2010年高考数学文全国卷2精校版
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
全国II高考数学文科试卷带答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 1. 设全集{}*|<6U x x =∈N ,集合{}=1,3A ,{}3,5B =,则()U AB =ð ( ).A.{}1,4B.{}1,5C.{}2,4D.{}2,5 【测量目标】集合的基本运算、集合间的关系. 【考查方式】由集合算出并集，取其在全集中的补集. 【参考答案】C【试题解析】∵{}1,3A =,{}3,5B =，∴{1,3,5}AB =，∴(){2,4}U AB =ð， 故选C .2. 不等式32x x -+＜0的解集为 ( ). A.{}23x x -<< B.{}2x x <- C.{}2x x <-或{}3x > D.{}3x x > 【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】解不等式，直接算出其结果即可. 【参考答案】A 【试题解析】302x x -<+()()32<0x x ⇒-+ 23x ∴-<<，故选A.3. 已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= ( ).A.3-B.19-C.19【测量目标】三角函数间的互化.【考查方式】二倍角公式及诱导公式，求得结果. 【参考答案】B【试题解析】 ∵ 2sin 3α=∴21cos(π2)cos 2(12sin )9ααα-=-=--=-4. 函数()()1ln 1>1y x x =+-的反函数是 ( ).A. ()1e 1>0x y x +=-B. 1e1(>0)x y x -=+C. ()1e 1x y x +=-∈RD. ()1e 1x y x -=+∈R 【测量目标】反函数与对数函数间的互化. 【考查方式】将原函数化简，直接求得反函数. 【参考答案】D【试题解析】∵函数()()1ln 1>1y x x =+-，∴ 11ln(1)1,1e,e 1y x x y x y ---=--==+ 故选D.5. 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩……… ，则2z x y =+的最大值为 ( ).A.1B.2C.3D.4 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值. 【考查方式】由约束条件作出可行域，找出最优解. 【参考答案】C【试题解析】画出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =，故选C.6. 如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么127a a a ++⋅⋅⋅+= ( ). A.14 B. 21 C. 28 D. 35 【测量目标】等差数列的性质和前n 项和. 【考查方式】运用等差中项，简单的数列求和. 【参考答案】C 【试题解析】34512,a a a ++=44,a =()127174177282a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+=⨯⨯+==.故选C.7. 若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 ( ).A.1,1a b ==B.1,1a b =-=C.1,1a b ==-D. 1,1a b =-=- 【测量目标】函数导数的几何性质. 【考查方式】利用切线方程求解曲线方程. 【参考答案】A 【试题解析】∵2x y x aa='=+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =8. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ( ).D. 34【测量目标】三棱锥的概念、线面、面面位置关系. 【考查方式】找出线面角，求出正弦值，数形结合的思想. 【参考答案】D【试题解析】过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于交SE 于F ，连接BF ，∵正三角形ABC ，∴E 为BC 中点，（步骤1）∵BC AE ⊥，SA BC ⊥，∴BC ⊥面,SAE ∴BC AF ⊥，又AF SE ⊥，∴AF ⊥面SBC ，（步骤2） ∵ABF ∠为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3， ∴AE =3AS =，∴SE = 32AF =，∴ 3sin 4ABF ∠=.（步骤3）9. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ( ).A. 12种B.18种C. 36种D.54种 【测量目标】排列组合的典型应用.【考查方式】特殊元素先考虑，算出总的种类. 【参考答案】B【试题解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有24C 6=，余下放入最后一个信封，∴共有243C 18=.10. ABC △中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB =a , CA =b , a =1，b =2,则CD = ( ). A.13a +23b B.23a +13b C.35a +45b D.45a +35b 【测量目标】向量的线性运算. 【考查方式】向量之间的相加减. 【参考答案】B【试题解析】∵CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，（步骤1）∵ AB CB CA =-=-a b ，∴ 222333AD AB ==-a b ，（步骤2） ∴ 22213333CD CA AD =+=+-=+b a b a b .（步骤3）11. 与正方体ABCD -1111A B C D 的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点 ( ). （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【测量目标】空间立体几何的基本性质. 【考查方式】作图，利用观察法求解. 【参考答案】D【试题解析】∵到三条互相垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，故选D.12. 已知椭圆C ：()22221>>0x y a b a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为()>0k k 的直线于C 相交于A B 、两点，若3AF FB =，则k = ( ). A.1D.2 【测量目标】直线与椭圆的位置关系.【考查方式】由向量关系，间接进行求解参数k . 【参考答案】B 【试题解析】设1122(,),(,)A x yB x y ，∵ 3AF FB =，∴ 123y y =-，（步骤1）∵2e =，设2,a t c ==，b t =，∴ 222440x y t +-=，（步骤2）设直线AB方程为x sy =+.代入消去x ，∴222(4)0s y t ++-=， ∴2121224t y y y y s +==-+，（步骤3）22222234t y y s -=-=-+，解得 212s =，k = B.（步骤4）（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知α是第二象限的角,1tan 2=-α，则cos α=__________. 【测量目标】同角三角函数间的相互转化.【考查方式】由三角函数的等式关系进行转化，直接求解余弦值.【参考答案】 【试题解析】1tan 2=-α， sin 1cos 2⇒=-αα，即1sin cos 2=-αα，（步骤1） 又22sin cos 1+=αα，cos ∴=α，（步骤2） 又α为第二象限角，cos ∴=α（步骤3） 14. 91x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是_________.【测量目标】二项式定理.【考查方式】二项式展开式中的系数求解. 【参考答案】84.【试题解析】∵ 9191C ()r rr r T xx-+=， ∴ 923,3r r -==， ∴ 39C 84=. 15. 已知抛物线()2:2>0C y px p =的准线1，过()1,0M的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p =_________【测量目标】抛物线的标准方程和简单的几何性质. 【考查方式】直线方程与抛物线方程联立求解p . 【参考答案】2【试题解析】设直线AB：y =（步骤1）代入22y px =得23(62)30x p x +--+=， 又∵ AM MB =，∴122x p =+，（步骤2）解得24120p p +-=，解得2,6p p ==-或（舍去）,故2p =.（步骤3）16. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = .【测量目标】球、直线与圆的概念及基础知识. 【考查方式】解三角形求两圆半径,进而计算圆心距. 【参考答案】3 【试题解析】∵3ON =，球半径为4，∴小圆N，(步骤1) ∵小圆N 中弦长4AB =，作NE 垂直于AB ，∴NE =，（步骤2）同理可得ME =ONE 中，∵NE =，3ON =，∴ π6EON ∠=，（步骤4） ∴ π3MON ∠=，∴ 3.MN =（步骤5）三、解答题；本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【测量目标】同角三角函数的基本关系、正弦定理.【考查方式】利用同角三角函数关系、差角公式及正弦定理求解边长. 【试题解析】ADC B BAD ∠=∠+∠ >A D C B∴∠∠,（步骤1） 又3cos >05ADC ∠=cos >0B ∴，（步骤2） 12cos 13B =,4sin 5ADC ∠=，()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠3365=.（步骤3） sin sin B BAD AD BD ∠=533sin 132533sin 65BD BAD BAD⨯⋅⇒===∠. AD ∴的长为25.18.（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； (Ⅱ）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【测量目标】等比数列通项公式、前n 项和、方程组解法. 【考查方式】由题设等式关系求解通项公式和前n 项和.【试题解析】（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有111123411123411111211164a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩，（步骤1） 化简得21261264a q a q ⎧=⎨=⎩（步骤2）又10a >，故12,1q a == 所以12n n a -=.（步骤3）(Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此 ()11111441244n n n T n --⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭，（步骤4） ()111411424421141314nn n n n n ---=++=-++--.（步骤5）19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，111AA A B =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =,（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°, 求二面角111A AC B --的大小.【测量目标】空间立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识.【考查方式】线面垂直定理的应用，找出异面直线所成角,由边长解三角形. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F , 平面11A ABB 为正方形11A B AB ∴⊥,且1AF FB =，（步骤1）又13AE EB = , 1F E E B ∴=，（步骤2）又D 为1BB 的中点 , 1//,DE BF DE AB ∴⊥.（步骤3）作,CG AB G ⊥为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点， 又由底面ABC ⊥平面11A ABB ,得11CG AA B B ⊥平面,（步骤4） 连接DG ,则DG ∥1AB ,故DE DG ⊥.