北京理工大学在线作业之高等数学
北京理工大学微积分a期末试题及答案
北京理工大学微积分a期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(2)=0，则c的值为多少？A. 0B. 2C. 4D. 6答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 设函数f(x)=3x^3-2x^2+5x-7，其导数f'(x)为：A. 9x^2-4x+5B. 3x^2-4x+5C. 9x^2-4xD. 3x^2+5x-7答案：A4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程为：A. y=3x-2B. y=3xC. y=xD. y=3x+2答案：B5. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B6. 微分方程dy/dx+y=0的通解为：A. y=e^(-x)B. y=e^xC. y=e^(-2x)D. y=e^(2x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x，其在x=1处的导数为______。
答案：02. 设函数f(x)=x^2+3x+2，其在x=-1处的定积分值为______。
答案：13. 函数y=ln(x)的导数为______。
答案：1/x4. 微分方程dy/dx-2y=0的通解为______。
答案：y=e^(2x)三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
通过二阶导数测试或分析f'(x)的符号变化，可得x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(1到2) (x^3-2x+1) dx。
答案：首先求出被积函数的原函数F(x)=1/4x^4-x^2+x，然后计算F(2)-F(1)=5/4-2+2-1/4+1=1。
16秋北交《高等数学》在线作业一
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：
9.
题目见图片
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：
10.
题目见图片
A. A
B. B
C. C
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正确答案：
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A. A
B. B
C. C
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正确答案：
12.
北交《高等数学》在线作业一
一、单选题（共 20 道试题，共 50 分。）
1.
题目见图片
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：
2.
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A. A
B. B
C. C
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正确答案：
3.
题目见图片
A. A
B. B
C. C
D. D
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：
3.
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A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：
4.
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A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：
5.
A.
B.
C.
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正确答案：
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题目见图片
A. A
B. B
A. A
B. B
C. C
D. D
正确答案：
19.
北理工《自动控制理论1》在线作业【标准答案】
北理工《自动控制理论1》在线作业【标准答案】
北理工《自动控制理论1 》在线作业-0005
试卷总分:100 得分:100
一、单选题 (共 20 道试题,共 60 分)
1.梅森公式主要用来（）。
A.判断稳定性
B.计算输入误差
C.求系统的传递函数
D.求系统的根轨迹
答案:C
2.放大环节的对数幅频特性曲线是（）。
A.平行于横轴的直线
B.斜率为1的直线
C.逐渐增大至某一值的曲线
D.垂直于横轴的直线
答案:A
3.最小相位系统的开环增益越大，其（）。
A.振荡次数越多
B.稳定裕量越大
C.相位变化越小
D.稳态误差越小
答案:D
4.典型二阶系统的超调量越大，反映出系统（）
A.频率特性的谐振峰值越小
B.阻尼比越大
C.闭环增益越大
D.相角裕度越小
答案:D
5.系统的频率特性（）
A.是频率的函数
B.与输入幅值有关
C.与输出有关
D.与时间t有关
答案:A
6.系统在r(t)=t2作用下的稳态误差ess=∞，说明( )。
A.型别ν<2
B.系统不稳定
C.输入幅值过大
D.闭环传递函数中有一个积分环节
答案:A。
全国高校网络教育部分公共基础课统一考试
全国高校网络教育部分公共基础课统一考试年月考试工作安排根据教育部的要求和《全国高校网络教育考试委员会关于试点高校网络教育部分公共基础课全国统一考试年考试工作计划》的部署，以及网考电函[]号《全国高校网络教育部分公共基础课统一考试年月考试工作安排》文件精神，我院年月统考考试工作安排如下：一、考试计划安排、考试和报名时间考试时间: 年月日，每门课程考试时间分钟。
报名缴费时间: 从年月日开始，到本次统考全国可报考总名额（科次）约满为止，系统将自动结束本次报考。
统考在线作业开放时间：年月日至月日，相关详细流程参看附件《全国网络统考在线作业详细操作流程》、考试科目考试科目包括《计算机应用基础》、《大学英语》（）、《大学语文》（）和《高等数学》（）等门统考课程。
自年月开始,统考已采用新大纲(年修订版)进行考试。
