《基本概念与运算法则》测试题
[对数函数运算法则]指数函数运算法则
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[对数函数运算法则]指数函数运算法则指数函数运算法则篇(1):七年级下实数测试题一、基础测试1.算术平方根：如果一个正数某等于a，即某2=a，那么这个某正数就叫做a算术平方根，记作，0算术平方根是。
2.平方根：如果一个数某等于a,即某2=a那么这个数a就叫做某平方根(也叫做二次方根式)，正数a平方根记作 .一个正数有平方根，它们 ;0平方根是 ;负数平方根.特别提醒：负数没有平方根和算术平方根.3.立方根：如果一个数某等于a，即某3=a，那么这个数某就叫做a立方根，记作.正数立方根是，0立方根是，负数立方根是4、实数分类5.实数与数轴：实数与数轴上点______________对应.6.实数相反数、倒数、绝对值：实数a相反数为______;若a,b互为相反数，则a+b=______;非零实数a倒数为_____(a≠0);若a，b互为倒数，则ab=________。
7.若a、b为实数，且满足│a-2│+ =0，则b-a值为A.2B.0C.-2D.以上都不对8.数轴上两个点表示数，______边总比___边大;正数_____0，负数_____0，正数___负数;两个负数比较大小，绝对值大反而____。
9.实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数运算法则与运算律对实数仍然适用.二、专题讲解：专题1平方根、算术平方根、立方根概念若a≥0，则a平方根是，a算术平方根;若a<0，则a没有平方根和算术平方根;若a为任意实数，则a立方根是。
A平方根是______327平方根是_________下列说法中，不正确是( ).A 3是算术平方根 B3是平方根C -3是算术平方根 D.-3是立方根(2022山东德州)下列计算正确是(A)(B)(C)(D)(2022年四川省眉山市)计算结果是A.3B.C.D.9专题2实数有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含数，如：等，开方开不尽数，如等;特定结构数，例0.0…等;某些三角函数，如sin60，cos45等。
集合与运算的基本概念与性质
集合与运算的基本概念与性质一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
2.集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合中的元素，如集合A={1,2,3}。
3.集合的元素：集合中的每一个对象称为集合的元素。
4.空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
5.集合的性质：a.确定性：集合中的元素是确定的，不存在模糊不清的情况。
b.互异性：集合中的元素是互不相同的。
c.无序性：集合中的元素排列顺序不影响集合的本质。
二、集合的运算1.并集：两个集合A和B的并集，记作A∪B，包含所有属于A或属于B的元素。
2.交集：两个集合A和B的交集，记作A∩B，包含所有同时属于A和属于B的元素。
3.补集：对于全集U，集合A的补集，记作A’，包含所有不属于A的元素。
4.运算法则：a.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩Ab.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)c.分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC)，A(B∩C)=(AB)∩(AC)三、集合的其他概念1.子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
2.超集：如果集合A包含集合B的所有元素，那么集合A是集合B的超集，记作A⊇B。
3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且A不等于B，那么A是B的真子集，记作A⊊B。
4.空集的特殊性质：空集是任何集合的子集，也是任何集合的超集。
四、整数的运算1.加法：两个整数相加，得到它们的和。
2.减法：一个整数减去另一个整数，得到它们的差。
3.乘法：两个整数相乘，得到它们的积。
4.除法：一个整数除以另一个整数（不为0），得到它们的商。
5.幂运算：一个整数的n次幂，表示这个整数连乘n次。
五、实数的运算1.加法：两个实数相加，得到它们的和。
2.减法：一个实数减去另一个实数，得到它们的差。
3.乘法：两个实数相乘，得到它们的积。
4.除法：一个实数除以另一个实数（不为0），得到它们的商。
《基本概念与运算法则》史宁中
小学数学教学中的若干问题史宁中东北师范大学数学与统计学院目录前言第一部分数的认识问题1数量是什么？数量关系的本质是什么？数量是对现实生活中事物量的抽象 / 数量关系的本质是多与少问题2如何认识自然数？数是对数量的抽象/ 数关系是对数量关系的抽象：大与小 / 可以有两种方法实现这种抽象：对应的方法和定义的方法问题3表示自然数的关键是什么？十个符号和数位 / 数位法则是依次相差十倍 / 自然数集合问题4如何认识自然数的性质？依据性质可以对自然数进行分类 / 奇数与偶数 / 素数与合数问题5如何认识负数？负整数是与自然数数量相等意义相反的数 / 绝对值表示数量问题6如何认识分数？分数本身是数而不是运算 / 整体与等分关系/ 整比例关系问题7如何认识小数？对应的方法 / 重新理解十进制 / 基底与线性组合 / 表示有理数与无理数问题8什么是数感？数与现实的联系 / 抽象的核心是舍去现实背景 / 联系的核心是回归现实背景第二部分数的运算问题9如何解释自然数的加法运算？可以有两种方法解释加法：对应的方法和定义的方法 / 如何体现数学思想问题10为什么说减法是加法的逆运算？四则运算源于加法 / 减法是加法的逆运算 / 相反数/ 整数集合问题11 乘法是加法的简便运算吗？自然数集合上的乘法 / 乘法运算的性质 / 整数集合上的乘法不是加法的简便运算问题12整数集合上的乘法是如何得到的？整数集合上的乘法运算是一种推广 / 为什么负负为正 / 运算与算理等价问题13为什么说除法是乘法的逆运算？如何表示除法 / 得到的商是一个整数 / 得到的商不是整数 / 倒数 / 有理数集合问题14 为什么混合运算要先乘除后加减？运算次序的两个基本法则 / 所有混合运算都是在讲述两个以上的故事问题15 为什么要学习估算？精算有利于培养抽象能力 / 估算有利于培养直观能力 / 估算问题要有合适的实际背景：合适的量纲 / 大多数的估算问题是为了得到上界或者下界问题16 什么是符号意识？用字母表示数 / 代数学的开始 / 两类符号：概念符号和关系符号 / 基于符号的运算/符号的表达具有一般性问题17 方程的本质是什么？用字母表示未知的量 / 讲述的是现实世界中的两个故事 / 两个故事的共同点 / 要用等式的性质解方程问题18什么是模型？小学数学中有哪些模型？用数学的语言讲述现实世界中一类与数量有关的故事 / 总量模型 / 路程模型 /植树模型 / 工程模型问题19发现问题和提出问题有什么不同？从双基到四基 / 发现问题与创新意识 / 提出问题与创新能力第三部分图形与几何问题20为什么要把“空间与图形”修改为“图形与几何”？时间和空间是人类认识世界最为基本的概念 / 几何学是研究如何构建空间度量方法的学科 / 欧几里得几何是平直的 / 欧几里得几何的核心是直线距离问题21如何理解点、线、面、体、角？看到的物体都是立体的 / 点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念 / 如何用描述的方法给出几何概念问题22认识图形的教育价值是什么？更重要的是让学生学会分类 / 制定标准和遵循标准 / 培养学生的抽象能力问题23如何理解长度、面积、体积？长度是一维空间图形的度量 / 面积是二维空间图形的度量/ 体积是三维空间图形的度量 / 度量的基础是直线距离问题24如何理解平移、旋转、轴对称？图形的运动 / 保持两点间直线距离不变：刚体运动 / 运动的参照物问题25如何理解空间观念和几何直观？空间观念的本质是空间想象力 / 直观是对事物的直接判断因此是经验层面的 / 直观能力的养成依赖本人参与其中的思维活动 / 几何直观不限于几何甚至不限于数学第四部分统计与概率问题26：为什么要强调数据分析观念？统计学研究的基础是数据 / 描述数据分析/ 推断数据分析 / 通过样本推断总体问题27：三种统计图之间有什么共性和差异？直观地表述数据是三种统计图的共性 / 条形统计图表述数量的多少 / 扇形统计图表述数量的比例 / 折线统计图表述数量的变化问题28：如何理解数据的随机性？随机性与不确定性有所区别 / 减少系统误差/ 减少人为因素 / 估计是统计推断的重要手段 / 最大似然估计/ 通过样本频率估计概率问题29：平均数的意义是什么？样本平均数不仅是一个算式 / 误差模型 / 误差的随机性：正负抵消和为零 / 样本平均数是随机的 / 样本平均数是无偏估计问题30：什么是概率？如何得到概率？概率是随机事件发生的属性 / 概率是未知的/ 估计概率 / 定义概率 / 定义概率是一种度量 / 古典概率模型附录1 若干与小学数学有关的话题话题1 几种古代的数字符号话题2数量的本质话题3 数量多少的比较话题4十进制的自然数话题5十二进制与六十进制话题6公理体系定义的自然数话题7 借助算术公理体系解释加法运算话题8公理体系的必要性与数学证明的形式话题9 加法运算和减法运算性质的证明话题10 负数的意义话题11 用符号表示分类话题12 素数的故事话题13 有理数与无理数话题14 用反证法证明√2是无理数话题15数学证明的思维过程话题16逻辑推理的思维起点话题17数学归纳法的逻辑基础话题18 用小数定义有理数和无理数话题19乘法的定义话题20 除法运算规定0不能为除数话题21 除数是分数时的除法运算话题22 数学中的符号表达话题23 路程模型：绝对时间和相对时间话题24 几何学的由来话题25 欧几里得《几何原本》话题26 几何基本概念的进一步抽象话题27 长度单位的确定话题28 曹冲称象与浮力话题29 统计学的由来话题30 概率的定义和基于概率模型的估计附录2 相关内容的教学设计问题2“如何认识自然数”的相关教学设计问题3“表示自然数的关键是什么”的相关教学设计问题4“如何认识自然数的性质”的相关教学设计问题5“如何认识负数”的相关教学设计问题6“如何认识分数”的相关教学设计问题7“如何认识小数”的相关教学设计问题8“什么是数感”的相关教学设计问题9“如何解释自然数的加法运算”的相关教学设计问题11“乘法是加法的简便运算吗”的相关教学设计问题13“为什么说除法是乘法的逆运算”相关教学设计问题14“为什么混合运算要先乘除后加减”的相关教学设计问题15“为什么要学习估算”的相关教学设计问题16“什么是符号意识”的相关教学设计问题17“方程的本质是什么”的相关教学设计问题18“小学数学中有哪些模型”的相关教学设计问题21“如何理解点、线、面、体、角”的相关教学设计问题23“如何理解长度、面积、体积”的相关教学设计问题24“如何理解平移、旋转、轴对称”相关教学设计问题27“三种统计图之间有什么共性和差异”相关教学设计问题29“平均数的意义是什么”相关教学设计前言自从1998年担任东北师范大学校长以后，我开始关注基础教育，但关注的是一般性的问题，并没有深入到学科内部。
七年级数学上册第二单元《整式加减》-解答题专项经典测试卷(含答案)(3)
一、解答题1．已知多项式2x 2+25x 3+x ﹣5x 4﹣13． （1）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项； （2）把这个多项式按x 的指数从大到小的顺序重新排列． 解析：（1）该多项式的次数是4，它的二次项是2x 2，常数项是﹣13；（2）﹣5x 4+25x 3+2x 2+x ﹣13． 【分析】（1）根据多项式的次数、项等定义解答即可； （2）按x 得降幂排列多项式即可． 【详解】解：（1）该多项式的次数是4，它的二次项是2x 2，常数项是﹣13； （2）这个多项式按x 的指数从大到小的顺序为：432215253x x x x -+++-. 【点睛】本题考查的是多项式的概念及应用.2．有一道化简求值题：“当1a =-，3b =-时，求222(32)2(())44a b ab ab a ab a b ---+-的值.”小明做题时，把“1a =-”错抄成了“1a =”，但他的计算结果却是正确的，小明百思不得其解，请你帮他解释一下原因，并求出这个值．解析：2228a b a +，解释见解析，2. 【分析】将原式化简后即可对计算结果进行解释；将a 、b 的值代入化简后的式子计算即得结果. 【详解】解：原式22232284a b ab ab a ab a b =--++-2228a b a =+. 因为无论1a =-，还是1a =，2a 都等于1，所以代入的结果是一样的. 所以当1a =-,3b =-时，原式222(1)(3)8(1)=⨯-⨯-+⨯-682=-+=. 【点睛】本题考查了整式的加减运算及代数式求值，属于常考题型，熟练掌握整式加减运算法则是解题关键. 3．化简并求值：已知2232A a b ab abc =-+,小明错将“2A B -”看成“2A B +”,算得结果22434C a b ab abc =-+.（1）计算B 的表达式；（2）小强说正确结果的大小与c 的取值无关，对吗？请说明理由. （3）若18a =，15b = ，求正确结果的代数式的值． 解析：（1）2222a b ab abc -++；（2）小强的说法对，正确结果的取值与c 无关,理由见解析；（3）0. 【分析】（1）由2A+B=C 得B=C-2A ，将C 、A 代入根据整式的乘法计算可得B ；（2）将A 、B 代入2A-B ，根据整式的加减运算法则进行化简，由化简后的代数式中无字母c 可知其值与c 无关；（3）将a 、b 的值代入计算即可． 【详解】解：（1）∵2A B C +=，∴2B C A =-. B 22224342(32)a b ab abc a b ab abc =-+--+2222434642a b ab abc a b ab abc =-+-+- 2222a b ab abc =-++;（2）222222(32)(22)A B a b ab abc a b ab abc -=-+--++222264222a b ab abc a b ab abc =-++-- 2285a b ab =-.因正确结果中不含c ，所以小强的说法对，正确结果的取值与c 无关； （3）将18a =, 15b =代入（2）中的代数式，得： 22221111858()5()8585a b ab -=⨯⨯-⨯⨯0= .【点睛】本题主要考查整式的乘法，熟练掌握整式的乘法法则是解题的关键．4．已知多项式﹣x 2y 2m +1+xy ﹣6x 3﹣1是五次四项式，且单项式πx n y 4m ﹣3与多项式的次数相同，求m ，n 的值．解析：m ＝1，n ＝4．【分析】根据多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得m 的值，根据单项式的次数是单项式中所有字母指数和，可得n 的值． 【详解】∵多项式﹣x 2y 2m +1+xy ﹣6x 3﹣1是五次四项式，且单项式πx n y 4m ﹣3与多项式的次数相同， ∴2+2m +1＝5，n +4m ﹣3＝5， 解得m ＝1，n ＝4． 【点睛】本题考查了多项式，利用多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，单项式的次数是单项式中所有字母指数和得出m 、n 的值是解题关键．5．计算：（1）()223537a ab a ab -+-++； （2）()222312424a a a a ⎛⎫+---⎪⎝⎭.解析：（1）62ab --；（2）2321a a --+ 【分析】先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）()223537a ab a ab -+-++223537a ab a ab =-+---2ab =-6-；（2）()222312424a a a a ⎛⎫+---⎪⎝⎭2222261a a a a =+--+ 2321a a =--+．【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟记去括号法则和合并同类项的法则是解决此题的关键． 6．化简： （1）()()22224232a b ababa b ---；（2）2237(43)2x x x x ⎡⎤----⎣⎦．解析：（1）22105a b ab -；（2）2533x x -- 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】 （1）()()22224232a b ababa b ---22224236a b ab ab a b =--+ 22105a b ab =-．（2）2237(43)2x x x x ⎡⎤----⎣⎦2237(43)2x x x x =-+-+2237432x x x x =-+-+ 2533x x =--．【点睛】本题主要考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号，合并同类项，一般步骤是：先去括号，然后再合并同类项．7．如图，观察下列图形，可得它们是按一定规律排列的，依照此规律，解决下列问题．（1）第5个图形有_______颗五角星，第6个图形有_______颗五角星； （2）第2020个图形有_______颗五角星，第n 个图形有_______颗五角星． 解析：（1）16，19；（2）6061，31n +． 【分析】（1）将每一个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第5、6个图形中★的个数； （2）利用（1）中所得规律可得． 【详解】解：（1）观察发现，第1个图形★的颗数是134+=， 第2个图形★的颗数是1327+⨯=， 第3个图形★的颗数是13310+⨯=， 第4个图形★的颗数是13413+⨯=， 所以第5个图形★的颗数是13516+⨯=， 第6个图形★的颗数是13619+⨯=． 故答案为：16，19．（2）由（1）知，第2020个图形★的颗数是1320206061+⨯=， 第n 个图形★的颗数是31n +． 故答案为：6061，31n +． 【点睛】本题考查了图形变化规律的问题，把★分成两部分进行考虑，并找出第n 个图形★的个数的表达式是解题的关键．8．有这样一道题“求多项式3323323763363101a a b a b a a b a b a -+++--+的值，其中99.01,123.89a b ==-”，有一位同学把99.01a =抄成99.01,123.89a b =-=-抄成123.89b =，结果也正确，为什么？解析：见解析 【分析】原式合并同类项得到最简结果为常数1，这个多项式的值与a 、b 的值无关，故a ，b 的值抄错后，答案仍然是1 【详解】解：∵3323323763363101a a b a b a a b a b a -+++--+()()()33333227310663311a a a a b a b a b a b =+-+-++-+=；∴这个多项式的值与,a b 的值无关， 故,a b 的值抄错后结果也正确． 【点睛】此题考查了整式的加减——化简求值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．列出下列代数式： （1）a 、b 两数差的平方； （2）a 、b 两数平方的差；（3）a 、b 两数的和与a 、b 两数的差的积； （4）a 的相反数与b 的平方的和．解析：（1）2()a b -；（2）22a b -；（3）()()a b a b +-；（4）2a b -+ 【分析】（1）根据题意先列出a ，b 的差，再表示差的平方，即可得出答案； （2）根据题意先表示出a ，b 平方，再列出差，即可得出答案 ；（3）根据题意先表示出a 与b 两数的和以及这两数的差，再列出它们的积，即可得出答案；（4）利用相反数以及平方的定义得出答案． 【详解】（1）根据题意可得：2()a b -；（2）根据题意可得：22a b -； （3）根据题意可得：()()a b a b +-； （4）根据题意可得：2a b -+． 【点睛】本题考查了列代数式，关键是能够正确运用数学语言，即代数式来表示题意． 10．观察下列等式． 第1个等式：a 1＝113⨯＝12×113⎛⎫- ⎪⎝⎭； 第2个等式：a 2＝135⨯＝12×1135⎛⎫- ⎪⎝⎭； 第3个等式：a 3＝157⨯＝12×1157⎛⎫- ⎪⎝⎭； 第4个等式：a 4＝179⨯＝12×1179⎛⎫- ⎪⎝⎭；…请解答下列问题．（1）按以上规律列出第5个等式：a 5＝____＝____； （2）求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．解析：（1）1911⨯；12×11911⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）100201． 【分析】（1）根据连续奇数乘积的倒数等于这两个奇数的倒数差的一半列式可得； （2）根据以上所得规律列式111111111111232352572199201⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再进一步计算可得． 【详解】 （1）由观察知，左边：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1， 右边：这两个奇数的倒数差的一半， ∴第5个式子是：()()111115215219112911⎛⎫==⨯- ⎪⨯-⨯-⨯⎝⎭； 故答案为：1911⨯；12×11911⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100111111111111232352572199201⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111233557199201⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111111233557199201⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭1112201⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭12002201=⨯ 100201=． 【点睛】 本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：连续奇数乘积的倒数等于这两个奇数的倒数差的一半． 11．观察由“※”组成的图案和算式，解答问题（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19=；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）= ；（3）请用上述计算103+105+107+…+2015+2017的值．解析：（1）102；（2）()22n+；（3）1015480．【分析】（1）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可，此题中一共有10个连续奇数相加，所以结果应为102；（2）一共有(n+2)个连续奇数相加，所以结果应为n2；（3）让从1加到2005这些连续奇数的和，减去从1加到101这些连续奇数的和即可．