数学准备—矢量及其运算1
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θ
θ
0 < θ < 90
F1
矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法） 四. 矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法） 矢量的加、 矢量的加、减法的平行四边形法则或三角形法 均为矢量合成的几何法， 则,均为矢量合成的几何法，用几何法处理两个矢量的 合成还是比较简单的， 合成还是比较简单的，但对于多个矢量的合成问题再 用几何法就显得麻烦了. 用几何法就显得麻烦了.为解决此问题人们引入了矢量 合成的解析法——正交分解合成法， ——正交分解合成法 合成的解析法——正交分解合成法，从而将矢量计算 转化为代数计算，使多个矢量的合成问题变的简单了。 转化为代数计算，使多个矢量的合成问题变的简单了。 1.正交分解 正交分解： 1.正交分解：一个矢量 a 对应一个平行四边形 的对角线，一个对角线对应有无数个平行四边形， 的对角线，一个对角线对应有无数个平行四边形，而 一个矢量可以由平行四边形法则分解为无数对分矢 量，在这无数对分矢量中必然包括一对相互垂直的分 矢量。 矢量。
如：∵a=5 b=-3 ∴c=a+b=5-3=2 b=-3 a=5 x 方向与正方向同
Cy
再如： 再如：计算
∵
x
a +b = c = ?
1
b = bsinα ∴ c = a + b = a cosα bcosα
y 2
x x x 1
bx = bcosα2
a = acosα a = a sinα
y 2
y a +b b
α2 o
a
α1
x
2
c
y
= a sinα1 + bsinα2
∴
c = C +C
F y =300×sin 450 =212N 3 ×
∑ Fx = F x + F2x + F3x =173 93 212 = 132N 1 ∑ Fy = F y + F2 y + F y =100 124 + 212 =188N 1 3
F= Fx + ∑Fy = (132)2 + (188)2 = 230N ∑
注：①三力平衡时，构成一个封闭的三角形. 三力平衡时，构成一个封闭的三角形 ——三力平衡力三角形自行封闭 三力平衡力三角形自行封闭 F2 F2 F1 F1 F3 F3 在共点力的作用下， ②在共点力的作用下，物体处于平衡状态 合力为零， 时，合力为零，构成一个封闭的多边形 ——多力平衡力多边形自行封闭 多力平衡力多边形自行封闭. 多力平衡力多边形自行封闭 F
x 2
y
2
∴
cx = ax + bx = a cosα1 + bcosα2
cy = ay + by = asin α1 + bsin α2
∴ c = c2 + c2 = (a cosα + bcosα )2 + (asin α + bsin α )2 x y 1 2 1 2 方向 ：tan = 再求 ：a － b = c = ?
o
cy cx
y b
α2
α1
a x
解 ： ∵
cy = ay by
cx = ax bx = a cosα1 bcosα2
= asin α1 bsin α2
∴c=
c +c
2 x
2 y
2 2
= (a cosα1 bcosα2 ) + (asin α1 bsin α2 )
a sinα1 bsinα2 tg = = Cx a cosα1 bcosα2
F x = 200cos 30 =173N 1
0
Y
F3
45° 53° 30°
F 1
F y = 200sin 30 =100N 1
0
x
F2x=-155 × cos 530= - 93N ∴ F2 =-155× sin 530 =-124N ×
y
F2
F3x =-300× cos 450 =-212N ×
2.矢量加法的三角形法则 矢量加法的三角形法则
b o a c o a cb 或 o b c c = a+ b
两矢量相加， 两矢量相加，要将一个矢量的起点移到另一个矢 量的终点，然后连结一矢量的始点和另一矢量的终点, 量的终点，然后连结一矢量的始点和另一矢量的终点 即为两矢量的和。 即为两矢量的和。 由于三个矢量构成一个三角形， 由于三个矢量构成一个三角形，所以称为矢量加法 的三角形法则。 的三角形法则。 应当注意：合矢量可大于、等于、 应当注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分 矢量
