【全国百强校】广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学（理）试题
【国家百强校】2019届广东省华附、省实、广雅、深中高三上学期期末联考数学(理)试题(PDF版)
23. （10 分）选修 4－ 5：不等式选讲 已知函数 f x x m 2 x 3m m 0 . （1）当 m 1 时，求不等式 f x 1 的解集； （2）对于任意实数 x ， t ，不等式 f x 2 t t 1 恒成立，求实数 m 的取值范围.
D.
3 i 2
2
D. a 2b
an an 1
D.
32 1 2 n 3
5.如图是一个算法流程图，若输入 n 的值为 13 ，输出 S 的值是
46 ，则 a 的取值范围是 A. 9 a 10 B. 9 a 10 C. 10 a 11 D. 8 a 9
1.已知 z 4.祖暅原理： “幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的 几何体， 如在等高处的截面积恒相等， 则体积相等.设 A 、B 为 两个同高的几何体， p : A 、 B 的体积不相等， q : A 、 B 在 等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知， p 是 q 的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2页
形，则实数 a 的值为 ※※ . 14.某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐 4 吨、硝酸盐 18 吨；生产一车皮乙肥料 需要磷酸盐 1 吨、硝酸盐 15 吨. 已知生产一车皮甲肥料产生的利润是 10 万元，生产一车皮乙肥料产生的 利润是 5 万元. 现库存磷酸盐 10 吨、硝酸盐 66 吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润 是 ※※ 万元.
2. 对于 A， B，根据反比例函数的性质可知： a b, ab 0
1 1 ，所以 A， B 都不对 而a 1 ，所以选项 C 正确；对于 D，取反例： a 1.1, a 2 1.21, b 0.8, 2b 1.6 .
2019届广东省深圳市高级中学高三适应性考试(6月)理科综合试卷及答案
2019届深圳市高级中学高三适应性考试（6月）理科综合试卷本试卷分选择题和非选择题，共 13页，满分300分，考试时间150分钟（09:00-11：30）可能用到的相对原子质量： H 1 ; O 16; N 14; S 32; Fe 56 ; Ba 137第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．人成骨细胞能合成和分泌一种骨形态发生蛋白，该蛋白质在骨骼的生长、发育中具有重要作用。
下列有关说法正确的是A．骨形态发生蛋白基因只存在于部分组织细胞中B．骨形态发生蛋白基因的表达依赖于逆转录酶C．骨形态发生蛋白的合成、加工和分泌需线粒体供能D．肝细胞和骨细胞是骨形态发生蛋白作用的靶细胞2．科学家研究发现，叶绿体中色素接受了太阳光的能量后，激发了一系列的电子传递过程，同时将水光解。
下列叙述错误的是A．水光解发生在类囊体薄膜上，其产物是[H]和氧B．水的光解速率与色素含量、光照强度等有关C．类囊体薄膜上合成ATP所需的能量来自叶绿体色素吸收的光能D．水光解产生的[H]和氧，可在细胞中直接参与有氧呼吸3．遗传学的研究使人们对基因的认识经历了多个重要的阶段。
下列对科学家的研究或成果的描述，不正确的是A．孟德尔提出基因是控制生物性状遗传的遗传物质B．摩尔根的研究表明基因的物质载体是染色体C．科学家普遍认为基因是决定蛋白质结构中氨基酸序列的遗传物质单位D．沃森和克里克提出了DNA分子双螺旋结构模型4．一个A型血友病（用B和b表示一对等位基因）患者家系图如图所示。
下列说法错误的是A．该病有隔代遗传倾向，属于伴X染色体隐性遗传病B．该致病基因在亲代与子代间的传递只能由母亲传给其儿子C．该家族Ⅰ-1、Ⅰ-2个体的基因型分别为X B X b、X B YD．Ⅲ-1的父母再生一个健康孩子的几率是3/45．数学方法在生态学研究中广泛应用，而每个数学模型的应用都具有一定的限度和范围。
广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)数学(理)试题及答案
2019届高三年级适应性测试理科数学本试卷共6页，23小题，满分150分， 考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合{|A x y =，2{|log 1}B x x =≤，则AB =（A ）{|31}x x -≤≤ （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|32}x x -≤≤ （D ）{|2}x x ≤2．已知3i1iz -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 （A ）i - （B ）1- （C ） 1 （D ）23．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -4．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) 2-5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为(A)(B)(C)(D)6．已知51(1)(2)a x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(A) 80- (B) 40- (C) 40 (D) 807．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不．正确的是. (A)样本中的女生数量多于男生数量(B)样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 (C)样本中的男生偏爱理科 (D)样本中的女生偏爱文科8．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，l AK ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是(A) 4 (B) 33 (C) 34 (D) 89．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====若12,CP CQ ⋅= 则ADC ∠= 5()6A π 3()4B π 2()3C π ()2D π10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于, P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三 点共线，则椭圆C 的离心率为 (A)13 (B) 23 (C) 83 (D) 32或8311． 设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）412． 设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于,,Q R 则111||||||PQ PR PS ++ (A) 有最大值而无最小值 (B) 有最小值而无最大值 (C) 既有最大值又有最小值，且两者不相等 (D)是一个与平面QRS 无关的常数第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 14. 已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x =π对称，则cos2_____ϕ=． 15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为的等边三角形，PAB ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_________．16．已知函数22, 0,()e , 0,x x x f x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．HPABCDM N19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．20. （本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx y ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bxy ae =． （a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑ ．③参考数据： 5.46235e≈， 1.43 4.2e ≈．表中1ln ,10i i i i uy u u ===∑．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k +∈N 上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l 的参数方程为2,,x t y t =--⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ．（1）写出曲线2C 的参数方程;（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为,A B ，求11PA PB+的值．23．[选修4-5：不等式选讲](10分）已知实数正数x , y 满足1x y +=． （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2019届高三年级适应性测试理科数学参考答案及说明13．___1_________； 14．____35____； 15．__48π___； 16. ___3ln22-_____ .17．（本小题满分12分）工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.AC 解：连接,在4154AC 中，ABC 22=+=∆....................................................3分414sin ,415cos =∠=∠ACB ACB .…………………………….5分.)32cos(cos ACB ACD ∠-=∠π=412534414*23415*)21(-=+-…….9分312-65412534*3*412-341AD 中，ACD 在2=-+=∆…….12分18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN．⊥；（1）证明：MN PC==，（2）当H为PC的中点，PA PCPA与平面ABCD所成的角为60︒，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．【解析】（1）证明：连结AC 、BD 且ACBD O =，连结PO ．因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC 、PO ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥， 因为，//BD 平面AMHN ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ，MN ⊥平面PAC ，所以，MN PC ⊥． ……………………………….5分 （2）由（I ）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒， 所以，12AO PA =，2PO PA =，因为，PA =，所以，36BO PA =. 以OA ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系……….…..7分 记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,,0)3B -，(1,0,0)C -，(0,,0)3D ，P ，1(2H -，所以， BD =，3(2AH =-，(AD =-.……………..8分 记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即03302y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，z =，所以，(2,0,n =，.…………………….…..10分 记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，3sin |cos ,|||||||n AD n AD n AD θ⋅=<>==.………………………………………………………………………………………….…..11分 所以，AD 与平面AMHN所成角的正弦值为4.………………………………..…..12分19. （本小题满分12分）如图：在平面直角坐标系xOy的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意，222,c a a b c ⎧⎪⎨⎪=+⎩解得223a b =，又221213a b +=，解得223,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．------------------------------------------4分（2）①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易得(1)G ±；--------------------------------------------------------------6分②当过点G 的椭圆C的切线的斜率均存在时，设000(,), G x y x ≠ 切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k --+=，由此得2220000(3)210x k x y k y --+-=，--------------------------------------8分设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为12,k k ，所以20122013y k k x -=-．因为两条切线相互垂直，所以2020113y x -=--，即220004(x y x +=≠，---------9分 由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上， 所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，2≤，所以m -≤-------------------------11分综上所述，m的取值范围为[-．---------------------------12分 20. （本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx y ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bxy ae =． （a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．解：（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，……1分 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程。
2019年6月广东省深圳市高级中学高三高考适应性考试理科综合试题及答案
绝密★启用前广东省深圳市高级中学2019届高三高考适应性考试理科综合试题2019年6月本试卷分选择题和非选择题，共 13页，满分300分，考试时间150分钟（09:00-11：30）可能用到的相对原子质量： H 1 ; O 16; N 14; S 32; Fe 56 ; Ba 137第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．人成骨细胞能合成和分泌一种骨形态发生蛋白，该蛋白质在骨骼的生长、发育中具有重要作用。
下列有关说法正确的是A．骨形态发生蛋白基因只存在于部分组织细胞中B．骨形态发生蛋白基因的表达依赖于逆转录酶C．骨形态发生蛋白的合成、加工和分泌需线粒体供能D．肝细胞和骨细胞是骨形态发生蛋白作用的靶细胞2．科学家研究发现，叶绿体中色素接受了太阳光的能量后，激发了一系列的电子传递过程，同时将水光解。
下列叙述错误的是A．水光解发生在类囊体薄膜上，其产物是[H]和氧B．水的光解速率与色素含量、光照强度等有关C．类囊体薄膜上合成ATP所需的能量来自叶绿体色素吸收的光能D．水光解产生的[H]和氧，可在细胞中直接参与有氧呼吸3．遗传学的研究使人们对基因的认识经历了多个重要的阶段。
下列对科学家的研究或成果的描述，不正确的是A．孟德尔提出基因是控制生物性状遗传的遗传物质B．摩尔根的研究表明基因的物质载体是染色体C．科学家普遍认为基因是决定蛋白质结构中氨基酸序列的遗传物质单位D．沃森和克里克提出了DNA分子双螺旋结构模型4．一个A型血友病（用B和b表示一对等位基因）患者家系图如图所示。
下列说法错误的是A．该病有隔代遗传倾向，属于伴X染色体隐性遗传病B．该致病基因在亲代与子代间的传递只能由母亲传给其儿子C．该家族Ⅰ-1、Ⅰ-2个体的基因型分别为X B X b、X B YD．Ⅲ-1的父母再生一个健康孩子的几率是3/45．数学方法在生态学研究中广泛应用，而每个数学模型的应用都具有一定的限度和范围。
2019届广东省深圳中学高三5月适应性考试数学(理)试题(解析版)
