实数与向量的积教案
实数与向量的积
“实数与向量的积”教学课例分析一、设计思想（主要负责人：卢杨妃）1、设计理念本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”。
教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性，但不是将“数学基本知识与技能的学习”与之对立或降低前者的要求作为必要的代价。
教学中注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。
通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会意识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。
2、教材的地位与作用本节教材在学生把握向量加法的基础上，学习实数与向量的积，其定义可以看作是数与数的积的概念的推广；运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律很相似，只是数乘向量的分配律，由于因子的不同，可分为第一分配律和第二分配律；向量共线的充要条件实际是由实数与向量的积推出的。
本节内容基础知识和基本技能非常重要，涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。
本设计是第一课时的教学内容。
3、教学目标的确定知识与技能：把握实数与向量的积的定义；把握实数与向量积的运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关运算；理解两个共线向量的充要条件，会根据条件判定两个向量是否共线。
（ 2）过程与方法：用引例使学生产生学习需求，引导学生探究新知，解决问题，再发现问题，使学生在螺旋式的探究、解决、发现中体验科学研究的方法及类比、归纳、分类讨论、形数结合的思维方式，激发学生主动获取知识的学习意识。
（ 3）情感、态度与价值观：通过具体问题的解决，体会“探究学习”在学习过程中的作用，使学生体验成功，增强学习数学的自信心。
高一数学实数与向量的积(二)教案
诚西郊市崇武区沿街学校§实数与向量的积〔二〕教学目的：1．理解平面向量的根本定理；2．掌握定理的根本应用；3．能运用定理处理简单的几何问题．教学重点：1．掌握平面向量的根本定理；2．理解平面向量基底的含义．教学难点：1．运用平面向量根本定理解决有关问题；2．会用给定图形上的一组基底表示指定的向量．教学过程知识平台1．阅读教材P104，借助图形，理解如何用平面内一组不一一共线向量e1，e2去表示该平面内任一向量a；2．阅读教材P105，明确定理的内容，且通过例4、例5体会在简单的几何图形中如何用一组不一一共线向量去表示图形的其它向量．情景平台1．平面向量根本定理的内容是：假设e1，e2是，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有．2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不一一共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数对不一一共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是．3．在直角坐标系中，假设(1,0)A ，(0,1)B ，(,)C x y ，(2,3)D ，假设OA =i ，OB =j ．〕i ，j 能作为一组基底吗？假设能，试用i ，j 表示OD ；〕试用i 和j 表示OC ．2°说明：①基底；②基底不唯一，关键不一一共线；③可将任一向量在基底e1，e2下分解．才能平台4．如图，在ABC △中，D 、E 是AC 上的三等分点，F 、G 是BC 上的三等分点，令CA =a ，CB =b ，用a 、b 来表示向量EF ，DG ．5．设D 、E 、F 分别表示ABC △的三边上的中点，令BC =a ，CA =b ，给出以下命题，其中正确命题的序号有．①12AD =-a -b②EF =a 12+b 12CF =-a 12+b④AD DE CF ++=0 6．如右图，OA PB λ=，R λ∈， 〔1〕用OA ，OB 表示OP ；〔2〕假设P 为中点呢？【小结】 1°利用法那么和用平面向量根本定理解决向量问题．2°注意途径的选择的多样性．作业：教材P110习题T3，T4，T6A B F P后记:。
高中数学教案——实数与向量的积 第二课时
课 题：实数与向量的积（2）教学目的： 1了解平面向量基本定理； 2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法； 3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：+=+9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： = a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =13．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa +λb14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-251e +32e 作法：（1）取点O ，作OA =-251e OB =32e （2）作 ，即为所求-251e +32e 例2 如图 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD解：在 中 ， ∵AC =+=a +b ，=-=a -b∴MA =-21AC =-21(a +b )=-21a -21b ，=21=21(a -b )=21a -21b =21=21a +21b =-=-21=-21a +21b例3的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE证明：∵E是对角线AC和BD的交点∴==-,==-在△OAE中，OA+AE=OE同理OB+=OE，OC+CE=OE，OD+=OE以上各式相加，得+++=4例4如图，，不共线，=t(t∈R)用,表示解：∵=t∴OP=OA+AP=OA+ t AB=OA+ t(OB-OA)=OA+ t OB-t OA=(1-t) OA+ t OB四、课堂练习：1e1、e2是同一平面内的两个向量,则有A1、e2一定平行B1、e2的模相等C a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+u e2(λ、u∈R)2a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系A B共线 C相等 D无法确定3e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y 的值等于A B-3 C0 D24a、b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R)则λ= ,μ=5a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=6λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,a与e2_________(填共线或不共线)参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线不共线五、小结平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业：1．如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与 分析：以ａ，ｂ为基底分解AB 与HF ，实为用ａ与ｂ表示向量AM 与HF解：由H 、M 、F 所在位置有：=+=+21=+21=ｂ＋21ａ， HF ＝AF －AH ＝AB ＋BF －AH ＝＋2131-＝＋31－21＝ａ－61ｂ 2．如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，OC ＝с，求OP 与分析：由平面几何的知识可得△APQ ∽△ABC ，且对应边的比为ｔ，∴ACAQ AB AP =＝ｔ，转化向量的关系为：AP ＝ｔAB ，＝ｔAC ，又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在解：∵PQ ∥BC ，且BC PQ ＝ｔ，有△APQ ∽△ABC ，且对应边比为ｔ（＝BC PQ ），即ACAQ AB AP =＝ｔ． 