2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(四)数学【解析版】
2021届高三新高考模拟数学试题(解析版)
2021届高三新高考模拟英语试题第一部分阅读(共两节, 满分50分)第一节(共15小题;每小题2. 5分, 满分37. 5分)阅读下列短文, 从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
ABest Cookbooks for KidsBest Overall: Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!)◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartWith the help of this best-selling cookbook, your kids will become masters in the kitchen! Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat ! )is ideal for children aged 6 to 12, as it includes detailed explanations of basic cooking techniques, plus more than 50 kid-friendly recipes. This award-winning cookbook is a comprehensive guide for cooking novices, explaining skills and recipes in kid-friendly language.Best for Basic Learner: Better Homes and Gardens New Junior Cookbook◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartIf you want to teach your kids cooking terms, tools and techniques, you need the Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.This 128-page cookbook has more than 65 kid-friendlyrecipes, and it’s perfect for introducing kids aged 5 to 12 to the wonderful world of cooking. It includes a detailed section on cooking terms, kitchen safety, tools (including pictures), and healthy cooking. It also addresses how to measure ingredients and how to read recipes.Best Classic: Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls◎Buy on Amazon◎Buy on Target◎Buy on WalmartThe first edition of this classic kids’ cookbook was published more than 60 years ago, and the Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls is still a favorite for kids and adults alike. The recipes are ideal for children aged 8 to 12. This cookbook is an authentic reproduction of the original 1957 edition, which many baby boomers learned from themselves! Many older buyers write that they had the same cookbook growing up and love sharing the classic recipes with the next generation.Best Vegetarian: The Help Yourself Cookbook for Kids◎Buy on Amazon◎Buy on WalmartThis vegan cookbook is best for children aged 6 to 12, and its aim is to teach kids about healthy eating by involving them in the cooking process. The book features 60 plant-based recipes for you to make with your family, including meals, snacks, drinks and desserts.1. Which cookbook can be purchased on Target?A. Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!).B. Better Homes and Gardens New Junior Cookbook.C. Betty Crocker’s Cookbook for Boys and Girls.D. The Help Yourself Cookbook for Kids.2. What can we know about Better Homes and Gardens New Junior Cookbook?A. It is an award-winning cookbook.B. It teaches the kids about kitchen safety.C. It includes 60 plant-based recipes.D. It was published more than 60 years ago.3. What is the similarity between Cooking Class: 57 Fun Recipes Kids Will Love to Make (and Eat!) and The Help Yourself Cookbook for Kids?A. They are both designed for kids aged 6-12.B. They have recipes based on plants.C. They have recipes for whatever you want.D. They explain how to measure ingredients.『语篇解读』本文主要介绍了四本适合孩子们的食谱。
押第1题 集合(新高考)(解析版)--2023年新高考数学临考题号押题
押新高考卷1题集合考点3年考题考情分析集合2022年新高考Ⅰ卷第1题2022年新高考Ⅱ卷第1题2021年新高考Ⅰ卷第1题2021年新高考Ⅱ卷第2题2020年新高考Ⅰ卷第1题2020年新高考Ⅱ卷第1题高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的新高考试题，均考查集合间的交集、并集和补集的基本运算．可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕集合间的基本关系展开命题．1.集合有n 个元素，子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集个数为22n -个.2.{}B x A x x B A ∈∈=且 ，{}B x A x x B A ∈∈=或 3.{}Ax U x x A C U ∉∈=且1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N ⋂=（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.5．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U 故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.6．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）设集合A={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A {2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.。
2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(三)数学(解析版)
2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（三）数学（解析版）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14≤2x ≤4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝lg x ，x >110，则A ∩B ＝( ) A ．[－2,2] B ．(1，＋∞)C ．(－1,2]D ．(－∞，－1]∪(2，＋∞)2．设i 是虚数单位，若复数a ＋5i 2＋i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．3C ．1D ．－13．“a <2”是“∀x >0，a ≤x ＋1x ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f (x )＝ln (x 2－4x ＋4)(x －2)3的图象可能是( )5．已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 2 7)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 6．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2＋y 2＝1，且P 是圆τ上一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最大值是( )A. 2 B ．1C. 3 D ．27．已知函数f (x )＝sin 2 x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则f (x )的最小值为( ) A.12 B.14C.34D.228．已知点P 在椭圆τ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD →＝34PQ →，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e ＝( )A.12B.22C.32D.33二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某位教师2018年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如图1折线图所示；2019年收入的各种用途占比统计如图2条形图所示，已知2019年的就医费用比2018年增加了4 750元，则下列关于该教师家庭收支的说法正确的是( )A ．该教师2018年的家庭就医支出显著减少B ．该教师2019年的家庭就医总支出为12 750元C ．该教师2019年的家庭旅行支出占比显著增加D ．该教师2019年的家庭总收入为85 000元10．已知⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x n (a >0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含x 15项的系数为4511．在棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，点M 在棱CC 1上，则下列结论正确的是( )A ．直线BM 与平面ADD 1A 1平行B ．平面BMD 1截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线AD 1与A 1C 1所成的角为π3D ．|MB |＋|MD 1|的最小值为 512．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan ∠PF 2F 1＝2，则下列结论正确的是( )A ．点P 在双曲线的右支上B ．点⎝⎛⎭⎫－32，3在双曲线的渐近线上 C ．双曲线的离心率为 5D ．双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于4第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(2，m )，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则实数m 的值是________．14．若sin(α＋β)＝13，tan α＝3tan β，则sin(α－β)＝________. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤a ，8－x ，x >a (a >0)，若函数g (x )＝f (x )－3|x |有三个零点，则实数a 的取值范围是________．16．正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，E ，F 分别是A 1B 1，AD ，B 1C 1，C 1D 1的中点，则过EF 且与MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为________，CE 和该截面所成角的正弦值为________．(本题第一空2分，第二空3分．)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，从以下三个条件中选取一个解答该题．①2b －c a ＝cos C cos A；②4cos(B ＋C )＋2cos 2A ＝－3； ③a 3cos A ＝b sin (A ＋C ). (1)求角A 的大小；(2)若a ＝14，b ＋c ＝42，求△ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，S n 为a n 与1a n的等差中项． (1)求证：数列{S 2n }为等差数列；(2)设b n ＝(－1)na n，求{b n }的前100项和T 100.19.(12分)如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．(1)在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥平面PCE ，并说明理由；(2)当二面角D - FC - B 的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．20．(12分)已知抛物线τ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线τ上一点，且在第一象限，满足FP →＝(2，23)．(1)求抛物线τ的方程；(2)已知经过点A (3，－2)的直线交抛物线τ于M ，N 两点，经过定点B (3，－6)和M 的直线与抛物线τ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．21．(12分)山东省2020年高考实施新的高考改革方案，考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A 、B ＋、B 、C ＋、C 、D ＋、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91－100、81－90、71－80、61－70、51－60、41－50、31－40、21－30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C ＋等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C ＋等级．而C ＋等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学学科的转换等级分为x ，69－6565－58＝70－x x －61，求得x ≈66.73， 四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.(1)某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N (60,122)．①若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B ＋，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；②求物理原始分在区间(72,84)的人数．(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X 表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997.22．(12分)已知函数f (x )＝(x －1)2＋ax －a ln x(1)若a ≥－2讨论f (x )的单调性；(2)若a >0，且对于函数f (x )的图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))(x 1<x 2)，存在x 0∈(x 1，x 2)，使得函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线l ∥P 1P 2.求证：x 0<x 1＋x 22.三1．答案：C解析：∵集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 14≤2x ≤4 ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝lg x ，x >110＝{x |x >－1}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x ≤2}＝(－1,2]．故选C.2．答案：D解析：∵a ＋5i 2＋i ＝a ＋5i (2－i )(2＋i )(2－i )＝a ＋1＋2i 为纯虚数， ∴a ＋1＝0，即a ＝－1.故选D.3．答案：A解析：∀x >0，a ≤x ＋1x， 由y ＝x ＋1x≥2，(x >0)， 故a ≤2，所以a <2是a ≤2的充分不必要条件．故选A.4．答案：A解析：由f (x )＝ln (x －2)2(x －2)3可知函数的图象关于点(2,0)对称，故排除B ，C ，当x <0时，ln(x －2)2>0，(x －2)3<0，函数的图象在x 轴下方，故排除D ，故选A.5．答案：D解析：∵f ′(x )＝3－2sin x >0在R 上恒成立，∴f (x )在R 上为增函数，又由2＝log 24<log 27<3<32，则b <c <a .故选D.6．答案：D解析：建立如图所示平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，C ⎝⎛⎭⎫－12，－32， 设P (cos θ，sin θ)，则P A →·(PB →＋PC →)＝(1－cos θ，－sin θ)·(－1－2cos θ，－2sin θ)＝(1－cos θ)(－1－2cos θ)＋2sin 2 θ＝2cos 2 θ－cos θ－1＋2sin 2 θ＝1－cos θ≤2，当且仅当θ＝π，即P (－1,0)时，取等号．故选D.7．答案：A解析：f (x )＝sin 2 x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝sin 2 x ＋⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x 2＝54sin 2 x ＋34cos 2 x ＋32sin x cos x ＝34＋1－cos 2x 4＋34sin 2x ＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≥1－12＝12.故选A. 8．答案：C解析：设P (x 1，y 1)，则A (－x 1，－y 1)，Q (x 1，－y 1)，D ⎝⎛⎭⎫x 1，－y 12， 设B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2⇒k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2， k AD ＝k AB ⇒y 14x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2， 又k P A ＝y 1x 1＝4(y 1＋y 2)x 1＋x 2， 则由P A ⊥PB ⇒k P A ·k PB ＝－1，可得－4·b 2a2＝－1⇒a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2) ⇒3a 2＝4c 2⇒e ＝32.故选C. 9．答案：ABD解析：设该教师家庭2019年收入为x 元，则15%·x ＝80 000×10%＋4 750，解得x ＝85 000.可得：该教师2018年的家庭就医支出显著减少，该教师2019年的家庭就医总支出为8 000＋4 750＝12 750元，该教师2019年的家庭旅行支出占比没有变化，该教师2019年的家庭总收入为85 000元．故选ABD.10．答案：BCD解析：因为⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x n (a >0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等， ∴C 4n ＝C 6n ⇒n ＝10，∵展开式的各项系数之和为1 024，∴(a ＋1)10＝1 024，∵a >0，∴a ＝1.原二项式为：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 10， 其展开式的通项公式为：T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10520-2x r ； 展开式中奇数项的二项式系数和为：12×1 024＝512，故A 错； 因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B 对； 令20－52r ＝0⇒r ＝8，即展开式中存在常数项，C 对； 令20－52r ＝15⇒r ＝2，C 210＝45，D 对； 故选BCD.11．答案：ACD解析：如图所示：易知平面BCC 1B 1∥平面ADD 1A 1，BM ⊂平面BCC 1B 1，故直线BM 与平面ADD 1A 1平行，A 正确；平面BMD 1截正方体所得的截面为BMD 1N 为四边形，故B 错误；连接BC 1，A 1B ，易知AD 1∥BC 1，故异面直线AD 1与A 1C 1所成的角为∠A 1C 1B ，A 1B ＝A 1C 1＝BC 1，故∠A 1C 1B ＝π3，故C 正确； 延长DC 到B ′使CB ′＝1，易知BM ＝B ′M ，故|MB |＋|MD 1|≥D 1B ′＝5，当M 为CC 1中点时等号成立，故D 正确．故选ACD.12．答案：ABC解析：连接PF 1，由题意知|F 1F 2|＝2|OP |＝2c ，则PF 1⊥PF 2，因为tan ∠PF 2F 1＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2，因此|PF 1|>|PF 2|， 故点P 在双曲线的右支上，A 项正确；由于|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，所以(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，整理得c 2＝5a 2，则e ＝5，C 正确；又e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝5，所以b a＝2， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 易知点⎝⎛⎭⎫－32，3在双曲线的渐近线上，故B 项正确； 由于b 2＝5，所以a 2＝54， 所以双曲线的方程为4x 25－y 25＝1， 设M (x 0，y 0)为双曲线上任意一点，则点M 到渐近线y ＝2x 的距离d 1＝|2x 0－y 0|5， 点M 到渐近线y ＝－2x 的距离d 2＝|2x 0＋y 0|5， 因此d 1d 2＝|4x 20－y 20|5， 又4x 205－y 205＝1，于是d 1d 2＝1， 因此由基本不等式得d 1＋d 2≥2d 1d 2＝2，当且仅当d 1＝d 2时取等号，故双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于2，故D 项错误．故选ABC.13．答案：1解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2－2m ＝0，∴m ＝1.14．答案：16 解析：根据sin(α＋β)＝13可得sin αcos β＋cos αsin β＝13①，根据tan α＝3tan β可得sin αcos β＝3cos αsin β ②，由①②得sin αcos β＝14，cos αsin β＝112， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos α·sin β＝16. 15．答案：(0,2)∪[5，＋∞)解析：g (x )＝f (x )－3|x |有三个零点⇔y ＝f (x )与y ＝3|x |的图象有三个交点．因为a >0，所以当x ≤0时，x 2－2x ＝－3x ，得x ＝－1或x ＝0，所以y ＝f (x )与y ＝3|x |的图象有两个交点，则当x >0时，y ＝f (x )与y ＝3|x |的图象有1个交点．当x >0时，令3x ＝8－x ，得x ＝2，所以0<a <2符合题意；令3x ＝x 2－2x ，得x ＝5，所以a ≥5符合题意．综上，实数a 的取值范围是(0,2)∪[5，＋∞)．16．答案：22 1010解析：如图，分别取CD ，BC 的中点H ，G ，连接HE ，HG ，GE ，HF ，ME ，NH .易证ME 綉NH ，所以四边形MEHN 是平行四边形，所以MN ∥HE ，又MN ⊄平面EFHG ，HE ⊂平面EFHG ，所以MN ∥平面EFHG ，所以过EF 且与MN 平行的平面为平面EFHG ，平面EFHG 截正方体所得截面为矩形EFHG ，EF ＝2，FH ＝2，所以所得截面的面积为2×2＝2 2.连接AC ，交HG 于I ，则CI ⊥HG ，又平面EFHG ⊥平面ABCD ，平面EFHG ∩平面ABCD ＝HG ，所以CI ⊥平面EFHG ，连接EI ，则CI ⊥EI ，∠CEI 为直线CE 和截面所成的角．在Rt △CIE 中， CE ＝1＋22＝5，CI ＝14AC ＝224＝22. 所以sin ∠CEI ＝CI CE ＝1010. 17．解析：若选①，(1)根据正弦定理知，2b －c a ＝2sin B －sin C sin A ＝cos C cos A， 即2sin B ·cos A ＝cos C ·sin A ＋sin C ·cos A ，即2sin B ·cos A ＝sin(A ＋C )，因为A ＋C ＝π－B ，所以2sin B ·cos A ＝sin B ，又sin B ≠0，解得cos A ＝12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3， 所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332. 若选②，(1)由题意可得4cos(B ＋C )＋2(2cos 2 A －1)＝－3，又cos(B ＋C )＝－cos A ，所以－4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝－3，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0， 解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3， 所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6， 所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332. 若选③，(1)由正弦定理及a 3cos A ＝b sin (A ＋C )， 得sin A 3cos A ＝sin B sin (A ＋C )， 又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ， 所以sin A 3cos A ＝sin B sin B，得tan A ＝ 3. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3， 所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6， 所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332. 18．解析：(1)证明：由题意知2S n ＝a n ＋1a n， 即2S n a n －a 2n ＝1， ①当n ＝1时，由①式可得S 1＝1，又n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1，代入①式得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1，(n ≥2)．∴{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可得S 2n ＝1＋n －1＝n ，∵{a n }是各项都为正数，∴S n ＝n ，∴a n ＝S n －S n －1＝n －n －1(n ≥2)，又a 1＝S 21＝1，也适合上式∴a n ＝n －n －1.b n ＝(－1)n a n ＝(－1)nn －n －1＝(－1)n (n ＋n －1)， T 100＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(100－1＋100－2)＋(100＋100－1)＝100＝10. ∴{b n }的前100项和T 100＝10.19．解析：(1)在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连接EQ 、FQ ，由题意，FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ . 所以，四边形AEQF 为平行四边形．所以，AF ∥EQ ，又EQ ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以AF ∥平面PCE .(2)由题意知△ABD 为正三角形，所以ED ⊥AB ，亦即ED ⊥CD ，又∠ADP ＝90°，所以PD ⊥AD ，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD ＝a (a >0)，则由题意知 D (0,0,0)，F (0,0，a )，C (0,2,0)，B (3，1,0)，FC →＝(0,2，－a )，CB →＝(3，－1,0)，设平面FBC 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·FC →＝0m ·CB →＝0得⎩⎨⎧2y －az ＝03x －y ＝0， 令x ＝1，则y ＝3，z ＝23a， 所以取m ＝⎝⎛⎭⎫1，3，23a ， 显然可取平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0,0)，由题意：24＝|cos 〈m ，n 〉|＝11＋3＋12a2， 所以a ＝ 3.由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角，易知在Rt △PBD 中，tan ∠PBD ＝PD BD＝a ＝3， 从而∠PBD ＝60°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60°.20．解析：(1)y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，而FP →＝(2,23)，所以点P ⎝⎛⎭⎫p 2＋2，23， 又点P 在抛物线y 2＝2px 上，所以(23)2＝2p ⎝⎛⎭⎫p 2＋2，即p 2＋4p －12＝0，(p ＋6)(p －2)＝0，而p >0，故p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，直线AM ，BM ，NL 的斜率均存在．设M (x 0，y 0)，N (x 1，y 1)，L (x 2，y 2)，则y 20＝4x 0，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率为k MN ＝y 1－y 0x 1－x 0＝y 1－y 0y 21－y 204＝4y 1＋y 0. 则l MN ：y －y 0＝4y 1＋y 0⎝⎛⎭⎫x －y 204， 即y ＝4x ＋y 0y 1y 0＋y 1①； 同理l ML ：y ＝4x ＋y 0y 2y 0＋y 2②； 将A (3，－2)，B (3，－6)分别代入①，②两式，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝12＋y 0y 1y 0＋y 1－6＝12＋y 0y 2y 0＋y 2，消去y 0得y 1y 2＝12，易知直线l NL ：y ＝4x ＋y 1y 2y 1＋y 2＝4x ＋12y 1＋y 2＝4(x ＋3)y 1＋y 2， 因此直线NL 恒过定点(－3,0)．21．解析：(1)①设小明转换后的物理等级分为x ，93－8484－82＝90－x x －81， 求得x ≈82.64，小明转换后的物理成绩为83分；②因为物理考试原始分基本服从正态分布N (60,122)，所以P (72<ξ<84)＝P (60<ξ<84)－P (60<ξ<72)＝12P (36<ξ<84)－12P (48<ξ<72) ＝12(0.954－0.682)＝0.136. 所以物理原始分在区间(72,84)的人数为2 000×0.136＝272(人)； (2)由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[61,80]内的概率为25， 随机抽取4人，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，25， P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14·25·⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24·⎝⎛⎭⎫252·⎝⎛⎭⎫352＝216625，P (X ＝3)＝C 34·⎝⎛⎭⎫253·⎝⎛⎭⎫351＝96625， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫254＝16625.X 的分布列为数学期望E (X )＝4×25＝85. 22．解析：(1)易得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x －1)＋a －a x ＝(x －1)(2x ＋a )x， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－a 2. ①当a ≥0时，0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时，f (x )的减区间为(0,1)，增区间为(1，＋∞)．②当－2<a <0时，－a 2<x <1时， f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；0<x <－a 2或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时，f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，1，增区间为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，(1，＋∞)． ③当a ＝－2时，x >0时，f ′(x )＝2(x －1)2x>0，函数f (x )单调递增； 此时，f (x )的减区间为(0，＋∞)．综上，当a ≥0时，f (x )的减区间为(0,1)，增区间为(1，＋∞)； 当－2<a <0时，f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，1， 增区间为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，(1，＋∞)； 当a ＝－2时，f (x )增区间为(0，＋∞)．(2)证明：由题意及导数的几何意义，得f ′(x 0)＝kP 1P 2＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝[(x 2－1)2＋ax 2－a ln x 2]－[(x 1－1)2＋ax 1－a ln x 1]x 2－x 1 ＝(x 1＋x 2－2)＋a －a ln x 2x 1x 2－x 1. 由(1)中f ′(x )得f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝(x 1＋x 2－2)＋a －2a x 1＋x 2. 易知，导函数f ′(x )＝2(x －1)＋a －a x(a >0)在(0，＋∞)上为增函数， 所以，要证x 0<x 1＋x 22， 只要证f ′(x 0)<f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即－a ln x 2x 1x 2－x 1<－2a x 1＋x 2， 即证ln x 2x 1>2(x 2－x 1)x 1＋x 2. 因为x 2>x 1>0，不妨令t ＝x 2x 1，则g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)． 所以g ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0(t >1)， 所以g (t )在t ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (t )>g (1)＝0，即ln t －2(t －1)t ＋1>0， 所以ln t >2(t －1)t ＋1，即ln t t －1>2t ＋1， 即ln x 2x 1>2(x 2－x 1)x 1＋x 2.故有x 0<x 1＋x 22(得证)．。