2019届广东省深圳中学高三5月适应性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|560A x x x =-+≤，集合{}|213B x x =->，则集合A B ⋂=（ ） A ．{}|23x x ≤≤ B ．{}|23x x ≤< C ．{}|23x x <≤ D ．{}|13x x -<<【答案】C【解析】试题分析：因为{}2|560A x x x =-+≤，{}|213B x x =->=所以A B ⋂={}|23x x <≤. 【考点】交集及其运算点评：本题以一元不等式及绝对值不等式为载体考查交集运算，关键是准确解出不等式，再利用数轴得出要求交集． 2．已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i - B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，进而可得结果. 【详解】 因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i --++====+--+, 所以2z i =-，故z 的虚部为1-，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）A ．2nB ．3nC ．122n +-D ．31n -【答案】A【解析】利用等比数列{}1n a +的前三项成等比数列，求得1q =，再求数列{}n a 的前n 项和n S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .因为数列{}1n a +也是等比数列，所以22213(1)(1)(1)210a a a q q +=++⇒-+=，解得：1q =，所以12n S na n ==.选A. 【点睛】本题考查等比数列的性质、前n 项和n S ，考查基本量法求解问题.4．若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．-2【答案】A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-，α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin211tancos cos sin (cossin)2222221tansin cossin(cossin)(cossin)222222221cos2αααααααααααααααα++++===---+-2231()1sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα+-++====---． 【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式．5．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ===，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元 B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【答案】B【解析】试题分析：由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元），6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故80.76100ˆ.4a=-⨯=，所以回归直线方程为0.76.4ˆ0yx =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出0.76150.4ˆ11.8y=⨯+=（万元）.故选B ． 【考点】线性回归方程．【方法点晴】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算以及数据的处理，属基础题．求线性回归方程为ˆˆˆy bx a =+的方法：（1）先求变量x 的平均值，即1231()n x x x x x n =+++⋅⋅⋅+；（2）求变量y 的平均值，即1231()n y y y y y n=+++⋅⋅⋅+；（3）求变量x 的系数ˆb ，有两个方法： 方法1：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=-+-++-；方法2：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑[]1122222212......n n n x y x yx y nx yx x x nx ++-⋅=⎡⎤+++-⎣⎦；（4）求常数ˆa，即ˆˆay bx =-；（5）最后写出回归方程ˆˆˆy bx a =+. 6．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】D 【解析】【详解】的展开式通项为：，由2100r -=得=5r ，所以的常数项系数为；由2102r -=-得4r =，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是,故选D.7．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不．正确的是( ) A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科 【答案】D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.8．若椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m =（ ）A ．32B ．23C ．83D ．32或83【答案】D【解析】分类讨论，椭圆焦点分别在x 轴和y 轴两种情况，结合椭圆中,,a c b 的关系，求m 值当椭圆焦点在x 轴时，则: 2222,,2a b m c m ===-， 由于椭圆的离心率1,2e =则21242m e -==，解的：m =32当椭圆焦点在y 轴时，则: 222,2,2a m b c m ===-, 由于椭圆的离心率1,2e =则2124m e m-==，解的：m =83故选：D 【点睛】考查学生椭圆的性质的理解，结合离心率求参数值9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为()A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45o【答案】C【解析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC 、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断． 【详解】因为截面PQMN 是正方形，所以PQ ∥MN 、QM ∥PN ， 则PQ ∥平面ACD 、QM ∥平面BDA ， 所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的．【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定，考查了异面直线所成角的定义及求法，属于基础题．10．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =+=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则AM =u u u u v（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】由||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r 可得0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，AB AC ⊥u u u r u u u r，结合2||16BC =u u u r 即可得结果. 【详解】因为2||16BC =u u u r ，所以||4BC =u u u r，又因为22||||||||0AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC +=-⇒+=-⇒⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以AB AC ⊥u u u r u u u r,又因为M 是BC 的中点，所以1||||22AM BC ==u u u u r u u u r,故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=r r r r；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =r r .11．已知函数32ln 21,0,()31,0,x ax x f x ax x x ++>⎧=⎨-+<⎩有四个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．(2,0)-D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用特值法，进行选项排除 【详解】当a=0时：2ln 1,0,()31,0,x x f x x x +>⎧=⎨-+<⎩，令f(x)=0,此时只有两个解，故排除D当a=-1时：32ln 21,0,()31,0,x x x f x x x x -+>⎧=⎨--+<⎩令f(x)=0,结合函数图像不难发现，在x>0时，函数没有零点；在x<0时，只有一个零点；所在a=-1时，共有一个零点，故排除：B,C 故选：A 【点睛】考查函数与方程的关系，根据函数零点的个数求参数的值12．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为13的直线交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线恰过点2F ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 【答案】D【解析】利用双曲线的定义，分别将AF 1，BF 1表示出来，再利用直线的斜率及倾斜角的关系，将所有边长用a,c 来表示，最后利用直角三角形的关系，列出a,c 的方程，再求离心率。
广东省2019届高三适应性考试数学(理)试卷【含答案及解析】
广东省2019届高三适应性考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列各式的运算结果为纯虚数的是A. i(1+i) 2B. i 2 (1-i)C. (1+i) 2D. i(1+i)2. 已知等差数列的前项和为，若，则（）A. 36B. 72C. 144D. 2883. 设变量满足不等式组，则的最小值是（）A. B. C. D.4. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A. 月接待游客逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5. 在△ABC中，，，则的值为（）A. 3B.C.D.6. 已知函数，则A. y = 的图像关于点（1,0）对称________B. 在（0,2）单调递减C. y = 的图像关于直线 x =1对称________D. 在（0,2）单调递增7. 执行右侧的程序框图,当输入的值为4时,输出的的值为2,则空白判断框中的条件可能为A. B. C. D.8. 已知某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的体积为A. B.C. D.9. 直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则C的离心率为A. B. C. D.10. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则A. B. 的图象关于对称C. D. 的图象关于对称11. 过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且 ,则到直线的距离为A. B. C. D.12. 设函数时恒有，则实数 a 的取值范围是A. B. C. D.二、填空题13. 已知向量，且，则 _______ .14. 文渊阁本四库全书《张丘建算经》卷上（二十三）：今有女子不善织，日减功，迟。
深圳市2019届高三第一次模拟考试数学理试题及解析
深圳市2019届高三第一次调研考试数学理试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算可知，再根据共轭复数的概念，即可求解。
【详解】由题意，根据复数的运算可知，所以，其共轭复数为：，故选D。
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，求得集合，，再根据集合的交集的运算，即可求解。
【详解】由题意，求得集合，，所以，【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及集合的交集运算问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及集合交集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
3.设为等差数列的前项和．若，，则的公差为A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式和题设条件，求得，进而求解数列的公差，得到答案。
【详解】依题意，可得，解得，又，所以，所以公差，故选A。
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
4.己知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：（单位：万元）（单位：万元）若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为A. 42万元B. 45万元C. 48万元D. 51万元【答案】C【解析】【分析】根据上表中的数据，求得样本点中心，代入回归直线的方程，求得的值，得到回归直线的方程，即可求解。
【详解】由题意，根据上表中的数据，可得，，即回归方程经过样本点中心，又由线性回归方程为，所以，解得，所以，当时，，故选C.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用问题，其中解答中熟记回归直线方程的性质，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
完整版深圳市2019届高三第一次调研考试数学理科试题
深圳市 2019 届高三第一次调研考试 数学理试题一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项 切合题目要求的．1、复数 z ＝ i （2＋i ）的共轭复数是(A) 1 ＋2i(B) 1 － 2i(C) －1＋ 2i(D) －1－ 2i2、已知会合 A ＝ {x ｜ ylg(2 x) } ，B ＝ { x | x 2 3x 0 } ，则 A ∩ B ＝(A) {x ｜0＜x ＜ 2} (B) {x ｜0≤x ＜ 2} (C) {x ｜ 2＜x ＜ 3}(D) {x ｜2＜x ≤ 3}3、设 S n 为等差数列｛ a n ｝的前 n 项和．若 S 5＝25，a 3＋a 4＝8，则｛ a n ｝的公差为(A ）－ 2（B ）－ 1(C ）1(D ）24．己知某产品的销售额 y 与广告花费 x 之间的关系以下表：$a ，则估计当广告花费为 6 万元时的销售额为若求得其线性回归方程为 y 6.5x（A ）42 万元 （B ）45 万元 （C ） 48 万元 （D ）51 万元5．以下图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一个棱 柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ A ）72（B ）64（C ）48（D ）326．己知直线 x是函数 f （ x ）= sin(2 x)(| |) 与的图象的一条 62对称轴，为了获取函数y ＝f （ x ）的图象，可把函数 y ＝ sin2x 的图象（A ）向左平行挪动个单位长度 （ B ）向右平行挪动个单66位长度（C ）向左平行挪动个单位长度 （ D ）向右平行挪动个单位长度1212uuur uuur7．在△ ABC 中，∠ ABC=60°， BC ＝2AB ＝ 2， E 为 AC 的中点，则 ABgBE ＝（A ）一 2（ B ）一 l（ C ）0（D ） l8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金切割” 的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金切割点，详细方法以下：（l ）取线段 AB ＝2，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 BC ＝ 1AB ，连结 AC ；（ 2）以 C 为圆心， BC 为半径画弧，交 AC 2于点 D ；（ 3）以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交 AB 于点 E ．则点 E 即为线段 AB 的黄金切割点．若在线段AB 上随机取一点 F ，则使得 BE ≤AF ≤AE 的概率约为（参照数据：5 2.236）（ A ）0.236 （ B ）0.382 （ C ） 0.472（D ）0.6189．已知偶函数 f（x）的图象经过点（一1，2），且当 0≤a＜ b 时，不等式f (b)f (a)＜0 恒成立，则使得 f（ x 一 l）＜ 2 成立的 x 的取值范困是b a（A ）（ 0，2）（B）（一 2，0）（C）（－∞， 0）∪（ 2，＋∞）（ D）（－∞，一2）∪（ 0，＋∞）．