从Durer魔方跨入线性代数思维之门
《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》笔记
《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》阅读随笔目录一、矩阵基础篇 (2)1.1 矩阵的定义与性质 (3)1.2 矩阵的运算 (4)1.3 矩阵的秩与行列式 (5)二、矩阵应用篇 (6)2.1 矩阵在物理学中的应用 (7)2.2 矩阵在计算机科学中的应用 (8)2.2.1 图像处理 (9)2.2.2 机器学习 (10)2.3 矩阵在经济学中的应用 (11)三、矩阵可视化篇 (13)3.1 利用图表展示矩阵 (14)3.2 利用动画展示矩阵运算 (15)3.3 利用交互式工具探索矩阵世界 (16)四、矩阵挑战篇 (17)4.1 解决矩阵方程 (19)4.2 矩阵分解技巧 (20)4.3 矩阵的逆与特征值问题 (21)五、矩阵与艺术篇 (22)5.1 矩阵在艺术设计中的应用 (23)5.2 矩阵与音乐的关系 (25)5.3 矩阵与建筑的空间结构 (26)六、矩阵学习策略篇 (27)6.1 如何选择合适的矩阵学习材料 (28)6.2 矩阵学习的有效方法 (29)6.3 如何克服矩阵学习的障碍 (31)七、矩阵趣味问答篇 (32)7.1 矩阵相关的趣味问题解答 (33)7.2 矩阵在日常生活中的实际应用 (33)7.3 矩阵的趣味故事与趣闻 (34)八、结语 (35)8.1 阅读随笔总结 (36)8.2 对矩阵未来的展望 (38)一、矩阵基础篇在《有趣的矩阵：看得懂又好看的线性代数》作者以一种通俗易懂的方式向我们介绍了矩阵的基本概念和性质。
矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以用来表示线性方程组、线性变换等。
我们将学习矩阵的基本运算，包括加法、减法、乘法等，并通过实际的例子来理解这些运算的含义。
我们来学习矩阵的基本运算，矩阵是由m行n列的数排成的矩形阵列，其中m和n分别表示矩阵的行数和列数。
每个元素用一个位于其行列索引处的小写字母表示，例如矩阵A [13 4]中，A[1][2]表示矩阵A的第一行第三列的元素，即3。
从Durer魔方跨入线性代数思维之门
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 1
Q1
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Q2
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Q3
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Q4
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Q8
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1 0 0
Q1 Q4 Q5 Q8 Q2 Q3 Q6 Q7 0 Q1,…,Q8线性相关
显然， Dürer空间中任何一个魔方 都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但 它们能否构成D空间的一组基呢？
求Dürer魔方空间的基
0
1 0 0
0 0 1
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0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
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Q5
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0 1 0
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Q6
0 1 0
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1 0 0
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Q7
0 0
1
1
1 0 0
0 0 0
0 1
= (dij) 16维变量 y
0010100 0001001 1000010 0100000
A= 0 0 0 1 0 1 0
0100100
Ar y = 0
0010000 1000001
r (A, E) y = 0
0000001 1010000 0101000
魔方和数学之间的奥秘
魔方和数学之间的奥秘魔方是一款极具挑战性的智力游戏，它看似简单，实际上却蕴含着深奥的数学原理和设计思想。
许多人在打破魔方时犯难，只能把它当成一种摆脱无聊的方式。
然而，如果我们能够深入研究魔方的奥秘，就会发现它和数学之间有着密切的联系。
魔方的结构和数学定理魔方由27个小正方体组成，每个小正方体有六个面，每个面有一种颜色，颜色不同的面被组合在一起形成了六个大正方体。
在拼立过程中，我们熟知的“魔方标准状态”是保持六个大正方体共面的状态，六面分别是相邻的。
魔方中的三组对称轴分别在水平、垂直和对角线方向上，它们都是面中心到中心对称的轴线。
