三角形四大模型

三角形的四大模型

、三角形的重要概念和性质

1、 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°

2、三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

3、三角形角平分线 （角分线） 中线 （分面积等） 高（直角三角形两锐角互余）

、八字模型：

三、飞镖模型：

证明结论： 1．∠BOC ＝∠ A ＋∠B ＋∠ C

四、角分线模型：

如图， BD 、CD 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的角平分线， BD 、CD 相交于点 D ， 试探索∠ A 与∠D

之间的数量关系，并证明你的结论．

如图，△ ABC 两个外角（∠ CAD 、∠ ACE ）的平分线相交于点 P ． 探索∠ P 与∠B 有怎样的数量关系，并证明你的结论．

题型一、三角形性质等应用

5．一个四边形截去一个角后，剩下的部分可能是什么图形？画出所有可能的图形，并分别 说出

内角和和外角和变化情况．

6．如图，直线 AC ∥ BD ，连接 AB ，直线 AC ，BD 及线段 AB 把平面分成①、②、③、④ 四

个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点 P 落在某个部分时，连接 PA ，PB ，

构成∠ PAC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角 是 0°角）

（ 1）当动点 P 落在第①部分时，求证：∠ APB= ∠PAC+∠ PBD ；

（ 2）当动点 P 落在第②部分时，∠ APB= ∠ PAC+∠PBD 是否成立？（直接回答） （ 3）当动点 P 在第③部分时，全面探究∠ PAC ，∠ APB ，∠ PBD 之间的关系，并写出

动点 P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

1．如图，小亮从 A 点出发前进 下去，他第一次回到出发点 A ．120

B ． 150

2．如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿 如果 AB=8cm ， BE=4cm ， DH=3cm ，

10m ， A 时， C ． 向右转 15°，再前进10m ，又向右转 15°，这样一直

走 一共走了米数是（ ）

240 D ．360

则图中阴影部分面积为

BC 方向平移得到 △

DEF ．

2

3． 如图，在 △ ABC 中，已知点 D ， 且 S △ABC =4cm 2，则 S 阴影=

4． A 、B 、C 是线段 A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点， E ， F 分别为边 BC ，AD ， 2 cm ．

S △ABC 的面积是 1，则 S △ A 1B 1C 1 的面积

CE 的中点，

题型二、八字模型应用

① 图 2中共有 个“8字形 ”；

② 若∠ ABC=80° ，∠ ADC=3°8 ，求∠ P 的度数； （提醒：解决此问题你可以利用图 1 的结论或用其他方法） ③ 猜想图 2中∠P 与∠B+∠D 的数量关系，并说明理由．

8．（ 1）求五角星的五个角之和； （ 2

）求这六个角之和

7．（ 1）如图 1 的图形我们把它

称为

8字形 ”，请说明∠

A+∠ B=∠C+∠D ；

题型三、飞镖模型应用

9．如图，已知 AB ∥DE ，BF ，EF 分别平分∠ ABC 与∠CED 交于点 F ，探索∠ BFE 与∠ BCE

之间的数量关系，并证明你的结论．

10．如图 1，E 是直线 AB ，CD 内部一点， AB ∥CD ，连接 EA ，ED ．

（1）探究猜想：①若∠ A=30°，∠ D=40°，则∠ AED 等于多少度？

②若∠ A=20°，∠ D=60°，则∠ AED 等于多少度？

③猜想图 1中∠ AED ，∠ EAB ，∠ EDC 的关系并证明你的结论．

（ 2）拓展应用：

如图 2，射线 FE 与矩形 ABCD 的边 AB 交于点 E ，与边 CD 交于点 F ，①②③④分 别是被射线 FE 隔开的 4 个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线 AB 上方， P 是位于以上四个区域上的点，猜想：∠ PEB ，∠PFC ，∠EPF 的关系（不要求证明） ．

题型四、角分线模型应用

11．如图，∠ A=65 °，∠ ABD=30 °，∠ ACB=72 °，且 CE 平分∠ ACB ，求∠ BEC 的度数． 12．如图，在 △ABC 中，∠ A=42 °，∠ ABC 和∠ ACB 的三等分线分别交于点 D ，E ，

14．如图，∠ ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ ACD 的平分线交于点 A 1，∠A 1BC

的平分线与∠ A 1CD 的平分线交于点 A 2，⋯，∠ A n ﹣1BC 的平分线与∠ A n ﹣1CD 的平分线 交于点 A n ．设∠ A= θ．则：（ 1）∠ A 1= ；（ 2）∠ A 2= ；（ 3）∠A n = ．

题型五、其他应用

15．已知△ ABC 中，∠ A=60°．

（1）如图①，∠ ABC 、∠ ACB 的角平分线交于点 D ，则∠ BOC=

°．

（2）如图②，∠ ABC 、∠ ACB 的三等分线分别对应交于 O 1、O 2，则∠BO 2C=

°．

（3）如图③，∠ ABC 、∠ ACB 的 n 等分线分别对应于 O 1、O 2⋯O n ﹣1（内部有 n ﹣ 1个点）， 求∠ BO n ﹣1C （用 n 的代数式表示） ．

（4）如图③，已知∠ ABC 、∠ ACB 的 n 等分线对应于 O 1、O 2⋯O n ﹣1，若∠ BO n ﹣1C=90°，

求 n 的值．

C ．88

D ．

110 第 13 题

，则∠ BCD 的大小为（ ）

B ． 100°

C ． 130°

D ． 150°

A ． 50

°

则∠BDC 的度数是（