2021年山东省新高考质量测评联盟高考数学联考试卷(2021.04)(解析版)
2021年山东省新高考质量测评联盟高考数学联考试卷（4月份）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{y|y＝x2﹣2}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]∪[3，+∞）C．[﹣2，1）∪（3，+∞）D．[﹣2，1]∪（3，+∞）2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则z＝（）A．0B．i C．1+i D．1﹣i3．如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为（）A．B．C．D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．抛物线y＝2x2的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝（）A．4B．1C．D．7．五声音阶，古代文献酒常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵（zhi）、羽．如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽．中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为（）A．20B．28C．32D．408．已知数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100＝（）A．472B．480C．580D．769二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若a＞b＞0，且ab＝1，则（）A．a＞b+1B．C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞110．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关11．已知f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f（x）＝（）n（n∈N*）有2n+2个不相等的实数根B．y＝f（x）与g（x）＝3x的图象上存在2对关于直线y＝x的对称点C．∀x∈[1，8]，有xf（x）≤3恒成立D．当x∈[2n﹣1，2n]，n∈N*，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积S＝112．已知双曲线方程为＝1，A为双曲线右支上任意一点，F1，F2为左、右焦点，△AF1F2的内切圆圆心为I，⊙I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点M（x0，0）．则以下结论正确的有（）A．|F1N|﹣|F2N|为定值B．I的横坐标为定值C．x0的范围是（0，3）D．⊙I半径的最大值为4三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，则f（）＝．14．平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为．15．若对于任意实数m，函数f（x）＝ωx+cosωx．在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，则ω的最小正整数值为．16．在三棱锥V﹣ABC中．△ABC是边长为6的正三角形．VA＝VB＝VC＝2，其内有n个小球，球O1与三梭锥V﹣ABC的四个面都相切，则球O1的半径为，球O2与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O1都相切，以此类推，……，球O n与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O n﹣1（n≥2，n∈N*）都相切，则球O n 的表面积等于．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，b＝c＝4且满足______．①a sin B＝b cos（A+），②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），③，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题．（1）求角A；（2）点P为△ABC内一点，当∠BPC＝时，求△BPC面积的最大值．18．随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建﹣一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进人全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：月份x234567101125.23342393658.87278满意度y（%）参考数据：x i＝6，＝＝48，＝72，＝2598.48，＝414．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y（%）关于月份x的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程y ＝中，＝＝，．19．已知数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n（n∈N*）．（1）求a1的值和{b n}的通项公式；（2）令c n＝2n+1﹣a n ，求．20．已知四边形ABCD，∠BAC＝∠ADC＝90°，DC＝DA ＝AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC．（1）若PA＝PB，求证PA⊥BC；（2）若二面角P﹣AC﹣B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）点P为直线x＝3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|＝2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝+ax+a2lnx（a∈R）f'（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝x+b，求a，b的值；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣e x，若g（x）≤0，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{y|y＝x2﹣2}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]∪[3，+∞）C．[﹣2，1）∪（3，+∞）D．[﹣2，1]∪（3，+∞）解：∵|x﹣2|≤1，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}，∴∁R A＝{x|x＜1或x＞3}，∵y＝x2﹣2≥﹣2，∴B＝{y|y≥﹣2}，∴（∁R A）∩B＝[﹣2，1）∪（3，+∞），故选：C．2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则z＝（）A．0B．i C．1+i D．1﹣i解：z＝1+i+i2+i3+…+i2021＝．故选：C．3．如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为（）A．B．C．D．解：因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度为2π×＝，故选：D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n解：若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，故A错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n∥β，可得α∥β或α与β相交，相交也不一定垂直，故C错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故D正确．故选：D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：令f（x）＝0，解得，故函数f（x）的零点为，故选项B，D错误；因为，当x＜0时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，故选项C错误，选项A正确．故选：A．6．抛物线y＝2x2的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝（）A．4B．1C．D．解：抛物线y＝2x2的焦点F（0，），准线方程为y＝﹣，∴直线AB的方程为y＝x﹣，代入y＝2x2可得2x2﹣x+＝0∴x A+x B＝，y A＝x A﹣，y B＝x B﹣，所以y A+y B＝x A+x B﹣﹣＝﹣＝，由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF|+|BF|＝y A+y B+p＝＝．故选：D．7．五声音阶，古代文献酒常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵（zhi）、羽．如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽．中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为（）A．20B．28C．32D．40解：根据题意，分3步进行分析：①排好宫、羽、角三种音阶，要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，有2种情况，②排好后，有4个空位，将商安排到4个空位中，有4种情况，③排好后，有5个空位，将徵安排到5个空位中，有5种情况，则有2×4×5＝40种不同的顺序，故选：D．8．已知数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100＝（）A．472B．480C．580D．769解：数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，令m＝1，则a n+1＝a n+a1＝a n+2，故a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}为等差数列，故a n＝2+2（n﹣1）＝2n，由于b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），所以b1＝1，b2＝b3＝2，b4＝b5＝…＝b7＝3，b8＝b9＝…＝b15＝4，b16＝b17＝…＝b31＝5，b32＝b33＝…＝b63＝6，b64＝b65＝…＝b100＝7，故S100＝1+2×2+3×4+4×8+16×5+32×6+37×7＝580．故选：C．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若a＞b＞0，且ab＝1，则（）A．a＞b+1B．C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞1解：由于a＞b＞0，且ab＝1，则a＞1＞b＞0，对于A：，故确定不了与0的关系，故A错误；对于B：a2+1＞b2+1，故，故B正确；对于C：由于f（x）＝为减函数，故f（b）＞f（a），所以，故C错误；对于D：log2（a+b），故D正确；故选：BD．10．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关解：由条形图可知，五年基础研究经费随年份的增长而增长，呈线性相关，故选项A正确；由折线图可知，从2018～2019，2019～2020的折线的斜率反生变化，故年增长率发生变化，故选项B错误；由条形图对应的斜率以及折线图对应的斜率可知，基础研究经费支出的增长率大于发明专专利授权数的增长率，故选项C正确；由统计图可知，发明专利授权数与基础研究经费支出呈正相关，故选项D错误．故选：AC．11．已知f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f（x）＝（）n（n∈N*）有2n+2个不相等的实数根B．y＝f（x）与g（x）＝3x的图象上存在2对关于直线y＝x的对称点C．∀x∈[1，8]，有xf（x）≤3恒成立D．当x∈[2n﹣1，2n]，n∈N*，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积S＝1解：当1时，f（x）＝2﹣（6﹣4x）＝4x﹣4，当时，f（x）＝2﹣（4x﹣6）＝8﹣4x，当2＜x＜3时，，f（）＝x﹣2，当3≤x≤4时，，f（）＝4﹣x，由此可知，当2n﹣1≤x≤3•2n﹣1时，f（x）＝24﹣2n（x﹣2n﹣1）；当3•2n﹣1＜x＜2n时，f（x）＝24﹣2n（2n﹣x）．对于A：f（x）与有2n+1个交点，A错误；对于B：作出g（x）关于直线y＝x对称的图像，即g（x）的反函数h（x）＝log3x，由图像可知，f（x）与h（x）有3个交点，即f（x）与g（x）有3对对称点，B错误；对于C：当1≤x≤8时，，C正确；对于D：当2n﹣1≤x≤2n时，函数f（x）与x轴围成的图形为三角形，底为2n﹣2n﹣1，高为，则S＝＝1，D正确．故选：CD．12．已知双曲线方程为＝1，A为双曲线右支上任意一点，F1，F2为左、右焦点，△AF1F2的内切圆圆心为I，⊙I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点M（x0，0）．则以下结论正确的有（）A．|F1N|﹣|F2N|为定值B．I的横坐标为定值C．x0的范围是（0，3）D．⊙I半径的最大值为4解：双曲线方程为＝1的a＝3，b＝4，c＝5，⊙I与x轴切于点N，与AF1切于点P，与AF2切于点T，因为I的横坐标与N的横坐标相等，设I（x N，r），由切线长相等，可得|PF1|＝|NF1|，|PA|＝|TA|，|TF2|＝|NF2|，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，即有|NF1|﹣|NF2|＝2a，又|NF1|+|NF2|＝2c，解得|NF2|＝c﹣a，可得|ON|＝a，则A，B都正确；由内角平分线的性质定理可得＝＝，即有|AF2|＝3（﹣1）＞c﹣a＝2，解得0＜x＜X0＜3，故C正确；可设A（m，n），m，n＞0，△AF1F2的内切圆的半径为r，则﹣＝1，①又S＝•2c•n＝r（2c+|AF1|+|AF2|），即为5n＝r（5+3+|AF2|）＝r（8+em﹣a）＝r（5+m），化为n＝r（1+m），若r＝4，则n＝4（1+m），②联立①②，可得方程组无解．故D错误．故选：ABC．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，则f（）＝．解：已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，函数f（x）的定义域为R，f′（x）＝cos x﹣2f'（）sin x，所以f′（）＝cos﹣2f'（）sin，解得f′（）＝，所以f（）＝sin+2f'（）cos＝，故答案为：．14．平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为7．解：∵平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．故可建立如图所示的坐标系，则A（3，0），B（0，4），设C（x，y），因为|﹣﹣|＝2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，即表示以D（3，4）为圆心，2为半径的圆上的点，因为OD＝＝5，故||的最大值为：5+2＝7，故答案为：7．15．若对于任意实数m，函数f（x）＝ωx+cosωx．在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，则ω的最小正整数值为10．解：f（x）＝ωx+cos x＝2sin（ωx+），因为f（x1）f（x2）＝4，则f（x1），f（x2）同时为函数的最小或同时为函数的最大值，因为f（x）在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，所以|x1﹣x2|≥T＝＝，故m+1﹣m×，所以ω≥3π，则ω的最小正整整数为10．故答案为：10．16．在三棱锥V﹣ABC中．△ABC是边长为6的正三角形．VA＝VB＝VC＝2，其内有n个小球，球O1与三梭锥V﹣ABC的四个面都相切，则球O1的半径为，球O2与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O1都相切，以此类推，……，球O n与三棱锥V﹣ABC 的三个面和球O n﹣1（n≥2，n∈N*）都相切，则球O n的表面积等于．解：如图，取O为三角形ABC的中心，M为AB的中点，连接OM，VM，则BM＝，OM＝，VM＝，∴VO＝，由对称性可知，球心O1在VO上，且O1O＝r1（r1为球O1的半径），作O1H⊥VM，则O1H＝r1，VO1＝4﹣r1，由Rt△VOM∽Rt△VHO1，可得，即，解得，则球O1的半径为；作球O1与底面ABC平行的切面A1B1C1，则球O2即为三棱锥V﹣A1B1C1的内切球，三棱锥V﹣A1B1C1的高，由V﹣A1B1C1与V﹣ABC相似，且长度相似比为，得，可得，则{r n}构成以为首项，以为公比的等比数列，∴，可得球O n的表面积为．故答案为：；．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，b＝c＝4且满足______．①a sin B＝b cos（A+），②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），③，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题．（1）求角A；（2）点P为△ABC内一点，当∠BPC＝时，求△BPC面积的最大值．解：选①a sin B＝b cos（A+），由正弦定理得sin A sin B＝sin B cos（A+），因为sin B≠0，所以sin A＝cos（A+）＝，即tan A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；选②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），所以sin（A+B）﹣sin B＝sin（A﹣B），所以sin A cos B+sin B cos A﹣sin B＝sin A cos B﹣sin B cos A，即2sin B cos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；选③，由正弦定理得，整理得，2sin C cos A＝sin B cos A+sin A cos B＝sin（A+B）＝sin C，因为sin C≠0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A ＝；（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝16+16﹣2×＝32﹣16，△BPC中，由余弦定理得a2＝BP2+PC2﹣2BP•PC•cos＝BP2+PC2+BP•PC≥3BP•PC，当且仅当BP＝CP时取等号，所以BP•PC，S△BPC ＝＝，△BPC 面积的最大值．18．随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建﹣一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进人全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：月份x234567101125.23342393658.87278满意度y（%）参考数据：x i＝6，＝＝48，＝72，＝2598.48，＝414．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y（%）关于月份x的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程y ＝中，＝＝，．解：（1）由题意可知，满意度小于35%的有2个月，不小于35%的由6个月，所以ξ的可能取值为1，2，3，故P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列为：ξ123P故ξ的数学期望为E（ξ）＝1×+2×+3×＝；（2）去掉6月份的数据后可得新数据表如下；月份x234571011满意度y（%）25.233423958.87278则，，，，所以＝＝，所以＝49.714﹣5.75×6＝15.21，故剩下的数据所求出的线性回归方程为y＝5.75x+15.21；19．已知数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n（n∈N*）．（1）求a1的值和{b n}的通项公式；（2）令c n＝2n+1﹣a n，求．解：（1）数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n①．当n＝1时，整理得，解得a1＝1．当n≥2时，4T n﹣1＝a n﹣12+（2n﹣1+2）a n﹣1+4n﹣2+2n﹣1②，①﹣②得：2（b n+b n﹣1）＝（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1），由于a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，所以b n+b n﹣1＞0，整理得b n﹣b n﹣1＝2（常数），由于b1＝1+1＝2，故b n＝2+2（n﹣1）＝2n，所以．（2）由（1）得：c n＝2n+1﹣a n＝2n﹣1+1，所以＝，故＝．20．已知四边形ABCD，∠BAC＝∠ADC＝90°，DC＝DA＝AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC．（1）若PA＝PB，求证PA⊥BC；（2）若二面角P﹣AC﹣B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为DC＝DA＝AB，PA＝PB，所以PB＝PA＝DA＝AB，在△PAB中，有，所以PA⊥PB，又∠ADC＝90°，即∠APC＝90°，所以PA⊥PC，因为PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC；（2）解：取AC的中点E，BC的中点F，连结EF，PE，则EF∥AB，因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，所以EF⊥AC，因为DC＝DA，即PC＝PA，所以PE⊥AC，所以∠PEF为二面角P﹣AC﹣B的平面角，∠PEF＝，设DC＝DA＝AB＝，则，PE＝，以点E为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令x＝1，则y＝0，，故，所以＝，故直线BC与平面PAB所成角的正弦值为．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）点P为直线x＝3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|＝2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设M（x，y），因为动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍，所以，化简整理可得，，故动点M的轨迹E的方程为；（2）由题意可知，直线PQ的斜率一定存在，设其方程为y＝kx+m，则点P（3，3k+m），联立直线PQ与椭圆E可得，则（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，所以，求解可得，所以，椭圆右焦点F2（2，0），所以，，所以，所以QF2⊥PF2，因为N是PQ的中点，所以|QP|＝2|NF2|，所以存在定点T（2，0），满足|PQ|＝2|NT|．22．已知函数f（x）＝+ax+a2lnx（a∈R）f'（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝x+b，求a，b的值；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣e x，若g（x）≤0，求实数a的取值范围．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x+a+，所以f′（1）＝+a+＝，解得a＝2或a＝﹣4（舍），所以f（1）＝，所以切点坐标为（1，），代入切线方程得b＝﹣，所以a＝2，b＝﹣．（2）g（x）＝x2+ax+﹣e x，x∈（0，+∞），所以g′（x）＝x+a﹣e x，设h（x）＝x+a﹣e x，x∈（0，+∞），所以h′（x）＝1﹣e x＜0，所以g′（x）在（0，+∞）上是减函数，且g′（x）＜g′（0）＝a﹣1，①当a﹣1≤0时，即a≤1时，g′（x）＜g′（0）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，所以g（x）＜g（0）＝﹣1≤0，解得﹣≤a≤，所以﹣≤a≤1．②当a﹣1＞0时，即a＞1时，g′（0）＝a﹣1＞0，g′（ln2a）＝ln2a﹣a，设m（a）＝ln2a﹣a，所以m′（a）＝﹣1＝＜0，所以m（a）在（1，+∞）上是减函数，所以g′（ln2a）＝ln2a﹣a＜m（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在唯一x0∈（0，ln2a）满足g′（x0）＝0，即x0+a﹣＝0，所以当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x0，ln2a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（x0）＝x02+ax0+﹣＝（x0+a）2﹣＝﹣≤0，解得0＜≤2，所以0＜x0≤ln2，因为a＝﹣x0且0＜x0≤ln2，设φ（x）＝e x﹣x，x∈（0，ln2]，所以φ′（x）＝e x﹣1＞0，所以φ（x）在（0，ln2]上是增函数，因为φ（0）＝0，φ（ln2）＝2﹣ln2，所以1＜a≤2﹣ln2，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，2﹣ln2]．。
山东省临沂市2021届新高考数学一月模拟试卷含解析
山东省临沂市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b +=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．12B．2C．2D．3【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =u u u r u u u r ，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ， 则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故2e =.故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义可得14PF =，12F F =. 【详解】由题意，12F F =126PF PF +=，又22PF =，则14PF =， 由余弦定理可得22212121212164281cos 22242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯.故12120F PF ︒∠=.故选：C. 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.3．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 【详解】 解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.4．已知数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于（ ）A ．64B ．32C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据题意依次计算得到答案. 【详解】根据题意知：18a =，214a a =，故232a =，322a a =，364a =. 故选：A . 【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力. 5．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】由02x π≤≤求出5x ωπ+范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立ω不等量关系，即可求解. 【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点， ∴5265ππωππ≤+<，∴1229510ω≤<. 故选:A. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.6．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率．【详解】由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 故选：A ． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 7．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.8．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1 B ．1-或2 C ．1-或12D ．12-或1 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线22y x a =-的斜率，利用曲线ln y x a =-的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得a 的值.【详解】直线22y x a =-的斜率为1， 对于ln y x a =-，令11y x '==，解得1x =，故切点为()1,a -，代入直线方程得212a a -=-，解得12a =-或1. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.9．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--上运动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．6 B ．3C ．93222- D ．93222+ 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【详解】解：曲线21y x =--表示以原点O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．10．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 是增函数【答案】C 【解析】 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误； 选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误；选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确；选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3L L 上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误. 故选：C 【点睛】本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 11．已知()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．524+ D ．9【答案】A 【解析】 【分析】利用()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.【详解】解：∵()()2222log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦的值域为[),m +∞, ∴4m =, ∴414622a b a b+=++,∴()()141746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()4216219554426244a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当()4262262a b a b a b a b++=++时取等号, ∴74a b +的最小值为94. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 12．已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221kx e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．24e D ．21e 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，()()xg x f e=，由()()()120f x g x k k ==<可得出101x<<，20x <，利用导数可得出函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，进而可得出21xx e =，由此可得出()22221x x x g x k x e ===，可得出2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，构造函数()2k h k k e =，利用导数求出函数()y h k =在(),0k ∈-∞上的最大值即可得解.【详解】()ln x f x x =Q ，()()ln xx x x x e g x f e e e===，由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <， 函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x-'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，()()()212x f x g x f e∴==，则21x x e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 构造函数()2kh k k e =，其中k 0<，则()()()222kkh k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减.所以，()()2max 42h k h e=-=. 故选：C. 【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(四)数学(文)试题