由三垂线定理得，DE CD ⊥,DE ∴为异面直线1AB 与CD 的公垂线. （步骤5）（Ⅱ）DG ∥1AB ,故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，=45CDG ∠，（步骤6）设2AB =,则1AB DG CG AC == 作111,B H A C H ⊥为垂足，（步骤7） 底面111A B C ⊥平面11AAC C故111,B H AAC C ⊥平面又作1,HK AC K ⊥为垂足，连接1B K ,（步骤8） 由三垂线定理得，11,B K AC ⊥1B KH ∴∠为二面角111A AC B --的平面角.（步骤9） 1HK AC ⊥,平面11A ABB 为正方形,111π2C KH AAC ∴∠=∠=, 又111AC A HC K ∠=∠,111C KH C AA ∴∠=∠,1C KH ∴△∽11C A A △.111B H ∴==1HC ==111221AA C HKH AC ⋅===, 11tan B H B KH KH ∴∠===∴二面角111A ACB --的平面角的大小为（步骤10）20.（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234T T T T 、、、，电源能通过123,T T T 、、的概率都是P ，电源能通过4T 的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立.已知123T T T 、、中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率.【测量目标】互斥事件、对立事件及独立事件的概率.【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.【试题解析】（Ⅰ）根据题意得，记电流能通过i T 为事件i A ，i=1,2,3,4.A 表示事件：123,T T T 、、中至少有一个能通过电流.易得123A A A 、、相互独立，且123A A A A =⋅⋅,（步骤1）()()31109990001P A P ..,=-=-=计算得，0.9.P =（步骤2）（Ⅱ）根据题意，记B 表示事件:电流能在M 与N 之间通过，有 ()()()44134123111B A A A A A A A A =+-+--，则()()()()44134123(111)P B P A A A A A A A A =+-+--=0.90.10.90.90.10.10.90.90.09891+⨯⨯+⨯⨯⨯=.(步骤3)21.（本小题满分12分）已知函数32()33 1.f x x ax x =-++（Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 在区间()2,3内至少有一个极值点，求a 的取值范围.【测量目标】利用导数研究函数的单调区间、极值.【考查方式】利用函数导数、单调性，求解的a 取值范围.【试题解析】（Ⅰ）当2a =时，32()631f x x x x =-++，(()322f x x x '=--，（步骤1）当(,2x ∈-∞-时，()0,()f x f x '>在(,2-∞-单调递增；当(2x ∈+时，()0,()f x f x '<在(2单调递减；当()2x ∈+∞时，()0,()f x f x '>在()2+∞单调递增；综上，()f x 的单调递减区间是(2+；()f x 的单调递增区间是((),223,-∞++∞. （Ⅱ）()22()31f x x a a ⎡⎤'=-+-⎣⎦，当210a -…时，()0,()f x f x '…为增函数，故()f x 无极值点；当210a -<时，()0f x '=有两个根1x a =2x a =由题意知，23a < ①，或23a << ②， ①式无解，②式的解为5543a <<，因此a 的取值范围是55,43⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.（本小题满分12分） 已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于B D 、两点，且BD 的中点为()1,3M .（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF ⋅=证明：过A B D 、、三点的圆与x 轴相切.【测量目标】双曲线的简单几何性质、圆锥曲线的中的定点问题.【考查方式】直线与双曲线消元后，根据中点坐标公式，解离心率；由离心率条件及点坐标证明等式，得出相关结论.【试题解析】（Ⅰ）由题意知，l 的方程为：2y x =+，代入C 的方程，并化简，得()2222222440b ax a x a a b ----=，（步骤1） 设11(,)B x y 、()22,D x y ， 则212224a x x b a +=-，22212224a a b x x b a +=-- ①（步骤2） 由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a ⨯=- 即223b a =， ②（步骤3）故2c a = 所以C 的离心率2c e a==.（步骤4）（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=， 2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==-<， 故不妨设12,x a x a -剠，（步骤5）12BF a x ===-，22FD x a ===-，()()1222BF FD a x x a ⨯=--()2121242x x a x x a =-++- 2548a a =++.（步骤6）又17BF FD ⋅=，故254817a a ++=，解得1a =，或95a =-（舍去），故126BD x =-==.(步骤7)连结MA ，则由(1,0),(1,3)A M 知3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.（步骤8）。
高考数学文科试题解析版(全国卷II)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x > 【解析】A（3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A ）53-（B ）19-（C ）19（D ）53【解析】B ： 21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e -+1(x>0)(C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ 则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。
当1,1x y ==时max 3z =(6)如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a =（A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35【解析】C ：本题考查了数列的基础知识。
（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-【解析】A ：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A ）4(B) 4(C)(D) 34 【解析】D ：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
【推荐】2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(全国大纲版ⅱ)
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3} 3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．357．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2 8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是．（用数字作答）15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．2010年全国统一高考数学试卷（文科）（全国大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）＝{2，4}，故选：C．【点评】本题考查了集合的基本运算，属于基础知识，注意细心运算．2．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）不等式＜0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．{x|x＞3}【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集．【解答】解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以无解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集为﹣2＜x＜3故选：A．【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题．3．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）＝﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sin a＝，∴cos（π﹣2a）＝﹣cos2a＝﹣（1﹣2sin2a）＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式．考查了学生对三角函数基础公式的记忆．4．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）函数的反函数是（）A．y＝e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y＝e2x﹣1+1（x＞0）C．y＝e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y＝e2x﹣1+1（x∈R）【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x＝e2y﹣1+1，∴f﹣1（x）＝e2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y＝f（x）反求出x＝Φ（y）；（2）交换x＝Φ（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．5．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z＝2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y＝x与3x+2y＝5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x＝1，y＝1时z max＝3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5＝12，那么a1+a2+…+a7＝（）A．14B．21C．28D．35【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1+a2+…+a7＝＝7a4＝28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．7．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】由y＝x2+ax+b，知y′＝2x+a，再由曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，求出a和b．【解答】解：∵y＝x2+ax+b，∴y′＝2x+a，＝2+a，∵y′|x＝1∴曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b＝（2+a）（x﹣1），∵曲线y＝x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，∴a＝﹣1，b＝2．故选：B．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE 于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．9．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有＝3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有＝6种放法，∴共有3×6×1＝18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．10．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD11．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为＝（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF＝；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知椭圆T：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若＝3，则k＝（）A．