转化为向量的关系有：＝ｔ，＝ｔ， 又由于：AP ＝OP －OA ，＝－OA ，＝－，＝－∴＝＋＝＋ｔ（－）＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,＝＋＝＋ｔ（－）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс七、板书设计（略）八、课后记： 1注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译例1 如图，已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC 且MN ∥BC 分析：首先把图形语言：M 、N 是AB 、AC 的中点翻译成向量语言：＝21，AN ＝21一种语言，即＝－＝21－21 ＝21（AC －AB ）＝21最后又将向量语言MN ＝21BC 翻译成图形语言就是：MN ＝21BC 且MN ∥BC 2向量法应用例2已知平行四边形ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点， ∴＝21，＝21， 由向量加法法则可知： ＝＋＝＋21，＝＋＝＋21 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴＝－，＝－， ∴＝－－21＝－（＋21）＝－ ∴AE ∥CF ，∴AE ∥CF强化训练： 1a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1,b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2(3)a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2(e 1、e 2不共线) A B (2)(3)(4) C (1)(3)(4) D (1)(2)(3)(4) 2A 、B 、P 满足AP =λPB (λ≠±1),O 是空间一点,则OP 用 、表示式为（ ） A =+λ B =λ+(1-λ) C OP =λλ++1 D OB OA λλ-+=111 3a 、b 是不共线的两向量,且=λ1a +b , =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ） A 1=λ2=-1 B λ1=λ2=1 C λ1λ2+1=0 D λ1λ2-1=0 4a =-e 1+3e 2,b =4e 1+2e 2,c =-3e 1+12e 2,则向量a 写为λ1b +λ2c 的形式是 5e 1、e 2不共线,a =2e 1+e 2,b=3e 1-2λe 2,若a 与b 共线,则实数λ= 6ABCD 和点O , =a , =b , =c ,=d ,a +c =b +d ,则四边形ABCD 的形状是 7OA 、OB 不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且OP =(1-t ) OA +t OB (t ∈R ),求证A 、B 、P 三点共线8a 、b 不平行时,求使p a +q b =0成立的充要条件 9a =2e 1-3e 2,b =2e 1+3e 2,其中e 1、e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d =λa +μb 与c 共线?参考答案：1A 2C 3D 4- 181b +277 c 5- 41 6平行四边形 7(略) 8p=q=0 9存在,λ=-2μ能使d 与c 共线。
高一数学实数与向量的积1.doc
实数与向量的积（1）教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、ｂ等表示；3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、ｂ、ｃ平行，记作a ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
8．向量加法的交换律：a +b =b +a9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： = a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。
二、讲解新课： 1．示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a )=++=a +a +a =3a=++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a（1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2）-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a | 2．实数与向量的积的定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa . 规定： （1）|λa |=|λ||a |（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =3．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ②第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③4．向量共线的充要条件若有向量a (a ≠)、b ，实数λ，使b =λa ，则a 与b 为共线向量。
实数与向量的积教案
实数与向量的积教案●教学目标(一)知识目标平面向量基本定理.(二)能力目标1.了解平面向量基本定理；2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.(三)德育目标事物之间的相互转化.●教学重点平面向量基本定理.●教学难点平面向量基本定理的理解与应用.●教学方法启发引导式启发学生理解平面向量基本定理的证明应用了两向量共线的充要条件，并且认识到学习定理是为下节学习向量的坐标表示作铺垫，另外，引导学生在例题分析过程中体会利用平面向量基本定理将向量分解的方法.●教具准备投影仪、幻灯片(例题)●教学过程Ⅰ.复习回顾师：上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件.这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用.Ⅱ.讲授新课1.平面向量基本定理如果ｅ１、ｅ２是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量ａ，有且只有一对实数λ１、λ２，使ａ＝λ１ｅ１＋λ２ｅ２.说明：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.师：下面我们通过例题使大家进一步熟悉平面向量的基本定理及其应用.［例1］如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量AM 与HF .分析：以ａ，ｂ为基底分解向量与，实为用ａ与ｂ表示向量与.解：由H 、M 、F 所在位置有：=+=+21=+21=ｂ＋21ａ， HF ＝AF －AH ＝AB ＋BF －AH ＝AB ＋AD BC 2131-＝AB ＋31AD －21＝ａ－61ｂ［例2］如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求与.分析：由平面几何的知识可得△APQ ∽△ABC ，且对应边的比为ｔ，∴ACAQ AB AP =＝ｔ，转化向量的关系为：＝ｔ，＝ｔ，又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在.解：∵PQ ∥BC ，且BC PQ ＝ｔ，有△APQ ∽△ABC ，且对应边比为ｔ（＝BC PQ ），即AC AQ AB AP =＝ｔ． 转化为向量的关系有：AP ＝ｔAB ，＝ｔAC ，又由于：AP ＝OP －OA ，＝OQ －OA ，AB ＝OB －OA ，AC ＝OC －OA . ∴＝＋＝＋ｔ（－）＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,OQ ＝OA ＋AQ ＝OA ＋ｔ（OC －OA ）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс. 师：下面进行课堂练习Ⅲ.课堂练习课本Ｐ107练习1，2.Ⅳ.课时小结师：通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.Ⅴ.课后作业(一)课本Ｐ108习题5.3 4，5，6，7(二)1.预习Ｐ108～Ｐ1112.预习提纲：(1)平面向量的坐标表示与平面向量基本定理的关系.(2)平面向量的坐标运算有何特点?(3)向量平行的坐标表示是什么?●板书设计●备课资料1.注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译.［例1］如图，已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC 且MN ∥BC .分析：首先把图形语言：M 、N 是AB 、AC 的中点翻译成向量语言：＝21，＝21. 然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即MN ＝AN －AM ＝21AC －21AB ＝21（AC －AB ）＝21BC . 最后又将向量语言＝21翻译成图形语言就是：MN ＝21BC 且MN ∥BC . 2.向量法应用［例2］已知？ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF . 证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点， ∴＝21，＝21， 由向量加法法则可知：AE ＝AD ＋DE ＝AD ＋21DC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋21. ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴＝－，＝－，∴＝－－21＝－（＋21）＝－ ∴∥，∴AE ∥CF。
高一数学实数与向量的积和平面向量的坐标运算教案