【详解】（1）由图片知：第1个图案所代表的算式为：1=21；第2个图案所代表的算式为：1+3=4=22；第3个图案所代表的算式为：1+3+5=9=23；…依次类推：第n个图案所代表的算式为：1+3+5+…+（2n-1）=2n；1+3+5+…+19的个数为：191102+=，∴1+3+5+…+19=210；故答案为：210；（2）1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）的个数为：23122nn++=+，∴1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=()22n+，故答案为：()22n+；（3）103+105+107+…+2015+2017=（1+3+…+2015+2017）-（1+3+…+99+101）=21009-251=1015480．【点睛】本题考查了数字的变化规律的应用；判断出有几个奇数相加是解决本题的易错点；得到从1开始连续奇数的和的规律是解决本题的关键．12．一种商品每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格．(1)请问每件售价多少元？(2)现在由于库存积压减价，按售价的85%出售，请问每件还能盈利多少元？解析：(1)每件售价1.22a元；(2)每件盈利0.037a元．【分析】（1）根据每件成本a元，原来按成本增加22%定出价格，列出代数式，再进行整理即可；（2）用原价的85%减去成本a 元，列出代数式，即可得出答案． 【详解】 (1)根据题意，得： (1＋22%)a =1.22a (元)， 答：每件售价1.22a 元； (2)根据题意，得： 1.22a ×85%－a =0.037a (元)． 答：每件盈利0.037a 元． 【点睛】本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，注意把列出的式子进行整理．13．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．（1） 图②有 个三角形；图③有 个三角形；（2） 按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形（用n 的代数式表示结论）．解析：（1）5，9 ；（2）43n - 【分析】（1）由图形即可数得答案；（2）发现每个图形都比起前一个图形多4个，所以第n 个图形中有14(1)43n n +⨯-=-个三角形． 【详解】解：（1）根据图形可得：5，9； （2）发现每个图形都比起前一个图形多 4 个，∴第n 个图形中有14(1)43n n +⨯-=-个三角形． 【点睛】本题考查图形的特征，根据图形的特征找出规律，属于一般题型．14．古人云：凡事宜先预后立.我们做任何事情都要先想清楚，然后再动手去做，才能避免盲目从事.一天，需要小亮计算一个L 形的花坛的面积，在动手测量前，小亮依花坛形状画出示意图，并用字母表示出了将要测量的边长（如图所示），小亮在列式进行面积计算时，发现还需要再测量一条边的长度，你认为他还需要测量哪条边的长度？请你在图中用字母n 表示出来，然后求出它的面积.+-解析：图详见解析，am bn mn【分析】由图可知花坛是由两块矩形组成，若想求解矩形面积就必需知道矩形的长和宽，而图中少了左边矩形的宽．【详解】解：需要测量的边如图所示（或测量剩下的那条边的长度）.+-.图形的面积为am bn mn【点睛】不规则的几何图形的面积的计算要转化为规则的几何图形面积的和差．15．国庆期间，广场上设置了一个庆祝国庆70周年的造型(如图所示)．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板．求：（1）展板的面积是．(用含a，b的代数式表示)（2）若a=0.5米，b=2米，求展板的面积．（3）在（2）的条件下，已知摆放花草部分造价为450元/平方米，展板部分造价为80元/平方米，求制作整个造型的造价(π取3)．解析：（1）12ab平方米；（2）12 (平方米)；（3）3660元．【分析】（1）利用分割法求解即可．（2）把a，b的值代入（1）中代数式求值即可．（3）分别求出摆放花草部分造价，展板部分造价即可解决问题．【详解】（1）由题意：展板的面积=12a•b (平方米)．故答案为：12ab (平方米)．（2）当a=0.5米，b=2米时，展板的面积=12×0.5×2=12(平方米)．（3）制作整个造型的造价=12×8012+π×4×450=3660(元)．【点睛】本题考查轴对称图形，矩形的性质，圆的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．16．已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b﹣3ab2+4abc．(1)计算B的表达式；(2)求出2A﹣B的结果；(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=18，b=15，求(2)中式子的值．解析：（1）﹣2a2b+ab2+2abc；（2） 8a2b﹣5ab2；（3）对，0．【分析】（1）根据B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A列出关系式，去括号合并即可得到B；（2）把A与B代入2A-B中，去括号合并即可得到结果；（3）把a与b的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）∵2A＋B＝4a2b﹣3ab2+4abc，∴B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A＝4a2b－3ab2＋4abc－2(3a2b－2ab2＋abc)＝4a2b－3ab2＋4abc－6a2b＋4ab2－2abc＝－2a2b＋ab2＋2abc；（2）2A－B＝2(3a2b－2ab2＋abc)－(－2a2b＋ab2＋2abc)＝6a2b－4ab2＋2abc＋2a2b－ab2－2abc＝8a2b－5ab2；（3）对，由（2）化简的结果可知与c无关，将a＝18，b＝15代入，得8a2b－5ab2＝8×218⎛⎫⎪⎝⎭×15－5×18×21()5＝0．【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项．17．观察下列单项式：﹣x，2x2，﹣3x3，…，﹣9x9，10x10，…从中我们可以发现：（1）系数的规律有两条：系数的符号规律是系数的绝对值规律是（2）次数的规律是（3）根据上面的归纳，可以猜想出第n个单项式是．解析：（1）奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同；（2）与自然数序号相同；（3）(1)n n nx -【分析】通过观察题意可得：奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，且系数的绝对值与自然数序号相同，次数也与与自然数序号相同．由此可解出本题．【详解】（1）奇数项为负，偶数项为正，与自然数序号相同；（2）与自然数序号相同；（3）(1)n n nx -．【点睛】本题考查了单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．18．已知多项式2x 2+4xy ﹣3y 2+x 2+kxy+5y 2，当k 为何值时，它与多项式3x 2+6xy+2y 2是相等的多项式．解析：k=2．【分析】根据两个多项式是相同的多项式，可以直接列等式根据各项前对应系数相等直接列式计算.【详解】解：2x 2+4xy ﹣3y 2+x 2+kxy+5y 2，=3x 2+（4+k ）xy+2y 2，因为它与多项式3x 2+6xy+2y 2是相等的多项式，所以4+k=6，解得：k=2．【点睛】本题考查了带系数多项式与已知多项式相等求未知系数，掌握多项式的概念是解决此题的关键.19．父母带着孩子（一家三口）去旅游，甲旅行社报价大人为a 元，小孩为a 2元；乙旅行社报价大人、小孩均为a 元，但三人都按报价的90%收费，则乙旅行社收费比甲旅行社贵多少元？（结果用含a 的代数式表示）解析：乙旅行社收费比甲旅行社贵0.2a 元．【分析】根据题意分别表示出甲乙两旅行社的费用，相减即可得到结果．【详解】根据题意得：（a+a+a ）×90%-（a+a+12a ）=2.7a-2.5a=0.2a （元），则乙旅行社收费比甲旅行社贵0.2a 元．【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．观察下列单项式：x -，23x ，35x -，47x ，…1937x -，2039x ，…写出第n 个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．()1这组单项式的系数的符号，绝对值规律是什么？()2这组单项式的次数的规律是什么？()3根据上面的归纳，你可以猜想出第n 个单项式是什么？()4请你根据猜想，请写出第2014个，第2015个单项式．解析：()1 (1)n -（或：负号正号依次出现；），21n -（或：从1开始的连续奇数）；()2从1开始的连续自然数；()3第n 个单项式是：()(1)21n n n x --；()4?2014个单项式是20144027x ；第2015个单项式是20154029x -．【分析】(1)根据已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律；(2)根据已知数据次数得出变化规律；(3)根据(1)和(2)中数据规律得出即可；(4)利用(3)中所求即可得出答案.【详解】()1数字为1-，3，5-，7，9-，11，…，为奇数且奇次项为负数，可得规律：()(1)21n n --；故单项式的系数的符号是：(1)n-（或：负号正号依次出现；），绝对值规律是：21n -（或：从1开始的连续奇数）； ()2字母因数为：x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，…，可得规律：n x ，这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．()3第n 个单项式是：()(1)21n n n x --．()4把2014n =、2015n =直接代入解析式即可得到：第2014个单项式是20144027x ；第2015个单项式是20154029x -．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，得出次数与系数的变化规律是解题关键.21．将正整数1，2，3，4，5，……排列成如图所示的数阵：（1）十字框中五个数的和与框正中心的数11有什么关系？（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；（3）十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由； （4）十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．解析：（1）十字框中五个数的和是正中心数的5倍；（2）十字框中五个数的和是正中心数的5倍，理由见解析；（3）不能，理由见解析；（4）这五个数是404，403，405，397，411.【分析】（1）把框住的数相加即可求解；（2）设中心的数为a ，则其余4个数分别为1a -，1a +，7a -，7a +，相加即可得到规律；（3）由（2）得五个数的和为5a ，令5a=180,根据解得情况即可求解；（4）由（2）得五个数的和为5a ，令5a=2020,根据解得情况即可求解；【详解】解：（1）十字框中五个数的和是正中心数的5倍.∵十字框中五个数的和41011121855511=++++==⨯，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍.（2）五个数的和与框正中心的数还有这种规律.设中心的数为a ，则其余4个数分别为1a -，1a +，7a -，7a +.11775a a a a a a +-+++-++=，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍.（3）十字框中五个数的和不能等于180.∵当5180a =时，解得36a =，36751÷=，36在数阵中位于第6排的第1个数，其前面无数字，∴十字框中五个数的和不能等于180.（4）十字框中五个数的和能等于2020.∵当52020a =时，解得404a =，4047575÷=，404在数阵中位于第58排的第5个数，∴十字框中五个数的和能等于2020，这五个数是404，403，405，397，411.【点睛】 此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是设中心的数为a ，求出十字框中五个数的和为5a.22．小丽暑假期间参加社会实践活动，从某批发市场以批发价每个m 元的价格购进100个手机充电宝，然后每个加价n 元到市场出售．（1）求售出100个手机充电宝的总售价为多少元（结果用含m ，n 的式子表示）？ （2）由于开学临近，小丽在成功售出60个充电宝后，决定将剩余充电宝按售价8折出售，并很快全部售完．①她的总销售额是多少元？②相比不采取降价销售，她将比实际销售多盈利多少元（结果用含m 、n 的式子表示）？ ③若m=2n ，小丽实际销售完这批充电宝的利润率为 （利润率=利润÷进价×100%） 解析：（1）售出100个手机充电宝的总售价为：100（m+n ）元；（2）①实际总销售额为：92（m+n ）元；②实际盈利为92n ﹣8m 元；③38%．【分析】（1）先求出每个充电宝的售价，再乘以100，即可得出答案;（2）①先算出60个按售价出售的充电宝的销售额，再计算剩下40个按售价8折出售的充电宝的销售额，相加即可得出答案；②计算100个按售价出售的充电宝的销售额，跟①求出来的销售额比较，即可得出答案；③将m=2n 代入实际利润92n-8m 中，再根据利润率=利润÷进价×100%，即可得出答案.【详解】解：（1）∵每个充电宝的售价为：m+n 元，∴售出100个手机充电宝的总售价为：100（m+n ）元．（2）①实际总销售额为：60（m+n ）+40×0.8（m+n ）=92（m+n ）元，②实际盈利为92（m+n ）﹣100m=92n ﹣8m 元，∵100n ﹣（92n ﹣8m ）=8（m+n ），∴相比不采取降价销售，他将比实际销售多盈利8（m+n ）元．③当m=2n 时，张明实际销售完这批充电宝的利润为92n ﹣8m=38m 元， 利润率为38100m m×100%=38%． 故答案为38%．【点睛】 本题考查的是列代数式，解题的关键是要看懂题目意思，理清字母之间的数量关系.23．学习了整式的加减运算后，张老师给同学们布置了一道课堂练习题“当2a =-，2018b =，求222221(324)2(23)2()12a b ab a a b a ab a b -+--++-的值”.小明做完后对同桌说：“老师给的条件2018b =是多余的，这道题不给b 的值，照样可以求出结果来”.同桌不相信他的话．亲爱的同学们，你相信小明的说法吗？解析：-21【分析】首先化简代数式，通过去括号、合并同类项，得出结论即含有b 的代数式相加为0，即可说明．【详解】解()()222221324223212a b ab a a b a ab a b ⎛⎫-+--++- ⎪⎝⎭＝222223244621a b ab a a b a ab a b -+-+++-＝101a -当2a =-时原式＝()1021⨯--＝－21.【点睛】考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则是解题的关键. 24．已知多项式22622452x mxyy xy x 中不含xy 项，求代数式32322125m m m m m m 的值．解析：-14【分析】先合并已知多项式中的同类项，然后根据合并后的式子中不含xy 项即可求出m 的值，再把所求式子合并同类项后代入m 的值计算即可．【详解】解：2222622452=6+42252x mxy y xy x x m xy y x ， 由题意，得4－2m =0，所以m =2； 所以32322125m m m m m m =3226m m ．当m =2时，原式= 322226 =14-． 【点睛】本题考查了整式的加减，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．25．先化简，再求值： ()()()()24222x x y x y x y x y -++---，其中2x =-， 12y ．解析：132【解析】试题分析：原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．试题原式222222244442x xy x y x xy y x y =-+--+-=-，当12,2x y =-=-时,原式174.22=-= 26．已知22134,2313P x mx y Q x y nx =+-+=-+-， （1）关于,x y 的式子2P Q -的取值与字母x 的取值无关，求式子(3)(3)m n m n +--的值；（2）当0x ≠且0y ≠时,若135333P Q -=恒成立，求,m n 的值。
专题01 实数的概念与运算(讲)-备战2019年中考数学二轮复习讲练测(解析版)
备战2019年中考二轮讲练测第一篇专题整合篇专题01 实数的概念与运算（讲案）一讲考点——考点梳理（一）实数的基本概念（1）数轴的三要素为原点、正方向和单位长度. 数轴上的点与实数构成一一对应.（2）只有符号不同的两个数叫做互为相反数.实数a 的相反数为—a. 若a ，b 互为相反数，则b a +=0.（3）若两数乘积为1，则这两个数叫做互为倒数。
非零实数a 的倒数为a1. 若a ，b 互为倒数，则ab =1.（4）数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。
实数a 的绝对值记作|a|，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a ．（二）有效数字与科学记数法（1）有效数字：是指从一个近似数的左边第一个不是0的数字开始，一直到这个数的最后一位的所有数字.（2）科学记数法：把一个数表示成a×10n 的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数.当该数的绝对值大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数的绝对值小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）（三）实数的分类与大小比较（1）实数的分类：有理数和无理数统称实数.（2）实数的大小比较：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数>0，负数<0，正数>负数；两个负数比较大小，绝对值大的< 绝对值小的．常用方法：性质法、数轴法、倒数法、平方法、比差法、比商法.（四）实数的运算1.数的开方（1）任何正数a 都有两个平方根,它们互为相反数.其中正的平方根a 叫a 的算术平方根.负数没有平方根，0的算术平方根为0.（2）任何一个实数a 都有立方根，记为3a .（3）=2a ⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a .2.数的乘方：=n aa n a a a a 个⋅⋅，其中a 叫做底数，n 叫做指数. =0a 1（其中a ≠0 且a 是实数）=-p a pa 1（其中a ≠0）3. 实数运算：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.同一级的运算是可以相互转化的.4. 运算律的应用：主要有加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律，以及分配律.(五)探究数、式规律（1）一般按照“特殊——一般——特殊”的思维过程，使用“观察——猜想——验证”的思路，最终得出正确的结果；（2）列表法与举例法是在解答探索数式规律的问题时最常用的方法.二讲题型——题型解析（一）对实数基本概念的考查.例1、【2018年广东省中考】一个正数的平方根分别是x+1和x ﹣5，则x=_____．【答案】2【解析】【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x 的方程，解方程即可得．【详解】根据题意知x+1+x ﹣5=0，解得：x=2，故答案为：2．（二）对有效数字与科学记数法的考查.例2、【2018年广西壮族自治区贵港市中考】一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（ ）A ． 2.18×106B ． 2.18×105C ． 21.8×106D ． 21.8×105【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，所以2180000用科学记数法表示为2.18×106，故选A.（三）对实数的分类与大小比较的考查例3、【2018年山东省菏泽市中考】下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】分析：根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.详解：是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，所以无理数有2个，故选C.【点评】本题考查了无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数.常见的形式有：开方开不尽的数,如2等;;圆周率π及一些含有π的数都是无理数.要掌握实数、有理数、无理数的定义，以及非负数、非正数等一些相关的概念.（四）对实数的运算的考查例4、【广东省2018年中考数学试题】计算：|﹣2|﹣20180+（）﹣1【答案】3.【解析】【分析】按顺序先分别进行绝对值化简、0次幂的计算、负指数幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】|﹣2|﹣20180+（）﹣1=2﹣1+2=3．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，涉及到绝对值的化简、0指数幂的运算、负指数幂的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.（五） 对实数中的非负数及性质的考查例5、已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案均不对【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：，解得：．（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B ．考点：1.等腰三角形的性质；2.非负数的性质；3.三角形三边关系；4.分类讨论．学科网（六）对数、式规律的考查例6、【2018年湖北省荆门市中考】将数1个1，2个，3个，…，n 个（n 为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记a 1=1，a 2=，a 3=，…，S 1=a 1，S 2=a 1+a 2，S 3=a 1+a 2+a 3，…，S n =a 1+a 2+…+a n ，则S 2018=_____．【答案】630x -=4080x y -=⎧⎨-=⎩48x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，根据数列中数的排列规律找出“前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个”是解题的关键．