1B．C．D．2【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b＝t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1＝﹣3y2，∵，设，b＝t，∴x2+4y2﹣4t2＝0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝﹣，则cosα＝．【分析】根据，以及sin2α+cos2α＝1可求出答案．【解答】解：∵＝，∴2sinα＝﹣cosα又∵sin2α+cos2α＝1，α是第二象限的角∴故答案为：【点评】本题考查了同角三角函数的基础知识．14．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）（x+）9展开式中x3的系数是84．（用数字作答）【分析】本题考查二项式定理的展开式，解题时需要先写出二项式定理的通项T r+1，因为题目要求展开式中x3的系数，所以只要使x的指数等于3就可以，用通项可以解决二项式定理的一大部分题目．【解答】解：写出（x+）9通项，∵要求展开式中x3的系数∴令9﹣2r＝3得r＝3，∴C93＝84故答案为：84．【点评】本题是一个二项展开式的特定项的求法．解本题时容易公式记不清楚导致计算错误，所以牢记公式．它是经常出现的一个客观题．15．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝2．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）＝2，即x B＝2+，得p2+4P﹣12＝0，解得p＝2，p＝﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝3．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON＝3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB＝4，作NE垂直于AB，∴NE＝，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE＝，ON＝3，∴，∴，∴MN＝3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM＝ON＝3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB＝2；所以NC＝，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC＝∴MN＝2EN＝2•CN•＝2××＝3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2010•全国大纲版Ⅱ）△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sin B＝，cos∠ADC＝，求AD．【分析】先由cos∠ADC＝确定角ADC的范围，因为∠BAD＝∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sin B＝，可得cos B＝，又由cos∠ADC＝，可得sin∠ADC＝．从而sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣B）＝sin∠ADC cos B﹣cos∠ADC sin B＝＝．由正弦定理得，所以AD＝＝．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2＝2（），a3+a4+a5＝64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n＝2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n＝（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质19．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD 垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°设AB＝2，则AB1＝，DG＝，CG＝，AC＝．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK ⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H＝，C1H＝，AC1＝，HK＝tan∠B1KH＝，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i＝1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）＝（1﹣p）3＝1﹣0.999＝0.001，计算可得，p＝0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B＝A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）＝P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）＝0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3x+1（1）设a＝2，求f（x）的单调增区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．【分析】（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．【解答】解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）＝3x2﹣6ax+3，当a＝2时，f′（x）＝3x2﹣12x+3＝3（x2﹣4x+1），令f′（x）＞0，可得x2﹣4x+1＞0解得：或∴f（x）的单调增区间是；（2）∵f′（x）＝3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x2﹣6ax+3＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．∴由3x2﹣6ax+3＝0可得a＝，令g（x）＝，求导函数可得g′（x）＝∴g（x）在（2，3）上单调递增，∴＜＜，∴＜a＜，此时满足△＞0，故a的取值范围是＜a＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）＝0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．22．（12分）（2010•全国大纲版Ⅱ）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|＝17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM＝BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y＝x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2＝3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2＝3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|＝（a﹣2x1）（2x2﹣a）＝﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2＝5a2+4a+8．又|BF|•|FD|＝17，故5a2+4a+8＝17．解得a＝1，或（舍去），故＝6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．。
数学文科(全国II卷)答案解析2010
2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(全国卷Ⅱ)一、解答题 ( 本大题共 1 题, 共计 12 分)1、(12分) 解：(1)由题设知，l的方程为y＝x＋2.代入C的方程，并化简，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0，设B(x1，y1)、D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，①由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1，即b2＝3a2，②故c＝＝2a，所以C的离心率e＝＝2.(2)由①②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－＜0，故不妨设x1≤－a，x2≥a.|BF|＝＝＝a－2x1，|FD|＝＝＝2x2－a.|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，解得a＝1或a＝－ (舍去)．故|BD|＝|x1－x2|＝·＝6.连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．二、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、(5分) C ∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴(A∪B)＝{2,4}．2、(5分) A 原不等式等价于(x－3)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜3.3、(5分) B cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－(1－2×)＝－.4、(5分) D 由y＝1＋ln(x－1)得ln(x－1)＝y－1，∴x－1＝e y－1.∴x＝e y－1＋1.∴y＝e x－1＋1.又∵y＝1＋ln(x－1)(x＞1)的值域为R，∴y＝1＋ln(x－1)(x＞1)的反函数是y＝e x－1＋1(x∈R)．5、(5分) C 约束条件所对应的可行域如图．由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.由图可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z最大．由，得，则A(1,1)．∴z max＝2×1＋1＝3.6、(5分) C ∵{a n}为等差数列，a3＋a4＋a5＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝＝7a4＝28.7、(5分) A ∵y′＝2x＋a，∴k＝y′|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线：0－b＋1＝0，∴b＝1，∴a＝1，b＝1.8、(5分) D 法一：(几何法)如图，取BC中点D，连结AD、SD.由SA⊥面ABC，得SA⊥BC.D为BC中点，得AD⊥BC.∴BC⊥面SAD.过A作AE⊥SD，交SD于E.又BC⊥AE，AE∩SE＝E，∴AE⊥面SBC.∴∠ABE为AB与平面SBC所成的角．在△SAD中，SA＝3，AD＝，SD＝＝2，SA·AD＝SD·AE，解得AE＝.∴sin∠ABE＝＝＝.法二：(向量法)以A为原点，分别以AB、AS所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，，0)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)．则，得n＝(3，，2)，又＝(2,0,0)，∴当α为AB与平面SBC所成的角时，sinα＝|cos〈，n〉|＝＝＝9、(5分) B 将标号为1、2的卡片放入一个信封，有＝3(种)，将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中，有＝6(种)，共有·＝3×6＝18(种)．10、(5分) B 法一：(直接法)∵CD平分∠ACB，∴＝＝∴＝2＝＝(－)＝ (a－b)．∴＝＋＝b＋ (a－b)＝a＋b.法二：(排除法)由角平分线的性质知λ＝a＋b＝a＋b.故＝a＋b.系数之比为2∶1，只有B项符合．11、(5分) D 经验证线段B1D上的点B，D，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点．12、(5分) B 如图，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，过B作BM⊥AA1于M.由椭圆的第二定义得：＝e，＝e，∴|BB1|＝，|AA1|＝.又∵＝3，∴＝3，∴|AA1|＝，∴|AM|＝|AA1|－|MA1|＝|AA1|－|BB1|＝，而|AB|＝|AF|＋|FB|＝4|FB|，在Rt△BAM中，cos∠BAM＝＝＝＝，∴sin∠BAM＝，∴k＝tan∠BAM＝.