实数与向量的积（第一课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障（1）已知向量a，作出a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）．（2）实数的乘法交换律是_____，实数的乘法结合律是_____，乘法对加法的分配律_____．2．先看书，再来做一做（1）λa＝0的充要条件是_____．（2）计算：（－7）×6a＝_____，4（a＋b）－3（a－b）－8a＝_____．【学习目标】（1）掌握实数与向量的积的定义．（2）掌握实数与向量的积的运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．（3）理解两个向量共线的充要条件，会根据条件判断两个向量是否共线．【基础知识精讲】本课时课本给出了实数与向量积的定义，实数与向量积的运算律和向量共线的充要条件．重点是实数与向量积的定义、运算律和向量共线的充要条件．而向量共线的充要条件也是难点．1．实数与向量积的定义我们知道，几个相等实数相加，便得到几倍实数的概念．这同样可推广到几个相等的向量相加上去，例如：a＋a＋a＝3a，（－a）＋（－a）＋（－a）＝－3a．n个相等非零向量a相加的和仍是一个向量，记作n a＝a＋a＋…＋a．显然1a＝a，n a 的长度是|a|的n倍，方向与a相同．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（1）|λa|＝|λ||a|；（2）当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．由定义可知，对于λa：①λ是数量，a是向量，λa仍是向量；②当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这反映了将向量a所代表的线段拉长了，当|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这反映了将向量a所代表的线段缩短了；③λa＝0的充要条件是a＝0或λ＝0．2．实数与向量积的运算律实数与向量积的运算律与数与数的积的运算律很相似，区别在分配律．设λ、u为实数，那么（1）λ（u a）＝（λu）a；（2）（λ＋u）a＝λa＋u a；（3）λ（a＋b）＝λa＋λb．通常将（1）称为结合律，将（2）称为第一分配律，将（3）称为第二分配律．根据实数与向量乘积的以上三个运算律，以后向量相加和数乘向量可以像实数及多项式那样去运算．如：5a＋3a－4a＝（5＋3－4）a＝4a；（－3）×4a＋（2a＋3b）－2（a－2b）＝－12a＋2a＋3b－2a＋4b＝－12a＋7b．3．向量共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是，有且只有一个实数λ，使得b＝λa．对充要条件的理解：（1）方向相同或相反的两向量共线，零向量与任何向量共线．若有一实数λ，使b ＝λa ，则b 与a 同向（λ＞0），或反向（λ＜0)，若b ＝0（λ＝0）．总之此时b 与a 共线，这就是充分性．首先介绍存在性．设b 与a 共线（a ≠0），再设|a |b ||＝λ．若b ＝0，则λ＝0，因此有b ＝0，b ＝λa ．若b ≠0，且b 与a 同向，则有b ＝λa ．若b ≠0，且b 与a 反向时，则有b ＝－λa ．这说明b 与a （a ≠0）共线时，存在λ使b ＝λa ．其次介绍唯一性．若b ＝λa ＝u a ，则（λ－u ）a ＝0，而a ≠0，所以u ＝λ，即λ是唯一的．（2）当a ＝0时，a 与任一向量b 都共线．若b ≠0，则λ不存在；b ＝0时，λ可为任意实数．因此，条件中需限制a ≠0．即b ∥a （a ≠0）⇔b ＝λa （λ唯一） b ∥a ⇐b ＝λa （λ为实数）． （3）向量平行的充要条件的作用．利用此充要条件可证明三点共线，或两直线平行．但需注意：直线平行不包括重合，用向量平行证明直线平行要根据图形所表示向量的有向线段所在直线是否重合．两向量若有公共点，则它们所在直线重合．例如，AB 与BC 共线，则A 、B 、C 三点共线．本课时学生感到困难的问题是：怎样证明实数与向量积的运算律？ 下面以证明运算律（3）为例．要证λ（a ＋b ）＝λa ＋u a ，我们首先考虑到当λ＝0或λ＝1或a 、b 中至少有一个为零向量的情形，结论都是成立的．下面我们只需对λ≠0，λ≠1，a ≠0，b ≠0的一般情况进行讨论．当λ＞0时，如图5－3－1示，作＝a ，0AB ＝λa ，＝b ，00C B ＝λb ，则BC ∥B 0C 0，∠ABC ＝∠AB 0C 0，且BC C B AB AB 000=＝λ，故△ABC ∽△AB 0C 0，∴ACAC 0＝λ，∠CAB ＝∠C 0AB 0．因此，A ，C ，C 0三点共线，即有λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．当λ＜0时，证法同λ＞0.综上, λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．图5－3－1【学习方法指导】怎样进行实数与向量的积的运算？ ［例1］完成下列各题：（1）31［21（2a ＋8b ）－（4a －2b ）］＝_____． （2）若a 、b 为已知向量，且32（4a －3c ）＋3（5c －4b ）＝0，则c ＝_____．（3）若3x ＋4y ＝a ，且2x －3y ＝b ，其中a 、b 为已知向量，则x ＝_____，y ＝_____． （4）已知向量a 、b 不共线，实数x ，y 满足向量等式3x a ＋（10－y ）b ＝2x b ＋（4y ＋7）a ，则x ＝_____，y ＝_____．解：（1）31［21（2a ＋8b ）－（4a －2b ）］ ＝31［a ＋4b －4a ＋2b ］ ＝31［－3a ＋6b ］ ＝－a ＋2b ． （2）∵32（4a －3c ）＋3（5c －4b ）＝0 即38a －2c ＋15c －12b ＝0 ∴13c ＝12b －38a ，c ＝1312b －398a ．（3）由题意得①×3＋②×4得：17x ＝3a ＋4b ， ∴x ＝173a ＋174b ． ①×2－②×3得：y ＝172a －173b ． （4）∵3x a ＋（10－y ）b ＝2x b ＋（4y ＋7）a∴（3x －4y －7）a ＋（10－y －2x ）b ＝0 ∵a 与b 不共线 ∴⎩⎨⎧=--=--02100743x y y x 解得x ＝1116,1147=y ．怎样判定三点共线？［例2］设两个非零向量e 1和e 2不共线，如果＝2e 1＋3e 2，＝6e 1＋23e 2，＝4e 1－8e 2．求证：A 、B 、D 三点共线．分析：要证A 、B 、D 三点共线，只需证明与共线即可．证明：∵＝＋＋＝2e 1＋3e 2＋6e 1＋23e 2＋4e 1－8e 2＝12e 1＋18e 2＝6（2e 1＋3e 2）＝6AB∴向量与向量共线． 又∵和有共同的起点A∴A 、B 、D 三点共线．【知识拓展】1．由共线向量判定定理可得到判定两个向量共线的另一个充要条件：两向量a 、b 共线的充要条件是存在两个不全为零的实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0． 2．若a 、b 不共线，当λa ＋μb ＝0时，必有λ＝μ＝0． 事实上，如果λ、μ中有一个不是零，不妨设μ≠0，则b ＝－μλa ，由共线向量判定定理可知b ∥a ，这与已知矛盾，所以必有λ＝μ＝0．上面的例1（4）的解答过程用到了这个结论．【同步达纲训练】 一、选择题1．有下面四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m （a －b ）＝m a －m b ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有（m －n ）a ＝m a －n a ③对于实数m 和向量a ，b ，若m a ＝m b ，则a ＝b ④对于实数m ，n 和向量a ，若m a ＝n a ，则m ＝n ，其中正确命题的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 2．设e 1，e 2是不共线的两个向量，有下列四组向量：①a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2 ②a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2 ③a ＝2e 1－31e 2，b ＝e 1－61e 2 ④a ＝2e 1，b ＝－3e 1，其中a 与b 共线的组数为（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组3．设命题p ：向量b 与向量a 共线；命题q ：有且只有一个实数λ使得b ＝λa ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件 二、填空题4．若2（x －31a ）－21（b －3x ＋c ）＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝_____．5．点C 在线段AB 上，且＝53，则＝_____．三、解答题6．两个非零向量e 1，e 2不共线，若＝e 1＋e 2，＝2e 1＋8e 2，＝3（e 1－e 2）．求证：A 、B 、D 三点共线．参考答案【课前复习】1．（1）＝a ＋a ＋a ＝（－a ）＋（－a ）＋（－a ）（2）ab ＝ba a （bc ）＝（ab ）c a （b ＋c ）＝ab ＋ac 2．（1）λ＝0或a ＝0 （2）－42a －7a ＋7b【同步达纲训练】 一、1．C ①②正确2．C ①③④中的a 与b 共线．3．B 由p 推不出q ．因当a ＝0时，存在无数个λ，使b ＝λa ．由q 可以推出p ．二、4．214a －71b ＋71c 去括号，移项即得．5．－23 由＝53，得＝53（＋）．∴5＝3－3，2＝－3，＝－23．三、6．证明：＝＋＝2e 1＋8e 2＋3（e 1－e 2）＝5e 1＋5e 2，又∵＝e 1＋e 2，∴BD ＝5·AB ，故向量AB 、BD 共线，所以A 、B 、D 三点共线．实数与向量的积（第二课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障． （1）下列各式叙述不正确的是（ ） A ．