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(完整版)2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之中点模型教案
中点模型授课日期时 间主 题中点模型教学内容学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？ 直角三角形中点你想到了什么,等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？1. 直角三角形斜边中线定理：如图,在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB ===。
CBAD2。
三线合一：在ABC ∆中：(1）AC BC =；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD BD =,（4）CD AB ⊥。
“知二得二”：比如由（2)（3）可得出（1)（4）。
也就是说,以上四条语句,任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。
DABC3. 中位线定理：如图,在ABC ∆中，若AD BD =,AE CE =，则//DE BC 且12DE BC =. ED ABC4. 中线倍长（倍长中线):如图(左图),在ABC ∆中，D 为BC 中点，延长AD 到E 使DE AD =,联结BE ，则有:ADC ∆≌EDB ∆。
作用：转移线段和角。
ABCEDDMC BA例1： 如图所示，已知D 为BC 中点，点A 在DE 上，且CE AB =,求证：CED BAD ∠=∠。
AD B CE提示:用倍长中线法，借助等腰三角形和全等三角形证明试一试：如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且AC BE =，延长BE 交AC 于F ，求证:EF AF =。
F EDBCA证明:延长DE 至点G ，使得ED =DG ,联结CG 类比倍长中线易得：△BDE ≌△CDG 所以∠BED =∠DGC ，BE =CG 因为BE =AC ，所以AC =GC 所以∠EAC =∠DGC , 因为∠BED =AEF 所以∠AEF =∠FAE 所以AF =EFG F EDBCAGFE D M B CA试一试：如图所示，在ABC ∆中,AB AC >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若AD CF ⊥且交AD 的延长线于F ，求证：)(21AB AC MF -=。
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)D2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且ABF∆的面积为14平方厘米，BCE∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF的面积是________．4. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，2=。
分别以AB BCAB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC。
求证：FN EC=。
AB CDEF12G5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ．（1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+．【纵向应用】6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 21=A D E F CG B7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 21=8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥求证：AE FG ⊥ABCDFOEG H12D GA EBCF13EG B9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE相交于点G ,GH AD⊥于点H .（1）求证：AF DE ⊥ ； （2）如果2AB =,求GH 的长； （3）求证：CG CD =例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ︒∠=∠=．求证：PBC ∆是正三角形．APCDB例 2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ．求证：CE CF =．AFD E CBP C G FBQ A D E例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分DCE∠．求证：PA PF =．例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC ++的最小值．DFEP CB A AC BPD例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．【双基训练】1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD相交于O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．ACBPD2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则EAB∠=________．【纵向应用】3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，90∠=，且EF交正方形外AEF︒角的平分线CF于点F．（1）证明：BAE FEC∠=∠；（2）证明：AGE ECF∆≅∆；（3）求AEF∆的面积．【横向拓展】4.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM . ⑴ 求证：AMB ENB ∆≅∆；⑵ ①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM BM CM ++的最小值为13+时，求正方形的边长.EA DB CNM。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)专题38 重要的几何模型之中点模型(一)(解析版)