这种对称性可以通过数学来解释，魔方的两个面通过旋转会交换它们的位置，因此，魔方具有六次旋转对称。
同时，魔方的对称中心和小正方体数量的奇偶性有关，这些属性在数学中称为置换群和奇偶性群，是代数学中的基本概念。
除了对称性，魔方的另一个重要特征是它的结构形式——立方体。
立方体是三维几何图形中最简单和最规则的形状，也是自然界中的多个物体的形状。
立方体的性质可以通过代数方法来研究，比如利用线性代数来探索它的对称性、利用拓扑学来探索它的变形过程等，这些知识和思想都可以应用到魔方研究当中。
魔方算法和数学思维一般人在拼魔方时都是一步一步地转，往往花费很多时间却只能拼出一面或几个面，进而很快放弃。
但是实际上，魔方解法还有更快捷和科学的方法。
魔方的解法可以描述为一系列的操作指令，这些操作指令构成了一个完整的算法，这些算法不仅显著缩短了拼魔方的时间，而且可以训练我们的数学思维。
例如，有的算法可以应用到更复杂的图形应用，如建模和渲染等方面，这些技能都需要大量的数学思维。
此外，魔方的解法也充满了其他数学思想，例如排列组合、置换群、逆元的性质等等。
对于喜欢数学的人，掌握这些思想和技能将会使他们更加高效和深入地理解更广泛的数学领域。
总结魔方和数学之间的奥秘让我们不得不佩服人类智慧的精妙创作，它为我们提供了一个庞大的实验平台，可以进行各种数学实验和探究，也可以从中学习拓展各种数学思维，培养我们的思维能力和创造力。
Dürer魔方(或幻方)问题
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 8Dürer 魔方（或幻方）问题Drer 魔方（或幻方）问题 有些较为复杂的问题，开始时常常给人以一种变幻莫测的感觉。
但经过细微的分析研究，可以发现其中存在着某些内在的关系。
在使用适当的数学工具后，这些内在关系就被一一揭露出来了。
德国著名的艺术家 Albrecht Drer(1471-1521)于 1514 年曾铸造了一枚名为Melencotia I 的铜币。
令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数字及几何图形。
这里，我们仅研究铜币右上角的数字问题。
1 、Drer 魔方 这是一个由自然数组成的方块，称之为 Drer 魔方，其数字排列如下：什么是魔方？我们来下一个定义。
我们所谓的魔方是指由 1~n 2 这 n 2 个正整数按一定规则排列成的一个 n 行 n 列的正方形。
按不同的要求，它可以具有某些特定的性质，n 称为此魔方的阶。
例如，上面给出的 Drer 魔方是 4 阶的，它的每一行数字之和为 34，每一列数字之和为 34，把对角线（或反对角线）上的数字加起来是 34，每个小方块中的数字之和也是 34，若把四个角上的数字加起来还是 34，多么奇妙！最后一行中间两个数字恰好是铜币的铸造时间1514 年。
构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。
传说三千二百多年前（公元前 2200 年），因治水出名的皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称洛书），至今还有人把它当作符咒用于某些迷信活动，（被人称为洛书的 3 阶魔方）大约在十五世纪时，魔方传到了西方，著名的科尼利厄斯阿格里帕（1486-1535）先后构造出了 3~9 阶的魔方。
从魔方到数学思维魔方教学的思考
从魔方到数学思维魔方教学的思考作者：曾舟来源：《学校教育研究》2020年第05期摘要：在当今新的数学教育改革中，强调调动学生学习积极性，强调学习方式的变革，强调从学生学习兴趣出发，强调加强校本课程的背景下，教学就意味着要寻求一个新的切入点，而魔方是一种有趣的益智玩具，其构造和操作过程中都蕴含着丰富的数学因素。
并且，通常情况下，“玩”都能调动起学生的积极性，选择魔方这一具有娱乐性，同时具有很强数学因素的对象作为校本课程，是对数学这种传统的、具有很强抽象性的学科的辅助研发，是一种有益的尝试。
关键词：魔方数学教学思维魔方一、背景这学期我们学校的校本课程中推行了“魔方与数学”活动，并将在全校举行比赛。
作为一名数学老师，我苦苦地思索，如何以这个有效的活动载体作为切入点，培养学生的空间观念，提升学生的思维，锻炼学生的专注、理解、空间、逻辑、记忆、协调、想象等方面的能力。
二、“魔方与数学思维魔方”的慨念界定魔方是一个娱乐性很强的益智玩具，它的发明与发展貌似与数学教育没有联系，多数人甚至是魔方玩家也没意识到它所蕴含的数学原理，家长和小孩也都把它当做开发智力的玩具。
但事实上魔方与数学的关系是非常密切的。
魔方是一个可以变化的空间立体图形，在玩魔方的过程中它可以使小学生形成空间与图形的概念，并对一些数学概念如变换、群、坐标、组合等有一个直观的理解，方便日后的数学学习。
“魔方与数学”课程的开发不仅仅是教小学生技巧性的还原魔方，更重要的是借助魔方让小学生在玩中体会数学知识、数学方法和数学思想，增进小学生对数学的兴趣，从而促进小学生数学的学习，改善数学学习效果。
而数学思维魔方是在研究魔方的基础上，产生的一种新的教学模式。
三、传统数学教学与思维魔方教学的区别学生不用静静地坐在教室里，看着枯燥的阿拉伯数字，做着传统的加减乘除，而是思维魔方教学利用各种玩具，自己动手实际操作，在活动中利用逻辑思维、想象力等学习加减乘除，探索数学的奥秘。
六年级毕业生学习数学思维魔方感悟