三、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 20 分)1、(5分) －解析：由＝1＋tan2α得＝1＋＝.∴cos2α＝.∵α是第二象限的角，∴cosα＜0.∴cosα＝－.2、(5分) 84解析：(x＋)9的展开式的通项为T r＋1＝x9－r()r＝x9－2r，当r＝3时，T3＋1＝x9－6＝x3＝84x3，∴x3的系数为84.3、(5分) 2解析：l：x＝－，过M(1,0)且斜率为的直线为y＝ (x－1)，联立得解得∴A(－，－ (＋1))．又∵＝，∴M点为AB的中点．∴B点坐标为(＋2， (＋1))．将B(＋2， (＋1))代入y2＝2px(p＞0)，得3(＋1)2＝2p(＋2)，解得p＝2或p＝－6(舍)．4、(5分) 3解析：∵|OM|＝|ON|＝3，∴圆M与圆N的半径相等，且为＝. 取AB中点C，连结MC、NC，则MC⊥AB，NC⊥AB，|MC|＝|NC|＝＝，易知OM、CN共面且OM⊥MC，ON⊥NC，|OC|＝＝2，sin∠OCM＝＝，∴|MN|＝2|MC|·sin∠OCM＝2×＝3. 四、解答题 ( 本大题共 5 题, 共计 58 分)1、(10分) 解：由cos∠ADC＝＞0知B＜，由已知得cos B＝，sin∠ADC＝，从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B＝×－×＝.由正弦定理得＝，AD＝＝＝25.2、(12分) 解：(1)设公比为q，则a n＝a1q n－1.由已知有化简得又a1＞0，故q＝2，a1＝1.所以a n＝2n－1.(2)由(1)知b n＝(a n＋)2＝＋＋2＝4n－1＋＋2.因此T n＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋＋…＋)＋2n＝＋＋2n＝ (4n－41－n)＋2n＋1.3、(12分) 法一：(1)证明：连结A1B，记A1B与AB1的交点为F，因为面AA1B1B为正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B，连结DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．(2)因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG＝45°，设AB＝2，则AB1＝2，DG＝，CG＝，AC＝，作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连结B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1AC1B1的平面角．B1H＝＝，HC1＝＝，AC1＝＝，HK＝＝，tan∠B1KH＝＝.所以二面角A1AC1B1的大小为arctan.解法二：(1)证明：以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设AB＝2，则A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，，0)，又设C(1,0，c)，则＝(，，0)，＝(2，－2,0)，＝(1，－1，c)．于是＝0，＝0，故DE⊥B1A，DE⊥DC，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．(2)因为〈，〉等于异面直线AB1与CD的夹角，故＝cos45°，即2××＝4，解得c＝，故＝(－1,0，)．又＝＝(0,2,0)．所以＝＋＝(－1,2，)．设平面AA1C1的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，即－x＋2y＋z＝0且2y＝0.令x＝，则z＝1，y＝0，故m＝(，0,1)，设平面AB1C1的法向量为n＝(p，q，r)，则n·＝0，n·＝0，即－p＋2q＋r＝0,2p－2q＝0，令p＝，则q＝，r＝－1，故n＝(，，－1)．所以cos〈m，n〉＝＝.由于〈m，n〉等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1-AC1-B1的大小为arccos.4、(12分) 解：记A i表示事件：电流能通过T i，i＝1,2,3,4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流．B表示事件：电流能在M与N之间通过．(1) ＝··，A1，A2，A3相互独立，P()＝P(··)＝P()P()P()＝(1－p)3.又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.(2)B＝A4＋·A1·A3＋··A2·A3，P(B)＝P(A4＋·A1·A3＋··A2·A3)＝P(A4)＋P(·A1·A3)＋P(··A2·A3)＝P(A4)＋P()P(A1)P(A3)＋P()P()P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.5、(12分) 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3(x－2＋)(x－2－)．当x∈(－∞，2－)时f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－)上单调增加；当x∈(2－，2＋)时f′(x)＜0，f(x)在(2－，2＋)上单调减少；当x∈(2＋，＋∞)时f′(x)＞0，f(x)在(2＋，＋∞)上单调增加．综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－，2＋)．(2)f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－或x2＝a＋.由题意知：2＜a－＜3，①或2＜a＋＜3. ②①式无解，②式的解为＜a＜.因此a的取值范围是(，)．。
2010年高考大纲全国卷 II文科数学试题及答案 (云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)
2010年高考大纲全国卷 II 理科数学试题及答案文科数学(必修+选修)(云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()AB =ð（ ）（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.∵ A={1,3}。
B={3,5}，∴ {1,3,5}AB =，∴(){2,4}UC A B =故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x >【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A）3-B ）19-（C ）19（D）3【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 （A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴ 11ln(1)1,1,1y x x y x ey e ---=--==+另法（一点定乾坤――反函数选择题最快捷的方法）：原函数过点(11e -+,0)，反函数必过点(0,11e -+),符合条件的只有选项D.(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。
2010年高考文科数学试题答案(全国卷2)
第一套1.程序填空程序通过定义学生结构体数组，存储了若干个学生的学号、姓名和三门课的成绩。
函数fun 的功能是将存放学生数据的结构体数组，按照姓名的字典序（从小到大排序）。
请在程序的下划线处填入正确的内容并把下划线删除，使程序得出正确的结果。
第一处struct student t;第二处for(i=0;i<n-1;i++)第三处if(strcmp(a[i].name,a[j].name)>0 )2程序修改给定程序MODI1.C中函数fun 的功能是：在p所指字符串中找出ASCII码值最大的字符，将其放在第一个位置上；并将该字符前的原字符向上顺序移动。
/**found**/q=p+i;/**found**/while(q>p)3程序设计学生的记录由学号和成绩组成，N名学生的数据已在主函数中放入结构体数组s中，请编写了函数fun，它的功能是：把指定分数范围内的学生数据放在b所指的数组中，分数范围内的学生人数由函数值返回。
int fun(STREC *a,STREC *b,int l,int h){int i,j=0;for(i=0;i<N;i++)if((a[i].s>=1&&a[i].s<=h)b[j++]=a[i];return j;}第二套1.程序填空给定程序中已建立一个带有头结点的单向链表，链表中的各结点按数据域递增有序连接。
函数fun的功能是：删除链表中数据域值相同的结点，使之只保留一个。
第一处free(q);第二处q=p->next;第三处q=q->next;2. 程序修改给定程序MODI1.C中函数fun的功能是：用选择法对数组中的n各元素按从小到大的顺序进行排序。
/**found**/p=j;/**found**/p=i;3. 程序设计请编写一个fun函数，它的功能是：求出1到m之间（含m）能被7或11整除的所有整数放在数组a中，通过n返回这些数的个数。
2010年高考数学文科试题解析版(全国卷II)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在，每小题给出的四个选项中， 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么P （A-B ）=P(A)-P(B)一、选择题二、设全集U={x ∈N + |x<6}.集合A={1,3}.B={3,5},则C u (A ∪B)=（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。
B={3,5}，∴ {1,3,5}A B = ，∴(){2,4}U C A B = 故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵ 302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A（3）已知2sin 3α=，则co s(2)x α-=（A ）3-B ）19-（C ）19（D 3【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3， ∴21co s(2)co s 2(12sin )9πααα-=-=--=- （4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e-+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R) 【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴ 11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。
2010年高考试题与答案(全国卷2数学文)
r
1
rr
MN
23
21(本小题满分12分)
r
4
已知函数
32
f(x)x3ax3x1.
(I)设a2,求f(x)的单调区间；
(II)设f(x)在区间(2,3)上有一个极值点,求a的取值范围.
15.(本小题满分12分)
已知斜率为1的直线l与双曲线
中点为M(1,3).
(I)求C的离心率；
22
xy
C:1(a0,b0)
AB22，DG=2，CG=2,AC=3.
1
作
B HAC,H为垂足，因为底面
111
AB C面AACC,故
11111
B H面AAC C，
111
又作
HKAC，K为垂足，连结B1K,由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH
1
为二面角
AACB的平面角
111
BH
1
2
1
2
ABACAB
111111
222
AC
11
3
n
1
b(a)
nn
a
n
2
,求数列{
b}的前n项和
n
T.
n
19(本小题满分12分)如图，直棱柱
ABCABC中，AC=BC，A1AAB，D为BB1
111
的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1.
(I)证明：DE为异面直线
AB与CD的公垂线；
1
C
C
1
(II)设异面直线
AB与CD的夹角为45,求二面角
1
AACB的大小.
22
HCBCBH
1111
3
3
全国Ⅱ卷,高考文科数学试卷