已知直线y kx(k 0)与双曲线x2y21(a 0, b0) 交于A，B两点，以AB10a2b2为直径的圆恰巧经过双曲线的右焦点F，若△ ABF 的面积为4a2，则双曲线的离心率为（A）2（B）3（C）2（D）511．已知 A ，B， C 为球 O 的球面上的三个定点，∠球面上的动点，记三棱锥 p 一 ABC 的体积为ABC＝60°，AC ＝2，P 为球 O 的V 1，三棱銋 O 一 ABC 的体积为 V 2，若V1的最大值为 3，则球 O 的表面积为V2（A）16（B）64（C）3（D）6 99212．若对于 x 的不等式(1) x 1有正整数解，则实数的最小值为x9（A）6（B）7（C） 8（D）9二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．2x y 4013．设 x， y 知足拘束条件x 1 0，则目标函数z＝ x＋ y 的最大值为．y 014．若(3x)n的睁开式中各项系数之和为32，则睁开式中x 的系数为．x15．己知点 E 在 y 轴上，点 F 是抛物线y2 2 px （p＞0）的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N两点，若点 M 为线段 EF 的中点，且｜ NF ｜＝ 12，则p＝·16、在右图所示的三角形数阵中，用a i, j(i j ) 表示第i行第j个数（ i，j∈ N* ），已知（ i∈N* ），且当 i≥3 时，每行中的其余各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即，若，则正整数m 的最小值为三、 解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （ 17）（本小题满分 12 分）如图， 在平面四边形 ABCD 中， AC 与 BD 为其对角线， 已知 BC =1，且 cosBCD ＝－ 3．5（ 1） 若 AC 均分BCD ，且 AB = 2 ，求 AC 的长；（ 2 ） 若CBD ＝45 ，求 CD 的长．18. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD － 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， BAD=45 ， PD=2， M 为 PD 的中点，E为 AM 的中点，点 F 在线段 PB 上，且 PF=3 FB . （ 1）求证： EF / / 平面 ABCD ；（ 2） 若平面 PDC ⊥ 底面 ABCD ，且 PD ⊥DC ， 求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值． 19.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy 中， 椭圆 C 的中心在座标原点 O ，其右焦点为F(1,0)，且点 (1，3) 在椭圆 C 上．2（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设椭圆的左、 右极点分别为 A 、 B ， M 是椭圆上异于 A ， B 的随意一点，直线 MF交椭圆 C 于另一点N ，直线MB 交直线 x =4于Q 点，求证： A ， N ， Q 三点在同一条直线上． 20.（本小题满分 12 分）某健身机构统计了昨年该机构全部花费者的消 费金额（单位：元），以下列图所示：（ 1）将昨年的花费金额超出 3200 元的花费者称为“健身达人”，现从全部“健身达人” 中随机抽取 2 人，求起码有1 位花费者，其昨年的花费金额超出4000 元的概率；（ 2）针对这些花费者，该健身机构今年欲实行入会制，详情以下表：估计昨年花费金额在(0,1600]内的花费者今年都将会申请办理一般会员，花费金额在内的花费者都将会申请办理银卡(1600,3200](3200,4800]内的花费者都会员，花费金额在将会申请办理金卡会员 .花费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的花费金额.该健身机构在今年末将针对这些花费者举办花费返利活动，现有以下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从一般会员，银卡会员，金卡会员中总合抽取25 位“好运之星”赐予奖赏 :一般会员中的“好运之星”每人奖赏500 元；银卡会员中的“好运之星”每人奖赏600 元；金卡会员中的“好运之星”每人奖赏800元 .方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则以下：从一个装有 3 个白球、 2个红球（球只有颜色不一样）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只好摸一个球. 若摸到红球的总数花费金额 /元为2，则可获取200元奖赏金；若摸到红球的总数为3，则可获取 300 元奖赏金；其余状况不赐予奖赏 .规定每位一般会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果互相独立） .以方案 2 的奖赏金的数学希望为依照，请你展望哪一种方案投资较少？并说明原因. 21.（本小题满分12 分）已知函数 f ( x)e x ( x a2) ，其定义域为(0，＋) .（此中常数e=2.718 28，x是自然对数的底数）（ 1）求函数 f ( x) 的递加区间；（2）若函数f ( x)为定义域上的增函数，且 f (x1) f ( x2)4e ，证明:x1x2 2 .请考生在第 22, 23 题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22.（本小题满分10 分）选修4－ 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为x2t cos（ t 为参数），以坐标y t sin原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为= 2cos ，直线 l 与曲线 C 交于不一样的两点A，B．（1）求曲线 C 的参数方程；（2）若点 P 为直线l与x轴的交点，求11的取值范围．2|PB|2|PA |23.（本小题满分10 分）选修4－ 5：不等式选讲设函数 f (x) =｜ x +1｜+｜x－2｜， g(x) = －x2 + mx +1．（1）当 m =－4 时，求不等式 f (x) g(x) 的解集；（ 2）若不等式 f (x) g(x) 在[－2，－1]上恒成立，务实数m 的取值范围．2深圳市 2019 年高三年级第一次调研考试理科数学试题参照答案及评分标准第 Ⅰ 卷一．选择题1.D2.B3.A4.C5.B6.C7.B8.A9.C10.D11.B12.A11. 分析 : 设△ ABC 的外接圆圆心为 O ，其半径为 r ，球 O 的半径为 R ，且 |OO |d ，依题意可知V 1R d，即 R2d ，明显 R 2d 2 r 2 ，故R2r ，( V 2 ) maxd33又 2rAC 4 ，故 r 2 ， 球 O 的表面积为 4πR216 πr 2 64π，应选 B .sin ABC3 33912. 分析： Q (1 ) x 1 ， x x 9 ，ln x2ln 3 ，Q x N * ，0 ，x 9x（法一）ln x 2ln 3ln x 1 ln xx，令 f ( x)，则 f ( x)x 2，x易知 f (x) 在 (0,e) 上递加，在 (e, ) 上递减，注意到 2<e<3 ，只要考虑f (2) 和 f (3) 的大小关系，ln 2ln8， f (3)ln 3ln 9f (2)f (3) ，又 f (2) 263，6ln 32ln 36 ，即实数的最小值为 6 ，应选 A.只要 f (3)3，即（法二） Qln x 2ln 3， ln x 2ln 3x ，令 k 2ln 3 ，则 ln xkx （ * ），x不等式（ * ）有正整数解，即yln x 在 y kx 的图象上方（或许图象的交点）存在横坐yxln x标为正整数的点，易知直线与曲线 ye相切，如右图所示，ln 2 2k ，或 ln33k ，4ln 36 ，不难判断4ln 3 的最小值为 6 ，应选 A.解得，或ln 26 ，即实数ln 2二．填空：13.314.1515.816.10316. 分析：Q a n ,111an 1,1112) n 1，n 2 ,( n22下边求数列a n,2的通，由意可知 a n ,2 a n 1,1an 1,2,( n3)，a a a11,( n 3) ，即 a a11,( n 3)，n,2n 1,2n 1,12n2n ,2n 1,22n2an,2( an,2an 1,2)( an 1,2a n2,2)(a3,2a2,2)a2,21n52n 2，2Q 数列 a n,2然增，又易知a102,2100a103,2，m 的最小103，故填103．三、解答：解答写出文字明，明程或演算步．（17）（本小分 12分）如，在平面四形ABCD 中，AC与 BD 其角，已知 BC 1，且 cos BCD 3．5（ 1）若AC均分BCD ，且AB 2，求AC的；（ 2）若CBD45，求 CD 的．解：（1）若角AC均分BCD ，即 BCD 2 ACBB CA D（第 17 ）2 ACD，cos BCD 2cos2ACB 13，55Q cos ACB 0 ，cos ACB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分5Q在△ABC中， BC 1， AB 2 ，cos ACB 5 5由余弦定理 AB 2BC 2AC 22BC AC cos ACB 可得：AC22 5AC30，解得AC5，或 AC35（舍去），55AC 的 5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2）Q cos3，BCD5sin BCD1cos2BCD4，⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分5又Q CBD45，sin CDB sin(180BCD45 )=sin(BCD +45 ）2(sin BCD cos BCD )2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分210BC=CD在△ BCD中，由正弦定理，可得sin CDB sin CBDCDBC sin CBD12 分sin=5 ，即CD的5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯CDB【明】本主要观察正弦定理，余弦定理，三角恒等等知，意在观察考生数形合、化与化思想，观察了学生的推理，数学运算等核心修养．18. （本小分12 分）P如，在四棱P ABCD 中，底面 ABCD 是1 的菱形，BAD45 ， PD 2，M PD的中点，ME AM 的中点，点F 在段 PB 上，且 PF3FB .E（ 1）求：EF / /平面ABCD；D FC（ 2）若平面PDC底面 ABCD ，且 PD DC ，A B求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的余弦．（第 18 ）解：（ 1）明：（法一）如，DM中点N，接EN，NF，BD，有NE / / AD，Q NE平面 ABCD ， AD平面 ABCD ，P NE / / 平面 ABCD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又QPNPF3，PD PB4M ∴ NF / / DB ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分N Q NF平面 ABCD ， BD平面 ABCD ，ENF / / 平面 ABCD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分F CD又QNFI NE N，平面 NEF //平面 ABCD，AB8（法二） 如 ， AD 中点 R ， Q 段 BD 上一点，且 DQ3QB .接 ER 、 RQ 、 QF ， 有 ER / / PD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分Q BFBQ 1 ， QF / / PD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分BPBD 41 QF / /ER ，且 QFPD ER ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分4即 QFER 平行四 形，EF / /QR ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分PMEQ EF平面 ABCD ， RQ平面 ABCD ，D F CEF / / 平面 ABCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分ARQ（2）（法一） 解： Q 平面 PDC 底面 ABCD ,且 PD DC ，BPD 底面 ABCD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分如 ，以 D 坐 原点成立空 直角坐 系D xyz ，D(0,0,0)， P(0,0,2) ， A(1,0,0)， C(2 2,0) ，P z 2 ,2uuuruuur(1,0,0) ，∴ BCADuuur2 2, 2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分MPC(,22平面 PBC 的一个法向量r En 1 (x, y, z) ，DFur uuurx 0CRn 1 BC，Qyuruuur，∴2 xA xn 1 PC 02y 2z 0B22ur取 y2 2 ，可得 n 1(0,22,1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分uur又易知平面PAD 的一个法向量 n 2 (0,1,0) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分ur uur平面 PAD 与平面 PBC 所成 二面角| n 1 n 2 | q ， cos uruur| n 1 | | n 2 |2 2 ， 3∴平面 PAD 与平面 PBC 所成 二面角的余弦2 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分3A P PD AD S SP/ / AD / / BC直 SP 平面 PAD 与平面 PBC 的交 ，D 做 DGBC ，交 BC 于G ， 接 PG ， BC平面 PDG ，GPD 即 平面 PAD 与平面 PBC 所成 二面角，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分PQ 底面 ABCD 是 1 的菱形，BAD 45 ，SDGC 等腰直角三角形，M2 DG2，又 PD 2，EFC22．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分DcosAG3B【 明】 本 主要观察了直 与平面平行的判断， 平面与平面垂直的性 ，平面与平面所成角等知 ，意在观察考生的空 想象能力， 推理能力以及运算求解能力．19.（本小 分12 分）在平面直角坐 系 xOy 中， C 的中心在座 原点O ，其右焦点F(1,0)，且点 P(1,3)2在 C 上．（ 1）求 C 的方程；（ 2） 的左、 右 点分 A 、B ，M 是 上异于 A ，B 的随意一点， 直 MF交 C 于另一点 N ，直 MB 交直 x4 于 Q 点，求 ：A ， N ， Q 三点在同一条直上．yMAOFBxNQ（第 19 ） x 4解：（ 1） ( 法一 )C 的方程x 2y 2 1(a b0) ，a 2b 2Q 一个焦点坐 F (1,0)，另一个焦点坐( 1,0)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分由 定 可知2a (1 1)2(30)2(1 1)2(30)2 422a 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分b2a2c2 3 ， C 的方程x2y 21.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分43x2y2(m n0 )，( 法二 ) 不如C的方程1m nQ 一个焦点坐F(1,0)，m n 1，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分13又 Q 点 P(1,3) 在 C 上，1，② ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分2m2n立方程①，②，解得m 4 ， n 3，x2y 2C 的方程1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分43（ 2）M ( x1, y1)，N ( x2, y2)，直MN的方程x my 1，x my 1，由方程x2y2消去 x ，并整理得：(3m24) y26my 9 0 ，1，4 3∵(6m) 2 36(3m2 4) 0 ，∴ y1y26m， y1 y29，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分3m243m24∵直 BM 的方程可表示yy1( x2)，x1 2将此方程与直x 4 立，可求得点Q 的坐(4, 2 y1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分x12uuur uuur2y1∴ AN(x22, y2) ，AQ(6,)x1 2∵ 6 y (x22) 2 y1 6 y2 (x12) 2 y1 (x2 2)2x12x126 y2 (my11)2 2 y1 ( my21)2（my11） 24my1 y2 6( y1 y2 )4m(9)6(6m)3m2243m40 ，my11my11uuur uuur∴ AN / / AQ ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分uuur uuur又向量 AN 和AQ有公共点 A ，故 A ， N ，Q三点在同一条直上．