、考试考点经网考办批准的全国各地考点，具体名单详见网上报名系统，网址：。
、考试对象（）在学籍有效期内，符合统考条件的本科学生在入学满一年后方可进行报考，即（含）前入学的学生可参加本次统考。
在统考安排的时间和公布的考点进行预约考试。
各校外学习中心要及时通知考生，并做好对考生的考风考纪教育和诚信教育工作，树立良好的学风、考风，严格考风考纪管理，严肃查处考试违规、弄虚作假和徇私舞弊等行为。
年网考委在《试点高校网络教育部分公共基础课统一考试试点工作管理办法》（网考委[]号）文件的第七章“考试违纪处理”之第三十七条规定“有考试违纪行为的考生，其相关科目的考试成绩无效；有考试作弊行为的考生，当次考试全部科目成绩无效，并视情节严重情况给予停考年的处理。
代替他人或由他人代替参加考试者，取消统考资格。
”（）为有效利用考试资源，从年开始，对报考统考后有缺考行为的考生，缺考科目的报考次数将限定为次（不含本次缺考，但含以后的缺考）。
、考试方式四门课程全部实行网上闭卷机考。
、考试收费根据“发改价格[]号”文件规定向考生收取考试费。
2024学年北京理工大学附中高二数学上学期期中练习试卷附答案解析
2024学年北京理工大学附中高二数学上学期期中练习试卷一、单选题（本大题共10小题）1．直线30y --=的倾斜角是（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则棱1BB 到面11AAC C 的距离为（）A ．3a B ．a C ．2a D ．3．如图所示，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1111AA D C BB +-=（）A ．1AB B ．DC C ．AD D ．BA4．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若21l l //，则a =（）A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．已知l m ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列结论正确的是()A ．若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lmB ．若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥C ．若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则αβ⊥D ．若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则l β⊥6．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（）A ．716π+B ．7566π+C ．718π+D ．1π+7．已知直线:l y kx b =+，22:1O x y +=e ，则“||1b <”是“直线l 与O 相交”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知直线l ：20ax y --=和点(2,1)P ，(3,2)Q -，若l 与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是（）A ．3243a -≤≤B ．34a ≤-或23a ≥C ．4332a -≤≤D ．43a ≤-或32a ≥9．当曲线1y =330kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是A ．120,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,25⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．122,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离(),D A B =；曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，余弦距离()(),1cos ,e A B A B =-，其中()cos ,cos ,A B OA OB =（O 为坐标原点）．若点()2,1M ，(),1d M N =，则(),e M N 的最大值为（）A ．1-B ．110-C ．2515-D ．1-二、填空题（本大题共5小题）11．两平行直线12:3420:3410l x y l x y ++=+-=，之间的距离是12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为DB ，11AC 的中点，则直线1A M 和BN 的夹角的余弦值为13．已知圆22:(1)4C x y +-=，过点P 作圆的切线，则切线方程为.14．已知直线l 过点()4,1P 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当三角形OAB 面积取最小值时直线l 的斜率为．15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1AC 的中点，1AQ t AB =，[]0,1t ∈，则下列说法正确的（请把正确的序号写在横线上）①1PQ A B⊥②当12t =时，//PQ 平面11BCC B③当13t =时，PQ 与CD 所成角的余弦值为11④当14t =时，1A Q ⊥平面1PAB 三、解答题（本大题共4小题）16．已知ABC V 的顶点(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C .(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AD 所在直线的方程；(3)求ABC V 的面积.17．已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.(1)求证：平面PBD ⊥平面ABD ；(2)棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD 夹角的余弦值为PG PB；若不存在，说明理由.