2010年普通高等学校招生全国统一考试·文科数学(全国Ⅱ卷)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.(2010全国卷Ⅱ,文1)设全集U ={x ∈N *|x <6},集合A ={1,3},B ={3,5},则U (A ∪B )等于()A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}答案：C2.(2010全国卷Ⅱ,文2)不等式23+−x x <0的解集为()A.{x |－2<x <3}B.{x |x <－2}C.{x |x <－2或x >3}D.{x |x >3}答案：A3.(2010全国卷Ⅱ,文3)已知sin α=32,则cos(π－2α)等于()A.－35 B.－91 C.91 D.35答案：B4.(2010全国卷Ⅱ,文4)函数y =1+ln(x －1)(x >1)的反函数是()A.y =e x +1－1(x >0) B.y =e x －1+1(x >0)C.y =e x +1－1(x ∈R ) D.y =e x －1+1(x ∈R )答案：D5.(2010全国卷Ⅱ,文5)若变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥−≥,523,,1y x x y x 则z =2x +y 的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案：C6.(2010全国卷Ⅱ,文6)如果等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7等于()A.14 B.21 C.28 D.35答案：C7.(2010全国卷Ⅱ,文7)若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x －y +1=0,则()A.a =1,b =1 B.a =－1,b =1C.a =1,b =－1 D.a =－1,b =－1答案：A8.(2010全国卷Ⅱ,文8)已知三棱锥S —ABC 中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA 垂直于底面ABC ,SA =3,那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为()A.43B.45 C.47 D.43答案：D9.(2010全国卷Ⅱ,文9)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有()A.12种B.18种C.36种D.54种答案：B10.(2010全国卷Ⅱ,文10)△ABC 中,点D 在边AB 上,CD 平分∠ACB ,若CB =a ,CA =b ,|a |=1,|b |=2,则CD 等于()A.31a +32b B.32a +31b C.53a +54bD.54a +53b答案：B11.(2010全国卷Ⅱ,文11)与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点()A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个答案：D12.(2010全国卷Ⅱ,文12)已知椭圆C :22a x +22b y =1(a >b >0)的离心率为23,过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点,若=3FB ，则k 等于()A.1B.2C.3D.2答案：B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(2010全国卷Ⅱ,文13)已知α是第二象限的角,tan α=21,则cos α=________________.答案：－55214.(2010全国卷Ⅱ,文14)(x +x1)9的展开式中,x 3的系数是________________.答案：8415.(2010全国卷Ⅱ,文15)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线l ,过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于A ,与C 的一个交点为B ,若AM =,则p =________________.答案：216.(2010全国卷Ⅱ,文16)已知球O 的半径为4,圆M 与圆N 为该球的两个小圆,AB 为圆M 与圆N 的公共弦,AB =4,若OM =ON =3,则两圆圆心的距离MN =________________.答案：3三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2010全国卷Ⅱ,文17)△ABC 中,D 为边BC 上的一点,BD =33,sin B =135,cos ∠ADC =53,求AD .解：由cos ∠ADC =53>0知B <2π, 由已知得cos B =1312,sin ∠ADC =54,从而sin ∠BAD =sin(∠ADC －∠B )=sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B=54×1312－53×135 =6533. 由正弦定理得B AD sin =BADBD∠sin , 所以AD =BADBBD ∠⋅sin sin =653313533×=25.18.(2010全国卷Ⅱ,文18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=2(11a +21a ),a 3+a 4+a 5=64(31a +41a +51a ) .(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +na 1)2,求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设公比为q ,则a n =a 1q n －1.由已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++=+111(64),11(24131214131211111q a q a q a q a q a q a q a a q a a 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==.64,262121q a a 又a 1>0,故q =2,a 1=1.所以a n =2n －1. (2)由(1)知b n =(a n +na 1)2=a n 2+21na +2 =4n －1+141−n +2.因此T n =(1+4+…+4n －1)+(1+41+…+141−n )+2n =1414−−n+411411−−+2n =31(4n －41－n )+2n +1.19.(2010全国卷Ⅱ,文19)如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC =BC ,AA 1=AB ,D 为BB 1的中点,E 为AB 1上的一点,AE =3EB 1.1(1)证明DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线;(2)设异面直线AB 1与CD 的夹角为45°,求二面角A 1－AC 1－B 1的大小.解法一:(1)证明:连结A 1B ,记A 1B 与AB 1的交点为F ,因为面AA 1B 1B 为正方形,故A 1B ⊥AB 1,且AF =FB 1.又AE =3EB 1,所以FE =EB 1.又D 为BB 1的中点,故DE ∥BF ,DE ⊥AB 1.1作CG ⊥AB ,G 为垂足,由AC =BC 知,G 为AB 中点. 又由底面ABC ⊥面AA 1B 1B ,得CG ⊥面AA 1B 1B .连结DG ,则DG ∥AB 1,故DE ⊥DG .由三垂线定理,得DE ⊥CD , 所以DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线.(2)因为DG ∥AB 1,故∠CDG 为异面直线AB 1与CD 的夹角,∠CDG =45°,设AB =2,则AB 1=22,DG =2,CG =2,AC =3,作B 1H ⊥A 1C 1,H 为垂足,因为底面A 1B 1C 1⊥面AA 1C 1C , 故B 1H ⊥面AA 1C 1C .又作HK ⊥AC 1,K 为垂足,连结B 1K ,由三垂线定理,得B 1K ⊥AC 1,因此∠B 1KH 为二面角A 1－AC 1－B 1的平面角 .B 1H =1121121111)21(C A B A C A B A −⋅=322,HC 1=21211H B C B −=33, AC 1=22)3(2+=7, HK =111AC HC AA ⋅=7332,tan ∠B 1KH =HKHB 1=14. 所以二面角A 1－AC 1－B 1的大小为arctan 14.解法二：(1)证明:以B 为坐标原点,射线BA 为x 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系B —xyz ,设AB =2,则A (2,0,0),B 1(0,2,0),D (0,1,0),E (21,23,0). 又设C (1,0,c ),则DE =(21,21,0),A B 1=(2,－2,0),DC =(1,－1,c ). 于是DE ·A B 1=0,DE ·DC =0, 故DE ⊥B 1A ,DE ⊥DC .所以DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线.(2)因为〈B 1,DC 〉等于异面直线AB 1与CD 的夹角, 故B 1·=|B 1|·||cos45°, 即22×22+c ×22=4, 解得c =2,故AC =(－1,0,2). 又1AA =1BB =(0,2,0), 所以1AC =AC +1AA =(－1,2,2).设平面AA 1C 1的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·1AC =0,m ·1AA =0, 即－x +2y +2z =0且2y =0.令x =2,则z =1,y =0,故m =(2,0,1). 设平面AB 1C 1的法向量为n =(p ,q ,r ),则n ·1=0,n ·A B 1=0,即－p +2q +2r =0,2p －2q =0, 令p =2,则q =2,r =－1, 故n =(,2,－1). 所以cos 〈m ,n 〉||||n m n m ⋅=151.由于〈m ,n 〉等于二面角A 1－AC 1－B 1的平面角, 所以二面角A 1－AC 1－B 1的大小为arccos1515.20.(2010全国卷Ⅱ,文20)如图,由M 到N 的电路中有4个元件,分别标为T 1,T 2,T 3,T 4,电流能通过T 1,T 2,T 3的概率都是p ,电流能通过T 4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T 1,T 2,T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率.解:记A i 表示事件：电流能通过T i ,i =1,2,3,4. A 表示事件:T 1,T 2,T 3中至少有一个能通过电流. B 表示事件:电流能在M 与N 之间通过. (1)A =1A ·2A ·3A ,A 1,A 2,A 3相互独立,P (A )=P (1A ·2A ·3A )=P (1A )P (2A )P (3A )=(1－p )3.又P (A )=1－P (A )=1－0.999=0.001, 故(1－p )3=0.001,p =0.9.(2)B =A 4+4A ·A 1·A 3+4A ·1A ·A 2·A 3,P (B )=P (A 4+4A ·A 1·A 3+4A ·1A ·A 2·A 3)=P (A 4)+P (4A ·A 1·A 3)+P (4A ·1A ·A 2·A 3) =P (A 4)+P (4A )P (A 1)P (A 3)+P (4A )P (1A )P (A 2)P (A 3)=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891.21.(2010全国卷Ⅱ,文21)已知函数f (x )=x 3－3ax 2+3x +1.(1)设a =2,求f (x )的单调区间;(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a 的取值范围.解：(1)当a =2时,f (x )=x 3－6x 2+3x +1,f ′(x )=3(x －2+3)(x －2－3). 当x ∈(－∞,2－3)时f ′(x )>0,f (x )在 (－∞,2－3) 上单调增加; 当x ∈(2－3,2+3)时f ′(x )<0,f (x )在(2－3,2+3)上单调减少; 当x ∈(2+3,+∞)时f ′(x )>0,f (x )在(2+3,+∞)上单调增加. 综上,f (x )的单调增区间是(－∞,2－3)和(2+3,+∞),f (x )的单调减区间是(2－3,2+3).(2)f ′(x )=3［(x －a )2+1－a 2］.当1－a 2≥0时,f ′(x )≥0,f (x )为增函数,故f (x )无极值点; 当1－a 2<0时,f ′(x )=0有两个根x 1=a －12−a 或x 2=a +12−a .由题意知:2<a －12−a <3,① 或2<a +12−a <3.②①式无解，②式的解为45<a <35. 因此a 的取值范围是(45,35).22.(2010全国卷Ⅱ,文22)已知斜率为1的直线l 与双曲线C :22a x －22by =1(a >0,b >0)相交于B 、D 两点,且BD 的中点为M (1,3).(1)求C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,|DF |·|BF |=17,证明过A 、B 、D 三点的圆与x 轴 相切.解:(1)由题设知,l 的方程为y =x +2. 代入C 的方程,并化简,得(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2=0, 设B (x 1,y 1)、D (x 2,y 2),则x 1+x 2=2224a b a −,x 1x 2=－222224a b b a a −+.①由M (1,3)为BD 的中点知221x x +=1,故 21×2224a b a −=1, 即b 2=3a 2,② 故c =22b a +=2a , 所以C 的离心率e =ac=2. (2)由①、②知,C 的方程为3x 2－y 2=3a 2,A (a ,0),F (2a ,0),x 1+x 2=2,x 1·x 2= －2342a +<0,故不妨设x 1≤－a ,x 2≥a .|BF |=2121)2(y a x +−=2212133)2(a x a x −+−=a －2x 1, |FD |=2222)2(y a x +−=2222233)2(a x a x −+−=2x 2－a . |BF |·|FD |=(a －2x 1)(2x 2－a ) =－4x 1x 2+2a (x 1+x 2)－a 2 =5a 2+4a +8.又|BF |·|FD |=17, 故5a 2+4a +8=17, 解得a =1或a =－59(舍去). 故|BD |=2|x 1－x 2|=2·212214)(x x x x −+=6.连结MA ,则由A (1,0),M (1,3)知|MA |=3,从而MA =MB =MD ,且MA ⊥x 轴,因此以M 为圆心,MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切.所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。
