1.多元函数一(极限、偏导数及全微分)(重修2012)解析

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多元函数的偏导数与全微分的计算及应用

多元函数的偏导数与全微分的计算及应用多元函数是指具有多个自变量的函数，其偏导数与全微分的计算和应用是数学分析中重要的概念和工具。

本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。

一、多元函数的偏导数计算多元函数的偏导数是指函数对于某个自变量的变化率。

对于一个自变量的偏导数，我们将其他自变量视为常数。

偏导数的计算方法如下：1. 对于一个自变量的偏导数：对于函数f(x1,x2,...,xn)，我们对第i个自变量求偏导数，表示为∂f/∂xi。

2. 对于多个自变量的偏导数：对于函数f(x1,x2,...,xn)，我们对多个自变量同时求偏导数，表示为∂f/∂xi,...,∂f/∂xn。

需要注意的是，多元函数的偏导数存在交换律，即求任意两个自变量的偏导数的次序可以交换。

二、多元函数的全微分计算多元函数的全微分是指函数在某一点附近的线性近似，表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。

全微分可以看作是偏导数的线性组合，其中∂f/∂xi表示函数对第i个自变量的灵敏度，dxi表示自变量的变化量。

三、多元函数的偏导数与全微分的应用1. 最值问题：通过计算偏导数，可以找到函数的局部极大值和极小值。

当偏导数为零或不存在时，可能存在驻点或临界点，进一步分析可以确定最值点。

2. 泰勒展开：通过计算全微分，可以得到函数在某一点附近的二阶导数信息，进而展开为泰勒级数，用于函数的近似计算。

3. 线性化分析：通过计算全微分，可以将非线性问题线性化处理，简化问题的求解过程。

在工程和科学领域中，常常使用这种方法来解决复杂的非线性问题。

4. 向量场与梯度：多元函数的梯度可以看作是一个向量场，表示了函数在各个方向上的变化率。

通过计算梯度，可以揭示函数在不同方向上的变化规律。

5. 链式法则：当函数的自变量是另一个函数的输出时，可以使用链式法则计算偏导数和全微分。

多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法

多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。

偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。

而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。

1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。

其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。

2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。

全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。

3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。

二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。

1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。

多元函数的偏导数与全微分计算

多元函数的偏导数与全微分计算多元函数在数学领域中起着重要的作用，研究多元函数的性质和变化趋势需要借助于偏导数和全微分的概念和计算方法。

本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的定义、性质及其计算方法。

一、偏导数的定义与计算方法偏导数是多元函数对于某个变量的导数，其定义如下：对于函数 $z = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是自变量，$z$ 是函数的因变量。

函数 $f$ 在某一点处对于自变量$x_i$ 的偏导数定义为：$\frac{\partial z}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_n)}{\Delta x_i}$计算偏导数时，可以将多元函数看作其他变量不变，只对某一变量求导的单变量函数。

常用的计算方法有以下几种：1. 隐函数求导法当多元函数以隐式形式给出时，可以使用隐函数求导法计算偏导数。

通过对方程两边同时求导，并利用链式法则可以得到偏导数的表达式。

2. 显函数求导法当多元函数以显式形式给出时，可以直接对每个变量求导，其他自变量视作常数。

逐个变量求导后得到各个偏导数。

3. 参数方程法对于由参数方程表示的多元函数，在参数的每个分量上分别求导，并利用链式法则计算出各个偏导数。

二、偏导数的性质偏导数具有以下一些性质：1. 交换性对于偏导数来说，次序并不重要，即换序后得到的偏导数结果相同。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 z}{\partialx_j \partial x_i}$2. 连续性如果多元函数 $f$ 的偏导函数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 在某一点连续，那么该点处的偏导数存在。

高考数学多元函数：偏导数与全微分解析

高考数学多元函数：偏导数与全微分解析在高考数学中，多元函数是一个重要的知识点，而其中的偏导数与全微分更是理解和解决多元函数问题的关键。

对于许多同学来说，这部分内容可能会感到有些抽象和难以掌握，但只要我们深入理解其概念和原理，并通过大量的练习来巩固，就能够在考试中应对自如。

首先，让我们来了解一下什么是多元函数。

简单来说，多元函数就是指有两个或两个以上自变量的函数。

比如，我们常见的二元函数\（z ＝ f(x, y)＼），这里\（x\）和\（y\）就是两个自变量。

偏导数是多元函数中的一个重要概念。

当我们对一个多元函数中的某个自变量进行求导，而把其他自变量看作常数时，所得到的导数就称为偏导数。

以二元函数\（z ＝ f(x, y)＼）为例，如果我们对\（x\）求偏导数，就记作\（＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＼），此时把\（y\）看作常数；对\（y\）求偏导数，记作\（＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＼），把\（x\）看作常数。