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，Q 为棱PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面ACQ ；(2)若BA PD ⊥，再从条件①､条件②､条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥P ABCD -唯一确定，并求：（i ）直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；（ii ）点P 到平面ACQ 的距离．条件①：二面角P CD A --的大小为45 ；条件②：2PD =条件③：AQ PC ⊥．19．设二次函数23y x =-的图象与两坐标轴的交点分别记为M ，N ，G ，曲线C 是经过这三点的圆．(1)求圆C 的方程；(2)过(1,0)P -作直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（i ）||||PA PB ⋅是否是定值？如果是，请求出这个定值；（ii ）设(0,2)Q -，求22||||QA QB +的最大值．参考答案1．【答案】B【详解】解：由直线30y --=得直线的斜率k =又直线的倾斜角为α，且[)0,180α∈︒︒，所以tan α=60α=︒故选：B.2．【答案】C【详解】如图，连接1111,A C B D ，它们交于点O ，正方形中1111AC B D ⊥，又1AA ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥，1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AAC C ，所以11B D ⊥平面11AAC C ，所以1B O 的长即为棱1BB 到面11AAC C 的距离，而122B O a =，所以所求距离为2a ．故选：C ．3．【答案】B【详解】由题中所给平行六面体1111ABCD A B C D -可知，11AA BB →→=，11D C DC →→=，故111111AA D C BB D C DC →→→→→+-==．故选：B 4．【答案】B【分析】由条件结合直线平行结论列方程求a ，并对所得结果进行检验.【详解】因为1l ∥2l ，()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，所以()112a a +=⨯，所以220a a +-=，解得2a =-或1a =，当2a =-时，1:220l x y -+=，2:220l x y -+=，直线12,l l 重合，不满足要求，当1a =时，1:20+-=l x y ，2:10l x y ++=，直线12,l l 平行，满足要求，故选B.5．【答案】D【详解】A ，若l m αβαβ⊂⊂∥，，，则lm 或异面，故该选项错误；B ，若l m l m αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥或相交，故该选项错误；C ，若l m m l αββ⋂=⊂⊥，，，则α，β不一定垂直，故该选项错误；D ，若n l l n αβαβα⊥⋂=⊂⊥，，，，则利用面面垂直的性质可得l β⊥，故该选项正确.故选：D.6．【答案】A【分析】该组合体可视作一个正方体和78个球体的组合体，进而求出体积.【详解】由题意，该组合体是一个正方体和78个球体的组合体，其体积为33747111836+⨯π⨯=+π.故选：A.7．【答案】A【详解】由题意可得直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交，则2211b k <⇒<+当||1b <时，满足221b k <+，即“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分条件；当直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交时，不一定有||1b <，比如2,3b k ==也满足，所以“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分不必要条件.故选:A.8．【答案】D【详解】由直线l ：20ax y --=可知直线l 必过定点A (0,2)-，且直线l 的斜率为a ，如下图所示：由斜率公式可知，直线AP 的斜率为213022AP k --==-，直线AQ 的斜率为2240(3)3AQ k --==---，若l 与线段PQ 相交，只需要32AP a k ≥=或43AQ a k ≤=-，故实数a 的取值范围是43a ≤-或32a ≥.故选：D.9．【答案】D 【详解】如图所示：∵曲线1y =，直线330kx y k --+=，∴()2214x y +-=，1y ≤，()33y k x =-+，圆心()0,1O ，直线过定点()3,3，直线过()2,1时，有两个交点，此时13k =-+，2k =，直线与下半圆相切时，2=，125k =，∴1225k ≤<.故答案选D ．10．【答案】C【详解】设(),N x y ，则(),211d M N x y =-+-=，即211x y -+-=，可知211x y -+-=表示正方形ABCD ，其中()()()()2,0,3,1,2,2,1,1A B C D ，即点N 在正方形ABCD 的边上运动，因为()()2,1,,OM ON x y ==，由图可知：当()cos ,cos ,M N OM ON = 取到最小值，即,OM ON最大，点N 有如下两种可能：①点N 为点A ，则()2,0ON = ，可得()cos ,cos ,M N OM ON ==②点N 在线段CD 上运动时，此时ON 与DC同向，不妨取()1,1ON = ，则()cos ,cos ,M N OM ON ==；因为>(),e M N 的最大值为2515-.故选：C.11．【答案】35【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式计算即可.【详解】两条平行直线1l ：3420x y ++=与2l ：3410x y +-=之间的距离为35=.故答案为：35.12．【答案】23【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()12,0,2,1,1,0,2,2,0,1,1,2A M B N ，故1A M 和BN 的夹角的余弦值为114263A M BN A M BN⋅===⋅.