理论力学 平面力系1
理论力学2.2、平面任意力系的合成与平衡
m F1 OA F2 OB F1 ( OA OB ) F1 AB
3
力 线 作用在刚体上的力可以离开其作用线而平 平 行移动到刚体上任意位置处,但必须对刚体 移 附加一个力偶,附加力偶的力偶矩等于原力 定 对平移后所得新力作用点的力矩。 理
求细绳的拉力和A、B两处的支持力。
解、研究对象：AB，受力 如图所示，则有：
Fix Fiy mD
0 0
(Fi )
0
FB FD G FA c
FA
os
sin 0
FB
BD
G
AB 2
0 sin
FA
AD
0
FA 115.5(N) FB 72.2(N ) FD 129.9(N) 12
例2.2-6、匀质细杆AB长度为L，重量为mg，静 止在半径为r的光滑半圆槽内（图2.2-17），
L=3r；求AB杆与水平线之间的夹角
解、研究对象:AB杆,受力如 图所示,则有:
Fix 0 Fiy 0 mO (Fi ) 0
FB FB
cos(2 ) FD sin sin(2 ) FD cos
d mO 2402 3.39(m) FR 709 .5
xE
d
sin
3.39 sin 70.8
3.59(m)
y yE tan 70.8 (x xE ) y 2.87x 10.31 0
10
课堂练习题(图示)：
平面一般力系向一点的简化
平面力系\平面一般力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，但各力的作 用线不汇交于一点，也不都组成力偶，则这种力系称为平面一般力 系。平面一般力系是工程中最常见的力系。
例如图示屋架，受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以 及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内， 组成一个平面一般力系。
MO MOi F 3m W1 1.5m W2 1m 450 kN m
负号表示主矩MO顺时针转向。
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
根据力的平移定理，本问题 中主矢F'R与主矩MO还可进一步 简化为一个合力FR，其大小、方 向与主矢F'R相同。设合力FR的 作用线与x轴的交点B到O点的距 离为d1，由合力矩定理，有
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
将式 FR F F 向坐标轴投影，得
FRx X FRy Y
即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。
求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小及方向分别为
FR
X
2
Y
2
tan Y
X
式中： ——F‘R与x轴正向的夹角。
至于主矩可直接利用 M O M O1 M O 2 M O n M O F
（2）力系可简化为一个合力 当 FR 0, M O 0 时，力系与一个力等效，即力系可简化为一 个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
当 FR 0, M O 0 时，根据力的平移定理逆过程，可将FR 和 MO简化为一个合力FR。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作 用线不通过简化中心。
MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）
理论力学-力的分解与力的投影以及平面力系中的力矩
O
45
30
45
x
129.3 N
F3
Fy Fyi F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3 N
第一章 静力学的基本公理与受力分析
F4
例题
合力的大小：
平面基本力系
FR Fx2 Fy2 171.3 N
二、力矩的解析表达式
M o (F ) xFy yFx
x、y是力F作用点A的坐标， 而Fx 、 Fy是力F在x、y轴的投影， 计算时用代数量代入。
合力FR对坐标原点之矩的解析表达式
M o ( FR ) ( xi Fyi yi Fxi )
i 1
第一章 静力学的基本公理与受力分析
n
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
平面力系中的力矩
M O (Fx ) M O (Fy ) xFy - yFx
Fr(sincos - cossin ) Frsin ( - ) M O (F )
M O (F ) M O (Fx ) M O (Fy )
从上面的计算可以看到，力F对O点之矩等于它的两 个正交分力Fx和Fy对O点之矩的代数和。
第一章
静力学的基本公理与受力分析
合力矩定理
平面汇交的合力对于平面内 任一点之矩等于所有各分力对于 该点力矩的代数和。即
n
M o ( FR ) M o ( F1 ) M o ( F2 ) ....... M o ( Fn ) M O ( Fi )
i 1
第一章
静力学的基本公理与受力分析
q B x
q
A dx x h l
理论力学 第三章 平面力系
FBl cos M 0
得
M 20 k N m FB 4.62 kN l cos 5 m cos 30
FA FB 4.62kN
故
目录
第三章 平面力系\力的平移定理
3.3 力的平移定理
作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须 在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩 等于原力对指定点之矩。 平面一般力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。
设平面汇交力系F1、F2、…、Fn中各力在x、y轴上的投影分 别为Xi、Yi，合力FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，利用公式
F Fx Fy Xi Yj
分别计算式FR=F1+F2+…+Fn=ΣF 等号的左边和右边，可得 FR = XR i+YR j 以及 F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj） =（X1+X2+…+Xn）i+（Y1+Y2+…+Yn）j 比较后得到 X R X1 X 2 X n X YR Y1 Y2 Yn Y 目录
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第三章 平面力系
如图(a)所示水坝，通常取单位长度坝段进行受力分析，并将坝 段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系［图(b)］。
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第三章 平面力系
第三章 平面力系
3.1 平面汇交力系的合成与平衡 3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.3 力的平移定理 3.4 平面一般力系向一点简化 3.5 平面一般力系的平衡方程及其应用
第三章 平面力系\平面力偶系的合成与平衡
理论力学-静力学部分