专题38重要的几何模型之中点模型（一）中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。
本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
如图，在三角形ABC 中，DE ⊥BC ，且D 为BC 中点，则BE=EC 。
模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。
例1．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，已知在菱形ABCD 中，连接对角线AC ，作BC 边的垂直平分线EF ，分别交BC 、AC 、AD 于点F 、Q 、E ，若21EQD ，则CAB 的度数是（）A ．21B ．37C ．42D ．69【答案】B 【分析】如图，连接QB ，证明QD QB QC ，902169ADQ ，设QDC QCD x ，证明DA DC ，由作图可得：EF 是BC 的垂直平分线，∴QD QB QC ，ADQ ∵菱形ABCD ，∴DA DC ∴180BAD ADC ，∴2A ．8【答案】A 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可知，MN 垂直平分A．2B．22【答案】B【分析】连接BD，由作法得MN，由三角形外角的性质得到ABD BAD15【点睛】本题考查了作图 复杂作图，线段垂直平分线的性质，含识，熟悉基基本作图和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．例4．（2023上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在 ，点PQ分别是AD平分BACAD ∵是P 、P 的对称轴，即AD PQ BQ 的最小值即为P Q BQ 当BP AC 时，BP 即P Q BQ ∵在ABC 中，90C ，BAC 【答案】74【分析】设CBD ，BFE (SAS)CBD CBT ≌ ，得CT∵点E是AB的中点，EF∵，BCD BCT BC90，BDCCT CD41046AC AT CT(1)若222，求BACBD CE DE的大小；过点F作FG垂直于BA的延长线于点【答案】(1)135 (2)证明见解析∵DH EF 、为边AB AC ，的垂直平分线，∴AD BD AE CE ，，∴BAD ∵222BD CE DE ，∴22AD AE ∴ADE V 为直角三角形，且=90DAE ∵BF 是ABC 的平分线，FG BG ，∵AB BM ，ABF MBF ，BF ∵EF 是AC 的垂直平分线，∴FA FC模型2：等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。
2018年初中数学冲破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案526
正方形角含半角模型提升例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，而且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？例3. 如图，E 、F 别离为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，那么有EF BE DF =+，什么缘故？例 4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 别离在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ︒∠=. 求证：BE CF =.(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 别离在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =.求GH 的长.【双基训练】 1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长别离为3cm 和5cm ，那么CDE∆的面积为________2cm ．(6) (7)2．你能够依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•若是你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 别离为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，而且ABF ∆的面积为14平方厘米，BCE ∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF 的面积是________．4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。
别离以AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。
专题09 中点模型(解析版)