2010年全国II高考数学文科试卷(带答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 1. 设全集{}*|<6U x x =∈N ,集合{}=1,3A ,{}3,5B =,则()U AB =ð ( ).A.{}1,4B.{}1,5C.{}2,4D.{}2,5 【测量目标】集合的基本运算、集合间的关系. 【考查方式】由集合算出并集，取其在全集中的补集. 【参考答案】C【试题解析】∵{}1,3A =,{}3,5B =，∴{1,3,5}AB =，∴(){2,4}U AB =ð， 故选C .2. 不等式32x x -+＜0的解集为 ( ). A.{}23x x -<< B.{}2x x <- C.{}2x x <-或{}3x > D.{}3x x > 【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】解不等式，直接算出其结果即可. 【参考答案】A 【试题解析】302x x -<+()()32<0x x ⇒-+ 23x ∴-<<，故选A.3. 已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= ( ).A.3-B.19-C.19【测量目标】三角函数间的互化.【考查方式】二倍角公式及诱导公式，求得结果. 【参考答案】B【试题解析】 ∵ 2sin 3α=∴21cos(π2)cos 2(12sin )9ααα-=-=--=-4. 函数()()1ln 1>1y x x =+-的反函数是 ( ).A. ()1e 1>0x y x +=-B. 1e1(>0)x y x -=+C. ()1e 1x y x +=-∈RD. ()1e 1x y x -=+∈R 【测量目标】反函数与对数函数间的互化. 【考查方式】将原函数化简，直接求得反函数. 【参考答案】D【试题解析】∵函数()()1ln 1>1y x x =+-，∴ 11ln(1)1,1e,e 1y x x y x y ---=--==+ 故选D.5. 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩……… ，则2z x y =+的最大值为 ( ).A.1B.2C.3D.4 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值. 【考查方式】由约束条件作出可行域，找出最优解. 【参考答案】C【试题解析】画出可行域，作出目标函数线， 可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =，故选C.6. 如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么127a a a ++⋅⋅⋅+= ( ). A.14 B. 21 C. 28 D. 35 【测量目标】等差数列的性质和前n 项和. 【考查方式】运用等差中项，简单的数列求和. 【参考答案】C 【试题解析】34512,a a a ++=44,a =()127174177282a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+=⨯⨯+==.故选C.7. 若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则 ( ).A.1,1a b ==B.1,1a b =-=C.1,1a b ==-D. 1,1a b =-=- 【测量目标】函数导数的几何性质. 【考查方式】利用切线方程求解曲线方程. 【参考答案】A 【试题解析】∵2x y x aa='=+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =8. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 ( ).D. 34【测量目标】三棱锥的概念、线面、面面位置关系. 【考查方式】找出线面角，求出正弦值，数形结合的思想. 【参考答案】D【试题解析】过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于交SE 于F ，连接BF ，∵正三角形ABC ，∴E 为BC 中点，（步骤1）∵BC AE ⊥，SA BC ⊥，∴BC ⊥面,SAE ∴BC AF ⊥，又AF SE ⊥，∴AF ⊥面SBC ，（步骤2） ∵ABF ∠为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3， ∴AE =3AS =，∴SE = 32AF =，∴ 3sin 4ABF ∠=.（步骤3）9. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ( ).A. 12种B.18种C. 36种D.54种 【测量目标】排列组合的典型应用.【考查方式】特殊元素先考虑，算出总的种类. 【参考答案】B【试题解析】∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有24C 6=，余下放入最后一个信封，∴共有243C 18=.10. ABC △中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB =a , CA =b , a =1，b =2,则CD = ( ). A.13a +23b B.23a +13b C.35a +45b D.45a +35b 【测量目标】向量的线性运算. 【考查方式】向量之间的相加减. 【参考答案】B【试题解析】∵CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，（步骤1）∵ AB CB CA =-=-a b ，∴ 222333AD AB ==-a b ，（步骤2） ∴ 22213333CD CA AD =+=+-=+b a b a b .（步骤3）11. 与正方体ABCD -1111A B C D 的三条棱111AB CC A D 、、所在直线的距离相等的点 ( ). （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 【测量目标】空间立体几何的基本性质. 【考查方式】作图，利用观察法求解. 【参考答案】D【试题解析】∵到三条互相垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，故选D.12. 已知椭圆C ：()22221>>0x y a b a b+=的离心率为2，过右焦点F 且斜率为()>0k k 的直线于C 相交于A B 、两点，若3AF FB =，则k = ( ). A.1D.2 【测量目标】直线与椭圆的位置关系.【考查方式】由向量关系，间接进行求解参数k . 【参考答案】B 【试题解析】设1122(,),(,)A x yB x y ，∵ 3AF FB =，∴ 123y y =-，（步骤1）∵2e =，设2,a t c ==，b t =，∴ 222440x y t +-=，（步骤2）设直线AB方程为x sy =+.代入消去x ，∴222(4)0s y t ++-=， ∴2121224t y y y y s +==-+，（步骤3）22222234t y y s -=-=-+，解得 212s =，k = B.（步骤4）（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知α是第二象限的角,1tan 2=-α，则cos α=__________. 【测量目标】同角三角函数间的相互转化.【考查方式】由三角函数的等式关系进行转化，直接求解余弦值.【参考答案】 【试题解析】1tan 2=-α， sin 1cos 2⇒=-αα，即1sin cos 2=-αα，（步骤1） 又22sin cos 1+=αα，cos ∴=α，（步骤2） 又α为第二象限角，cos ∴=α（步骤3） 14. 91x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数是_________.【测量目标】二项式定理.【考查方式】二项式展开式中的系数求解. 【参考答案】84.【试题解析】∵ 9191C ()r rr r T xx-+=， ∴ 923,3r r -==， ∴ 39C 84=. 15. 已知抛物线()2:2>0C y px p =的准线1，过()1,0M的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p =_________【测量目标】抛物线的标准方程和简单的几何性质. 【考查方式】直线方程与抛物线方程联立求解p . 【参考答案】2【试题解析】设直线AB：y =（步骤1）代入22y px =得23(62)30x p x +--+=， 又∵ AM MB =，∴122x p =+，（步骤2）解得24120p p +-=，解得2,6p p ==-或（舍去）,故2p =.（步骤3）16. 已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = .【测量目标】球、直线与圆的概念及基础知识. 【考查方式】解三角形求两圆半径,进而计算圆心距. 【参考答案】3 【试题解析】∵3ON =，球半径为4，∴小圆N，(步骤1) ∵小圆N 中弦长4AB =，作NE 垂直于AB ，∴NE =，（步骤2）同理可得ME =ONE 中，∵NE =，3ON =，∴ π6EON ∠=，（步骤4） ∴ π3MON ∠=，∴ 3.MN =（步骤5）三、解答题；本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【测量目标】同角三角函数的基本关系、正弦定理.【考查方式】利用同角三角函数关系、差角公式及正弦定理求解边长. 【试题解析】ADC B BAD ∠=∠+∠ >A D C B∴∠∠,（步骤1） 又3cos >05ADC ∠=cos >0B ∴，（步骤2） 12cos 13B =,4sin 5ADC ∠=，()sin sin BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠3365=.（步骤3） sin sin B BAD AD BD ∠=533sin 132533sin 65BD BAD BAD⨯⋅⇒===∠. AD ∴的长为25.18.（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； (Ⅱ）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【测量目标】等比数列通项公式、前n 项和、方程组解法. 【考查方式】由题设等式关系求解通项公式和前n 项和.【试题解析】（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有111123411123411111211164a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩，（步骤1） 化简得21261264a q a q ⎧=⎨=⎩（步骤2）又10a >，故12,1q a == 所以12n n a -=.（步骤3）(Ⅱ）由（Ⅰ）知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此 ()11111441244n n n T n --⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭，（步骤4） ()111411424421141314nn n n n n ---=++=-++--.（步骤5）19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，111AA A B =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =,（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°, 求二面角111A AC B --的大小.