六年级毕业生学习数学思维魔方感悟最近玩魔方的很多，但还有人一些不知道。
三阶魔方只有三种玩法，初级，高级，顶尖。
(本人六年级刚毕业停留在高级玩法)，其中高级，顶尖玩法有上白条公式。
当然，魔方说白了就是套公式，熟练，指法。
先说说有些人为什么老记公式不住。
没理解魔方转动的原理。
贸然去套公式。
记忆效果很差，因该每走一不就理解一步，和学习数学是一个道理，生扳硬套是没法记好的，我对初级公式的心得，先说CROSS。
就是底面十字，有些人总找颜色不到，一般高手能在1到5秒至2到5秒内弄完，一般在魔术方块比赛中会给选手看5秒，高手总会把底色看好，从哪个路径可以上去，然后计算好下一个棱块的位置。
如果计算不好的，用小指按好，等到要转时就用上，然后就是多练练眼力。
因该转CROSS 不需要太多时间。
在说说F2L。
就是第二层，初级玩法与高级玩不同。
只要记两个公式，只有两种情况，而高级玩法对应的有40种情况，初级玩法中只要看好颜色，计算好下一个颜色的走向，因该会快。
顶面十字初级玩法就一个公式，但要配合指法，顶面还原公式也只有一个公式。
只要指法和眼力上去了，因该没什么问题。
但要注意，一开始不要速度太快，不然手指会跟不上眼力，到底转错方向。
8个角块的还原方法，我们称L公式，网络上是从前面开始转，但根据我的玩法和经验，从后面开始转比较好配合指法，速度更快，希望大家借鉴。
一步还原楞块公式，网络上的我看都没看，很慢，我根据别人的玩法创了自己的一套玩法(我也不知道怎么想出来的。
很抽象，但很快)。
有兴趣的可以找我交流交流。
以上是我的心得。
根据我的方法你一定可以学会玩魔方的。
魔方数学原理以及解法演变历程回顾
魔方数学原理以及解法演变历程回顾魔方，也被称为魔方立方体、魔方方块，是一种拼图玩具，由三维立方体组成，每个面上有不同的颜色，挑战者的目标是将魔方的每个面都恢复成同一种颜色。
自魔方被发明以来，它吸引了无数数学家和谜题爱好者的兴趣，魔方数学原理的研究也因此而诞生。
魔方的解法可以追溯到20世纪70年代，当时匈牙利的鲁比克教授发明了这个玩具。
起初，鲁比克教授打算设计一个机制复杂的谜题，但他万万没有想到的是，这个看似简单的玩具最终成为了一道数学难题，引起了全球范围内的研究热潮。
早期的魔方解法方法以暴力搜索为主，也就是尝试所有可能的移动组合，直到找到一种恢复到初始状态的解法。
这种方法非常耗时，需要进行大量的反复尝试，不适合于解决速度问题。
然而，正是这种暴力搜索的方法，使得魔方解法这一领域开始了追求更高效解法的探索。
1981年，美国的著名计算机科学家迪奥·科纳斯提出了一个基于组群理论的复杂性分析模型，被称为魔方问题的驱动程序。
这一模型为解决魔方问题提供了一种新的思路。
科纳斯发现，魔方有可能通过将其分解为特定操作的乘积，而达到恢复到初始状态的目标。
他的研究成果进一步推动了魔方解法的发展。
随后的几十年里，全球范围内的数学家和爱好者们利用数学原理和算法研究魔方的解法，探索魔方数学原理的奥秘。
以凯琳目标为例，它根据魔方三层的状态为基础，提出了一种实用且高效的解法。
凯琳方法将魔方的恢复分为四个步骤：交叉、底角、底棱和顶层。
这个方法基于分层思想，通过将整个过程分为几个阶段，逐步恢复魔方。
另一个著名的解法方法是弗里德里希方法。
弗里德里希方法是一个快速解法方法，其目标是在尽可能短的时间内，通过最少的步骤完成魔方的还原。
这个方法基于预定义的顶层算法和层次变换，能够在很短的时间内找到最优解。
此外，还有许多其他的解法方法如罗湖法、齐湖法、CFOP法等等，这些方法都是在不同的基础上发展起来的，通过不同的思路和算法，达到恢复魔方的目标。
数学史话线性代数发展史简介
数学史话线性代数发展史简介数学史话—线性代数发展史简介一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
傅鹰数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
F. Cajori从事数学研究，发现新的定理和技巧是一回事;而以一种能使其他人也能掌握的方式来阐述这些定理和技巧则又是一回事。
学习那些伟大的数学家们的思想，使今天的学生能够看到某些论题在过去是怎样被处理的。
V. Z.卡兹数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时是影响政治家和神学家的学说。
M(Kline一、了解数学史的重要意义数学是人类文明的一个重要组成部分,是一项非常重要的人类活动。
与其他文化一样，数学科学是几千年来人类智慧的结晶。
在学习数学时,我们基本是通过学习教材来认识这门学科的。
教材是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以重组、取舍编撰而成，因此，数学教材往往舍去了许多数学概念和方法形成的实际背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。
由于数学发展的实际情况与教材的编写体系有着许多不同,所以,对数学教材的学习，往往难以了解数学的全貌和数学思想产生的过程。
正因为如此，许多人往往把数学当成了枯燥的符号、无源的死水，学了很多却理解得很少。
数学和任何一门科学一样，有着自身发展的丰富历史，是积累性的科学。
数学的发展历史展示了人类追求理想和美好生活的力量，历史上数学家的成果、业绩和品德无不闪耀着人类思想的光辉，照亮着人类社会发展和进步的历程。