为了更好地理解偏导数，我们来看一个具体的例子。

假设函数\（z＝ x^2 ＋ 3xy ＋ y^2\），那么对\（x\）求偏导数\（＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＼），就是对\（x\）的每一项分别求导。

＼（x^2\）对\（x\）求导为\（2x\），＼（3xy\）对\（x\）求导为\（3y\）（因为\（y\）看作常数），＼（y^2\）对\（x\）求导为\（0\）（因为不含\（x\）），所以\（＼frac{＼partial z}｛＼partial x} ＝ 2x ＋ 3y\）。

同样地，对\（y\）求偏导数\（＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＼），＼（x^2\）对\（y\）求导为\（0\），＼（3xy\）对\（y\）求导为\（3x\），＼（y^2\）对\（y\）求导为\（2y\），所以\（＼frac{＼partial z}｛＼partial y} ＝ 3x ＋ 2y\）。

多元函数的偏导数与全微分的概念及推导

多元函数的偏导数与全微分的概念及推导多元函数是指含有多个自变量的函数，偏导数是研究这类函数时常用的工具，而全微分则是近似表示函数的变化率。

本文将介绍多元函数的偏导数与全微分的概念，并进行相应的推导。

一、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对于含有多个自变量的函数，我们在求解函数变化率时，只关注一个自变量的变化而将其他自变量视为常数。

具体而言，对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其关于自变量$x_i$的偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partialx_i}$，表示$f$对$x_i$的变化率。

对于二元函数$z=f(x,y)$，其偏导数分为偏导数和混合偏导数两种情况。

偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$表示$z$对$x$的变化率，$\frac{\partial z}{\partialy}$表示$z$对$y$的变化率。

混合偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$表示先对$x$求偏导再对$y$求偏导。

对于多元函数的偏导数计算，可以通过求偏导的方式逐个计算。

具体而言，对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，求关于$x_i$的偏导数时，将其他自变量视为常数，对$x_i$进行求导即可。

重复这个过程，可以得到所有的偏导数。

二、多元函数的全微分多元函数的全微分是函数的微小变化量。

对于二元函数$z=f(x,y)$，其全微分$\mathrm{d}z$表示$z$的微小变化量。

全微分可以通过偏导数来表示，即$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partialy}\mathrm{d}y$。

全微分的求解可以用来计算函数的变化率及其对应的方向，通过对全微分展开可以得到函数的线性逼近形式。

因此，全微分在数学分析和物理学中有着广泛的应用。

多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系

多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系极限、连续、偏微分、全微分是讨论多元函数的参数。

（一）极限
极限定义为：在某一点上，函数值趋近于一定值，则此值与函数极限等值。

也就是说，函数在此点上无论怎么变化，有一个定量，恒定不变。

函数的极限可以理解为函数的分析度，也就是说，可以从更小的层次上理解函数的变化。

（二）连续
连续主要指多元函数在不同点的趋势是一致的。

一般而言，函数的连续可以用来描述函数的变化趋势，而不同的点总有一个顺序的变化，从而反映函数的变化趋势，这正是函数的连续性。

（三）偏微分
偏微分定义为：取某一点在某一变量上的偏导数，其本质就是在某一变量上求函数的变化值最大化，从而反映函数在此点的变化趋势。

它是多元函数最基本的求导方法，在很多多元函数的运算中，都有着重要的作用。

（四）全微分
全微分定义为：将函数中的每一个变量分别求偏导数，组成偏导数向量，这个向量叫做函数的全微分。

它是多元函数求导的重点，反映了函数在各个变量上的变化趋势。

可以看出，全微分可以表现函数分析度的变化，从而深入理解函数的变化趋势。

总结而言，极限、连续、偏微分、全微分是描述多元函数变化趋势的重要参数，他们之间互相协作，可以深入理解多元函数的变化。

多元函数与偏导数多元函数的偏导数和极值问题

多元函数与偏导数多元函数的偏导数和极值问题多元函数与偏导数多元函数是指自变量不只是一个，而是多个的函数。

在多元函数中，我们可以通过偏导数来研究函数的变化趋势和极值问题。

本文将介绍多元函数的偏导数和极值问题，并探讨其应用。

一、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指只对其中一个自变量求导，将其他自变量视为常数的导数。

