算法设计与分析(第2版)-王红梅-胡明-习题答案
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算法设计与分析(第 2 版)-王红梅-胡明-习题 答案
习题 1
1. 图论诞生于七桥问题。 出生于瑞士的伟大数学家欧拉 （Leonhard Euler， 1707—1783） 提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的： 北区 一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡 （现在 东区 叫加里宁格勒， 在波罗的海南岸） 城中全部的七 岛区 座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图 1.7 南区 是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。 请 图 1.7 七桥问题 将该问题的数据模型抽象出来， 并判断此问题是 否有解。 七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点 输出：相同的点 1， 一次步行 2， 经过七座桥，且每次只经历过一次 3， 回到起点 该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个 奇点的图形。 2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减 法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 1.r=m-n
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5. 求下列问题的平凡下界，并指出其下界是否紧密。 （1）求数组中的最大元素； （2）判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图； （3）确定数组中的元素是否都是惟一的； （4）生成一个具有 n 个元素集合的所有子集 (1) (2) (3) (4) Ω(n) 紧密？ Ω(n*n) Ω(logn+n)（先进行快排，然后进行比较查找） Ω(2^n)
2.循环直到 r=0 2.1 m=n 2.2 n=r 2.3 r=m-n 3 输出 m
3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代 码和 C++描述。 //采用分治法 //对数组先进行快速排序 //在依次比较相邻的差
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#include <iostream> using namespace std; int partions(int b[],int low,int high) { int prvotkey=b[low]; b[0]=b[low]; while (low<high) { while (low<high&&b[high]>=prvotkey) --high; b[low]=b[high]; while (low<high&&b[low]<=prvotkey) ++low; b[high]=b[low]; } b[low]=b[0]; return low; } void qsort(int l[],int low,int high) { int prvotloc; if(low<high) { prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序 由 low 到 prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序 由 prvotloc+1 到 high } } void quicksort(int l[],int n) { qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴 ，从第一个排到第 n 个 } int main() { int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39}; int value=0;//将最小差的值赋值给 value for (int b=1;b<11;b++) cout<<a[b]<<' ';
（1） 基本语句 2*i<n 执行了 n/2 次 基本语句 y = y + i * j 执行了 2/n 次 一共执行次数=n/2+n/2=O（n） （2） 基本语句 m+=1 执行了(n/2)*n=O(n*n) 4. 使用扩展递归技术求解下列递推关系式：
4 n 1 （1） T ( n ) 3 T ( n 1) n 1
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cout<<endl; quicksort(a,11); for(int i=0;i!=9;++i) { if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) ) value=a[i+1]-a[i]; else value=a[i+2]-a[i+1]; } cout<<value<<endl; return 0; } 4． 设数组 a[n]中的元素均不相等，设计算法找出 a[n]中一个既不是最大也不是最小的 元素，并说明最坏情况下的比较次数。要求分别给出伪代码和 C++描述。 #include<iostream> using namespace std; int main() { int a[]={1,2,3,6,4,9,0}; int mid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它 for(int i=0;i!=4;++i) { if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1]<a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout<<mid_value<<endl; break; } else if(a[i+1]<a[i]&&a[i+1]>a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout<<mid_value<<endl; break; } }//for