通过了解一些数学史，可以使我们了解数学科学发生、发展的规律，通过追溯数学概念、思想和方法的演变和发展过程，探究数学科学发展的规律和文化内涵，帮助我们认识数学科学与人类社会发展的互动关系以及数学概念和方法的重要意义。
二、代数学的历史发展情况数学发展到今天，已经成为科学世界中拥有一百多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
魔方问题
4) 自左向右选出这些数字，得到一混淆数字组：1325647，混淆字母表取矩阵中相应列 得出，先取第一列，再取第三列。。。。得到密文字母表：
CAIVNDKXOBJWTFMZRGPSELYUHQ
移位密码 移位密码采用移位法进行加密，明文中的字母重 新排列，本身不变，只是位置改变。 现在所知的最古老的加密方法—天书就是移位法 的一种，早在4000多年前，古希腊人就用一种名 叫“天书”的器械来加密信息。该密码器械是用 一条窄长的草纸缠绕在一个直径确定的圆筒上， 明文逐行横写在纸带上，当取下纸带时，字母的 次序被打乱了，消息得以隐蔽。收方阅读消息时， 要将纸带重新绕在直径与原来相同的圆筒上，才 能看到正确的消息，在这里圆筒的直径起到了密 钥的作用
在设计密钥时，也可以在明文字母表中选择一个特 定字母，然后从该特定字母开始写密钥字并将密钥 字隐藏其中。例如，对与上例，选取特定字母K，则 可得 明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 密文字母表 KLMPQVWXYZCONSTRUABDEFGHIJ
方法二 1）选择一个密钥字或密钥短语，例如：CONSTRUCT 2) 去掉其中重复的字母，得：CONSTRU 3) 这些字母构成矩阵的第一行，矩阵的后续各行由标准字母表中去掉密钥字的字母后 剩下的字母构成
早期密码大体可分三类：代替法密码、移位密码和代 数密码。 代替密码学 代替密码学采用另一个字母表中的字母来代替明文中 的字母，明文字母与密文字母保持一一对应关系，但 采用的符号改变了。加密时，把明文换成密文，即把 明文中的字母用密文字母表中对应位置上的字母取代， 解密时，则把密文换成明文，即把密文中的字母用明 文字母表中对应位置上的字母代回。
Dőrer 魔方问题
Dőrer 魔方
introduction to linear algebra 每章开头方框-概述说明以及解释
introduction to linear algebra 每章开头方框-概述说明以及解释1.引言1.1 概述线性代数是数学中的一个重要分支，主要研究向量空间和线性变换的性质及其应用。
它作为一门基础学科，在多个领域如物理学、计算机科学以及工程学等都有广泛的应用。
线性代数的研究对象包括向量、向量空间、矩阵、线性方程组等，通过对其性质和运算法则的研究，可以解决诸如解线性方程组、求特征值与特征向量等问题。
线性代数的基本概念包括向量、向量空间和线性变换。
向量是指在空间中具有大小和方向的量，可以表示为一组有序的实数或复数。
向量空间是一组满足一定条件的向量的集合，对于向量空间中的任意向量，我们可以进行加法和数乘运算，得到的结果仍然属于该向量空间。
线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的运算。
线性方程组与矩阵是线性代数中的重要内容。
在实际问题中，常常需要解决多个线性方程组，而矩阵的运算和性质可以帮助我们有效地解决这些问题。
通过将线性方程组转化为矩阵形式，可以利用矩阵的特殊性质进行求解。
线性方程组的解可以具有唯一解、无解或者有无穷多解等情况，而矩阵的行列式和秩等性质能够帮助我们判断线性方程组的解的情况。
向量空间与线性变换是线性代数的核心内容。
向量空间的性质研究可以帮助我们理解向量的运算和性质，以及解释向量空间的几何意义。
线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的运算，通过线性变换可以将复杂的向量运算问题转化为简单的矩阵运算问题。
在线性变换中，我们需要关注其核、像以及变换的特征等性质，这些性质可以帮助我们理解线性变换的本质和作用。
综上所述，本章节将逐步介绍线性代数的基本概念、线性方程组与矩阵、向量空间与线性变换的相关内容。
通过深入学习和理解这些内容，我们能够掌握线性代数的基本原理和应用，为进一步研究更高级的线性代数问题打下坚实的基础。
1.2文章结构在文章结构部分，我们将介绍本文的组织结构和各章节的内容概述。
从Durer魔方跨入线性代数思维之门
0 0 0 1 0 1 Q3 = 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 Q4 = 1 0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 Q = 0 0 0 7 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 Q8 = 0 0 0 1 0 0 0 1
版画创造时 1514年 间：1514年
该魔方出现在德国著 名的艺术家 Albrecht Dürer于1514年创造的 于 年创造的 。 版画Melancolia。 版画
多么奇妙 的魔方！ 的魔方！ 1
Dürer魔方 魔方
