高中数学必修五1.2应用举例精品PPT课件
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新人教B版必修五1.2《应用举例》ppt课件1
在等腰Rt△ACD中，故
CD 2 AC 2 16 8 2 16( 3 1)
2
2 sin15 sin15
∴山的高度为16( 3 1) 米。
例3 杆OA、OB所受的 力（精确到0.1）。
700 500
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测，台风中心位于城市A的南偏东300方 向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的 速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭 的范围为圆形区域，半径为120km。问几小
所求A、B两地间的距离为100 5 米。
测量垂直高度
1、底部可以到达的；
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
2、底部不能到达的 测 量 边 CD ， 测 量 ∠ C 和 ∠ ADB ，
AB
CD
cot C cot ADB
例题2：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A的俯 角 60 ，在塔底 C处测得点 A的俯角 45 ， 已知铁塔BC部分高 32 米，求山高CD。
解：在△ABC中，∠ABC=30°， ∠ACB =135°， ∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC) =180°－(135°+30°)=15° 又BC=32, 由正弦定理 BC AC ,
sin BAC sin ABC
得 AC BC sin ABC 32sin 30 16
sin BAC sin15 sin15
时后该城市开始受到台风的侵袭（精确到 0.1h）?
解应用题的一般步骤是：
1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这 些三子角形，求得数学模型的解。 4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而 得出实际问题的解。
新课标高中数学人教A版必修五全册课件1.2应用举例
可以推导出下面的三角形面积公式： 2
1 S ab sin C
2 S 1 bc sin A
2 S 1 ac sin B
2
第七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲解范例：
例1. 在ABC中，根据下列条件，求三角 形的面积S（精确到0.1cm） (1) 已知a＝14cm, c＝24cm, B＝150o; (2) 已知B＝60o, C＝45o, b＝4cm; (3) 已知三边的长分别为a＝3cm, b＝4cm,
cos A cos B
的三角形形状.
第十三页，编辑于星期日：十三点 十七分。
变式练习2：
判断满足 sin C sin A sin B 条件 cos A cos B
的三角形形状.
提示：
利用正弦定理或余弦定理，“化
边为角”或“化角为边” (解略)直角 三角形.
第十四页，编辑于星期日：十三点 十七分。
1 S ab sin C
2
第五页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
根据以前学过的三角形面积公式 S 1 ah, 可以推导出下面的三角形面积公式： 2
1 S ab sin C
2 S 1 bc sin A
2
第六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
根据以前学过的三角形面积公式 S 1 ah,
练习：
教材P.18练习第1、2、3题.
第十五页，编辑于星期日：十三点 十七分。
课堂小结
利用正弦定理或余弦定理将已知
条件转化为只含边的式子或只含角的
三角函数式，然后化简并考察边或角
的关系，从而确定三角形的形状.特别 是有些条件既可用正弦定理也可用余 弦定理甚至可以两者混用.
1 S ab sin C
2 S 1 bc sin A
2 S 1 ac sin B
2
第七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲解范例：
例1. 在ABC中，根据下列条件，求三角 形的面积S（精确到0.1cm） (1) 已知a＝14cm, c＝24cm, B＝150o; (2) 已知B＝60o, C＝45o, b＝4cm; (3) 已知三边的长分别为a＝3cm, b＝4cm,
cos A cos B
的三角形形状.
第十三页，编辑于星期日：十三点 十七分。
变式练习2：
判断满足 sin C sin A sin B 条件 cos A cos B
的三角形形状.
提示：
利用正弦定理或余弦定理，“化
边为角”或“化角为边” (解略)直角 三角形.
第十四页，编辑于星期日：十三点 十七分。
1 S ab sin C
2
第五页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
根据以前学过的三角形面积公式 S 1 ah, 可以推导出下面的三角形面积公式： 2
1 S ab sin C
2 S 1 bc sin A
2
第六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
根据以前学过的三角形面积公式 S 1 ah,
练习：
教材P.18练习第1、2、3题.
第十五页，编辑于星期日：十三点 十七分。
课堂小结
利用正弦定理或余弦定理将已知
条件转化为只含边的式子或只含角的
三角函数式，然后化简并考察边或角
的关系，从而确定三角形的形状.特别 是有些条件既可用正弦定理也可用余 弦定理甚至可以两者混用.