静力学部分总结姓名：孟庆宇班级：15工9 学号：20150190218静力学是研究物体的受力分析与力系简化及平衡。
平面力系：1、平面汇交力系；2、平面力偶系；3、平面任意力系。
空间力系：1、空间汇交力系；2、空间力偶系；3、空间任意力系。
一、基本概念1、静力学；2、刚体；3、变形体；4、力；5、力系；6、等效力系；7平衡；8、平衡力系；9、平衡条件；10、平衡方程； 11、力系简化；12、合力；13分力；14、二力构件；15、自由体；16非自由体；17、约束；18、约束力；19主动力；20、被动力；21、施力体；22、受力体。
物体在受到力的作用后，产生的效应可以分为两种：(1)外效应也称为运动效应——使物体的运动状态发生改变；(2)内效应也称为变形效应——使物体的形状发生变化。
静力学研究物体的外效应。
材料力学主要研究力对物体的内效应。
23、平面力系；24、平面汇交力系；25、平面力对点的矩；26、平面力偶矩；27、平面任意力系；28、主矢；29、主矩；30、平面力系平衡条件；31、平面力系平衡方程；32、平面物体系统；33、平面物体系统的平衡；34、静定问题；35、超静定问题；36、平面桁架。
37、空间力系；38、空间汇交力系；39、空间力对点、对轴的矩；40、空间力偶矩；41、空间任意力系；42、主矢；43、主矩；43、空间力系平衡条件；44、空间力系平衡方程。
二、基本理论1、五大公理、两个推论及其应用。
2、工程中常见的八大约束类型及约束反力。
(1)光滑约束；(2)柔索约束；(3)圆柱销光滑铰链约束；(4)固定铰支座约束；(5)滚动支座约束；(6)球铰链约束；(7)止推轴承约束；(8)固定端约束。
3、力的投影定理及性质(平面、空间)；4、力矩、力偶矩的定义及性质(平面、空间)；5、合力投影定理及合力矩定理(平面、空间)；6、力的平移定理；7、任意力系的四种简化结果 (平面、空间)；(1) 0='RF 0≠O M ；(2) 0≠'R F 0=O M ；(3) 0≠'R F 0≠O M ； (4) 0='RF 0=O M 。
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
理论力学-平面力系
第二章平面力系一、是非题1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。
（）2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。
（）3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。
（）4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。
（）5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。
（）6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。
（）7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。
（）8．平面任意力系，只要主矢R≠0，最后必可简化为一合力。
（）9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。
则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。
（）10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。
（）11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。
（）12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。
（）二、选择题1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为115.47N，则F在y轴上的投影为。
①0；②50N；③70.7N；④86.6N；⑤100N。
2．已知力F的大小为F=100N，若将F沿图示x、y方向分解，则x向分力的大小为N，y向分力的大小为N。
①86.6；②70.0；③136.6；④25.9；⑤96.6；3．已知杆AB长2m，C是其中点。
分别受图示四个力系作用，则和是等效力系。
①图（a）所示的力系；②图（b）所示的力系；③图（c）所示的力系；④图（d）所示的力系。
4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为。
理论力学-平面汇交力系
静力学
第二章
平面力系
第二章
平面力系
主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 平面汇交力系的合成与平衡 平面力偶系的合成与平衡 平面任意力系的合成与平衡 静定与超静定 ·物系的平衡 平面简单桁架的内力计算
第二章
平面力系
§2-1 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系
何谓平面汇交力系？
作用在刚体上的力都在同一平面上，
C B
D y
二力杆
Fx 0, Fy 0,
FA cos FC cos 45 0
FA
A
E
FA sin FC sin 45 F 0
C
F
45o
B x
5. 解得： FA =22.4kN FC =28.3kN
FC
§2-1 平面汇交力系
解题技巧及说明
1、通常，对于只受三个力作用而平衡的物体，且角 度特殊时用几何法比较简便。- 解力三角形 2、对于受多个力作用平衡的物体，均用解析法。 3、投影轴的选择原则：与未知力垂直或平行，最好 使每个方程中只有一个未知数。 4、解析法解题时，如果力的指向不能确定，可任意 假定，如求出负值，说明力的实际方向与假设方 向相反。 如：对于二力构件，可先预先设为拉力。
— 力多边形
含义：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 合力的作用线通过各分力的汇交点。
§2-1 平面汇交力系 2、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR = 0 , 即
F2 F1
F3
F5 = FR
F = 0
i
相应地，从几何角度上讲，如何？ 平面汇交力系平衡的充要条件是：
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F4
F1
F1 b F2
O
F2 F3
a
c
F3
F4
d
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第二章 平面力系
思考题
刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其 四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭 的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？
F1
B
F2
A
F4
D
C F3
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理论力学
静
力
第二章 平面力系
学
第二章 平面力系
2020年6月19日
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理论力学