题型九中点模型【要点提炼】在中考中考察几何时，不论简单的题目还是较难的题目，都会经常见到中点的身影，当题目中提到中点时，往往可以用以下模型来解决问题，将这些模型牢记于心，就可以打开思路一、【倍长中线或倍长类中线】图1 图2①倍长中线：如图1，在▲ABC中，AD是BC边上的中线，此时我们可以将AD延长一倍，即使DE=AD，并连接CE，即可证明出▲ABD≌▲CDE②倍长类中线（即过中点的其他线段）：如图2，在▲ABC中，D是BC边上的中点，此时我们可以将ED延长一倍，即使DF=DE，并连接CF，即可证明出▲BED≌▲CDF二、【等腰三角形与中点】在题目的题干中同时出现“等腰”和“中点”字样时，我们就可以做出如图中AD一样的中线作为辅助线，此时由于等腰三角形有三线合一的性质，即可得出AD⊥BC，AD平分∠BAC的结论三、直角三角形与中点在题目的题干中同时出现“直角”和“中点”字样时，我们就可以做出如图中CD一样的中线作为如图，在四边形ABCD中，M是AD的中点，多个中点的情况，我们就会联想到中位线这个知识点，可是图中没有已知的三角形和中位线，那就需要构造三角形和中位线作法：连接BD（构造▲BCD和▲ABD，取MG即为▲ABD的中位线一．选择题（共5小题）1．（2020•呼伦贝尔）如图，在△ABC中，点M，N分别OB，OC的中点，若OB【解析】解：（1）四边形BEAC是平行四边形，理由如下：∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，∴BC∥AE，AC∥BE，∴四边形BEAC是平行四边形；（2）①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD；②延长FG至点H，使GH＝FG，∵G是EC的中点，∴EG＝CG，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴△EFC是等腰直角三角形，∵EP＝FP，∴PC＝PE，PC⊥PE．②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，同①理，可知△FBP≌△EDP（AAS），∴BF＝DE，PE＝PF=12 EF，∵DE＝AE，∴BF＝AE，∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，∴ED∥AC，EA∥BC∵FB∥AC，∠FBC＝90，∴∠CBF＝∠CAE，在△FBC和△EAC中，BF=AE∠CBF=∠CAEBC=AC，∴△FBC≌△EAC（SAS），∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，∵∠ACB＝90°，∴∠FCE＝90°，∴△FCE是等腰直角三角形，∵EP＝FP，∴CP⊥EP，CP＝EP=12 EF．③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°。
重要的几何模型之中点模型(二)(学生版)-2024年中考数学常见几何模型
重要的几何模型之中点模型(二)中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型(与倍长中线法类似)；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。
本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt△ABC斜边上的中线，则：(1)AD=1BC=BD=DC；(2)△ABD，△ACD为等腰三角形；(3)∠ADB=2∠C，∠ADC=2∠B．2图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则(1)AM=MD；(2)∠AMD=2∠ABD．模型运用条件：连斜边上的中线(出现斜边上的中点时)1(2023·江苏盐城·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD=2，则AB=．2(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作DE ⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD=5，BC=8，则DE=．3(2023·河南新乡·统考三模)如图，点O为菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，若OD=3，OE=2，则菱形ABCD的面积为．4(2023上·四川成都·九年级校考期中)如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=45°，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC=10，则△BMD的面积为．5(2023·江苏常州·中考真题)如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是()A.3B.4C.5D.66(2023·辽宁鞍山·校考三模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD，则下列说法不正确的是()A.BE=BCB.∠DFC=90°C.DG=3GFD.四边形BFDE是平行四边形模型2：中位线模型三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
初中数学中点模型的构造和应用
中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC≌∆EDB。
作用：转移线段和角。
（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。
如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED≌∆CFD。
作用：转移线段和角。