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并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后 必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用 1 分钟，乙过桥 要用 2 分钟，丙过桥要用 5 分钟，丁过桥要用 10 分钟，显然，两个人走路的速度等于其中 较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？ 由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成 甲每次分别带着乙丙丁过桥 例如： 第一趟：甲，乙过桥且甲回来 第二趟：甲，丙过桥且甲回来 第一趟：甲，丁过桥 一共用时 19 小时 9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动， 每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这 个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写 不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动？为什么？ 设最初两个数较大的为 a, 较小的为 b，两个数的最大公约数为 factor。 则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ..., factor*(a/factor)=a. 一共 a/factor 个。 如果 a/factor 是奇数，就选择先行动；否则就后行动。
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return 0; }
5. 编写程序，求 n 至少为多大时，n 个“1”组成的整数能被 2013 整除。 #include<iostream> using namespace std; int main() { double value=0; for(int n=1;n<=10000 ;++n) { value=value*10+1; if(value%2013==0) { cout<<"n 至少为:"<<n<<endl; break; } }//for return 0; } 6. 计算π值的问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求的π值 #include <iostream> using namespace std; int main () { double a,b; double arctan(double x);//声明 a = 16.0*arctan(1/5.0); b = 4.0*arctan(1/239); cout << "PI=" << a-b << endl; return 0； } double arctan(double x) { int i=0; double r=0,e,f,sqr;//定义四个变量初
#include<iostream> using namespace std; int main() { int value, k=1; cin>>value; for (int i = 2;i!=value;++i) { while (value % i == 0 ) { k+=i;//k 为该自然数所有因子之和 value = value/ i; } }//for if(k==value) cout<<"该自然数是完美数"<<endl; else cout<<"该自然数不是完美数"<<endl; return 0; } 8. 有 4 个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，
7．画出在三个数 a, b, c 中求中值问题的判定树。
是 是 a<b<c 是 b<c 否 a<c 否 C<a<b a<b 否 是 b<a<c a<c 否 b<c 否 C<b<a
是 b<c<a
a<c<b
8．国际象棋是很久以前由一个印度人 Shashi 发明的，当他把该发明献给国王时，国王 很高兴，就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。Shashi 要求以这种方式给他一些粮 食：棋盘的第 1 个方格内只放 1 粒麦粒，第 2 格 2 粒，第 3 格 4 粒，第 4 格 8 粒，……， 以此类推，直到 64 个方格全部放满。这个奖赏的最终结果会是什么样呢？
1 n 1 （2） T ( n ) 2T ( n 3) n n 1
(1) int T(int n) { if(n==1) return 4; else if(n>1) return 3*T(n-1); } (2) int T(int n) { if(n==1) return 1; else if(n>1) return 2*TFra Baidu bibliotekn/3)+n; }
习题 2
1．如果 T1(n)=O(f (n))，T2(n)=O(g(n))，解答下列问题： （1）证明加法定理：T1(n)＋T2(n)=max{O(f (n)), O(g(n))}； （2）证明乘法定理：T1(n)×T2(n)=O(f (n))×O(g(n))； （3）举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。
第 6 页（ 共 41int 页Q(int n) 2）
{ if (n == 1) return 1;
语句执行了多少次？算法的时间复杂性是多少？
（1）
完成的是 1-n 的平方和 基本语句：s+=i*i，执行了 n 次 时间复杂度 O（n） （2） （2）完成的是 n 的平方 基本语句：return Q(n-1) + 2 * n – 1，执行了 n 次 时间复杂度 O（n） 3. 分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。 （1）for (i = 1; i <= n; i++) if (2*i <= n) for (j = 2*i; j <= n; j++) y = y + i * j； （2）m = 0; for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= 2*i; j++) m=m+1;
,（1） （2） （3）比如在 for（f(n)） { for(g(n)) } 中应该用乘法定理 如果在“讲两个数组合并成一个数组时” ，应当用加法定理 2．考虑下面的算法，回答下列问题：算法完成什么功能？算法的基本语句是什么？基本 （1）int Stery(int n) { int S = 0; for (int i = 1; i <= n; i++)
第 4 页 共 41 页
sqr = x*x; e = x; while (e/i>1e-15)//定义精度范围 { f = e/i;//f 是每次 r 需要叠加的方程 r = (i%4==1)?r+f:r-f; e = e*sqr;//e 每次乘于 x 的平方 i+=2;//i 每次加 2 }//while return r; } 7. 圣经上说：神 6 天创造天地万有，第 7 日安歇。为什么是 6 天呢？任何一个自然数的 因数中都有 1 和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的 真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此 6 是完美数。神 6 天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数