什么是Dürer魔方 魔方 什么是 4阶Dürer魔方： 阶 魔方： 魔方 行和=列和 对角线（ 列和=对角线 行和 列和 对角线（或次对 角线）之和=每个小方块之和 角线）之和 每个小方块之和 = 四个角之和 四个角之和. 1 10 17 20 11 26 5 6 和为48. 和为 16 3 14 15 铜币铸造时 1514年 间：1514年 20 09 12 7 你想构造Dürer魔方吗？ 你想构造D rer魔方吗？ rer魔方吗 rer魔方有多少个 Dürer魔方有多少个？ rer魔方有多少个？ 如何构造所有的D rer魔方？ rer魔方 如何构造所有的Dürer魔方？
5
Dürer魔方空间 魔方空间
求Dürer魔方空间的基 魔方空间的基
为行和， 为列和 为列和， 为对角线和 为对角线和， 为小方块和 令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和 为行和 类似于n维空间的 类似于 维空间的 基本单位向量组， 基本单位向量组， 利用0和 来构造一 利用 和1来构造一 些R=C=D=S=1的 的 最简单的方阵。 最简单的方阵。
魔方数学原理
魔方数学原理魔方，作为一种古老而又复杂的立体拼图，一直以来都是数学爱好者和解谜者们的最爱。
它的魅力不仅在于其外表的多彩和立体感，更在于其背后隐藏的数学原理。
在这篇文档中，我们将深入探讨魔方背后的数学原理，带你一起揭开这个神秘立方体的面纱。
首先，我们要了解魔方的结构。
魔方由27个小立方体组成，每个小立方体上有一个或多个彩色的贴纸。
通过旋转魔方的各个面，我们可以改变彩色贴纸的位置，从而打乱魔方的顺序。
而我们的目标，则是将魔方恢复到每个面都是同一种颜色的状态。
其次，魔方的数学原理主要涉及到群论和排列组合。
群论是一门研究代数结构的数学学科，而魔方的旋转操作正是群论中的一个典型例子。
通过对魔方的旋转操作进行分析，我们可以发现这些操作之间存在着一定的规律和性质，这就是群论在魔方中的应用。
另外，排列组合也是解开魔方谜题的重要数学原理。
在还原魔方的过程中，我们需要对每个小立方体的位置进行排列组合，找到一种最优的排列方式，使得魔方最终恢复到完整的状态。
这涉及到排列组合中的置换和循环等概念，需要我们运用数学知识进行分析和计算。
除此之外，魔方的还原算法也是基于数学原理而设计的。
通过对魔方还原的研究和实践，数学家们提出了各种各样的还原算法，其中涉及到大量的数学推导和计算。
这些算法不仅帮助我们更快地还原魔方，更深层次地揭示了魔方背后的数学奥秘。
总的来说，魔方数学原理涵盖了群论、排列组合和算法等多个数学领域，是数学与立体拼图相结合的典范。
通过深入研究魔方的数学原理，我们不仅可以更好地理解这个立体拼图的内在结构，更可以锻炼自己的数学思维和解题能力。
希望本文可以帮助读者更好地理解魔方数学原理，激发对数学的兴趣和热爱。
幼儿园线性代数解析与应用案例
幼儿园线性代数解析与应用案例线性代数在幼儿园教育中的应用线性代数是一门抽象的数学，其涉及的矩阵、向量、线性方程组等等概念对于幼儿园的孩子们来说会显得有些陌生。
但是，在教育教学中，我们可以通过一些有趣的方式来向孩子们展示线性代数的解析与应用。
以下是一个具体的案例：在幼儿园中，老师可以利用一种独特的玩具——魔方，来帮助孩子们理解线性代数中的向量和矩阵。
首先，老师可以指导孩子们制作一个纸板模型魔方，模型魔方由27个小立方体拼接而成。
之后，老师可以向孩子们介绍魔方，让他们理解魔方有6个面。
并且，老师可以给孩子们分配不同的魔方，让他们自行完成魔方的还原，让他们兴趣盎然地探索。
然后，老师会向孩子们展示一些动作视频，如扭转、旋转等等，鼓励他们观察视频中变化的过程，并尽可能描述出这些过程。
老师可以利用这个过程告诉孩子们，当整个魔方逐渐扭转时，我们实际上可以将这些动作记录成一系列向量，这些向量可以组合成矩阵。
接着，老师会给孩子们一些实际的问题，例如“当魔方旋转45度时，你可以用线性代数里的哪些知识来描述和解释？”通过这样的引导和讨论，孩子们逐渐发现魔方旋转的过程中，每一次旋转都可以描绘成一个基本矢量，这些基本矢量可以组合成一个矩阵，而这个矩阵就是线性代数中的旋转矩阵。
最后，老师将一些线性代数应用到实践中，例如阵列与变换。
让孩子们了解，在真实世界中，很多问题都可以转化为线性代数的形式，例如在游戏设计中，建模的房屋可以被描述为向量和矩阵。
如果用这种方式来表达，孩子们会更加轻松地理解数学知识。
通过这一系列的活动，孩子们能够更加直观地理解线性代数的基本概念和应用，对于未来的学习和工作也有很大的帮助。
当然，教育教学中的案例还有很多，只要我们善于发现、灵活运用，就可以为孩子们带来更多的乐趣和知识。
魔方与数学的关系
魔方与数学的关系
魔方与数学有着密切的关系，特别是在解魔方的过程中涉及到很多数学原理和技巧。
以下是魔方与数学相关的几个方面：组合数学：魔方的每一种状态可以看作是一种排列或组合，涉及到组合数学的知识。
解魔方的过程就是通过一系列的排列组合操作将魔方还原到初始状态。
群论：魔方是一个群论中的典型例子。
解魔方的算法本质上就是在群的框架下进行的一系列置换操作。
群论的概念帮助我们理解魔方各种可能的状态和解法。
算法与公式：解魔方的过程中，使用的是一系列特定的算法和公式。
这些算法和公式是经过深思熟虑、通过数学方法得出的，旨在以最少的步骤将魔方还原。
图论：魔方的状态和解法可以通过图论的方式进行建模。
每个状态可以看作是图中的一个节点，而解法则是节点之间的路径。
图论的概念可以用于优化解法的算法。
概率论：在魔方还原的过程中，通过随机打乱魔方来找到一些解法是一种常见的方法。