（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。
如下图，在Rt ∆ABC 中，A C B 90∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB ===（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。
在∆中:（1）AC=；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。
（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 M 为 BC 的中点，MN⊥AC 于点 N，则 MN 的长是__22..44__.
【思路点拨】连接 AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到 AM⊥BC，根 据勾股定理求得 AM 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得 MN 的长．
3．如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为 E，EF ∥BD，交 BC 于点 F，若 BD＝10，则 EF 的长为__5__.
【思路点拨】延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG.证明△BDF≌△CDG，得 BF＝CG，再证明 CA＝CG 便可得解．
证明：如解图，延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG. ∵AD 是 BC 边的中线，∴BD＝CD. 在△BDF 和△CDG 中， BD＝ CD，
∠BDF＝∠CDG， DF＝ DG， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G. ∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD， ∴∠G＝∠CAG，∴AC＝CG，∴BF＝AC.
模型六：遇到圆中含弦(弧)的中点，考虑垂径定理 【模型展示】
(图①：点 E 是弦 AB 的中点)
︵ (图②：点 C 是AB的中点)
如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠DCF＝20°，则∠EOD 等于 ( C)
A．10° B．20° C．40° D．80°
【思路点拨】连接 OF，由圆周角定理易求得∠DOF 的度数，再由 G 为 EF 中点，易得∠EOD＝∠DOF.
作 BF⊥AD，垂足为 F，则∠EBF 的度数为
( B)
A．19° B．33° C．34° D．43°
模型三：等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质 【模型展示】
初中数学中点模型归纳总结
初中数学中点模型归纳总结中点模型是初中数学中一个重要的概念，常用于几何图形的证明和计算中。
通过对中点模型的归纳总结，可以更好地理解和运用这一概念。
本文将分别从数轴中点、线段中点和三角形中点三个方面进行归纳总结。
一、数轴中点数轴中点是指数轴上离两个点距离相等的点。
在数轴上，如果A、B两个点的坐标分别为a和b，那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = (a + b) / 2通过这个公式，我们可以很方便地求解两个点的中点坐标。
同时，我们还可以推广到三个点的情况：三点中点坐标 = (a + b + c) / 3这个公式也可以以类似的方式计算。
二、线段中点线段中点是指线段上距离两个端点相等的点。
在线段AB上，如果A、B两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)通过这个公式，我们可以计算出线段AB的中点坐标。
同样地，我们还可以推广到三维空间中的情况：三维空间中点坐标 = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3, (z1 + z2 +z3) / 3)这个公式在三维几何场景中也能帮助我们求解线段的中点坐标。
三、三角形中点三角形中点是指连接三角形三个顶点与对边中点的线段所构成的三个线段的交点。
三角形的三个中点分别是三边中点、三角形重心和三角形外心。
下面我们分别来介绍它们的特点和计算方法。
1. 三边中点：连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，分别记为M1、M2、M3。
这三个点构成的线段M1M2、M2M3和M3M1分别平分三角形的三条边，且交于三角形的重心G。
2. 三角形重心：三角形重心是连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，记为G。
三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
3. 三角形外心：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，记为O。
(完整版)中考数学压轴题专项汇编专题之19中点模型