a减 指 a b 向
b减 指 b a 向
小结：由分矢量求合矢量（加法） 小结：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分 矢量（减法）， ），从数学角度来说就是求解三角形的 矢量（减法），从数学角度来说就是求解三角形的 边和角的问题,因此一切解算三角形的数学方法均 边和角的问题 因此一切解算三角形的数学方法均 可使用。 可使用。
2 2
Y
F 1
∑F tg = ∑F
= 55
0
y
xຫໍສະໝຸດ Baidu
188 = = 1.42 132
F与x轴负方向夹角为 ° 与 轴负方向夹角为 轴负方向夹角为55°
F3
45° 53° 30°
x
F2
or : =180 55 =125 F与x轴方向夹角 与 轴方向夹角
0 0 0
五
在同一直线上的矢量的运算
在同一直线上的矢量其方向仅有两个,因此可以 在同一直线上的矢量其方向仅有两个 因此可以 用正、负两个符号表示两个方向，具体做法是： 用正、负两个符号表示两个方向，具体做法是：沿着 矢量所在的直线选定一个正方向,即建立一维坐标系 矢量所在的直线选定一个正方向 即建立一维坐标系 直线坐标系） 凡方向与正方向相同的矢量取正 （直线坐标系）.凡方向与正方向相同的矢量取正 凡方向与正方向相反的矢量取负值。 值，凡方向与正方向相反的矢量取负值。这样用一个 带有正、 带有正、负号的数值把矢量的大小和方向都表示出 来，从而将同一直线上的矢量运行转化为代数运算， 从而将同一直线上的矢量运行转化为代数运算， 实际上这也是平行四边形法则在特殊情况下的运用。 实际上这也是平行四边形法则在特殊情况下的运用。
2. 矢量的图形表示：带有箭头的线段 . 矢量的图形表示： 线段长度—— ——矢量大小 线段长度——矢量大小 箭头指向—— ——矢量的方向 箭头指向——矢量的方向
A 起点 F B 终点
F=5N，方向为水平向右 ，
3. 两矢量相等的条件：大小相等，方向相同 两矢量相等的条件：大小相等，方向相同. 与起点无关 B
2.矢量减法的三角形法则 矢量减法的三角形法则 两矢量相减，要将它们移到一个共同的起点， 两矢量相减，要将它们移到一个共同的起点，然 后从减项矢量的终点向被减项矢量的终点所引的矢 量即为所求之差。 量即为所求之差。 如：
b c a c a a
b = c a
可见： 可见：
c = b a
c = a b
的方向： 矢量a 的方向： tgα 的大小: 矢量 a 的大小
α
ax
x
=
ay ax
2
——
2
α矢量 与x轴正向夹角 矢量a与 轴正向夹角
a = ax + ay
注：已知一个矢量的大小和方向，它在直角坐 已知一个矢量的大小和方向， 标系中的分量唯一确定,反之已知一个矢量在直角坐 标系中的分量唯一确定 反之已知一个矢量在直角坐 标系中的两个分量则可完全确定该矢量的大小和方 向。 y c 2. 正交合成 求： a + b =? b 解： a = a cosα a = a sin α ∵ x 1 y 1 α2α a 1 x o 又 b = bsin α b = b cosα
通常将这种用平行四边形的对角线来求 出两矢量和的方法叫——矢量加法的平行四 出两矢量和的方法叫 矢量加法的平行四 b 边形法则. 边形法则
c ——称为 a 、b 的合矢量 称为 a 、b 称为 c 的两个分矢量 据余弦定理： 据余弦定理： 2 2 2
2 2
a
c = a + b 2abcos(180 θ )
将一个矢量在选定的直角坐标系中，沿两个坐 将一个矢量在选定的直角坐标系中， 标轴的方向分解——矢量的正交分解法。 矢量的正交分解法。 标轴的方向分解 矢量的正交分解法 如右图所示： y 如右图所示： a = a cosα
x
ay = asin α
ay
a
ax —a在 轴 的 量 可正、可负） 0 x 上 分 （可正、可负） ay —a在 轴 的 量 可正、可负） y 上 分 （可正、可负）
2 x
2 y
tg = c
cy
x
y b
计算 a b = c = ?