数学人教版必修五《1.2应用举例》(共19张PPT)
55 sin 75
55 sin 75 66(m)
sin(180 51 75 ) sin 54
答：A,B两点间的距离为66米。
思考
如何测定河对岸两点A、B间的距离？
B A
导入 两个不可到达点的问题
例2、如图, A,B两点都在河的对岸（不可到达），设 计一种测量，求A,B两点距离的方法。 解：如图，测量者可 以在河岸边选定两点 C、D，设CD=a， ∠BCA=α，∠ACD=β， ∠CDB=γ，
❖ You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
❖
导入 一个不可到达点的问题
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离。
探究载客游轮能否触礁
一轮船在海上由西向东航行，测得某岛M在A处
的北偏东 角，前进4km 后，测得该岛在北偏
东 角，已知该岛周围3.5 范围内有暗礁，现 该船继续东行。 (1)若 2600，问该船有无触礁危险？ 如果没有请说明理由；
(2)如果有，那么该船自 处向东航行 多远会有触礁危险
探究载客游轮能否触礁
∠ADB=δ。
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C 到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余 弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
例题讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D 两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ。在 △ADC和△BDC中，应用正弦定理得
数学必修五1.2应用举例(公开课)课件
：例1： 如何测定河两岸
解三角形的应用---实地测量举例
两点A、B间的距离？
A
B
想一想： 如何测定河两岸两点A、
解三角形的应用---实地测量举例
B间的距离？
在B的同一侧选定一点C
A
α
β
C
B
想一想： 如何测定河两岸两点A、
解三角形的应用---实地测量举例 A
B间的距离？
α β
C B
55
若BC=55, ∠α=510 ,α 0 ∠ β=75 ,求AB的长.
简解:由正弦定理可得
AB/sinα=BC/sinA
A
α
β
C
B
55
问题一：测量距离问题
（2）：两点都不可到达
例2、 如何测定河对岸两点A、B
解三角形的应用--实地测量举例
间的距离？
如图在河这边取一点D，构造三 角形ABD，能否求出AB?为什么？？
的应用
我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。 C 坡面距离 α 水平距离 坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离 坡角α: tanα=垂直距离/水平距离 垂 直 距 离
解三角形的应用---实地测量举例
两点A、B间的距离？
A
B
想一想： 如何测定河两岸两点A、
解三角形的应用---实地测量举例
B间的距离？
在B的同一侧选定一点C
A
α
β
C
B
想一想： 如何测定河两岸两点A、
解三角形的应用---实地测量举例 A
B间的距离？
α β
C B
55
若BC=55, ∠α=510 ,α 0 ∠ β=75 ,求AB的长.
简解:由正弦定理可得
AB/sinα=BC/sinA
A
α
β
C
B
55
问题一：测量距离问题
（2）：两点都不可到达
例2、 如何测定河对岸两点A、B
解三角形的应用--实地测量举例
间的距离？
如图在河这边取一点D，构造三 角形ABD，能否求出AB?为什么？？
的应用
我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。 C 坡面距离 α 水平距离 坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离 坡角α: tanα=垂直距离/水平距离 垂 直 距 离
(人教B版)高中数学必修五：1.2《应用举例(2)》ppt课件
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人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例 阅读与思考 海伦和秦九韶》示范课件_25
c
B
1 a2c2 4
1 4
a
2c
2
a2
c2 b2 2ac
2
1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2 ]
4
2
即 S 1 [a2c2 (a2 c2 b2 )2] .
4
2
思考：除了 S 1 acsin B ，我们还学习过哪些三角形面积公式？ 2
方法：利用余弦定理求出 cos B ，再根据 S 1 acsin B 进行证明.
2
证明：由余弦定理： cos B a2 c2 b2 2ac
S 1 ac sin B 1 ac
2
2
1 cos2 B 1 ac 2
1
a2
c2 2ac
b2
2
C
b
a
A
秦九韶的“大衍求一术”
比西方 1801 年著名数学家高斯建立的同余理论早 554 年，被西方 称为“中国剩余定理”。
秦九韶的任意次方程的数值解
领先英国人霍纳 572 年。
秦九韶的三斜求积术
秦九韶在 1247 年独立提出了“三斜求积术”， 虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与 海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空 白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学 水平。
2、《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的 一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水 平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜 幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]
![高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/090c01fd90c69ec3d4bb75af.png)
sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
新课标高中数学人教A版必修五全册课件1.2应用举例(四)
变式练习1：
已知在△ABC中，B＝30o，b＝6， c＝6 3, 求a及△ABC的面积S.