若a ＝λb ，则a 、b 共线（λ∈R ） B ．b ＝3a （a 非零向量）则a 、b 共线 C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝23a ＋2b ，则m ∥n D ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c（2）若a ＝e 1＋2e 2－e 3，b ＝3e 1－2e 2＋2e 3，则a ＋b ＝_____．2．先看书，再来做一做．（1）设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有（）A．e1、e2一定平行B．e1、e2的模相等C．同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋u e2（λ、u∈R）D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋u e2．（2）已知向量e1、e2，如图5－3－3．求作向量3e1＋2e2．图5－3－3【学习目标】（1）了解平面向量基本定理．（2）会通过定理用两个不共线向量表示另一向量或将一个向量分解为两个向量．（3）能用平面向量基本定理处理简单的几何问题．【基础知识精讲】本课时重点是平面向量基本定理的应用．难点是平面向量基本定理的理解．1．平面向量基本定理若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则该平面内的任一向量a都能表示为a＝λ1e1＋λ2e2．其中数对（λ1，λ2）是唯一的．我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．关于平面向量基本定理还可理解为：①平面向量基本定理说明同一平面内三个向量之间的关系，向量a是e1、e2的线性组合，或者说a可分解为两个向量，一个是与e1共线的λ1e1，一个是与e2共线的λ2e2．特殊地，若a与e1共线，则λ2＝0；若a与e2共线，则λ1＝0；若a＝0，则λ1＝λ2＝0．②a＝λ1e1＋λ2e2中，λ1、λ2是被a、e1、e2唯一确定的数量．③平面向量基本定理也可表述为：若向量e1、e2不共线，则向量a和向量e1、e2共面的充要条件是a＝λ1e1＋λ2e2．所以平面向量基本定理也叫共面向量定理．2．课本的例3实际上就是平面向量基本定理的几何解释，就是说平面上任一向量，都可以根据向量共线条件，将一组基底e1、e2的起点放在一起，再根据平行四边形法则，得到向量λ1e1＋λ2e2．要注意，OB（3e2）与e2共线，OA（－2.5e1）与e1共线，它们的方向一个相同（3e2与e2相同），一个相反（－2.5e1与e1相反）．其长度分别是原来的3倍和2.5倍．3．课本例4是根据平面向量基本定理，综合向量的混合运算，用向量来表示几何关系．4．课本例5实际上还得到一个重要结论：OA＝λOB＋u OC中，λ＋u＝1是A、B、C三点共线的充要条件．课本已证明了，如果A、B、C共线，则λ＋u＝1；反之，若λ＋u ＝1，即u＝1－λ，则＝λ＋（1－λ），于是，－＝λ（－），即CA＝λCB，∴A、B、C三点共线．本课时有下列两个问题需要给予重视怎样证明平面向量基本定理中λ、μ的唯一性？通过课本的论述，已经知道平面内任一向量a ，可以写成a ＝λ1e 1＋λ2e 2（λ，μ∈R ）的形式，这事实上是证明了λ1、λ2的存在性．下面给出唯一性的证明：（用反证法）．假设a ＝λ1e 1＋λ2e 2，又有a ＝μ1e 1＋μ2e 2，且λ1＝μ1，λ2＝μ2不同时成立．不妨设λ1≠μ2，二式相减整理可得（λ1－μ1）e 1＝（μ2－λ2）e 2，于是e 1＝1122μλλμ--e 2，即e 1与e 2共线，与已知e 1与e 2不共线矛盾，唯一性得证．平面向量基本定理与共线向量定理是什么关系？平面向量基本定理是基于平面向量共线的充要条件这一定理之上的．事实上，当a 与e 1或e 2共线，即λ1、λ2中有一个为0时，就是在同一直线上的“基本定理”，即共线向量定理．在基本定理的推导过程中，也用到a 的两个“分量”分别与e 1、e 2共线的条件．【学习方法指导】在平面图形中，如何用已知向量表示未知向量？［例1］如图5－3－4，平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别为DC ，BC 的中点，已知＝c ，＝d ，试用c 、d 表示和．图5－3－4分析：要直接用c 、d 表示和比较困难，利用“正难则反”的原则，可以先用、表示c 、d ，再来解关于和的方程组．解：设＝a ，＝b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得：＝21b ，21=DM a ．从△ABN 和△ADM 中可得：①×2－②，得a ＝32（2d －c ）②×2－①，得b ＝32（2c －d ） 即＝32（2d －c ），＝32（2c －d ）．怎样用向量证明平面几何问题？［例2］用向量证明三角形的三条中线共点． 分析：本题考查用向量证明平面几何命题的能力．要证明三线共点，如图5－3－5所示，可设AD 与BE 相交于点G 1，AD 与CF 相交于点G 2，然后证明G 1点与G 2点重合．图5－3－5证明：设AC ＝a ，BC ＝b 为基底，则AB ＝a －b ，AD ＝a －21b ，BE ＝－21a ＋b ．设AD 与BE 相交于点G 1，并设1AG ＝λ，1BG ＝μ则1AG ＝λa －2λb ，21μ-=a ＋μb又∵1AG ＝＋1BG ＝（1－2μ）a ＋（μ－1）b∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1221μλμλ 解得λ＝μ＝32，即321=AG ． 再设AD 与CF 相交于点G 2，同理可得，2AG ＝32． 故G 1点与G 2点重合，即AD 、BE 、CF 相交于同一点． 点评：如果能预先猜出三条中线交点的位置，设321=AG AD ，BG 322=，3CG ＝32，再证得3121G G G G =＝0就要简便得多．但对于一个陌生的几何问题，这种猜测往往是很难实现的．而用向量的基本定理来证明是有一个统一的模式的，学会了可以举一反三．【知识拓展】向量作为数形结合的有力工具，应用极其广泛．下面用向量知识解决一个实际问题： 一船以每小时8千米的速度向东航行，船上的人测得风来自北方；若船速加倍，则测得风来自东北方．求风速的大小及方向．分析：船上的人测得的风速是风对船的相对速度，事实上它等于风速和船速之差． 解：分别取正东、正北方向为x 、y 轴，建立直角坐标系，令x 、y 轴正方向上的单位向量分别为i 、j ．设风速的向量为v 0＝x i ＋y j ．最初船速向量为v 船＝8i ，最初船上测得的风速向量： v 1＝v 0－v 船＝－a j （a ＞0） ①（如图5－3－6）图5－3－6船加速后测得的风速向量v 2（如图5－3－7）图5－3－7v 2＝v 0－2v 船＝－b i －b j （b ＞0） ② 将v 0＝x i ＋y j 及v 船＝8i 代入①②式得：⎩⎨⎧--=-+-=-+j i i j i ji j i b b y x a y x 168 ∴⎩⎨⎧--=+--=+-j i j i j j i b b y x a y x )16()8(∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--==-88881608a y b x b y b x a y x ∴v 0＝8i －8j ，|v 0|＝82．因此，风速的大小为82 km/h ，方向东南．【同步达纲训练】 一、选择题1．下面三种说法，其中正确的说法是（ ）①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底 ③零向量不可为基底中的向量A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．设O 是□ABCD 两对角线的交点，下列向量组①与 ②与 ③与DC ④OD 与OB ，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④3．在△ABC 中，AD 、BE 、CF 为三条中线，G 是它们的交点，则下列等式错误的是（ ）A ．32=B ．21=C ．2-=D ．BC FC DA 213231=+二、填空题4．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足向量等式3x a ＋（10－y ）b ＝2x b ＋（4y ＋7）a ，则x ＝_____，y ＝_____．5．设I 为△ABC 的内心，当AB ＝AC ＝5且BC ＝6时，AI ＝λAB ＋u BC ，那么λ＝_____，u ＝_____．三、解答题6．已知向量e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb （其中λ、μ∈R ），试求λ、μ的值．参考答案【课前复习】 1．（1）A 当λ＝0时，a ＝λb ，但a 与b 未必共线． （2）4e 1＋e 32．（1）D 答案C 中的e 1、e 2平行时不成立．（2）作OA ＝3e 1，OB ＝2e 2，以OA 、OB 为邻边作□OACB ．则OC 就是所求作的向量，如下图．【同步达纲训练】1．B 平面内任何不共线的非零向量都可作为基底．2．B ①③中的向量不共线．3．B 21-=（如下图）．二、4．1147 1116 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=11161147210743y x x y y x 5．85 165 35||||||||==BD AB ID AI ． .16585)21(85)(8585AI +=+=+==（如下图）三、6．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2，代入c ＝λa ＋μb 中，得c ＝λ（e 1＋e 2）＋μ（3e 1－2e 2）＝（λ＋3μ）e 1＋（λ－2μ）e 2．