α2
α1
a b a
x
cx = ax bx = acosα1 (bcosα2 ) = acosα1 +bcosα2
cy = ay by = a sinα1 bsinα2
∴
c = cx + cy
2
2
tg =
cy cx
例：已知 F = 200N F =155N F = 300N 1 2 3 方向如图，求合力 方向如图，求合力F. 解：利用正交分解合成法
F3 F2 F1 F4 F4 F1
3
F2
三.矢量的减法 矢量的减法 1.矢量减法的平行四边形法则 矢量减法的平行四边形法则 ∵ ∴
c = a +b
b = c a = c + (a)
a
c
b
c
a
a
b
可见求 c a的差即求 c与 (a) 的 与 和，可以按平行四边形法则或三角形法 则计算——即矢量的减法实质上仍是矢 则计算 即矢量的减法实质上仍是矢 量的加法，矢量的加、 量的加法，矢量的加、减法统称为矢量 的合成. 的合成
如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等边三角形、 正弦定理、余弦定理、勾股定理、等边三角形、 相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。 相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。 注意： 已知合矢量 已知合矢量F的大小和方向与另一个分矢量 注意：①.已知合矢量 的大小和方向与另一个分矢量 F1的方向，则另一个分矢量 2与F1相互垂直时 2有极 的方向，则另一个分矢量F 相互垂直时F 小值 且 F m = F si θ n 2 in F F2 F1 已知一个分矢量F ②.已知一个分矢量 1的大小和方向与合矢量 的方 已知一个分矢量 的大小和方向与合矢量F的方 则另一个分矢量F 与合矢量F相互垂直时 向，则另一个分矢量 2与合矢量 相互垂直时 有极小 F 值 即： 2 F min = F sin θ 1 F2 0 < θ < 90
数学预备知识 ——矢量及其运算
一、矢量的概念 1.矢量的定义 矢量的定义——既有大小又有方向的量叫做矢 矢量的定义 既有大小又有方向的量叫做矢 向量） 量（向量）
记 号： F
大小表示： 大小表示：F
a v b a v b
AB AB
标量： 标量：仅有大小的量叫做标量 质量m 如：质量 、时间 t、 路程 s、动能 k 、势能 Ep 等。 、 、动能E 标量仅有大小没有方向但有正负， 标量仅有大小没有方向但有正负，如温度 t
D A AB = CD C
4.矢量可以平移 矢量可以平移
b b
b b
5. 负矢量 负矢量——两矢量等大反向互称为负矢量 两矢量等大反向互称为负矢量
a
●
b
a =- b 或: b =- a
二. 矢量的加法 1.矢量加法的平行四边形法则 矢量加法的平行四边形法则 两矢量 a 与 b 的和是以这两个矢量为两边的平行 记为： 四边形的对角线矢量 c ,记为： 记为 c = a+ b 矢量加法的表示式
= a + b + 2ab cosθ
∴
c = a + b + 2abcosθ
2 2
— c矢量的大小 矢量的大小
c 规定： 矢量的方向是： 规定：c 矢量的方向是： 与任一分矢量之间 的夹角。 的夹角。
bsin θ tg = a + b cosθ
b
a
既有大小又有方向,加法运算 矢量的定义 : 既有大小又有方向 加法运算 时满足平行四边形法则的物理量叫做矢量。 时满足平行四边形法则的物理量叫做矢量。
三角形的任一边可大于、等于、 即 三角形的任一边可大于、等于、小于其 它任一边 c b c b a c<a，c<b ， c b a c=a=b
a c>a，c>b ，
3.矢量加法的多边形法则 矢量加法的多边形法则 c b a
d c b a
依次作出各个矢量，其中后一个矢量的 依次作出各个矢量， 起点正好是前一个矢量的终点， 起点正好是前一个矢量的终点，那么从第一 个矢量的起点到最后一个矢量的终点所引的 矢量，即它们的矢量和.此时所有的分矢量与 矢量，即它们的矢量和 此时所有的分矢量与 合矢量围成一个多边形.所以称为矢量加法的 合矢量围成一个多边形 所以称为矢量加法的 多边形法则。 多边形法则。