三讲方法——方法点睛（一）解决有关实数的基本概念的问题要掌握相反数、倒数、绝对值等概念的内涵和区别．（二）（1）对于实数的分类要掌握实数、有理数、无理数的定义，以及非负数、非正数等一些相关的概念（2）实数大小的比较可以利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法.除此之外常用的方法有“差值比较法”适用于比较任何两数的大小；“商值比较法”只适用于比较两个正数的大小；“平方法”、“倒数法”常用于比较二次根式的大小；“底数比较法”、“指数比较法”常用于比较幂的大小.（三）解决与非负数的性质相关的问题的关键是掌握：（1）常见的非负数有；任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0；任何一个实数a的平方是非负数,即a2≥0；若a为非负数，则a也为非负数，即a≥0；（2）非负数具有的性质是：非负数有最小值，最小值为0；有限个非负数的和仍是非负数；几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.（四）对于实数的运算（1）熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.（2）注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.（五）科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10-n 的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.（六）解决探索数、式规律问题的方法常见的有列表法和举例法.四练实题——随堂小练1.下列各数中，绝对值最大的数是（ ） A．﹣3B．﹣2C．0D．1【答案】A．【解析】|﹣3|＞|﹣2|＞1＞|0|，故选A．2．在﹣，0，﹣2，，1这五个数中，最小的数为（ ）A ．0B ．12-C ．﹣2D 13．【答案】C ．3.古生物学家发现350 000 000年前，地球上每年大约是400天，用科学记数法表示350 000 000=【答案】3.5×108．【解析】将350 000 000用科学记数法表示为：3.5×1084．已知x 、y 为实数，且y=92-x ﹣29x -+4，则x ﹣y= 【答案】﹣1或﹣7.【解析】由题意得x 2﹣9≥0，x 2﹣9≤0，∴x 2﹣9=0，解得x=±3，∴y=4，∴x ﹣y=﹣1或﹣7．5．观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，…由以上规律可以得出第n 个等式为 ．【答案】（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2=8n 6与0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）【答案】＞【解析】1-2，2＞0，0．考点：实数大小比较．7. 高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x]+[﹣x]=0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3；④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】①③．【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．【解析】①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正确；②[x]+[﹣x]=0，错误，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，﹣1＜﹣x+1≤1，[x+1]+[﹣x+1]的值为2，故错误．故答案为：①③．考点：有理数的混合运算；新定义．8.（2-2014）0-2cos30°-（12）-1．-1．【解析】原式．9.计算：4sin45°+|﹣2|（13）0．【答案】3.【解析】考点：1.实数的运算；2.特殊角三角函数值；3.零指数幂.10.计算：（12）﹣1﹣|（1﹣π）0．【答案】．【解析】试题分析：根据负整数指数幂，去绝对值，二次根式的化简以及零指数幂的计算法则计算．试题解析：原式=2+1=3+考点：实数的运算;零指数幂；负整数指数幂．五练原创——预测提升1．在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（ ）A ．0.54×107B ．54×105C ．5.4×106D ．5.4×107【答案】C ．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，n 的值为这个数的整数位数减1，所以5400000=5.4×106，故选C ．2．若2（a+3）的值与4互为相反数，则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．﹣72C ．﹣5D ．12【答案】C.【解析】已知2（a+3）的值与4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0可得2（a+3）+4=0，解得a=﹣5，故选C.3．数轴上点A 表示的实数可能是（ ）A ．7B ．10C ．17D ．26【答案】C.【解析】 ∵4＜17＜5，∴数轴上点A 表示的实数可能是17；故选C ．4.下列各数：227，π，cos60°，0 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．【解析】据无理数定义得有，π 是无理数．故选B ．学科网5．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=256时，输出的y 等于（ ）A 、2B 、4C 、2D 、22【答案】C ．6.若21(3)0a b -++=，则a b =（） A ．1B ．－1 C ．3 D ．－3【答案】D.【解析】∵21(3)0a b -++=，∴a-1=0，b+3=0，∴a=1，b=-3，∴1(3)3a b =-=-.故选D.7.按照如图的操作步骤，若输入x 的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算或笔算）【答案】2【解析】【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．【详解】将x=2代入得：3×22﹣10=12﹣10=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8. 古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是 ．【答案】5050．【分析】设第n 个三角形数为a n ，分析给定的三角形数，根据数的变化找出变化规律“a n =1+2+…+n =(1)2n n +”，依此规律即可得出结论．【解析】设第n 个三角形数为a n ，∵a 1=1，a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…∴a n =1+2+…+n =(1)2n n +，将n =100代入a n ，得：a 100=100(1001)2+=5050，故答案为：5050．9. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（,a b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：()()()()253251372i i i i-++=++-+=+()()()21212221213i i i i i i i +´-=´-+´-=+-++=+；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：3i =_________，4i =___________；（2）计算：()()134i i +´-；（3）计算：232017i i i i ++++ ．【答案】（1）﹣i ，1；（2）7﹣i ；（3）i ．【分析】（1）把i 2=﹣1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i 2=﹣1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．10. 观察下列等式：第一个等式：122211132222121a ==-+´+´++；第二个等式：2222232111322(2)2121a ==-+´+´++；第三个等式：3332342111322(2)2121a ==-+´+´++；第四个等式：4442452111322(2)2121a ==-+´+´++；按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a 6= = ；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n == ；（3）a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= （得出最简结果）；。
六年级数学下册教案《运算律》总复习北师大版
六年级数学下册教案：《运算律》总复习北师大版教学目标1. 让学生理解和掌握四则运算的基本法则，包括加法、减法、乘法和除法的运算律。
2. 培养学生运用运算律解决实际问题的能力，提高计算速度和准确性。
教学内容1. 加法运算律：交换律、结合律2. 减法运算律：减法的性质3. 乘法运算律：交换律、结合律、分配律4. 除法运算律：除法的性质5. 运算律的应用：解决实际问题，简化计算过程教学重点与难点1. 教学重点：理解和掌握四则运算的基本法则，能够灵活运用运算律解决实际问题。
2. 教学难点：乘法分配律的理解和应用，以及如何运用运算律简化计算过程。
教具与学具准备1. 教具：PPT课件，教学视频，运算律示意图2. 学具：练习本，计算器，草稿纸教学过程1. 导入：通过PPT课件展示四则运算的基本法则，引导学生回顾和复习已学的知识。
2. 讲解：详细讲解四则运算的运算律，包括加法、减法、乘法和除法的运算律，并通过教学视频和运算律示意图加深学生的理解。
3. 练习：布置练习题，让学生运用运算律解决实际问题，提高计算速度和准确性。
4. 讨论：分组讨论，让学生分享自己在解决问题时运用运算律的经验和技巧。
板书设计1. 板书《运算律》总复习2. 板书内容：四则运算的基本法则，包括加法、减法、乘法和除法的运算律，以及运算律的应用。
作业设计1. 基础练习：布置一些基本的运算律练习题，让学生巩固已学的知识。
2. 综合练习：布置一些综合性的运算律练习题，让学生运用运算律解决实际问题。
3. 挑战练习：布置一些挑战性的运算律练习题，让学生提高自己的计算能力和解决问题的能力。
课后反思通过本次教学，我深刻地认识到运算律在解决问题中的重要性。
在教学过程中，我注重引导学生理解和掌握四则运算的基本法则，并通过练习和讨论提高学生的计算速度和准确性。
同时，我也发现一些学生在运用运算律解决问题时还存在一些困难，我将在今后的教学中更加注重这方面的指导和辅导。
【精品】初中数学 06实数的概念与运算 讲义+练习题
讲义主题：实数的概念及运算一：课前纠错与课前回顾1、作业检查与知识回顾2、错题分析讲解（1）（2）（3）···二、课程内容讲解与课堂练习题模一：无理数例1.1.122π29 3.140.614140.1001000100001，，，，，这7个实数中，无理数的个数是（）7A．0个B．1个C．2个D．3个例1.1.2下列说法正确的是（）A．带根号的数是无理数B．无理数就是开方开不尽而产生的数C．无理数是无限小数D．无限小数是无理数【讲透例题】题模一：无理数例1.1.1【答案】D【解析】π20.1001000100001，是无理数．例1.1.2【答案】C【解析】此题主要考查了无理数的定义.【讲透考点】无理数无理数的概念：无理数是无限不循环小数；常见的无理数有：无限不循环小数（例如π），开方开不尽的数．【相似题练习】随练1.1下列实数是无理数的是（A．-1B．0C．12D3随练1.2下列说法正确的是（）A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．是分数题模二：实数的概念和性质例1.2.1能与数轴上的点一一对应的是____A．整数B．有理数C．无理数D．实数例1.2.2如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣13B关于点A的对称点为C，则点C 所表示的数为（）A．3B．3C．3D．3例1.2.3已知：a和b都是无理数，且a b≠，下面提供的6个数a b+，a b-，ab，ba，ab a b+-，ab a b++可能成为有理数的个数有__________个【讲透例题】题模二：实数的概念和性质例1.2.1【答案】D【解析】本题考查了实数与数轴的对应关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．根据实数与数轴上的点是一一对应关系，即可得出．根据实数与数轴上的点是一一对应关系．故选D．例1.2.【答案】A【解析】设点C表示的数是x，∵A，B两点表示的数分别为﹣13C，B两点关于点A对称，3x+=﹣1，解得x=﹣2﹣3． 例1.2.3 【答案】6 【解析】若12a =+，12b =-，则a b +、ab 均为有理数；若21a =+，21b =-，则a b -、ab a b +-均为有理数；若22a =，2b =，则b a为有理数；若21a =-，221b =-，则ab a b ++为有理数【讲透考点】实数的概念及分类：实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数q p 的形式； 2．任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；3．两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．实数的分类【相似题练习】随练1.3关于实数的下列说法中正确的有( )①只有正数才有平方根；②任何实数都有立方根；③无理数包括正无理数、负无理数和0；④实数和数轴上的点是一一对应的A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个随练 1.423-的相反数是______________；绝对值是______________；16的平方根是______________．随练1.5在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和-1，则点C 所对应的实数是（ ）A ．1+3B ．2+3C ．23-1D ．23+1题模三：比较大小作差法例2.1.1 比较12-与13-的大小．例2.1.2比较31-与15的大小． 作商法例2.2.1比较3与364的大小． 倒数法例2.3.1比较45674587与98769896的大小． 平方法例2.4.1比较53与35的大小．例2.4.2比较133与11的大小． 例2.4.3比较323-与332-的大小． 特殊值法例2.5.1若0＜x ＜1，则x ，x 2，x 3的大小关系是____A ．x ＜x 2＜x 3B ．x ＜x 3＜x 2C ．x 3＜x 2＜xD ．x 2＜x 3＜x估算法例2.6.1估计10的值在（ ）A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间 例2.6.2估计7+1的值（ ）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间例2.6.3已知甲、乙、丙三数，甲=5+15，乙=3+17，丙=1+19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？（ ）A ． 丙＜乙＜甲B ． 乙＜甲＜丙C ． 甲＜乙＜丙D ． 甲=乙=丙【讲透例题】题模三：比较大小作差法例2.1.1 比较12-13- 【答案】1213【解析】(12131213320=．例2.1.2比较31-与15的大小． 【答案】3115-> 【解析】311305-=>．作商法例2.2.13与364的大小． 3364< 33364831643÷==<倒数法例2.3.1比较45674587与98769896的大小． 【答案】4567987645879896< 【解析】分别取倒数可得20201145679876>，故4567987645879896<．平方法 例2.4.1比较5335 【答案】5335【解析】(25375=，(23545=，7545>，∴5335>例2.4.2比较13311 【答案】13113 【解析】21100339⎛⎫= ⎪⎝⎭，29911119==，(2213113⎛⎫> ⎪⎝⎭，13113．例2.4.3比较323-332- 【答案】332332->-【解析】(332324-=-，(333254-=-，332332->-特殊值法例2.5.1若0＜x ＜1，则x ，x 2，x 3的大小关系是____A ．x ＜x 2＜x 3B ．x ＜x 3＜x 2C ．x 3＜x 2＜xD ．x 2＜x 3＜x【答案】C【解析】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键是根据条件设出符合条件的具体数值，再即可方便比较大小．首先根据条件给出符合条件的具体数值，然后根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答．∵0＜x ＜1，∴假设x=12，则x=12，x 2=14，x 3=18， ∵18＜14＜12，∴x 3＜x 2＜x ．故选C ．估算法例2.6.110 ）A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间 【答案】C【解析】91016∴3104，故选：C．例2.6.27的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【答案】C【解析】∵273，∴37＜4，7在在3和4之间．例2.6.3已知甲、乙、丙三数，甲151719下列何者正确？（）A．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲=乙=丙【答案】A【解析】∵91516，∴8＜159，∴8＜甲＜9；∵161725，∴7＜178，∴7＜乙＜8，∵161925，∴5＜196，∴丙＜乙＜甲故选（A）．【讲透考点】一．作差法对于任意两个实数a ，b ：1．0a b ->，则a b >；2．0a b -<，则a b <；3．0a b -=，则a b =．二．作商法对于任意两个正实数a ，b ：1．1a b >，则a b >；2．1a b <，则a b <；3．1a b =，则a b =．对于任意两个负实数a ，b ：1．1a b >，则a b <；2．1a b <，则a b >；3．1a b =，则a b =．三．倒数法对于任意两个同号的实数a ，b ：1．若a ，b 同为正，11a b >，则a b <；2．若a ，b 同为负，11a b>，则a b >．四．平方法对于任意两个同号的实数a ，b 、：1．若a ，b 同为正，22a b >，则a b >；2．若a ，b 同为负，22a b >，则a b <．五．特殊值法用特殊值法比较实数大小的基本思路是：根据题意设出适当的值，代入，比较代入后的值的大小．六．估算法用估算法比较实数大小的基本思路是：对任意两个实数a ，b ，先估算出两实数的范围，再进行比较．【相似题练习】随练2.1在，﹣1，﹣3，0这四个实数中，最小的是（ ）A ．B ．﹣1C ．﹣3D ．0随练2.2比较55515555与92159219的大小．随练2.32a -33a -的大小．随练2.4102+652的大小．随练2.5比较大小：3__________4． 随练2.6若0＜x ＜1，则x ，1x ，x 2的大小关系是（ ）A ．1x ＜x ＜x 2B ．x ＜1x ＜x 2C ．x 2＜x ＜1xD ．1x ＜x 2＜x随练2.7化已知0x y <<，设M x =，N y =，2x yP +=，Q xy =M ，N ，P ，Q 的大小关系是（ ）A ．M Q P N <<<B ．M P Q N <<<C ．Q N P M <<<D ．N Q P M <<<随练2.810．（2分）（20165﹣52-．随练2.9已知：m 、n 为两个连续的整数，且m 11＜n ，则m+n=____．题模四：实数的运算例3.1.1计算：+（﹣2）0= ．例3.1.2按照下面所示的操作步骤，若输入x 的值为-2，则输出的值为____．例3.1.3若x，y为实数，且220x y++-=，则2009xy⎛⎫⎪⎝⎭的值为_________【讲透例题】题模一：实数的运算例3.1.1【答案】3【解析】+（﹣2）0=2+1=3．例3.1.2【答案】7【解析】输入x=-2，x2=（-2）2=44×3=12，12-5=7．例3.1.3【答案】1-【解析】该题考查的是非负性．∵20x+≥20y-，而220x y++-=，故20x+=20y-=，解得：2x=-，2y=，故20092009212xy⎛⎫-⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【讲透考点】实数的运算实数的运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．【相似题练习】随练3.11x y +-2=0，则x-y 的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．7D ．-7随练3.2计算)172π-+=__________．随练3.3已知a 10b 是它的小数部分，则()()323a b -++=____________ 随练3.4若3a =2=2b ，且0ab <，则a b -的值是__________．题模五：定义新运算例3.2.1对于非零的实数a 、b ，规定a ⊕b=1b -1a ．若2⊕（2x-1）=1，则x=____ A ．56B ．54C ．32D ．-16例3.2.2在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a ⊕b=a 2-b 2，求方程（4⊕3）⊕x=24的解． 例3.2.3定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b=a （a-b ）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5 （1）求（-2）⊕3的值；（2）若3⊕x 的值小于13，求x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．例3.2.4设x 是实数，现在我们用{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}3,24=，{}2,62-=-，{}44=，{}55-=-在此规定下任一实数都能写出如下形式：{}x x b =-，其中01b ≤<（1）直接写出{}x 与x ，1x +的大小关系； （2）根据（1）中的关系式解决下列问题： ①求满足{}374x +=的x 的取值范围； ②解方程：{}13.5224x x -=+【讲透例题】题模二：定义新运算例3.2.1【答案】A 【解析】∵2⊕（2x-1）=1，∴121x-12=1，去分母得2-（2x-1）=2（2x-1），解得x=56，检验：当x=56时，2（2x-1）≠0，故分式方程的解为x=56．故选A．例3.2.2【答案】x=±5【解析】∵a⊕b=a2-b2，∴（4⊕3）⊕x=（42-32）⊕x=7⊕x=72-x2∴72-x2=24∴x2=25．∴x=±5．例3.2.3【答案】11；x＞-1．【解析】（1）∵a⊕b=a（a-b）+1，∴（-2）⊕3=-2（-2-3）+1=10+1=11；（2）∵3⊕x＜13，∴3（3-x）+1＜13，9-3x+1＜13，-3x＜3，x ＞-1．在数轴上表示如下：例3.2.4【答案】（1）{}1x x x ≤<+（2）①413x -<≤-②78x =或318x = 【解析】该题考察的是定义新运算． （1）{}1x x x ≤<+……………………1分说明：∵{}x x b =-，其中01b ≤<， ∴{}b x x =- ∴{}01x x ≤-< ∴{}1x x x ≤<+ （2）①∵{}374x +=，∴()374371x x +≤<++…………………………2分 解得413x -<≤-……………………3分 ②{}13.5224x x -=+依题意得{}()3.52 3.52 3.521x x x -≤-<-+且124x +为整数 所以()13.522 3.5214x x x -≤+<-+……………………4分 解得5362x <≤…………………………5分 所以11111231244x <+≤ 所以，整数124x +为2，3………………………………6分 解得78x =或318x =所以原方程的解为78x =或318x =…………………………7分【讲透考点】 定义新运算近几年的中考题中出现了一类“定义新运算”型的题目，这类题目以加、减、乘、除、乘方等运算为基础，定义了很多具有实际意义的新运算．这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算规律，其实质是给出了一种变换规则，以此考查同学们的思维应变能力和计算能力．解此类问题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们所熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算． 【相似题练习】 随练3.5若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值随练3.6a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．。