概率论的知识可以帮助我们理解在随机过程中获得特定状态的可能性。
总体而言，魔方是一个融合了数学多个分支的复杂问题。
解魔方既是一个富有挑战性的娱乐活动，也是一个锻炼数学思维和技能的过程。
对于数学爱好者来说，通过解魔方可以更深入地理解和应用数学原理。
1。
数学建模案例分析第三章-线性代数模型
易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。 记 M ={所有的4×4数字方} ，则其维数为16。
而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。 根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，
则任一个Durer方均可由这组基线性表示。
28.09.2020
数学建模
由 0,1 数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。 共有8 个，记为Qi, i=1,2,…,8。
r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 0 0 0 0
r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 = 0 0 0 0
r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6
0000 0000
r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 0
Q1,Q2,,Q7 线性无关。任一Durer方可由它 们线性表示。
线性代数模型
• Durer 魔方 • 植物基因的分布 • 常染色体的隐性疾病 • 森林管理问题 • 马氏链简介
28.09.2020
数学建模
线性代数模型
有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难 以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空 间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以 掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。
0100
Q6= 0 0 1 0
1000 0001
0100
Q8= 0 0 0 1
0010 1000
28.09.2020
数学建模
易知 Q 1 Q 4 Q 5 Q 8 Q 2 Q 3 Q 6 Q 7 0
则 Q1,Q2,,Q8 线性相关。
而由 r 1 Q 1 r 2 Q 2 r 3 Q 3 r 4 Q 4 r 5 Q 5 r 6 Q 6 r 7 Q 7 0
数学建模概述
1数学建模概述⏹ 数学模型 ⏹ 数学建模过程 ⏹ 数学建模示例⏹ 建立数学模型的方法和步骤 ⏹数学模型的分类1数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。
直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。
物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。
思维模型，符号模型，数学模型 数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。
它是模型的一种。
2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。
3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。
数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。
总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。
古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。
文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。
微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。
费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。
牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得221r m m G F =ma F =⎩⎨⎧=⋅-=⋅+75050)(75030)(y x y x 小时）（千米小时）（千米/5/20==y x答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米小时。
线性代数简史
线性代数简史线性代数是高等代数的一个分支，是研究具有线性关系的代数量的一门学科。
历史上，线性代数中的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又反过来促进了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