【测量目标】空间立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识.【考查方式】线面垂直定理的应用，找出异面直线所成角,由边长解三角形. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F , 平面11A ABB 为正方形11A B AB ∴⊥,且1AF FB =，（步骤1）又13AE EB = , 1F E E B ∴=，（步骤2）又D 为1BB 的中点 , 1//,DE BF DE AB ∴⊥.（步骤3）作,CG AB G ⊥为垂足，由AC BC =知，G 为AB 中点， 又由底面ABC ⊥平面11A ABB ,得11CG AA B B ⊥平面,（步骤4） 连接DG ,则DG ∥1AB ,故DE DG ⊥.由三垂线定理得，DE CD ⊥,DE ∴为异面直线1AB 与CD 的公垂线. （步骤5）（Ⅱ）DG ∥1AB ,故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，=45CDG ∠，（步骤6）设2AB =,则1AB DG CG AC == 作111,B H A C H ⊥为垂足，（步骤7） 底面111A B C ⊥平面11AAC C故111,B H AAC C ⊥平面又作1,HK AC K ⊥为垂足，连接1B K ,（步骤8） 由三垂线定理得，11,B K AC ⊥1B KH ∴∠为二面角111A AC B --的平面角.（步骤9）1HK AC ⊥,平面11A ABB 为正方形,111π2C KH AAC ∴∠=∠=, 又111AC A HC K ∠=∠,111C KH C AA ∴∠=∠,1C KH ∴△∽11C A A △.111B H ∴==1HC ==111221AA C HKH AC ⋅===, 11tan B H B KH KH ∴∠===∴二面角111A ACB --的平面角的大小为（步骤10）20.（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为1234T T T T 、、、，电源能通过123,T T T 、、的概率都是P ，电源能通过4T 的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立.已知123T T T 、、中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率.【测量目标】互斥事件、对立事件及独立事件的概率.【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率.【试题解析】（Ⅰ）根据题意得，记电流能通过i T 为事件i A ，i=1,2,3,4.A 表示事件：123,T T T 、、中至少有一个能通过电流.易得123A A A 、、相互独立，且123A A A A =⋅⋅,（步骤1）()()31109990001P A P ..,=-=-=计算得，0.9.P =（步骤2）（Ⅱ）根据题意，记B 表示事件:电流能在M 与N 之间通过，有 ()()()44134123111B A A A A A A A A =+-+--，则()()()()44134123(111)P B P A A A A A A A A =+-+--=0.90.10.90.90.10.10.90.90.09891+⨯⨯+⨯⨯⨯=.(步骤3)21.（本小题满分12分）已知函数32()33 1.f x x ax x =-++（Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 在区间()2,3内至少有一个极值点，求a 的取值范围.【测量目标】利用导数研究函数的单调区间、极值.【考查方式】利用函数导数、单调性，求解的a 取值范围.【试题解析】（Ⅰ）当2a =时，32()631f x x x x =-++，(()322f x x x '=--，（步骤1）当(,2x ∈-∞-时，()0,()f x f x '>在(,2-∞-单调递增；当(2x ∈时，()0,()f x f x '<在(2-单调递减；当()2x ∈+∞时，()0,()f x f x '>在()2+∞单调递增；综上，()f x 的单调递减区间是(2+；()f x 的单调递增区间是((),223,-∞++∞. （Ⅱ）()22()31f x x a a ⎡⎤'=-+-⎣⎦，当210a -…时，()0,()f x f x '…为增函数，故()f x 无极值点；当210a -<时，()0f x '=有两个根1x a =2x a =由题意知，23a < ①，或23a << ②， ①式无解，②式的解为5543a <<，因此a 的取值范围是55,43⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.（本小题满分12分） 已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于B D 、两点，且BD 的中点为()1,3M .（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF ⋅=证明：过A B D 、、三点的圆与x 轴相切.【测量目标】双曲线的简单几何性质、圆锥曲线的中的定点问题.【考查方式】直线与双曲线消元后，根据中点坐标公式，解离心率；由离心率条件及点坐标证明等式，得出相关结论.【试题解析】（Ⅰ）由题意知，l 的方程为：2y x =+，代入C 的方程，并化简，得()2222222440b ax a x a a b ----=，（步骤1） 设11(,)B x y 、()22,D x y ， 则212224a x x b a +=-，22212224a a b x x b a +=-- ①（步骤2） 由(1,3)M 为BD 的中点知1212x x +=，故2221412a b a ⨯=- 即223b a =， ②（步骤3）故2c a = 所以C 的离心率2c e a==.（步骤4）（Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=， 2121243(,0),(2,0),2,02a A a F a x x x x ++==-<， 故不妨设12,x a x a -剠，（步骤5）12BF a x ===-，22FD x a ===-，()()1222BF FD a x x a ⨯=--()2121242x x a x x a =-++- 2548a a =++.（步骤6）又17BF FD ⋅=，故254817a a ++=，解得1a =，或95a =-（舍去），故126BD x =-==.(步骤7)连结MA ，则由(1,0),(1,3)A M 知3MA =，从而MA MB MD ==，且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.（步骤8）。
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解全国大纲卷 II 文
2010年全国大纲卷 II 文一、选择题（共12小题；共60分）1. 设全集U=x∈N∗ x<6，集合A=1,3，B=3,5，则∁U A∪B= A. 1,4B. 1,5C. 2,4D. 2,52. 不等式x−3x+2<0的解集为 A. x −2<x<3B. x x<−2C. x x<−2 或x>3D. x x>33. 已知sinα=23，则cosπ−2α= A. −53B. −19C. 19D. 534. 函数y=1+ln x−1x>1的反函数是 A. y=e x+1−1x>0B. y=e x−1+1x>0C. y=e x+1−1x∈RD. y=e x−1+1x∈R5. 若变量x，y满足约束条件x≥−1,y≥x,3x+2y≤5,则z=2x+y的最大值为 A. 1B. 2C. 3D. 46. 如果等差数列a n中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+⋯+a7等于 A. 14B. 21C. 28D. 357. 若曲线y=x2+ax+b在点0,b处的切线方程是x−y+1=0，则 A. a=1,b=1B. a=−1,b=1C. a=1,b=−1D. a=−1,b=−18. 在三棱锥S−ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 A. 34B. 54C. 74D. 349. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 A. 12种B. 18种C. 36种D. 48种10. △ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB．若CB=a，CA=b，a=1，b=2，则CD=A. 13a+23b B. 23a+13b C. 35a+45b D. 45a+35b11. 与正方体ABCD−A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 A. 有且只有1个B. 有且只有2个C. 有且只有3个D. 有无数个12. 已知椭圆C:x2a +y2b=1a>b>0的离心率为32，过右焦点F且斜率为k k>0的直线与C相交于A、B两点．若AF=3FB，则k= A. 1B.C. 3D. 2二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知α是第二象限的角，tanα=−12，则cosα=．14. x+1x 9的展开式中，x3的系数是．15. 已知抛物线C:y2=2px p>0的准线为l，过M1,0且斜率为3的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若AM=MB，则p=．16. 已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=．三、解答题（共6小题；共78分）17. △ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sin B=513，cos∠ADC=35，求AD．18. 已知a n是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=21a1+1a2，a3+a4+a5=641a3+1a4+1a5．（1）求a n的通项公式；（2）设b n= a n+1a n 2，求数列b n的前n项和T n．19. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（1）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（2）设异面直线AB1与CD的夹角为45∘，求二面角A1−AC1−B1的大小．20. 如图，由M到N的电路中有4个组件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各组件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（1）求P；（2）求电流能在M与N之间通过的概率．21. 已知函数f x=x3−3ax2+3x+1．（1）设a=2，求f x的单调区间；（2）设f x在区间2,3中至少有一个极值点，求a的取值范围．22. 己知斜率为1的直线l与双曲线C：x2a −y2b=1a>0,b>0相交于B、D两点，且BD的中点为M1,3．（1）求C的离心率；（2）设C的右顶点为A，右焦点为F， DF ⋅ BF =17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．答案第一部分1. C2. A3. B 【解析】因为sinα=23，所以cosπ−2α=−cos2α=−1−2sin2α=−19．4. D 【解析】注意原函数的值域与反函数定义域相同．5. C【解析】在x=1，y=1时，z=2x+y取最大值．6. C 【解析】因为a3+a4+a5=12，所以3a4=12，a4=4，a1+a2+⋯+a7=7a4=28．7. A 8. D 【解析】过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF．∵三角形ABC为正三角形，∴E为BC的中点．∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥平面SAE．∵BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥平面SBC，则∠ABF为直线AB与平面SBC所成角．经计算AE=3，SE=23，AF=32，∴sin∠ABF=34．9. B 10. B【解析】根据角平分线定理，CBCA =DBDA=12，于是CD=23a+13b．11. D 【解析】满足题意的点有无数个，且都在正方体的体对角线B1D所在的直线上．12. B 【解析】设A x1,y1,B x2,y2，由于AF=3FB，则有y1=−3y2.由e=32，可设a=2t,c=t,b=t，代入椭圆方程整理得x 2+4y 2−4t 2=0.而直线AB 的方程为x =sy + t （s =1k ），代入x 2+4y 2−4t 2=0，消去x 并整理得s 2+4 y 2+2 3tsy −t 2=0,那么y 1+y 2=−2 3ts s 2+4,y 1y 2=−t 2s 2+4.