2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（四）文科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是( )A. (,2]-∞-B. [2,)+∞C. (,2]-∞D. [2,)-+∞【答案】B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项. 2.已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A. -1 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 下列说法错误的是（ ）A. 命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”B. 如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.C. 若命题：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥；D. “1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件； 【答案】D 【解析】试题分析：根据命题的否命题的形式为条件和结论同时否定，所以A 是正确的，根据复合命题的真值表，可以确定B 项是正确的，根据特称命题的否定形式，可知C 是正确的，因为“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的必要不充分条件，可知D 是错误的，故选D ． 考点：逻辑．4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =（ ） A. -6 B. -4C. -2D. 2【答案】A 【解析】【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=-解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-．考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．5.已知ππ43πsin()cos(),0,322ααα++-=--<<则2πcos()3α+等于（ ）A.5B.35C.45D.35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππ43sin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133343sin cos sin sin cos 22ααααα++=+=-433sin 6πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.6.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的全面积是(单位：2m ).( )A. 426+B. 46C. 422+D. 42+【解析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥，由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为12222⨯⨯=，由顶点在底面的投，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为，侧面的面积皆为12⨯=，故此三棱锥的全面积为224++=+故选A7.若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A. 0B. 3-C.32D. 3【答案】B 【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.8.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A. 若m ，n 与α所成的角相等，则//m n B. 若αβ⊥，//m α，则m β⊥ C. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D. 若//m α，//n β，则//m n 【答案】C 【解析】【详解】若m ，n 与α所成的角相等，则//m n 或m ，n 相交或m ，n 异面；A 错.若αβ⊥，//m α，则m β⊥或//m β，B 错. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥正确. D ．若//m α，βn//，则//m n ,m ，n 相交或m ，n 异面，D 错 考点：直线与平面，平面与平面的位置关系 9.函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.10.在ABC ∆中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为（ ）A.32B. 4C. 2D. 1【答案】C 【解析】1sin 1sin 2BCD BCD ∠=∴∠=2242BD BD ∴=-=∴=,选C 11.定义在R 上的函数()y f x =满足()555,0222f x f x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-->⎪ '⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，任意的12x x <都有()()12f x f x >是125x x +<的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】因为()5,02x f x '>>； ()5,02x f x '<<，且()f x 关于52x =对称，所以12x x <时， ()()12f x f x > ()212212125555,555222f x x x x x x x x <>=-⇒⇒-<∴<-⇒+<反之也成立： 12x x <时， ()()()1212121225555,,55222x x x x x x f x f x f x +<⇒<⇒>-<-=<>，所以选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．12.已知函数212()321x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，，,若方程()f x a =有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. (1,3)B. (0,3)C. (0,2)D. (0,1)【答案】D 【解析】【分析】转化条件得函数()f x 的图象与函数y a =的图象有三个不同交点，画出图象即可得解. 【详解】由题意作出函数()f x 的图象，如图：方程()f x a =有三个不同的实数根即为函数()f x 的图象与函数y a =的图象有三个不同交点，由图可知：01a <<.故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点个数问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.二、填空题13.已知sin α2cos α=，则cos2α的值是______． 【答案】35【解析】 【分析】由已知得到tan 2α=，巧用“1”及弦化切得到所求的结果.【详解】由已知得tan 2α=，22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin sin cos tan 1415ααααααααα---=-====-+++． 故答案为35-【点睛】1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.14.若11234(1)n n S n -=-+-+⋅⋅⋅+-⋅，则173350S S S ++=__________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先分当21n k =-和2n k =时，求数列的前n 项和，再代入n 值计算结果.【详解】解析：依题意，当21n k =-时， ()11112n n S k k +=+-⋅==， 当2n k =时， 2n nS k =-=-，综上所述1,2,2n n n S n n +⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，∴1733501S S S ++=. 故答案为：1【点睛】本题考查求数列的前n 项和，重点考查分组，并项求和，属于基础题型. 15.已知,(0,),1x y x y ∈+∞+=，则11x y+的最小值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】由(),0,x y ∈+∞，且x +y ＝1，进行1的代换11x y +=（11x y+）（x +y ），展开利用基本不等式可求． 【详解】∵x ，y ＞0．且x +y ＝1，则11x y +=（11x y +）（x +y ）＝2y xx y++≥4， 当且仅当y x x y =且x +y ＝1即x ＝y 12=时取等号，此时所求最小值4． 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．16.给出下列命题： ①函数()4cos(2)3f x x π=+的一个对称中心为5(,0)12π-； ②若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>； ③若a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ= ；④在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若040,20,25a b B ===，则ABC ∆必有两解； ⑤函数sin 2y x = 的图象向左平移4π个单位长度，得到sin(2)4y x π=+的图象.其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】试题分析：因为52()1232πππ⨯-+=-，且cos()02π-=，所以5(,0)12π-是函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心，所以①是正确的，因为1363ππ>，但是13tan tan 63ππ<，所以②是错误的，当a b a b +=-，所以有两个向量是反向的，即是共线向量，所以一定存在实数λ，使得b a λ=，故③是正确的，因为40sin 252040<<，所以ABC ∆必有两解，所以④是正确的，函数sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度，得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以⑤是正确的，故答案为①③④．考点：三角函数的性质的综合应用，三角形解的个数，向量的关系．【易错点睛】该题属于选择题性质的填空题，考查的知识点比较多，属于较难题目，在解题的过程中，需要对每个命题所涉及的知识点掌握的比较熟练，容易出错的地方是需要把握三角形解的个数的判定方法，以及图像变换中涉及到左右平移时移动的量那是自变量本身的变化量，以及三角函数在各象限内是不具备单调性的．三、解答题17.△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，m ＝(2b －c ，a)，n ＝(cosA ，－cosC)，且m ⊥n ． (Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)当y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋6π)取最大值时，求角B 的大小. 【答案】(Ⅰ) A ＝3π.(Ⅱ) B ＝3π时，y 取最大值2. 【解析】【详解】m ⊥·0n mn ∴=．考查数量积的坐标表示， ，求y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋6π)取最大值时，将函数解析式化为y=1＋sin(2B －6π). 然后作用的角用整体法－6π＜2B －6π＜76π，在范围内求最值． 解： (Ⅰ)由m ⊥n ，得m ·n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0 ∴2sinBcosA －sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0， ∵A 、B ∈(0，π)，∴s inB≠0，cosA ＝12，故A ＝3π(Ⅱ)y ＝2sin 2B ＋2sin(2B ＋6π)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos 6π＋cos2Bsin 6π＝1－12cos2B ＝1＋sin(2B －6π).由(Ⅰ)得，0＜B ＜23π，－6π＜2B －6π＜76π，∴当2B －6π＝2π，即B ＝3π时，y 取最大值218.若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m . 【答案】(1) 21n a n =- (2) m 的最小值为30. 【解析】试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和，根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果．试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ()0d ≠，所以 112141,2,46S a S a d S a d ==+=+．又因124,,S S S 成等比数列，所以()()2111462a a d a d ⋅+=+．所以212a d d =．因为公差d 不等于0，所以12d a =．又因为24S =，所以1a 1,d 2，所以21n a n =-．（2）因为()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以311111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭31312212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭．要使20n m T <对所有n N *∈都成立，则有3202m ≥，即30m ≥．因为m N *∈，所以m 的最小值为30． 考点：等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，7AD CD ==，3PA =，120ABC ∠=，G 为线段PC 上的点．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值．【答案】（1）见解析；（243 【解析】试题分析：（1）推导出PA ⊥BD ，BD ⊥AC ，由此能证明BD ⊥平面PAC ．（2）由PA ⊥平面ABCD ，得GO ⊥面ABCD ，∠DGO 为DG 与平面PAC 所成的角，由此能求出DG 与平面APC 所成的角的正切值．试题解析：（1）证明：∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，∴PA BD ⊥.∵2AB BC ==，7AD CD ==.设AC 与BD 的交点为O ，则BD 是AC 的中垂线，故O 为AC 的中点，且BD AC ⊥.而PA AC A ⋂=，∴BD ⊥面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，O 为AC 的中点，则GO 平行且等于12PA ， 故由PA ⊥面ABCD ，可得GO ⊥面ABCD ，∴GO OD ⊥，故OD ⊥平面PAC ，故DGO ∠为DG 与平面PAC 所成的角．由题意可得132GO PA ==，ABC ∆中，由余弦定理可得，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠ 44222cos12012=+-⨯⨯⨯︒=，∴AC =OC =∵直角三角形COD 中，2OD ==，∴直角三角形GOD 中，tan OD DGO OG ∠==. 点睛：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.已知函数()cos f x x x =223sin cos 2x x --+.（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足b a =，sin(2)sin A C A +22cos()A C =++，求()f B 的值.【答案】(1)[]1,2-；(2)1.【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求值域，（2）先根据两角和正弦公式展开化简()sin 2sin A C A + ()22cos A C =++得sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =，再根据余弦定理得3B π=，代人()()f x f B 得值.试题解析：（1）()cos f x x x = 223sin cos 2x x --+ 22sin 1x x =-+cos2x x =+ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()[]1,2f x ∈-. （2）∵由题意可得()sin A A C ⎡⎤++⎣⎦ ()2sin 2sin cos A A A C =++有，()()sin cos cos sin A A C A A C +++ ()2sin 2sin cos A A A C =++，化简可得：sin 2sin C A =，∴由正弦定理可得：2c a =，∵b =，∴余弦定理可得：222cos 2a c b B ac+-=222431222a a a a a +-==⋅，∵0B π<<，∴3B π=，所以()1f B =. 21.已知函数()1ln (1)2f x x a x =--. （1）若2a =-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 22y x =- (2) [2,)+∞【解析】试题分析：(1）2a =-时()ln 1f x x x =+-求导，得到在切点(1,0)处切线斜率，代入点斜式即可；(2) 求导2()2ax f x x'-=对a 分情况讨论，讨论函数的单调性，结合题目要求()0f x <对任意(1,)x ∈+∞恒成立名即可得到实数a 的取值范围； 试题解析：(1）2a =-时，()ln 1f x x x =+-，1()1,f x x =+'∴切点为(1,0)，(1)2k f ='= 2a ∴=-时，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-（2）（i ）1()ln (1)2f x x a x =--，2()2ax f x x'-=， 当0a ≤时，(1,)x ∈+∞，()0f x '>，∴()f x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0f x f >=，∴0a ≤不合题意．②当2a ≥即201,a <≤时，2()2()022a x ax a f x x x--==-<'在(1,)+∞上恒成立， ()f x ∴在(1,)+∞上单调递减，有()(1)0f x f <=，∴2a ≥满足题意．③若02a <<即21,a >时，由()0f x '>，可得21x a <<，由()0f x '<，可得2x a>， ∴()f x 在2(1,)a 上单调递增，在2(,)a +∞上单调递减，∴2()(1)0f f a>=， ∴02a <<不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是[2,).+∞考点：利用导数研究函数的性质22.在直角坐标系中，圆1C ：221x y +=经过伸缩变换32x x y y''=⎧⎨=⎩，后得到曲线2C 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=()1求曲线2C 的直角坐标方程及直线l 的直角坐标方程；()2在2C 上求一点M ，使点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离．【答案】（1）22194x y += 2100x y +-=； （2【解析】【分析】（1）由'3'2x x y y =⎧⎨=⎩后得到曲线C 2，可得：1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆C 1：x 2+y 2=1，化简可得曲线C 2的直角坐标方程，将直线l 的极坐标方程为cosθ+2sinθ=10ρ化为：ρcosθ+2ρsinθ=10，进而可得直线l 的直角坐标方程. （2）将直线x +2y ﹣10=0平移与C 2相切时，则第一象限内的切点M 满足条件，联立方程求出M 点的坐标，进而可得答案.【详解】（1）因为32x x y y ''=⎧⎨=⎩后得到曲线2C ， 1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，代入圆1C ：221x y +=得：'2'2194x y +=， 故曲线2C 的直角坐标方程为22194x y +=； 直线l 的极坐标方程为102cos sin θθρ+=．即210cos sin ρθρθ+=，即2100x y +-=.()2将直线2100x y +-=平移与2C 相切时，则第一象限内的切点M 满足条件，设过M 的直线为20x y C ++=，则由2220194x y C x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：222599360424x Cx C ++-=， 由229259()4360244C C ⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭得：52C =±， 故95x =，或95x =-，(舍去)， 则85y =，即M 点的坐标为98,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则点M 到直线l 的距离d == 【点睛】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．。
2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(四)数学(解析版)
2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（四）数学（解析版）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C ．(0,2] D ．[－1,0]2．若复数z ＝1＋i1＋a i(i 表示虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．0C ．－12 D ．－13．设{a n }为公差不为0的等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p ＋q >k ＋l ”是“a p ＋a q >αk ＋a l ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝213，b ＝log 2 13，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是( )A.18B.17C.16D.156．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BCAC ＝5－12.根据这些信息，可得sin 234°＝( )A.1－254 B ．－3＋58C ．－5＋14D ．－4＋587．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，F 1关于直线l 的对称点F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．38．已知△ABC 为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋2μ的最大值为( )A.12 B ．1＋33 C.52 D ．2＋32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a >b ≥2，则( )A ．b 2<3b －aB ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2C ．ab >a ＋b D.12＋2ab >1a ＋1b10．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则△ADE 在翻折过程中，下列说法正确的是( )A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使DE ⊥A 1C C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面A 1DE11．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论正确的是( )A ．曲线C 经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C ．曲线C 围成区域的面积大于4πD ．方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy >0)表示的曲线C 在第一象限和第三象限12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)满足f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，且f (x )在(x 0，x 0＋1)上有最小值，无最大值．则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1 B ．若x 0＝0，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6 C ．f (x )的最小正周期为3D ．f (x )在(0,2 019)上的零点个数最少为1 346个第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)14．已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3，均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是________．15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若|AF |＝4|BF |，则p ＝________，三角形CDF 的面积为________．16．在三棱锥P - ABC 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝2，P A ＝PC ＝5，PB 与底面ABC 所成的角的正弦值为13，则三棱锥P - ABC 的外接球的体积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)如图，在△ABC 中，C ＝π4，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，且tan ∠CBD ＝12.(1)求sin A ；18.(12分)在①a2n＋1－a2n＝3(a n>0)，②a2n－a n a n－1－3a n－1－9＝0，③S n＝n2－2n＋2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，________.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对大于1的自然数n，是否存在大于2的自然数m，使得a1，a n，a m成等比数列．若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C 不重合)．(1)证明：平面EMN⊥平面PBC；(2)是否存在点N，使得二面角B -EN -M的余弦值为66，若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．20．(12分)沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大．为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群．经研究，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．平均温度x i ℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数y i 个711 21 24 66115325∑i ＝17x i ＝192，∑i ＝17y i ＝569，∑i ＝17x i y i ＝18 542，∑i ＝17x 2i＝5 414，∑i ＝17z i ＝25.2848，∑i ＝17x i z i ＝733.7079.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫其中z i ＝ln y i ，z ＝17∑i ＝17z i(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p (0<p <1)．①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f (p )，求f (p )的最大值，并求出相应的概率p . ②当f (p )取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差．附：线性回归方程系数公式b ^＝∑i ＝1n(x i －x )·(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y －b ^x .21．(12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，定点A (1,0)，P 为平面内一动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点Q (2，3)的直线l 与C 交于E ，F 两点，已知点D (2,0)，直线x ＝x 0分别与直线DE ，DF 交于S ，T 两点．线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－cos x，其中a∈R.(1)求证：当a≤－1时，f(x)无极值点；四1．答案：A解析：求得A＝[－1,2]，B＝[0,4)，所以A∩B＝[0,2]，故选A. 2．答案：D解析：设z＝b i，b∈R且b≠0，则1＋i1＋a i＝b i，得到1＋i＝－ab＋b i，∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1，故选D.3．答案：D解析：设等差数列的公差为d，a p＋a q>a k＋a l⇒a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d >a1＋(k－1)d＋a1＋(l－1)d⇒d [(p ＋q )－(k ＋l )]>0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ d >0p ＋q >k ＋l 或⎩⎪⎨⎪⎧d <0p ＋q <k ＋l ， 显然由p ＋q >k ＋l 不一定能推出a p ＋a q >a k ＋a l ， 由a p ＋a q >a k ＋a l 也不一定能推出p ＋q >k ＋l ，因此p ＋q >k ＋l 是a p ＋a q >a k ＋a l 的既不充分也不必要条件， 故选D. 4．答案：C解析：a ＝1-32＝1312⎛⎫⎪⎝⎭∈(0,1)；b ＝log 2 13<0；c ＝121log 3＝log 23>1，∴c >a >b ，故选C. 5．答案：B解析：设首项为a 1，因为和为80，所以5a 1＋12×5×4×m ＝80，故m ＝8－12a 1.因为m ，a 1∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，m ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，m ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，m ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，m ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，m ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，m ＝1.因此“公”恰好分得30个橘子的概率是17.故选B. 6．答案：C解析：由题可知∠ACB ＝72°，且cos 72°＝12BC AC ＝5－14，cos 144°＝2cos 2 72°－1＝－5＋14，则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－5＋14.故选C. 7．答案：C解析：方法一：直线l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则不妨设直线l 为y ＝bax ，∵F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点， ∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵F 1关于直线l 的对称点为F ′1，则F ′1为(x ，y )，解得x ＝b 2－a 2c ，y ＝－2abc ，∴F ′1⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c，－2ab c ，∵F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上， ∴⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c －c 2＋⎝⎛⎭⎫－2ab c－02＝c 2， 整理可得4a 2＝c 2，即2a ＝c ，∴e ＝ca＝2，故选C.方法二：由题意知|F ′1O |＝|OF 1|＝|OF 2|＝|F ′1F 2|，所以三角形F ′1F 1F 2是直角三角形，且∠F ′1F 1F 2＝30°， 又由焦点到渐近线的距离为b ，得|F ′1F 1|＝2b ， 所以2b ＝3c ，所以e ＝2. 故选C.8．答案：C解析：设△ABC 的边长为2，不妨设线段BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，则点A (0，3)、B (－1,0)、C (1,0)，以线段BC 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， 设点P (cos θ，sin θ)，则＝(－1，－3)，＝(1，－3)，＝(cos θ，sin θ－3)， 由于＝λ＋μ，则－λ＋μ＝cos θ，－3λ－3μ＝sin θ－3，解得λ＝12－36sin θ－12cos θ，μ＝12－36sin θ＋12cos θ， 所以λ＋2μ＝⎝⎛⎭⎫12－36sin θ－12cos θ＋2⎝⎛⎭⎫12－36sin θ＋12cos θ＝32－32sin θ＋12cos θ ＝32－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 因此，λ＋2μ的最大值为52.故选C.9．答案：BC解析：对于A ，因为a >b ≥2，所以b 2－(3b －a )＝(a －b )＋b (b －2)>0， 故A 错误；对于B ，可通过作差证明，B 正确；对于C ，ab －(a ＋b )＝ab －2a ＋ab －2b2＝a (b －2)＋b (a －2)2>0，故C 正确；对于D ，若12＋2ab >1a ＋1b成立，当a ＝10，b ＝2时，左边＝右边＝35，故D 错误． 所以，选BC. 10．答案：AC解析：对A ，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由∠A 1DE ＝∠MFB ，MF ＝12A 1D 为定值，FB ＝DE 为定值，由余弦定理可得所以FB 为定值，A 正确；若B 正确，即DE ⊥A 1C ，由∠AED ＝∠BEC ＝45°， 可得DE ⊥CE ，则DE ⊥平面A 1EC ，所以DE ⊥A 1E ，而这与DA 1⊥A 1E 矛盾，故B 错误；因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，故C 正确； 取CD 中点F ，连接MF ，BF ， 则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由面面平行的判定定理得平面MBF ∥平面A 1DE ， 即有MB ∥平面A 1DE ，可得D 错误． 故选AC.11．答案：BD解析：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16⎝⎛⎭⎫x 2＋y 222，解得x 2＋y 2≤4(当且仅当x 2＝y 2＝2时取等号)，则B 正确； 将x 2＋y 2＝4和(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2联立， 解得x 2＝y 2＝2，即圆x 2＋y 2＝4与曲线C 相切于点(2，2)，(－2，2)，(－2，－2)，(2，－2)， 则A 和C 都错误；由xy >0，得D 正确．综上，选BD. 12．答案：AC解析：(x 0，x 0＋1)区间中点为x 0＋12，根据正弦曲线的对称性知f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1， 故选项A 正确；若x 0＝0，则f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，即sin φ＝－12，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6，满足条件， 但f ⎝⎛⎭⎫13＝1为(0,1)上的最大值，不满足条件， 故选项B 错误；不妨令ωx 0＋φ＝2k π－5π6，ω(x 0＋1)＋φ＝2k π－π6，k ∈Z ，两式相减得ω＝2π3，即函数的周期T ＝2πω＝3，故C 正确；区间(0,2 019)的长度恰好为673个周期， 当f (0)＝0时，即φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )在开区间(0,2 019)上零点个数至少为673×2－1＝1 345， 故D 错误．故正确的是AC. 13．答案：660解析：若甲小区2人，乙、丙、丁其中一小区2人，共有C 26C 24A 33种，若甲小区3人，乙、丙、丁每小区1人，共有C 36A 33种，则不同的分配方案共有C 26C 24A 33＋C 36A 33＝660种．14．答案：⎝⎛⎭⎫3－5π6，＋∞ 解析：求导得f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，易得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ，又由题意知f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ>0，且f ⎝⎛⎭⎫π2＋f ⎝⎛⎭⎫π2>f ⎝⎛⎭⎫π6，由此解得λ的取值范围为λ>3－5π6.15．