又∵c ＝2e 1＋3e 2，且e 1，e 2是一组基底，于是根据定理中的唯一性可得以下的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=+515133223μλμλμλ解之得．平面向量的坐标运算（第一课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，则a＋b＝_____，a－b＝_____，λa＝_____．（2）如图5－4－1所示，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．由平面向量基本定理得a＝_____，b＝_____，c＝_____，d＝_____．图5－4－12．先看书，再来做一做．（1）在a＝x i＋y j中，x，y∈R，a＝（x，y）叫做向量的_____表示．显然i＝_____，j＝_____，O＝_____．若OA＝x i＋y j，则OA的坐标为（x，y），反过来点A的坐标（x，y）就是向量_____的坐标．（2）在1（1）中，向量a＋b的坐标为_____，a－b的坐标为_____，λa的坐标为_____．在1（2）中，用坐标表示向量：a＝_____，b＝_____，c＝_____，d＝_____．【学习目标】（1）理解平面向量的坐标的概念．会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．（2）掌握平面向量的坐标运算．①能准确地表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能准确地运用它们进行向量的相关运算；②明确一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．【基础知识精讲】本课时的主要内容是平面向量的坐标表示和平面向量的坐标运算．重点是平面向量的坐标运算．对平面向量的坐标表示的理解既是重点，也是难点．1．向量的坐标在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j为基底，则对任意向量a有且只有一对实数x、y，使a＝x i＋y j，记作a＝（x，y），叫做向量的坐标表示．其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．2．平面向量的坐标运算设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，则有（1）加法：a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）；（2）减法：a－b＝（x1－x2，y1－y2）；（3）实数与向量的积：λa＝（λx1，λy1）．向量的坐标运算贯穿以后各节内容．它既是本课的重点也是以后各节内容的重点．3．两向量相等的充要条件．若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b的充要条件是x1＝x2且y1＝y2．学习本课后，一定要弄清下列问题：怎样理解平面向量的坐标概念？由平面向量基本定理，平面内任一向量都可由此平面内任意两个不共线向量来表示．特别地，取直角坐标系内分别与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j，则对于此平面内任一向量a，一定有唯一的一对实数x、y，使a＝x i＋y j，而（x，y）就叫做a的坐标．事实上，平面内一个向量的坐标，就是这个向量在相应坐标轴上射影所得有向线段的数量．基于此认识，容易知道，无论向量怎样移动，只要方向和长度不变，表示该向量的坐标都是相同的．即相等向量的坐标是相同的．要注意的是写向量a的坐标时，x、y的顺序不能颠倒，即i的系数（横坐标）写在前，j的系数（纵坐标）写在后．向量的坐标与此向量的始点和终点有什么关系？一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．当A和B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）时，向量的坐标为（x2－x1，y2－y1）．由此可见，向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．也就是说，只与向量的方向和长度有关系．当A的坐标为（x，y），O为坐标原点时，向量OA的坐标为（x，y），即始点在原点的向量的坐标就是此向量终点的坐标；反之，平面上点A的坐标也就是向量OA的坐标．图5－4－2 图5－4－34．课本中例 1是用向量坐标的定义来解的．此例也可求出向量a的坐标后，根据对称性分别求出向量b、c、d的坐标．例2是求向量的和、差、实数与向量积的坐标问题．例3是应用向量相等的坐标表示的充要条件求平行四边形顶点问题．5．向量的坐标表示有什么意义？向量的坐标表示，实质上是向量的一种代数表示法．而有向线段是向量的几何表示法．因此，向量有几何法和代数法两种表示方法．向量的坐标表示能使向量运算代数化，能将几何问题转化为代数运算问题．向量的坐标表示，实质上是选取e1＝（1，0），e2＝（0，1）为基底的特殊的几何表示．【学习方法指导】怎样进行平面向量的坐标运算？［例1］如图5－4－4示，□ABCD的对角线交于O，且＝（3，7），＝（－2，1）．求的坐标．图5－4－4 分析：要求的坐标，只要求出的坐标，由向量加法的平行四边形法则可知＝－，于是问题即可解决． 解：∵＝－＝（－2，1）－（3，7）＝（－5，－6） ∴＝2121=DB （－5，－6）＝（－25，－3）．怎样在坐标平面中以一组基底来表示其他平面向量？［例2］已知A （1，－2），B （2，1），C （3，2）和D （－2，3），以、为一组基底来表示＋＋． 分析：可先求出＋＋，再用，为基底表示．解：∵A （1，－2），B （2，1），C （3，2），D （－2，3）＝（－3，5），＝（－4，2）， ＝（－5，1），＝（1，3），＝（2，4） ∴AD ＋BD ＋CD ＝（－12，8） 设＋＋＝m ＋n＝m （1，3）＋n （2，4）＝（m ＋2n ，3m ＋4n ）∴⎩⎨⎧=+-=+843122n m n m 解得⎩⎨⎧-==2232n m ∴＋＋＝32－22．【知识拓展】任何一个平面直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，所以，通过向量的运算（向量的加法、减法，实数与向量的积的混合运算），一般较容易证明几何命题．引入向量的坐标后，向量的加法、减法、实数与向量的乘法都可以通过向量的坐标运算得以解决，它将数与形紧密结合起来，这样很多几何问题可转化为学生熟知的代数的运算，对问题的解决方便多了．下面是用向量方法证明几何命题的一个例子：已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：)(21+=．图5－4－5分析：本题考查向量运算等基础知识，可有多种证法．证法一：在平面内任取一点O （图5－4－6）图5－4－6∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴21=（OA ＋OD ）， ＝21（OB ＋OC ）． ∴-= ＝21［（－）＋（－）］ ＝21（＋）． 证法二：建立直角坐标系，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1），＝（x 3－x 4，y 3－y 4）． 于是21（＋）＝（24132x x x x --+，24132y y y y --+） 又∵E （241x x +，241y y +），F （2,23232y y x x ++） ∴＝（22,2241324132y y y y x x x x +-++-+）． ∴)(21+=．【同步达纲训练】一、选择题1．已知＝（3，4），A ＝（－2，－1），则B 点的坐标为（ ）A ．（5，5）B ．（－5，－5）C ．（1，3）D ．（－5，5）2．已知a ＝（3，－1），b ＝（－1，2），则－3a －2b 的坐标是（ ）A ．（7，1）B ．（－7，－1）C ．（－7，1）D ．（7，－1）3．若向量a ＝（x ＋3，x 2－3x －4）与AB 相等，已知A （1，2），B （3，2）则x 的值为（ ）A ．－1B ．－1或4C ．4D ．1或－4 二、填空题 4．已知A （－3，2），＝（8，0），则线段AB 的中点的坐标是_____．5．□ABCD 中，A （－1，0），B （3，0），C （1，－5），则D 的坐标为_____．三、解答题6．（1）已知a ＋b ＝（－3，－4），a －b ＝（5，2）,求a ，b ；（2）已知向量a ＝（－4，2）的终点在坐标原点，求向量的起点坐标；（3）已知a ＝（x ，2），b ＝（－4，y ），c ＝（－3，－5），且c ＝－21a ＋23b ，求实数x 、y ；参考答案【课前复习】1．（1）（x 1＋x 2）i ＋（y 1＋y 2）j （x 1－x 2）i ＋（y 1－y 2）j λx 1i ＋λy 1j（2）a ＝2i ＋j i －2j －2i －j －i ＋j2．（1）坐标 （1，0） （0，1） （0，0） OA（2）（x 1＋x 2，y 1＋y 2） （x 1－x 2，y 1－y 2） （λx 1，λy 1） （2，1） （1，－2）（－2，－1） （－1，1）【同步达纲训练】一、1．C 设B （x ，y ），则＝（x ＋2，y ＋1）＝（3，4）．由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+314132y x y x ，∴B （1，3）． 2．B －3a －2b ＝－3（3，－1）－2（－1，2）＝（－9，3）－（－2，4）＝（－7，－1）．3．A ＝（2，0），由⎩⎨⎧=--=+043232x x x 得x ＝－1．