对于多个自变量的情况，我们可以分别对每个自变量求偏导数。

以一个二元函数为例，设函数为f(x, y)，其中x和y为自变量。

我们分别对x和y求偏导数得到：∂f/∂x 和∂f/∂y。

二、偏导数的几何意义在单变量函数中，导数可以表示函数在某一点的切线斜率。

而在多元函数中，偏导数也有类似的几何意义。

对于偏导数∂f/∂x，可以理解为函数在自变量x方向上的变化率。

具体而言，在函数曲面上，当自变量x发生微小变化时，函数值的变化量与x的变化量之比即为∂f/∂x。

同样，∂f/∂y表示函数在自变量y方向上的变化率。

通过求偏导数，我们可以描绘出函数曲面在不同自变量方向上的变化率，从而更好地理解函数的性质。

三、偏导数的计算方法对于多元函数，我们可以使用基本的微积分规则来计算偏导数。

以二元函数为例，设函数为f(x, y)，我们可以按照以下步骤计算它的偏导数：1. 对自变量x求导，将y视为常数，得到∂f/∂x。

2. 对自变量y求导，将x视为常数，得到∂f/∂y。

同样的方法可以推广到更多自变量的情况。

四、多元函数的极值问题在求解多元函数的极值问题时，我们需要求解函数的极值点，即使得函数取得最大值或最小值的自变量取值。

在单变量函数中，可以通过求导数并令导数为零来解决极值问题。

而在多元函数中，需要使用偏导数来解决。

对于二元函数f(x, y)，我们可以通过以下步骤来求解其极值：1. 找到函数的偏导数∂f/∂x 和∂f/∂y。

2. 令偏导数∂f/∂x 和∂f/∂y 分别等于零，解得极值点(x*, y*)。

3. 对于极值点(x*, y*)，利用二阶偏导数来判断其为极大值点还是极小值点。

多元函数的偏导数与全微分

f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
偏导数，记为
z f ，，z x x0 x x0 x x x y y y y
一、偏导数的概念二、偏导数的计算三、全微分的概念与应用
1、偏导数的定义及其计算法
定义 1 设函数 z f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２（充分条件）
z z 导数、都存在，且在点( x , y )可微分．
上述两个定理也完全适用于三元及三元以上的多元函数.
如果函数 z f ( x , y )的偏
x z arctan 例 5 计算函数 y 的全微分.
f ( x, y ) 可以证明，对本例中的函数f (x,y), ( x , ylim ) ( 0 , 0 ) 不存在，因此它在原点不连续,但在原点的两个偏函数都存在，这一点和一元函数是不同的.在一元函数中，我们证明了函数可导则一定连续。
2、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
x2 y2 0
2 2
.
x y 0
f x (0,0) f y (0,0) 0
x y z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ] , 2 2 ( x ) ( y )
(0,0) ，如果考虑点 P ( x , y ) 沿着直线y x 趋近于

多元函数微积分知识点

多元函数微积分知识点
1.多元函数的极限：多元函数的极限是在多个自变量趋于一些点时函
数的极限。

多元函数的极限可以通过分量法、夹逼法等方法计算。

2.多元函数的连续性：多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意
一点上都存在极限并与函数值相等。