答案：2 5解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)， 所以p ＝2，准线为x ＝－1，设过焦点的直线方程为x ＝my ＋1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4 ①又|AF |＝4|BF |，y 1＝－4y 2 ②由①②解得y 1＝－4，y 2＝1或y 1＝4，y 2＝－1， 所以|CD |＝|y 1－y 2|＝5，所以三角形CDF 的面积为12×2×5＝5.16．答案：9π2或8989π6解析：如图，取AC 中点O ′，因为P A ＝PC ＝5，AB ＝BC ， 所以AC ⊥PO ′，AC ⊥O ′B ，所以AC ⊥平面PO ′B ，所以平面PO ′B ⊥平面ABC ， 易知∠O ′BP 即为PB 与底面ABC 所成的角或补角． O ′B ＝2，O ′P ＝3，所以在△O ′PB 中，因为sin ∠O ′BP ＝13，当cos ∠O ′BP ＝223时，求得PB ＝3，此时∠PCB ＝∠P AB ＝90°.故PB 为三棱锥P ABC 外接球直径，V ＝9π2；当cos ∠O ′BP ＝－223时，求得PB ＝13，延长BO ′交外接球于Q ，则BQ 为圆O ′的直径， 则△QBP 的外接圆直径为球的直径，球的直径为2R ＝PQsin ∠QBP ＝89，可求得V ＝8989π6.综上外接球的体积为9π2或8989π6.17．解析：(1)设∠CBD ＝θ，因为tan θ＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故sin θ＝55，cos θ＝255， 则sin ∠ABC ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×55×255＝45，cos ∠ABC ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×45－1＝35， 故sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋2θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2θ＝22(sin 2θ＋cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫45＋35＝7210. (2)由正弦定理BC sin A ＝AC sin ∠ABC， 即BC 7210＝AC 45，所以BC ＝728AC ，所以||||＝282，所以AC ＝42，又由AB sin C ＝AC sin ∠ABC ，得AB 22＝AC 45，所以AB ＝5. 18．解析：方案一：选条件①.(1)由a 2n ＋1－a 2n ＝3，得{a 2n }是公差为3的等差数列， 由a 1＝1，得a 21＝1，则a 2n ＝3n －2，又a n >0，所以a n ＝3n －2.(2)根据a 1，a n ，a m 成等比数列，得到a 2n ＝a 1a m ，即3n －2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案二：选条件②.(1)因为a 2n －a n a n －1－3a n －1－9＝0⇔(a n ＋3)(a n －a n －1－3)＝0，因为a 1＝1，所以a n －a n －1－3＝0，则{a n }是等差数列，则a n ＝3n －2.(2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(3n －2)2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案三：选条件③.(1)由S n ＝n 2－2n ＋2，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝12n －3 n ≥2. (2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(2n －3)2＝2m －3，则有m ＝2n 2－6n ＋6，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝2n 2－6n ＋6∈N *，当n ＝2时，m min ＝2.19．解析：(1)证明：因为PE ⊥EB ，PE ⊥ED ，EB ∩ED ＝E ，所以PE ⊥平面EBCD ，又PE ⊂平面PEB ，所以平面PEB ⊥平面EBCD ，而BC ⊂平面EBCD ，BC ⊥EB ，所以平面PBC ⊥平面PEB ，由PE ＝EB ，PM ＝MB 知，EM ⊥PB ，于是EM ⊥平面PBC .又EM ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⊥平面PBC .(2)假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线EB ，ED ，EP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz ，不妨设PE ＝EB ＝2，显然平面BEN 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)，设BN ＝m (0<m <2)，则＝(1,0,1)，＝(2，m,0)．设平面EMN 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，即⎩⎪⎨⎪⎧ (1，0，1)·(x ，y ，z )＝0(2，m ，0)·(x ，y ，z )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝02x ＋my ＝0， 故可取n 2＝(m ，－2，－m )，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝(0，0，1)·(m ，－2，－m )2m 2＋4＝－m 2m 2＋4， 依题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 2m 2＋4＝66， 解得m ＝1∈(0,2)，此时N 为BC 的中点．综上知，存在点N ，使得二面角B EN M 的余弦值为66， 此时N 为BC 的中点．20．解析：(1)根据散点图可以判断，y ＝c e dx 更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型；对y ＝c e dx 两边取自然对数，得ln y ＝ln c ＋dx ；令z ＝ln y ，a ＝ln c ，b ＝d ，得z ＝a ＋bx ； 因为＝∑i ＝17(x i －x )(z i －z )∑i ＝17 (x i －x )2＝＝40.1820147.7143≈0.272， ＝z －x ＝3.612－0.272×27.429≈－3.849；所以z 关于x 的回归方程为＝0.272x －3.849；所以y 关于x 的回归方程为＝e 0.272x －3.849.因为0<p <1，令f ′(p )>0，得3－5p >0， 解得0<p <35； 所以f (p )在⎝⎛⎭⎫0，35上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫35，1上单调递减，所以f (p )有唯一的极大值为f ⎝⎛⎭⎫35，也是最大值；所以当p ＝35时，f (p )max ＝f ⎝⎛⎭⎫35＝216625； ②由①知，当f (p )取最大值时，p ＝35，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫5，35， 所以X 的数学期望为E (X )＝5×35＝3， 方差为D (X )＝5×35×25＝65. 21．解析：(1)设以AP 为直径的圆的圆心为B ，切点为N ， 则|OB |＝2－|BA |，∴|OB |＋|BA |＝2.取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′P ，故|A ′P |＋|AP |＝2(|BO |＋|BA |)＝4>2.所以点P 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝1，曲线C 方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋(2－3t )，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线DE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)， 故y S ＝y 1x 1－2(x 0－2)， 同理y T ＝y 2x 2－2(x 0－2)； 所以2y 0＝y S ＋y T ＝y 1x 1－2(x 0－2)＋y 2x 2－2(x 0－2)， 即2y 0x 0－2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1t (y 1－3)＋y 2t (y 2－3)＝2y 1y 2－3(y 1＋y 2)t [y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋3]③ 联立⎩⎨⎧x ＝ty ＋(2－3t )3x 2＋4y 2－12＝0， 化简得(3t 2＋4)y 2＋(12t －63t 2)y ＋9t 2－123t ＝0，所以y 1＋y 2＝63t 2－12t 3t 2＋4，y 1y 2＝9t 2－123t 3t 2＋4代入③得，2y 0x 0－2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t 3t 2＋4t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t 3t 2＋4＋3 ＝－123t 12t＝－3⇒3x 0＋2y 0－23＝0， 所以点M 都在定直线3x ＋2y －23＝0上．22．解析：(1)证明：对f (x )求导得f ′(x )＝e x ＋sin x －a ，显然e x >0，sin x ≥－1，所以e x ＋sin x －a >0－1－a ≥0，即f ′(x )>0，所以f (x )在其定义域上是单调递增函数，故f (x )无极值点；(2)解法一：对g (x )求导得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－a ＋sin x (x >－1)，又注意到g ′(0)＝2－a ，令g ′(0)＝2－a ＝0，得a ＝2.此时g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ， 令h (x )＝g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ， 则h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x ， 显然，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上，e x >1>1(x ＋1)2，cos x >0， 此时h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， 所以h (x )>h (0)＝0，即g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x >0； 又当x ∈(－1,0)时，令s (x )＝(x ＋1)2e x ，t (x )＝(x ＋1)2cos x ，则s ′(x )＝(x ＋1)(x ＋3)e x >0，s (x )是(－1,0)上的增函数，所以s (－1)<s (x )<s (0)，即0<s (x )<1，故存在区间(x 1,0)⊂(－1,0)，使s (x )>12，即e x >12(x ＋1)2； 又0<(x ＋1)2<1，cos 1<cos x <1，即0<t (x )<1，故存在区间(x 2,0)⊂(－1,0)，使t (x )>12，即cos x >12(x ＋1)2， 现设(x 1,0)∩(x 2,0)＝(x 0,0)，则在区间(x 0,0)上，e x >12(x ＋1)2，cos x >12(x ＋1)2同时成立， 即h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0， 故h (x )在(x 0,0)上是增函数，h (x )<h (0)＝0.从而存在区间(x 0,0)，使得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x <0； 因此存在a ＝2，使得g (x )在x ＝0处取得极小值．解法二：x ＝0是f (x )的极小值点的必要条件是f ′(0)＝2－a ，即a ＝2.此时，g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x ， 显然当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时， g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x ≥1＋x ＋11＋x－2＋sin x >0； 当－14<x <0时， (1＋x )⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2＝1＋x 22(3x ＋1)>1⇒11＋x<1－x ＋32x 2.令m (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 22e －x ，m ′(x )＝－x 22e －x ≤0， 故m (x )是减函数．因此，当x <0时，m (x )>m (0)＝1，即e x <1＋x ＋x 22. 令h (x )＝sin x －12x ，h ′(x )＝cos x －12. 当－1<x <0时，h ′(x )>cos 1－12>0， 故h (x )在(－1,0)上单调递增．因此，当－1<x <0时，h (x )<h (0)＝0，即sin x <12x . 故当x ∈⎝⎛⎭⎫－14，0时， g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x ≤⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2－2＋x 2＝2x 2＋x 2<0； 因此，a ＝2时x ＝0是g (x )的极小值点．。
2021高考数学押题专练空间几何体(解析版)
押题16 空间几何体【押题方向】空间几何体是高考全国卷每年必考知识点,作为客观题考查的空间几何体试题主要涉及三视图、几何体的表面积与体积、截面等内容,难度有容易题也有难度较大的题，求解本类问题的关键是空间想象能力及运算能力，预测2021年依然会有2道立体几何客观题.依然会遵循前几年的命题风格.【模拟专练】1．（2021·山东德州市·高三一模）已知三棱锥P ABC -中，AP 、AB 、AC 三条棱两两垂直，且长度均为23，以顶点P 为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为______．【答案】3π【详解】 由题可知：AP 、AB 、AC 三条棱两两垂直，且长度均为23如图：所以()222326PC PB BC ====()224232AM AF ==-=， 所以3tan tan 23APF APM ∠=∠==6APF APM π∠=∠= 所以12EPF CPM π∠=∠=，则4123EF MN ππ==⨯=44,2332NE MF ππππ=⨯==⨯= 所以球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为42333ππππ⨯++= 2．（2021·山东烟台市·高三一模）已知正三棱锥 P ABC -的底面边长为2,13面,PAB PBC 分别切于点,M N ，则MN 的长度为___________.【答案】56【详解】如图，设正三棱锥内切球的半径为R ，M 为内切球与侧面PAB 的切点，Q 为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r ， ABC 为等边三角形，223CD BC BD ∴=-=, 2233CH CD ==,133DH CD ==, 22121051393PH PC CH =-=-=, POM PDH △△, OM PO DH PD ∴=, .3PH R PD -= 2213123PB PD ==-=1053323R -=，解得105R = 35sin sin 6PH OMQ PDH PD ∠=∠==,cos sin sin r MQ R OMQ R PMQ R PDH R ∴==∠=∠=∠= 由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角形，故120QMN ∠=︒, 由余弦定理可得22222355252cos12033362136MN r r r r =+-︒==⨯⨯=， 所以56MN = 3．（2021·山东济宁市·高三一模）在长方体1111ABCD A BC D -中，3AB =，14A D A A ==，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，当三角形1BB P 的面积最小时，三棱锥1A BB P -的外接球的体积是______． 【答案】125π6【详解】补全截面EFG 为截面1EFGHQR 如图，设BR AC ⊥，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，1//D P ∴平面1EFGHQR ，易知平面1//ACD 平面1EFGHQR ，P AC ∴∈，且当P 与R 重合时，BP BR =最短，此时1PBB 的面积最小，由等面积法得1122BR AC AB BC ⨯=⨯，即113422BR =⨯⨯，125BP ∴=， 1B B AP ⊥，BP AP ⊥，AP ∴⊥平面1B BP ，则1AP B P ⊥，又1AB B B ⊥，1AB ∴为三棱锥1A BB P -5=．∴三棱锥1A BB P -的外接球的半径为52，体积为35125π2643V π⎛⎫= ⎪⎝⎭=⨯． 故答案为：125π6．4．（2020·山东高三其他模拟）将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________. 【答案】(882)π+ 【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以直角边长为22，由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径22r =，母线长4l， 则其表面积为()2882r rl πππ+=+.5．（2020·山东高三专题练习）已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以22为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为______________.【答案】3π【详解】如图所示，球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，与上底面截得的弧长，是以1D 为圆心，以2为半径的四分之一的圆周，所以11111224A C AB BC ππ===⨯⨯= ， 则所有弧长和为3π【押题专练】1．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，22AB BC ==．将A ，C 分别沿BE ，DF 向上翻折至A '，C '，则A C ''取最小值时，二面角A EF C ''--的正切值是________．【答案】265【详解】 分别取BE ，DF 中点为M 、N ，连接A M '，MF ，C N '，NE ．四边形ABCD 为矩形，22AB BC ==，1AE CF ==，∴翻折前，四边形ABFE 和四边形CDEF 都是正方形，则1EF =，CE DF ∴⊥，AF BE ⊥，即NE DF ⊥，CN DF ⊥，AM BE ⊥，MF BE ⊥，∴翻折后仍有A M BE '⊥，C N DF '⊥，NE DF ⊥，MF BE ⊥，又A M MF M '⋂=，且A M '，MF ⊂平面A MF '，BE ∴⊥平面A MF '；同理可得：DF ⊥平面C NE '，又//DE BF ，且1DE BF ==，∴四边形BFDE 是平行四边形，则//BE DF ，BE ∴、DF 都是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，,BE DF ⊂平面BFDE ，∴平面A MF '⊥平面BFDE ，平面C NE '⊥平面BFDE ．分别记1A ，1C 为点A '，C '在底面的投影，则点A '在底面的投影1A 落在直线MF 上，且沿MF 方向运动；点C '在底面的投影1C 落在直线NE 上，且沿NE 方向运动．当且仅当A C ''为平面A MF '与平面C NE '的公垂线段时长度最小，此时//A C ME ''，故//A C ''平面MFNE ，则11A A C C ''=．又11//A A C C ''，A '∴，1A ，1C ，C '共面，平面11A ACC ''⋂平面11MFNE AC =，11AC 也是平面A MF '与平面C NE '的公垂线，此时11Rt A A M Rt C C N ''≌，11MA NC ∴=，又11//AC ME ，11//MA EC ，∴四边形11MACE 为平行四边形， ∴11MA EC =，∴1C 为NE 的中点，1A 为MF 的中点，1124MA NC ∴==， 则11A A C C ''==1262164-=，6221616A F C E ''∴==+=， 将二面角A EF C ''--单独画出如图．过点A '作AP EF '⊥于点P ，过点C '作E C Q F '⊥于点Q ，又1A E AE '==，1C F CF '==，222122cos 222A F EF A E A FE A F EF ''+-'∴∠==='⋅⨯， 则1cos 4FP A F A FE ''=∠=，117216A P '∴=-=同理14EQ=，74C Q'=，则1141314FPFQ==-，过点P作//PG C Q'交FC'于点G，连接A G'，则GP EF⊥，∴A PG'∠即为二面角A EF C''--的平面角，则13FG PGFC QC==''，∴712PG=，13FG=，又22A F A C'''==，1C F'=，则A FC''为等腰直角三角形，∴2cos2A FC''∠=，2211212102cos45229232A F FG A F FGA G''=+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯='∴，在A PG'中，22277103051614436144cos72777224A P PG A GA PGA P PG+-''+-'∠===='⋅⨯⨯，26tan A PG'∴∠=．2．如图，二面角A BD C--的平面角的大小为120︒，120BDA∠=︒，150BDC=∠︒，2AD BD==，3CD=，则四面体ABCD的外接球表面积为________．【答案】116π【详解】在BDA中，120BDA∠=︒，2AD BD==，所以222+cos23ADAB AD BD DBD B A-⋅∠=⋅设BDA的外接圆的半径为1r，则124sinABrBDA==∠，所以12r=，在BDC中，150BDC=∠︒，2BD=，3CD=222+cos13CDBC CD BD DBD B C-⋅∠=⋅，设BDC 的外接圆的半径为2r ，则22213sin BC r BDC ==∠，所以113r =， 又作12,OG BD O G BD ⊥⊥，所以12O GO ∠为二面角A BD C --的平面角，即12120OGO ∠=，所以2211132O G r BD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22221232O G r BD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以()()221223233+23cos12021O O -⨯==⨯，设四面体ABCD 的外接球的球心为O ，球半径为R ，则121227sin O O OG O MO ==∠， 所以2229R OG GD =+=，所以四面体ABCD 的外接球表面积为24429116R πππ=⨯=， 故答案为：116π.3．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，如图所示.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球．现已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为___________2cm .【答案】7003π 【详解】由已知得ABD △，CBD 均为等边三角形.如图所示，设球心为O ，BCD △的中心为O '，取BD 的中点F ，连接,,,,AF CF OO OB O B ''，则AF BD ⊥，CF BD ⊥，得BD ⊥平面AFC ， 且可求得53cm AF CF ==，而15cm AC =，所以120AFC ∠=︒.在平面AFC 中过点A 作CF 的垂线，与CF 的延长线交于点E ， 由BD ⊥平面AFC ，得BD AE ⊥，故AE ⊥平面BCD ，过点O 作OG AE ⊥于点G ，则四边形O EGO '是矩形， 则)2103sin 60cm 3O B BC ︒'=⨯=，)153cm 23O F O B ''==， ()15sin 60cm 2AE AF =︒=，53sin 302EF AF =︒=． 设球的半径为R ，OO x '=，则由222OO O B OB ''+=，222OA AG GO =+， 得221003x R +=，2225353152x R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得5cm x =，2175cm 3R = 故三棱锥A BCD -外接球的表面积()227004cm 3S R ππ== 4．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点C 在平面α上，若A 1B 和A 1D 与平面α都成60°角，则A 1C 与平面α所成角的余弦值为______.【答案】13【详解】设直线l 过点A 1且垂直于α，则A 1B 与A 1D 都与直线l 夹角为30°， 连结BD ，由题意得△A 1BD 是等边三角形，取BD 中点E ，由题意得A 1E 可以承担直线l 的角色， 但同时与直线A 1B 、A 1D 夹角为相等的直线，最小也要30°， ∴此时直线l 是唯一的，由题意知A 1C 与直线l （直线A 1E ）的余弦值恰为A 1C 与平面α所成角的正弦， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1C 222222++＝3CE 221222+2A 1E 22(22)(2)-6 ∴设A 1C 与平面α所成角为θ，则sin θ＝22211112AC A E CE AC A E +-⨯⨯2236⨯⨯22， ∴A 1C 与平面α所成角的余弦值为：cos θ2221()3-＝13. 故答案为：13.5．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若B 1P //平面A 1BM ，则C 1P 长度的取值范围是____．【答案】30[2) 【详解】 取BC 中点N ，连结B 1D ，B 1N ，DN ，作CO ⊥DN ，连结C 1O ，因为平面B 1DN ∥平面A 1BM ，所以点P 在底面ABCD 内的轨迹是线段DN （动点P 在底面正方形ABCD 内，不包括边界，故不含点N 和点D ），在1C DN △中，2211152,1()2C D DN C N ===+=， 所以12215262()()222C DN S =-=， 过C 1O ⊥DN ，则当P 与O 重合时，C 1P 长度取最小值，所以C 1P 长度的最小值为1630415C O ==⨯， 当P 与D 重合时，C 1P 长度取最大值，∴C 1P 长度的最大值为C 1D ＝2， ∵P 与D 不重合，∴C 1P 长度的取值范围是30[,2)5． 故答案为：30[,2) .6．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为_____．【答案】41π【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为14136412++=， ∴该球形容器体积的最小值为：4241()412ππ⨯=. 7．在三棱锥D ABC -中，ABC 是以A ∠为直角的等腰直角三角形，DBC △是边长为2的等边三角形，二面角A BC D --的余弦值为6-，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为______. 【答案】8π【详解】如图，设BC 的中点为E ，过点E 作平面ABC 的法线EO ，过BCD △的重心F 作平面DBC 的法线FO ，EO 与FO 交于点O ，则O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心. 又133EF DE ==，6cos DEA ∠=，所以3cos FEO ∠=. 又3cos EF FEO OE ∠==1OE =， 28π.8．已知球O 10以球心O 为中心的正四面体Γ的各条棱均在球O 的外部，若球O 的球面被Γ的四个面截得的曲线的长度之和为8π，则正四面体Γ的体积为_________．【答案】182【详解】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为2π，半径为1，故球心O 到正四210612⎛⎫-= ⎪⎝⎭a ，如图所示，则斜高332AE EF a ==，体高63=AF ，在Rt AEF 和R t AGO 中，13OG EF AO AE ==，即61 23 66a=-，∴6a=，∴23136261823V a a=⋅⋅=⋅=．9．已知菱形ABCD的边长为4，对角线4BD=，将ABD△沿着BD折叠，使得二面角A BD C--为120︒，则三棱锥A BCD-的外接球的表面积为___________.【答案】1123π【详解】如图所示：将ABD△沿BD折起后，取BD中点为E，连接AE，CE，则AE BD⊥，CE BD⊥，所以AEC∠即为二面角A BD C--的平面角，所以120AEC∠=︒；ABD△与BCD△是边长为4的等边三角形.分别记三角形ABD△与BCD△的重心为G、F，则12333EG EA==，12333EF EC==；即EF EG=；因为ABD△与BCD△都是边长为4的等边三角形，所以点G是ABD△的外心，点F是BCD△的外心；记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ， 所以OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒， 所以43OE =； 因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AECE E =，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ， 所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB ，则外接球半径22221OB OE BE =+=， 所以外接球表面积为1123π. 10．三棱锥A BCD -的一条棱长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为___________.【答案】53π 【详解】解：由题意画出三棱锥的图形，其中1AB BC CD BD AC =====，AD a =.取BC ，AD 的中点分别为E ，F ，可知AE BC ⊥，DE BC ⊥，且AEDE E =，∴BC ⊥平面AED ，∴平面ABC ⊥平面BCD 时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时2AD a ====. 设三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，由球体的对称性知，球心O 在线段EF 上，∴OA OC R ==，又4EF ===，设OF x OE x 4==-，，在三角形AOF 中：222221R ()x 2AD OF =+=+⎝⎭,在三角形OEC 中：2222211R ()x 242OE BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴222221442R x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得x =.∴球的半径R 满足2225R 12=+=⎝⎭⎝⎭， ∴三棱锥外接球的表面积为25544123R πππ=⨯=.11．四面体ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，AD =表面积为__________．【答案】12π【详解】由题意90ABC BCD ∠=∠=︒，2AB BC CD ===，AD =，则AC BD ==， 所以222AB BD AD +=，AB BD ⊥，同理AC CD ⊥，取AD 中点O ，则O 到,,,A B C D 四点的距离相等，O 即为ABCD 外接球的球心，所以球半径为2AD r ==，球表面积为2412ππ==S r ． 故答案为：12π．12．如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，,E F 为1,AA AB 的中点，M 点是正方形11ABB A 内的动点，若1//C M 平面1CD E ，则M 点的轨迹长度为______．2【详解】如图所示，11A B 的中点H ，1BB 的中点G ，连接11,,,,GH C H C G EG HF .可得四边形11EGC D 是平行四边形，∴11//C G D E ，又1C G ⊄平面1CD E ，1D E ⊂平面1CD E ，可得1//C G 平面1CDE .同理可得1//C H CF ，1//C H 平面1CD E ，又111C H CG C =，∴平面1//C GH 平面1CD E . ∵M 点是正方形11ABB A 内的动点，1//C M 平面1CD E ，∴点M 在线段GH 上． ∴M 点的轨迹长度为22112GH =+213．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ､F ､G 分别是棱A B ''､B C '､CD 的中点，则由点E ､F ､G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于___________.33【详解】分别取AD 中点P ，1CC 中点M ，1AA 中点N ，可得出过E ，F ，G 三点的平面截正方体所得截而为正六边形EFMGPN ， 则正六边形的边长2211122MG CG CM =++， 故截面多边形的面积等于233361S ==. 3314．球O 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球，平面11AC B 截球O 的截面面积为π，则球的表面积为________．【答案】6π【详解】设内切球半径为R ，则正方体棱长为2R ，如图，平面11AC B 截球O 所得圆为正11AC B △的内切圆，而截面圆半径为1， 在正11AC B △中122A B R =，∴32216R =，62R = 故内切球的表面积为264(6ππ⋅⋅=． 故答案为：6π 15．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.【答案】11π【详解】由题意该圆台的表面积为2221(21)211S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯=．。
2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(一)数学(解析版)
2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷〔一〕数学一、单项选择题：此题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合A={1,2,3}, B={A1〔A+1〕〔X-3X0> X£Z},那么4n5=〔〕A. {1}B. {1,2}C. {0.123}D. {-101,2,3}2 .z为复数,假设z・〔l+i〕=i〔i是虚数单位〕,那么lzl=〔〕A. 1B.^2C. | D当£3 .设a=3',b= logj 2 , c=3A . b<a<c B. c<b<aC. h<c<aD. c<ci<b4 .函数危〕=cos2〔x+g〕的最小正周期为〔〕A.jB. 2nC.^D. n5 . u In ;?:<ln n M是a m2<n2的〔〕A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6 .抛物线C产=12、・的焦点为F, A为.上一点且在第一象限,以尸为圆心,以为半径的圆交C的准线于B,.两点,且A, F, 8三点共线,那么L4"=〔〕A. 16B. 10C. 12D. 87.函数/U〕是偶函数,留神>0时,./U〕=xlnx+1,那么曲线y=/&〕在工=一1处的切线方程为〔〕A. y= -xB. y=—x+2C. y=xD. y=x—28.在四面体ABC.中,ABA.AC, AC±CD. AB, CO 所成的角为30.,AB=5, AC=4, CD=3,那么四面体ABC.的体积为〔〕A. 5B. 6C. 7D. 8二、多项选择题：此题共4小题,每题5分,共20分.在每题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,局部选对的得3分,有选错的得0分.9.一组数据2内+1,2x2+1,2^+1,…,2A〃+1的平均值为7,方差为4,记3不+ 2,3工2+2,3右+2,…, 3x〃+2的平均值为“,方差为儿那么〔〕A. a=7B. a=llC. b=\2D. b=910 .设机,/为三条不同的直线,a,£为两个不同的平面,那么下而结论不正确的选项是〔〕A.假设,〃Ua, 〃U£, G〃£,那么〃】〃〃需要论文课题证书专利著作加199********扫一扫上面的二维码图案,加我微信B.假设〃〃£, 那么a_L£C.假设,〃_L G,〃_L£, a_B,贝D.假设〃？〃a, n//a9 /_!_〃?,/J_〃,那么/«La11 .在三棱锥.-ABC 中,AB=BC=CD=DA=1,且A8_L8C, CDLDA, M, N 分别是棱8C, CD 的中点,下面结论正确的选项是〔〕A. ACA.BDB. MN〃平而A3.C.三棱锥A - CMN的体积的最大值为害D. AO与8C一定不垂直12.定义:假设函数尸〔功在区间一上的值域为卬句,那么称区间［小句是函数尸〔又的“完美区间〞.另外,定义区间［小句的“复区间长度〞为2s一㈤,函数40=小一11,那么〔〕A.［0,1］是/U〕的一个“完美区间〞空斗是.危0的一个“完美区间〞C. 7U〕的所有“完美区间〞的“复区间长度〞的和为3+小D. 7U〕的所有“完美区间〞的“复区间长度〞的和为3+2小第I【卷三、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13 .向量.=〔4, -3〕, b=〔—1,2〕,.,方的夹角为6,那么sin 8= ________________ .14〔2?一；下的展开式中的常数项为.15 .左手掷一粒骰子,右手掷一枚硬币,那么事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面〞的概率为16 .抛物线.V2=4x的准线与x釉的交点为H,点F为抛物线的焦点,点P在抛物线上且IPHI=klPFI, 当A最大时,点P格好在以〃,E为焦点的双曲线上,那么〃的最大值为,此时该双曲线的离心率为.四、解做题：此题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.17 . 〔10分〕现在给出三个条件：①〞=2；②3=条③c=［5/九试从中选出两个条件,补充在下面的问题中,使其能够确定△ABC,并以此为依据,求△ABC的而积.在A4BC中,“、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足〔2〃一5c〕cos A=q^acos C,求△ABC的而积.〔选出一种可行的方案解答,假设选出多个方案分别解答,那么按第一个解答记分〕.18 . 〔12 分〕数列｛〃〃｝满足丁二十1…+ 丁y=*2a】5 2〃2 5 2i13 5 2i/ji 5 3⑴求数列｛3｝的通项公式；⑵设数列七卜的前〃项和为了〞,证实：*19 . (12分)如图,在四棱锥S-月BCD中,ABCQ是边长为4的正方形,5._1平面48.,E, F分别为AB, SC的中点.(1)证实：EF〃平面SAD(2)假设SO=8,求二面角O-EF-S的正弦值.20 .(12分)生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.(1)完成以下2X2列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关：生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200⑵在抽取的200户家庭的样本中,根据分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望.P(K2^k)0.15 0.05 0.01 0.001k 2.072 3.841 6.635 10.828K2=附：21 . (12分)Q, B分别为椭圆C 5+9=1的左、右焦点,WN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦,直线小：x=4niad-hc)2(4+〃)(c+d)3+c)S+")(其中〃="+"+f与x轴交于点A,直线MB与直线AN的交点为股(1)证实：点8恒在椭圆.上.(2)设直线〃与椭圆C只有一个公共点P,直线〃与直线,〃相交于点.,在平面内是否存在定点丁,使得NP42=翔成立？假设存在,求出该点坐标；假设不存在,说明理由.22 .(12 分)函数,/(x)=xlnx—l, g(x)=cix2—(a—2)x.(1)设函数H(x)=f.)一g(x),讨论H(x)的单调性；(2)设函数Ga)=g(x)+(4—2)x,假设/U)的图象与G(x)的图象有A(xi, yi), Bg,工)两个不同的交点, 证实：In(x]i2)>2+ln2.5高考押题1 .答案：B解析：由题意可得A = {1,2,3}, 5={0.1,2},所以AnB={l,2}.应选B.2 .答案：D ________解析：由题意可得2=告=湍言=昇上,所以0=、y(;>+(;)2=¥.应选D.3 .答案：C1 ( 1 £解析：由于4=3" >1, 〃= log1 2vO0<c= — <1,所以〃<«a.3 I 3 J4 .答案：DIv + ^J+l 1 / 2、］解析：由于.")=cos,p•十可= -------- 尸----- =1COS(2X+?+5,所以最小正周期为兀5 .答案：A解析:假设In m<ln/?t那么0<jn<n,从而m2<??2；假设m2or,那么l/〃kl川,推不出In m<ln n.6 .答案：C解析：由于A, F, 8三点共线,所以A8为圆尸的直径,ADLBD.由拗物线定义知从OI = L4FI=1l48l,所以NA8O=30..由于尸到准线的距离为6,所以从“=山〞=2X6=12.7 .答案：A解析:由于xvO, /U)=/(—x)=-xln(—x)+l, —/ (x)=-ln(-x)-U / (-l)=~h 所以曲线y=")在x= — l处的防线方程为y=-x.8 .答案：A解析：由题意,如下图,ACL4& ACJ_CQ,过点A作C.的平行线AE,那么AUL平面ABE,且NE48 为30.或150.,从8点向AE作垂线,垂足为E,易证3EJ_平面ACD.点5到平面AC.的距离8E=i48・sinNEA8=5X；=?,Szvic/)=C, CD=6,那么四面体ABC.的体积为V=^S,tAC iyBE=5.9 .答案：BD解析：设X］,孙对…,x〃的平均值为x ,方差为52,那么2^］ + 1,功+12盯+1,…,2%+1的平均值为27+ 1=7,方差为22$2=4,所以工=3, S2=1,故3切+ 2,3g+2,3不+2,…,3/+2的平均值“= 37+2 = 11,方差〃=32X1=9,应选BD.10 .答案：ABD解析：A选项中,〃】,〃可能异面；B选项中,a,£也可能平行或相交；D选项中,只有〃】,〃相交才可推出/J_a,应选ABD.11 .答案：ABD解析：设AC的中点为O,连接08,..(图略),贝］AC_LOB, ACLOD9又OBGOO=O,所以AC_L平面OB.,所以ACLL8.,故A正确；-6--7-由于MN 〃BD,所以MN 〃平面A3.,故B 正确;当平面DAC 与平面A8C 垂直时,V ,- CMN 最大,最大值为V.X - CAIN = V N - ACM = 3 4 ^4~=, 故 C 错误；假设A .与BC 垂直,又由于A8J_5C,所以BC_L 平面AB .,所以BCLBD, 又5OL4C,所以80,平面A5C,所以8OJ_O& 由于.8=..,所以显然8.与08不可能垂直,故D 正确. 应选ABD. 12.答案：AC解析：设凡T 〕的“完美区间〞为［“,4易知比>420. 当0<6Wi 时,由7U 〕的图象知凡V 〕在M ,句上单调递减,[f(q)=\-a 2=b 9 “以((〃)=]一/=", 此时2(.一“)=2.当,时,①假设4 = 0,那么八与=研一1=〃>1, 解得.=上苧工 此时2〔〃-“〕=1+婚； ②假设那么最小值为八l 〕=0Wa,不合题意;③假设,>1,那么由图象知./〔X 〕在口,加上单调递增, 笳〕 = /—1=", 吃以1/^〕=/一［=仇综上,函数./U 〕的所有“完美区间〞的“复区间长度〞的和为2+〔1+4〕=3+木. 应选AC.13 .答案:里•.. ab —102 小解析：・c°s6=^j=Ap=- 5, /.sin 0=yj\—co^0=14 .答案：112解析：〔2/一；下的展开式的通项为7；讨=口〔2F 〕8『.〔一；〕=口28,〔一1八0» " 令 24-4r=0 得 r=6, AT7=Cg-22〔-1〕6= 112. 15 .答案：*解析：骰子向上为6点的概率吊,硬币向上为正面的概率%故所求事件的概率或月£16 .答案：木<2+1解析：过P 作准线的垂线交准线于M 〔图略〕,那么 IPMI=IP 〞,那么 IP 〃I=W¥1, 「短 t _\PH\_\PH\ 可仔及=两=百不设眼上5翳袋3 1+14 = 0, 解得心,〔舍去〕.尸杀令T+i,那么公爵卑亘71 +〞= {_4(；一抉+2,2当,=2时,k取得最大值也,即当,=5+1=2时,女取得最大值近,此时yo=±2.不妨设P(12),又由于双曲线的焦点坐标为(±1.0), 所以可设双曲线的方程为-*£=],将尸(1,2)代入上式,求得“2=3-2娘,所以该取曲线的离心率廿=17 .解析：方案一：假设选①③由于(2b—小c)cos A=/acos C, 由正弦定理可得,2sin B cosA=>/3(sin C cos A + sin A cos C)=,5sin B, 由于sinBWO,所以COS A=¥,又由于 a = 2, c=y[3b9S 4b2—4 由余弦定理可得,当fg 解得,〃=2, °=25,故S A43c=；〃csin A=：X2X2^X；=^. 方案二：假设选①@由方案一知cos A= 坐,/.sin A=1,即从=/又由于4=2,“?2义哗由正弦定理得,〃=嘿?=—^=2吸,27兀•*. S.Mfic=2^^s>n C=2 X 2 X 2y/2 X sin=2叱惇移窗坐)=2也义将巫=木+1.方案三：假设选②③由方案一知cosA=杀.又8=a c=/b,••.一兀 4 112'由正弦定理得：sinC=V3sinB, sin.=小X^=事,这与.=相矛盾.-8 -・9・射〃-5 3'由①一②,得.“=包辛(〃22).由于©=4符合上式,所以如=之宇 乙Untln \ 1 (3〃+ 5)(3〃+ 8)1 、- 313"+5 3〃+8/3〃+5 3〃+ 8.•0<3^+8^ir ,•22^r,/<6,19.解析：(1)证实：记S .的中点为G,连接GF, GA. 由于E, F 分别为A& SC 的中点,贝 4G 尸〃.,且 GE=；CO. 由于 AE 〃CD,且 AE=；CD, 所以 GF//AE 且 GF=AE,所以四边形6曲为平行四边形, 贝 1 EF//AG.又EFQ 平面SA .,AGU 平面SA ., 所以EF 〃平面SAD(2)以.为原点,分别以亦,DC,而为x 轴、＞ 轴、z 轴的正方向,建立如下图的空间直角坐标系.-xyz.那么 S(0Q,8), 0(000), £(4,2,0), F(024),命=(420), 5?=(0,2,4),前=(-4,0.4), 5=(-4, -2,8). 设平面OEF 的一个法向量为m=(xi, yi, zi),DE- m = 4xi+2vi=0,那么j _、DF m =2y\ +4zi = 0,令 xi=2,得加=(2, —4,2).设平面SE/7的一个法向量为〃=(4,〞,Z2),18.解析:'2.］—5 2a2—5 2d3—5n —1n —\人2dn l-5= -f②(2)证实:Tn =a\ci2 CI2CI3卜…+—!―“M/H 1(I-10-EF 〃 = —4不+&2=0,叫—,ES- n = -4x7—2y2+8z2=0,令及=2,得 〃=(2,4,2).z 、 mn 1cos 0〃,n) =「7"?=彳,bn 11〃 I 3设二面角.-EF-S 的平面角为8那么sin8=芈,J即二面角Q-EE-S 的正弦值为¥.20.解析：(1)由于头胎为女孩的频率为0.5,所以头胎为女孩的总户数为200X0.5=100. 由于生二孩的概率为0.525,所以生二孩的总户数为200X0.525=105. 2X2列联表如下：、200(60X55—45X40)2 600 105X95X100X100 = 13?3,841故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.(2)在抽取的200户家庭的样本中,根据分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7户,那么这7户家庭 中,头胎生女孩的户数为4,头胎生男孩的户数为3,那么X 的可能取值为1,2,34X 的分布列为/. E(X)= 1J J J JJJJ J/21.解析：(1)证实：由题意知尸2(1,0), 4(4,0).c2 t 2设 M(s, r), N(s, —f),那么了+?=L直线MFi 的方程为y1 ), 直线AN 的方程为4), <Q/J联立可得切=/,地=3, 即5的坐标为(暮,产力.12s —5 25—57中»壮」>_(5$—8)2+12户 凶"4十 3一 4(25-5)2_(55-8)2+36-9?^ =~4⑵ - 5产=1,所以8点恒在椭圆.上.P(X=1) =P(X=2) =P(X=3) = P(X=4) =cy=4 a —35；aa 18 -CF =35;aa=i2a -35;a -35,(2)当直线〃的斜率不存在时,不符合题意.不妨设直线〃的方程为y=H+从由对称性可知,假设平面 内存在定点丁,使得NP70=强成立,那么丁 一定在x 轴上,故设下(.私0),y=kx+b 9由可得(4炉 + 3]+8 妨X +4〃-12=0./手=1,由于直线〃与椭圆.只有一个公共点,所以」=64A2〃 - 4(4依+3)(4浜 - 12)=48(4/ 一/ + 3)=0, 4k 3 所以 邛=一石,yp=locp+b=«.又由于.(4.软+〃),/尸7.=全所以不历=(一与 f0,1)-(4 —Xo4k +%)=0,即(刈+孰吁4)+组产=..所以焉一4xo+3+%4xo —4)=0对于任意的满足4代一尻+3=0的k, h 恒成立,故在平面内存在定点7(1,0),使得NPTQ=,叵成立.22.解析：(1)〃(工)=1(x)—g(x)=ln x —CLX 2+(a —2 )x +1, 口,/、_1 g 上/ a ——■」+ (1 -2/+1H (x)一—一 2cix+(a —2) - ---------------- ： ----------(—2J + l)(ax+1)(4x 0—4=0,斤以"-4xu+3=0,解得*)=L即6/x=ln x-,有两个不同的根. 由题知In x\一"-=ax\ ①, 41\nxi ——=ax^ ②, 也①十②得In (内也)'-=43 +必) 人I 人2由③,④得111〔工凶〕2(,T1+X2)= X]+x2 川X2 X ：X] 不妨设0<R<X2,记]=郎>1.令 F(f) = lnL*_；%>l),那么尸 S=,[+?；>0, 所以广⑺在(1, +8)上单调递增,所以F(/)>F(1)=O, I 2(/—1) X2 2(X2—X\)贝In t>———. ln-> ----------; ----,/+ 1 X\ A'j+%2Ml 、/ i / 、2(X14-X2) %l+%2 . X2 c所以 In (xjX2)- ------------- = --------- In —>2.X\X2 X2—X} XI B % I / 、2(X1 +工2). / \ 4^/^ 由于 In (xix 2)————<ln (x[X2)——^— •X1A 2 X ]•' 24 .— 4 =In (x|A*2) / =21n ylx\X2——? yjX\X2 - \X]X2所以 21n 5)x1X2-7==>2t yx\xi ___ 7 即 111ylx]X2 — ^7=>i.2 令夕(x)=lnx —那么3(x)在(0,+8)上单调递增.又 In (建e)j=；所2+1-** X 当“20时,〃(x)在(0,上单调递增, 如)在& +8)上单调递减.当一2<〃<0 时,令.)>0,得x ?一：,+8)u(o,；),所以,(x)在(一、+8),(0, 9上单调递增； 令 H (x)<0,得 X£(g, 一»,所以“(X )在(；,一5)上单调递减. 当“=一2时,H' (x)>0, 〞(x)在(0, +8)上单调递增. 当 “<一2 时,令〃'.)>0,得+8)U (0, 一£),所以〃(X )在(0, -}),& +8)上单调递增； 令 H' (x)vO,得 x£(—;,；), 所以“(X )在(一1,上单调递减.(2)证实：G(x)=g(x) — (a —2)x=ax 2,②-①得琮+ X2—X\ =a(x 2—x 1)④. <1,由于函数/U)的图象与G(x)的图象有两个不同交点, 所以关于x的方程所以In yjx\X2 ——(^=> 1 >ln (y]2c)- V x i x2即夕〔亚卫〕＞9〔@e〕,所以X]X2＞2e2.两边同时取对数可得ln〔x]X2〕＞2+ln2,得证.。
专题05 不等式之恒成立问题(填空题)(解析版))2021年新高考数学考前压轴冲刺(新高考地区专用)
专题05 不等式之恒成立问题2021年新高考填空题考点预测新高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.若不等式|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为 ．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x ﹣2|﹣|x +2|≤4，然后由不等式恒成立可得a 的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x ﹣2|﹣|x +2|≤|（x ﹣2）﹣（x +2）|＝4，当且仅当（x ﹣2）（x +2）≤0，即﹣2≤x ≤2时取等号，∵|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题2.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为．【分析】设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，讨论4a ﹣2≥0，不符题意；4a﹣2＜0，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），将B的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．【解答】解：设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，由△＝a2+＞0，可得y＝x2+ax﹣的图象与x轴有两个交点，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，可得4a﹣2≥0，不满足题意；则4a﹣2＜0，即a＜，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），即有（4a﹣2）x2+＝0，即x2＝，代入x2+ax﹣＝0，化为48a2﹣40a+7＝0，解得a＝或a＝＞（舍去），故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题3.若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为．【答案】[25，57]【分析】由题意不等式恒成立化为﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]，求出f（x）的值域，根据一次函数的性质转化为，即；设，求出a、b的表达式，把目标函数z＝|a|+|a+b+25|化为关于y、x的解析式，利用线性规划的知识求出z的取值范围，即可得出结论．【解答】解：对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得f（2）时取得最小值4，f（1）＝f（4）时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，（y＝af（x）为f（x）的一次函数，最大值与最小值都在端点处）即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图所示；当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，所以x＝0，y＝0时z min＝25，x＝4，y＝5时z max＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，所以x＝0，y＝0时为临界值z min＝25，x＝4，y＝4时z max＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．故答案为：[25，57]．【知识点】不等式恒成立的问题专项突破一、填空题（共14小题）1.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．【分析】分类讨论，（1）a＝1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．【解答】解：（1）a＝1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a＝，或a＝0（舍去）．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题2.若存在实数b使得关于x的不等式|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4恒成立，则实数a的取值范围是﹣．【答案】[-1，1]【分析】运用正弦函数的值域可得2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，讨论a＝0，a ＞0，a＜0，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．【解答】解：|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4，即为|a（sin2x+4sin x+4）+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），即有|a（2+sin x）2+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），由2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，当a＝0时，显然成立；当a＞0，可得a（2+sin x）+∈[6a，10a]，﹣2﹣b≤a（2+sin x）+≤2﹣b，可得﹣2﹣b≤6a且2﹣b≥10a，可得﹣2﹣6a≤b≤2﹣10a，即﹣2﹣6a≤2﹣10a，可得0＜a≤1；当a＜0，可得a（2+sin x）+∈[10a，6a]，可得﹣2﹣b≤10a且2﹣b≥6a，可得﹣2﹣10a≤b≤2﹣6a，即﹣2﹣10a≤2﹣6a，可得﹣1≤a＜0；综上可得a的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【知识点】不等式恒成立的问题3.若不等式≥a对x＜2恒成立，则a的最大值是﹣【分析】设t＝2﹣x，得出x＝2﹣t，其中t＞0，把化为f（t），利用基本不等式求出f（t）的最小值，由此求出a的最大值．【解答】解：不等式≥a对x＜2恒成立，设t＝2﹣x，则x＝2﹣t，其中t＞0，所以化为f（t）＝＝+t﹣3≥2﹣3＝2﹣3，当且仅当＝t，即t＝时取“＝”，∴f（t）的最小值为2﹣3；∴不等式≥a对x＜2恒成立时，a的最大值是2﹣3．故答案为：2﹣3．【知识点】不等式恒成立的问题4.若不等式|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，则实数a的最大值为．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x﹣2|﹣|x+2|≤4，然后由不等式恒成立可得a的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x﹣2|﹣|x+2|≤|（x﹣2）﹣（x+2）|＝4，当且仅当（x﹣2）（x+2）≤0，即﹣2≤x≤2时取等号，∵|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题5.已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a（x﹣2）+b对一切正实数x恒成立，则当a+b取最小值时，b的值为﹣．【分析】由题意可得只要考虑直线y＝a（x﹣2）+b与y＝lnx相切，设出切点（m，lnm），运用导数的几何意义，可得a，b，m的方程，再由x＝3时，a+b取得最小值，结合构造函数法，运用导数求得最小值，即可得到所求b的值．【解答】解：设y＝lnx的图象与直线y＝a（x﹣2）+b相切的切点为（m，lnm），由y＝lnx的导数为y′＝，可得a＝，lnm＝a（m﹣2）+b，可得b＝2a﹣lna﹣1，由x＝3时，可得a+b≥ln3，可得a+b的最小值为ln3，即有2a﹣lna﹣1＝ln3﹣a，即3a﹣lna＝1+ln3，由y＝3x﹣lnx的导数为y′＝3﹣，可得0＜x＜时，函数y＝3x﹣lnx递减，在x＞时，函数y＝3x﹣lnx递增，可得x＝处函数y取得最小值1+ln3，则3a﹣lna＝1+ln3的解为a＝，即有b＝ln3﹣．故答案为：ln3﹣．【知识点】不等式恒成立的问题6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，若对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是．【分析】根据等比数列前n项和公式，求得a n，即可求得t的值，代入根据函数的单调性即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：由题意可知：2S n＝3n+1+t，当n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3n+1+t﹣3n﹣t＝2×3n，∴a n＝3n，由数列{a n}为等比数列，则a1＝3，当n＝1，则a1＝S1＝＝3，则t＝﹣3，∴S n＝（3n﹣1），对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5），即3n+1λ≥27（n﹣5），∴λ≥＝，n∈N*，由对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则λ≥（）max，由函数f（x）＝在[1，+∞），f′（x）＝＝，令f′（x）＝0，则x＝+5，则f（x）在[1，+5）单调递增，在（+5，+∞）单调递减，由n∈N*，f（5）＝0，f（6）＝，∴当n＝6时，取最大值，最大值为，∴实数λ的取值范围[，+∞），故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题、利用导数研究函数的单调性7.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是﹣【分析】根据题意，分段讨论x≤1和x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a的取值范围，再求它们的公共部分．【解答】解：函数f（x）＝，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最大值为﹣；由y＝x2﹣x+3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最小值为，则﹣≤a≤；…①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣2（当且仅当x＝＞1）取得最大值﹣2；由y＝x+≥2＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2；…②由①②可得，﹣≤a≤2；综上，a的取值范围是﹣≤a≤2．故答案为：﹣≤a≤2．【知识点】不等式恒成立的问题8.若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．【分析】当x＞0时a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，g（x）﹣=，求得y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数和符号，即可得到所求a的范围．【解答】解：不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，即有a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，由y=lnx﹣x+1的导数为y′=﹣1=，x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得y=lnx﹣x+1的最大值为0，即lnx≤x﹣1，则g（x）﹣=，由y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数为y′=2（1+ln（x+1））﹣2（x+1）=2[ln（x+1）﹣x]，由ln（x+1）＜x，即ln（x+1）﹣x＜0，（x＞0），可得g（x）﹣＜0，即g（x）＜，可得a≥，则a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题9.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．【解答】解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题10.设a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，则a的取值范围为．【答案】3【分析】利用基本不等式，确定x的最小值，即可求得a的最小值．【解答】解：∵a＞0，x＞1，∴x＝（x﹣3）+3≥2+1∵a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，∴2+3≥9．∴a≥3∴a的最小值为3．故答案为：3．【知识点】不等式恒成立的问题11.不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】[2，6）【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2＝0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a＝2时，原不等式即为1＞0，原不等式恒成立，即a＝2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，必须解得，2＜a＜6．综上所述，a的取值范围是2≤a＜6，故答案为：[2，6）．【知识点】不等式恒成立的问题12.若对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，则实数x的取值范围是﹣∞﹣【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【分析】通过变换主元，利用函数恒成立转化为不等式组求解即可．【解答】解：由题意对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，即为a（x2+x）﹣x﹣1＞0对任意a∈[1，2]恒成立，所以，解得x＜﹣1或x＞1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题13.若不等式2kx2+kx+＜0对于一切实数x都成立，则k的取值范围是﹣∞﹣．【答案】（-∞，-2）【分析】根据不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，讨论k＝0和k≠0时，即可求出k的取值范围．【解答】解：不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，k＝0时，不等式化为＜0不成立，k≠0时，应满足，解得k＜﹣2．综上，不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【知识点】二次函数的性质与图象、不等式恒成立的问题14.若关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b的最小值为．【答案】0【分析】设f（x）＝（x2﹣a）（2x+b），x∈（a，b），讨论a＞0和a≤0时，利用f（x）≥0在x∈（a，b）恒成立，即可求出2a+b的最小值．【解答】解：关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，当a＞0时，b＞a＞0，f（x）＝（x2﹣a）（2x+b）的三个零点分别为±，﹣；显然有＞﹣，＞﹣；则f（x）在（a，b）上是单调增函数，f（x）≥0在（a，b）上恒成立，则f（a）＝（a2﹣a）（2a+b）＝a（a﹣1）（2a+b）≥0，即或；则2a+b≥0或无最小值；当a≤0时，x2﹣a≥0恒成立，f（x）≥0时只需2x+b≥0恒成立，又x∈（a，b），∴2a+b≥0；综上所述，2a+b的最小值为0．故答案为：0．【知识点】不等式恒成立的问题。
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)百校联盟高考模拟第四次押题卷及答案解析
百校联盟最新高考最后一卷（押题卷）理科数学(第四模拟)一、选择题：共8题1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A ={1,2,3,4,5},B ={3,5,7,9},则图中阴影部分所表示的集合为A.{1,2,4,7,9}B.{1,2,4,6,7,8,9}C.{6,8}D.{3,5}【答案】A【解析】这是一道集合的运算与表示的试题,主要考查集合运算与韦恩图等基础知识. 由题中图可知,阴影部分表示的集合为(∁U A ∩B )∪(A ∩∁U B )={1,2,4,7,9},故选A.2．命题“∀x ∈R ,1<f (x )<2”的否定是A.∃x 0∈R ,f (x 0)≤1或f (x 0)≥2B.∀x ∈R ,f (x )≤1或f (x )≥2C.∃x 0∈R ,1<f (x 0)<2D.∀x ∈R ,f (x )<1或f (x )>2【答案】A【解析】本题主要考查全称命题的否定等基础知识,考查考生对基础知识的掌握情况. 根据全称命题的否定是特称命题可知,“∀x ∈R ,1<f (x )<2”的否定是“∃x 0∈R ,f (x 0)≤1或f (x 0)≥2”,故选A.3．已知2sin αtan α=3,且0<α<π,则α的值为A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系式,考查考生的基本运算能力.解题时,将已知等式化简为一个角的三角函数的形式,解方程即可,注意角的范围限制. 通解 因为2sin αtan α=3,所以2sin α·sin αcos α=3,即2(1−cos 2α)cos α=3,化简得2cos 2α+3cos α-2=0,解得cos α=12或cos α=-2(舍去).又0<α<π,所以α=π3,故选C. 优解 分别将四个选项中的值代入验证,即可得C 正确,故选C4．已知函数f (x )=|2x-3|,g (x )=lg(2-x 2),则下列函数是奇函数的是A.h (x )=f (x )-g (x )B.h (x )=f (x )g (x )C.h (x )=α(α)3−α(α)D.h (x )=α(α)3−α(α)【答案】C【解析】本题主要考查函数的定义域、奇偶性等基础知识,考查考生对基础知识的掌握情况.由于函数g (x )=lg(2-x2)的定义域是(-√2,√2),∴f (x )=|2x-3|=3-2x ,∴h (x )=α(α)3−α(α)=lg (2−α2)2α,因此h (x )=α(α)3−α(α)是奇函数,故选C.5．若对任意的正实数x ,y ,不等式x 2+xy+y 2-kx-ky+1≥0恒成立,则实数k 的最大值为A.1B.√2C.√3D.√6【答案】C【解析】本题主要考查基本不等式的应用、不等式恒成立等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.分离参数是求解不等式恒成立问题的常用方法,解决本题的关键是将不等式转化为k ≤α2+α2+αα+1α+α,然后利用基本不等式求最值即可.∵x ,y 均为正实数,∴原不等式转化为k ≤α2+α2+αα+1α+α,又xy ≤(α+α2)2,∴α2+α2+αα+1α+α=(α+α) 2−αα+1α+α≥(α+α)2−(α+α2)2+1α+α=34(x+y )+1α+α≥√3,当且仅当x =y =√33时,等号成立.∴k ≤√3,即实数k 的最大值为√3.6．已知数列{a n }是一个等差数列,首项与公差均为正数,且a 2,a 5,a 9依次成等比数列,则使得a 1+a 2+…+a k >100a 1的最小正整数k 的值是(√265≈16.278 8)A.32B.33C.34D.35【答案】C【解析】本题主要考查等差数列、等比数列及一元二次不等式的解法等基础知识,考查考生灵活运用有关知识解决问题的能力.设数列{a n }的公差为d ,则a 2=a 1+d ,a 5=a 1+4d ,a 9=a 1+8d ,因为a 2,a 5,a 9依次成等比数列,所以a 2a 9=α52,即(a 1+d )·(a 1+8d )=(a 1+4d )2,化简得a 1d =8d 2,又d >0,所以a 1=8d .由α1+α2+⋯+ααα1=αα1+α(α−1)α2α1=k+α(α−1)16>100,得k 2+15k-1 600>0,解得k <−15−5√2652(舍去)或k >−15+5√2652,所以最小正整数k 的值为347．已知双曲线C 1:α2α2−α2α2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,抛物线C 2:y 2=2px (p >0)的焦点与双曲线C 1的一个焦点重合,C 1、C 2与圆(x+c )2+y 2=p 2在第一象限内相交于同一点P ,则双曲线的离心率为A.2√3B.2+√3C.√3D.4【答案】B【解析】本题主要考查双曲线的定义、离心率,抛物线的定义及圆的相关知识,考查数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.设P (x 0,y 0),∵F 2是C 1、C 2的公共焦点,∴p =2c ,而C 1、C 2与圆(x+c )2+y 2=p 2在第一象限内相交于同一点P ,∴|F 1F 2|=|PF 1|=2c ,∴|PF 2|=2c-2a .通解 根据抛物线的定义,x 0=|PF 2|-α2=c-2a ,∴α02=2px 0=4c (c-2a ),∴由α02α2−α02α2=1,得(α−2α)2α2−4α(α−2α)α2=1,∴(e-2)2-4α(α−2)α2−1=1,整理得(e 2-3)(e 2-4e+1)=0,∵e >1,∴e =√3或e =2+√3,又P 在第一象限,∴x 0=c-2a >0,e >2,∴e =2+√3,故选B.