θ
0 < θ < 90
F1
矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法） 四. 矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法） 矢量的加、 矢量的加、减法的平行四边形法则或三角形法 均为矢量合成的几何法， 则,均为矢量合成的几何法，用几何法处理两个矢量的 合成还是比较简单的， 合成还是比较简单的，但对于多个矢量的合成问题再 用几何法就显得麻烦了. 用几何法就显得麻烦了.为解决此问题人们引入了矢量 合成的解析法——正交分解合成法， ——正交分解合成法 合成的解析法——正交分解合成法，从而将矢量计算 转化为代数计算，使多个矢量的合成问题变的简单了。 转化为代数计算，使多个矢量的合成问题变的简单了。 1.正交分解 正交分解： 1.正交分解：一个矢量 a 对应一个平行四边形 的对角线，一个对角线对应有无数个平行四边形， 的对角线，一个对角线对应有无数个平行四边形，而 一个矢量可以由平行四边形法则分解为无数对分矢 量，在这无数对分矢量中必然包括一对相互垂直的分 矢量。 矢量。
如：∵a=5 b=-3 ∴c=a+b=5-3=2 b=-3 a=5 x 方向与正方向同
Cy
再如： 再如：计算
∵
x
a +b = c = ?
1
b = bsinα ∴ c = a + b = a cosα bcosα
y 2
x x x 1
bx = bcosα2
a = acosα a = a sinα
y 2
y a +b b
α2 o
a
α1
x
2
c
y
= a sinα1 + bsinα2
∴
c = C +C
F y =300×sin 450 =212N 3 ×
∑ Fx = F x + F2x + F3x =173 93 212 = 132N 1 ∑ Fy = F y + F2 y + F y =100 124 + 212 =188N 1 3
F= Fx + ∑Fy = (132)2 + (188)2 = 230N ∑
注：①三力平衡时，构成一个封闭的三角形. 三力平衡时，构成一个封闭的三角形 ——三力平衡力三角形自行封闭 三力平衡力三角形自行封闭 F2 F2 F1 F1 F3 F3 在共点力的作用下， ②在共点力的作用下，物体处于平衡状态 合力为零， 时，合力为零，构成一个封闭的多边形 ——多力平衡力多边形自行封闭 多力平衡力多边形自行封闭. 多力平衡力多边形自行封闭 F
x 2
y
2
∴
cx = ax + bx = a cosα1 + bcosα2
cy = ay + by = asin α1 + bsin α2
∴ c = c2 + c2 = (a cosα + bcosα )2 + (asin α + bsin α )2 x y 1 2 1 2 方向 ：tan = 再求 ：a － b = c = ?
o
cy cx
y b
α2
α1
a x
解 ： ∵
cy = ay by
cx = ax bx = a cosα1 bcosα2
= asin α1 bsin α2
∴c=
c +c
2 x
2 y
2 2
= (a cosα1 bcosα2 ) + (asin α1 bsin α2 )
a sinα1 bsinα2 tg = = Cx a cosα1 bcosα2
F x = 200cos 30 =173N 1
0
Y
F3
45° 53° 30°
F 1
F y = 200sin 30 =100N 1
0
x
F2x=-155 × cos 530= - 93N ∴ F2 =-155× sin 530 =-124N ×
y
F2
F3x =-300× cos 450 =-212N ×
2.矢量加法的三角形法则 矢量加法的三角形法则
b o a c o a cb 或 o b c c = a+ b
两矢量相加， 两矢量相加，要将一个矢量的起点移到另一个矢 量的终点，然后连结一矢量的始点和另一矢量的终点, 量的终点，然后连结一矢量的始点和另一矢量的终点 即为两矢量的和。 即为两矢量的和。 由于三个矢量构成一个三角形， 由于三个矢量构成一个三角形，所以称为矢量加法 的三角形法则。 的三角形法则。 应当注意：合矢量可大于、等于、 应当注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分 矢量