故答案为：2313．【答案】5y =+【详解】因为22(21)4+-=，所以点P 在圆上，设切线的斜率为k ，则1CP k k ⋅=-，,3PC k k ==∴=.则切线方程为25y x x =+=+.故答案为：5y =+14．【答案】14-/0.25-【详解】设s 0，()0,B b ，其中,0a b >，设直线l 的方程为1x ya b+=，因为直线l 过点()4,1P ，所以411a b+=，由基本不等式可得411a b =+≥所以4≥，16ab ≥，当且仅当41a b=，即8a =，2b =时取等号，所以ab 的最小值为16，此时OAB △的面积取最小值8，直线l 的斜率为201084-=--.故答案为：14-.15．【答案】①②③【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(),0,Q t t ，所以111,,222QP t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1A B =- ，所以10QP A B ⋅=，所以1PQ A B ⊥，①正确；当12t =时，110,,022QP BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以//PQ BC ，又⊂BC 平面11BCC B ，PQ ⊄平面11BCC B ，从而//PQ 平面11BCC B ，②正确；当13t =时，111,,626QP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D=1,0,0，所以PQ 与CD所成角的余弦值为16cos ,11DC QP DC QP DC QP ⋅==，③正确；当14t =时，113,0,44A Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()11,0,1AB = ，111310442A Q AB ⋅=-=-≠ ，所以1AQ 不垂直于1AB ，所以1AQ 不垂直于平面1PAB ，④错误．故答案为：①②③.16．【答案】(1)34170x y +-=(2)40x y +-=(3)14【详解】（1）因为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,7)C ，所以7(1)44(2)3BC k --==--，所以34AD k =-，则边BC 上的高AD 所在直线的方程为()3514y x -=-+，即34170x y +-=；（2）由题意可知M 是BC 的中点，所以()1,3M ，从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即40x y +-=；（3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()127142y x ----=----，即4350x y -+=，所以点A 到直线BC 的距离145h =，又10BC ==，所以ABC V 的面积为11141014225BC h ⋅=⨯⨯=.17．【答案】(1)证明见解析(2)存在，12PGPB =【详解】（1）因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .（2）存在，理由如下：由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =-- ，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤≤ ，则()1,,1AG AP PG λλ=+=-- ，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z = ，则·0·0AD nAG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADG 与平面ABD夹角的余弦值为，所以·cos ,n m n m n m 〈〉=整理得22520λλ-+=解得12λ=或2λ=（舍），所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD夹角的余弦值为12PG PB =.18．【答案】(1)证明见解析(2)（i ）13；（ii）3【详解】（1）（1）连接BD ，交AC 于O ，连接OQ ，底面ABCD 是正方形，故O 是BD 的中点，又因为Q 为棱PD 的中点，所以，在PBD △中OQ ∥PB ，而OQ ⊂平面,ACQ PB ⊄平面ACQ ，所以PB ∥平面ACQ ．（2）选①②：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，在PAD △中，2222cos 1PA AD PD AD PD ADP ∠=+-⋅⋅=，所以222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，又因为,,,BA AD BA PD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,,BA AD AD CD BA ⊥⊥∥CD ，又因为BA PD ⊥，所以CD PD ⊥，因为二面角P CD A --的大小为45 ，平面PAD ⋂平面,,ABCD CD AD CD PD CD =⊥⊥，所以45ADP ∠= ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以PA AD =，所以45APD ADP ∠∠== ，所以90PAD ∠= ，即PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选②③：因为四边形ABCD 是正方形，所以,AD CD BA ⊥∥CD ，因为,,,CD PD CD AD AD PD D AD PD ⊥⊥⋂=⊂､平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为AQ ⊂平面PAD ，所以CD AQ ⊥，又因为,,AQ PC PC CD C PC CD ⊥⋂=⊂､平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AQ PD ⊥，又因为Q 为PD 中点，所以1PA AD ==，在PAD △中，222PA AD PD +=，故PA AD ⊥，因为BA ∥,CD CD ⊥平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，选①②③同上．