优解 如图所示,过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ,过点F 1作F 1H ⊥PF 2于点H ,则△PQF 2∽△F 1HF 2,而|F 1F 2|=|PF 1|,∴|HF 2|=12|PF 2|=c-a ,|QF 2|=c-|OQ|=2a ,∴|αα2||αα2|=|αα2||α1α2|,即2α2α−2α=α−α2α,∴e 2-4e+1=0,∵e >1,∴e =2+√3,故选B8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,俗称阴阳鱼.太极图案展现了一种互相转化,相对统一的形式美、和谐美.现在定义:能够将圆O 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“太极函数”.给出下列命题:p 1:对于任意的一个圆O ,其对应的“太极函数”不唯一; p 2:f (x )=e x +e -x可能是某个圆的一个“太极函数”; p 3:圆O :(x-1)2+y 2=36的一个“太极函数”为f (x )=-ln 5+α7−α; p 4:“太极函数”的图象一定是中心对称图形.其中正确的命题是 A.p 1,p 2 B.p 1,p 3C.p 2,p 3D.p 3,p 4【答案】B【解析】本题主要考查函数的图象与性质,考查考生对新定义的理解.图1对于p 1,取过圆心的直线,均可将圆的周长和面积平分,而这样的直线有无数条,故p 1正确;对于p 2,f (x )=f (-x )恒成立,故f (x )为偶函数,又f (0)=2,图象如图1所示,则其不可能为某个圆的“太极函数”,故p 2不正确;对于p 3,圆O 的圆心为(1,0),x ∈[-5,7],而函数f (x )满足f (x )+f (2-x )=0,故函数f (x )的图象关于点(1,0)成中心对称,函数的定义域为(-5,7),如图2所示,函数f (x )将圆的周长和面积平分,故p 3正确;对于p 4,如图3,若取圆的方程为x 2+y 2=9,该函数(粗线)将圆的周长和面积平分,但不是中心对称图形,故p 4不正确,故选B.图2 图3二、填空题：共7题9．已知函数f (x )={√α−1,α≥2log 2(2α+1),0≤α<2,则f (f (1))= ,f (x )的最小值为 . 【答案】2 1【解析】本题考查分段函数求值等知识,考查考生对基础知识的掌握情况. ∵f (1)=log 23<2,∴f (f (1))=f (log 23)=log 2(2log 23+1)=log 24=2.由于函数y =√α−1(x ≥2)与y =log 2(2x+1)(x ∈[0,2))都是增函数,∴f (x )min =1.10．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ,体积为 .【答案】7+√52π+243π【解析】本题主要考查简单几何体的三视图,解题的突破口是由三视图还原直观图.在解题过程中要注意题目所求的几何体是组合体,求表面积时要注意重叠部分不可重复计算. 根据题意,所求的几何体由半个圆柱和半个圆锥构成,因此,该几何体的表面积为π×12+12π×12+12×π×1×√5+π×1×2+12×1×2×2=π+12π+√52π+2π+2=7+√52π+2,体积为13×12π×2+12π×2=43π.11．已知函数f (x )=2cos x (cos x-sin x )-1,则f (x )的振幅为 ,最小正周期为 ,f (x )在[0,π6]上的最小值为 .【答案】√2 π1−√32【解析】本题主要考查了三角恒等变换等基础知识,考查考生的基本运算能力. 根据题意知,f (x )=1+cos 2x-sin 2x-1=√2cos(2x+π4),∴f (x )的振幅为√2,最小正周期T =2π2=π.又当x ∈[0,π6]时,2x+π4∈[π4,7π12],∴f (x )min =√2cos7π12,而cos 7π12=cos(π3+π4)=cos π3cos π4-sin π3sin π4=√2−√64,∴f (x )min =1−√3212．设直线l 1:(a+1)x-(a-3)y-8=0(a ∈R ),过原点O 的直线l 2⊥l 1,垂足为M ,则|OM|的最大值为 . 【答案】2√2【解析】本题主要考查两条直线的垂直关系、直线交点的求法等基础知识,考查考生的数形结合思想.通解 由于过原点的直线l 2⊥l 1,∴l 2的方程为(a-3)x+(a+1)y =0,由方程组{(α+1)α−(α−3)α−8=0(α−3)α+(α+1)α=0得,M (4(α+1)α2−2α+5,4(3−α)α2−2α+5),∴|OM|=√[4(α+1)α2−2α+5]2+[4(3−α)α2−2α+5]2=√2√α−2α+5=√2√(α−1)2+4∴当a =1时,|OM|的最大值为2√2.优解 由(a+1)x-(a-3)y-8=0得,(x+3y-8)+a (x-y )=0,∴l 1是过两直线x+3y-8=0和x-y =0的交点N (2,2)的直线,又过原点的直线l 2⊥l 1,垂足为M ,∴点M 在以ON 为直径的圆上,因此|OM|的最大值为|ON|=2√2.13．若实数x ,y 满足{α−α+1≥03α−α−3≤0α+2α−2≥0,则√(α+2)2+α的取值范围是 ;若z =a |α−2|+y 的最小值为1,则实数a 的值为 .【答案】[45,22√493493]23【解析】本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域、表达式的取值范围的求解等,考查考生的数形结合思想、化归与转化思想及运算求解能力.作出不等式组{α−α+1≥03α−α−3≤0α+2α−2≥0所表示的可行域如图中阴影部分所示,易知x ≥0,∴α+2√(α+2)2+α2=1√1+α2(α+2)2,∴k =αα+2可以看成直线AP 的斜率,其中点A (-2,0),点P (x ,y )为可行域内的点,由图可知,322≤k ≤34,因此α+2√(α+2)2+α2∈[45,22√493493].由于x ≤2,∴z =a (2-x )+y ,根据线性规划的最优解的求法,当(x ,y )分别取顶点(0,1),(2,3),(87,37)时,z 取最小值1,可得a =0或a =23,经检验,a =0不满足题意,a =23满足题意,故a =23.14．已知长方形ABCD 中,AB =3,E ,F 分别是AB ,CD 上的点,且AE =DF =1,现沿EF 将长方形折成一个直二面角,如图所示,已知二面角A-BF-E 的大小为π6,则直线BD 与平面ABF 所成角的正弦值为 .【答案】√5134【解析】本题主要考查二面角、直线与平面所成角的求法等知识,考查了空间想象能力与基本运算能力.在解题中要注意将空间角转化为平面角的过程,还有一个重要结论:若三点A (a ,0,0),B (0,b ,0),C (0,0,c ),则平面ABC 的一个法向量为n =(bc ,ac ,ab ).通解 过E 作EG ⊥BF ,垂足为G ,连接AG ,由于AE ⊥平面BCFE ,∴AE ⊥BF ,∴BF ⊥平面AEG ,即∠AGE 就是二面角A-BF-E 的平面角,∴∠AGE =π6,而AE =1,∴EG =√3.利用直角三角形的性质得,EF =2√3.建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,1),B (2,0,0),F (0,2√3,0),D (0,2√3,1),∴αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2√3,1),平面ABF 的一个法向量为n =(√3,1,2√3),设直线BD 与平面ABF 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√3√17×4=√5134.优解 求EF 同通解.在三棱锥D-ABF 中,αα−ααα=αα−ααα,且αα−ααα=13α△ααα·BE =2√33,记点D 到平面ABF 的距离为d ,则αα−ααα=13S △ABF ·d ,由通解知AG =2,BF =4,∴α△ααα=12BF ·AG =4,∴d =√32,又BD =√17,∴直线BD 与平面ABF 所成角的正弦值为ααα=√32√17=√5134.15．已知A 、B 、C 是同一条直线上的三点,且αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若M i (i =1,2)是平面内不与点A 、B 、C 共线的任意两点,且满足ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(i =1,2),当r ≥2时,|α1α2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤m|αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立,则m 的最小值为 . 【答案】43【解析】本题主要考查平面向量的运算以及不等式恒成立求参数的取值范围等知识,考查考生的基本运算能力及分析问题、解决问题的能力.不妨设|αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ,并以线段AB 的中点为坐标原点O ,直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,如图所示.根据ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |得ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,即cos ∠AM i C =cos ∠BM i C ,∴∠AM i C =∠BM i C ,即M i C 是∠AM i B的平分线,根据角平分线的性质,得|ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ααα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ,设M i (x ,y ),∴√(α+α)2+α2√(α−α)2+α=r ,整理得x 2+y 2-2α(α2+1)α2−1x+a 2=0,即[x-α(α2+1)α2−1]2+y 2=(2ααα2−1)2,∴点M i 在一个圆上,当M 1M 2为圆的直径时,|α1α2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最大,即|α1α2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤2αα2−1(r ≥2),而2αα2−1=2α−1α≤43,∴|α1α2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为43,∴当|α1α2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤m|αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立时,m 的最小值为43.三、解答题：共5题16．已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,其面积为S ,且2√3S =a 2-(b-c )2.(1)求tan A ;(2)若a =1,求△ABC 周长的最大值.【答案】(1)∵2√3S =a 2-(b-c )2,∴√3bc sin A =a 2-b 2+2bc-c 2,又cos A =α2+α2−α22αα=2αα−√3ααsin α2αα,∴cos A =1-√32sin A ,即√32sin A =1-cos A ,∴√3sin α2cos α2=2sin 2α2,∴tan α2=√32,tan A =2tanα21−tan2α2=4√3.(2)由(1)知tan A =4√3,∴sin A =4√37,cos A =17.根据正弦定理知,αsin α=αsin α=αsin α=14√37=7√312,∴a+b+c =1+7√312sin B+7√312sin C =1+7√312sin B+7√312sin(A+B )=1+7√312sin B+7√312(4√37cos B+17sin B )=1+2√33sin B+cos B =1+√213sin(B+α),其中tan α=√32,α∈(0,π2),∴当B =π2-α时,△ABC 的周长取得最大值1+√213.【解析】本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,以及基本的运算能力.(1)先利用三角形的面积公式与余弦定理化简已知等式,再利用二倍角的正切公式求解即可;(2)利用正弦定理将所求转化为角的函数,利用三角恒等变换化简得出一角一函数的形式,再求解最大值即可. 【备注】将解三角形和三角恒等变换结合起来是当前高考考查三角部分的主要命题方向之一,问题的核心仍然是三角恒等变换,在解决这类试题时只要抓住问题的本质,把解三角形的问题归结到三角恒等变换上,灵活选用三角恒等变换的方法是不难解决的.17．如图,△CDE 所在的平面与正方形ABCD 所在的平面相交于CD ,且AE ⊥平面ABCD ,AB =2AE =2.(1)求证:平面ABCD ⊥平面ADE ;(2)设点F 是棱BC 上一点,若二面角A-DE-F 的余弦值为√66,试确定点F 在BC 上的位置.【答案】(1)∵AE ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , ∴AE ⊥CD ,又AD ⊥CD ,AE ∩AD =A , ∴CD ⊥平面ADE , 又CD ⊂平面ABCD , ∴平面ABCD ⊥平面ADE .(2)解法一 如图,过点F 作FG ∥AB 交AD 于G ,过F 作FH ⊥DE ,垂足为H ,连接GH ,则FG ⊥AD ,由(1)知,平面ABCD ⊥平面ADE ,∴FG ⊥平面ADE ,∴FG ⊥DE ,又FH ⊥DE ,∴DE ⊥平面FGH ,∴GH ⊥DE , ∴∠FHG 就是二面角A-DE-F 的平面角. 又二面角A-DE-F 的余弦值为√66,∴cos ∠FHG =√66,∴tan ∠FHG =√5,在Rt △FGH 中,FG =2,∴GH =2√55,根据相似三角形的性质得,αααα=αααα,∴DH =4√55,∴DG =2,即CF =2,因此F 与点B 重合.解法二 ∵AE ⊥平面ABCD , ∴如图,建立空间直角坐标系A-xyz , 则D (2,0,0),C (2,2,0),E (0,0,1),B (0,2,0), 设F (λ,2,0),λ∈[0,2],∴αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-1),αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ-2,2,0), 设平面FDE 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{α·αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2α−α=0α·αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(α−2)α+2α=0,∴取n =(2,2-λ,4)为平面FDE 的一个法向量,又平面ADE 的一个法向量为m =(0,1,0),∴cos<m ,n >=α·α|α||α|=√(2−α)2+20=√66,∴λ=0,故当点F 与B 重合时,二面角A-DE-F 的余弦值为√66.【解析】本题主要考查面面垂直的证明、与二面角有关的探究性问题等,考查考生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力.(1)由面面垂直的判定定理即可证明;(2)可用“作、证、求”三步计算求解,也可建立空间直角坐标系,用向量法求解.【备注】用几何法求二面角,一般先作出二面角的平面角,其解题过程必须有:作图→证二面角的平面角→利用解三角形知识计算平面角,简记为“作、证、算”;用向量法求二面角,一般在空间直角坐标系下求解,建立恰当的坐标系是关键.18．在平面直角坐标系xOy 中,已知M ,N ,P 是椭圆α218+α22=1上的三点,且αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点D 是线段MN 的中点.(1)求动点D 的轨迹E 的方程;(2)若点A 是轨迹E 与y 轴正半轴的交点,过A 的两条互相垂直的直线AB ,AC 与轨迹E 交于B ,C 两点,求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),∵αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴P (35x 1+45x 2,35y 1+45y 2),而M 、N 、P 是椭圆α218+α22=1上的三点,∴α1218+α122=1,α2218+α222=1,(35α1+45α2) 218+(35α1+45α2) 22=1,即925(α1218+α122)+1625(α2218+α222)+1225(α1α29+y 1y 2)=1,∴α1α29+y 1y 2=0.设动点D (x ,y ),则α1+α22=x ,α1+α22=y , ∴{α12+α22+2α1α2=4α2α12+α22+2α1α2=4α2⇒{α1α2=2α2−12α12−12α22α1α2=2α2−12α12−12α22,∴19(2x 2-12α12−12α22)+(2y 2-12α12−12α22)=0, 即29x 2+2y 2-12(α129+α12)-12(α229+α22)=0, ∴α29+y 2=1.于是动点D 的轨迹E 的方程为α29+y 2=1.(2)根据(1)知A (0,1),由题意知,直线AB 的斜率存在且不为0,不妨设直线AB :y =kx+1(k >0),则AC 的方程为y =-1αx+1. 由{α=αα+1α29+α2=1得,(1+9k 2)x 2+18kx =0,∴B (−18α1+9α2,1−9α21+9α2),同理用-1代替k 得,C (18αα2+9,α2−9α2+9),从而|AB|=√1+α2|x A -x B |=√1+α218α1+9α2,|AC|=√1+1α218α9+α2,于是S △ABC =12|AB||AC|=162×α(1+α2)(1+9α2)(9+α2)=162×α+1α9(α2+1α2)+82.令t =k+1α≥2(当且仅当k =1时等号成立), 则S △ABC =162α9α2+64=1629α+64α≤278,当且仅当t =83>2时等号成立,故(S △ABC )max =278.【解析】本题主要考查轨迹方程的求解、直线与椭圆的位置关系、向量的基本运算等知识,同时考查解析几何的基本思想方法和考生综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力.(1)由已知及向量的基本运算进行求解;(2)设出直线方程,联立直线与椭圆方程,利用根与系数的关系和三角形的面积公式求解.【备注】解析几何大题,高考一般倾向于考椭圆的综合问题,主要考查椭圆的几何性质以及考生的基本运算能力和分析问题、解决问题的能力.高考对本题型的考查主要是根据椭圆的几何性质求解其标准方程;直线与椭圆的位置关系,通过解方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系,求解弦长、面积、参数的取值(或取值范围),研究定点、定值、最值等问题.19．已知函数f(x)=ax2+bx+c,x∈R.(1)当a=1时,|f(x)|≤1对|x|≤1恒成立,求证:|1+c|≤1;(2)当c=1时,f(1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.①求实数a,b的值;②若g(x)与f(x)在(1,+∞)上具有相同的单调性,x1,x2,x3,x4∈(1,+∞),且x1<x2,x3=mx1+(1-m)x2,x4=(1-m)x1+mx2,其中m∈R,试比较|g(x4)-g(x3)|与|g(x2)-g(x1)|的大小. 【答案】(1)当a=1时,f(x)=x2+bx+c.∵|f(-1)|=|1-b+c|≤1,|f(1)|=|1+b+c|≤1,∴-1≤1-b+c≤1,-1≤1+b+c≤1,∴-2≤2+2c≤2,∴|2+2c|≤2,∴|1+c|≤1.(2)①∵f(1)=a+b+1=0,方程ax2+bx+1=0的判别式Δ=b2-4a≤0,∴(b+2)2≤0,∴b=-2,a=1.②∵f(x)=x2-2x+1,∴f(x)在(1,+∞)上是增函数,∴g(x)在(1,+∞)上是增函数,又x2>x1,∴g(x2)-g(x1)>0,∴|g(x2)-g(x1)|=g(x2)-g(x1).又x4-x3=(2m-1)(x2-x1),且x2-x1>0,时,x3=x4,∴g(x3)=g(x4),(i)当2m-1=0,即m=12∴|g(x2)-g(x1)|>|g(x4)-g(x3)|.时,x4>x3,∴g(x4)>g(x3),(ii)当2m-1>0,即m>12∴|g(x4)-g(x3)|-|g(x2)-g(x1)|=g(x4)-g(x3)-g(x2)+g(x1)=[g(x4)-g(x2)]+[g(x1)-g(x3)],又x4-x2=(m-1)(x2-x1),x3-x1=(1-m)(x2-x1),当m=1时,x4=x2,x3=x1,∴|g(x4)-g(x3)|=|g(x2)-g(x1)|.当m>1时,x4>x2,x3<x1,g(x4)-g(x2)>0,g(x1)-g(x3)>0,∴|g(x4)-g(x3)|>|g(x2)-g(x1)|.<m<1时,x4<x2,x3>x1,g(x4)-g(x2)<0,g(x1)-g(x3)<0,∴|g(x4)-g(x3)|<|g(x2)-g(x1)|.当12时,x4<x3,∴g(x4)-g(x3)<0,(iii)当2m-1<0,即m<12∴|g(x4)-g(x3)|-|g(x2)-g(x1)|=g(x3)-g(x4)-g(x2)+g(x1)=[g(x3)-g(x2)]+[g(x1)-g(x4)],又x3-x2=m(x1-x2),x1-x4=m(x1-x2),x1-x2<0,当m=0时,x3=x2,x4=x1,∴|g(x4)-g(x3)|=|g(x2)-g(x1)|.当m<0时,x3>x2,x4<x1,g(x3)-g(x2)>0,g(x1)-g(x4)>0,∴|g(x4)-g(x3)|>|g(x2)-g(x1)|.当0<m<1时,x3<x2,x4>x1,g(x3)-g(x2)<0,g(x1)-g(x4)<0,∴|g(x4)-g(x3)|<|g(x2)-g(x1)成立.2综上所述,当m=0或m=1时,|g(x4)-g(x3)|=|g(x2)-g(x1)|;当m<0或m>1时,|g(x4)-g(x3)|>|g(x2)-g(x1)|;当0<m <1时,|g (x 4)-g (x 3)|<|g (x 2)-g (x 1)|.【解析】本题主要考查二次函数的性质、不等式的性质等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力以及分类讨论思想.(1)利用二次函数与不等式的性质求解;(2)①利用方程ax 2+bx+1=0的判别式Δ≤0即可求解,②对m 分类讨论,再作差比较大小.【备注】2016年浙江省<考试说明>的例卷与前一年的不同就是将函数题与数列题对调了一下,因此本试卷将二次函数题放置于此.高考中,函数的零点,函数与不等式,利用函数的图象解决最值、不等式恒成立问题是函数题的考试热点,而绝对值函数以及由此变化出来的绝对值不等式等问题将肩负着考查分类讨论这一重要思想方法的重任,解决这类试题的关键是根据绝对值的定义去掉绝对值,在分类讨论过程中按照分类标准合理分类,做到不重不漏,20．已知函数f (x )=log 2√2αα−α,过点A (12,12)的直线与函数f (x )的图象交于B 、C 两点,且αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (1)求a 的值;(2)若S n =f (1α)+f (2α)+…+f (α−1α),n ≥2,n ∈N *,求S n ; (3)已知数列{a n }满足:1αα=(S n +1)(αα+1+1),其中n ∈N *,T n 为数列{a n }的前n 项和,若T n <λ(S n+1+1)对一切n ∈N *都成立,试求λ的取值范围.【答案】(1)∵αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +αα⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴A 是BC 的中点.设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),由12(x 1+x 2)=12,得x 1+x 2=1,则x 1=1-x 2,x 2=1-x 1.而12=12(y 1+y 2)=12[f (x 1)+f (x 2)]=12(log 2√2α1α−α1+log 2√2α2α−α2)=12(1+log 2α1α−α1+log 2α2α−α2),∴log 2(α1α−α1·α2α−α2)=0,∴α1α−α1·α2α−α2=1,a 2-a (x 1+x 2)=0,∴a =1或a =0(不合题意,舍去).(2)因为当x 1+x 2=1时,f (x 1)+f (x 2)=y 1+y 2=1,又S n =f (1α)+f (2α)+…+f (α−1α), ∴S n =f (α−1α)+f (α−2α)+…+f (1α), 两式相加,得2S n =[f (1α)+f (α−1α)]+[f (2α)+f (α−2α)]+…+[f (α−1α)+f (1α)]==n-1, ∴S n =α−12(n ≥2,n ∈N *).(3)a n =1(αα+1)(αα+1+1)=4(α+1)(α+2)=4(1α+1−1α+2). T n =a 1+a 2+a 3+…+a n =4[(12−13)+(13−14)+…+(1+1−1+2)]=4(12−1+2)=2αα+2.由T n <λ(αα+1+1),得2αα+2<λ×α+22,∴λ>4αα2+4α+4=4α+4α+4, ∵n+4α≥4,当且仅当n =2时等号成立,∴4α+4α+4≤44+4=12. 因此λ>12,即λ的取值范围是(12,+∞).【解析】本题综合考查了函数与数列的综合问题以及数列求和等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)结合已知条件及对数运算求出a 的值;(2)由倒序相加法求和;(3)将不等式转化求解.【备注】高考中数列大题一般是围绕着等差数列、等比数列的基础知识及基本思想方法而命制的,因此首先要熟悉等差数列、等比数列的基础知识,如裂项相消法、叠加法、累乘法、错位相减法、倒序相加法等.同时数列题目更加重视函数、方程、不等式与数列的结合,因为数列就是一种特殊的函数,因此要利用好函数的单调性、最值、周期等性质以及函数的图象解题.在数列与不等式综合的题目中,特别重要的一个方法是“放缩法”,放缩过程中在兼顾函数单调性的基础上,要熟悉将数列放缩成几个特殊数列,如{n 2+1}、{n 2-1}、{1α(α+1)}、{1α(α−1)}等.。
山东省东营市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析
山东省东营市2021届新高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论. 【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++()2211a b b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立,所以1 13b-≤,解得23b≥,故选:D.【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.2．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方()*3,n n≥∈N”是由前2n 个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．45【答案】B【解析】【分析】计算1225+++L的和，然后除以5，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为12525122526555+⨯+++==L，故选B.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前n项和公式，属于基础题.3．已知实数x、y满足不等式组210210x yx yy-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y=-+的最大值为（）A．3B．2C．32-D．2-【答案】A【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【详解】画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示平面区域，如图所示，由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时， 此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(1,0)A -，所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =C ．2y x =D ．y x =±【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程.【详解】 如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ， 故渐近线方程为3y x =±， 故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o是解题的关键，属于中档题.5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积. 【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433V =⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题. 6．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 【答案】B 【解析】 【分析】 易得2i1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．65,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B ．665,533⎛⎛--⎝⎭⎝U C ．65⎝D ．665,5⎛- ⎝⎭⎝U【答案】D 【解析】 【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得k >或k <，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx x k x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++， ∴解得k <<∴直线l 的斜率k的取值范围为22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．8．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.35【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确. ③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 故选：B 【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想. 10．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B 【解析】 【分析】化简到()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案.【详解】22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭，故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确；当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误.平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.11．已知15455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，可得1551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与11,2对比，即可求出结论.【详解】由题知105441551,1log log 22a b =>=>=>=，51log 2log 2c =<=，则a b c >>. 故选:A. 【点睛】本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..12．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πBC ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，22PB =Q 211822AO PA x ∴==+ 122AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C . 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)百校联盟第四次模拟试题及答案解析