专题1 中点模型破解策略 1．倍长中线在△ABC 中．M 为BC 边的中点．MECB AEMCAB De图1 图2（1）如图1，连结AM 并延长至点F ，使得ME ＝AM ．连结CE ．则△ABM ≌△ECM ．（2）如图2，点D 在AB 边上，连结DM 并延长至点E ．使得MF ＝DM ．连结CE ，则△BDM ≌△CEM ，遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法． 2．构造中位线在△ABC 中．D 为AB 边的中点，图1 图2（1）如图1，取AC 边的中点E ，连结DE ．则DE ∥BC ，且DF ＝12B C ． （2）如图2．延长BC 至点F ．使得CF ＝B C ．连结CD ，AF ．则DC ∥AF ，且DC ＝12AE ． 三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来．通常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线， 3．等腰三角形“三线合一”如图，在△ABC 中，若AB ＝A C ．通常取底边BC 的中点D ．则AD ⊥BC ，且AD 平分∠BA C ． 事实上，在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ，④AD ⊥B C ．对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”．AB DCCFABDABDEC4.直角三角形斜边中线如图，在△ABC看，∠ABC＝900，取AC的中点D，连结BD，则有BD＝AD＝CD＝12 AC．反过来，在△ABC中，点D在AC边上，若BD＝AD＝CD＝12AC，则有∠ABC＝900例题讲解例1 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG且∠AGD＝∠BGC，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值例2 如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长．进阶训练I．如图，△ABD和△ACE都是直角三角形，其中∠ABD ＝∠ACE＝90°，且点C在AB上，连结DE，M为DE的中点，连结BM，CM，（1）求证：BM＝CM．（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论．3．巳知：△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE 的中点．连结DF ，CF ．图3图2图1EEE（1）如图，当点D 在AB 上，点E 在AC 上时，请直接写出此时线段DF ，CF 的数量关系和位置关系（不用证明）； （2）如图2．在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°．请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3．在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转角α，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，井证明你的判断．5．巳知：P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为E ，F ，O 为AC 的中点，如图1．将直线BP 绕点B 逆时针旋转，当∠OFE ＝ 30°时，如图2所示，请你猜想线段CF ，AE，OE 之间有怎样的数量关系，并给予证明．图1图26.已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝4，CO＝2，接连接AD，BC、点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，求证：OH＝AD且OH⊥AD；（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，证明你的结论；（3）请直接写出线段OH的取值范围．如图1，四边形ABCO为正方形。
重要的几何模型之中点模型(一)(学生版)-2024年中考数学常见几何模型
重要的几何模型之中点模型(一)中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型(与倍长中线法类似)；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。
本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，则BE=EC。
模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。
1(2023·河北廊坊·校考三模)如图，已知在菱形ABCD中，连接对角线AC，作BC边的垂直平分线EF，分别交BC、AC、AD于点F、Q、E，若∠EQD=21°，则∠CAB的度数是()A.21°B.37°C.42°D.69°2(2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习)如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以A，B两点为圆心1AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则△BDC的周长为()2A.8B.10C.11D.133(2023·山东济南·统考二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=15°，分别以A、B为圆心，大于1AB的长为半径画弧，两弧交于M、N两?点，作直线MN交AC于D点，若AD=2，则△ABC的面积为2()A.2B.2+3C.2+3D.424(2023上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD 平分∠BAC，点PQ分别是AB，AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是．5(2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测)如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，连接BD，点E是AB 的中点，EF⊥AB交BC于点F，∠EFB=2∠CBD，若AE=5，CD=4，则CF的长为．6(2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E．(1)若BD2+CE2=DE2，求∠BAC的大小；(2)若∠ABC的平分线BF和边AC的垂直平分线EF相交于点F，过点F作FG垂直于BA的延长线于点G，求证：BC-AB=2AG．模型2：等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。