可以利用多元函数的分量函数连续来
判断多元函数的连续性。

3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数是指多元函数对自变量的偏
导数。

求多元函数的偏导数时，只对一个自变量求导，把其他自变量视为
常数。

4.多元函数的全微分：多元函数的全微分是指函数在特定点的微分。

全微分可以理解为函数在该点的线性逼近。

5.多元函数的方向导数：方向导数是指多元函数在其中一点沿着给定
方向的变化速率。

方向导数的计算可以通过梯度来进行。

6.多元函数的梯度：梯度是多元函数在其中一点的导数，其方向与函
数在该点取得最大值的方向相同，数值上等于方向导数的最大值。

7.多元函数的积分：多元函数的积分是指对多元函数进行求和或求定
积分。

与一元函数积分类似，多元函数积分需要确定积分区域和积分方法。

8.曲线积分：曲线积分是指沿着曲线进行的积分，曲线积分可以对向
量场和标量场进行。

9.曲面积分：曲面积分是指对曲面上的函数进行积分。

曲面积分可以
对向量场和标量场进行。

10.格林定理：格林定理是指曲线与曲面积分之间的关系，即把曲面积分转化为曲线积分的定理。

11.斯托克斯定理：斯托克斯定理是格林定理的推广，是把曲线积分转化为曲面积分的定理。

9.3多元函数的偏导数与全微分

一元函数 y = f (x) 的微分
• 问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ • 定理：
应用
近似计算估计误差
一、全微分的定义
*二、全微分在数值计算中的应用
3
2013/2/28
2.1、全微分的定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量可表示成
在物理和力学中, 经常用到力和速度的分解和合成 . 一般是将任意方向的力或速度分解为平行于坐标轴方向的分力或分速度 .
一、偏导数定义及记法
• 定义：
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数 , 记为
在原点处不连答：存在
一元函数：可导连续
可微
*全微分在数值计算中的应用
1. 近似计算由全微分定义
各偏导数连续
各偏导数存在连续
多元函数：各偏导数存在连续
可微
可知当
及
较小时, 有近似等式:
(可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算)
例.计算解: 设
的近似值. ,则
2. 误差估计（选用）利用令
的某邻域内存在 ;
利用轮换对称性 , 可得
时是无穷小量 ;
时是无穷小量 .
2) 3)
同理
4) 下面证明令则
极限不存在 , 同理 ,
在点(0,0)不连续 ; 在点(0,0)也不连续.
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
6
分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 则
特别注意

多元函数的偏导数与全微分

多元函数的偏导数与全微分在数学分析中，偏导数与全微分是研究多元函数的重要概念。

本文将从理论和实际的角度探讨多元函数的偏导数与全微分的定义、性质和应用。

一、偏导数的定义与性质偏导数是用来描述多元函数在某一变量上的变化率。

对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，偏导数是指在其他变量固定的情况下，关于某一变量的导数。

设有函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其中x₁, x₂, ..., xn是变量，对于i = 1,2,...,n，f对xᵢ的偏导数记作∂f/∂xᵢ。

偏导数的计算方法与一元函数类似，可以通过求极限的方式得到。

偏导数具有以下性质：1.线性性质：对于常数α, β和函数f, g，有∂(αf + βg)/∂x = α(∂f/∂x) + β(∂g/∂x)。

2.交换性质：对于任意的i, j，有∂(∂f/∂xᵢ)/∂xⱼ = ∂(∂f/∂xⱼ)/∂xᵢ。

3.对称性质：对于任意的i, j，如果混合偏导数∂²f/(∂xᵢ∂xⱼ)和∂²f/(∂xⱼ∂xᵢ)在某个区域内存在且连续，那么它们相等。

二、全微分的定义与性质全微分是用来描述多元函数在某一点处的增量与变量之间的关系。

对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，在某个点(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)处的全微分df记作：df = (∂f/∂x₁)dx₁ + (∂f/∂x₂)dx₂ + ... + (∂f/∂xn)dxn全微分的计算方法与一元函数类似，通过对每个变量求偏导数并乘以对应的微小增量得到。

全微分具有以下性质：1.线性性质：对于常数α, β和函数f，有d(αf + βg) = αdf + βdg。

2.链式法则：对于复合函数z = f(g(x₁, x₂, ..., xn))，其全微分可以表示为dz = (∂z/∂x₁)dx₁ + (∂z/∂x₂)dx₂ + ... + (∂z/∂xn)dxn。

3.二阶全微分：如果函数f具有二阶连续偏导数，那么df的全微分可以进一步求导得到d²f = (∂²f/∂x₁²)dx₁² + 2(∂²f/∂x₁∂x₂)dx₁dx₂ + ... + (∂²f/∂xn²)dxn²。

多元函数的偏导数与全微分论述与应用

多元函数的偏导数与全微分论述与应用一、多元函数的偏导数与全微分的定义多元函数是指具有多个自变量的函数。

对于一个具有n个自变量的函数f(x1,x2, ..., xn)，其中xi表示第i个自变量，其偏导数指的是在每个自变量上分别求导，而将其他自变量视为常数。

偏导数表示函数在某个特定自变量上的变化率。

以二元函数f(x, y)为例，分别对x和y求偏导数，可以得到偏导数表示为∂f/∂x和∂f/∂y。

这表示当y是常数时，函数f关于x的变化率；当x是常数时，函数f关于y的变化率。

全微分是对于多元函数在某一点的线性近似表示。

对于一个二元函数f(x, y)，全微分表示为df=f_x dx + f_y dy，其中f_x和f_y表示分别关于x和y的偏导数。

全微分可以用来描述函数在某一点处的微小变化量。

具体而言，对于自变量的微小变化dx和dy，函数f在该点产生的微小变化df可以通过全微分来表示。

二、多元函数偏导数的计算方法多元函数的偏导数的计算方法与一元函数的导数的计算方法类似，可以使用基本的微分法则进行计算。

对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，分别对每个自变量求偏导数，可以按照以下步骤进行计算：1. 将所有与求导无关的自变量视为常数。