二、4．（1，2） 设AB 中点为E ，则21=（＋） AB ＝OB －OA ＝OB －（－3，2）＝（8，0），OB ＝（5，2） ∴21=［（－3，2）＋（5，2）］＝（1，2）． 5．（－3，－5） 由＝，设D （x ，y ）， 则＝（4，0），＝（1－x ，－5－y ）由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=--=-530541y x y x ，∴D （－3，－5）． 三、6．解：（1）因为2a ＝（a ＋b ）＋（a －b ）＝（－3，－4）＋（5，2）＝（2，－2）， 2b ＝（a ＋b ）－（a －b ）＝（－3，－4）－（5，2）＝（－8，－6），所以a ＝21（2，－2）＝（1，－1）， b ＝21（－8，－6）＝（－4，－3）． （2）设向量a 的起点坐标（x ，y ），则⎩⎨⎧-=-==--=,220,4)4(0y x即a 的起点坐标为（4，－2）．（3）因为c ＝－21a ＋23b ，所以 （－3，－5）＝－21（x ，2）＋23（－4，y ）＝（－21x －6，－1＋23y ） 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=--.38,6,5231,3621y x y x 即平面向量的坐标运算（第二课时）【课前复习】1．会做了，学习新课才能有保障．（1）若a ＝（2，1），b ＝（－3，4），则3a ＋4b 的坐标为_____．（2）若A （－2，1），B （－1，3），C （3，4），D （2，2），则与的关系是_____．2．先看书，再来做一做．（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），且b ≠0，a ∥b ．用坐标表示，可写为_____，即_____，消去λ后得_____，也就是说a ∥b （b ≠0）的充要条件是_____．（2）若a ＝（2，3），b ＝（4，－1＋y ），且a ∥b ，则y ＝_____．【学习目标】（1）能说出平行（共线）向量充要条件的坐标表示，并会用它解决向量平行（共线）的有关问题．（2）弄清向量平行和直线平行的区别．【基础知识精讲】本课时主要介绍向量平行的坐标表示．本课时内容不多但十分重要．向量平行的充要条件的坐标表示是本节课的教学重点．教学难点是应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题．1．向量平行（共线）的充要条件若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．注意：a 与b 平行的充要条件不能表示成2211x y x y =或2121y y x x =． 2．课本例4、例5是应用向量共线的坐标表示的充要条件的题目，属于基本题型，要注意该类题型的训练．下面的问题是学习本课时需要了解的．怎样用坐标法证明向量共线的充要条件？（1）必要性若b ＝0，则x 2＝y 2＝0．若a ∥b ，总有x 1y 2－x 2y 1＝x 1·0－0·y 1＝0；若b ≠0，因为a ∥b ，所以存在实数λ使a ＝λb ，即（x 1，y 1）＝λ（x 2，y 2）．由向量相等的充要条件有{2121y y x x λλ==．当x 2≠0时，λ＝21x x ，代入y 1＝λy 2，得x 1y 2－x 2y 1＝0．当y 2≠0时，λ＝21y y ，代入x 1＝λx 2，得x 1y 2－x 2y 1＝0．综上所述，若a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0．（2）充分性若x 2＝y 2＝0，则b ＝0，而0与任一向量平行，所以a ∥b ．若x 2＝0，y 2≠0，令λ＝21y y ，由x 1y 2－x 2y 1＝0得x 1＝21y y x 2＝λx 2，所以⎩⎨⎧==2121y y x x λλ，即（x 1，y 1）＝λ（x 2，y 2），也就是a ＝λb ，故a ∥b ，同理可知，x 2≠0，y 2＝0时，a ∥b ．综上所述，x 1y 2－x 2y 1＝0时，a ∥b ．进行向量的坐标运算都有哪些过程？向量的坐标运算的流程图【学习方法指导】怎样利用坐标运算判断向量或直线是否平行（共线）？［例1］已知点A （－1，－1），B （1，3），C （1，5），D （2，7），向量与平行吗？直线AB 与直线CD 平行吗？ 解：∵＝（2，4），＝（1，2），又2×2－1×4＝0，∴∥． 又＝（2，6），＝（2，4），2×4－2×6≠0 ∴与 不平行．∴A 、B 、C 三点不共线，AB 与CD 不重合．∴直线AB 与CD 平行．评注：证明直线AB 与CD 平行，必须先证明∥，再证AB 与CD 不重合（即A 、B 、C 、D 四点不共线）．因为直线平行不包括重合的情况，而向量平行则包括共线的情况．怎样运用向量共线的坐标表示的充要条件解题？［例2］已知＝i －2j ，＝i ＋m j ，i 、j 分别是x 轴、y 轴方向上的单位向量．若A 、B 、C 共线，求m 的值．分析：因为A 、B 、C 共线，∴∥．解：∵i ＝（1，0），j ＝（0，1）， ∴＝（1，0）－2（0，1）＝（1，－2），＝（1，0）＋m （0，1）＝（1，m ）． ∴1·m －1·（－2）＝0，∴m ＝－2．评注：两向量平行的充要条件有两种形式（1）b ＝λa （a ≠0）；（2）x 1y 2－x 2y 1＝0．本题也可以利用第（1）种形式求解如下：∵A 、B 、C 共线，∴∥，∴存在实数λ，使＝λ，即i －2j ＝λ（i ＋m j ），∴i －2j ＝λi ＋λm j ．由已知i 、j 不共线，∴⎩⎨⎧-==21m λλ，∴m ＝－2．向量平行的充要条件的两种形式都很重要，要灵活应用．［例3］已知＝（6，1），＝（x ，y ），＝（－2，－3），又与共线，求x ，y 间的关系． 分析：与共线，要设法求出． 解：＋＋＝＝（4＋x ，－2＋y ）∴＝（－4－x ，2－y ），又＝（x ，y ） 由BC 与DA 共线，可得，x （2－y ）－y （－4－x ）＝0，即x ＋2y ＝0． 评注：构造＝＋＋是解题的关键，一般地有：AB ＝211B B AB +＋32B B ＋…＋B B B n n n +-1，此结论称为沙尔定理．【知识拓展】已知三个点的坐标可以判断它们是否共线．三点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）共线的充要条件是：（x 2－x 1）（y 3－y 1）－（x 3－x 1）（y 2－y 1）＝0．因为A 、B 、C 三点共线的充要条件是与共线，又＝（x 2－x 1，y 2－y 1），＝（x 3－x 1，y 3－y 1），于是由定理知：（x 2－x 1）（y 3－y 1）－（x 3－x 1）（y 2－y 1）＝0．利用这个条件，我们很容易判断已知坐标的三点是否共线．【同步达纲训练】一、选择题1．设向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2）且b ≠0，则a ∥b 是x 1y 2＝x 2y 1的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件2．已知a ＝（－1，3），b ＝（x ，－1），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．3B ．－3C ．31D ．－31 3．若A （－1，－3），B （1－x ，2），C （－11，－8）三点在同一直线上，则x 的值等于（ ）A ．－7B ．－8C ．－9D ．－10二、填空题4．已知M （1，0），N （0，1），P （2，1），Q （1，y ），且MN ∥PQ ，则y ＝_____．5．已知|a |＝23，b ＝（－1，3）且a ∥b ，则a ＝_____．三、解答题6．已知三个非零向量a 、b 、c 每两个均不共线．若a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，求a ＋b ＋c ．参考答案【课前复习】1．（1）（－6，19） （2）相等2．（1）（x 1，y 1）＝λ（x 2，y 2） ⎩⎨⎧==2121y y x x λλ x 1y 2－x 2y 1＝0 x 1y 2－x 2y 1＝0 （2）7【同步达纲训练】一、1．C 直接由向量平行的充要条件可得．2．C （－1）×（－1）－3x ＝0，解得x ＝31． 3．B 可直接代入公式中求解，也可由AB ∥AC 及AB ＝（2－x ，5），AC ＝（－10，－5），得（2－x ）·（－5）－5×（－10）＝0，解得x ＝－8．二、4．2 先求MN 和PQ 的坐标，再由向量共线的充要条件可得．5．（5303,530-）或（－5303,530） 设a ＝（x ，y ）， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅--=+,0)1(3,3222y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53035305303530y x y x 或． 三、6．解法一：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），c ＝（x 3，y 3）． 由于a ＋b 与c 共线，所以有x 3（y 1＋y 2）＝y 3（x 1＋x 2） ①同理由b ＋c 与a 共线，可得x 1（y 2＋y 3）＝y 1（x 2＋x 3）② 由①得y 3＝212313x x y x y x ++，将此式代入②得（x 1y 2－x 2y 1）（x 1＋x 2＋x 3）＝0．而a 、b 不共线，∴x 1y 2－x 2y 1≠0，于是x 1＋x 2＋x 3＝0．由①有x 1＝32313y y x y x +－x 2代入②得（x 3y 2－x 2y 3）（y 1＋y 2＋y 3）＝0，得y 1＋y 2＋y 3＝0，∴a ＋b ＋c ＝0．解法二：由于a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c ，同理b ＋c ＝λ2a ，∴a ＋b ＋c ＝λ1c ＋c ＝（1＋λ1）c ，a ＋b ＋c ＝λ2a ＋a ＝（1＋λ2）a∴（1＋λ1）c ＝（1＋λ2）a ，（1＋λ1）c －（1＋λ2）a ＝0∵a ，c 不共线，∴1＋λ1＝1＋λ2＝0，∴a ＋b ＋c ＝0．。