《整式运算》中考专题复习(知识点+基础应用+能力提高+中考真题)
基本知识点总结一、主要概念：1.单项式2.多项式3.同类项4.整式单项式（定义、系数、次数）整式多项式（定义、项、次数、同类项、升降幂排列）二、基本运算法则1.合并同类项法则：合并同类项时，把系数相加，字母和字母指数不变.2. 添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
3. 整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项。
步骤：第一步：有括号的先去括号第二步：题目中标出同类项第三步：合同同类型整式加减运算专题应用考点一：同类项概念及其应用 基础应用1.下列各组式子中是同类项的是 ( ) A.n m mn 2541与 B.abc ab 55与 C.b a y x 2222与 D.52与32 2.下列说法正确的是 （ ）A.a 是单项式，它的系数为0B. －πx 是一次单项式C.多项式222y xy x +-是单项式2x 、xy 2、2y 的和 D 是一个单项式3.下列各组中,不是同类项的是A.3和0B.2222R R ππ与 C.xy 与2pxy D.11113+--+-n n n n x y y x 与 4.下列各对单项式中,不是同类项的是 ( ) A.0与31B.23n m x y +-与22m n y x +C.213x y 与225yxD.20.4a b 与20.3ab 5.下列各组中的两项不属于同类项的是 ( ) A.233m n 和23m n - B.5xy和5xy C.-1和14 D.2a 和3x6.与y x 221不仅所含字母相同，而且相同字母的指数也相同的是 （ ） A.z x 221 B. xy 21C.2yx -D. x 2y 7.下列各组式子中，两个单项式是同类项的是（ ）A.2a 与2aB.5b a 2 与b a 2C. xy 与y x 2D. 0.3m 2n 与0.3x 2y8.说出下列各题中的两项是不是同类项？为什么？ (1)－4x 2y 、4xy 2(2)a 2b 2、－a 2b2(3)3.5abc 、0.5acb(4)43、a 3(5)a 2、a 2(6)2πx 、4x 能力提高1.如果23321133a b x y x y +--与是同类项,那么a 、b 的值分别是( )A.12a b =⎧⎨=⎩B.02a b =⎧⎨=⎩C.21a b =⎧⎨=⎩D.11a b =⎧⎨=⎩2.若2313m x y z -与2343x y z 是同类项,则m = .x13.已知：23 x 3my 3与-1 x 6y n+1是同类项，求 m 、n 的值4．若单项式22m x y 与313n x y -是同类项，求m n +的值5.已知31394b a m -与12583+-n b a 是同类项，求2013(25)m n -的值 中考真题1.（2016•上海）下列单项式中，与a 2b 是同类项的是（ ）A. 2a 2bB. a 2b 2C. a b 2D . 3a b2.（2012•梅州）若代数式﹣4x 6y 与x 2ny 是同类项，则常数n 的值为 ．3.（2010•红河自治州）如果的取值是和是同类项，则与n m y x y x m m n 31253-- （ ） A.3和-2 B.-3和2 C.3和2 D.-3和-24.（2013•凉山州）如果单项式﹣xa +1y 3与是同类项，那么a 、b 的值分别为（ ）A.a=2，b=3B.a=1，b=2C.a=1，b=3D.a=2，b=2 5．（2015•遵义）如果单项式﹣xy b+1与xa ﹣2y 3是同类项，那么（a ﹣b ）2015= ．6．（2012•黔西南州）已知﹣2xm ﹣1y 3和x n ym+n 是同类项，则（n ﹣m ）2012= ．7．（2012•河源）若代数式﹣4x 6y 与x 2ny 是同类项，则常数n 的值为 ． 8．（2012•莆田）如果单项式x a+1y 3与2x 3y b 是同类项，那么a b= ．考点二：合并同类项 基础应用1.合并下列多项式中的同类项：（1）6ab-ab （2）5xy-5yx （3）33225m m - （4）bc a b a 2221c 2+（5）23232b a b a +- （4）225354ba b a -3.下列各题合并同类项的结果对不对？752222（5）3222=-x x （6） 7mn-7nm=0 （7）a +a =2a （8）422532x x x =+（9）xy y x 523=+ （10）43722=-x x （11）628=-a a （12）532725x x x =+（13）b a ab b a 22223=- （14）y x y x y x 222835-=-- （15）2x+5y=7y （16）y x xy y x 33398=-（17）abc c ab 945=+ （18）523523x x x =+ （19）22254x x x =+ （20）ab ab b a 47322-=- 能力提高1．若2243a b x y x y x y -+=-,则a b +=__________. 2.若22+k k y x 与n y x 23的和为5n y x 2，则k= ，n= 3.若与的和是单项式，则 ，．4.如果- x a y a+1 与3x 5y b-1的和仍是一个单项式，求2a-b 的值.5.52114m a b +与3613n a b -的和仍是单项式，求m,n.6.已知，求m+n-p 的值．中考真题1.（2010•株洲市）在22x y ，22xy -，23x y ，xy - 四个代数式中找出两个同类项，并合并这两个同类项．2.（2014•毕节地区）若﹣2a m b 4与5a n +2b 2m +n 可以合并成一项，则m n 的值是（ ） 223m a b 40.5n a b -m =n =35414527m n a b pa b a b ++-=-3．（2010•衡阳）若3x m+5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m= ．考点二：添括号法则1.a ，b ，c 都是有理数，那么a-b+c 的相反数是( ) A.b-a-cB.b+a-cC.-b-a+cD.b-a+c2.下列去括号正确的是( ) A.2y 2-(3x-y+3z)=2y 2-3x-y+3z B.9x 2-[y-(5z+4)]=9x 2-y+5z+4 C.4x+[-6y+(5z-1)]=4x-6y-5z+1D.-(9x+2y)+(z+4)=-9x-2y-z-43. 在3a －2b+4c －d=3a －d －( )的括号里应填上的式子是（ ） A. 2b －4c B. –2b －4c C. 2b+4c D. –2b+4c4.在括号内填上适当的项：(a+b －c)(a －b+c)=[][](_______)(________)-+a a . 5.去括号运算：－{－[－（－a ）2－b 2 ]}－[－（－b 2）]考点三：整式及整式加减法运算 基础应用1. 下列代数式5.2,1,2,1,22--+-+yx a x x x x ，其中整式有（ ）个 A.4 B.3 C.2 D.1 2. 下列说法中，错误的是（ ）A.单项式与多项式统称为整式B.单项式x 2yz 的系数是1 C.ab+2是二次二项式 D.多项式3a+3b 的系数是3 3. 下列代数式a+bc,5a,mx 2+nx+p,－x.,1,5xyz,nm,其中整式有（ ）个 A.7 B.6 C.5 D.4 4. 下列运算正确的是（ ）A.3a+2b=5abB.3a 2b －3ba 2=0 C.3x 2+2x 3=5x 5D.5y 2－4y 2=1 能力提高1．若b a ,互为相反数，求b b b b b a a a a a 865429753+++++++++的值．2.已知A= mx ²+ 2x- 1，B= 3x ²- nx+ 3,且多项式A- B 的值与m 、n 的取值无关，试确定m 、n 的值.3.化简（1）22231722m m m +- （2）3x 2-1-2 x -5+3x - x 2（3）b a b a b a 2222132-+；（4） 222432132b ab a ab a -++- （5）4x 2y-8xy 2+7-4x 2y+12xy 2-4 （6） 3x 2-4xy+4y 2-5x 2+2xy-2y 2；（7）a 2-2a b +b 2+2a 2+2a b -b 2（8）2222642336a b ab b ab a ++---（9）322223b ab b a ab b a a +-+-+ （10）-0.8a 2b -6a b -1.2a 2b +5a b +a 2b（11）22222243845b a ab ab ab b a ab +-+-- （12）6x 2y+2 xy-3x 2y 2-7x-5yx-4y 2x 2-6x 2y4．先化简后求值：（1）x 3－x ＋1－x 2，其中x ＝－3； （2）x 5－y 3＋4x 2y －4x ＋5，其中x ＝－1，y ＝－2；（3）2222342251, 2.xy yx y x x y x y ---+=-=，其中（7分）5. 已知2 a +(b +1)2=0，求5a b 2-[2a 2b -(4a b 2-2a 2b )]的值.中考真题1.（ 2012•广州）下面的计算正确的是（ ）A ．6a ﹣5a=1 B.a+2a 2=3a 3C.﹣（a ﹣b ）=﹣a+bD.2（a+b ）=2a+b 2.（ 2014•广东）计算3a ﹣2a 的结果正确的是（ ）A.1B.aC.﹣aD.﹣5a 3.（2011•四川）计算a+(－a)的结果是（ ）A.2aB.0C.－a2D.－2a4．(2010•重庆)计算3x +x 的结果是( )A.3x 2B.2xC.4xD. 4x 25.（2010•浙江）化简a ＋b －b ，正确的结果是（ ）A.a －bB.－2bC.a ＋bD.a ＋2 6.（2014•济宁）化简﹣5ab +4ab 的结果是（ ）A.-1B. aC. bD.﹣ab 7.（2012•广东）计算﹣2a 2+a 2的结果为（ ）A.﹣3aB.﹣aC.﹣3a2D.﹣a28．（2015•梧州）先化简，再求值：2x+7+3x ﹣2，其中x=2．9．（2012•乐山）化简：3（2x 2﹣y 2）﹣2（3y 2﹣2x 2）． 10．（2014 •嘉荫县）计算：（1）2x+3y ﹣6xy 与﹣2y+3x+xy 的和 （2）化简多项式：3x 2y ﹣4xy 2﹣3+5x 2y+2xy 2+5．单项式、多项式专题练习一、单项式1．（2015•台州）单项式2a 的系数是（ ） A ．2B ．2aC ．1D ．a2.（2011•柳州）单项式3x 2y 3的系数是 3 ．3．（2015•厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ） A ．﹣2xy 2B ．3x 2C ．2xy 3D ．2x 34．（2015•通辽）下列说法中，正确的是（ ） A ．﹣x 2的系数是 B ．πa 2的系数是C ．3ab 2的系数是3a D ．xy 2的系数是 5．（2014•鄄城县）下列说法中正确的是（）A ．x 的系数是0B ．24与42不是同类项 C ．y 的次数是0 D ．23xyz 是三次单项式 6.（2015.庐江县）4πx 2y 49的系数与次数分别为（ ）A.49,7 B. 49π，6 C.4π，4 D . 49π，47．（2015•岳阳）单项式﹣x 2y 3的次数是 ． 8．（2015•桂林）单项式7a 3b 2的次数是 ． 9．（2015•临沂）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…按照上述规律，第2015个单项式是（ ）A ．2015x2015B ．4029x2014C ．4029x2015D ．4031x201510.（2013•淮安）观察一列单项式：1x ，3x 2，5x 2，7x ，9x 2，11x 2，…，则第2013个单项式是 4025x 2． 11.（2015•牡丹江）一列单项式：﹣x 2，3x 3，﹣5x 4，7x 5，…，按此规律排列，则第7个单项式为 ． 12．（2014•青海）一组按照规律排列的式子：，…，其中第8个式子是 ，第n 个式子是 ．（n 为正整数） 9.（2014•北海）下列式子按一定规律排列：，，，，…，则第2014个式子是 ．二、多项式1．（2014•佛山）多项式2a 2b ﹣ab 2﹣ab 的项数及次数分别是（ ）2.（2013年佛山市）多项式的次数及最高次项的系数分别是( ) A．3,-3 B．2,-3 C．5,-3 D．2,33.（2015.日照）x2y3−3xy3−2的次数和项数分别为（）A.5,3B.5,2C.2,3D.3,34.（2011广东湛江）多项式2x2-3x+5是_____次_____项式.5．（2013•济宁）如果整式x n﹣2﹣5x+2是关于x的三次三项式，那么n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6。
第八讲 集合的基本运算(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算（精讲）（解析版）【知识点透析】一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”2、符号语言：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言：阴影部分为A ∩B4、性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。
二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”2、符号语言：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言：阴影部分为A ∪B4、性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，如果A ⊆B ，则A ∪B ＝B .5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U .2、补集（1）文字语言：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U .（2）符号语言：}|{A x U x x A C U ∉∈=且（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。
四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：=⇒⊆ A B B A B ，若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 2、根据交集求参数范围：=⇒⊆ A B A A B 若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，则S T ⋃=（）A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,6【答案】C【分析】根据并集的定义直接求解即可.【详解】因为{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，所以S T ⋃={}1,2,3,4,5，故选：C【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合{|1}A x x =<，{|22}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|21}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|1}x x <【答案】B【解析】{|1}A x x =< ，{|22}B x x =-<<，{|2}A B x x ∴=< ．故选B．【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合{}1,2A =，{}21,2B a a =-+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为{}1A B ⋂=，所以11a -=或221a +=，解得：2a =．故选：C．【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合{}21A x x =-<≤，{}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤ ，A B = （）【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集，集合，{3,4}B =，则()U A B = ð___________.【答案】．{}3,4,5【解析】解：{0U = ，1，2，3，4，5}，{0A =，1，2，3}，{3B =，4}，{4U A ∴=ð，5}，(){3U A B ⋃=ð，4，5}.故答案为：{3，4，5}.【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}15B x x =<<，则A B =ð（）．A ．{}5x x ≥B ．{1x x ≤或}5x ≥C ．{1x x =或}56x <≤D ．{1x x =或}56x ≤≤【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．【答案】．（1）{}27x x -≤≤；（2）{2m m <或}4m >.【解析】（1）当4m =时，{}57B x x =≤≤，故{}27A B x x ⋃=-≤≤；（2）当121m m +>-时，即当2m <时，B =∅，则A B =∅ ；当121m m +≤-时，即当2m ≥时，B ≠∅，因为A B =∅ ，则212m -<-或15m +>，解得12m <-或4m >，此时有4m >.综上所述，实数m 的取值范围是{2m m <或}4m >.【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则A ．M N⊆B ．{}4M N = C ．M N⊇D ．{}26|M N x x =-<< 【答案】B【分析】利用集合的交并运算求M N ⋂、M N ⋃，注意,M N 是否存在包含关系，即可得答案.【详解】因为{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，所以{}4M N = ，{}|26M N x x =-<≤ ，,M N 相互没有包含关系.故选：B【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试）设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【答案】C【解析】{}{}20,1N x x x =∈==R ，{}1,0,1,2M N ∴=- .故选：C.【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<，则P Q = （）A ．{}25x x ≤<B ．{}26x x ≤<C ．{}35x x ≤<D ．{}36x x ≤<【答案】C【解析】由题意知：P Q = {}35x x ≤<.故选：C.题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8U C A =，{}1,4,6,8,9U C B =，则集合B =（）A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7,9C ．{}2,3,5,7,9D ．{}2,3,5,7【答案】D【分析】根据集合补集的运算法则进行求解.【详解】 集合{}=1,3,5,79A ，，{}2468U C A =，，，{}=1,2,3,4,5,6,7,8,9U ∴又{}=1,4,6,8,9U C B {}=2,3,5,7B 故选：D【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合{}|10A x ax =-=，{}*|14B x x =∈≤<N ，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（）A ．11,2⎧⎫⎨⎬B ．11,23⎧⎫⎨⎬C ．111,,23⎧⎫⎨⎬D ．110,1,,23⎧⎫⎨⎬【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】D【分析】依题意可得1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得即可.【详解】解：因为(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+且A B =R ，所以1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a ≤≤，即[]1,2a ∈；故选：D【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ ．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合{}42A x x =-<<，{}110B x m x m m =--<<->，．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3m ≥；（2）0m >.【解析】：（1）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，014312m m m m >⎧⎪∴--≤-⇒≥⎨⎪-≥⎩；（2）若A B = ∅，则014m m >⎧⎨-≤-⎩或012m m >⎧⎨--≥⎩，不等式组无解，所以A B ⋂≠∅时，所以0.m >【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合{}2320A x x x =-+=，{}2220B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】．{}44a a -<≤由题意，知{}1,2A =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.（1）若1B ∈，则1是方程2220x ax -+=的根，所以4a =.当4a =时，{}1B A =⊆，符合题意.（2）若2B ∈，则2是方程2220x ax -+=的根，所以5a =.当5a =时，{}2125202,2B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，此时不满足B A ⊆，所以5a =不符合题意.（3）若B =∅，则2160a ∆=-<，解得44a -<<，此时B A ⊆.综上所述，a 的取值范围为{}44a a -<≤.【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知R a ∈，设集合{}22210A x x ax a =-+-<，{}2B x x =>，（1）当2a =时，求集合A ．（2）若R A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}13A x x =<<；（2）32a ≤．【解析】（1）当2a =时，有2430x x -+<，解得13x <<，故{}13A x x =<<．（2）∵{}2B x x =>，∴{}2R B x x =≤ð，不等式22210x ax a -+-<可以表示成()()1210x x a ---<⎡⎤⎣⎦，当1a <时，{}211A x a x =-<<，此时R A B ⊆ð成立，当1a =时，A =∅，R A B ⊆ð成立，当1a >时，{}121A x x a =<<-，若此时R A B ⊆ð成立，则212a -≤，解得32a ≤，故312a <≤．综上所述，32a ≤．【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件，求A B ；(2)若R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)(][),11,-∞-⋃+∞【分析】（1）代入a 的值求出集合A ，再求并集可得答案；（2）求出B R ð，根据A B A ⋂=R ð可得A B ⊆R ð，分A =∅、A ≠∅讨论可得答案.（1）选择条件①：因为1a =-，所以()3,0A =-，又[]0,1B =，所以(]3,1A B ⋃=-；选择条件②：因为0a =，所以()1,1A =-，又[]0,1B =，所以(]1,1A B ⋃=-；选择条件③：因为1a =，所以()1,2A =，又[]0,1B =，所以[)0,2A B ⋃=；（2）因为[]0,1B =，所以()(),01,B =-∞⋃+∞R ð，因为A B A ⋂=R ð，所以A B ⊆R ð，当A =∅时，满足R A B ⊆ð，此时211a a -≥+，即2a ≥，当A ≠∅时，则2 10a a <⎧⎨+≤⎩或2211a a <⎧⎨-≥⎩，解得1a ≤-或12a ≤<，综上，a 的取值范围为(][),11,-∞-⋃+∞．题型三Venn 图的应用【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【答案】．B【解析】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞，图象表示集合为()U A B ⋂ð，()U ,3A =-∞ð，()()U 2,3A B ⋂=-ð.故选：B【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U x y ⎧=∈=⎨⎩Z ，集合{}13M x x =∈-<Z ，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【答案】．C【解析】{}{}50,565,4,3,2,1,0,1,2,3,4,560x U x x x x ⎧+⎧⎫⎪=∈=∈-≤<=-----⎨⎨⎬->⎩⎭⎪⎩ZZ ，集合{}{}{}313241,0,1,2,3M x x x x =∈-<-<=∈-<<=-Z Z ．因为集合{}4,2,0,1,5N =--，所以{}5,3,1,2,3,4U N =---ð，所以Venn 图中阴影部分表示的集合为(){}1,2,3U M N ⋂=-ð，故选：C．【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A ．8B ．10C ．12D ．15【答案】A【分析】根据集合的运算可得答案.【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为2320358+-=.故选：A.【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28人，参加B 项公益活动的有33人，且A ，B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A 项不参加B 项的有（）【例12】．（2021·全国高一单元测试）已知对于集合A 、B ，定义{|}A B x x A x B -=∈∉，且，()()A B A B B A ⊕=-⋃-.设集合{123456}M =，，，，，，集合{}45678910N =，，，，，，，则M N ⊕中元素个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】．D【解析】∵{123456}M =，，，，，，{}45678910N =，，，，，，，∴{}{|}123M N x x M x N -=∈∉=，且，，，{}{|}78910N M x x N x M -=∈∉=，且，，，，∴{}{}{}()()1237891012378910M N M N N M ⊕=-⋃-=⋃=，，，，，，，，，，，，其中有7个元素，故选D.（2021·湖北·葛洲坝中学高一期中）已知集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{},A B x x A x B -=∈∉，若集合11|,13A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{}2|1,12B y y x x ==--≤≤，则B A -=（）A ．{}11x x -≤≤B ．{}11x x -≤<C ．{}01x x ≤≤D ．{}01x x ≤<【变式1】（2022·山西太原高三专题检测）设{}1,2,3,4,I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,3A B = ，则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”的个数是（）A ．16B ．9C ．8D ．4【答案】B【解析】由题意，对子集A 分类讨论：当集合{}1,3A =，集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3}，共4中结果；当集合{}1,2,3A =，集合B 可以是{1,3,4},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,3,4A =，集合B 可以是{1,2,3},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,2,3,4A =，集合B 可以是{1,3}，共1种结果，根据计数原理，可得共有42219+++=种结果.故选：B.【变式2】．（2023·四川成都高三专题模拟）对于两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊙”如下，当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }中元素的个数是_____.【答案】13【解析】∵当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，∴集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，共13个元素，故答案为：13。
《整式的加减》单元测试题
《整式的加减》单元测试题时间：100分钟 总分：100分班级___________ 姓名__________ 学号____________ 得分____________！仔细思考，认真答题，相信你一定会得到自己满意的成绩。
祝你考试成功！基础知识一． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案填在下列方框中）1．在y 3+1 , 13+m ,—x 2y ,1-c ab —1 , —8z , 0中整式的个数是（ ）A ．6B ．3C ．4D ．52．下列说法正确的是（ ）A ．8—z 2是多项式 B ．—x 2yz 是三次单项式C. x 2—3xy 2+2x 2y 3—1是五次多项式 D ．x b5-是单项式3．若A 和B 都是5次多项式，则A+B 一定是（ ）A ．10次多项式B ．5次多项式C ．次数不低于5的多项式D ．次数不高于5的多项式4．下列计算中错误的是（ ）A ．8x 2+3y 2=11x 2y 2B ．4x 2—9x 2=—5x 2C ．5a 2b —5ba 2=0D ．3m —（—2m ）=5m5．下列说法正确的是（ ）A ．0不是单项式B a b是单项式C ．x 2y 的系数是0D ．x —23是整式6．我市出租车的收费标准是：起步价5元，当路程超过3公里时，超出部分每公里收费1.5元。
如果某出租车行驶路程为S （S 大于3公里），则司机应收费（单位：元）（ ）A ．5+1.5SB ．51.5SC ．5+1.5(S —3)D ．5—1.5(S —3)7．下列结论正确的是（ ）A ．单项式732xy 的系数是3，次数是2B ．单项式m 既没有系数，也没有次数C ．x 2y 的系数是0D ．没有加减运算的代数式叫单项式8．多项式x 2y 3—3xy 3—2的次数和项数分别是（ ）A ．5，3B ．5，2C ．2，3D ．3，39．已知长方形的宽为（3x —2y ）厘米，长比宽多（2x+y ）厘米，则长方形的周长为（ ）厘米。
《小学数学课程与教学》题库,附答案
《小学数学课程与教学》题库，附答案1．【单选题】小学数学课程与教学内容将解决什么问题？A、教什么和学什么的问题B、小学阶段为什么要开设数学C、数学作为一门课程，他的目标是什么D、不同领域的内容有什么样的特点正确答案：A2.【单选题】0.9的循环与1比较谁大谁小？A、相等B、1大C、0.9的循环大D、无法比较正确答案：B3．【多选题】小学数学具体内容的分析与教学包括？A、数与代数B、图形与几何C、统计与概率D、综合与实践正确答案：ABCD4．【填空题】小学数学与教学属于（）知识。
正确答案：学科教学5．【判断题】在小学生学习数学的过程与规律中，为了更好地实施教学应从小学生数学学习的一般规律出发。
正确答案：对1．【单选题】1950年7月，教育部制定了（），它是我国第一个小学算术（数学）课程标准。
A、《小学珠算教学大纲》B、《小学算术教学大纲（草案）》C、《小学算术课程暂行标准（草案）》D、《小学算术教学大纲（修订草案）》正确答案：C1．【多选题】良好的数学教育应满足哪几条标准？A、能帮助学生在最近发展区建立合适的框架B、能全面实现育人的目标C、能促进学生的可持续发展D、能满足学生未来生活和进一步工作学习的需求正确答案：ABCD2．【多选题】课程内容要全面体现（）。
A、基础知识B、基本技能C、基本思想D、基本活动经验正确答案：ABCD1．【多选题】关于“四基”，以下说法中正确的是（）A、基础知识、基本技能是数学教学的主要载体。
B、数学思想是数学的精髓，是统领数学教学的主线。
C、数学活动是不可或缺的教学形式。
D、“四基”是一个有机整体，相互联系、相互促进。
正确答案：ABCD2．【判断题】义务教育阶段数学课程能力目标的一个新发展是：要求教师不仅要关注问题的分析、问题的解决，也要关注问题的发现、问题的提出。
正确答案：对1．【判断题】义务教育阶段分为四个学段，其中第一、第二、第三学段分别对应小学低、中、高年级。
实数(单元测试基础卷)-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
第2章实数（单元测试·基础卷）【要点回顾】【要点1】平方根、立方根1.平方根定义一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：2,x a=那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作a”；2.立方根定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.【要点2】二次根式的相关概念和性质1.二次根式0)a≥的式子叫做二次根式叫做二次根式.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.3最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.【要点3】二次根式的运算1.乘除法法测0;0)(0,0)a b a b=≥≥≥>2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列各数中，属于无理数的是（）A．17B．1.414C D．32．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）AB C D3）A ．1至1.5之间B ．1.5至2之间C ．2至2.5之间D ．2.5至3之间4合并的是（）A B C D5．下列说法错误的是()A ．1的平方根是1B ．1-的立方根是1-C是2的平方根D ．2-是4的平方根6．下列运算正确的是（）A2=B ．4=C =D 4=7的平方根为（）A ．2B ．2±C ．4D ．4±8．已知，24m -与31m -是同一个数的平方根，则m 的值是（）A ．3-B ．1C ．3-或1D ．1-9．已知23.512.25=，23.612.96=，23.713.69=，23.814.44=0.1的近似值是（）A ．3.5B ．3.6C ．3.7D ．3.810．以单位长度为边长画一个正方形，以顶点A 为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴的交点为C （点C 在点B 左侧），再以顶点B 为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴的交点为D （点D 在点A 右侧），已知正方形两条对角线相等，设点C 在数轴上表示的数是a ，则点D 在数轴上表示的数是（）A ．1a +B ．1aC ．2a +D ．1二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．1的绝对值是．12a 的取值范围为．13=．140=，则y x =．15．已知3x =，则代数式()()23231x x ---+的值为．16．如图，在原点为O 的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为OB 的直角三角形，点A 在点O 左边的数轴上，且OA OB =，则点A 表示的实数是．17．（1）若a b +=()2a b +的值为．（2）如下是按规律排列的一列单项式：2345,,2x x -，…则第10个单项式是．18．【动手实践】小明学习了《数学》第63页的“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是厘米．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（10(3)|32|π---+；（2）2118844-⨯-÷20．（8分）求代数式a 10a =．如图是小明和小颖的解答过程：(1)填空：_______________的解法是错误的；(2)求代数式a +2023a =-．21．（10分）解答下列问题．（1）已知x =，y =22x xy y ++．（2）已知实数x ，y 满足3y =22．（10分）观察下列等式：=；2=；34；==；5……(1)请你按上述规律写出第5个等式：_______；(2)用含字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并给出证明．23．（10分）如图是一块正方形纸片．(1)如图1，若正方形纸片的面积为22cm，则此正方形的边长BC的长为cm，对角线AC的长为cm；(2)如图2，若正方形纸片的面积为212cm的长方16cm，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为2形纸片，使它的长和宽之比为32：，他能裁出吗？请说明理由．24．（12分）阅读下列材料，然后回答问题：方法一1===+方法二1=【探究】选择恰当的方法计算下列各式：（1；（2．++L ＝．参考答案1．C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．．故选：C．【点拨】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯⋯，等有这样规律的数．2．A【分析】根据被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可．【详解】解：=不是最简二次根式，不符合题意；==不是最简二次根式，不符合题意．故选：A．【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．3．B【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式，根据2.25，3，4的关系，可得答案．，1.52，故选：B．【点拨】本题考查了估算无理数的大小，先化简二次根式，再比较二次根式的大小．4．D【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．【详解】解：A＝，故A不符合题意；B＝，故B不符合题意；CC不符合题意；＝DD符合题意．故选：D．【点拨】本题考查的是同类二次根式的含义，熟记同类二次根式的定义是解本题的关键．5．A【分析】根据平方根与立方根的定义逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.1的平方根是1±，故该选项不正确，符合题意；B.1-的立方根是1-，故该选项正确，不符合题意；C.2的平方根，故该选项正确，不符合题意；D.2-是4的一个平方根，故该选项正确，不符合题意；故选：A．【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义，熟练掌握平方根、立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．6．C【分析】根据二次根式的性质和运算法则对各选项逐一进行判断即可．【详解】AB、根据二次根式计算法则，同类二次根式相减时，系数相减，应该为=意；C、根据二次根式乘法法则，计算正确，符合题意；D===，不符合题意；2故选C．【点拨】本题考查二次根式的四则运算，解决本题的关键是熟悉二次根式计算法则．7．B4=，再求4的平方根即可．4=，∴4平方根为2故选B．【点拨】本题考查了求立方根，平方根，熟练掌握求根的基本方法是解题的关键．8．C【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．【详解】解：当2431m m -=-时，3m =-；当24310m m -+-=时，1m =；综上分析可得：3m =-或1m =，故C 正确．故选：C ．【点拨】本题主要考查了平方根的性质，明确24m -与31m -相等或互为相反数是解题的关键．9．B【详解】解：223.612.961313.69 3.7=<<= ，3.6 3.7∴<<，23.612.9613=≈ ，23.713.6914=≈，精确到0.1的近似值是3.6，故选B ．【点拨】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．10．A【分析】由勾股定理求出AM 的长，从而可求出CD 的长，由C 在数轴上表示的数是a ，即可得到点D 在数轴上表示的数．【详解】解：由题意知1AB =，四边形ABMN 是正方形，90ABM ∴∠=︒，AM BN =，AC AM = ，BD BN =，AC BD ∴=，AM ==Q AC BD ∴==1CD AC BD AB ∴=+-=，点C 在数轴上表示的数是a ，∴点D 在数轴上表示的数是1a +．故选：A ．【点拨】本题考查勾股定理，实数与数轴，关键是由勾股定理求出CD 的长．1151【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．51>，∴1551．51．【点拨】此题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．12．4a ≤【分析】利用被开方数的非负性即可求解．【详解】解：∵40a -≥，∴4a ≤，故答案为：4a ≤．【点拨】本题考查了二次根式的被开方数的非负性，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题关键．1331-【分析】进行分母有理化运算即可．()()131********--=++-．31-【点拨】此题考查分母有理化运算，掌握分母有理化是解题的关键．14．19【分析】由非负数的性质可得3x =，=2y -，再代入求值即可．320x y -+=，∴30x -=，20y +=，解得：3x =，=2y -，∴2139y x -==，故答案为：19．【点拨】本题考查的是算术平方根的非负性的应用，负整数指数幂的含义，利用非负数的性质求解3x =，=2y -是解本题的关键．15．3-【分析】直接把3x =代入代数式求值即可．【详解】解：把3x =代入代数式得：()()23231x x ---+()()2332331=-++21=-3=-故答案为：3-【点拨】本题考查的是代数式的求值，同时考查了二次根式的平方运算，掌握以上知识是解题的关键．16．【分析】根据勾股定理求出直角三角形斜边OB 的长度，也就求出了OA 的长，结合图中点A 的位置确定点A 表示的数．【详解】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，直角三角形的斜边OB ==，则OA OB ==，∵如图，点A 是以原点O∴点A 表示的数为故答案为：【点拨】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定OA 的长度是解答本题的关键．