高中立体几何典型题及解析

高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题)

51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 与CN 所成的角的余弦值；

解析：(1)连接DM,过N 作NE ∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 与CN 所成的角。

∵N 为AD 的中点, NE ∥AM 省 ∴NE=

2

1

AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=

21·23= 43且ME=2

1

MD=43

在Rt △MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2=

163+41=16

7 ∴cos ∠CNE=

324

3

432167)43()43(

2222

22-=⋅⋅-+=

⋅⋅-+NE

CN CE

NE CN ,

又∵∠CNE ∈(0,

2

π) ∴异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为

3

2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。 52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，

3

1

==EC BE FD AF 。求异面直线AB 与CD 所成的角。 解析：在BD 上取一点G ，使得

3

1

=GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，

GD

BG

EC BE =，故EG//CD ，并且4

1

==BC BE CD EG ， A

B

C D

E F

G

所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且

4

3

==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠FGE=

2

1

5327532222222-

=⋅⋅-+=⋅⋅-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。

另一方面，由前所得EG//CD ，

FG//AB ，所以EG 与FG 所成的锐角等于AB 与CD 所成的角，于是AB 与CD 所成的角等于60°。

53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1与BD 所成的角的余弦．

解一：连AC ，设AC ∩BD=0，则O 为AC 中点，取C 1C 的中点F ，连OF ，则OF ∥AC1且OF=2

1

AC1，所以∠FOB 即为AC1与DB 所成的角。在△FOB 中，OB=

22

2

1b a +，OF=

222

2

1c b a ++，BE=224121c b +，由余弦定理得 cos ∠

OB=2

222222222224

12)

41

()(41)(41c b a b a c b c b a b a ++⋅+⋅+-++++=)

22

2

2

2

2

2)((c

b a b a b a +++-

解二：取AC 1中点O 1，B 1B 中点G ．在△C 1O 1G 中，∠C 1O 1G 即AC1与DB 所成的角。

解三：．延长CD 到E ，使ED=DC ．则ABDE 为平行四边形．AE ∥BD ，所以∠EAC 1即为AC 1与BD 所成的角．连EC 1，在△AEC1

中，AE=22b a +，AC1=222c b a ++，C1E=224c a +由余弦定理，得

E

D 1

C 1

B 1

A 1

A

B

D

C

O

B 1

D

G

cos ∠EAC 1=

2

2

2

2

2

22222222)

4()()(c

b a b a

c a c b a b a ++⋅+⋅+-++++=

)

22

2

2

2

2

2)((c

b a b a a b +++-＜0

所以∠EAC 1为钝角．

根据异面直线所成角的定义，AC 1与BD 所成的角的余弦为

)

)((2

2

2

2

2

2

2c b a b a b a +++-

54. 已知AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直α，B 为垂足，则 直线AB 是斜线在平面α内的射影，设AC 是α内的任一条直线，

解析：设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，AO 与AC 所成角为θ，则有21cos cos cos θ⋅θ=θ。 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB=∠SAC=

∠ACB=

90，29,3,2==

=SB BC AC ，求异面直线SC 与AB 所成角的大小。（略

去了该题的1,2问）

由SA ⊥平面ABC 知，AC 为SC 在平面ABC 内的射影， 设异面直线SC 与AB 所成角为θ， 则 BAC SCA ∠⋅∠=θcos cos cos ， 由29,3,2==

=SB BC AC 得2,32,17===SC SA AB

∴ 21

cos =

∠SCA ， 17

2cos =∠BAC ， ∴ 1717cos =

θ， 即异面直线SC 与AB 所成角为 17

17arccos 。 55. 已知平行六面体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，且

A

C

S

B

B A

H

C

D

D 1

B 1

A 1

C 1