高一数学教案下学期 5.3实数与向量的积2_0721文档
2020高一数学教案下学期 5.3实数与向量的积2_0721文档EDUCATION WORD高一数学教案下学期 5.3实数与向量的积2_0721文档前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。
其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。
本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】（第二课时）一．教学目标1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示．：平面向量基本定理教学难点：理解平面向量基本定理．三．教学具准备直尺、投影仪．四．教学过程1．设置情境上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．2．探索研究师：向量与非零向量共线的充要条件是什么？生：有且仅有一个实数，使得师：如何作出向量？生：在平面上任取一点，作，，则师：对！我们知道向量是向量与的合成，、也可以看做是由向量的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．说明：①实数，的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理．②对该定理重在使用．下面看例题【例1】已知向量、，求作．【例2】如图所示，的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和？解：在中∵∴说明：①这些表示方法很常用，要熟记②用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是、，由它可以“生”成，，……．【例3】如图所示，已知的两条对角线与交于，是任意一点，求证证明：∵是对角线和的交点∴，．在△中，同理：相加可得：注：本题也可以取基本向量，，，，利用三角形中线公式（向量），得两种表示方式：①②①＋②得证毕．【例4】如图所示、不共线，（），用，表示．解∵∴说明：①本题是个重要题型：设为平面上任一点．则：、、三点共线或令，则、、三点共线（其中）②当时，常称为△的中线公式（向量式）．3．演练反馈（1）命题：向量与共线；命题：有且只有一个实数，使；则是的）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件（2）已知和不共线，若与共线，则实数的值等于____________．（3）如图△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值．参考答案：（1）B2）（3）解：如图）设，，则，，∵、、和、、分别共线，∴存在、，使，．故，而．∴由基本定理得∴∴，即4．总结提炼（1）当平面内取定一组基底，后，任一向量都被、惟一确定，其含义是存在惟一这数对，使，则必有且．（2）三点、、共线其中且）五．板书设计。
人教A版高中数学必修四第五章教案实数与向量的积
第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =BC AB OA ++=a +a +a =3a=MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a|2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a |2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③ 结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。
a a a a O A B C a -a-a-a-MP从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a≠当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a≠，b ≠且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=a =b =1λa=11B A λb则=OB a +b =1OB λa+λb由作法知：∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 ||=λ|11B A | ==111λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1=||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同OABB 1A 1λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb ∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量a (a ≠)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、21。
高中数学 实数与向量的积教案 新人教A版必修1
第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =BC AB OA ++=a +a +a =3a=++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a|2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a|2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。
从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a≠当λ、μ同号时，则λa 和μa同向，∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立 第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a≠，b ≠且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a =AB b =1OA λa=11B A λb 则=a +b =1OB λa+λb由作法知：∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 ||=λ|11B A |==||||111AB OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1=||1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1． 若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a与b 反向时b =-μaa aa aO A BC a-a - a - a-N M Q POABB 1A 1AOBB 1A 1从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2。
高一数学实数与向量的积 人教版 教案
高一数学实数与向量的积教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。
过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a|2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a|2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1︒|λa |=|λ||a|2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=03．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa② 第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。
从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=OA a =AB b =1OA λa=11B A λb则=OB a +b =1OB λa+λb由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==||||||||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1=||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同a a a a OABC a -a-a-a-NMQPOAB B 1A 1λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立4．例一 （见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1． 若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b为共线向量 若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使b =λa2．例二（P104-105 略） 三、小结：四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2B 1。