此外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促进了线性代数的进一步发展。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但从数学史上来看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。
行列式：行列式的概念最初是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一－－莱布尼兹(Leibnitz)。
1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并指出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。
1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704‐1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。
1764年，法国数学家贝祖 (E.Bezout,1730‐1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化；对给定了含n个未知量的n个齐次线性方程，贝祖证明了系数行列式等于零是该方程组有非零解的条件。
在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙 (Vandermonde，1735‐1796) 。
范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。
特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。
1772 年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法，用r行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。
线性代数历史背景及应用
线性代数历史背景及应用线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科。
它具有悠久的历史背景和广泛的应用。
本文将从历史背景和应用两个方面介绍线性代数。
首先，我们来看线性代数的历史背景。
线性代数的起源可以追溯到古希腊的数学家欧几里得。
他在《几何原本》中首次提出了向量概念。
然而，线性代数的真正发展始于18世纪至19世纪的欧洲。
在这一时期，数学家们开始研究向量空间，提出了线性代数的基本概念和理论基础。
著名的数学家伽罗瓦、高斯、爱尔米特等人对线性代数的发展做出了巨大贡献。
以高斯为例，他在矩阵理论的发展史上占有重要地位，他定义了矩阵的概念，并进行了深入的研究。
随着近代数学的发展，矩阵理论和线性代数的应用在物理学、工程学、计算机科学等领域中变得越来越重要。
接下来，我们将探讨线性代数的应用。
线性代数在各种实际问题中具有广泛的应用。
首先，在物理学中，线性代数被广泛用于描述物理系统和求解物理问题。
例如，量子力学中的波函数可以用复数向量表示，量子态的演化可以通过线性变换描述，而且量子测量可以通过矩阵的特征值问题来求解。
其次，在工程学中，线性代数的应用也非常重要。
例如，电力系统的分析和控制、通信系统的信号处理和编码、电路分析中的基尔霍夫定律、机械系统中的力学分析等都需要运用线性代数的知识。
另外，在图像处理和计算机图形学中，线性代数被广泛应用于图像压缩、三维图形的表示和变换等方面。
此外，在经济学和金融学中，线性代数的应用也非常重要。
例如，经济学家经常使用线性模型来描述经济关系，并通过线性代数的方法进行模型的参数估计和假设检验。
在金融学中，线性代数被用于股票价格走势的预测、投资组合的优化、风险管理等方面的研究。
最后，在计算机科学中，线性代数的应用非常广泛。
例如，线性代数在计算机图形学中被广泛用于动画、游戏和计算机模拟等方面。
同时，在机器学习和数据挖掘领域中，线性代数被用于数据的降维、特征选择、分类和聚类等任务中。
综上所述，线性代数作为一门重要的数学学科，具有悠久的历史背景和广泛的应用。
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0 0 1 1 Q3 0 0 0 0
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1 0 0 0 Q4 1 0 0 0
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0 0 0 0 Q 0 7 0 1 1
7
Dü rer魔方空间
求Dü rer魔方空间的基
1 0 Q1 0 0
0 1 Q5 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0 Q2 0 1 0 0 0 0 0 0 Q 6 1 0 0 1
？
？ ？ ？
所得的线性方程组有16个方程？23个变量？ 如何求解该线性方程组呢？ Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？ 魔方都可由其线性表示.