百校联盟2018年高考最后一卷（押题卷）文科数学(第四模拟)一、选择题：共10题1．设集合A ={x|x >a },集合B ={-1,1,2},若A ∩B =B ,则实数a 的取值范围是A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)【答案】D【解析】本题主要考查集合之间的包含关系,考查等价转化思想.解题时,将A ∩B =B 转化为B ⊆A 即可求解.因为A ∩B =B ,所以B ⊆A ,所以a <-1,故选D.2．已知i 为虚数单位,若复数z =21+i,则z2−2zz −1= A.i2B.-i2C.2iD.-2i【答案】D【解析】本题主要考查复数的除法和乘法运算,考查考生的运算能力,属于容易题.先化简复数z ,再代入式子运算即可.由题意知,z =21+i=2(1−i )(1+i )(1−i )=1-i,所以z 2−2zz −1=(1−i )2−2(1−z )(1−i )−1=2i=-2i ,故选D.3．“x =π3或2π3”是“sin x =√32”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题把充要关系的判断和特殊角的三角函数值的运算结合在一起进行考查,考查考生对基础知识的掌握情况,难度不大.解题时要注意考虑问题的全面性,否则很容易出错.当x =π3或2π3时,显然sin x =√32,但当sin x =√32时,x =π3+2k π或2π3+2k π,k ∈Z .故“x =π3或2π3”是“sin x =√3”的充分不必要条件,选B.【备注】高考中将充要关系的判断与其他知识相结合是常见的考查方式,从本题可知我们可以用集合的观点看充分条件、必要条件:A ={x|x 满足条件p },B ={x|x 满足条件q },(1)如果A ⊆B 且A ≠B ,那么p 是q 的充分不必要条件;(2)如果B ⊆A 且A ≠B ,那么p 是q 的必要不充分条件;(3)如果A =B ,那么p 是q 的充要条件;(4)如果A ⊈B ,且B ⊈A ,那么p 是q 的既不充分也不必要条件.4．为了估计某鱼塘中鱼的数量,某渔民先从鱼塘中捕捞出3 000条鱼,在每条鱼的尾巴上做标记(不影响存活)后重新放回鱼塘中,经过适当的时间后,该渔民再从鱼塘中捕捞出800条鱼,其中尾巴上做标记的有15条,则可估计该鱼塘中鱼的条数为A.160 000B.300 000C.150 000D.200 000【答案】A【解析】本题主要考查利用样本估计总体,考查考生的应用意识.根据题意建立恰当的比例关系是解题的关键.设该鱼塘中鱼的条数为x ,则根据题意可知z3000=80015,解得x =160000,故选A.5．若函数f (x )=log 4[(9x +1)9kx ](k ∈R )为偶函数,则实数k 的值为A.12B.-12C.1D.-2【答案】B【解析】本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于基础题.易知函数f (x )的定义域为R .若函数f (x )为偶函数,则f (-x )=f (x )⇒log 4[(9-x +1)9-kx ]=log 4[(9x +1)9kx ]对任意的x ∈R 恒成立,则由19z +19z+1=92kx ,得92kx =9-x ,即9(2k+1)x =1,于是2k+1=0,即k =-12.6．根据如图所示的程序框图,当输入的x 的值为2 016时,输出的y 的值为A.28B.10C.4D.2【答案】B【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,属于容易题,解题时一定要抓住重要条件“x ≥0”,否则很容易出现错误.在给出程序框图求解输出结果的试题中,只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.初始条件:x =2 016;第一次循环:x =2 014;第二次循环:x =2 012;第三次循环:x =2 010;第四次循环:x =2 008;……;第1 008次循环:x =0;第1 009次循环,x =-2,不满足条件x ≥0,故退出循环,输出y =32+1=10,故选B.7．已知x >1,y >1,log 2x+log 2y =log 2(x+y ),ln x+ln y+ln z =ln(x+y+z ),则z 的取值范围为A.[1,4)B.(1,4)C.(1,4]D.[1,4]【答案】C【解析】本题主要考查对数运算、利用基本不等式求最值等知识,考查考生的恒等变形能力和运算求解能力.由题意知,log 2(xy )=log 2(x+y ),所以xy =x+y ,故xy =x+y ≥2√zz ,解得xy ≥4,当且仅当x =y =2时取等号.同理xyz =x+y+z ,可得z =zz zz −1=zz −1+1zz −1=1+1zz −1,因为xy ≥4,所以xy-1≥3,所以1<1+1zz −1≤43,即z 的取值范围为(1,43].8．已知圆C :(x-3)2+(y-2)2=4,M 为圆C 上一点,若存在一个定圆P ,过点M 作圆P 的两条切线MA ,MB ,切点分别为A ,B ,当点M 在圆C 上运动时,恒有∠AMB =60°,则圆P 的方程为A.(x-3)2+(y-2)2=1B.(x+3)2+(y+2)2=1C.(x-3)2+(y-2)2=3D.(x+3)2+(y-2)2=3【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查考生的数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.由题意知圆P 与圆C 是同心圆,在Rt △PAM 中,|MP|=2,∠MPA =60°,所以圆P 的半径|PA|=1,所以圆P 的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.9．如图,已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线z 2z 2-z 2z2=1(a >0,b >0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F ,则该双曲线的离心率为A.√2B.2C.√2+1D.3+2√2【答案】C【解析】本题考查抛物线的简单几何性质及其应用、双曲线的离心率等,考查考生的运算求解能力.解题的关键是根据题意得到关于a ,c 的方程.根据两条曲线交点的连线过点F ,由双曲线和抛物线的对称性可得,两条曲线交点的坐标为(z2,±p ),代入双曲线的方程z 2z 2-z 2z 2=1(a >0,b >0)得z 24z2-z 2z 2=1,又z 2=c ,所以z 2z 2-4×z 2z 2=1,化简得c 4-6a 2c 2+a 4=0,所以e 4-6e 2+1=0,得e 2=3+2√2=(1+√2)2,所以双曲线的离心率为√2+1.10．已知函数f (x )={sin (π2z )−1,z <0log z z (z >0,z ≠1),z >0的图象上关于y 轴对称的点至少有3对,则实数a 的取值范围是 A.(0,√55)B.(√55,1)C.(√33,1)D.(0,√33)【答案】A【解析】本题主要考查分段函数的应用、函数图象的对称性,考查等价转化思想,考查考生分析问题、解决问题的能力,此题综合性较强,有一定的难度.f (x )={sin (π2z )−1,z <0log z z (z >0,z ≠1),z >0,令φ(x )=sin(π2x )-1(x <0),则φ(x )关于y 轴对称的函数为g (x )=-sin(π2x )-1(x >0),则函数f (x )的图象上关于y 轴对称的点至少有3对,即函数g (x )的图象与函数h (x )=log a x (a >0,a ≠1)的图象至少有3个交点(如图所示),数形结合可知{0<z <1z (5)<ℎ(5),则-2<log a 5,解得0<a <√55.二、填空题：共5题11．已知菱形ABCD 的边长为2,∠ABC =120°,则zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .【答案】2【解析】本题考查了平面向量的基础知识,重点考查考生对平面向量的线性运算和数量积运算的理解与掌握,属于基础题.解题时,要注意结合图形的特征,灵活解决问题.在菱形ABCD 中,zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为菱形ABCD的边长为2,∠ABC =120°,所以zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 0°+2×2×cos 120°=2.12．若变量x ,y 满足约束条件{5z +5z −9≥01≤z ≤30≤z ≤2,则z =3x+2y 的最小值为 .【答案】235【解析】本题主要考查线性规划的有关问题,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.本题的关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的平面区域和准确判断出目标函数取得最小值的可行解.不等式组{5z +5z −9≥01≤z ≤30≤z ≤2所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z =3x+2y 得y =-32x+12z ,平移直线y =-32x ,数形结合可知,当直线经过点A (1,45)时,目标函数z =3x+2y 取得最小值,且最小值z min =3×1+45×2=235.13．已知命题:在平面直角坐标系xOy中,椭圆z2z2+z2z2=1(a>b>0),△ABC的顶点B在椭圆上,顶点A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则1e =sin z+sin zsin z,现将该命题类比到双曲线中,△ABC的顶点B在双曲线z2z2-z2z2=1(a>0,b>0)上,顶点A,C分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为e,则1e=.【答案】|sin z−sin z|sin z【解析】本题主要考查类比推理,考查椭圆与双曲线的定义、离心率,正弦定理,考查考生的逻辑推理能力,属于中档题.由正弦定理及椭圆的定义知sin z+sin zsin z =|zz|+|zz||zz|=2z2z=1 e ,在双曲线中,由双曲线的定义及正弦定理知1e=2z2z=||zz|−|zz|||zz|=|sin z−sin z|sin z,故在双曲线中有1e =|sin z−sin z|sin z.14．如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为CC1的中点,则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为.【答案】2【解析】本题主要考查三视图的应用,考查考生的空间想象能力.根据题意作出几何体的三视图,然后依次求其面积并求和即可.由图易知四面体A1PQD的正视图为直角梯形,如图1所示,其面积为1-12×1×12=34,四面体A1PQD的侧视图为四边形,如图2所示,其面积为1-2×12×1×12=12,四面体A1PQD的俯视图为直角梯形,如图3所示,其面积为1-12×1×12=34,图1图2图3故四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为34+12+34=2.15．已知函数f (x )={−|z 3−2z 2+z |,z <1ln z ,z ≥1,若命题“∃t ∈R ,且t ≠0,使得f (t )≥kt ”是假命题,则实数k 的取值范围是 . 【答案】(1e ,1]【解析】本题考查分段函数、存在性命题与全称命题之间的相互转化以及不等式恒成立等,考查考生分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想,属于难题.当x <1时,f (x )=-|x 3-2x 2+x|=-|x (x-1)2|={z (z −1)2,z ≤0−z (z −1)2,0<z <1,当x ≤0时,f'(x )=3x 2-4x+1=(x-1)(3x-1)>0,f (x )是增函数;当0<x <1时,f'(x )=-(x-1)(3x-1),所以f (x )在(0,13)上是减函数,在(13,1)上是增函数,作出函数y =f (x )在R 上的图象,如图所示.命题“∃t ∈R ,且t ≠0,使得f (t )≥kt ”是假命题,即对任意的t ∈R ,且t ≠0,f (t )<kt 恒成立,作出直线y =kx ,设直线y =kx 与函数y =ln x (x ≥1)的图象相切于点(m ,ln m ),则由(ln x )'=1z ,得k =1z ,即ln m =km ,解得m =e,k =1e .设直线y =kx 与y =x (x-1)2(x ≤0)的图象相切于点(0,0),所以y'=(x-1)(3x-1),则k =1,由图象可知,若f (t )<kt 恒成立,则实数k 的取值范围是(1e ,1].三、解答题：共6题16．已知函数f (x )=2sin(x-π6)sin(x+π3),x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)在△ABC 中,若A =π4,c =2,且锐角C 满足f (z2+π6)=12,求△ABC 的面积S .【答案】(1)由题意得,f (x )=2sin(x-π6)sin(x+π3)=2sin(x-π6)sin[π2+(x-π6)]=2sin(x-π6)cos(x-π6)=sin(2x-π3),所以函数f (x )的最小正周期为2π2=π.(2)由(1)得,f (z 2+π6)=sin[2(z2+π6)-π3]=sin C ,所以sin C =12,又角C 为锐角,所以C =π6.由正弦定理,得z z=sin zsin z =sinπ4sin π6=√2212=√2,又c=2,所以a=2√2.又sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=√6+√24,所以△ABC的面积S=12ac sin B=12×2√2×2×√6+√24=1+√3.【解析】本题考查诱导公式、三角恒等变换及正弦定理和三角函数的最小正周期等.(1)先利用诱导公式及二倍角公式化简,再求解三角函数的最小正周期;(2)求得角C后,利用正弦定理转化求解.【备注】将解三角形与三角恒等变换、三角函数的性质综合考查是高考考查的一个主要方向,其基本解题思路是使用正、余弦定理把求解目标化为关于三角形中一个内角的三角函数,通过研究该三角函数的性质得出结论.17．如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC 的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE.【答案】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.又AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)取AB的中点G,连接EG,FG,因为E,F,G分别是A1C1,BC,AB的中点,所以FG∥AC,且FG=12AC,EC1=12A1C1.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以GF∥EC1,且GF=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1F∥EG.又EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.【解析】本题主要考查线面、面面位置关系的证明,考查考生的空间想象能力、推理论证能力.(1)先证明AB⊥平面B1BCC1,然后运用面面垂直的判定定理证明即可;(2)利用中点找线线平行,进而得出线面平行.【备注】立体几何的考查核心是空间位置关系的证明,空间位置关系证明的基本思想是“转化”,如证明线线垂直,可转化为证明线面垂直,证明线面垂直又可转化为证明线线垂直.在证明平行关系时要注意中点的作用,同时要注意构造平行四边形.在锥体体积的求解中要注意等体积转化法的使用.18．农历正月十五是中国的传统节日——元宵节,元宵节吃汤圆是一个古老的汉族传统节日习俗,随着人们生活水平的提高,现如今汤圆的种类也越来越多.在元宵节到来之际,小枫去超市为家里选购3袋汤圆,已知该超市有黑芝麻馅、巧克力馅两种传统口味的汤圆,同时今年又新进了菠萝味、草莓味两种水果馅的汤圆.(1)若小枫至少要买1袋黑芝麻馅的汤圆,求小枫买的3袋汤圆都是传统口味的汤圆的概率;(2)若家里要求传统口味的汤圆和水果口味的汤圆都要有,求小枫买的3袋汤圆中有菠萝馅的汤圆的概率.【答案】记黑芝麻馅的汤圆为A,巧克力馅的汤圆为B,菠萝馅的汤圆为C,草莓馅的汤圆为D.(1)若小枫至少要买1袋黑芝麻馅的汤圆,则小枫买的3袋汤圆的所有可能情况为AAA,AAB,AAC,AAD,ABB,ABC,ABD,ACC,ACD,ADD,共10种.记“小枫买的3袋汤圆都是传统口味的汤圆”为事件M,则事件M包含的情况有AAA,AAB,ABB,共3种,由古典概型的概率计算公式可知P(M)=310.(2)若家里要求传统口味的汤圆和水果口味的汤圆都要有,则小枫买的3袋汤圆的所有可能情况为AAC,AAD,ABC,ABD,ACC,ACD,ADD,BBC,BBD,BCC,BCD,BDD,共12种, 记“小枫买的3袋汤圆中有菠萝馅的汤圆”为事件N,则事件N包含的情况有AAC,ABC,ACC,ACD,BBC,BCC,BCD,共7种,由古典概型的概率计算公式可知P(N)=7.【解析】本题主要考查古典概型概率的计算,考查考生的应用意识和分析问题、解决问题的能力.解题的关键是读懂题意,熟练掌握古典概型的有关知识.【备注】古典概型是高考考查的核心考点,解题思路是先使用列举法求得基本事件的总数,再从中找出所求的随机事件含有的基本事件个数,最后按照古典概型的概率计算公式计算.频率分布直方图、抽样方法、回归直线方程、独立性检验、几何概型也经常一起考查,复习的时候应全面.19．已知等比数列{a n}的前n项和为S n,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n={log2z zz2(z+2),z为奇数z z z ,z为偶数,T n为数列{b n}的前n项和,求T2n.【答案】(1)∵S2=2a2-2①,S3=a4-2②,②-①得a3=a4-2a2,即q2-q-2=0. 又q>0,∴q=2.∵S 2=2a 2-2,∴a 1+a 2=2a 2-2, 即a 1+a 1q =2a 1q-2,∴a 1=2, ∴a n =2n .(2)由(1)知b n ={log 22zz 2(z +2),z 为奇数z 2z ,z 为偶数,即b n ={1z (z +2),z 为奇数z 2z ,z 为偶数,∴T 2n =b 1+b 2+b 3+…+b 2n =12(11-13+13-15+…+12z −1-12z +1)+[2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n )·2-2n ]=z2z +1+[2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n )·2-2n ].设A =2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n )·2-2n ,则2-2A =2×2-4+4×2-6+6×2-8+…+(2n-2)·2-2n +(2n )·2-2n-2, 两式相减得34A =12+2(2-4+2-6+2-8+…+2-2n )-(2n )·2-2n-2,整理得A =89-6z +89×22z,∴T 2n =89-6z +89×22z +z2z +1.【解析】本题主要考查数列通项公式的求解,分组求和、裂项相消法求和和错位相减法求和等知识,考查考生的运算求解能力.(1)利用基本量法求数列{a n }的通项公式;(2)利用分组求和法、裂项相消法及错位相减法求T 2n .【备注】数列的考查重点是等差数列、等比数列、数列求和以及与数列求和相关的不等式问题.等差数列、等比数列的基本解题方法是基本量法,即先求出数列的首项、公差或者公比,再用公式求解;数列求和的基本方法是公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.20．已知在平面直角坐标系xOy 中,离心率为12的椭圆C :z 2z 2+z 2z2=1(a >b >0)的左顶点为A ,且点A 到直线l :x =z 2z(c 为椭圆C 的半焦距)的距离为6,P ,Q 是椭圆C 上异于左、右顶点的两个动点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当P ,O ,Q 三点共线时,若直线PA ,QA 分别与y 轴交于M ,N 两点,证明:zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值;(3)设直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,当k 1·k 2=-1时,证明:直线PQ 经过定点.【答案】(1)由题意,{z z =12z 2z−(−z )=6,得{z =2z =1,所以b =√3,所以椭圆C 的标准方程为z 24+z 23=1.(2)设P (x 0,y 0),则Q (-x 0,-y 0),又A (-2,0),所以直线AP 的方程为y =z 0z 0+2(x+2), 令x =0,得M (0,2z 0z+2),所以zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2z 0z0+2). 同理可得N (0,−2z 0−z+2),所以zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2z 0−z 0+2),故zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+4z 02z 02−4.又点P在椭圆C上,所以z024+z023=1,故z02-4=-43z02,所以zz⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·zz⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+4z02z02−4=1(定值).(3)设直线AP的方程为y=k1(x+2),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=k1(x+2)代入椭圆方程,得3x2+4z12(x+2)2=12,即(3+4z12)x2+16z12x+16z12-12=0,所以-2+x1=−16z123+4z12,解得x1=6−8z123+4z12,代入y=k1(x+2)得y1=12z13+4z12,所以P(6−8z123+4z12,12z13+4z12).又k1·k2=-1,所以在点P的坐标中用-1z1代替k1可得Q(6z12−8312+4,−12z13z12+4).当z12=1时,6−8z123+4z12=6z12−83z12+4=-27,点P和Q的横坐标相同,所以直线PQ的方程为x=-27,由此可知,如果PQ经过定点,则定点的横坐标必为-27. 当z12≠1时,直线PQ的斜率k PQ=12z1(3z12+4)+12z1(3+4z12)(6−8z12)(3z12+4)−(6z12−8)(3+4z12)=84z1(1+z12)48(1−z14)=7z14(1−z12),所以直线PQ的方程为y-12z13+4z12=7z14(1−z12)(x-6−8z123+4z12),令x=-2,得y=12z13+4z12+7z112)(-2-6−8z123+4z12)=12z13+4z12-12z13+4z12=0,所以直线PQ过定点(-27,0).【解析】本题主要考查椭圆的方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线的斜率的求法等知识,考查考生的运算求解能力.(1)由离心率和点到直线的距离求出a,b,c的值,即得椭圆C的标准方程;(2)由P,Q关于坐标原点对称设出P,Q的坐标,进而求出M,N的坐标,利用向量的数量积的坐标运算即得结果;(3)利用“设而不求”法处理直线与圆锥曲线的相交问题.【备注】解析几何考查的核心是圆锥曲线与方程、直线与圆锥曲线相交后产生的定点、定值、最值、范围等问题,解题过程中要充分利用一元二次方程根与系数的关系,通过设点的坐标进行整体代入.在求解圆锥曲线的方程时,除考虑列方程求解外,还可考虑圆锥曲线的定义.21．已知函数f(x)=a ln x+z+12x2+1(a为实常数).(1)当a=-1时,求函数f(x)在区间[1e,e]上的最值;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)当-1<a<0时,f(x)>1+z2ln(-a)恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)当a=-12时,f(x)=-12ln x+z24+1,∴f'(x)=−12z+z2=z2−12z.∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴由f'(x)=0得x=1.∴f(x)在区间[1e ,e]上的最值只可能为f(1),f(1e),f(e),而f(1)=54,f(1e)=32+14e2,f(e)=12+e2,∴f(x)max=f(e)=12+e2,f(x)min=f(1)=54.(2)f'(x)=z z+(a+1)x=(z+1)z2+zz,x∈(0,+∞).①当a+1≤0,即a ≤-1时,f'(x )<0,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减;②当a ≥0时,f'(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上单调递增;③当-1<a <0时,由f'(x )>0得x 2>−z z +1,∴x >√z z +1或x <-√z z +1(舍去),由f'(x )<0得x 2<−z z +1,∴0<x <√z z ,∴f (x )在(√−z z +1,+∞)上单调递增,在(0,√−z z +1)上单调递减.综上,当a ≥0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当-1<a <0时,f (x )在(√−z z +1,+∞)上单调递增,在(0,√−z z +1)上单调递减;当a ≤-1时,f (x )在(0,+∞)上单调递减.(3)由(2)知,当-1<a <0时,f (x )min =f (√−z z +1),即原不等式等价于f (√−z z +1)>1+z 2ln(-a ),即a ln √−z z +1+z +12·−z z +1+1>1+z 2ln(-a ),整理得ln(a+1)>-1,∴a >1e-1, 又-1<a <0,∴实数a 的取值范围为(1e -1,0).【解析】本题考查导数的运算以及导数在研究函数性质中的应用,考查考生的运算求解能力、推理论证能力,考查考生综合运用知识分析问题和解决问题的能力.(1)利用导数研究函数的单调性,从而求其最值;(2)对a 进行合理分类,进而研究函数的单调性;(3)由(2)得f (x )min =f (√−z z +1),列出不等式求解.【备注】函数与导数试题在高考中常处于压轴题位置,一般使用分类与整合、数形结合等思想讨论函数的单调性、极值等.在单调性的讨论中,关键是导数的符号,解题时要抓住参数对导数符号的影响,找出分类的标准.。
山东省济宁市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析
山东省济宁市2021届新高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．2．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】 【分析】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案.【详解】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，21tan 2b aPAF a c ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得12e =，1e =-（舍去）.故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力. 3．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③C ．②③D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数()sin 23f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值求出1512224k k ω-+剟或51112224k k ω++剟.再根据已知求出1132ω<„，判断函数的单调性和零点情况得解. 【详解】因为函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422332k k πππππωπωππ--<-+剟，或32242,2332k k k πππππωπωππ+-<-+∈Z 剟 解得1512224k k ω-+剟或51112224k k ω++剟. 又212,23T ππωω=>…，所以1132ω<„. 令0k =.可得511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时，2,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，且72,3212ππππω⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[0,]π上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④ 故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．10 C ．15 D ．10 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAFaa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAFaa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得10c e a ==.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题5．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =U （ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞【答案】C 【解析】∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<， ∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.6．已知非零向量,a b r r 满足a b λ=r r ，若,a b rr 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+r r r r ，则实数λ的值为（ ） A ．49-B ．23C ．32或49-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=r r以及夹角的余弦值，即可求得参数值.【详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=r r r r ，即223520a a b b -⋅-=r r r r .将a b λ=r r代入可得，21819120λλ--=，解得32λ=（49λ=-舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.7．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．0【答案】A 【解析】 【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案.【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则11()ln 1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】()1252512511152550442a a S a a a a +==⇒+=⇒+=.故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易. 9．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．10．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,1--B ．()2,1--C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-【答案】D 【解析】 【分析】求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x+++'=+=， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减； 不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减，从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()12128f x f x x x -≥-，即()()12128f x f x x x -≥-，()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，令()()8g x f x x =+，则()2248a g x ax x+'=++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1240a ax x+++≤， 从而()222214122121x x a x x ---≤=-++，因为()22212221x x --≥-+， 所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D. 【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目. 11．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）A B ．3C ．1D ．5【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】 由52i 12ia =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.12．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭⎝UC ．⎝D ．⎛ ⎝⎭⎝U【解析】 【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得k >或k <，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx xk x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++， ∴解得k <<∴直线l 的斜率k的取值范围为22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析
山东省青岛市2021届新高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤【答案】B 【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121， 故①中应填n≤1． 故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．2．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表， 原始状态 第1次“向后转” 第2次“向后转” 第3次“向后转” 第4次“向后转” ∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次. 故选：B. 【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题. 3．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12f -<判断A 选项正确. 【详解】1.11.1ln |1.1|( 1.1)0f e --=<，排除掉C ，D ；1211ln 122()22f e e---==122e <=Q 2e ，1()ln 212f e ∴-=<.故选：A ． 【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.4．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由于点A ，B ，C 不共线，则()()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇔+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()22AB AC AC AB AC AB ⇔+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22AC AB ⇔=⇔u u u r u u u r “AB AC =u u u r u u u r ”； 故“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r”的充分必要条件.故选：C. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.5．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题． 6．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c 12比较即可. 【详解】由0.50.50.820.8a =>1sin1sin 23b π<=<==<11lg3lg1022c =<==，所以有c b a <<.选C. 【点睛】本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.7．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ， 故选C8．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．（0，1）【答案】D 【解析】 【分析】原问题转化为221x xa a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t ）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】由题意，a ＞2，令t=， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln aa ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t-=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭．记g （t ）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t ）t 1t-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlntt =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1，即a ＜2．∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.9．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ BC ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误；对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误；对B ，对a b >B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.10．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年 B ．9年C ．10年D ．11年【答案】D 【解析】 【分析】根据样本中心点(,)x y 在回归直线上，求出$a ，求解$15y >，即可求出答案.【详解】 依题意 3.5, 4.5,(3.5,4.5)x y==在回归直线上，$$ˆ4.5 1.6 3.5, 1.1, 1.6 1.1a a y x =⨯+=-∴-＝，由1ˆ 1.6 1.115,1016yx x ->>＝， 估计第11年维修费用超过15万元. 故选:D. 【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.11．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值.【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =±>，320x y +=可化为32y x =-，则32m =，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.12．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果. 【详解】由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数，所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
卷04(天津卷)-2021届高考数学冲刺模拟测试卷(原卷版)