习题 1
1. 图论诞生于七桥问题。 出生于瑞士的伟大数学家欧拉 （Leonhard Euler， 1707—1783） 提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的： 北区 一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡 （现在 东区 叫加里宁格勒， 在波罗的海南岸） 城中全部的七 岛区 座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图 1.7 南区 是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。 请 图 1.7 七桥问题 将该问题的数据模型抽象出来， 并判断此问题是 否有解。 七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点 输出：相同的点 1， 一次步行 2， 经过七座桥，且每次只经历过一次 3， 回到起点 该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个 奇点的图形。 2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减 法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 1.r=m-n
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5. 求下列问题的平凡下界，并指出其下界是否紧密。 （1）求数组中的最大元素； （2）判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图； （3）确定数组中的元素是否都是惟一的； （4）生成一个具有 n 个元素集合的所有子集 (1) (2) (3) (4) Ω(n) 紧密？ Ω(n*n) Ω(logn+n)（先进行快排，然后进行比较查找） Ω(2^n)
2.循环直到 r=0 2.1 m=n 2.2 n=r 2.3 r=m-n 3 输出 m
3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代 码和 C++描述。 //采用分治法 //对数组先进行快速排序 //在依次比较相邻的差
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#include <iostream> using namespace std; int partions(int b[],int low,int high) { int prvotkey=b[low]; b[0]=b[low]; while (low<high) { while (low<high&&b[high]>=prvotkey) --high; b[low]=b[high]; while (low<high&&b[low]<=prvotkey) ++low; b[high]=b[low]; } b[low]=b[0]; return low; } void qsort(int l[],int low,int high) { int prvotloc; if(low<high) { prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序 由 low 到 prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序 由 prvotloc+1 到 high } } void quicksort(int l[],int n) { qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴 ，从第一个排到第 n 个 } int main() { int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39}; int value=0;//将最小差的值赋值给 value for (int b=1;b<11;b++) cout<<a[b]<<' ';
（1） 基本语句 2*i<n 执行了 n/2 次 基本语句 y = y + i * j 执行了 2/n 次 一共执行次数=n/2+n/2=O（n） （2） 基本语句 m+=1 执行了(n/2)*n=O(n*n) 4. 使用扩展递归技术求解下列递推关系式：
4 n 1 （1） T ( n ) 3 T ( n 1) n 1
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cout<<endl; quicksort(a,11); for(int i=0;i!=9;++i) { if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) ) value=a[i+1]-a[i]; else value=a[i+2]-a[i+1]; } cout<<value<<endl; return 0; } 4． 设数组 a[n]中的元素均不相等，设计算法找出 a[n]中一个既不是最大也不是最小的 元素，并说明最坏情况下的比较次数。要求分别给出伪代码和 C++描述。 #include<iostream> using namespace std; int main() { int a[]={1,2,3,6,4,9,0}; int mid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它 for(int i=0;i!=4;++i) { if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1]<a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout<<mid_value<<endl; break; } else if(a[i+1]<a[i]&&a[i+1]>a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout<<mid_value<<endl; break; } }//for