变式练习2：
判断满足 sinC sin A sin B 条件 cos A cos B
的三角形形状.
变式练习2：
判断满足 sinC sin A sin B 条件 cos A cos B
的三角形形状.
C
A
B
在HR这个职业发展路径上,同样存在多种发展方向,例如近年来越来越多的HRD来到商学院进修DBA学位,一方面为自身在专业领域发展进行提升和突破,另外一方面也为自己进入高等学府担任企业实践教 授获得了入场资格，随后，与会领导为全体南非留学生颁发结业证书，并与他们合影留念，王建利讲话指出,榆林能源科技职业学院成立,是陕西省高等职业教育发展的一件大喜事,希望学院准确把握高等 职业教育的时代特征,落实立德树人根本任务,培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，fem https:///fem，一束光项目将继续本着软性公益、持续公益、补充式的差异化公益的 发展理念，持续关注偏远乡村儿童课外阅读与艺术教育现状，规划一年内在大凉山州和西昌市落地100所公益学校，让更多偏远地区儿童通过光影感知区别于传统课堂的现代化启蒙教育，图：干净、整 洁、采光、通风好的大厦可供上万个IT精英人才共同学习成长基地，楼上楼下的距离即为上课休息的距离，非常有利于师生间的学习交流，且经过系 统的学习后学员可就近将自贸区内的大批CBD企业作为择业的首选，就业前景十分广泛，从更宏观的视角分析,未来的社会生产要求企业在平台和生态系统中竞争合作,管理的重点必将突破组织边界,形成 互动性更强、更加动态的内外部多方协作关系
提示：
利用正弦定理或余弦定理，“化 边为角”或“化角为边” (解略)直角 三角形.
人教A版数学必修五1.2.应用举例 课件 (共34张PPT)
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
D A C B
解：在⊿ABC中，∠BCA= 90° +β, ∠ABC= 90° -α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
BC AB sin( ) sin( 90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( )
向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距
离 A0 A ）（精确到1mm）
解 题 过 程
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝340mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得： BC sin C 85 sin 80 sin A 0.2462 AB 340
AB sin A 5 sin 15 BC 7.4524(km). sin C sin 10
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答：山的高度约为1047米。
变式：某人在M汽车站的北偏西200的方 向上的A处，观察到点C处有一辆汽车 沿公路向M站行驶。公路的走向是M站 的北偏东400。开始时，汽车到A的距离 为31千米，汽车前进20千米后，到A的 距离缩短了10千米。问汽车还需行驶 多远，才能到达M汽车站？
例3：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测 得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求 此山的高度CD 分析：要测出高CD,只要测出
高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知 条件，可以计算出BC的长。
例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距 离精确到0.01n mile）?
D A C B
解：在⊿ABC中，∠BCA= 90° +β, ∠ABC= 90° -α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
BC AB sin( ) sin( 90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( )
向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距
离 A0 A ）（精确到1mm）
解 题 过 程
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝340mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得： BC sin C 85 sin 80 sin A 0.2462 AB 340
AB sin A 5 sin 15 BC 7.4524(km). sin C sin 10
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) 答：山的高度约为1047米。
变式：某人在M汽车站的北偏西200的方 向上的A处，观察到点C处有一辆汽车 沿公路向M站行驶。公路的走向是M站 的北偏东400。开始时，汽车到A的距离 为31千米，汽车前进20千米后，到A的 距离缩短了10千米。问汽车还需行驶 多远，才能到达M汽车站？
例3：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测 得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求 此山的高度CD 分析：要测出高CD,只要测出
高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知 条件，可以计算出BC的长。
例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距 离精确到0.01n mile）?
人教A版高中数学必修五课件高二《1.2应用举例(二)》
课后作业
1.阅读必修5教材P.13到P.16; 2.2.《习案》作业五.
讲授新课
例1.AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建 筑物高度AB的方法.
A
B
讲解范例： 组卷网
例2.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上
一点A的俯角＝54o40'，在塔底C处测得
A处的俯角=50o1'.
B
已知铁塔BC部分
的高为27.3m， 求出山高CD(精
C
确到1m).