17．310【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可求解；（2），字母都为x ，指数的规律为对应的序号，系数的符号奇数个时为正，偶数个时为负，乘以()11n +-即可求解．【详解】解：（1）∵a b +=，∴()2a b +3=故答案为：3；（2）2345,,2x x -，…∴第n 个单项式为()11n n +-，∴第10个单项式是10．故答案为：10．【点拨】本题考查了实数的计算，单项式规律，掌握实数的运算法则以及找到单项式的规律是解题的关键．18【分析】先求解边长为5厘米和3厘米的两个正方形的面积之和为34，可得大正方形的面积为34，从而可得答案．【详解】解：由题意可得：边长为5厘米和3厘米的两个正方形的面积之和为225325934+=+=，∴拼成的大正方形的面积为34，【点拨】本题考查的是等面积法的应用，算术平方根的应用，理解拼接前后的面积不变是解本题的关键．19．（1）3；（2）4【分析】（1）利用平方根的性质化简，再结合零指数幂的性质以及绝对值的性质化简即可求出答案．（2）利用平方根的性质化简，再根据实数的运算法则即可解答．【详解】解：（10(3)|32|π----+原式51|1|=---511=--3=（2）2118844-⨯-+÷原式1188442=-⨯-⨯+⨯8416=--+4=【点拨】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．20．(1)小明(2)2029【分析】（1）由于当10a =11a a =-=-，由此可知小明的解法是错误的；（2）仿照题意中小颖的解法求解即可．【详解】（1）解：由题意得，小明的解法是错误的，因为小明在化简二次根式的时候没有注意符号问题，当10a =11a a =-=-，故答案为：小明（2）解：a +a =+23a a =+-，当2023a =-时，30a -<，∴原式()236620232029a a a =+-=-=+=．a =是解题的关键．21．（1）19；（2）．【分析】（1）先把x 、y 分母有理化，求出x+y 与xy ，再将原式配方后，整体代入计算即可，（2）利用二次根式被开方数有意义，求出x ，y【详解】（1）2x ===，2y ===．22x y ∴+=-=，)22541x y ⋅==-=，()(2222119x xy y x y xy ∴++=+-=-=．（2）3y = ，2020x x -≥⎧∴⎨-≥⎩，2x ∴=，3y ∴=，6==，∴6的平方根为．【点拨】本题考查二次根式的条件求值问题，掌握二次根式的条件求值方法，会分母有理化，会利用被开方数有意义求字母的值是解题关键．22．61n +，证明见解析【分析】（1）根据所给式子的形式进行求解；（2）根据所给式子的形式不难看出式子的值与序号之间的关系：第n 1n +．【详解】（12；3=；4；5==；……∴第56，6=；（2）解：第n 1n +，==1n =+，∵n 为正整数，1n +．【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键．23．2(2)他不能裁出，理由见解析【分析】（1）由正方形面积，确定出正方形边长，即可利用勾股定理确定正方形的对角线长；（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．【详解】（1）解：∵正方形纸片的面积为22cm ，∴此正方形的边长BC∴正方形的对角线长AC 为：2cm AC ==，，2．（2）解：他不能裁出，理由如下：根据题意设长方形的长和宽分别为3cm x 和2cm x ．∴2312x x ⋅=，解得：x∴长方形的长为．∵正方形的面积为216cm ，∴正方形的边长为4cm ，∵1816>，∴4>，∴他不能裁出．【点拨】本题考查了二次根式和算术平方根在长方形和正方形面积中的应用，勾股定理，灵活的进行二次根式和算术计算及无理数大小比较是解题的关键．24．（11（21+（3【分析】（1）利用分母有理化计算；（2）先分别分母有理化，然后合并即可；（3）猜想部分与（2）计算一样，利用规律即可求解.【详解】（11===（211（3++L=11...2+＝(112=12．故答案为12．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．。
(完整word版)北师大版七年级下册整式的运算(基本概念及法则)无答案
整式的运算——基本运算法则【基础知识】知识点一、整式1、单项式：都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
（1）单项式的数字因数叫做单项式的系数。
（2）单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
注意：①单项式的系数包括它前面的符号。
②单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
（3）单独一个数或一个字母也是单项式。
（4）只含有字母因式的单项式的系数是1或―1，通常省略数字“1”。
（5）单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身;非零常数的次数是0。
2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。
（1）多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
（2）多项式中不含字母的项叫做常数项。
（3）一个多项式有几项，就叫做几项式。
（4）多项式的每一项都包括项前面的符号。
（5）多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
整式：单项式和多项式统称为整式。
注意:分母中含有字母的代数式不是整式。
知识点二、整式的加减理论根据是：去括号法则，合并同类项法则。
去括号法则：如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。
合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
合并同类项时注意：a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.b.不要漏掉不能合并的项。
c.只要不再有同类项，就是结果。
知识点三、同底数幂的乘法（1）n个相同因式（或因数）a相乘，记作a n，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，a n的结果叫做幂。
（2）底数相同的幂叫做同底数幂。
（3）同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a m﹒a n=a m+n。
（4）此法则也可以逆用，即：a m+n = a m﹒a n。
（5）开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
知识点四、幂的乘方（1）幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
新人教版初中数学七年级数学下册第二单元《实数》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ）A B = ±2 C = ±2 D ．2．有下列说法：①在1和2②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．B ．2-与12-C ．()23-与23-D 4．下列说法中，正确的是（ ） A ．无理数包括正无理数、零和负无理数B ．无限小数都是无理数C ．无理数都是无限不循环小数D ．无理数加上无理数一定还是无理数5．定义运算：132x y xy y =-※，若211a =-※，则a 的值为（ ） A ．12- B ．12C ．2-D ．2 6．下列说法中，错误的有（ ）①符号相反的数与为相反数；②当0a ≠时，0a >；③如果a b >，那么22a b >；④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；⑤数轴上的点不都表示有理数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列命题中真命题的个数（ ）①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A ．4B ．3C ．2D ．1 8．估计50的立方根在哪两个整数之间（ ）A ．2与3B ．3与4C ．4与5D ．5与6 9．若1a >，则a ，a -，1a 的大小关系正确的是（ ） A ．1a a a >-> B ．1a a a >-> C ．1a a a >>- D ．1a a a->>10．若将2-，7，11分别表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）A ．2-B 7C 11D ．无法确定 11．下列等式成立的是（ ） A ．1±1B 4＝±2C 3216- 6D 393 12．在0，3π5227，9 6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数在递增）中，无理数有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．求出x 的值：()23227x +=14．初一年级某同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：21a b a ab ⊕=--．求()23-⊕的值．15．若则2|1|2(3)0a b c -+-=，()c a b +=______．1681________，25的相反数是________．17．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a≥b 时，a*b=b 2，当a<b 时，a*b=a ，则当2时，()()1*-3*=x x x ______18．比较大小：312___________12 19．2(1)10a b -+=，则20132014a b +=___________．20．观察下面两行数：2，4，8，16，32，64…①5，7，11，19，35，67…②根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．三、解答题21．计算： （1）﹣12327-﹣（﹣2）9（2331）＋32|22．（1223143)8-； （2）求 (x －1)2－36＝0中x 的值．23．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ．（1）实数m 的值是___________；（2）求|1||1|m m ++-的值；（3）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有|2|c d +与4d +互为相反数，求23c d -的平方根．24．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时， ；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算， ．（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．25．（1）计算：231698(2)-3121125|63|6--．（2）求下列各式中x 的值：③22536x =；④3(1)64x --=．26．求满足下列条件的x 的值:（1）3(3)27x +=-；（2）2(1)218x -+=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可．解：∵-1= 2= 2，，故只有A 计算正确；故选:A ．【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根，计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根．2．D解析：D【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；③两个无理数的积不一定是无理数，如2=-，此说法错误； ④2π是无理数，不是分数，此说法错误； 综上，说法正确的为②，故选：D ．【点睛】 本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键． 3．C解析：C【分析】根据绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义逐项判断即可得．【详解】A 、=不是相反数，此项不符题意；B 、2-与12-不是相反数，此项不符题意； C 、()223399,--=-=，则()23-与23-互为相反数，此项符合题意；D 2,2=-=-故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义，熟记各运算法则和定义是解题关键．4．C解析：C根据实数的概念和分类即可判断．【详解】A 、无理数包括正无理数和负无理数，则此项错误；B 、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，则此项错误；C 、无理数都是无限不循环小数，则此项正确；D (0=，则此项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了实数的概念和分类，熟练掌握实数的概念是解题关键． 5．C解析：C【分析】根据新定义的运算得到关于a 的方程，求解即可．【详解】解：因为211a =-※， 所以132112a a ⨯-=-， 解得 2a =-．故选：C【点睛】本题考查了新定义的运算与一元一次方程，根据新定义运算得到一元一次方程是解题关键．6．D解析：D【分析】根据相反数、绝对值、数轴表示数以及有理数的乘法运算等知识综合进行判断即可．【详解】解：符号相反，但绝对值不等的两个数就不是相反数，例如5和-3，因此①不正确； a≠0，即a ＞0或a ＜0，也就是a 是正数或负数，因此|a|＞0，所以②正确；例如-1＞-3，而（-1）2＜（-3）2，因此③不正确；例如-5表示的点到原点的距离比1表示的点到原点的距离远，但-5＜1，因此④不正确； 数轴上的点与实数一一对应，而实数包括有理数和无理数，因此⑤正确；综上所述，错误的结论有：①③④，故选：D ．【点睛】本题考查相反数、绝对值、数轴表示数，对每个选项进行判断是得出正确答案的前提． 7．D【分析】根据无理数、平行公理、邻补角、算术平方根、实数与数轴、平行线的判定逐个判断即可得．【详解】①无理数包括正无理数和负无理数，此命题是假命题；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此命题是真命题；③和为180︒的两个角不一定互为邻补角，此命题是假命题；7=，此命题是假命题；⑤实数和数轴上的点一一对应，此命题是假命题；⑥在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，此命题是假命题；综上，真命题的个数是1个，故选：D．【点睛】本题考查了无理数、平行公理、邻补角、实数与数轴等知识点，熟练掌握各定义与公理是解题关键．8．B解析：B【分析】，可得答案．【详解】，得34，所以，50的立方根在3与4之间故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了正数的被开方数越大立方根越大的关系．9．C解析：C【分析】可以用取特殊值的方法，因为a＞1，所以可设a=2，然后分别计算|a|，-a，1a，再比较即可求得它们的关系．【详解】解：设a=2，则|a|=2，-a=-2，112a=，∵2＞12＞-2， ∴|a|＞1a＞-a ； 故选：C ．【点睛】 此类问题运用取特殊值的方法做比较简单．10．B解析：B【分析】首先利用估算的方法分别得到间），从而可判断出被覆盖的数．【详解】 ∵221，23<<，34<<而墨迹覆盖的范围是1-3∴故选B.【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力．11．A解析：A【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可．【详解】A ．书写规范，故本选项符合题意；B.算术平方根只能是正数不能是负数，故本选项不合题意；C.立方根与被开方数符号一致，故本选项符合题意；D.33=27，27的立方根才等于3，故本选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了算术平方根与立方根的定义，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键．12．C解析：C【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义即可得．【详解】22 3.1428577=小数点后142857是无限循环的，则227是有理数，3=-，则因此，题中的无理数有3π 6.1010010001（相邻两个1之间0的个数在递增），共有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了无理数、算术平方根，熟记无理数的定义是解题关键．二、填空题13．x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x+2的值然后解关于x 的一元一次方程即可【详解】解：∵3（x+2）2＝27∴（x+2）2＝9∴x+2＝±3解得：x ＝1或x ＝﹣5【点睛】本题主要考查的是解析：x ＝1或x ＝﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x +2的值，然后解关于x 的一元一次方程即可．【详解】解：∵3（x +2）2＝27，∴（x +2）2＝9，∴x +2＝±3，解得：x ＝1或x ＝﹣5．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．14．1【分析】根据新运算的运算法则计算即可【详解】解：【点睛】本题考查新定义下的有理数运算通过阅读材料掌握新运算的运算法则是解题关键 解析：1【分析】根据新运算的运算法则计算即可．【详解】解：()()()2322231-⊕=⨯---⨯-()4614611=----=-+-=．【点睛】本题考查新定义下的有理数运算，通过阅读材料掌握新运算的运算法则是解题关键． 15．-1【分析】先根据绝对值算术平方根偶次方的非负性求出abc 的值再代入即可得【详解】解：∵∴a-1=0b+2=0c-3=0∴a=1b=-2c=3∴【点睛】本题考查了绝对值算术平方根偶次方的非负性的应用解析：-1【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得．【详解】解：∵2|1|(3)0a c --=，∴a-1=0，b+2=0，c-3=0，∴a=1，b=-2，c=3，∴()3()12=1c a b +=--． 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键．16．3;【分析】根据平方运算可得一个数的算术平方根根据相反数的性质在这个数前加一-化简即可【详解】解：∵；∴的算术平方根是3∵∴的相反数是故答案为：3;【点睛】本题考查了算术平方根和相反数的性质注意先求解析：2．【分析】根据平方运算，可得一个数的算术平方根，根据相反数的性质在这个数前加一“-”化简即可．【详解】解：∵9=3=；∴= ∴3，∵222--=-=， ∴22，故答案为：2．【点睛】9的算术平方根，熟悉相关性质是解题的关键． 17．【分析】根据题中所给的运算法则进行求解即可；【详解】∵当a≥b 时a*b=当a ＜b 时a*b=a ∴当x=时1*=13*=2∴(1*)-(3*)=故答案为：【点睛】本题是新定义的问题解决此类问题的关键是按2【分析】根据题中所给的运算法则进行求解即可；【详解】∵当a≥b 时，a*b=2b ，当a ＜b 时，a*b=a∴ 当=1，=2，∴) 2，2．【点睛】本题是新定义的问题，解决此类问题的关键是按题中的规定去运算即可；18．＜【分析】利用作差法比较两个数的大小【详解】解：∵1＜3＜4∴1＜＜2∴1-1＜-1＜2-1∴0＜-1＜1∴＜故答案为：＜【点睛】本题考查了实数的大小比较此题的难点是利用夹逼法推知的取值范围解析：＜【分析】利用作差法比较两个数的大小．【详解】解：∵1＜3＜4∴1＜2∴1-1＜2-1∴0＜1∴12＜12． 故答案为：＜．【点睛】本题考查了实数的大小比较，此题的难点是利用“夹逼法” 19．2【分析】先根据算术平方根的非负性绝对值的非负性求出ab 的值再代入计算有理数的乘方运算即可得【详解】由算术平方根的非负性绝对值的非负性得：解得则故答案为：2【点睛】本题考查了算术平方根的非负性绝对值 解析：2【分析】先根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性求出a 、b 的值，再代入计算有理数的乘方运算即可得．【详解】由算术平方根的非负性、绝对值的非负性得：10a -=，10b +=，解得1a =，1b =-，则()201420132014201311112a b +=+-=+=， 故答案为：2．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．20．515【分析】由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式②中各数比①中对应数字大3按此规律即可求得①②中第8个数的值再求和即可【详解】根据题意可知①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=25解析：515【分析】由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．【详解】根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=259，故它们的和为256+259=515，故答案为：515．【点睛】考查了要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，解题关键是找出①②中各数间的规律．三、解答题21．（1）﹣9；（2）5．【分析】（1）先计算立方根和算术平方根，再进行加减运算即可；（2）先计算乘法和绝对值，再相加即可．【详解】解：（1）原式＝﹣12＋（﹣3）＋2×3＝﹣12﹣3＋6＝﹣9；（2）原式＝32＝5.【点睛】本题考查了实数的运算，掌握立方根和算术平方根的性质是解题关键．22．（1）12；（2）x的值为7或﹣5【分析】（1）分别进行算术平方根运算、立方根运算、算术平方根的定义即可解答；（2）利用平方根解方程的方法求解即可．【详解】解：（12=4﹣12﹣3=1﹣12 =12； （2）(x －1)2－36＝0，移项得：(x －1)2=36，开平方得：x －1＝±6，解得：x 1=7，x 2=﹣5，即(x －1)2－36＝0中的x 值为7或﹣5．【点睛】本题考查算术平方根、立方根、利用平方根解方程，熟练掌握运算法则，会运用平方根解方程是解答的关键．23．（1）；（2）2；（3）4±【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案；（2）由（1）可知10m +>、10m -<，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；（3）根据非负数的性质求出c 、d 的值，再代入23c d -，进而求其平方根．【详解】解：（1）∵蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示∴点B 表示∴m =．（2）∵m = ∴12130m +=+=>，12110m -=-=< ∴11m m ++-()11m m =+--11m m =+-+2=．（3）∵2c d +∴20c d +=∴2040c d d +=⎧⎨+=⎩∴24c d =⎧⎨=-⎩∴()23223416c d -=⨯-⨯-=∴4==±，即23c d -的平方根是4±．【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．24．（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）﹣17；（3）适用，举例验证见解析【分析】（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值； （2）根据⊗运算的运算法则进行计算即可；（3）举例即可做出结论．【详解】解：（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]＝（﹣5）⊗（+12）＝﹣17；（3）结合律仍然适用．例如[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝（+8）⊗（+4）＝+12，（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）]＝（﹣3）⊗（﹣9）＝+12，所以[（﹣3）⊗（﹣5）]⊗（+4）＝12＝（﹣3）⊗[（﹣5）⊗（+4）．故结合律仍然适用．【点睛】本题考查了新定义下的有理数的加减运算，正确理解新定义运算法则是解题的关键．25．（1）①13；②9-2）③65x =±；④5x =． 【分析】①先计算根式，再加减计算．②先计算根式和绝对值，再加减计算．（2）③两边除以25，再开算术平方根．④先除以-1，再开立方根．【详解】（1）-+1322=-+13=|3|-1153=-+-9=-（2）③22536x =23625x =65x =± ④3(1)64x --=3(641)x -=-14x -=-5x =【点睛】本题考查根式的化简求值，关键在于化简． 26．（1）6x =-；（2）3x =-或5【分析】（1）根据立方根，即可解答； （2）根据平方根，即可解答．【详解】解：（1）3(3)27x +=-33x +=-6x =-；（2）2(1)218x -+=2(1)16x -=14x -=±∴3x =-或5．【点睛】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．。