⋯⋯⋯⋯12分【明】本以直与体，及其几何关系背景，利用方程思想解决几何，考学生的推理，数学运算等数学核心修养及思辩能力.20.（本小分12 分）某健身机构了昨年机构全部消者的消金（位：元），以下所示：人数40353025222010684(800,1600](1600,2400] (2400,3200] (3200,4000] (4000,4800]（0,800]消金 / 元（ 1）将昨年的消金超3200 元的消者称“健身达人”，从全部“健身达人”中随机抽取 2 人，求起码有 1 位消者，其昨年的消金超4000 元的概率；（ 2）些消者，健身机构今年欲施入会制，情以下表：会等消金一般会2000卡会2700金卡会3200昨年消金在(0,1600] 内的消者今年都将会申理一般会，消金在(1600,3200] 内的消者都将会申理卡会，消金在(3200,4800] 内的消者都将会申理金卡会.消者在申理睬，需一次性清相等的消金.健身机构在今年末将些消者消返利活，有以下两种方案：方案 1：按分抽从一般会，卡会，金卡会中共抽取25 位“好运之星”予励 :一般会中的“好运之星”每人励500 元；卡会中的“好运之星”每人励 600 元；金卡会中的“好运之星”每人励800 元 .方案 2：每位会均可参加摸游，游以下：从一个装有 3 个白球、 2 个球（球只有色不一样）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只好摸一个球. 若摸到球的数．．．2， 可 得 200 元 励金；若摸到 球的 数 3， 可 得 300 元 励金；其余状况不 予 励 . 定每位一般会 均可参加 1 次摸 游 ； 每位 卡会 均可参加2 次摸 游；每位金卡会 均可参加3 次摸 游 （每次摸 的 果互相独立）.以方案 2 的 励金的数学希望 依照， 你 哪一种方案投 少？并 明原因 .解：（1） 随机抽取的2 人中，昨年的消 金 超 4000 元的消 者有X 人，X 的可能 “ 0,1,2”，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分P(X 1)P( X 1)P(XC 81C 41 C 42 163192)C 122. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分C 12233 33 33（或许 P( X1) 1P(X0) 1C 82 19 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分）C 12233（ 2）方案 1：按分 抽 从一般会 ， 卡会 ，金卡会 中 共抽取 25 位“好运之星”， “好运之星”中的一般会 ， 卡会 ，金卡会 的人数分 ：28 25 7，60 25 15 12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分100100，25 3100依照方案 1 励的 金 ：1750015 600 3 800 14900 元，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分方案 2： 表示参加一次摸 游 所 得的 励金，的可能 “ 0,200,300 ”，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分Q 摸到 球的概率：PC 21 2C 51，50 31 2P(0) C 3023 C 3123 81 ， 555512521P(200) C 32 2336 ，5 51252 38 ，P(300) C 33⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分5 125的散布列0 200 300P 81 36 812512512581368E020030076.8元，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分125125125依照方案 2 励的金：2(28 2 60 3 12) 76.8 14131.2 元，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分Q 方案1励的金 1 多于方案1励的金 2 ，方案 2 投少 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分【明】本以健身背景，考用超几何散布、二散布平散布列模型及分抽与希望等学和概率知数据行剖析理及决议的数学建模能力，合考了考生用数学模型及所学知数据的理能力及建模、解模的数学意图.21.（本小分12 分）已知定域 (0, ) 的函数 f (x)e x( x a2) .（此中常数e=2.718 28 ，是自然x数的底数）（ 1）求函数 f (x) 的增区；（ 2）若函数f (x)定域上的增函数，且 f ( x1 ) f (x2 )4e，明: x1x2 2 .解：（ 1）易知f ( x)e x ( x 1)(x2a)1 分x2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①若 a0 ，由 f (x)0解得x 1，函数 f (x) 的增区 (1,) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分②若 0a1，x(0,a )a( a ,1)1(1,)f (x)00f (x)Z极大]极小Z函数 f (x) 的增区(0,a) 和(1,) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分③若 a1， f ( x)e x (x 1)2 ( x1)x20，函数 f (x) 的增区(0,) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分④若 a1，x(0,1)1(1, a )a( a ,)f (x)00f (x)Z极大]极小Z函数 f (x) 的增区(0,1) 和 (a,) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分上，若 a0 ， f (x) 的增区(1,) ；若 0a1， f (x) 的增区(0, a )和 (1,) ；若 a1，函数 f (x) 的增区(0,) ；若 a1，函数 f (x) 的增区(0,1)和 ( a ,) .（ 2）Q函数 f ( x) (0,) 上的增函数，a1，即 f (x)e x (x12) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x注意到 f (1)2e，故f (x1) f (x2)4e，2 f (1)不如 0x11x2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分( 法一 ) 欲x1x2 2 ，只要 x22x1，只要 f (x2 ) f (2 x1) ，即4e f ( x1 ) f (2x1 ) ，即 f (x1) f (2x1 )4e，令 (x) f (x) f (2x) ， 0x1，只要( x)(1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分( x)2 x2e2 x2 (x1)(3 x)f ( x) f (2 x) e( x 1) [x2(2x)2 ] ，下( x)e2 x2 ( x1)(3x)0 ，0 ，即x2(2x)2由熟知的不等式e x1x 可知 e2 x2(e x1) 2(1x1)2x2，当 0x 1，即 e2 x21 ，x2e2x2 (x1)(3x)x1(3 x)x33x2x110 分x2(2 x) 2( x 2)2( x 2)2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯易知当0x1， x22x10 ，x33x2x1( x1)(x22x 1)0 ，e2x2 (x1)(3x)0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分x2(2x)2(x)0 ，即 (x) 增，即(x)(1)，进而x1x22得.⋯⋯⋯12分( 法二)令 g( x) f ( x)e x ( x 1)2 ( x 1)e x ( x 1)e x ( x 1) ，x2x2g ( x) e x ( x 1)( x 3 x 22)8 分x3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x(0,1)1 (1,)g ( x)g(x)]极小Z由上表可画出f ( x) e x ( x 12) 的 象，如右 所示，x右 虚 所示 函数f ( x) e x ( x 1 2) (0x 1) 的 象x对于点 Q(1, 2e) 称后的函数 h( x) 4e f (2 x) 的 象，中点A(x 1, f ( x 1 )) ， C (2x 1 , f ( x 2 )) ， B( x 2 , f ( x 2 )) ，欲 x 1 x 2 2 ，只要 x 22 x 1 ，只要 点 B 不在点 C 的左 即可，即 当 1 x 2 ，4e f (2 x)f ( x) 恒成立，即4e e2 x( x1 )e x( x 12) ，2 xx即 ex(12 x) e 2 x ( x21 ) 4e ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分xx由基本不等式可知 e x( 1 2x) e 2 x ( x1 )2 e x ( 1 2 x) e 2 x ( x 1 )x2 xx2 x 2e 2 (2 x) x12e 22 (2 x) x14e ，(2 x) x (2x) xe x ( 12 x) e 2 x ( x1 ) 4e ，x2 xx 1 x 22 得 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 12分【 明】本 以基本初等函数及不等式 明 体，考 学生利用 数剖析、解决的能力，分 思想及 推理、数学运算等数学核心修养，拥有 的 合性.22.（本小 分10 分） 修 4－ 4：坐 系与参数方程xOy中，直 l 的参数方程x 2 t cos ,在直角坐 系y t sin ,（ t 参数），以坐 原点 极点， x 的正半 极 成立极坐 系，曲 C 的极坐 方程2 cos ，直 l与曲 C 交于不一样的两点 A ，B ．（ 1）求曲 C 的参数方程；（ 2）若点 P 直 l 与 x 的交点，求11的取 范 ．22PAPB解: （1） 2cos 等价于22 cos ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分将2x 2y 2 ，cosx 代入上式，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分可得曲 C 的直角坐 方程x 2 y 2 2 x0，即 (x 1)2y 21，⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分x 1 cos , 曲 C 的参数方程y sin ,（ 参数） .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分x2 t cos ,（ 2）将t sin,代入曲 C 的直角坐 方程，y整理得： t 2 6t cos 8 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由 意得= 36cos 232 0 ，故 cos 28 ，9又 cos21， cos2(8,1]， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分9方程 t 26t cos 80 的两个 根分 t 1， t 2 ，t 1 t 2 6 cos， t 1 t 28 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分t 1 与 t 2 同号，由参数 t 的几何意 ，可得PAPBt 1t 2t 1 t 2 6 cos ， PA PB t 1 t 28 ，11( PA PB )22 PA PBPA 2PB 222PAPB(t 1 t 2 ) 2 2t 1 t 29cos 24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分(t 1 t 2 )216 ，Q cos 2( 8 ,1] ，99cos 24 (1, 5]，164 1611的取 范 (1, 5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分PA 2PB 24 16【 明】 本 主要考 了极坐 方程与直角坐 方程互化、 直 的参数方程、 直 与的地点关系等知 点，要点考 数形 合思想，体 了数学运算、 推理等核心修养．23.（本小 分 10 分） 修4－ 5：不等式函数 f ( x) x 1 x 2 ， g ( x)x 2 mx 1 ． （ 1）当 m 4 ，求不等式f (x)g( x) 的解集；（ 2）若不等式f ( x)g (x) 在 [ 2, 1] 上恒成立，求 数 m 的取 范 ．2解: (1)f ( x)x 1 x 2 ，2x 1, x 1,f ( x)3, 1x 2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分2x 1, x 2,当 m 4 ， g( x)x 24x 1 ，① 当 x1 ，原不等式等价于x 22 x 0 ，解得 2 x 0 ，2 x1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分② 当1 x2 ，原不等式等价于x 24x 2 0 ，解之，得2 2 x22，1 x22；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分③ 当 x2 ， g( x) g (2) 11，而 f (x)f ( 2) 3 ，不等式 f ( x) g(x) 解集 空集．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分上所述，不等式 f ( x) g(x) 的解集 ( 2, 22) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分（2）①当2 x 1 ， f ( x)g( x) 恒成立等价于 mx x 22x ，又 x0 ，m x 2 ，故 m4 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分② 当1 x1 ， f ( x)g( x) 恒成立等价于g (x) 3恒成立，即 g ( x)min3 ，2g ( 1) 3m 3, 只要g ( 1 ) 即可，即m9 ,32 2m9 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分2910 分上， m ( , ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2【明】本主要考不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知点，要点考分思想，体了数学运算、推理等核心修养．。
广东省2019届高三高考适应性考试数学(理)试卷含答案
广东省2019届高考适应性考试理科数学试卷一：选择题。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数（为虚数单位）是方程的根，则（）A. B. 13 C. D. 53.曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.4.已知实数，满足约束条件，则的最小值为( ）A. -6B. -4C. -3D. -15.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A. B. C. D.6.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（）A. 2B.C.D. 37.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为A. B. C. D.8.函数的部分图像大致为（）A. B.C. D.9.平面四边形中，，，且，现将沿对角线翻折成，则在折起至转到平面的过程中，直线与平面所成最大角的正切值为（）A. 2B.C.D.10.已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递增区间是（）A. ，B. ，C. ，D. ，11.某罐头加工厂库存芒果，今年又购进新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
被加工为罐头的新芒果最多为，最少为，则下列坐标图最能准确描述、分别与的关系是（）A. B.C. D.12.若向量，，满足，，且，则的最小值是（）A. B. C. 2 D.二、填空题。
13.的展开式中的系数为________.14.已知定义在上的奇函数，当时，，则__________.15.已知点，，，在球的表面上，且，，若三棱锥的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为_______.16.如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，.点在弧上，在上，.设，则当平面区域（阴影部份）的面积取到最大值时，_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
专题08 数列-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理) Word版含解析