把y 1=−3y 2代入得−2y 2=−2 3ts 2,−3y 22=−t 22,消去y 2，解得s = 22，从而k = ．第二部分 13. −2 5514. 8415. 2【解析】直线AB :y = x − y 2=2px ，得3x 2+ −6−2p x +3=0，又AM =MB ，所以x B =12p +2，解得p 2+4p −12=0，即p =2，p =−6（舍去）．16. 3【解析】如图，作NE 垂直AB 于E ，因为ON =3，球半径为4，所以小圆N 的半径为 ，又因为小圆N 中弦长AB =4，所以NE = 可得ME = 3．在直角三角形ONE 中，又NE = 3，ON =3，故∠EON =π6，即∠MON =π3，所以MN =3． 第三部分17. 由cos ∠ADC =35>0，知B <π2．由已知得cos B =1213,sin ∠ADC =45, 从而sin ∠BAD =sin ∠ADC −B=sin ∠ADC cos B −cos ∠ADC sin B =45×1213−35×513=3365. 由正弦定理，得ADsin B =BDsin ∠BAD ，所以AD=BD⋅sin B=33×5133365=25.18. （1）设公比为q，则a n=a1q n−1．由已知有a1+a1q=211+11,a1q2+a1q3+a1q4=641a1q2+1a1q3+1a1q4.化简得a12q=2,a12q6=64.又a1>0，故q=2，a1=1．所以a n=2n−1．（2）由（1）知b n= a n+1n2=a n2+1n+2=4n−1+1+2.因此T n=1+4+⋯+4n−1+1+1+⋯+1n−1+2n=4n−1+1−14n1−14+2n=14n−41−n+2n+1.19. （1）法一：如图，连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1B1B为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1．又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，易得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．法二：以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，射线BB1为y轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz．设AB=2，则A2,0,0,B10,2,0,D0,1,0,E 12,32,0.又设C1,0,c，则DE=12,12,0,B1A=2,−2,0,DC=1,−1,c.于是DE⋅B1A=0，DE⋅DC=0，故DE⊥B1A，DE⊥DC．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）解法一：因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45∘．设AB=2，则AB1=22,DG=2,CG=2,AC= 3.如图，作B1H⊥A1C1，H为垂足．因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C，故B1H⊥面AA1C1C，又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，易得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1−AC1−B1的平面角．又B1H=A1B1×A1C12−12A1B1A1C1=223HC1=B1C12−B1H2=33,所以tan∠B1KH=B1HHK=14，所以二面角A1−AC1−B1的大小为arctan14．解法二：因为 B1A,DC等于异面直线AB1与CD的夹角，故B1A⋅DC=B1A⋅DC cos45∘,即22××22=4,解得c=，故AC= −1,0,2．又AA1=BB1=0,2,0，所以AC1=AC+AA1= −1,2,2.设平面AA1C1的法向量为m=x,y,z，则m⋅AC1=0,m⋅AA1=0,即−x+2y+2z=0,2y=0.令x=2，则z=1,y=0，故m=2,0,1．设平面AB1C1的法向量为n=p,q,r，则n⋅AC1=0,n⋅B1A=0,即−p+2q+2r=0,2p−2q=0.令p=2，则q=2,r=−1，故n=2,2,−1．所以cos m,n=m⋅n=15.由于m,n等于二面角A1−AC1−B1的平面角，所以二面角A1−AC1−B1的大小为arccos1515．20. （1）记A i表示事件：电流能通过T i，i=1,2,3,4，A表示事件：T1,T2,T3中至少有一个能通过电流，由A=A1⋅A2⋅A3，A1,A2,A3相互独立，得P A =P A1⋅A2⋅A3=P A1 P A2 P A3=1−p3,根据题意得P A =1−P A=1−0.999=0.001,从而1−p3=0.001,解得p=0.9.（2）记B表示事件：电流能在M与N之间通过，则B=A4+A4⋅A1⋅A3+A4⋅A1⋅A2⋅A3,所以P B=P A4+A4⋅A1⋅A3+A4⋅A1⋅A2⋅A3=P A4+P A4⋅A1⋅A3+P A4⋅A1⋅A2⋅A3=P A4+P A4 P A1P A3+P A4 P A1 P A2P A3=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891.21. （1）当a=2时，f x=x3−6x2+3x+1，fʹx=3 x−2+3 x−2−3．当x∈ −∞,2−3时，fʹx>0，f x在 −∞,2−3上单调递增；当x∈2−3,2+3时，fʹx<0，f x在2−3,2+3上单调递减；当x∈2+3,+∞ 时，fʹx>0，f x在2+3,+∞ 上单调递增．综上，f x的单调增区间是 −∞,2−3和2+3,+∞ ，f x的单调减区间是2−3,2+3．（2）对f x求导得fʹx=3x−a2+1−a2．当1−a2≥0时，fʹx≥0，f x为增函数，故f x无极值点；当1−a2<0时，fʹx=0有两个根x1=a−a2−1,x2=a+a2−1.由题意，知2<a−a2−1<3, ⋯⋯①或 2<a+a−1<3, ⋯⋯②经计算发现①式无解，②式的解为54<a<53，因此a的取值范围是54,53．22. （1）由题设知，l的方程为y=x+2．代入C的方程，并化简，得b2−a2x2−4a2x−4a2−a2b2=0.设B x1,y1、D x2,y2，则x1+x2=4a222,x1⋅x2=−4a2+a2b222, ⋯⋯①由M1,3为BD的中点知x1+x22=1，故12×4a2b2−a2=1，即b2=3a2, ⋯⋯②故c= a2+b2=2a，所以C的离心率e=ca=2．（2）由①②知，C的方程为3x2−y2=3a2，A a,0，F2a,0，x1+x2=2，x1x2=−4+3a22<0，故不妨设x1≤−a，x2≥a．BF =x1−2a2+y12=x1−2a2+3x12−3a2=a−2x1，FD =x2−2a2+y22=x2−2a2+3x22−3a2=2x2−a，所以BF ⋅ FD =a−2x12x2−a=−4x1x2+2a x1+x2−a2=5a2+4a+8.又 BF ⋅ FD =17，故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=−95（舍去）．故BD =2x1−x2=2⋅ x12212=6.连接MA，则由A1,0，M1,3知 MA =3，从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）
数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
2． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在，每小题给出的四个选项中，
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P （A+B ）=P(A)+P(B) S=4πR 2
如果事件A 、B 相互独立，那么
P （A-B ）=P(A)-P(B)
一、选择题
（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5
（2）不等式32
x x -+＜0的解集为 （A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x >
（3）已知2sin 3
α=，则cos(2)x α-=
（A ）B ）19-（C ）19
（D
（4）函数y=1+(x-1)(x>1)的反函数是
（A ）y=1x e +-1(x>0) (B) ）y=1x e -+1(x>0)
(C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)
(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
则z=2x+y 的最大值为
（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4
(6)如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a =
（A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则
（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=
(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-
（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（A ）
(B) (C)
(D) 34 （9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA = b , a = 1 ，
b = 2, 则CD =
（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35
b （11）与正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点
（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个
（C ）有且只有3个 （D ）有无数个
（12）已知椭圆C ：22221x y a b
+=（a>b>0
）的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
则k =
（A ）1 （B
（C
（D ）2
（13）已知α是第二象限的角,tan α=1/2，则cos α=__________
(14)(x+1/x)9的展开式中，x 3的系数是_________
(15)已知抛物线C ：y 2=2px （p>0）的准线l ，过M （1,0）且斜率为
的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若，则p=_________
（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，
若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = 。
三、解答题；本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分） ABC 中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5
ADC ∠=，求AD 。
（18）（本小题满分12分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且 1212112()a a a a +=+，345345
11164()a a a a a a ++=++ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21()n n n
b a a =+
，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1 中，AC=BC ， AA 1=AB ，D 为BB 1的中点，E 为AB 1上的一点，AE=3 EB 1
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB 1与CD 的夹角为45°,
求二面角A 1-AC 1-B 1的大小
（20）（本小题满分12分）
如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电源能通过T 1，T 2，T 3的
概率都是P，电源能通过T
4的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。
已知T
1
，T
2
，T
3
中至少有一
个能通过电流的概率为0.999。
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。
（22）（本小题满分12分）
已知斜率为1的直线1与双曲线C：
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）
（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。