以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,0,0,,,0,0,122A C D Q P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()110,,,1,1,0,1,1,122AQ AC PC ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，令(),,m x y z = 为面ACQ 的一个法向量，则110,220.m AQ y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩令1x =，则()1,1,1m =- ，（i）因为1cos ,3m PC m PC m PC⋅=== ，所以直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13，（ii ）由（i ）知点P 到平面ACQ的距离133PC =．19．【答案】(1)()2214x y ++=(2)（i ）||||PA PB ⋅是定值，定值为2；（ii）12+【详解】（1）设二次函数23y x =-与x 轴分别交于,M N ，与y 轴交于点G ，令0y =，则x =即)(),M N ，令0x =，则=3y -，则()0.3G -，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点M 、N 、G的坐标代入可得3030930F F E F ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪-+=⎪⎩，解得023D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，则22230x y y ++-=，化为标准式为()2214x y ++=.（2）||||PA PB ⋅是定值.（i ）当直线l 的斜率不存在时，则l 方程为1x =-，联立()22141x y x ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，可得11x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩或11x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即()()1,1,1A B --，则1PA =，1PB =，则2PA PB ⋅=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，设1,1,2,2，联立直线与圆的方程()()22114y k x x y ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩，消去y 可得()()()222212230k x k k x k k +++++-=，由韦达定理可得()22121222223,11k k k k x x x x k k -++-+==++，且PA =PB =，则()()()212111PA PB k x x ⋅==+++()()()()222221212222311111k k k k k k x x x x k k -+++-++=++++=++()222121k k -=+⨯=+；综上所述，2PA PB ⋅=是定值.（ii ）由（i ）可知，当直线l的斜率不存在时，()()1,1,1A B --，且()0,2Q -，则())222115QA =-++=+()()222115QB =-+=-，则2210QA QB +=；当直线l 的斜率存在时，设l 方程为()1y k x =+，则()()222222112222QA QB x kx k x kx k +=+++++++()()()()222221212124288k x x k k x x k k =++++++++()()()()()2222222222242231224288111k k k kk k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥=+-⨯++⨯+++⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦⎣⎦()()2222222244(2)2(23)28811k k k k k k k k k k k k +-++=-+-++++++()22414141k k k k -+=+++()241141k k k -=++224(1)44141k k k -+++=++24(1)101k k +=++令1t k =+，则1k t =-222224(1)4410101011(1)22k t tQA QB k t t t ++=+=+=+++--+令24()1022tf t t t =+-+当0t =，即1k =-时，(0)10f =；当0t ≠，即1k ≠-时，244()10102222tf t t t t t =+=+-++-；2+(,)t t ∈-∞-⋃+∞当2+t t =t =，11k t =-=时，()f t取最大值12+所以()22max 12QA QB +=+。
高等数学二重积分的计算
是由中心在原点，半径为 a 的圆周 所围成的闭区域.
解
在极坐标系下
D：0 r a ，0 2 .
e
D
x2 y2
dxdy d e
0 0
a2
2
a
r 2
rdr
(1 e
).
例3
求广义积分 0 e
x2
dx .
S
解 D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx.
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3
D1
D2
D
Байду номын сангаас
3
x y 4 y r 4 sin
6 x 2 y 2 2 y r 2 sin
x 3 y 0 1
3
( x
D
2
y )dxdy
2
6
d r rdr 15( 3 ). 2 sin 2
4 sin 2
sin( x y ) dxdy, 例 5 计算二重积分 2 2 x y D 2 2 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x y 4}.
