传教士问题

一．问题描述

有M个传教士和N个野人来到河边准备渡河，河岸有一条船，每次至多可供k人乘渡。任何时刻在河的两岸以及船上的野人数目总是不超过传教士的数目。二．问题分析

本问题采用A*算法求解，解答的关键与难点如下：

1．评估函数的建立。评估函数为f=h+d=M+N-2*B+d.。

M表示左岸的传教士的人数，N表示左岸野人的数目，B取值为0或1 。1表示船在左岸，0 表示船在右岸。d 表示节点的深度。

下面我们来证明h(n)＝M+C-2B是满足A*条件的。

我们分两种情况考虑。先考虑船在左岸的情况。如果不考虑限制条件，也就是说，船一次可以将三人从左岸运到右岸，然后再有一个人将船送回来。这样，船一个来回可以运过河2人，而船仍然在左岸。而最后剩下的三个人，则可以一次将他们全部从左岸运到右岸。所以，在不考虑限制条件的情况下，也至少需要摆渡[(M+N-3)/2]*2+1次。其中分子上的"－3"表示剩下三个留待最后一次运过去。除以"2"是因为一个来回可以运过去2人，需要[(M+N-3)/2]个来回，而"来回"数不能是小数，需要向上取整，这个用符号[ ]表示。而乘以"2"是因为一个来回相当于两次摆渡，所以要乘以2。而最后的"＋1"，则表示将剩下的3个运过去，需要一次摆渡。

化简有：M+N-2。

再考虑船在右岸的情况。同样不考虑限制条件。船在右岸，需要一个人将船运到左岸。因此对于状态(M，N，0)来说，其所需要的最少摆渡数，相当于船在左岸时状态(M+1，N，1)或(M，N+1，1)所需要的最少摆渡数，再加上第一次将船从右岸送到左岸的一次摆渡数。因此所需要的最少摆渡数为：(M+N+1)-2+1。其中(M+N+1)的"＋1"表示送船回到左岸的那个人，而最后边的"＋1"，表示送船到左岸时的一次摆渡。

化简有：(M+N+1)-2+1=M+N。

综合船在左岸和船在右岸两种情况下，所需要的最少摆渡次数用一个式子表示为：M+N-2B。其中B＝1表示船在左岸，B＝0表示船在右岸。

由于该摆渡次数是在不考虑限制条件下，推出的最少所需要的摆渡次数......

从前有一条河，河的左岸有m个传教士(Missionary)和m个野人(Canniba l)，和一艘最多可乘n人的小船。约定左岸，右岸和船上或者没有传教士，或者野人数量少于传教士，否则野人会把传教士吃掉。

编程，接收m和n，搜索一条可让所有的野人和传教士安全渡到右岸的方案。

我们先假设左岸有3个传教士和3个野人，小船最多可乘2人。把当前左岸的状态抽象为：

(3,3,1)

前两个"3"代表左岸有3个传教士和3个野人，1代表船在左岸。把每一次可行的渡船方案作为算符。比如，在初始状态，让1个传教士和1个野人上船并渡到右岸，这一算符可表示为：

(1,1)

算符的两位数分别代表要移动的传教士，野人的数量；把人移到没有船的岸边并且改变状态向量中船的值。

对于固定大小的小船，算符的数量是一定的：

class Move {

public:

int missionary; //要移动的传教士数量

int cannibal; //野人

};

class MoveGroup {

public:

Move move[500]; //算符集

int numMove; //可用算符的总数

MoveGroup(int MAX_ON_BOAT) { //利用构造器求算符集int m, c, i = 0;

for (m = 0; m <= MAX_ON_BOAT; m++)

for (c = 0; c <= MAX_ON_BOAT; c++)

if (c==0 && m!=0) {

move[i].missionary=m;

move[i].cannibal=0;

i++;

}

else if (m==0 && c!=0) {

move[i].missionary=0;

move[i].cannibal=c;

i++;

}

else if (m+c<=MAX_ON_BOAT && m+c!=0 && m>=c) { move[i].missionary = m;

move[i].cannibal = c;

i++;

}

}

};

创建一个MoveGroup 对象

MoveGroup mg(2);

即可得到当小船最多可乘2人时的算符集。

这个程序所要做的，就是通过这个已知的算符集，将初始状态(3,3,1)转变为最终状态(0,0,0)。我们应将状态作为搜索的元素。

构建类时应注意，并不是每个算符对于任意的状态都是可以应用的，这需要对应用算符后的安全性进行检查，以判断这一算符对当前状态是否可用；同时，类中也要包含一个判断当前状态是否是最终节点(0,0,0)的方法；当然”==”，”=”这两个运算符以及null值，这是调用dso.h时所不可或缺的。（详见源文件）class ElemType : Move { //继承Move类，获得传教士，野人数据成员。

private:

bool boat; //船是否在左岸？

public:

ElemType* flag; //这个后边再说，暂时用不到

ElemType(int MAX_PEOPLE) { //创建初始状态

missionary = cannibal = MAX_PEOPLE;

flag = NULL;

}

ElemType() {}

bool operator ==(ElemType e) {

return this->missionary==e.missionary &&

this->cannibal==e.cannibal &&

this->boat==e.boat;

}

void operator =(ElemType e) {

this->missionary = e.missionary;

this->cannibal = e.cannibal;

this->boat = e.boat;

this->flag = e.flag;

}

ElemType friend operator >>(ElemType source, Move &mv) { //移动操作，通过重载运算符“>>”，你将在isSafe(ElemType)中见到用法。

ElemType result;

if(source.boat == 1) {

result.missionary = (source.missionary -= mv.missionary); result.cannibal = (source.cannibal -= mv.cannibal);

result.boat = 0;

} else {

result.missionary = (source.missionary += mv.missionary); result.cannibal = (source.cannibal += mv.cannibal);