2. 对于每个自变量，分别对其求偏导数。

对于每个自变量x_i，偏导数表示为∂f/∂x_i。

3. 求得的偏导数可以用来计算函数在不同自变量上的变化率。

三、多元函数偏导数与全微分的应用1. 最优化问题：多元函数的偏导数可以用于最优化问题的求解。

通过对各个自变量求偏导数，可以找到函数的最大值或最小值。

这在经济学、工程学和物理学等领域有广泛的应用。

2. 偏导数与曲面切平面：偏导数可以用来表示曲面在某一点处的斜率，从而可以求出曲面在该点处的切平面。

这对于三维几何和图形绘制具有重要意义。

3. 方向导数：偏导数可以用来计算函数在给定方向上的变化率。

通过对每个自变量求偏导数，然后将其与给定方向的单位矢量相乘，可以得到函数在该方向上的方向导数。

4考研数学大纲知识点解析(第四章多元函数的微分学-数一

满足．
．则
【解析】由题设
可知，当
时，有
且
，从而有
由二元函数全微分的定义，有
在点
处可微，且
．，
．，故
【全微分存在的必要条件和充分条件】【极限，连续，偏导数，可微分之间的关系】一元函数：
二元函数：
【例题】（02 年，数学一）考虑二元函数
的下面条性质：
①
在点
处连续． ②
在点
处的两个偏导数连续，
确．
选项（C），（D）取不存在，故排除（C），（D）．
，显然
在点
处可微，但
【综合题】设
在
点处（）.
（A）不连续．（B）偏导函数不存在．（C）不可微．（D）可微．
【解析】（1）
，
在
点连续.
（2）
同理
（3）
从而
不存在.
在
点不可微. 故选（C）．
【综合题】设
则在
（A）偏导不存在．（B）偏导函数连续．（C）可微．（D）不可微．
第四章多元函数的微分学【多元函数的概念】【二元函数的定义】
类似的可以定义三元函数【二元函数的几何意义】二元函数
. 一般表示空间直角坐标系下的一个空间曲面.
【二元函数极限的概念】
【注】二元函数极限存在，是指以所有路径趋于
时，对应的函数值趋于相同
的一个常数.如果沿着两条不同路径趋于
时，对应的函数值趋于不同的值，
设
有连续的一阶偏导数，又函数
及
分别由下列两式确定
：
求．
和
，
【解析】
由
两边对求导，得
即
．

06-3本科经济数学(多元函数的极限与连续偏导数全微分等2012-3-7完成92页

在有界闭区域D上的二元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
二元初等函数：由二元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数
一切二元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
fz ( x,
y, z)

lim
z0
f
( x,
y, z

z) z
f (x,
y, z) .
三元函数的一阶偏导数的等价定义：
fx
(x0 ,
y0 ,
z0
)

lim
x x0
f (x, y0 , z0 ) f (x0 , y0 , z0 ) , x x0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例4
求证 lim( x2 x0
y2
)sin
x
2
1
y2
0
y0
证
(x2

y2 )sin
x2
1
y2

0

x2

y2
sin
x2
1
y2
x2 y2
0, ,
当 0 ( x 0)2 ( y 0)2 时，
解
z 2x 3 y ; x
z y

3x 2y .

z x
x 1 y2
2132 8 ,
z y
x 1 y2

多元函数的偏导数与极值问题

dz x1 1 2ln 2 dx dy
y2
dz x1 1 2 ln 2 0.01 0.02 0.0039
y2 x0.01
y0.02 z 1.01 (1.98)1.01 2 0.0035
例2 求函数 z x2 sin 2 y 的全微分 dz
解因为 z 2x sin 2 y, z x2 cos 2 y 2
（2）当AC-B2 < 0 时，函数取不到极值。
（3）当AC-B2 = 0 时，函数可能取到也可能取不到极值。
例1 求函数 z x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值。
解：解方程组
z x z y
3x2 6x 3y2 6 y
90 0
得驻点：1,0, 1, 2, 3,0,
3, 2
,1,
5 4
z 处的切线与 x 轴正方向所成的倾角是多少？
解 z 2x x
z x
1 2
,1,
5 4
1
y
所求倾角 arctan1
4
x
高阶偏导数
由于二元函数的偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏导数，称之为二阶偏导数，同理有三阶、四阶……等高阶偏导数。
例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数
解设长方体的长宽高分别为x,y,z 则 xyz=K
S xy 2xz 2yz xy 2k 2k yx
z
x
y
xyz k
2k
解方程组： Sx y x2 0
Sy
x
2k y2
0
得：x y 3 2k
从而 z 1 3 2k 2
由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：S 33 4k2
设函数 z f x, y 在点 x0, y0 的某个邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又 x0, y0 是驻点，令