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
2 ( )
1 ( )
北理线性代数在线作业
在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.()判断题10.错误未判断×.有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一判断题10.错误未判断×单选题10.2 ×单选题10.3 ×1单选题10.4 ×单选题10.1 ×按定义，5阶行列式有项，其中带负号的有项.填空题10.120&60×填空题10.5&奇×2填空题10.×填空题10.0 &×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答批改3案单选题10.2 ×单选题10.3 ×单选题10.3 ×4单选题10.2 ×单选题10.1 ×填空题10.0 &×填空题10.正×5填空题10.×填空题10.0 &×填空题10.0 &×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%6在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.正确未判断×行阶梯形矩阵中非零行的个数就是它的秩判断题10.正确未判断×判断题10.正确未判断×单选题10.1 ×单选题10.4 ×单选题10.4 ×7单选题10.2 ×填空题10.×填空题10.0 E×填空10.×8题相等本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0 错误未判断×对于一个给定的向量组，不是线性相关就是线性无关；判断题10.0 正确未判断×.有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一判断题10.0 错误未判断×单选10.0 1 ×9题单10.0 1 ×选题单10.0 1 ×选题单10.0 2 ×选题10填空题10.0 ×填空题10.0 唯一×填空题10.0 ×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改11判断题10.正确未判断×特征多项式相同的矩阵相似. 判断题10.错误未判断×单选题10.3 ×下面二次型中正定的是单选题10.2 ×单选题10.3 ×单选题10.2 ×12单选题10.1 ×填空题10.×填空题10.×填空10.×13题本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.正确未判断×判断题10.正确未判断×判断题10.错误未判断×单选题10.2 ×14下面二次型中正定的是单选题10.2 ×单选题10.3 ×单选题10.1 ×填空题10.×15填空题10.×填空题10.×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%16在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改若行列式主对角线上的元素全为0，则此行列式为0.( ) 判断题10.0 错误错误√.有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一判断题10.0 错误错误√单选题10.0 2 2 √17单10.0 3 3 √选题单10.0 4 4 √选题单10.0 1 1 √选题按定义，5阶行列式有120项，其中带负号的有______项. 填10.0 60*&*60 ×18空题６０填空题10.05*&*奇5&奇×填空题10.0 0 零×填空题10.0 正×本次作业总分值:100.0 得分:60.0 正确的题数：6 题目总数：10 正确率:60.000004%19在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0错误错误√对于一个给定的向量组，不是线性相关就是线性无关；判断题10.0正确正确√.有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一判断题10.0错误错误√单选题10.0 1 1 √20单选题10.0 1 1 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 2 ×填空题10.0 1 ×填空题10.0唯一×填空题10.0 n*s ×22在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.正确未判断×特征多项式相同的矩阵相似. 判断题10.错误未判断×判断题10.错误未判断×单选题10.3 ×单选题10.2 ×23单选题10.1 ×单选题10.1 ×填空题10.将A的第1列的1/a倍加到第2列×填空题10.