姓名，年级：时间：专题08 数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，,则 A ．25n a n =- B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差,再适当计算即可做了判断．2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列｛a n ｝的公比为q ,则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n ｝满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ． 当101,102b a =>B ． 当101,104b a =>C ． 当102,10b a =->D ． 当104,10b a =->【答案】A90b -时,b ，()22bbb +。
12=时,4a 21122⎫++=⎪⎭19=，【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．5．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列｛a n }的前n 项和,12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4【解析】设等差数列｛a n ｝的公差为d ， 因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =,所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．6．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．【答案】 0，10-。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
2019届广东省深圳市高级中学高三适应性考试(6月)数学(理)试题(解析版)
2019届广东省深圳市高级中学高三适应性考试（6月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y =，2{|1}B x log x =≤，则A B ⋂=( ) A ．1{|}3x x ≤≤- B ．{|01}x x <≤ C ．{|32}-≤≤x x D ．{|2}x x ≤【答案】B【解析】根据函数的定义域化简集合A ，利用对数函数的单调性化简集合B ，由交集的定义可得结果. 【详解】由二次根式有意义的条件可得(1)(3)0x x -+≥， 解得31x -≤≤，所以{|A x y =={|31}x x =-≤≤. 由对数函数的性质可得22log log 2x ≤， 解得02x <≤，所以2{|1}B x log x =≤{|02}x x =<≤， 所以A B ⋂={|01}x x <≤. 故选B. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2．已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i - B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，进而可得结果. 【详解】因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i --++====+--+, 所以2z i =-，故z 的虚部为1-，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．在等比数列{}n a 中,21=a ,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ） A ．122n +- B ．3nC ．2nD ．31n -【答案】C【解析】等比数列{}n a 前三项为，又{}1n a +也是等比数列，，∴，∴，选C4．若4cos 5α=-, α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12- B ．12C ．2D ．-2【答案】A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-， α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin21cos sin 1tancos cos sin 2222221tansin cossincos sin cos sin 222222221cos2αααααααααααααααα+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-22311sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα⎛⎫+- ⎪++⎝⎭====---．【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式．5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )ABCD【答案】B【解析】利用3个扇形面积减去2个正三角形面积可得勒洛三角形的面积，利用几何概型概率公式可得结果. 【详解】如图：设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=，ABC ∆的面积是12222⨯⨯⨯=所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即2323ππ⨯-=- 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是= B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6．已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．80- B ．40- C ．40 D ．80【答案】D【解析】51(1)(2)a x x x+-中，给x 赋值1求出各项系数和,列出方程求出a ，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果 【详解】令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +，12a ∴+= 1a \=551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r r r T C x --+=-， 令521r -=得2r =;令520r -=，无整数解，展开式中常数项为25880C =，故选D.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.7．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图.根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科 【答案】D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.8．抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：∵抛物线y2=4x 的焦点F （1，0），准线为l ：x=-1，经过F 且斜率为 3 的直线y=" 3" (x-1)与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A （3，），AK ⊥l ，垂足为K （-1，），∴△AKF 的面积是故选C ．9．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====若12,CP CQ ⋅=则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C【解析】由23CP CB BP AD AB =+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==， 23CP CB BP AD AB ∴=+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,因为12CP CQ ⋅=, 所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22214323AB AD AB AD =++⋅222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A【解析】设()()0000,,,P x y Q x y --,结合(,0),(,0)A a F c ，求出M 坐标，利用MF QF k k =，消去00,x y ，进而可得结果.【详解】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =00022y y x a c x c-∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质以及椭圆的离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 11．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C ． 【考点】函数求解析式及求值12．设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于,,Q R 则111||||||PQ PR PS ++( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值C ．既有最大值又有最小值，且两者不相等D ．是一个与平面QRS 无关的常数 【答案】D【解析】设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β,记O 到各面的距离为d ,利用S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++化简可得111sin PQ PR PS dβ++=，从而可得结论.【详解】设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β, 则111sin sin 332S PQR PQR S h PQ PR S V P αβ-⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.另一方面,记O 到各面的距离为d ,则S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++, 即11113333PQR PQR PRS PQS S d S d S d S d ⋅=⋅+⋅+⋅ 111sin sin sin 323232d d d PQ PR PS PR PQ PS ααα=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅, 故有: sin ()PQ PR PS d PQ PR PR PS PQ PS β⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅,即111sin PQ PR PS dβ++==常数，故选D. 【点睛】本题主要考查正四面体的性质、棱锥的体积公式以及分割法的应用，属于中档题. （1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.二、填空题13．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1【解析】由11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+，可得1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，利用“累加法”可得结果. 【详解】 因为11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=- ...,201920181120182019a a -=-, 各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-，所以，20191a =，故答案为1. 【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.14．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．【答案】35【解析】由函数()y f x =的图象关于直线x π=对称可得322f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得tan ϕ的值,再根据222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ϕϕϕϕϕϕφ--==++,计算可得结果.【详解】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用、考查了同角三角函数的关系以及二倍角公式的应用，属于中档题. 应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为6的等边三角形，PAB ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则23AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得OP =O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ， 设其中心为O ，由6AB =，得23AO BO CO CF ====， PAB ∆是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥，OP ==则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(2448ππ⨯=，故答案为48π. 【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】不妨设12x x < ，则2212x x e ==(1)t t =>，可得()12ln x x t g t +=-=，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果. 【详解】作出()f x 的函数图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212x x e ==(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=-()ln g t t =，则4'()4g t t=， ∴当 18t <<时，()'0g t >，()g t 在()1,8上递增；当8t >时，()'0g t <，()g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，()g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--,故答案为3ln 22-. 【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.三、解答题17．工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.【解析】在直角ABC ∆中 ，求得cosACB ACB ∠=∠=，利用两角差的余弦公式可得cos ACD ∠的值，再由余弦定理可得结果. 【详解】 连接AC,在ABC ∆中 AC ==，cosACB ACB ∠=∠=21cos cos322ACD ACB π⎛⎫⎛⎫∠=-∠=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ACD ∆ 中，AD ==【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．【答案】(1)见证明(2)【解析】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，可得BD PC ⊥，再利用线面平行的性质定理证明//BD MN ，从而可得结论；（2）利用（1）可证明PO ⊥平面ABCD ,利用PA 与平面ABCD 所成的角为60︒求出线段间的等量关系，以OA ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出(,0)AD =-，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面AMHN 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =，连结PO ．因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC 、PO ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥， 因为，//BD 平面AMHN ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ， 所以，MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒，所以，12AO PA =，2PO PA =，因为，PA =，所以，6BO PA =. 