七年级数学上册第二单元《整式加减》-解答题专项测试题
一、解答题1．让我们规定一种运算a b ad cb c d=-， 如232534245=⨯-⨯=-． 再如14224x x =-． 按照这种运算规定，请解答下列问题，（1）计算60.5142= ；-3-245= ；2-335x x=- （2）当x=-1时，求223212232x x x x -++-+---的值（要求写出计算过程）．解析：（1）1；-7；-x ；（2）-7 【分析】（1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可；（2）根据新运算的定义式将原式化简为-x-8，代入x=-1即可得出结论． 【详解】解：（1）60.5160.543211242=⨯-⨯=-=； -3-23524158745=-⨯--⨯=---=-（）（）； 2-3253310935xx x x x x x=⨯---⨯=---=--（）（）（）．故答案为：1；-7；-x ．（2）原式=（-3x 2+2x+1）×（-2）-（-2x 2+x-2）×（-3）， =（6x 2-4x-2）-（6x 2-3x+6）， =-x-8，当x=-1时，原式=-x-8=-（-1）-8=-7．∴当x=-1时，223212232x x x x -++-+---的值为-7．【点睛】本题考查了整式的化简求值以及有理数的混合运算，读懂题意掌握新运算并能用其将整式进行化简是解题的关键． 2．若单项式21425m n x y +--与413n mx y +是同类项，求这两个单项式的积 解析：10453x y -【分析】根据题意，可得到关于m ，n 的二元一次方程组，求出m ，n 的值，即可求得答案. 【详解】∵单项式21425m n x y +--与413n mx y +是同类项， ∴21442m n n m +=+⎧⎨-=⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，∴21425252441011355533n m m n x y xy x y x y x y ++--⋅-⋅=-=【点睛】本题主要考查同类项的定义和单项式乘单项式的法则，根据同类项的定义，列出关于m ，n 的二元一次方程组，是解题的关键.3．已知22332A x y xy =+-，2222B xy y x =--. (1)求23A B -.(2)若|23|1x -=，29y =，且||x y y x -=-，求23A B -的值.解析：(1)2212127x y xy +-；(2)114或99.【分析】（1）把22332A x y xy =+-，2222B xy y x =--代入23A B -计算即可；（2）根据|23|1x -=，29y =，且||x y y x -=-求出x 和y 的值，然后代入（1）中化简的结果计算即可. 【详解】 解：(1)()()2222232332322A B x y xy xy y x-=+----2222664366x y xy xy y x =+--++ 2212127x y xy =+-；(2)由题意可知：231x -=±，3=±y ， ∴2x =或1，3=±y ，由于||x y y x -=-， ∴2x =，3y =或1x =，3y =. 当2x =，3y =时，23114A B -=. 当1x =，3y =时，2399A B -=. 所以，23A B -的值为114或99. 【点睛】本题考查了整式的加减运算，绝对值的意义，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握整式的加减运算法则是解（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键.4．为鼓励居民节约用电，某市采用价格调控手段达到省电目的，该市电费收费标准如下表（按月结算）：（2）设某月的用电量为x 度（0300x <≤），试写出不同电量区间应缴交的电费.解析：（1）该居民12月份应缴电费94.5元;（2）0.5,01500.6522.5,1502500.860,250300x x x x x x <≤⎧⎪-<≤⎨⎪-<≤⎩【分析】（1）根据用电量类型分别进行计算即可；（2）分三种情况进行讨论，当x 不超过150度时，x 超过150度，但不超过时250度时和x 超过250度时，再分别代入计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得150×0.50+（180-150）×0.65=94.5（元） 答：该居民12月应缴交电费94.5元；（2）若某户的用电量为x 度，则当x≤150时，应付电费：0.50x 元； 当150＜x≤250时，应付电费：0.65（x -150）+75=0.65x 22.5-（元）； 当250＜x ＜300，应付电费：0.80（x -250）+140=0.8x 60-（元）．∴不同电量区间应缴交的电费为：0.5,01500.6522.5,1502500.860,250300x x x x x x <≤⎧⎪-<≤⎨⎪-<≤⎩.【点睛】本题考查了列代数式，读懂题目信息，理解阶梯电价的收费方法和电费的计算方法是解题的关键．5．已知一个多项式加上223x y xy -得222x y xy -，求这个多项式． 佳佳的解题过程如下：解：222223x y xy x y xy ---①224x y xy =-②请问佳佳的解题过程是从哪一步开始出错的？并写出正确的解题过程． 解析：是从第①步开始出错的，见解析 【分析】根据多项式的加减运算法则进行运算即可求解． 【详解】解：佳佳是从第①步开始出错的，正确的解题过程如下： 根据题意，得：()()222223x y xyxy xy ---222223x y xy x y xy =--+222x y xy =+，∴这个多项式为222x y xy +． 故答案为222x y xy +． 【点睛】本题考查了多项式的加减混合运算，注意：只有同类项才能进行加减运算． 6．已知222242,325A ab b a B b a ab =--=-+，当11.5,2a b ==-时，求34B A -的值．解析：12【分析】根据题意，先根据整式的混合运算法则化简34B A -，再将a ，b 的值代入即可． 【详解】()()2222222234332544296151684B A b a ab ab b a b a ab ab b a -=-+---=-+-++=22172b a ab --，当11.5,2a b ==-时，原式22111931172 1.5 1.517224242⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-⨯-=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则以及有理数的运算是解决本题的关键．7．有这样一道题“求多项式3323323763363101a a b a b a a b a b a -+++--+的值，其中99.01,123.89a b ==-”，有一位同学把99.01a =抄成99.01,123.89a b =-=-抄成123.89b =，结果也正确，为什么？解析：见解析 【分析】原式合并同类项得到最简结果为常数1，这个多项式的值与a 、b 的值无关，故a ，b 的值抄错后，答案仍然是1 【详解】解：∵3323323763363101a a b a b a a b a b a -+++--+()()()33333227310663311a a a a b a b a b a b =+-+-++-+=；∴这个多项式的值与,a b 的值无关，故,a b的值抄错后结果也正确．【点睛】此题考查了整式的加减——化简求值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．(规律探究题)用计算器计算下列各式，将结果填写在横线上．99999×11=__________；99999×12=__________；99999×13=__________；99999×14=__________．（1）你发现了什么？（2）不用计算器，你能直接写出99999×19的结果吗？解析：1099989；1199988；1299987；1399986；（1）如果n是11，12，13，…，20中的任何一个数，则：99999×n=(n－1)9998(20－n)，其中(n－1)9998(20－n)是1个7位数，前2位是n－1，个位是20－n，中间4个数字总是9998；（2）99999×19=1899981【分析】用计算器分别进行计算，再根据结果找出规律，最后根据规律即可直接写出99999×19的结果．【详解】解：99999×11=1099989；99999×12=1199988；99999×13=1299987；99999×14=1399986．故答案为：1099989；1199988；1299987；1399986．（1）通过计算观察可发现以下规律：如果n是11，12，13，…，20中的任何一个数，则：99999×n=(n－1)9998(20－n)，其中(n－1)9998(20－n)是1个7位数，前2位是n－1，个位是20－n，中间4个数字总是9998．（2）根据以上规律可直接写出：99999×19=1899981．【点睛】此题考查了计算器−有理数，解题的关键是通过用计算器计算，找出规律，通过规律进行解答．9．上海与南京间的公路长为364km，一辆汽车以xkm/h的速度开往南京，请用代数式表示：（1）汽车从上海到南京需多少小时？（2）如果汽车的速度增加2km/h，从上海到南京需多少小时？（3）如果汽车的速度增加2km/h，可比原来早到几小时？解析：（1）364xh；（2）3642x+h；（3）3643642x x⎛⎫-⎪+⎝⎭h【分析】（1）根据题意，可以用代数式表示出汽车从上海到南京需要的时间；（2）根据题意，可以用代数式表示出汽车的速度增加2千米/时，从上海到南京需要的时间；（3）根据题意，可以用代数式表示出如果汽车的速度增加2千米/时，可比原来早到几小时． 【详解】解：（1）汽车从上海到南京需364xh ； （2）如果汽车的速度增加2km/h ，从上海到南京需3642x +h ； （3）如果汽车的速度增加2km/h ，可比原来早到3643642xx ⎛⎫- ⎪+⎝⎭h ． 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 10．先化简，再求值：-2x 2-2[3y 2-2(x 2-y 2)+6]，其中x =-1，y =-2. 解析：2221012x y --，－50． 【分析】根据整式的加减及合并同类项先对原式进行化简，得到2221012x y --，再将1,2x y =-=-代入即可求解，需要注意本题中两次遇到去括号，注意符号的改变.【详解】原式=2222223226x y x y ⎡⎤---++⎣⎦ =2222264412x y x y --+-- =2222246412x x y y -+--- =2221012x y --，当1,2x y =-=-时，原式=222(1)10(2)1250⨯--⨯--=-.【点睛】本题主要考查了去括号，整式的加减，合并同类项，乘法的分配律等相关内容，熟练掌握各项计算法则是解决本题的关键，注意去括号中符号的改变原则. 11．数学课上，老师出示了这样一道题目:“当1,22a b ==-时，求多项式3233233733631061a a b a a b a b a a b +++----的值”．解完这道题后，张恒同学指出:“1,22a b ==-是多余的条件”师生讨论后，一致认为这种说法是正确的，老师及时给予表扬，同学们对张恒同学敢于提出自己的见解投去了赞赏的目光． （1）请你说明正确的理由；（2）受此启发，老师又出示了一道题目,“无论x 取任何值，多项式2233x mx nx x -++-+的值都不变，求系数m 、n 的值”．请你解决这个问题．解析：（1）见解析；（2）3n =，1m =.【分析】（1）将原式进行合并同类项，然后进一步证明即可；（2）将原式进行合并同类项，根据“无论x 取任何值，多项式值不变”进一步求解即可. 【详解】（1）3233233733631061a a b a a b a b a a b +++---- =3332233731033661a a a a b a b a b a b +-+-+-- =1-，∴该多项式的值与a 、b 的取值无关， ∴1,22a b ==-是多余的条件. （2）2233x mx nx x -++-+ =2233x nx mx x -++-+ =2(3n)(1)3x m x -++-+ ∵无论x 取任何值，多项式值不变， ∴30n -+=，10m -=， ∴3n =，1m =. 【点睛】本题主要考查了多项式运算中的无关类问题，熟练掌握相关方法是解题关键.12．已知多项式234212553x x x x ++-- （1）把这个多项式按x 的降冥重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常规项．解析：（1）432215253x x x x -+++-；（2）该多项式的次数为4，二次项是22x ，常数项是13-． 【分析】（1）按照x 的指数从大到小的顺序把各项重新排列即可；（2）根据多项式的次数的定义找出次数最高的项即是该多项式的次数，再找出次数是2的项和不含字母的项即可得二次项和常数项． 【详解】（1）按的降幂排列为原式432215253x x x x -+++-． （2）∵234212553x x x x ++--中次数最高的项是-5x 4， ∴该多项式的次数为4，它的二次项是22x ，常数项是13-．【点睛】本题考查多项式的定义，正确掌握多项式次数及各项的判定方法及多项式升幂、降幂排列方法是解题关键．13．国庆期间，广场上设置了一个庆祝国庆70周年的造型(如图所示)．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b 的半圆，摆放花草，其余部分为展板．求： （1）展板的面积是 ．(用含a ，b 的代数式表示) （2）若a =0.5米，b =2米，求展板的面积．（3）在（2）的条件下，已知摆放花草部分造价为450元/平方米，展板部分造价为80元/平方米，求制作整个造型的造价(π取3)．解析：（1）12ab 平方米；（2）12 (平方米)；（3）3660元． 【分析】（1）利用分割法求解即可．（2）把a ，b 的值代入（1）中代数式求值即可．（3）分别求出摆放花草部分造价，展板部分造价即可解决问题． 【详解】（1）由题意：展板的面积=12a •b (平方米)． 故答案为：12ab (平方米)．（2）当a =0.5米，b =2米时，展板的面积=12×0.5×2=12(平方米)． （3）制作整个造型的造价=12×8012+π×4×450=3660(元)． 【点睛】本题考查轴对称图形，矩形的性质，圆的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 14．化简与求值：（1）若1a =-，则式子21a -的值为______； （2）若1a b +=，则式子12a b++的值为______； （3）若534a b +=-，请你仿照以上求式子值的方法求出()()2422a b a b +++-的值. 解析：（1）0；（2）32；（3）-10. 【分析】（1）把a 的值代入计算即可； （2）把a+b 的值代入计算即可；（3）原式去括号转化为含有(5a+3b)的式子，然后代入5a+3b 的值计算即可． 【详解】解：（1）()221110a -=--=；（2）1311222a b ++=+=； （3）()()()()24221062253224210a b a b a b a b +++-=+-=+-=⨯--=-． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值和整体代换的思想．只要原式化简出含有已知的式子，再代入求值即可．15．如图，某市有一块长为（3a+b ）米，宽为（2a+b ）米的长方形地块，中间是边长为（a+b ）米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化，（1）绿化的面积是多少平方米？（用含字母a 、b 的式子表示） （2）求出当a ＝20，b ＝12时的绿化面积．解析：（1）（5a 2+3ab ）平方米；（2）2720平方米 【分析】(1)根据割补法,用含有a,b 的式子表示出整个长方形的面积,然后用含有a,b 的式子表示出中间空白处正方形的面积,然后两者相减,即可求出绿化部分的面积. (2)将a ＝20，b ＝12分别代入(1)问中求出的关系式即可解决. 【详解】解：（1）（3a+b ）（2a+b ）﹣（a+b ）2＝6a 2+3ab+2ab+b 2﹣（a 2+2ab+b 2）＝6a 2+3ab+2ab+b 2﹣a 2﹣2ab ﹣b 2＝5a 2+3ab ， 答：绿化的面积是（5a 2+3ab ）平方米； （2）当a ＝20，b ＝12时 5a 2+3ab ＝5×202+3×20×12＝2000+720＝2720， 答：当a ＝20，b ＝12时的绿化面积是2720平方米． 【点睛】(1)本题考查了割补法,多项式乘多项式和完全平方式的运算法则,解决本题的关键是正确理解题意,能够熟练掌握多项式乘多项式的运算法则.(2)本题考查了整式的化简求值,解决本题的关键是熟练掌握整式的运算法则和步骤. 16．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如下）：（1）列式，并计算：①3-经过A ，B ，C ，D 的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B ，C ，A ，D 的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a 经过D ，C ，A ，B 的顺序运算后，结果是45，a 是多少？ 解析：（1）①7；②206；（2）256a =或256a =- 【分析】（1）把-3和5经过A ，B ，C ，D 的运算顺序计算即可； （2）根据已知条件列列出关于a 的方程计算即可； 【详解】（1）①2[(3)2(5)]67-⨯--+=；②2[5(5)]26206--⨯+=；（2）()()226545a +--=，()2620a +=， 解得256a =或256a =-． 【点睛】本题主要考查了规律型数字变化类，一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． 17．观察下列单项式：﹣x ，2x 2，﹣3x 3，…，﹣9x 9，10x 10，…从中我们可以发现： （1）系数的规律有两条： 系数的符号规律是 系数的绝对值规律是 （2）次数的规律是（3）根据上面的归纳，可以猜想出第n 个单项式是 ．解析：（1）奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同；（2）与自然数序号相同；（3）(1)n nnx -【分析】通过观察题意可得：奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，且系数的绝对值与自然数序号相同，次数也与与自然数序号相同．由此可解出本题． 【详解】（1）奇数项为负，偶数项为正， 与自然数序号相同； （2）与自然数序号相同；（3）(1)n nnx -．【点睛】本题考查了单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．18．若关于x ，y 的多项式my 3＋3nx 2y ＋2y 3－x 2y ＋y 不含三次项，求2m ＋3n 的值． 解析：-3.【分析】先合并同类项，根据已知得出m+2=0，3n-1=0，求出m 、n 的值后代入进行计算即可．【详解】my 3＋3nx 2y ＋2y 3－x 2y ＋y ＝(m ＋2)y 3＋(3n －1)x 2y ＋y ，∵此多项式不含三次项，∴m ＋2＝0，3n －1＝0，∴m ＝－2，n ＝13， ∴2m ＋3n ＝2×(－2)＋3×13=-4+1＝－3. 【点睛】本题考查了合并同类项和解一元一次方程的应用，关键是求出m 、n 的值．19．数a 、b 、c 在数轴上对应的位置如图所示，化简a c c b a b +-++-．解析：0；【分析】由数轴可得a ＞0＞b ＞c ，并从数轴上可得出a ，b ，c 绝对值的大小，从而可以得出各项式子的正负，去绝对值可得出答案.【详解】解：由数轴得，c b 0a <<<，且c a b >>，a c cb a b +-++-a c cb a b =--+++-0=．【点睛】本题考查了数轴上数的大小，去绝对值，熟悉掌握定义是解决本题的关键.20．父母带着孩子（一家三口）去旅游，甲旅行社报价大人为a 元，小孩为a 2元；乙旅行社报价大人、小孩均为a 元，但三人都按报价的90%收费，则乙旅行社收费比甲旅行社贵多少元？（结果用含a 的代数式表示）解析：乙旅行社收费比甲旅行社贵0.2a 元．【分析】根据题意分别表示出甲乙两旅行社的费用，相减即可得到结果．【详解】根据题意得：（a+a+a ）×90%-（a+a+12a ） =2.7a-2.5a=0.2a （元）， 则乙旅行社收费比甲旅行社贵0.2a 元．