线性无关×24填空题10.C'AC×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%本次作业总分值:100.0 得分:70.0 正确的题数：7 题目总数：10 正确率:70.0%25在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 2 ×下列各项中，（）为某4阶行列式中带正号的项单选题10.0 4 ×单选题10.0 4 ×26单10.0 3 ×选题单10.0 4 ×选题填10.0 10 ×空题填10.0 -18 ×空题27填10.0 -113 ×空题填10.0 -1 ×空题填10.0 192 ×空题本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%28在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0正确未判断×行阶梯形矩阵中非零行的个数就是它的秩判断题10.0正确未判断×判断题10.0正确未判断×单选题10.0 1 ×单选题10.0 4 ×29单选题10.0 4 ×单选题10.0 2 ×填空题10.0 1 ×填空题10.0 E ×填空题10.0相等×3031在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0错误未判断×判断题10.0错误未判断×判断题10.0错误未判断×单选题10.0 1 ×单选题10.0 1 ×32单选题10.0 1 ×单选题10.0 2 ×本次作业总分值:100.0 得分:90.0 正确的题数：9 题目总数：10 正确率:90.0%北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reserved. 填空题10.0 3 ×33填空题10.0 -2 ×填空题10.0 2 ×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%在线作业自动判卷题目类型分值正确答案你的答案批改单选题10.0 2 ×34下列各项中，（）为某4阶行列式中带正号的项单选题10.0 4 ×单选题10.0 4 ×单选题10.0 3 ×单选题10.0 4 ×35填10.0 10 ×空题填10.0 -18 ×空题填10.0 -113 ×空题36填空题10.0 -1 ×填空题10.0 192 ×本次作业总分值:100.0 得分:0.0 正确的题数：0 题目总数：10 正确率:0.0%北京理工大学现代远程教育学院版权所有京ICP备05065315号Copyright©2000-2006 All right reserved.37题目类型分值正确答案你的答案批改判断题10.0 错误错误√对于一个给定的向量组，不是线性相关就是线性无关；判断题10.0 正确正确√.有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一判断题10.0 错误错误√单选题10.0 1 1 √单选题10.0 1 1 √单选题10.0 1 1 √38单选题10.0 2 2 √填空题10.0 1 ×填空题10.0 唯一唯一√填空题10.0 n*s n*s √39单10.0 2 ×选题单10.0 3 ×选题单10.0 3 ×选题40单选题10.0 2 ×单选题10.0 1 ×i=4,j=____ 填空题10.0 j=7 ×填空题10.0 正×4阶行列式中含有因子a13a31的项是___填空题10.0 -a13a22a31a44+a13a24a31a42 ×i=4,j=____填空题10.0 2 ×41X3的系数是157。
16秋北理工《线性代数》在线作业
B. 正确
正确答案：
8. 特征多项式相同的矩阵相似。
A. 错误
B. 正确
正确答案：
9.
A. 错误
B. 正确
正确答案：
10. A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则AB是m×s矩阵。
A. 错误
B. 正确
正确答案：
北理工《线性代数》在线作业
B.
C.
D.
正确答案：
9.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
10.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
11.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
12.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
13.
A.
B.
C.
B.
C.
D.
正确答案：
7.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
8.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
9.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
10.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
11.
A.
B.
C.
26.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
27.
A.
B.
C.
D.
正确答案：
28.
北理-线性代数-在线作业
X
« 0■■■010^-00
"阶行列式D町二：：■■■：：的值等于（）；
0 0-^010■■-0t7
单 选 题
10.0
3
X
A0OH
设detH是""行列式：detg是恒除行列式，记=C=D：贝，
0B5 0
1C：D的值是（）一
单 选 题
10.0
4
X
7(54321) =.
填 空 题
10.0
10
X
1 2 3
填 空 题
10.0
192
X
本次作业总分值:100.0得分:0.0正确的题数：0题目总数：10正确率:0.0%
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［西cos0 + x2sin9= b2
填 空 题
10.0
唯
X
设总是MX H阶矩阵，8是用xs阶矩阵，则4丁明是阶矩阵；
填 空 题
10.0
n*s
X
本次作业总分值:100.0得分:60.0正确的题数：6题目总数：10正确率:60.000004%
——11^^型6尤［+5工:+Jy-4*工1+4工］工.FF-.