以OA ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A，(0,3B -，(1,0,0)C -，(0,3D，P，1(,0,22H -，所以，BD =，3(2AH =-，(AD =- 记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即03302y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，z =(2,0,23)n =， 记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，3sin |cos ,|||||||n AD n AD n AD θ⋅=<>==. 所以，AD 与平面AMHN 【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、线面垂直证明面面垂直以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．在平面直角坐标系xOy 中，离心率为3的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 2213x y+=(2) [-【解析】（1的椭圆过点M ，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设000(,), G x y x ≠切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，则201220113y k k x -==--，化为22004x y +=，利用直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，即可得结果.【详解】（1）由题意，222,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得223a b =，又221213a b +=，解得223,1,a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（2）①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y 轴，易得(1)G ±②当过点G 的椭圆C的切线的斜率均存在时，设000(,), G x y x ≠ 切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k --+=，由此得2220000(3)210x k x y k y --+-=，设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为12,k k ，所以20122013y k k x -=-．因为两条切线相互垂直，所以2020113y x -=--，即220004(x y x +=≠， 由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上， 所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，2≤，所以m -≤综上所述，m的取值范围为[-．【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.20．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近． （1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑． 【答案】(1) 0.11235x y e = (2)见解析【解析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据， 30407>14607，可得101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，从而得2212R R < ，进而可得结果.【详解】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii ii x x u u b x x ==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈ 5.46235c a e e =≈≈∴模型②的回归方程为0.11235x y e =（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好.2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人） 【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误. 21．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．【答案】(1) 1y =- ；(2) k 的值为0或3 ；(3) {}1,2,3.【解析】（1）由()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）先利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在定理可判断()f x 在区间(0,1)、(3,4)上分别存在一个零点，从而可得结果；（3）当1x =时，不等式为(1)10g =>恒成立；当01x <<时，不等式可化为ln 1x x x m x +>-，可得1m x >，当1x >时，不等式可化为ln 1x x x m x +<-，可得2m x <，结合（2），综合三种情况，从而可得结果.【详解】（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为()01f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-．（2）令1()1f x x'=-，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e e f =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->， 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m R ∈；当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +>-， 令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--， 由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ，此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =-所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减．所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >． 当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +<-， 由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <．综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3．【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.22．在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．（1）写出曲线的参数方程；（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】分析：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程，进而得到曲线的参数方程.（2）将直线的参数方程化为标准形式代入曲线，得到，进而可求解结论. 详解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为， 整理得，曲线的参数方程（为参数）．（2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数），将参数方程带入得整理得.，，．点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23．已知正实数x，y满足x+y=1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．【答案】(1).(2)见解析.【解析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.【详解】（1）解得，所以不等式的解集为（2）解法1：且，.当且仅当时，等号成立.解法2：且，当且仅当时，等号成立.【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.。
广东省2019年全国卷适应性考试理科数学试题含答案解析
2019年适应性考试理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}xB x =<，则A B =（ ）A ．[3,1]--B ．(,3][1,0)-∞--C ．(,3)(1,0]-∞--D ．(,0)-∞【答案】B【解析】(,3][1,)A =-∞--+∞，(,0)B =-∞， ∴(,3][1,0)AB =-∞--．2．若(z a ai =+为纯虚数，其中∈a R ，则7i 1ia a +=+（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1- 【答案】C【解析】∵z为纯虚数，∴a =∴7i 3i i 1i 3a a +-====-+． 3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*3(1)()2n n S a n =-∈N ，则n a =（ ） A ．3(32)nn- B ．32n+ C ．3n D ．132n -⋅【答案】C【解析】1111223(1)23(1)2a S a a a a ⎧==-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，1239a a =⎧⎨=⎩，经代入选项检验，只有C 符合．4．执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ）A ．0.95B ．0.98C ．0.99D ．1.00 【答案】C 【解析】111112233499100x =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111199(1)()()()2233499100100=-+-+-+⋅⋅⋅+-=．5．三角函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）A2πBπC2πDπ【答案】B 【解析】()sincos 2cossin 2cos 266f x x x x ππ=-+31cos 222sin 2)22x x x x ==-)6x π=+，故选B ．6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】D【解析】11=2(2+1)2232V ⨯⨯⨯⨯=正四棱锥．7．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题， 那么（ ）A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题【答案】D8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．71 B ．73 C ．74 D ．76 【答案】A【解析】两点间的距离小于1共有3种情况， 分别为中心到三个中点的情况， 故两点间的距离小于1的概率27317P C ==． 9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）A ．0B ．2C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵(2)⊥-a a b ，∴(2)0⋅-=a a b ， ∴21122⋅==a b a ，∴||+==a b==10．62)21(xx -的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．1615【答案】D【解析】2612316611()()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1230r -=，解得4r =．∴常数项为446115()216C -=． 11．（2019广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）A ．122=-y xB ．122=-x y C ．222=-y x D ．222=-x y【答案】D【解析】∵椭圆的端点为(0,，离心率为2，依题意双曲线的实半轴a =2c =，b =，故选D ．12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)cos sin (23x x x y --=；③1+=xe y ；④⎩⎨⎧=≠=000||ln x x x y ，其中“H 函数”的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】∵1122()()x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>， ∴1212()[()()]0x x f x f x -->，∴)(x f 在R 上单调递增．①231y x '=-+， (x ∈-∞，0y '<，不符合条件；②32(cos +sin )=3)04y x x x π'=--+>，符合条件；③0xy e '=>，符合条件；④()f x 在(,0)-∞单调递减，不符合条件； 综上所述，其中“H 函数”是②③．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a的取值范围是 ． 【答案】(,2)-∞-【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(1,0),(0,1),(3,4)A B C , ∴2A z =，B z a =，64C z a =+． ∴64264a a a +<⎧⎨+<⎩，解得2a <-．14．已知双曲线1163222=-py x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．【答案】4【解析】223()162p p+=，∴4p =． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2n a 成等差数列，则=n a ． 【答案】n【解析】∵n a ，n S ，2n a 成等差数列，∴22n n n S a a =+ 当1n =时，2111122a S a a ==+ 又10a > ∴11a =当2n ≥时，2211122()n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，∴2211()()0n n n n a a a a ----+=，∴111()()()0n n n n n n a a a a a a ---+--+=， 又10n n a a -+>，∴11n n a a --=， ∴{}n a 是等差数列，其公差为1，∵11a =，∴*(N )n a n n =∈．16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．【答案】2【解析】直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴， ∴(2)()f x f x -=，(4)()f x f x -=，∴(2)(4)f x f x -=-，∴)(x f y =的周期2T =． ∴(4)(10)(0)(0)2f f f f +=+=．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值； （2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积． 【解析】（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，∴2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+， ∴2sin cos sin()A A B C ⋅=+，∵A B C π++=，∴sin()sin B C A +=， ∴2sin cos sin A A A ⋅=．∵0A π<<，∴sin 0A ≠， ∴2cos 1A =，∴1cos 2A =．（2）由1cos 2A =，得sin A =，由2sin aA=，得2sin a A ==． ∵2222cos a b c bc A =+-， ∴222431bc b c a =+-=-=，∴11sin 2224ABC S bc A ∆==⋅=．（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，x b y aˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值． 【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2．