(完整word版)2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之中点模型教案.docx

因为∠BED =AEF
G
所以∠AEF =∠FAE
所以AF=EF
例2：如图
,已知
ABC中，
BD, CE
为高线，点
M是BC的中点，点
N
是DE
的中点
..求证：
MN
DE。
A
E
N
D
BMC
证明：联结
EM、DM
在Rt△BEC
中EM
1 BC
，在
Rt△BDC
中DM
1 BC
2
2
所以EM=DM，又因为EN=ND，所以MNDE
2
A
DE
BC
4.中线倍长(倍长中线)：
如图（左图），在ABC中，D为BC中点，延长AD到E使DEAD，联结BE，则有：ADC≌
EDB。
作用： 转移线段和角。
A
AB
BCM
D
ECD
例1： 如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且ABCE，求证：BADCED.
E
A
B
D
C
提示：用倍长中线法，借助等腰三角形和全等三角形证明
BDC
所以CG2CF2BE2CF2FG2
G
因为DEDF，ED =DG，所以EF=FG
所以BE2CF2EF2
3.如图，在正方形ABCD中，F是AB中点，联结CF，作DE
求证：AMAD。
G
提示：延长DA、CF交于点G
CF交BC于点E，交CF于点M，
AD
F
M
BEC
AD
F
M
BEC
易证：△AFG≌△BFC，所以AG=BC=AD
例3：如图，在
ABC中，AD为A的平分线，M为BC的中点，AD // ME，
求证：BE
CF
1AB AC。
2
E
A
F
BDMC
证明：延长FM至点G，使得FM =MG，联结BG
类比倍长中线易得：△BMG≌△CMF
所以∠G=∠CFM，BG=CF
因为AD∥EM，所以∠BAD=∠E，∠DAF =∠EFA
因为∠BAD =∠DAC，∠AFE=∠CFM
中点模型
授课日期
时间
主题
中点模型
教学内容
学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？
直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？
1.直角三角形斜边中线定理：
如图，在Rt ABC中，
ACB
90，D为
AB中点，则有：
CD
AD
BD
1
AB。
∴ME∥CD，EM =1CD，MF∥BA，MF =1BA．
22
∵AB =CD，∴EM =MF，∴∠MEF =∠MFE．
∵EM∥CH，∴∠MEF =∠CHE
∵FM∥BG，∴∠MFE =∠BGE
∴∠CHF =∠BGE；
【巩固练习】
1.如图，平行四边形
ABCD中，对角线
AC、BD相交于点
O，BD
2 AD
，E、F
因为
ABD
ACE
90
，所以ABD
ECB
所以CE∥DB，所以
BDE
CED，F
ECF
因为DM=ME，所以△DMF≌△EMC，所以CM =MF
因为
CBF
90，所以BM =CM
D
ACE90，如图，联结
A
CE
M
B
A
CE
M
BF
【预习思考】
1.角平分线的性质定理：
2.角平分线的性质定理逆定理：
3.还有哪些性质或定理与角平分线有关？
1( AC
AB)。
2
A
BDM
FC
提示：延长AB，CF交于点E，证明出BE=AC-AB，再根据中位线的性质就可得证
A
BDM
EFC
1.在梯形ABCD中，AD // BC，ABADBC，E为CD的中点，求证：AEBE
AD
E
BC
提示：延长AE、BC交于点F，
易证△ADE≌△FCE，得AD=CF，AE=EF。
学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？
直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？
、G分别是
OC、
OD、
AB
的中点。求证： （1）
Fra Baidu bibliotekBE
AC（2）EG
EF
.
AD
F
GO
E
BC
提示：（1）等腰三角形三线合一可得
（2）中位线性质和直角三角形斜边中线性质可得
2.已知：ABD和ACE都是直角三角形，点C在AB上，且ABD
DE，设M为DE的中点，联结MB , MC。求证：MBMC。
D
证明：延长CM、DB交于点F
2
C
BA
D
2.三线合一：
在ABC中:（1）ACBC；（2）CD平分ACB；（3）ADBD，（4）CDAB.
“知二得二 ”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。
C
ADB
1
3.中位线定理：如图，在ABC中，若ADBD，AECE，则DE / / BC且DEBC。
所以∠E=∠AFE=∠CFM =∠G
所以BE=BG=CF，AE=AF
因为AB+AC=AB+AF+FC =AB+AE+BE=BE+BE=2 BE
1
所以BECFABAC
E
A
F
BDMC
G
试一试：如图所示，在
ABC
中，
AC
AB M
为
BC
的中点，
AD
是
BAC
的平分线，若
CF AD
，
且交AD的延长线于F，求证：MF
因为DE CF，所以AM
1
AD
GD
2
4.如图，在四边形ABCD中，AB
CD，E, F分别是BC , AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF
的延长线G, H。求证：
BGE
CHE.
G
H
G
A
H
D
F
A
F
D
B
E
C
M
证明：联结BD，取BD的中点M，再分别联结
ME、MF，
∵E、F分别是DC、AB边的中点，
B
E
C
因为ABADBC，所以AB =BF，
所以AE⊥BE
2.如图，已知：ABC中，A90 , D是BC的中点，DEDF。求证：BE2CF2EF2
A
F
E
BDC
证明：延长ED至点G，使得ED=DG，联结CG、FG
BDDC
因为EDBCDG，所以△BDE≌△CDG
A
EDDG
F
所以∠B=∠DCG，BE=CG
E
因为A90o，所以∠B+∠ACB =∠DCG +∠ACB =90°
试一试：如图，已知在
ABC中，
AD
是BC边上的中线，
E是
AD上一点，且
BE
AC，延长
BE
交AC于F，求证：AFEF。
A
F
E
BDC
证明：延长DE至点G，使得ED=DG，联结CG
A
类比倍长中线易得：△BDE≌△CDG
F
所以∠BED =∠DGC，BE=CG
E
因为BE=AC，所以AC=GC
B
D
C
所以∠EAC =∠DGC，