a减 指 a b 向
b减 指 b a 向
小结：由分矢量求合矢量（加法） 小结：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分 矢量（减法）， ），从数学角度来说就是求解三角形的 矢量（减法），从数学角度来说就是求解三角形的 边和角的问题,因此一切解算三角形的数学方法均 边和角的问题 因此一切解算三角形的数学方法均 可使用。 可使用。
2 2
Y
F 1
∑F tg = ∑F
= 55
0
y
xຫໍສະໝຸດ Baidu
188 = = 1.42 132
F与x轴负方向夹角为 ° 与 轴负方向夹角为 轴负方向夹角为55°
F3
45° 53° 30°
x
F2
or : =180 55 =125 F与x轴方向夹角 与 轴方向夹角
0 0 0
五
在同一直线上的矢量的运算
在同一直线上的矢量其方向仅有两个,因此可以 在同一直线上的矢量其方向仅有两个 因此可以 用正、负两个符号表示两个方向，具体做法是： 用正、负两个符号表示两个方向，具体做法是：沿着 矢量所在的直线选定一个正方向,即建立一维坐标系 矢量所在的直线选定一个正方向 即建立一维坐标系 直线坐标系） 凡方向与正方向相同的矢量取正 （直线坐标系）.凡方向与正方向相同的矢量取正 凡方向与正方向相反的矢量取负值。 值，凡方向与正方向相反的矢量取负值。这样用一个 带有正、 带有正、负号的数值把矢量的大小和方向都表示出 来，从而将同一直线上的矢量运行转化为代数运算， 从而将同一直线上的矢量运行转化为代数运算， 实际上这也是平行四边形法则在特殊情况下的运用。 实际上这也是平行四边形法则在特殊情况下的运用。
2. 矢量的图形表示：带有箭头的线段 . 矢量的图形表示： 线段长度—— ——矢量大小 线段长度——矢量大小 箭头指向—— ——矢量的方向 箭头指向——矢量的方向
A 起点 F B 终点
F=5N，方向为水平向右 ，
3. 两矢量相等的条件：大小相等，方向相同 两矢量相等的条件：大小相等，方向相同. 与起点无关 B
2.矢量减法的三角形法则 矢量减法的三角形法则 两矢量相减，要将它们移到一个共同的起点， 两矢量相减，要将它们移到一个共同的起点，然 后从减项矢量的终点向被减项矢量的终点所引的矢 量即为所求之差。 量即为所求之差。 如：
b c a c a a
b = c a
可见： 可见：
c = b a
c = a b
的方向： 矢量a 的方向： tgα 的大小: 矢量 a 的大小
α
ax
x
=
ay ax
2
——
2
α矢量 与x轴正向夹角 矢量a与 轴正向夹角
a = ax + ay
注：已知一个矢量的大小和方向，它在直角坐 已知一个矢量的大小和方向， 标系中的分量唯一确定,反之已知一个矢量在直角坐 标系中的分量唯一确定 反之已知一个矢量在直角坐 标系中的两个分量则可完全确定该矢量的大小和方 向。 y c 2. 正交合成 求： a + b =? b 解： a = a cosα a = a sin α ∵ x 1 y 1 α2α a 1 x o 又 b = bsin α b = b cosα
通常将这种用平行四边形的对角线来求 出两矢量和的方法叫——矢量加法的平行四 出两矢量和的方法叫 矢量加法的平行四 b 边形法则. 边形法则
c ——称为 a 、b 的合矢量 称为 a 、b 称为 c 的两个分矢量 据余弦定理： 据余弦定理： 2 2 2
2 2
a
c = a + b 2abcos(180 θ )
将一个矢量在选定的直角坐标系中，沿两个坐 将一个矢量在选定的直角坐标系中， 标轴的方向分解——矢量的正交分解法。 矢量的正交分解法。 标轴的方向分解 矢量的正交分解法 如右图所示： y 如右图所示： a = a cosα
x
ay = asin α
ay
a
ax —a在 轴 的 量 可正、可负） 0 x 上 分 （可正、可负） ay —a在 轴 的 量 可正、可负） y 上 分 （可正、可负）
2 x
2 y
tg = c
cy
x
y b
计算 a b = c = ?