152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为∴()012151535E ξ=⨯+⨯+⨯=． （3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，21()2.250.250.25 2.255nii x x =-=+++=∑，41()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，121()()7 1.45()niii nii x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ5 1.4 2.5 1.5ay b x =-=-⨯=， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元．如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．（1）证明：⊥FB 面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．【解析】（1）证明：以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，(0,0,F ．∵4BF ==，3PF =，∴3(,0,22P，(2,0,FB =-， (0,2,0)AC =，3(2AP =．∵0FB AC ⋅=，∴FB AC ⊥． ∵0FB AP ⋅=，∴FB AP ⊥． ∵FB AC ⊥，FB AP ⊥，AC AP A =，∴FB ⊥平面APC ．（2）∵(2,0,0)AB =，3(,2,22PC =--， 记AB 与PC 夹角为θ，则3cos =2AB PC AB PCθ⋅-==PCABE F【方法2】（1）4FB =,cos cos PFA BFA ∠=∠=，PA==∵2223912PA PF AF +=+==， ∴PA BF ⊥．∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF 平面ABC AB =，AB AC ⊥，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面ABEF ．∵BF ⊂平面ABEF ，∴AC BF ⊥． ∵PA AC A =I ，∴BF ⊥平面PAC ．（2）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角．连接MC ，NC ．PN MB ==，32AN =，52NC ==，BC =PC =MC ==135744cos 11422MPC +-∠===-⋅． ∴异面直线PC 与AB．已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段21P P 、43P P 的中点分别为1M 、2M ．（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程． 【解析】（1）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，设直线12P P 的方程为(1)y k x =-，0k ≠． 联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得22222(2)0k x k x k -++=．（*）22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=-+-=+>．设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则21222(2)k x x k ++=． 设111(,)M M M x y ，则1112122222(1)M M M x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩． 类似地，设222(,)M M M x y ，则2222212211221M M kx k k y k k ⎧+⎪==+⎪⎪⎨⎪==-⎪⎪-⎩．∴1||FM ==2||2|FM k ==， 因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ∆=⋅=+． ∵1||2||k k ≥+，∴124FM M S ∆≥， 当且仅当1||||k k =，即1k =±时，12FM M S ∆取到最小值4． （2）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ⎧=+=++=++⎪⎪⎨⎪=+=-=-+⎪⎩，消去k 后得23y x =-．∴线段12M M 的中点P 满足的方程为23y x =-．设函数mx x x x f -+=ln 21)(2（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；（3）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=+-=．令()0f x '=，得210x mx -+=．当240m ≤∆=-，即02m ≤<时，()0f x ≥'，∴()f x 在(0,)+∞内单调递增．当240m ∆=->，即2m >时，由210x mx -+=解得12m x -=，22m x +=，且120x x <<，在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<，∴()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．（2）由（1）可知，当02m ≤<时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，∴()f x 最多只有一个零点．又∵1()(2)ln 2f x x x m x =-+，∴当02x m <<且1x <时，()0f x <； 当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点．当2m >时，∵()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且211(()()ln 2222m m m m f x -=+-=22204m m -+-<<，40124m <=<=（∵2m >），∴1()0f x <，由此知21()()0f x f x <<，又∵当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点． 综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点．（3）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点，则有()()f x f x x '=，即21ln 2x x mxx +-1x m x =+-， 化简得：21ln 102x x -+=（0x >）．（*）记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211()x g x x x x -'=-=，令()0g x '=，解得1x =．当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥．由此说明方程（*）无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清楚题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ．（1）证明：DAO FBC ∠=∠；（2）证明：AE BE =．【解析】（1）连接FC ，OF ，∵AB AF =，OB OF =，∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥．∵BC 是O 的直径，∴CF BF ⊥．∴//OG CF ．∴AOB FCB ∠=∠，∴90,90DAO AOB FBC FCB ∠=︒-∠∠=︒-∠，∴DAO FBC ∠=∠．（2）在Rt OAD ∆与Rt OBG ∆中，由（1）知DAO GBO ∠=∠，又OA OB =，∴OAD ∆≅OBG ∆，于是OD OG =．∴AG OA OG OB OD BD =-=-=．在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆中，由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =，∴AGE ∆≅BDE ∆，∴AE BE =．E F G CO A B B D A O CG F E23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为,A B ． （1（2 【解析】（1）∵直线过点(1,2)P -，且倾斜角为45． ∴直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）， 即直线l 的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．（2）∵2sin 2cos ρθθ=，∴2(sin )2cos ρθρθ=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =，∵122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴2(2)2(1)22t -+=+，∴240t -+=，∴124t t =24．（本小题满分10分）选修4-5设函数()5f x x a x =-+．（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集；（2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．【解析】（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+，∴5315x x x ≤+++，∴13x +≤，∴24x -≤≤．∴不等式()53f x x ≤+的解集为[4,2]-．（2）若1x ≥-时，有()0f x ≥，∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，∴5x a x -≥-，或5x a x -≤，∴6a x ≤，或4a x ≥-，∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-，或4a ≥．∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞．。
【百强校】2019届广东省深圳市高级中学高三12月模拟考试数学(理)试题
深圳高级中学2019届高三年级12月模拟考试理 科 数 学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}230A x x x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）A ．()2,+∞B ．()2,3C ．()3,+∞D ．(),2-∞2.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β”是“//αβ”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2+的离心率为（ ）A ．B ．C ． 或D ． 或4．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（ ） A ．10011升 B ．9011升 C ．25433升 D ．20122升5.已知向量a ，b 满足||2a =，||4b =，()a a b ⊥+，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．16.已知直线430x y a -+=与22:40C x y x ++=相交于A 、B 两点，且120ACB ∠=︒，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．10 C. 11或21 D ．3或13 7．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．2x x y =B ．22xy =-C ．e xy x =-D ．|2|2x y x =﹣8．若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线被抛物线24y x =所截得的弦长为，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．14B ．1C ．2D ．49.函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图像如图所示，为了得到()cos 22g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需将()f x 的图像( )A.向左平移3π个长度单位B.向右平移3π个长度单位 C.向左平移6π个长度单位 D.向右平移6π个长度单位10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A.8+8+2+122411.记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，1()2()n n n n S S a n N *+-=∈，则2018S =（ ） A ．10093(21)- B ．10093(21)2- C.20183(21)- D ．20183(21)2-12. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- 二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量a 与b 的夹角为60︒，2=a ，3=b ，则32-=a b __________．π7πx14．若tan 3α=，π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．15．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．16.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .D 是BC 边的中点，且2AD =，8sin a B =，1cos 4A =-，则ABC ∆面积为 ．三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列，()22log 11n n b a =+-． （l ）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值．18. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=. （1）求角A 的大小；（2）若3sin sin 8B C =，且ABC △的面积为a .19．如图，四棱锥P ABCD -中，PAD △为正三角形，//AB CD ，2AB CD =，90BAD ∠=︒，PA CD ⊥，E 为棱PB 的中点．（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为45︒，求二面角A DE C --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，有124P P F F +=，椭圆的离心率为12e =； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()4,0N ，过点N 作直线l 与椭圆交于,A B 不同两点，线段AB 的中垂线为l '，线段AB 的中点为Q 点，记l '与y 轴的交点为M ，求MQ 的取值范围．21.已知函数21()ln(1)2f x x m x =+-，其中m R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12()11ln 2042f x x -<<．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ-=．（1）将曲线C 的参数方程化成普通方程，将直线l 的极坐标方程化成直角坐标方程； （2）求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．2019届高三年级12月模拟考试理科数学答 案1．B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 10.A 11.A 12,A8．【解析】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程不妨设为：0bx ay +=，与抛物线方程联立，204b x a yy x+=⎧⎨=⎩，消去y ，得240ax bx +=，所以121240b x x a x x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，所以所截得的弦长为化简可得24bc a =，2bc =，()222412c a c a -=，42120e e --=，得24e =或3-（舍），所以双曲线C 的离心率2e =．9.【解析】由图像知1A =，74123T T πππ=-⇒=，22ππωω=⇒=，7()112f π=-7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，为了得到()cos 2sin(2)2g x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图像，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即可，故选D ．10.