卷04（天津卷数学）-2021届高考数学冲刺模拟测试卷第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．1．设复数()2z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数2z ai-在复平面内对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}1,0,1A =-，{}1,2,3B =-，{}11C x R x =∈-≤<，则()A B C =（ ） A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-3．对于非零向量a 、b ，“2a b =”是“a ，b 共线”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ） A ．(0.5,1)B ．(1,1.5)C ．(1.5,2)D ．(2,2.5)原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25．已知函数()sin y x ωϕ=+的两条相邻的对称轴的间距为2π，现将()sin y x ωϕ=+的图象向左平移8π个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．34π B ．4π C ．0 D ．4π-6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的2.5S =(单位:升)，则输入的k 值为，A ．4.5B ．6C ．7.5D ．107．若ln 2a =，125b -=，01sin 4c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．设双曲线()222210x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是（ ）A ．103B 10C 10或103D ．109．已知函数()212,{632,x x af x x x x a+>=++≤，函数()()g x f x ax =-，恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,3226⎛- ⎝B ．13,62⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,322-∞-D ．()322,-+∞第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．在522x x ⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中，5x 项的系数为________（用数字作答）．11．已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，﹣1）和B （﹣2，2），且圆心C 在直线l ：x ﹣y ﹣1＝0上，则圆心为C 的圆的标准方程是_____．12．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______. 13．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是21222x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，则AB =________14．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且2AB =，3AD =，11AA =，则球的表面积为______．15．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E （ξ）为_____．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4在ABC 中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且ab .（1）求cos B 及a 的值；（2）求cos 23B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 17．（本小题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，AC BC =，124AB A A ==.以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1A D 和1DC .（1）求证：1//A D 平面11BCC B ；（2）若二面角1A DC A --为45°， ①证明：平面11AC D ⊥平面1AAD ； ①求直线1A A 与平面11AC D 所成角的正切值. 18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（①）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（①）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑． 19．（本小题满分15分）已知椭圆()22221>>0x y a b a b+=的左顶点为A ，右焦点为(),0F c ，直线2:a l x c =与x轴相交于点T ，且F 是AT 的中点. （①）求椭圆的离心率；（①）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且N 到直线l 的距离是M 到直线l 距离的2倍.①记,NFM NFA △△的面积分别为12,S S ，求12S S ；①若原点O 到直线TN的距离为41，求椭圆方程. 20．（本小题满分15分）已知函数()324x a x f x x =-++．（①）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（①）若对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立，求a 的取值范围； （①）当3a =时，设函数()()g x f x kx =-．证明：对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点．。
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2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（四）数学【解析版】第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C ．(0,2] D ．[－1,0]2．若复数z ＝1＋i1＋a i(i 表示虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．0C ．－12 D ．－13．设{a n }为公差不为0的等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p ＋q >k ＋l ”是“a p ＋a q >αk ＋a l ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝213，b ＝log 2 13，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是( )A.18B.17C.16D.156．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BCAC ＝5－12.根据这些信息，可得sin 234°＝( )A.1－254 B ．－3＋58C ．－5＋14D ．－4＋587．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，F 1关于直线l 的对称点F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．38．已知△ABC 为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋2μ的最大值为( )A.12 B ．1＋33 C.52 D ．2＋32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a >b ≥2，则( )A ．b 2<3b －aB ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2C ．ab >a ＋b D.12＋2ab >1a ＋1b10．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则△ADE 在翻折过程中，下列说法正确的是( )A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使DE ⊥A 1C C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面A 1DE11．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论正确的是( )A ．曲线C 经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C ．曲线C 围成区域的面积大于4πD ．方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy >0)表示的曲线C 在第一象限和第三象限12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)满足f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，且f (x )在(x 0，x 0＋1)上有最小值，无最大值．则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1 B ．若x 0＝0，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6 C ．f (x )的最小正周期为3D ．f (x )在(0,2 019)上的零点个数最少为1 346个第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)14．已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3，均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是________．15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若|AF |＝4|BF |，则p ＝________，三角形CDF 的面积为________．16．在三棱锥P - ABC 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝2，P A ＝PC ＝5，PB 与底面ABC 所成的角的正弦值为13，则三棱锥P - ABC 的外接球的体积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)如图，在△ABC 中，C ＝π4，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，且tan ∠CBD ＝12.(1)求sin A ；(2)若CA →·CB →＝28，求AB 的长．18.(12分)在①a2n＋1－a2n＝3(a n>0)，②a2n－a n a n－1－3a n－1－9＝0，③S n＝n2－2n＋2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，________.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对大于1的自然数n，是否存在大于2的自然数m，使得a1，a n，a m成等比数列．若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C 不重合)．(1)证明：平面EMN⊥平面PBC；(2)是否存在点N，使得二面角B -EN -M的余弦值为66，若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．20．(12分)沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大．为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群．经研究，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．平均温度x i ℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数y i 个711 21 24 66115325∑i ＝17x i ＝192，∑i ＝17y i ＝569，∑i ＝17x i y i ＝18 542，∑i ＝17x 2i＝5 414，∑i ＝17z i ＝25.2848，∑i ＝17x i z i ＝733.7079.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫其中z i ＝ln y i ，z ＝17∑i ＝17z i (1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c e dx (其中e ＝2.718…自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程．(计算结果精确到小数点后第三位)(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p (0<p <1)．①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f (p )，求f (p )的最大值，并求出相应的概率p . ②当f (p )取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差．附：线性回归方程系数公式b ^＝∑i ＝1n(x i －x )·(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y －b ^x .21．(12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，定点A (1,0)，P 为平面内一动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点Q (2，3)的直线l 与C 交于E ，F 两点，已知点D (2,0)，直线x ＝x 0分别与直线DE ，DF 交于S ，T 两点．线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－cos x，其中a∈R.(1)求证：当a≤－1时，f(x)无极值点；(2)若函数g(x)＝f(x)＋ln(x＋1)，是否存在a，使得g(x)在x＝0处取得极小值？并说明理由．答案1．答案：A解析：求得A＝[－1,2]，B＝[0,4)，所以A∩B＝[0,2]，故选A.2．答案：D解析：设z＝b i，b∈R且b≠0，则1＋i1＋a i＝b i，得到1＋i＝－ab＋b i，∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1，故选D.3．答案：D解析：设等差数列的公差为d ，a p ＋a q >a k ＋a l ⇒a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d >a 1＋(k －1)d ＋a 1＋(l －1)d ⇒d [(p ＋q )－(k ＋l )]>0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ d >0p ＋q >k ＋l 或⎩⎪⎨⎪⎧d <0p ＋q <k ＋l ， 显然由p ＋q >k ＋l 不一定能推出a p ＋a q >a k ＋a l ， 由a p ＋a q >a k ＋a l 也不一定能推出p ＋q >k ＋l ，因此p ＋q >k ＋l 是a p ＋a q >a k ＋a l 的既不充分也不必要条件， 故选D. 4．答案：C解析：a ＝1-32＝1312⎛⎫⎪⎝⎭∈(0,1)；b ＝log 2 13<0；c ＝121log 3＝log 23>1，∴c >a >b ，故选C. 5．答案：B解析：设首项为a 1，因为和为80，所以5a 1＋12×5×4×m ＝80，故m ＝8－12a 1.因为m ，a 1∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，m ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，m ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，m ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，m ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，m ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，m ＝1. 因此“公”恰好分得30个橘子的概率是17.故选B. 6．答案：C解析：由题可知∠ACB ＝72°，且cos 72°＝12BC AC ＝5－14，cos 144°＝2cos 2 72°－1＝－5＋14，则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－5＋14.故选C. 7．答案：C解析：方法一：直线l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则不妨设直线l 为y ＝bax ，∵F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点， ∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵F 1关于直线l 的对称点为F ′1，则F ′1为(x ，y )，∴y x ＋c＝－a b ，y ＋02＝b a ·x －c 2，解得x ＝b 2－a 2c ，y ＝－2abc ，∴F ′1⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c，－2ab c ，∵F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上， ∴⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c －c 2＋⎝⎛⎭⎫－2ab c－02＝c 2， 整理可得4a 2＝c 2，即2a ＝c ，∴e ＝ca＝2，故选C.方法二：由题意知|F ′1O |＝|OF 1|＝|OF 2|＝|F ′1F 2|，所以三角形F ′1F 1F 2是直角三角形，且∠F ′1F 1F 2＝30°， 又由焦点到渐近线的距离为b ，得|F ′1F 1|＝2b ， 所以2b ＝3c ，所以e ＝2. 故选C. 8．答案：C解析：设△ABC 的边长为2，不妨设线段BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，则点A (0，3)、B (－1,0)、C (1,0)，以线段BC 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， 设点P (cos θ，sin θ)，则＝(－1，－3)，＝(1，－3)，＝(cos θ，sin θ－3)， 由于＝λ＋μ，则－λ＋μ＝cos θ，－3λ－3μ＝sin θ－3，解得λ＝12－36sin θ－12cos θ，μ＝12－36sin θ＋12cos θ， 所以λ＋2μ＝⎝⎛⎭⎫12－36sin θ－12cos θ＋2⎝⎛⎭⎫12－36sin θ＋12cos θ＝32－32sin θ＋12cos θ ＝32－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 因此，λ＋2μ的最大值为52.故选C.9．答案：BC解析：对于A ，因为a >b ≥2，所以b 2－(3b －a )＝(a －b )＋b (b －2)>0， 故A 错误；对于B ，可通过作差证明，B 正确；对于C ，ab －(a ＋b )＝ab －2a ＋ab －2b2＝a (b －2)＋b (a －2)2>0，故C 正确；对于D ，若12＋2ab >1a ＋1b成立，当a ＝10，b ＝2时，左边＝右边＝35，故D 错误． 所以，选BC. 10．答案：AC解析：对A ，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由∠A 1DE ＝∠MFB ，MF ＝12A 1D 为定值，FB ＝DE 为定值，由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB cos ∠MFB ， 所以FB 为定值，A 正确；若B 正确，即DE ⊥A 1C ，由∠AED ＝∠BEC ＝45°，可得DE ⊥CE ，则DE ⊥平面A 1EC ，所以DE ⊥A 1E ，而这与DA 1⊥A 1E 矛盾，故B 错误；因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，故C 正确； 取CD 中点F ，连接MF ，BF ， 则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由面面平行的判定定理得平面MBF ∥平面A 1DE ， 即有MB ∥平面A 1DE ，可得D 错误． 故选AC.11．答案：BD解析：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16⎝⎛⎭⎫x 2＋y 222，解得x 2＋y 2≤4(当且仅当x 2＝y 2＝2时取等号)，则B 正确； 将x 2＋y 2＝4和(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2联立， 解得x 2＝y 2＝2，即圆x 2＋y 2＝4与曲线C 相切于点(2，2)，(－2，2)，(－2，－2)，(2，－2)， 则A 和C 都错误；由xy >0，得D 正确．综上，选BD. 12．答案：AC解析：(x 0，x 0＋1)区间中点为x 0＋12，根据正弦曲线的对称性知f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1， 故选项A 正确；若x 0＝0，则f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，即sin φ＝－12，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6，满足条件， 但f ⎝⎛⎭⎫13＝1为(0,1)上的最大值，不满足条件， 故选项B 错误；不妨令ωx 0＋φ＝2k π－5π6，ω(x 0＋1)＋φ＝2k π－π6，k ∈Z ，两式相减得ω＝2π3，即函数的周期T ＝2πω＝3，故C 正确；区间(0,2 019)的长度恰好为673个周期， 当f (0)＝0时，即φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )在开区间(0,2 019)上零点个数至少为673×2－1＝1 345， 故D 错误．故正确的是AC. 13．答案：660解析：若甲小区2人，乙、丙、丁其中一小区2人，共有C 26C 24A 33种，若甲小区3人，乙、丙、丁每小区1人，共有C 36A 33种，则不同的分配方案共有C 26C 24A 33＋C 36A 33＝660种．14．答案：⎝⎛⎭⎫3－5π6，＋∞ 解析：求导得f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，易得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ，又由题意知f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ>0，且f ⎝⎛⎭⎫π2＋f ⎝⎛⎭⎫π2>f ⎝⎛⎭⎫π6，由此解得λ的取值范围为λ>3－5π6. 15．答案：2 5解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)， 所以p ＝2，准线为x ＝－1，设过焦点的直线方程为x ＝my ＋1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝4x，得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4 ①又|AF |＝4|BF |，y 1＝－4y 2 ②由①②解得y 1＝－4，y 2＝1或y 1＝4，y 2＝－1， 所以|CD |＝|y 1－y 2|＝5，所以三角形CDF 的面积为12×2×5＝5.16．答案：9π2或8989π6解析：如图，取AC 中点O ′，因为P A ＝PC ＝5，AB ＝BC ， 所以AC ⊥PO ′，AC ⊥O ′B ，所以AC ⊥平面PO ′B ，所以平面PO ′B ⊥平面ABC ， 易知∠O ′BP 即为PB 与底面ABC 所成的角或补角． O ′B ＝2，O ′P ＝3，所以在△O ′PB 中， (2)2＋PB 2－2·2·PB ·cos ∠O ′BP ＝(3)2，因为sin ∠O ′BP ＝13，当cos ∠O ′BP ＝223时，求得PB ＝3，此时∠PCB ＝∠P AB ＝90°.故PB 为三棱锥P ABC 外接球直径，V ＝9π2；当cos ∠O ′BP ＝－223时，求得PB ＝13，延长BO ′交外接球于Q ，则BQ 为圆O ′的直径， 则△QBP 的外接圆直径为球的直径， 由PQ 2＝BQ 2＋BP 2－2·BQ ·BP ·cos ∠QBP＝(22)2＋⎝⎛⎭⎫132－2·22·13⎝⎛⎭⎫－223＝899， 球的直径为2R ＝PQsin ∠QBP ＝89，可求得V ＝8989π6.综上外接球的体积为9π2或8989π6.17．解析：(1)设∠CBD ＝θ，因为tan θ＝12， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故sin θ＝55，cos θ＝255， 则sin ∠ABC ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×55×255＝45， cos ∠ABC ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×45－1＝35， 故sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋2θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2θ＝22(sin 2θ＋cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫45＋35＝7210. (2)由正弦定理BC sin A ＝AC sin ∠ABC， 即BC 7210＝AC 45，所以BC ＝728AC ， 又·＝22||||＝28， 所以||||＝282，所以AC ＝42，又由AB sin C ＝AC sin ∠ABC ，得AB 22＝AC 45，所以AB ＝5. 18．解析：方案一：选条件①.(1)由a 2n ＋1－a 2n ＝3，得{a 2n }是公差为3的等差数列，由a 1＝1，得a 21＝1，则a 2n ＝3n －2，又a n >0，所以a n ＝3n －2.(2)根据a 1，a n ，a m 成等比数列，得到a 2n ＝a 1a m ，即3n －2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案二：选条件②.(1)因为a 2n －a n a n －1－3a n －1－9＝0⇔(a n ＋3)(a n －a n －1－3)＝0，因为a 1＝1，所以a n －a n －1－3＝0，则{a n }是等差数列，则a n ＝3n －2.(2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(3n －2)2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案三：选条件③.(1)由S n ＝n 2－2n ＋2，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝12n －3 n ≥2. (2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(2n －3)2＝2m －3，则有m ＝2n 2－6n ＋6，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝2n 2－6n ＋6∈N *，当n ＝2时，m min ＝2.19．解析：(1)证明：因为PE ⊥EB ，PE ⊥ED ，EB ∩ED ＝E ，所以PE ⊥平面EBCD ，又PE ⊂平面PEB ，所以平面PEB ⊥平面EBCD ，而BC ⊂平面EBCD ，BC ⊥EB ，所以平面PBC ⊥平面PEB ，由PE ＝EB ，PM ＝MB 知，EM ⊥PB ，于是EM ⊥平面PBC .又EM ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⊥平面PBC.(2)假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线EB ，ED ，EP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz ，不妨设PE ＝EB ＝2，显然平面BEN 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)，设BN ＝m (0<m <2)，则＝(1,0,1)，＝(2，m,0)．设平面EMN 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则由·n 2＝·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (1，0，1)·(x ，y ，z )＝0(2，m ，0)·(x ，y ，z )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝02x ＋my ＝0， 故可取n 2＝(m ，－2，－m )，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝(0，0，1)·(m ，－2，－m )2m 2＋4＝－m 2m 2＋4， 依题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 2m 2＋4＝66， 解得m ＝1∈(0,2)，此时N 为BC 的中点．综上知，存在点N ，使得二面角B EN M 的余弦值为66， 此时N 为BC 的中点．20．解析：(1)根据散点图可以判断，y ＝c e dx 更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型； 对y ＝c e dx 两边取自然对数，得ln y ＝ln c ＋dx ；令z ＝ln y ，a ＝ln c ，b ＝d ，得z ＝a ＋bx ； 因为＝∑i ＝17(x i －x )(z i －z )∑i ＝17 (x i －x )2＝＝40.1820147.7143≈0.272， ＝z －x ＝3.612－0.272×27.429≈－3.849；所以z 关于x 的回归方程为＝0.272x －3.849；所以y 关于x 的回归方程为＝e 0.272x －3.849.(2)①由f (p )＝C 35·p 3·(1－p )2， 得f ′(p )＝C 35·p 2(1－p )(3－5p )， 因为0<p <1，令f ′(p )>0，得3－5p >0，解得0<p <35； 所以f (p )在⎝⎛⎭⎫0，35上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫35，1上单调递减，所以f (p )有唯一的极大值为f ⎝⎛⎭⎫35，也是最大值；所以当p ＝35时，f (p )max ＝f ⎝⎛⎭⎫35＝216625； ②由①知，当f (p )取最大值时，p ＝35，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫5，35， 所以X 的数学期望为E (X )＝5×35＝3， 方差为D (X )＝5×35×25＝65. 21．解析：(1)设以AP 为直径的圆的圆心为B ，切点为N ，则|OB |＝2－|BA |，∴|OB |＋|BA |＝2.取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′P ，故|A ′P |＋|AP |＝2(|BO |＋|BA |)＝4>2.所以点P 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝1，曲线C 方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋(2－3t )，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线DE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)， 故y S ＝y 1x 1－2(x 0－2)， 同理y T ＝y 2x 2－2(x 0－2)； 所以2y 0＝y S ＋y T ＝y 1x 1－2(x 0－2)＋y 2x 2－2(x 0－2)， 即2y 0x 0－2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1t (y 1－3)＋y 2t (y 2－3)＝2y 1y 2－3(y 1＋y 2)t [y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋3]③ 联立⎩⎨⎧x ＝ty ＋(2－3t )3x 2＋4y 2－12＝0， 化简得(3t 2＋4)y 2＋(12t －63t 2)y ＋9t 2－123t ＝0，所以y 1＋y 2＝63t 2－12t 3t 2＋4，y 1y 2＝9t 2－123t 3t 2＋4代入③得，2y 0x 0－2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t 3t 2＋4t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t 3t 2＋4＋3 ＝－123t 12t＝－3⇒3x 0＋2y 0－23＝0， 所以点M 都在定直线3x ＋2y －23＝0上．22．解析：(1)证明：对f (x )求导得f ′(x )＝e x ＋sin x －a ，显然e x >0，sin x ≥－1，所以e x ＋sin x －a >0－1－a ≥0，即f ′(x )>0，所以f (x )在其定义域上是单调递增函数，故f (x )无极值点；(2)解法一：对g (x )求导得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－a ＋sin x (x >－1)， 又注意到g ′(0)＝2－a ，令g ′(0)＝2－a ＝0，得a ＝2.此时g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ， 令h (x )＝g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ， 则h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x ， 显然，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上，e x >1>1(x ＋1)2，cos x >0， 此时h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， 所以h (x )>h (0)＝0，即g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x >0； 又当x ∈(－1,0)时，令s (x )＝(x ＋1)2e x ，t (x )＝(x ＋1)2cos x ，则s ′(x )＝(x ＋1)(x ＋3)e x >0，s (x )是(－1,0)上的增函数，所以s (－1)<s (x )<s (0)，即0<s (x )<1，故存在区间(x 1,0)⊂(－1,0)，使s (x )>12，即e x >12(x ＋1)2； 又0<(x ＋1)2<1，cos 1<cos x <1，即0<t (x )<1，故存在区间(x 2,0)⊂(－1,0)，使t (x )>12，即cos x >12(x ＋1)2， 现设(x 1,0)∩(x 2,0)＝(x 0,0)，则在区间(x 0,0)上，e x >12(x ＋1)2，cos x >12(x ＋1)2同时成立， 即h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0， 故h (x )在(x 0,0)上是增函数，h (x )<h (0)＝0.从而存在区间(x 0,0)，使得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x <0； 因此存在a ＝2，使得g (x )在x ＝0处取得极小值．解法二：x ＝0是f (x )的极小值点的必要条件是f ′(0)＝2－a ，即a ＝2.此时，g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x ， 显然当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时， g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x≥1＋x ＋11＋x－2＋sin x >0； 当－14<x <0时， (1＋x )⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2＝1＋x 22(3x ＋1)>1⇒11＋x<1－x ＋32x 2. 令m (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 22e －x ，m ′(x )＝－x 22e －x ≤0， 故m (x )是减函数．因此，当x <0时，m (x )>m (0)＝1，即e x <1＋x ＋x 22. 令h (x )＝sin x －12x ，h ′(x )＝cos x －12. 当－1<x <0时，h ′(x )>cos 1－12>0， 故h (x )在(－1,0)上单调递增．因此，当－1<x <0时，h (x )<h (0)＝0，即sin x <12x . 故当x ∈⎝⎛⎭⎫－14，0时， g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x ≤⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2－2＋x 2＝2x 2＋x 2<0； 因此，a ＝2时x ＝0是g (x )的极小值点．。