α2
α1
a b a
x
cx = ax bx = acosα1 (bcosα2 ) = acosα1 +bcosα2
cy = ay by = a sinα1 bsinα2
∴
c = cx + cy
2
2
tg =
cy cx
例：已知 F = 200N F =155N F = 300N 1 2 3 方向如图，求合力 方向如图，求合力F. 解：利用正交分解合成法
F3 F2 F1 F4 F4 F1
3
F2
三.矢量的减法 矢量的减法 1.矢量减法的平行四边形法则 矢量减法的平行四边形法则 ∵ ∴
c = a +b
b = c a = c + (a)
a
c
b
c
a
a
b
可见求 c a的差即求 c与 (a) 的 与 和，可以按平行四边形法则或三角形法 则计算——即矢量的减法实质上仍是矢 则计算 即矢量的减法实质上仍是矢 量的加法，矢量的加、 量的加法，矢量的加、减法统称为矢量 的合成. 的合成
如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等边三角形、 正弦定理、余弦定理、勾股定理、等边三角形、 相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。 相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。 注意： 已知合矢量 已知合矢量F的大小和方向与另一个分矢量 注意：①.已知合矢量 的大小和方向与另一个分矢量 F1的方向，则另一个分矢量 2与F1相互垂直时 2有极 的方向，则另一个分矢量F 相互垂直时F 小值 且 F m = F si θ n 2 in F F2 F1 已知一个分矢量F ②.已知一个分矢量 1的大小和方向与合矢量 的方 已知一个分矢量 的大小和方向与合矢量F的方 则另一个分矢量F 与合矢量F相互垂直时 向，则另一个分矢量 2与合矢量 相互垂直时 有极小 F 值 即： 2 F min = F sin θ 1 F2 0 < θ < 90
数学预备知识 ——矢量及其运算
一、矢量的概念 1.矢量的定义 矢量的定义——既有大小又有方向的量叫做矢 矢量的定义 既有大小又有方向的量叫做矢 向量） 量（向量）
记 号： F
大小表示： 大小表示：F
a v b a v b
AB AB
标量： 标量：仅有大小的量叫做标量 质量m 如：质量 、时间 t、 路程 s、动能 k 、势能 Ep 等。 、 、动能E 标量仅有大小没有方向但有正负， 标量仅有大小没有方向但有正负，如温度 t
D A AB = CD C
4.矢量可以平移 矢量可以平移
b b
b b
5. 负矢量 负矢量——两矢量等大反向互称为负矢量 两矢量等大反向互称为负矢量
a
●
b
a =- b 或: b =- a
二. 矢量的加法 1.矢量加法的平行四边形法则 矢量加法的平行四边形法则 两矢量 a 与 b 的和是以这两个矢量为两边的平行 记为： 四边形的对角线矢量 c ,记为： 记为 c = a+ b 矢量加法的表示式
= a + b + 2ab cosθ
∴
c = a + b + 2abcosθ
2 2
— c矢量的大小 矢量的大小
c 规定： 矢量的方向是： 规定：c 矢量的方向是： 与任一分矢量之间 的夹角。 的夹角。
bsin θ tg = a + b cosθ
b
a
既有大小又有方向,加法运算 矢量的定义 : 既有大小又有方向 加法运算 时满足平行四边形法则的物理量叫做矢量。 时满足平行四边形法则的物理量叫做矢量。
三角形的任一边可大于、等于、 即 三角形的任一边可大于、等于、小于其 它任一边 c b c b a c<a，c<b ， c b a c=a=b
a c>a，c>b ，
3.矢量加法的多边形法则 矢量加法的多边形法则 c b a
d c b a
依次作出各个矢量，其中后一个矢量的 依次作出各个矢量， 起点正好是前一个矢量的终点， 起点正好是前一个矢量的终点，那么从第一 个矢量的起点到最后一个矢量的终点所引的 矢量，即它们的矢量和.此时所有的分矢量与 矢量，即它们的矢量和 此时所有的分矢量与 合矢量围成一个多边形.所以称为矢量加法的 合矢量围成一个多边形 所以称为矢量加法的 多边形法则。 多边形法则。