【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．已知多项式﹣3x 2+mx+nx 2﹣x+3的值与x 无关，求（2m ﹣n ）2017的值．解析：-1【分析】先把多项式进行合并同类项得（n-3）x 2+（m-1）x+3，由于关于字母x 的二次多项式-3x 2+mx+nx 2-x+3的值与x 无关，即不含x 的项，所以n-3=0，m-1=0，然后解出m 、n ，代入计算（2m-n ）2017的值即可．【详解】合并同类项得（n ﹣3）x 2+（m ﹣1）x+3，根据题意得n ﹣3=0，m ﹣1=0，解得m=1，n=3，所以（2m ﹣n ）2017=（﹣1）2017=﹣1．【点睛】考查了多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 22．国庆期间，王老师计划组织朋友去晋西北游览两日.经了解，现有甲、乙两家旅行社针对组团两日游的游客报价均为每人500元，且提供的服务完全相同.甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按八折收费.假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人. （1）请列式表示甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用；（2）若王老师组团参加两日游的人数共有30人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家.解析：（1）甲旅行社收取组团两日游的总费用为425x 元;若人数不超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用为450x 元;若人数超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用为（4001000x +）元;（2）王老师应选择甲旅行社.【分析】（1）根据总费用等于人数乘以打折后的单价，易得甲旅行社的费用=500 x×0.85，对于乙家旅行社的总费用，应分类讨论：当0≤x≤20时，乙旅行社的费用=500 x×0.9；当x ＞20时，乙旅行社的费用=500×20×0.9+500（x-20）×0.8；（2）把x=30分别代入（1）中对应关系计算甲旅行社的费用和乙旅行社的费用的值，然后比较大小即可．【详解】（1）甲旅行社收取组团两日游的总费用为：5000.85425x x ⨯=元若人数不超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用为：5000.9450x x ⨯=元 若人数超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用为：()500(20)0.8500200.94001000-⨯+⨯⨯=+x x 元（2）因为王老师组团参加两日游的人数共有30人，所以甲旅行社收取组团两日游的总费用为：4253012750⨯=元乙旅行社收取组团两日游的总费用为40030100013000⨯+=元1275013000<，王老师应选择甲旅行社.【点睛】本题考查了代数式，能根据具体情境列代数式并求代数式的值是关键.23．将正整数1，2，3，4，5，……排列成如图所示的数阵：（1）十字框中五个数的和与框正中心的数11有什么关系？（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；（3）十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由； （4）十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．解析：（1）十字框中五个数的和是正中心数的5倍；（2）十字框中五个数的和是正中心数的5倍，理由见解析；（3）不能，理由见解析；（4）这五个数是404，403，405，397，411.【分析】（1）把框住的数相加即可求解；（2）设中心的数为a ，则其余4个数分别为1a -，1a +，7a -，7a +，相加即可得到规律；（3）由（2）得五个数的和为5a ，令5a=180,根据解得情况即可求解；（4）由（2）得五个数的和为5a ，令5a=2020,根据解得情况即可求解；【详解】解：（1）十字框中五个数的和是正中心数的5倍.∵十字框中五个数的和41011121855511=++++==⨯，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍.（2）五个数的和与框正中心的数还有这种规律.设中心的数为a ，则其余4个数分别为1a -，1a +，7a -，7a +.11775a a a a a a +-+++-++=，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍.（3）十字框中五个数的和不能等于180.∵当5180a =时，解得36a =，36751÷=，36在数阵中位于第6排的第1个数，其前面无数字，∴十字框中五个数的和不能等于180.（4）十字框中五个数的和能等于2020.∵当52020a =时，解得404a =，4047575÷=，404在数阵中位于第58排的第5个数，∴十字框中五个数的和能等于2020，这五个数是404，403，405，397，411.【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是设中心的数为a ，求出十字框中五个数的和为5a.24．已知A ＝2a 2+3ab ﹣2a ﹣1，B ＝﹣a 2+1223ab + （1）当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，求4A ﹣（3A ﹣2B ）的值；（2）若（1）中式子的值与a 的取值无关，求b 的值．解析：（1）4ab ﹣2a+13；（2）b=12 【分析】（1）将a=﹣1，b=﹣2代入A=2a 2+3ab ﹣2a ﹣1，B=﹣a 2+12ab+23，求出A 、B 的值，再计算4A ﹣（3A ﹣2B ）的值即可；（2）把（1）结果变形，根据结果与a 的值无关求出b 的值即可.【详解】（1）4A ﹣（3A ﹣2B ）=4A ﹣3A+2B=A+2B ，∵A=2a 2+3ab ﹣2a ﹣1，B=﹣a 2+12ab+23， ∴A+2B=2a 2+3ab ﹣2a ﹣1+2（﹣a 2+12ab+23） =2a 2+3ab ﹣2a ﹣1﹣2a 2+ab+43 =4ab ﹣2a+13； （2）因为4ab ﹣2a+13 =（4b ﹣2）a+13， 又因为4ab ﹣2a+13的值与a 的取值无关， 所以4b ﹣2=0，所以b=12． 【点睛】本题考查了整式的加减、化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.25．学习了整式的加减运算后，张老师给同学们布置了一道课堂练习题“当2a =-，2018b =，求222221(324)2(23)2()12a b ab a a b a ab a b -+--++-的值”.小明做完后对同桌说：“老师给的条件2018b =是多余的，这道题不给b 的值，照样可以求出结果来”.同桌不相信他的话．亲爱的同学们，你相信小明的说法吗？解析：-21【分析】首先化简代数式，通过去括号、合并同类项，得出结论即含有b 的代数式相加为0，即可说明．【详解】解()()222221324223212a b ab a a b a ab a b ⎛⎫-+--++- ⎪⎝⎭＝222223244621a b ab a a b a ab a b -+-+++-＝101a -当2a =-时原式＝()1021⨯--＝－21.【点睛】考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则是解题的关键. 26．已知230x y ++-=，求152423x y xy --+的值. 解析：-24.【分析】首先根据绝对值的非负性求出x ，y ，然后代入代数式求值.【详解】解：∵230x y ++-=，∴x+2=0，y-3=0，∴x=－2，y=3， ∴152423x y xy --+ ()()552342323=-⨯--⨯+⨯-⨯ ()5524=-+-24=-.【点睛】本题考查了代数式求值，利用非负数的和为零得出x 、y 的值是解题关键．27．已知：A=2x 2+ax ﹣5y+b ，B=bx 2﹣32x ﹣52y ﹣3． （1）求3A ﹣（4A ﹣2B ）的值；（2）当x 取任意数值，A ﹣2B 的值是一个定值时，求（a+314A ）﹣（2b+37B ）的值． 解析：（1）（2b ﹣2）x 2﹣（a+3）x ﹣（b+6）；（2）﹣312． 【分析】（1）先化简原式，再分别代入A 和B 的表达式，去括号并合并类项即可；（2）先代入A 和B 的表达式并去括号并合并类项，由题意可令x 和x 2项的系数为零，求解出a 和b 的数值，再化简原式后代入相关数值即可求解.【详解】解：（1）∵A=2x 2+ax ﹣5y+b ，B=bx 2﹣32x ﹣52y ﹣3， ∴原式=3A ﹣4A+2B=﹣A+2B=﹣2x 2﹣ax+5y ﹣b+2bx 2﹣3x ﹣5y ﹣6=（2b ﹣2）x 2﹣（a+3）x ﹣（b+6）；（2）∵A=2x 2+ax ﹣5y+b ，B=bx 2﹣32x ﹣52y ﹣3， ∴A ﹣2B=2x 2+ax ﹣5y+b ﹣2bx 2+3x+5y+6=（2﹣2b ）x 2+（a+3）x+（b+6），由x 取任意数值时，A ﹣2B 的值是一个定值，得到2﹣2b=0，a+3=0，解得：a=﹣3，b=1，则原式=a ﹣2b+314（A ﹣2B ）=﹣3﹣2+32=﹣312． 【点睛】理解本题中x 取任意数值时A ﹣2B 的值均是一个定值的意思是整式化简后的x 和x 2项的系数均为零是解题关键.28．有一长方体形状的物体，它的长，宽，高分别为a ，b ，c(a>b>c)，有三种不同的捆扎方式(如图所示的虚线)．哪种方式用绳最少？哪种方式用绳最多？说明理由．解析：方式甲用绳最少，方式丙用绳最多．【解析】试题分析:根据长方形的对称性分别得到三种方式所需要的绳子的长度,然后将这三个代数式进行作差比较大小.试题方式甲所用绳长为4a ＋4b ＋8c ，方式乙所用绳长为4a ＋6b ＋6c ，方式丙所用绳长为6a ＋6b ＋4c ，因为a>b>c ，所以方式乙比方式甲多用绳(4a ＋6b ＋6c)－(4a ＋4b ＋8c)＝2b －2c ，方式丙比方式乙多用绳(6a ＋6b ＋4c)－(4a ＋6b ＋6c)＝2a －2c.因此，方式甲用绳最少，方式丙用绳最多．29．先化简，再求值（1）()223421332a a a a -+-+-，其中23a =- （2）()()22352542m mn mn m -+--+，其中22m mn -=解析：（1）原式=23362a a --+；256；（2）原式()2111m mn =-+；23. 【分析】（1）根据整式的运算法则，先将整式进行化简，再将字母的值代入计算求值即可.（2）根据整式的运算法则，去括号合并同类项，将整式化成最简，然后将字母的值代入计算即可.【详解】解（1）原式=22333-4233222a a a a ⨯-⨯++-=22363332a a a a --++-=23362a a --+ 将23a =-代入得：222336332⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=256； （2）原式=()()2222352542351084m mn mn m m mn mn m -+--+=+-+-- ()2111m mn =-+将22m mn -=代入得：11×2+1=23【点睛】本题考查了整式的化简求值，解决本题的挂件是正确理解题意，熟练掌握整式的运算法则，将整式正确进行化简.30．先化简，再求值：()()22222322a b ab a b ab a b -+---，其中1a =，2b =-． 解析：2ab -，4-．【分析】先去括号，再合并同类项，再将1a =，2b =-代入原式求值即可．【详解】原式22222423a b ab a b ab a b +=-+-- 22(112)(34)a b ab =--++-2ab =-，当1a =，2b =-时，原式21(2)4=-⨯-=-【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，掌握整式化简的方法、合并同类项的方法是解题的关键．。
平面向量基本概念与运算法则及相对应练习题(含答案)
平面向量1一、向量的基本概念思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。
回答下列问题：(1).数量与向量有何区别？(2).如何表示向量？(3).有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？(4).长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？1.数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b(黑体)等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。
3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。
向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。
4.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。
②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
5.满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。
6.平行向量的定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；⑵向量c b a 、、平行，记作c b a ////。
二、向量的运算法则1.向量的加法问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+；②若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和；③某人从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和。
【VIP专享】《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》
《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》的学习笔记放假前，在网上挑选了几本暑假期间要读的书，其中就有这本史宁中教授主编的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书，每读一页都有很多收获，结合《课标》和另外一本关于案例式解读《课标》的书，使得我对“四基”、“四能”、“十大核心概念”等有了更深刻、更具体的认识。
书读过一遍后，感觉还有必要再读一遍并做好笔记，于是就有了下面的摘要。
史宁中教授的思考：（1）课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？（2）数学的本质是什么，应该如何在教学中体现这些本质？（3）思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？（4）培养创新型人才的关键是什么，应当通过什么样的教学活动进行培养？基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。
判定数学基本思想的准则：（1）数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；（2）学习过数学的人和没有学习过数学的人的思维差异。
数学基本思想：抽象、推理、模型。
基础知识主要指概念和法则的记忆，基本技能主要是计算和证明的能力。
对教师的更高要求：除了“双基”之外，（1）还要求教师能够把握教学内容的数学实质，并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；（2）引发学生思考问题，并且帮助学生养成良好的独立思考的习惯；（3）引导学生能够正确的思维与实践，并且帮助学生积累思维的和实践的经验。
数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。
数学的本质：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。
分数：虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，分数本身是数而不是运算，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是整数的比例关系。
数量是对现实生活中事物量的抽象。
例如：一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋等。
数学教师读书笔记《基本概念与运算法则》
数学教师读书笔记《基本概念与运算法则》基本概念与运算法则是数学学习的基础，掌握了这些概念和法则，才能在数学领域更好地理解和应用知识。
为了加深自己的理解和记忆，我决定读书笔记，对自己的学习进行总结和归纳。
一、基本概念1. 数：数是对事物数量的描述，可以用来计数。
数分为自然数、整数、有理数和实数等不同的类别。
数有大小之分，可以进行比较。
2. 数的表达方式：可以用数字、符号、线段、图形等方式表示数。
例如，用数字1、2、3表示自然数，用线段表示长度等。
3. 数字的比较与排序：任意两个数之间，可以进行比较。
比较大小的符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
对一组数进行排序，可以按照从小到大或从大到小的顺序排列。
4. 数轴：数轴是一种直线上的区间，用来表示数的相对位置。
数可以在数轴上用点的位置表示，左侧的数较小，右侧的数较大。
5. 数的组成：数可以由数字组成，例如整数123可以由数字1、2、3组成，数字的位置决定了数的大小。
6. 数的分解与合成：一个数可以分解为若干个较小的数的和，这个过程叫做分解；若干个较小的数的和可以合成一个较大的数，这个过程叫做合成。
二、运算法则1. 加法：加法是指将两个或多个数合并在一起，得到它们的和。
加法有交换律、结合律和互补律等法则。
例如，a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)，a + (-a) = 0。
2. 减法：减法是指将一个数从另一个数中减去，得到它们的差。
减法可以看作是加法的逆运算。
例如，a - b = a + (-b)。
3. 乘法：乘法是指将两个或多个数相乘，得到它们的积。
乘法有交换律、结合律和分配律等法则。
例如，a × b = b × a，(a × b) × c = a × (b × c)，a × (b + c) = a × b + a × c。
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《基本概念与运算法则》测试题
一、填空
1.数学课程标准中的“四基”即（基础知识）、（基本技能）、（基本思想）、（基本活动经验）。
2.数学基本思想可以归纳为（抽象）、（推理）、（模型）这三方面内容。
3.数量之间最基本的关系是（多与少）；数之间最基本的关系是（大与小）。
4.小学数学“数与代数”部分在本质上有两种模型，一种是（基于加法的），另一种是（基于乘法的）。
5.空间观念的本质是（空间想象力）。
6.在“统计与概率”中共涉及了三种统计图，它们虽有共性却也有所区别，条形统计图更有利于表述数量的多少，扇形统计图更有利于（表述数量所占的比例），折线统计图更有利于（表述数量的变化）。
7.从本质上来说，逻辑推理只存在两种形式：一种形式是命题内涵由大到小，这样的逻辑推理称为（演绎推理）；一种形式是命题内涵由小到大，这样的逻辑推理称为（归纳推理）。
8.逻辑推理的三个原则是（同一律）、（矛盾律）、（排中律）。
9.数学抽象的本质包含两种形式：一种是（数量与数量关系）的抽象；一种是（图形与图形关系）的抽象。
10.数学课本标准中提出的义务教育阶段数学内容所涉及的十个核心概念分别是（数感）、（符号意识）、（空间观念）、（模型思想）、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、应用意识和创新意识。
二、选择题
1.数量关系的本质是（ B ）。
A大与小 B多与少 C自然数 D数和单位
2.方程的本质是（ A ）。
A描述现实世界中的等量关系。
B含有未知数的等式。
C含有未知数的式子。
D等号两边的量相等。
3.对于数据分析，如果考虑数据的随机性，这种统计称为（ D ）。
A描述统计 B随机统计 C推测统计 D推断统计
4.按照命题内涵从大到小，这样的逻辑推理称为（C ）。
A直接推理 B间接推理 C演绎推理 D归纳推理
5.光年，是一个（A）。
A长度单位 B时间单位 C距离单位 D速度单位
6.分数是一种（ A ）的数。
A无量纲 B有量纲 C量纲不一定，随具体事物而变化
7.整数集合中乘法是如何得到的？（ B ）
A交换律和结合律 B交换律和分配律 C分配率和结合律 D交换律、结合律和分配律
8.在数学中，符号具有重要的意义，符号的的表达具有（C）。
A统一性 B同一性 C一般性 D特殊性
9.平移、旋转和轴对称这些图形的运动中，核心共同点是（ B）。
A方向不变 B大小不变 C方向改变 D大小改变
10.让学生记录自己在一周内上学途中所需要的时间，并分析数据得到有用的信息。
事先强调家里钟表的时间，使其与学校钟表的时间保持一致，这是为了（AC）。
A减少系统误差 B消除系统误差 C减小人为干扰 D消除人为干扰
三、简答题
1.什么是数感？在小学阶段如何培养学生的数感？（P18-P19）
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
课标强调数与现实的联系，对数感强调的是一种感悟。
这种感悟是重要的：在小学数学教学活动中，不仅要让学生感悟“数是对数量的抽象”，还应当反过来让学生感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”。
有了上面所说的感悟，学生就能在现实生活中比较合理地把握数以及数的运算。
培养学生的“数感”不仅是学习数学的需要，而且有助于培养学生认识和解释现实事物的能力，这是一种数学素养的教育。
2.小学数学中有哪些模型？（P41-P45）
总量模型、路程模型、植树模型、工程模型
3.如何理解长度，面积，体积？（P58）
长度是对一维空间图形的度量。
面积是对二维空间图形的度量。
体积是对三维空间图形的度量。
4.条形统计图，扇形统计图，折线统计图，这三种统计图之间有什么共性和差异？（P68）
共性：都可以直观地表述数据。
差异：条形统计图更有利于表述数量的多少；扇形统计图更有利于表述数量所占的比例；折线统计图更有利于表述数量的变化。
5.课程目标从“双基”到“四基”的转变，对中小学教师提出了怎样更高的要求？（P2）
要求教师：能够把握教学内容的数学实质，并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；引发学生思考问题，并且帮助学生养成良好的独立思考的习惯；引导学生能够正确地思维与实践，并且帮助学生积累思维的和实践的经验。