中考数学压轴题破解策略专题19《中点模型》
专题 19《中点模型》破解策略1．倍长中线在△ ABC中． M 为 BC 边的中点．A ADB M CB MCE E图1图2（1）如图 1，连接 AM 并延伸至点 F，使得 ME＝ AM ．连接 CE．则△ ABM≌△ ECM．（2）如图 2，点 D 在 AB 边上，连接 DM 并延伸至点 E．使得 MF＝DM．连接 CE，则△BDM ≌△ CEM，碰到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法复原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这类方法是最常用的也是最重要的方法．2．结构中位线在△ ABC中． D 为 AB 边的中点，A AD E DB C B C F图 1 图 2（1）如图 1，取 AC 边的中点 E，连接 DE．则 DE∥ BC，且 DF＝1BC． 2（2）如图 2．延伸 BC至点 F．使得 CF＝ BC．连接 CD，AF．则 DC∥ AF，且 DC＝1AE．2三角形的中位线从地点关系和数目关系双方面将将图形中分别的线段关系集中起来．往常需要再找一此中点来结构中位线，或许倍长某线段结构中位线，3．等腰三角形“三线合一”如图，在△ ABC 中，若 AB＝ AC．往常取底边BC 的中点 D．则 AD⊥ BC，且 AD 均分∠BAC．事实上，在△ABC中：① AB＝ AC；② AD 均分∠ BAC；③ BD＝CD，④ AD⊥ BC．关于以上四条语句，随意选择两个作为条件，就能够推出另两条结论，即“知二得二” ．AB DC4.直角三角形斜边中线如图，在△ ABC看，∠ ABC＝900，取 AC 的中点 D，连接 BD，则有 BD＝AD＝ CD＝1AC．2反过来，在△ ABC中，点 D 在 AC边上，若BD＝ AD＝ CD＝1AC，则有∠ ABC＝900 2例题解说例 1 如图，在四边形 ABCD中， E、 F 分别是 AB、CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作CD的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG且∠ AGD＝∠ BGC，若 AD、 BC所在直线相互垂直，求AD的值EF解由题意可得△ AGB 和△ DGC 为共极点等顶角的两个等腰三角形，因此△ AGD≌△ BGC，△ AGD∽△ EGF．方法一：如图1，连接 CE并延伸到H，使 EH＝ EC，连 EH、AH，则AH∥BC， AH＝ BC，而 AD＝BC， AD⊥ BC因此 AD＝ AH，AD⊥ AH，连接 DH，则△ ADH 为等腰直角三角形，又由于E、 F 分别为CH、AD ADCD 的中点，因此EF = 1 2DH2方法二：如图 2，连接 BD 并取中点 H，连接 EH，FH．则 EH＝1AD，且 EH∥ AD，FH＝1 BC，2 2而 AD＝ BC， AD⊥ BC，因此△ EHF为等腰直角三角形，因此AD=2EHEF2EF例 2 如图，在△ ABC中， BC＝22， BD⊥ AC 于点 D， CE⊥ AB 于 E，F、G 分别是 BC、 DE 的中点，若 ED＝ 10，求 FG 的长．解：连接 EF、DF，由题意可得EF、DF 分别为 RT△ BEC，RT△ BDC斜边的中线，因此DF＝EF1为 DE 的中点，因此DG＝ EG＝ 5， FG⊥ DE，因此 RT△FGD 中， FG＝BC＝ 11，而 G2＝DF 2 DG2＝4 6例 3已知：在RT△ ACB和RT△ AEF中，∠ ACB＝∠ AEF＝900，若P是BF的中点，连接PC、PE（1）如图 1，若点 E、 F 分别落在边 AB、 AC 上，请直接写出此时 PC与 PE 的数目关系．（2）如图 2，把图 1 中的△ AEF绕着点 A 顺时针旋转，当点 E 落在边 CA 的延伸线上时，上述结论能否建立若建立，请赐予证明；若不建立，请说明原因．（3）如图 3，若点 F 落在边 AB 上，则上述结论能否仍旧建立若建立，请赐予证明；若不建立，请说明原因．解（ 1）易得 PC＝PE＝1BF，即 PC与 PE 相等．2（2）结论建立．原因以下：如图 4，延伸 CP 交 EF的延伸线于点D，则 BC∥ FD，易证△ BPC≌△ FPD，因此 PC＝ PD，而∠CED＝ 900，因此 PE＝1CD＝ PC2（3）结论仍建立，原因以下：如图 5，过点 F 作 FD∥ BC，交 CP的延伸线于点 D，易得 PD＝ PC， FD＝BC因此 AE EF EFAC BC FD而∠ AFE＝∠ PBC＝∠ PFD，因此∠ EAC＝ 1800－ 2∠ AFE＝∠ EFD，如图，连接 CE， ED，则△ EAC∽△ EFD，因此∠ AEC＝∠ FED，∠ CED＝∠ AEF＝900，因此 PE＝1CD＝ PC2例 4 已知：△ ABC 是等腰三角形，∠ BAC＝ 900，DE⊥CE， DE＝ CE＝1 AC，连接 AE， M是2AE 的中点（1）如图 1，若 D 在△ ABC的内部，连接BD，N 是 BD 的中点，连接 MN ， NE，求证： MN⊥AE（2）如图 2，将图 1 中的△ CDE绕点 C 逆时针旋转，使∠ BCD＝ 300，连接 BD， N 是 BD 的中点，连接MN ，求MNAC解：（ 1）如图 3，延伸 EN 至点 F，使得 NF＝NE，连接 FB，易证△ DEN≌△ BFN，进而可得BF∥ DE， BF＝ DE，延伸 FB， CE交于点 G，则∠ G＝ 900，进而 A、B、 G、 C 四点共圆因此∠ ABF＝∠ ACE，连接AF，因此△ ABF≌△ ACE（SAS），因此 AF＝ AE， AF⊥AE，而 MN∥A F 因此 MN ＝1AE，MN⊥AE2（2）如图 4，同（ 1）可得， MN ＝1AE，MN ⊥AE，由题意可得 AC＝ 2CE，作 EH⊥ AC 于 H，2则∠ ECH＝ 600，因此 CH＝1EC＝1AC，EH＝ 3 AC，进而 AE＝ AH 2 EH 2 7 AC ，所2 4 4 2以 MN 7AC 4进阶训练1．