实数与向量的积(第一课时)
实数与向量的积（第一课时）石家庄市第二十四中学徐俊国点评：石家庄市教育科学研究所张惠英一、教学任务分析（一）本节内容的地位实数与向量的积及运算律在向量的加法、减法之后安排，是以力与加速度的关系f=m a，质点直线运动中位移与速度的关系s=v t为背景，通过向量的加法引入的，它有着与实数类似的很好的运算律，是平面向量基本定理的基础．向量共线的充要条件是证明平行的有力工具．本节知识结构为：（二）学生认知现实学生的学习，是在教师指导下的一种特殊的认识过程，这一认识过程遵循从感性认识到理性认识又从理性认识回到实践的规律，这个规律反映在本节课上，就是从学生已知的物理背景和实际事例中，抽象出数量积的概念，为运算律的研究奠定了基础．二、本课教学目标知识与能力目标：１．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线．过程与方法目标：经历实数与向量的积概念的观察、分析、归纳、抽象过程．发现数乘向量与物理知识的联系，感知相关的运算律和几何图形性质是同一事物的不同表述形式．情感态度价值观：体会向量的运算律和几何图形的性质这两者貌似不同的事物是相通的．大量的类比使学生感受到事物是相互联系的，是运动变化发展的．三、重点难点确定教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件；教学难点：非零共线向量充要条件的理解和应用．解决办法：1．紧扣定义，使学生认识到实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解．向量共线定理实际上是以平行四边形法则为依据，由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法．我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。
——笛卡儿 12．通过充分性和必要性两个方面的说明，让学生认识定理的本质，向量的共线要与平面中直线的平行与重合区别开．四、教学过程设计倍，其方向与的长度是倍，其方向与我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。
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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
德卧中学高中部数学组
教学分析：
向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算。
教学时从加
法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系。
实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，又有方向。
特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。
共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错。
尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量。
共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系。
教学目标：
1. 通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几
何意义，掌握实数与向量积的运算律。
2. 理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。
3. 通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取的
精神。
通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。
重点难点：
教学重点：1.实数与向量积的意义。
2.实数与向量积的运算律。
3．两个向量共线的等价条件及其运用。
教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用 课时安排：1课时
教学方法：启发式教学法 授课类型：新授课 教与学过程：
一．引入
1．复习上节要点
问题： 已知非零向量a ,试作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a
)
=++=a +a +a =3a
=++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a
讨论：1︒3a 与a 方向相同且|3a |=3|a
|
2︒-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |
2．从而提出课题：实数与向量的积
实数λ与向量a 的积，记作：λa
定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
a
a a a
O A B C a -
a
-a
-a
-N
Q
P
1︒|λa |=|λ||a
|
2︒λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=0
3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a
①
第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa
②
第二分配律：λ(a +b )=λa
+λb ③
结合律的证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则①式成立
如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a
|
|(λμ)a |=|λμ||a |=|λ||μ||a
|
∴|λ(μa )|=|(λμ)a
|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a
同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a
反向。
从而λ(μa )=(λμ)a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a
≠0
当λ、μ同号时，则λa 和μa
同向，
∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a
| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a
同向
即：|(λ+μ)a |=|λa +μa
|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa
同向
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa
同向
还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa
| ∴②式成立
第二分配律证明：
如果a
=，b =中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当a
≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时
1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，
作=OA a ，=AB b ， =1OA λa
=11B A λb ， 则=a +b ， =1OB λa
+λb
O
A
B
B 1
A 1
由作法知：∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 ，||=λ|11B A | ==|
||
|111AB OA λ∴△OAB ∽△OA 1B 1=|
|1OB λ，∠AOB=∠ A 1OB 1
因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也相同λ(a +b )=λa
+λb 当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa
+λb ∴③式成立
例1计算： （1）a 4)3(⨯-；
（2）a b a b a ---+)(2)(3； （3）)23()32(c b a c b a +---+ [说明]该例由学生阅读。
三、向量共线的充要条件（向量共线定理）
1． 若有向量a (a ≠)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a
与b 为共线向量
若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b ，同向时b =μa 当a 与b 反向时b =-μa
，从而
得：
定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa
例2如图5—16，已知3=，3=，试判断与是否共线。
[解]∵+=
33+= E
)(3BC AB +=
A C
AC 3= B D
∴与共线。
三、小结：
四、作业： 课本 P90 练习3,4,5 P91 习题4,9
1。