该几何体为如图中的三棱锥C －A 1C 1E ，EC ＝EA 1＝A 1C 三角形EA 1C 的底边A 1C 上的高为： 表面积为：S ＝12⨯2⨯4＋12⨯2⨯4＋12⨯⨯4＋12⨯⨯8+11π7πx12.ln ,(0,)ln x xa x x x x=-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x x g x x x x =--22221l n 1l n l n (1(0,),'()(l n )(l n )x x x x x xx gx x x x x x x ----∈+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2ln y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，则min 11ln1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2ln 0.'()0,x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,(g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e=--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e--.[答案]A 二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分． 13．【解析】2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为60︒，1cos602332︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=a b a b ，又222329124361233636-=-⋅+=-⨯+=a b a a b b ，326∴-=a b ，故答案为6．14．【解析】由tan 3α=，可得sin 3cos αα=．又22sin cos 1αα+=，结合π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，可得sin α=，cos α=．)πcos cos sin 4ααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．15．根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36π，即34π36π3R =，3R ∴=，则球心O 到底面等边ABC △得中心O '的距离OO '==根据球心O 与高AD 围成的等腰三角形，可得三棱锥的高2h OO '==，故三棱锥的体积213V =⨯．16.三．解答题17．【解析】（1）因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，①·····2分 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥．·····4分 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=，故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-．·····6分（2）根据（1）求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列．·····7分又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，·····9分 所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+- 2810729=-+11202=．·····12分18.（1）由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=， 即222b c bc a +-=，·····3分所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=.·····6分（2）由正弦定理simA sin sin a b c B C ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a Cc A=，所以1sin 2ABCS bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a CA A A =⋅⋅2sin sin 2sin aBC A==·····10分又3sin sin 8B C =，sin A =2=4a =.·····12分 19．【解析】（1）取AP 中点F ，连接EF ，DF ．E 为PB ，//=CD EF ∴， CDFE ∴为平行四边形，···········2分//DF CE ∴．又PAD △为正三角形，PA DF ∴⊥，从而PA CE ⊥，···········3分 又PA CD ⊥，CDCE C =，PA ∴⊥平面CDE ，···········4分又PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面CDE ．···········5分 （2）//AB CD ，PA CD PA AB ⊥⇒⊥，又AB AD ⊥，PA AD A =，AB ∴⊥平面PAD ．CD ∴⊥平面P A D C ⇒∠为PC与平面PAD 所成的角，即45CPD ∠=︒，CD AD ∴=．···········7分以A 为原点，建系如图，设4AD =，则()8,0,0B，(0,2,P ，()0,4,0D，(E ，···········8分(4,1,AE ∴=()0,4,0AD =．设(),,x y z =n 为平面ADE 的法向量，4304AE x z AD y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==n ，令4z =-，得)4=-n ，···········10分由（1）知，(2AP =为平面CDE 的一个法向量．···········11分2cos<,>AP AP AP ⋅==-n n nA DE C --的余弦值为19-，即二面角A DE C --的余弦值为．······12分 20．【解析】（1）因为124P P F F +=，所以24a =，所以2a =， 因为12e =，所以1c =， 所以222413b a c =-=-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．·······4分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设l ：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，联立直线与椭圆()221434x y y k x ⎧==-+⎪⎨⎪⎩，消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+，·······5分 又()()()22223244364120kk k ∆=--+->，解得：1122k -<<，·····6分2120216243x x k x k +==+，()00212443k y k x k =-=-+， 所以2221612,4343k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，·······7分 所以l '：()001y y x x k-=--，即222121164343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，化简得：21443ky x k k =-++，·······8分 令0x =，得2443k m k =+，即240,43k M k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，·······9分 ()2224222222161616434343k k k k MQ k k k ⎛⎫+⎛⎫=+=⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，·······10分 令243t k =+，则[)3,4t ∈，所以22222233231144161616321t t t t MQ t t t t --⎛⎫+ ⎪⎡⎤--⎛⎫⎝⎭=⋅=⋅=⋅-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以[)0,5MQ ∈．·······12分21.解：（1）函数()f x 定义域为(,1)-∞，且2'()11m x x mf x x x x-+-=-=--， 10x ->， 令20x x m -+-=，14m ∆=-，·····1分 当0∆≤，即14m ≥时，'()0f x ≤，∴()f x 在(,1)-∞上单调递减；·····2分 当0∆>，即14m <时，由20x x m -+=，解得112x =212x +=， 若104m <<，则121x x <<，∴1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 12(,)x x x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；2(,1)x x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；·····3分 若0m ≤，则121x x <≤，∴1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减； 11(,1)x x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；·····4分 综上所述：0m ≤时，()f x的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为；104m <<时，()f x的单调递减区间为1(,2-∞，1(2+，单调递增区间为； 14m ≥时，()f x 的单调递减区间为(,1)-∞．·····5分 （2）因为函数()f x 定义域为(,1)-∞，且2'()11m x x m f x x x x-+-=-=--， ∵函数()f x 存在两个极值点，∴'()0f x =在(,1)-∞上有两个不等实根1x ，2x ，记2()g x x x m =-+-，则140,11,2(1)(1)0,m g ⎧∆=->⎪⎪-<⎨⨯-⎪⎪<⎩∴104m <<， 从而由12121,,x x x x m +=⎧⎨=⎩且12x x <，可得11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈，·····7分 ∴22111122221ln(1)()12ln(1)2x m x f x x m x x x x x +-==⨯+-211111ln(1)2(1)x x x x =⨯+--，·8分 构造函数2()ln(1)2(1)x x x x x ϕ=+--，1(0,)2x ∈， 则22222'()ln(1)ln(1)2(1)12(1)x x x x x x x x x x ϕ-=+--=+----， 记22()ln(1)2(1)x p x x x =+--，1(0,)2x ∈，则231'()(1)3x x p x x h -+-=-， 令'()0p x =，得01(0,)2x =（12x =>，故舍去）， ∴()p x 在0(0,)x 上单调递减，在01(,)2x 上单调递增，·····10分又(0)0p =，11()ln 2022p =-<， ∴当1(0,)2x ∈时，恒有()0p x <，即'()0x ϕ<，∴()x ϕ在1(0,)2上单调递减，∴1()()(0)2x ϕϕϕ<<，即11ln 2()042x ϕ-<<，∴12()11ln 2042f x x -<<．·····12分 22．【解析】（1）曲线C 的参数方程化成直角坐标方程为22143x y +=，·····2分 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l的直角坐标方程为0x y -=．·····4分（2）直线l 的倾斜角为4π，过点， 所以直线l化成参数方程为cos 4sin 4x t y t π⎧=⎪⎪⎨π⎪=⎪⎩，即2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），5分 代入22143x y +=得，2760t +-=，247(6)3840∆-⨯⨯-=>， 设方程的两根是1t ，2t，则12t t +，1267t t =-，·····8分所以12AB t t =-==．·····10分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【全国百强校】广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则
A．B．
C．D．
2. 已知（其中为虚数单位），则的虚部为( )
A．B．C．D．
3. 在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（）
A．B．C．D．
4. 若,是第三象限的角,则（）
C．2 D．-2
A．B．
5. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（）
A．B．
C．D．
6. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）
A．B．
C．D．
7. 现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：
根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不正确的是( )
A．样本中的女生数量多于男生数量
B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
C．样本中的男生偏爱理科
D．样本中的女生偏爱文科
8. 抛物线的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A,,垂足为K,则的面积是( )
A．4 B．C．D．8
9. 在平行四边形中，若
则( )
A．B．C．D．
10. 在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆
的右顶点和右焦点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，若三点共线，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．或
11. 设函数的图像与的图像关于直线对称，且
，则( )
A．B．C．D．
12. 设是正四面体底面的中心，过的动平面与交于与
的延长线分别交于则( )
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．既有最大值又有最小值，且两者不相等
D．是一个与平面无关的常数
二、填空题
13. 在数列中，，则的值为
______．
14. 已知函数的图象关于直线对称，则___．
15. 在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
16. 已知函数若方程恰有两个不同的实数根
，则的最大值是______．
三、解答题
17. 工程队将从到修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（
在同一水平面内），求之间的距离.
18. 已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PD＝PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN.
（1）证明：MN⊥PC；
（2）当H为PC的中点，PA＝PC＝AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值.
19. 在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆过
点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线上存在点，且过点的椭圆的两条切线相互垂直，求实数的取值范围．
20. 某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：
第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
旅游人数
300 283 321 345 372 435 486 527 622 800
（万
人）
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个
回归方程①②
30407 14607
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据，其回归直线的斜率和截
距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果
5．5 449 6．05 83 4195 9．00
表中．
21. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．
22. 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程
（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原
来的倍，得曲线．
（1）写出曲线的参数方程；
（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，求
的值．
23. 已知实数正数x，y满足. （1）解关于x的不等式；（2）证明：.。