如图，△ ABD 和△ACE都是直角三角形，此中∠ ABD ＝∠ ACE＝ 90°，且点 C 在AB 上，连接 DE， M 为 DE的中点，连接 BM， CM，求证： BM＝ CM．AC EMD B【答案】略1 【提示】延伸 CM，DB 交于点 F，则∠ CBF＝ 90°，△ CME≌ △ FMD，进而 BM＝C F＝ CM．2AC EMD BF2．我们把两条中线相互垂直的三角形称为”中垂三角形”．如图1，AF，BE是△ABC的中线，且 AF⊥BE 于点 P，像△ ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设 BC＝ a， AC＝ b， AB ＝ c．（1）猜想 a 2， b2， c2三者之间的关系，并加以证明；（2）如图 2，在平行四边形 ABCD中， E，F，G 分别是 AD，BC，CD 上的中点． BE⊥ EG，AD＝ 2 5 ，AB＝3．求AF的长．CA EDEFPGABB F C图 1图 2【答案】（ 1） a 2＋b 2 ＝ 5c 2，证明略；（ 2） AF ＝ 4．【提示】（ 1）如图，连接 EF ，由中位线定理可得PE ＝PF ＝EF ＝ 1．在 Rt △APB ，PB PABA 2Rt △ APE 和 Rt △ BPF 中，利用勾股定理即可获得a 2＋b 2 ＝ 5c 2；（ 2） 如图，取 AB 的中点 H ，连接 FH ，AC ，由中位线定理可得 FH ∥ AC ∥ EG ，进而FH⊥BE ，易证 △ APE ≌ △ FPB ，因此 AP ＝ FP ，因此 △ ABF 是“中垂三角形”进而利用（ 1）中结 论求得 AF 的长．ACAEDEMHPGDB FB FC3．巳知： △ ABC 和△ ADE 是等腰直角三角形，∠ ACB ＝∠ ADE ＝ 90°， F 为 BE 的中点．连接DF ， CF ．B B BFFDFDAAECAC CDEE图 1图 2图3（ 1）如图，当点 D 在AB 上，点 E 在 AC 上时，请直接写出此时线段 DF ， CF 的数目关系和地点关系（不用证明）；（ 2）如图 2．在（ 1）的条件下将 △ ADE 绕点 A 顺时针旋转 45°．请你判断此时（ 1）中的结论能否仍旧建立，并证明你的判断；（3）如图 3．在（ 1）的条件下将△ ADE 绕点 A 顺时针旋转角α，请你判断此时（ 1）中的结论能否仍旧建立，井证明你的判断．【答案】（ 1） DF＝CF， DF⊥ CF；（ 2）建立；（ 3）建立．【提示】（ 2）延伸 DF 交 BC于点 G，则△ DEF≌ △ GBF，进而得 DF＝GF， CD＝ CG，即得证．BGFDA CE（3）延伸 CF 至点 G，使得 FG＝ CF，连接 EG，则 GE＝ CB＝ CA， GE⊥AC，可得∠ CAD ＝∠ GED．连接 DG， CD，进而△ ADC≌ △ EDG（ SAS）．即得证．BGFA D CE4．巳知： P 是平行四边形ABCD对角线 AC 所在直线上的一个动点（不与点 A、C 重合）．分别过点 A、 C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为E，F，O 为 AC 的中点，如图 1．将直线 BP 绕点 B 逆时针旋转，当∠ OFE＝ 30°时，如图 2 所示，请你猜想线段CF，AE，OE 之间有如何的数目关系，并赐予证明．D C D CO OEF AA PB BFPE图 1 图 2【答案】图 1 中 OE＝CF－ AE；图 2 中 OE＝CF＋ AE．【提示】如图 1，延伸 EO 交 FC于点 G，易证 OE＝ OG，AE＝ CG，进而 Rt△ GFE中， OF ＝OG＝OE．而∠ OFE＝ 30°，因此 OE＝ CF－ AE．D CEOGFPA B图 1如图 2 ，同理可得OE＝ CF＋ AE．GD COAP B FE图 2。
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OC、
OD、
AB
的中点。求证： （1）
BE
AC（2）EG
EF
.
AD
F
GO
E
BC
提示：（1）等腰三角形三线合一可得
（2）中位线性质和直角三角形斜边中线性质可得
2.已知：ABD和ACE都是直角三角形，点C在AB上，且ABD
DE，设M为DE的中点，联结MB , MC。求证：MBMC。
D
证明：延长CM、DB交于点F
试一试：如图，已知在
ABC中，
AD
是BC边上的中线，
E是
AD上一点，且
BE
AC，延长
BE
交AC于F，求证：AFEF。
A
F
E
BDC
证明：延长DE至点G，使得ED=DG，联结CG
A
类比倍长中线易得：△BDE≌△CDG
F
所以∠BED =∠DGC，BE=CG
E
因为BE=AC，所以AC=GC
B
D
C
所以∠EAC =∠DGC，
2
A
DE
BC
4.中线倍长(倍长中线)：
如图（左图），在ABC中，D为BC中点，延长AD到E使DEAD，联结BE，则有：ADC≌
EDB。
作用： 转移线段和角。
A
AB
BCM
D
ECD
例1： 如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且ABCE，求证：BADCED.
E
A
B
D
C
提示：用倍长中线法，借助等腰三角形和全等三角形证明
2
C
BA
D
2.三线合一：
在ABC中:（1）ACBC；（2）CD平分ACB；（3）ADBD，（4）CDAB.
