轴对称最短路径问题

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名师堂学校优学小班讲义

轴对称——最短路径问题

现在的数学教学遵循《标准》的理念，以“生活? 数学”, “活动? 思考”为主线展开课程内容，注

重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用，其原型来自于“饮马

问题”、“造桥选址问题”，出题背景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。下面就对上述类型

做一个简单的归纳。

例1．如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若

点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？

分析：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接

A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和

A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．

A′B=1000米．

故最短距离是1000米．

例2．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：

最短距离EP+BP．

分析：此题中，点E、B的位置就相当于例1中的点A、B，动点P所在有直线作为对称轴相当于例1

中的小河。故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD=PB；故均有EP+BP=PE+PD

成立；所以原题可以转化为求PE+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位

置

例3．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线

OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．

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分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．

分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．

例４．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？

分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接

转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问

题解答．

这就是“造桥选址问题”

解：作AF⊥CD，且AF=河宽，

作BG⊥CE，且BG=河宽，

连接GF，与河岸相交于E′、D′．

作DD′、EE′即为桥．

证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，

则四边形AFD′D为平行四边形，

于是AD=FD′，

同理，BE=GE′，

由两点之间线段最短可知，GF最小；

即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短．

例５．（2008?内江）如图，当四边形PABN的周长最小时，a= 。。

分析：因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．再求a的值．

此题中的PN就相当于“造桥选址问题”中的桥，其思路与上题是一样的。通过构造平行四边形和轴对称将折线转之和最短转化为两点之间线段最短．

至于“抛物线”这一类型的问题，由于综合性较强，这里就不介绍了。但中纵观上述几题我们不难发现，这一类题型的解题思路是一样的：找到关于线的对称点实现“折”转“直”，再利用“两点之间线段最短”这一性质来解决。

攀登高峰——综合提升

1、（一定点两线型）如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P, 且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.画出周长最小的△PQR ，并求出最小周长。

２、（两定点两线型）已知：∠MON 和∠MON 内两点A ，B ．求作：点C 和点D ，使得点C 在OM 上，点D 在ON 上，且AC+CD+BD ＋AB 最短． 提示：用1题的解答可以帮助分析出2题的解答

谈谈收获——自我反思

想一想这节课你有什么收获?答：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 课堂检测

如图:在边长为2的正三角形ABC 中,E 、F 、G 分别为 AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点， 连接BP ，GP ，则△BPG 的周长的最小值是

如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

O

B

A

P

O

M A B

A

E G

C

B

P

F

巩固训练：

1.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1,4）和（3，0），点C是Y轴上一个动点，且A、

B、C三点不在同一条直线上，当三角形ABC的周长最小时，AC+BC=( )

2.如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的角平分线上，OP=10cm，点E、F是∠AOB两边OA，OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF距离是（）

2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）

3.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )