续试点可以用“加两头,减中间”的方法来确定.这些说法中正确的序号是 .(二)必做题(12〜16题)12.则第n 个图案中有白色地面砖的块数是 .13.王先生订了一份《潇湘晨报》,送报人在早上6:30～7:30之间把报纸送到他家,王先生离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间,则王先生在离开家之前能得到报纸的概率是 .14.设,x y 满足约束条件24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z x y =+的最小值为 .15.已知圆22:(4)1C x y +-=,直线:3460l x y +-=:(1)圆C 与直线l 的位置关系为 ;(2)当点P 在直线:3460l x y +-=上运动时,过点P 作圆C 的切线,切点为A B 、,记四边形PACB 的面积是()f p .则()f p 的最小值为 ;…第1个 第2个 第3个(1)若等差数列{}n a 的首项为20,公差为1,则6b = ; (2)当k b 是数列{}n b 的最大项时,k = .三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)设函数()2sin()(0,)3f x x x R ωωπ=+>∈,且以π为最小正周期. (Ⅰ)设()2f π的值; (Ⅱ)已知10(),(,)26132f ααππ-=∈π,求sin()4απ-的值.18.(本小题满分12分)已知某单位有50名职工,现要从中抽取10名职工,将全体职工随机按1～50编号,并按编号顺序平均分成10组进行系统抽样.(Ⅰ)若第1组抽出的号码为3,写出从编号40～50中所抽出的职工号码; (Ⅱ)分别统计这10名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如 图所示,求该样本的中位数; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从体重不轻于70公斤,又不重于80公斤的职工中 抽取2人,求体重为78公斤的职工没有被抽取到的概率.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 是正三角形,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥平面,ABCD F 为PD 的中点. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面PCD ;(Ⅱ)求直线PB 与平面ABF 所成角的正切值. 8 1 7 0 3 6 8 96 2 57 5 920.(本小题满分13分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (Ⅰ)当0200x ≤≤时,求函数()v x 的表达式; (Ⅱ)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)()()f x x v x =⋅可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).21.(本小题满分13分）已知椭圆222:1x C y m +=的左、右焦点分别为12F F 、,(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线:(0)l y x t t =+>与椭圆C 交于,A B 两点.若原点O 在以线段AB 为直径的圆内,求实数t 的取值范围.22.(本小题满分13分)已知函数()ln 3(,0)f x a x ax a R a =--∈≠. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)求证:*ln 2ln3ln 4ln 1(2,)234n n n N n n⨯⨯⨯<≥∈.参考答案一、选择题 A B C D D B B A D 二、填空题10. 3 11. ①②④ 12. 4n+2 13. 7/8 14. 2 15.(1) 相离 ;(2) 3 . 16.(1) 50 ;(2) 1006 . 三、解答题17.【解】(Ⅰ)因为2T ωπ==π,所以ω=2…………………………………………………………2分 所以()2sin(2)3f x x π=+………………………………………………………………………3分()2sin(2)2sin()2sin 22333f πππππ=⨯+=π+=-=………………………………………6分 (Ⅱ)因为10()2sin 2613f ααπ-==,所以5sin 13α=…………………………………………………7分又因为(,)2απ∈π,于是12cos 13α=-……………………………………………………………9分所以sin()sin cos cos sin 444αααπππ-=-=12分因为40>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,需要改进.……12分 18.【解】(Ⅰ)由系统抽样的方法可知,当第1组抽取的号码为3时,则其所有抽取的号码为3,8,13,18,23,28,33,38,43,48;所以从编号40～50中抽出的职工号码为43,48.……………2分(Ⅱ)由茎叶图可知,10名职工体重的中位数为707371.52+=……………………………………6分 (Ⅲ)从体重不轻于70公斤,又不重于80公斤的职工中抽取2人,共有10种不同的取法如下:………………………………………………………………………………………………………9分 又事件A={体重为78公斤的职工没有抽取到},则事件A 的发生包含了4个基本事件,见以上带方框的事件.………………………………………………………………………………………10分所以由古典概型得43()1()1105P A P A =-=-=………………………………………………12分19.【解】(Ⅰ)证明:如图右,由PAD 是正三角形,F 为PD 中点, 所以AF PD ⊥, 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且AD =面PAD 面ABCD ;又底面ABCD 为正方形,即CD AD ⊥所以CD ⊥平面PAD ,而AF ⊂平面PAD ,所以CD AF ⊥,且CD PD D =,(Ⅱ)由(Ⅰ)证明可知,CD ⊥平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD所以AB PD ⊥,又由(Ⅰ)知AF PD ⊥,且AF AB A =,所以PD ⊥平面ABF ,即PBF ∠为直线PB 与平面ABF 所成的角…………………………9分且2AB =,易知1AF PF ==,Rt BAF ∆中,BF =所以tan PF PBF BF ∠=即求.……………………………………………………………12分 20.【解】(Ⅰ)由题意:当020x ≤≤时,()60v x =;且(200)0v =,…………………………………2分当20200x ≤≤时,设()v x ax b =+则有2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得1,3200.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………4分故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩……………………………………6分(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得60,020,()1(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩………………………………………7分当020x ≤≤时,()f x 为增函数故当,20x =时,其最大值为60×20=1200; …………………8分当20200x ≤≤时,211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-≤=当且仅当200x x =-,即100x =时,等号成. …………………………………………………11分所以,当100x =时,()f x 在区间[20,200]上取得最大值10000.3综上,当100x =时,()f x 在区间[0,200]上取得最大值1000033333≈.………………………12分即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时. …………13分 21.【解】(Ⅰ)依题意,可知1m >,且e =, 所以222222211112a b b e a a m -===-=-, 所以22m =,即椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………5分(Ⅱ)设1122(,),(,)A x y B x y ,则原点O 在以线段AB 为直径的圆内等价于说2AOB π<∠<π(,,A O B 三点不共线)也就等价于说0OA OB ⋅<,即12120x x y y +<…① …………………………………………7分联立2222y x tx y =+⎧⎨+=⎩,得22342(1)0x tx t ++-=, 所以221624(1)0t t ∆=-->,即203t <<……②且21212422,33t t x x x x --+==…………………………………………………………………10分 于是22121212122()()()3t y y x t x t x x t t x x -⋅=++=+++=代入①式得,22222033t t --+<,即243t <适合②式 (12)分又0t >,所以解得0t <<. …………………………………………………………13分 22.【解】(Ⅰ)由于(1)()(0)a x f x x x-'=>,…………………………………………………………2分 ①当0a >时,易知,当01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<;所以()f x 的单调递增区间为(0,1),递减区间为(1,)+∞;……………………………………4分 ②当0a <时,同理可知()f x 的单调递减区间为(0,1),递增区间为(1,)+∞;…………………6分 (Ⅱ)要证*ln 2ln3ln 4ln 1(2,)234n n n N n n ⨯⨯⨯<≥∈成立; 即证*ln 2ln3ln 4ln 1234(1)(2,)n n n n N ⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯⨯-≥∈成立;所以只需证*ln 21,ln32,,ln 1(2,)n n n n N <<<-≥∈即证即证*ln 1(2,)n n n n N <-≥∈……(※),而由(Ⅰ)中,当1a =时,()ln 3f x x x =--有最大值(1)4f =-;所以()ln 34f x x x =--<-,即ln 1(0)x x x <->……………………………………………12分 所以以上(※)式成立,原不等式得证. …………………………………………………………13分。