第二章 平面力系
本章内容
§2－1平面汇交力系
§2－2平面力对点之矩&平面力偶
§2－3平面任意力系的简化
§2－4平面任意力系的平衡条件和平衡方程
§2－5物体系的平衡*静定和超静定问题
§2－6平面简单桁架的内力计算
60º 30º
3.作出相应的力三角形。 4.由力多边形解出：
FA = F cos30=17.3 kN
60º
30º
FB = F sin30=10 kN
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第二章 平面力系
例2-2 门式刚架如下图所示，在B点受一水平力 F=20 kN，不计刚架自重，求支座A、D的约束力。
FB
当应用合力投影定理求出力系的合力的投影Fx、 Fy后，可用下式求出合力的大小和方向
FR FRx2 FRy2 ( Fx)2 ( Fy)2
cos(FR , i)
FRx FR
Fx FR
cos(FR , j)
FRy FR
Fy FR
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第二章 平面力系
例2-4 F1=2kN,F2=3kN, F3 =1kN, F4=2.5kN,求力系的
第二章 平面力系
例题 2-1
水平梁AB中点C 作用着力F，其大小等于2 kN，
方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图a 所示，试
求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的
自重不计。
A C
a
a
B
30º
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第二章 平面力系
解： 1.取梁AB作为研究对象。 2.画出受力图。
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第二章 平面力系
由图b知，若已知力 F 的大小 和其与x轴、y轴的夹
角为 、 ，则力在 x、y 轴上的投影为
Fx F cos
Fy F cos F sin
注意 （1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量； （2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在 原力的作用点。
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§2-1 平面汇交力系
第二章 平面力系
汇交力系：各力作用线均汇交于一点。
F1
A
F2
F4 F3
F1
F2
平面力系
平面汇交力系
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第二章 平面力系
一、汇交力系合成的几何法、力多边形法则
F1
A F2
F4 F3
a
F1 b
F2 c FR1 F3
FR2 d
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第二章 平面力系
若已知 F 在正交坐标轴上的投影为 Fx 和 Fy ， 则由几何关系可求出力 F 的大小和方向，即
F Fx2 Fy2
cos Fx
， cos Fy
Fx2 Fy2
Fx2 Fy2
式中 cos 和 cos 称为力 F 的方向余弦。
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F4 sin 45o 1.12kN 河南理工大学土木工程学院
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第二章 平面力系
例2-5 用解析法求下图所示汇交力系的合力的大 小和方向。已知
F1 1.5kN, F2 0.5kN, F3 0.25kN, F4 1kN
y
F3 F2 600
F4 F1 FR
450 【解】 先计算合力 FR 在x、y
理论力学
第二章 平面力系
（二） 合力投影定理
定义：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一
轴上投影的代数和。即
Fx Fx1 Fx2 Fxn Fxi
Fy Fy1 Fy2 Fyn Fyi
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第二章 平面力系
这个定理也可很直观地理解，如下图表示
y
D F3
CF B
4m
A
D Aθ
FA 8m
C
c
FA FD
Dθ
b
a
F
FD
FD=bc=10 kN FA=ca=22.5 kN，θ=26.5°
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第二章 平面力系
例2-3 棘轮插爪构成的止逆装置，如图所示，已知提升 重量W=500 N，d1=42 cm，d2=24 cm，a=12 m,h=5cm。 求插爪及轴承所受的压力。
a
A
h
A。F。B
c FB
FC
a
O
FC=bc=680 N
。
W FB=ca=310 N
FC W
b
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3.平面汇交力系合成的解析法
（一）力在坐标轴上投影
y
y
第二章 平面力系
AB
oa
x
b
图 a 平行光线照射
下物体的影子
b1 a1
Fy
Fx
FB
Fy
A
oa
Fx
b
x
图b 力在坐标轴上的投影
合成结果。
y
y
解∶
F2
o 60
oA 45
F3
F1
o 30
x o 45
F4
FR
。θ
x
FRx Fx F1 cos 30o F2 cos 60o F3 cos 45o
F4 cos 45o 1.29kN FR y Fy F1 sin 30o F2 sin 60o F3 sin 45o
a
F1 b
F2
c F3
d
FR
F4
e
a F2 b
F4
FR
c
F3 d
e F1
改变力多边形中的各力顺序，合力的大小和方向、
பைடு நூலகம்
作用点不变。
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第二章 平面力系
2.平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边
形自行封闭，即 FR =0
或
F1+F2+F3+F4=0
FR
F4
e
F1、F2、F3、F4 为平面汇交力系。 FR1=F1+F2 FR2=FR1+F3
合力的表达式： FR=FR2+F4=F1+F2+F3+F4
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第二章 平面力系
1.力的多边形法则
各力矢首尾相接，形成一个开口的多边形，称为 力多边形。由开口的力多边形始点指向终点的封闭边 为合力。合力的作用点仍在力系的公共作用点上。
F3
F2
F
C
A
B F2
o
F1
F1
o
a
x
bd c
Fx1 ab, Fx2 bc, Fx3 cd , Fx ad
因 ad ab bc cd , 故 Fx Fx1 Fx2 Fx3
同理可得 Fy Fy1 Fy2 Fy3
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理论力学 （三） 平面汇交力系的合成
第二章 平面力系