D
A
思考：
有没有别的解法呢？若在△ACD中 求CD，可先求出AC.思考如何求出AC？
B
C
D
A
讲授新课
例3.如图，一辆汽车在一条水平的公路上 向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处 一山顶D在东偏南15o的方向上，行驶5km 后到达B处，测得此山顶在东偏南25o的方 向上，仰角为8o，求此山的高度CD.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1.2应用举例(二)
课题导入
现实生活中，人们是怎样测量底部 不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水 平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海
A
拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方 C B
面的问题
讲授新课
例1.AB是底部B不可到达的一个建筑物， A为建筑物的最高点，设计一种测量建 筑物高度AB的方法.
思考：
1.欲求出CD，大家思考在哪个三角形中 研究比较适合呢？
2.在△BCD中，已知BD或BC都可求出 CD，根据条件，易计算出哪条边的长？
练习：
教材P.18练习第1、2弦定理来解题时， 要学会审题及根据题意画方位图，要懂 得从所给的背景资料中进行加工、抽取 主要因素，进行适当的简化.
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练习讲解
已知△ABC的两边AB＝1.95m，AC＝1.40m， 夹角A＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
C
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A
1.952 1.402 21.951.40 cos 6620
3.751
A
BC 1.89(m)
B
答：BC长约1.89m。
把测量数据代人，CD 15（0 m).
答：山的高度约为150米.
问题三：测量角度问题
例6、如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行,需要航行多少距离(角度精确到0.10 , 距离精 确到0.01nmile).
问题二：测量高度问题
（1）：底部不可以到达
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的 最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法.
解：选择一条水平基线HG,使H ,G, B三点在同一条直线上。
由在H ,G,两点用测角仪测得A的仰角分别是
，，CD a,测角仪器的高是h.
在ACD中，AC= a sin , sin( )
复习
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
a2 b2 c2 2bc cos A 余弦定理： b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
余弦定理推论：
cos A b2 c2 a2 , 2bc
c2 a2 b2
cos B
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
(1)a 2 3, b 6, c 3 3 (2)b 1, c 2, A 105o (3)A 45o, B 60o, a 10 (4)a 2 3, b 6, A 30o
第4小题A变更为A=150o呢？ 无解
问题一：测量距离问题
例1、如图,设A, B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离. 测量者在A的同侧, 在所在的河岸边选定一点C , 测出AC的 距离是55m,BAC 510,ACB 750,求A, B两点间的距离 (精确到0.1m).
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得 CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和 ⊿BDC中，应用正弦定理得
AC
asin( )
sin180 (
)
a sin( sin(
)
)
BC
asin
sin180 (
)
a
sin(
,
2accos C a2 源自2 c2 . 2ab四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边 和角。
（3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他 两个角； （4）已知三边，求三个角。
下列解△ABC问题, 分别属于那种类型？根据哪个 定理可以先求什么元素？
解：在ABC中，BCA=900 + , ABC 900 -, BAC= , BAD .
根据正弦定理，AB= BC sin(900 + ) BC cos . sin( ) sin( )
解RtABD,
得BD=ABsinBAD BC cos sin . sin( )
CD=BD-BC= BC cos sin BC. sin( )
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到 达),设计一种测量A, B两点间距离的方法.
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达）， 设计一种测量两点间的距离的方法。
分析：用例1的方法，可以计算出河的 这一岸的一点C到对岸两点的距离，再 测出∠BCA的大小，借助于余弦定理 可以计算出A、B两点间的距离。
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AB AC sin ACB 55sin ACB sin ABC sin ABC
55sin 75 sin(180 51 75 )
55sin 75 sin 54
65.7(m)
答：A,B两点间的距离为65.7米。
问题一：测量距离问题
sin
)
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦 定理计算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
问题 1:什么叫仰角与俯角?
仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角.
练习讲解
2．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设 计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）．已 知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支 点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
AB=AE+h
=ACsin +h = a sin sin h.
sin( )
问题二：测量高度问题
（2）：底部可以到达
例4、如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54040', 在塔底
C处测得A处的俯
角 5001'.已知铁
塔BC部分的高为 27.3m, 求出山高C D(精确到1m).
夹角为 620，AC长为1.40m，计算BC的长
（保留三个有效数字）．
（1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样 的三角形？
最大角度
在△ABC中已知什么， 要求什么？
抽象数学模型
C
1.40m
600
A
6020
1.95m
D
B
已知ABC的两边AB 1.95, AC 1.40, 夹角A 66020,求第三边的长.