“知二得二 ”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。
C
ADB
1
3.中位线定理：如图，在ABC中，若ADBD，AECE，则DE / / BC且DEBC。
1( AC
AB)。
2
A
BDM
FC
提示：延长AB，CF交于点E，证明出BE=AC-AB，再根据中位线的性质就可得证
A
BDM
EFC
1.在梯形ABCD中，AD // BC，ABADBC，E为CD的中点，求证：AEBE
AD
E
BC
提示：延长AE、BC交于点F，
易证△ADE≌△FCE，得AD=CF，AE=EF。
因为
ABD
ACE
90
，所以ABD
ECB
所以CE∥DB，所以
BDE
CED，F
ECF
因为DM=ME，所以△DMF≌△EMC，所以CM =MF
因为
CBF
90，所以BM =CM
D
ACE90，如图，联结
A
CE
M
B
A
CE
M
BF
【预习思考】
1.角平分线的性质定理：
2.角平分线的性质定理逆定理：
3.还有哪些性质或定理与角平分线有关？
因为∠BED =AEF
G
所以∠AEF =∠FAE
所以AF=EF
例2：如图
,已知
ABC中，
BD, CE
为高线，点
M是BC的中点，点
N
是DE
的中点
..求证：
MN
DE。
A
E
N
D
BMC
证明：联结
EM、DM
在Rt△BEC
中EM
1 BC
，在
Rt△BDC
中DM
1 BC
2
2
所以EM=DM，又因为EN=ND，所以MNDE
因为ABADBC，所以AB =BF，
所以AE⊥BE
2.如图，已知：ABC中，A90 , D是BC的中点，DEDF。求证：BE2CF2EF2
A
F
E
BDC
证明：延长ED至点G，使得ED=DG，联结CG、FG
BDDC
因为EDBCDG，所以△BDE≌△CDG
A
EDDG
F
所以∠B=∠DCG，BE=CG
E
因为A90o，所以∠B+∠ACB =∠DCG +∠ACB =90°
所以∠E=∠AFE=∠CFM =∠G
所以BE=BG=CF，AE=AF
因为AB+AC=AB+AF+FC =AB+AE+BE=BE+BE=2 BE
1
所以BECFABAC
E
A
F
BDMC
G
试一试：如图所示，在
ABC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中，
AC
AB M
为
BC
的中点，
AD
是
BAC
的平分线，若
CF AD
，
且交AD的延长线于F，求证：MF
例3：如图，在
ABC中，AD为A的平分线，M为BC的中点，AD // ME，
求证：BE
CF
1AB AC。
2
E
A
F
BDMC
证明：延长FM至点G，使得FM =MG，联结BG
类比倍长中线易得：△BMG≌△CMF
所以∠G=∠CFM，BG=CF
因为AD∥EM，所以∠BAD=∠E，∠DAF =∠EFA
因为∠BAD =∠DAC，∠AFE=∠CFM
中点模型
授课日期
时间
主题
中点模型
教学内容
学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？
直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？
1.直角三角形斜边中线定理：
如图，在Rt ABC中，
ACB
90，D为
AB中点，则有：
CD
AD
BD
1
AB。
BDC
所以CG2CF2BE2CF2FG2
G
因为DEDF，ED =DG，所以EF=FG
所以BE2CF2EF2
3.如图，在正方形ABCD中，F是AB中点，联结CF，作DE
求证：AMAD。
G
提示：延长DA、CF交于点G
CF交BC于点E，交CF于点M，
AD
F
M
BEC
AD
F
M
BEC
易证：△AFG≌△BFC，所以AG=BC=AD
学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？
直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？
因为DE CF，所以AM
1
AD
GD
2
4.如图，在四边形ABCD中，AB
CD，E, F分别是BC , AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF
的延长线G, H。求证：
BGE
CHE.
G
H
G
A
H
D
F
A
F
D
B
E
C
M
证明：联结BD，取BD的中点M，再分别联结
ME、MF，
∵E、F分别是DC、AB边的中点，
B
E
C
∴ME∥CD，EM =1CD，MF∥BA，MF =1BA．
22
∵AB =CD，∴EM =MF，∴∠MEF =∠MFE．
∵EM∥CH，∴∠MEF =∠CHE
∵FM∥BG，∴∠MFE =∠BGE
∴∠CHF =∠BGE；
【巩固练习】
1.如图，平行四边形
ABCD中，对角线
AC、BD相交于点
O，BD
2 AD
，E、F