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并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后 必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用 1 分钟，乙过桥 要用 2 分钟，丙过桥要用 5 分钟，丁过桥要用 10 分钟，显然，两个人走路的速度等于其中 较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？ 由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成 甲每次分别带着乙丙丁过桥 例如： 第一趟：甲，乙过桥且甲回来 第二趟：甲，丙过桥且甲回来 第一趟：甲，丁过桥 一共用时 19 小时 9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动， 每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这 个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写 不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动？为什么？ 设最初两个数较大的为 a, 较小的为 b，两个数的最大公约数为 factor。 则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ..., factor*(a/factor)=a. 一共 a/factor 个。 如果 a/factor 是奇数，就选择先行动；否则就后行动。
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return 0; }
5. 编写程序，求 n 至少为多大时，n 个“1”组成的整数能被 2013 整除。 #include<iostream> using namespace std; int main() { double value=0; for(int n=1;n<=10000 ;++n) { value=value*10+1; if(value%2013==0) { cout<<"n 至少为:"<<n<<endl; break; } }//for return 0; } 6. 计算π值的问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求的π值 #include <iostream> using namespace std; int main () { double a,b; double arctan(double x);//声明 a = 16.0*arctan(1/5.0); b = 4.0*arctan(1/239); cout << "PI=" << a-b << endl; return 0； } double arctan(double x) { int i=0; double r=0,e,f,sqr;//定义四个变量初
#include<iostream> using namespace std; int main() { int value, k=1; cin>>value; for (int i = 2;i!=value;++i) { while (value % i == 0 ) { k+=i;//k 为该自然数所有因子之和 value = value/ i; } }//for if(k==value) cout<<"该自然数是完美数"<<endl; else cout<<"该自然数不是完美数"<<endl; return 0; } 8. 有 4 个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，
7．画出在三个数 a, b, c 中求中值问题的判定树。
是 是 a<b<c 是 b<c 否 a<c 否 C<a<b a<b 否 是 b<a<c a<c 否 b<c 否 C<b<a
是 b<c<a
a<c<b
8．国际象棋是很久以前由一个印度人 Shashi 发明的，当他把该发明献给国王时，国王 很高兴，就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。Shashi 要求以这种方式给他一些粮 食：棋盘的第 1 个方格内只放 1 粒麦粒，第 2 格 2 粒，第 3 格 4 粒，第 4 格 8 粒，……， 以此类推，直到 64 个方格全部放满。这个奖赏的最终结果会是什么样呢？
1 n 1 （2） T ( n ) 2T ( n 3) n n 1
(1) int T(int n) { if(n==1) return 4; else if(n>1) return 3*T(n-1); } (2) int T(int n) { if(n==1) return 1; else if(n>1) return 2*TFra Baidu bibliotekn/3)+n; }
习题 2
1．如果 T1(n)=O(f (n))，T2(n)=O(g(n))，解答下列问题： （1）证明加法定理：T1(n)＋T2(n)=max{O(f (n)), O(g(n))}； （2）证明乘法定理：T1(n)×T2(n)=O(f (n))×O(g(n))； （3）举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。
第 6 页（ 共 41int 页Q(int n) 2）
{ if (n == 1) return 1;
语句执行了多少次？算法的时间复杂性是多少？
（1）
完成的是 1-n 的平方和 基本语句：s+=i*i，执行了 n 次 时间复杂度 O（n） （2） （2）完成的是 n 的平方 基本语句：return Q(n-1) + 2 * n – 1，执行了 n 次 时间复杂度 O（n） 3. 分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。 （1）for (i = 1; i <= n; i++) if (2*i <= n) for (j = 2*i; j <= n; j++) y = y + i * j； （2）m = 0; for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= 2*i; j++) m=m+1;
,（1） （2） （3）比如在 for（f(n)） { for(g(n)) } 中应该用乘法定理 如果在“讲两个数组合并成一个数组时” ，应当用加法定理 2．考虑下面的算法，回答下列问题：算法完成什么功能？算法的基本语句是什么？基本 （1）int Stery(int n) { int S = 0; for (int i = 1; i <= n; i++)
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sqr = x*x; e = x; while (e/i>1e-15)//定义精度范围 { f = e/i;//f 是每次 r 需要叠加的方程 r = (i%4==1)?r+f:r-f; e = e*sqr;//e 每次乘于 x 的平方 i+=2;//i 每次加 2 }//while return r; } 7. 圣经上说：神 6 天创造天地万有，第 7 日安歇。为什么是 6 天呢？任何一个自然数的 因数中都有 1 和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的 真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此 6 是完美数。神 6 天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数