12
Dü rer魔方空间
随心所欲构造Dü rer魔方
r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0
= (dij)
16维变量 y
A=
Ar y = 0 r (A, E) y = 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
10
Dü rer魔方空间
构造Albrecht Dü rer的数字魔方
D r1Q1 r2Q2 r3Q3 r4Q4 r5Q5 r6Q6 r7Q7
16 r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 5 = = r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 9 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6 4
6
Dü rer魔方空间
求Dü rer魔方空间的基
1 0 Q1 0 0
0 1 Q5 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0 Q2 0 1 0 0 0 0 0 0 Q 6 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
13
Dü rer魔方空间
>> A=[1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 0 1;0 0 1 1 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0;0 0 0 1 0 0 1;1 0 0 0 0 1 0;0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 1 0;0 1 0 0 1 0 0; …0 0 0 0 1 1 0]; %变量r对应的系数矩阵 >> C=[A,-eye(16)]; %系数矩阵(A,E ) d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44 >> C1=rref(C) %求行最简形 C1= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 Q8 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0
Q1 Q4 Q5 Q8 Q2 Q3 Q6 Q7 0 Q1,…,Q8线性相关
显然， Dü rer空间中任何一个魔方 都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但 它们能否构成D空间的一组基呢？
0 1 0 0
0 0 0 0 Q 0 7 0 1 1
0 0 0 0 Q8 0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
显然， Dü rer空间中任何一个魔方 都可以用Q1,Q2,…,Q8来线性表示，但 它们能否构成D空间的一组基呢？
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 1 1 -1 0 -1 -1 1 1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1 0 -1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 -1 0 1 0 0 0 -1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 0 -1 1 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 -1 -1 0
5
Dü rer魔方空间
求Dü rer魔方空间的基
令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和 类似于n维空间的 基本单位向量组， 利用0和1来构造一 些R=C=D=S=1的 最简单的方阵。
0 1 0 0 0
Q1=
0
0
0
0
0 1
0
0
0 1
0
0 1
0
0
1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有 两种取法。当第二行的1也取定后，第三、 四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最 简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8
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2
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12
10 11 8 15 14 1
r1 8, r2 8, r3 7, r4 6, r5 2, r6 3, r7 4
D 8Q1 82 Q2 7Q3 6Q4 2Q5 3Q6 4Q7
Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？ 魔方都可由其线性表示.
1 0 0 0
0 0 1 0
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Q1 Q4 Q5 Q8 Q2 Q3 Q6 Q7 0 Q1,…,Q8线性相关 由 r1Q1 r2Q2 r3Q3 r4Q4 r5Q5 r6Q6 r7Q7 0
ri 0 Q1 , Q2 , , Q7 线性无关。 Q1,…,Q7构成D空间的一组基，任意Dürer Q1,Q2,…,Q8能否构成D空间的一组基？ 魔方都可由其线性表示.
多么奇妙 的魔方！ 1
Dü rer魔方
什么是Dü rer魔方
4阶Dü rer魔方： 行和=列和=对角线（或次对 角线）之和=每个小方块之和 = 四个角之和. 1 10 17 20 11 26 5 6 和为48. 16 3 14 15 铜币铸造时 间：1514年 20 09 12 7 你想构造Dü rer魔方吗？ Dü rer魔方有多少个？ 如何构造所有的Dü rer魔方？
多么奇妙 的魔方！ 2
Dü rer魔方
什么是Dü rer魔方
4阶Dü rer魔方： 行和=列和=对角线（或次对 角线）之和=每个小方块之和 = 四个角之和. A= 1 10 17 20 11 26 5 6 B= 设A,B是任意两个 16 3 14 15 Dü rer 魔方， 20 09 12 7 A+B 是Dü rer魔方吗？ 你想构造Dü rer魔方吗？ 对任意实数k，kA Dü rer魔方有多少个？ 是Dü rer魔方吗？ 如何构造所有的Dü rer魔方？
0 1 0 0
0 0 0 0 Q 0 7 0 1 1
0 0 0 0 Q8 0 1 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有 两种取法。当第二行的1也取定后，第三、 四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最 简方阵，称为基本魔方Q1,…,Q8
Dü rer
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
Dü rer魔方
什么是Dü rer魔方
Dü rer魔方：4阶，每一行之 和为34，每一列之和为34， 对角线（或次对角线）之和 是34，每个小方块中的数字 之和是34，四个角上的数字 加起来也是34.
版画创造时 间：1514年
该魔方出现在德国著 名的艺术家 Albrecht Dürer于1514年创造的 版画Melancolia。