区--%+ % +2a4，A= —% + % + 2%，B4 --4 + & +双，用=—% +a5，贝।]rq,%,…,q）与r（瓦月，…血）应满足什么美系；y>4）1
填 空 题
10.0
19春北理工《线性代数》在线作业答案
(单选题)1: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)2: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)3: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)4: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)5: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)6: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)7: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)8: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)9: 正确答案:(单选题)10: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)11: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)12: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)13: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)14: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)15: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)16: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)17: A: AB: BC: CD: D正确答案:D: D正确答案:(单选题)19: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)20: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)21: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)22: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)23: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)24: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)25: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)26: A: AB: BC: CD: DC: CD: D正确答案:(单选题)28: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)29: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)30: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)31: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)32: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)33: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)34: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)35: A: AB: BC: CB: BC: CD: D正确答案:(单选题)37: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)38: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)39: A: AB: BC: CD: D正确答案:(单选题)40: A: AB: BC: CD: D正确答案:(判断题)41: A: 错误B: 正确正确答案:(判断题)42: A: 错误B: 正确正确答案:(判断题)43: A: 错误B: 正确正确答案:(判断题)44: A: 错误B: 正确正确答案:(判断题)45: 若A，B均可逆，则A+B可逆。
高等数学二重积分计算
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx［. Y－型］
D
c
1( y)
（在积分中要正确选择积分次序）
一、利用极坐标系计算二重积分
i
1 2
(ri
ri )2
i
1 2
ri
2
i
1 2 (2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
ri
(ri 2
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
例 5 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f (x, y) 为曲顶柱体的体积．
z
z f (x, y)
应用计算“平行截
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
sin( x2 y2 ) dxdy 4 sin( x2 y2 ) dxdy
北京理工大学2017-2018学年工数上期末试题A及答案
课程编号：H0172103 北京理工大学2017-2018学年第一学期工科数学分析（上）期末试题(A 卷)座号 _______ 班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________(试卷共6页,十个大题. 解答题必须有过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.)1．若 ex x kx x 1)2(lim =-∞→ ，则=k . 2．已知,arctan 2111ln 41x x x y --+=则=dxdy . 3. =-+⎰dx xe x e x x 102)1()1( . 4 .=⎰xdx x sin 2 .5. 设x y y cos =+'，则=y .二、计算题（每小题5分，共20分）1.求极限 ).2sin 211(sin lim 3nn n n -∞→2. 设x x y x 2sin sin +=，求dy .3. 计算dx xx x x ⎰-++112211cos 2-.4.求)cos(y x dxdy+=的通解.三、（8分）已知0)-1(lim 2=-+-+∞→b ax x x x ，试确定常数a 和b 的值.四、（6分）已知,...).2,1)((21,0,011=+=>>+n b bb b b b nn n 证明: 数列{}n b 极限存在；并求此极限.五、（8分）求函数2)1(42-+=xx y 的单调区间和极值，凹凸区间和拐点，渐近线.y=围成一平面图形D.六、（8分）设曲线2xy=，x(1) 求平面图形D的面积；(2) 求平面图形D绕y轴旋转所得旋转体的体积.七、（8分）设一长为l的均匀细杆，线密度为μ,在杆的一端的延长线上有一质量为m的质点，质点与该端的距离为a.（1）求细杆与质点间的引力；（2）分别求如果将质点由距离杆端a 处移到b 处(b a >)与无穷远处时克服引力所做的功.八、（8分）设)(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且,0)0(,1)1(,0)1('===-f f f证明在开区间)1,1(-内至少存在一点ξ，使3)()3(=ξf .九、（8分）设⎰-+=xxdt t f t x xe x f 0)()()(, 其中)(x f 连续，求)(x f 的表达式.十、（6分）已知)(x f 在闭区间[]6,1上连续，在开区间)6,1(内可导，且，5)1(=f ，1)5(=f .12)6(=f证明：存在)6,1(∈ξ，使22)()(=-+'ξξξf f 成立.北京理工大学2017-2018学年第一学期《工科数学分析》（上）期末试题(A 卷)标准答案及评分标准 2018年1月12日一、填空（每小题4分，共20分）1．21 2．421x x -3. )(，不收敛+∞∞4 . C x x x x x +++-cos 2sin 2cos 2 5. x ce x x y -++=)cos (sin 21二、计算题（每小题5分，共20分）1. 解：)2sin 211(sin lim 3xx x x -∞→312sin 211sin lim x x x x -=∞→ xt 1=令 30)2sin(21sin limt t t t -=→ …………. 2分 20cos 1sin lim t t t t t -⋅=→21= …………. 4分21)2sin 211(sinlim 3=-∴∞→n n n n …………. 5分注：此题也可以用泰勒公式。