Part1-第02章

以上的对易关系就是正则量子化条件。 海森堡测不准关系
h ΔxΔp x ≥ 2
几种常见的算符：动量算符、角动量算符与自旋算符 （注意：讨论的出发点是对易关系）
注意几点
• 在量子条件中，正则变量之间的对易关系应理解为是同 时性的。 • 算符之间的不对易性有时会带来麻烦。 • 对于没有经典类比的系统，正则变量不存在，但量子条 件依然存在。 • 不同自由度（空间）的力学量是互相对易的，实际上， 这是被作为假定而成立的。如轨道角动量和自旋角动量 是可以对易的。
第二章 基本原理
要点: 叠加原理 量子条件 三种绘景 密度算符
物理学总的精髓可用一句话概括 整个物理学大厦是被建立 在若干个简单而又普适的基本原理之上
一个好的物理必须能够最终转化成可验证的数学 2．1尔 伯特空间中的矢量表征，称为态矢量，记为 ψ 。力 。 学量与希尔伯特空间中的一个具有完备本征矢量集 的厄密算符相对应。对应于态 ψ 的力学量A的预期 ψ Aψ 结果是
ψ S (t 0 ) = ψ H (t 0 ) = ψ I (t 0 )
1、薛定谔S-绘景
基本假设之三（公理三）：微观体系的状态 ψ (t ) 随时 间演化的规律服从薛定谔方程
ih ∂ ψ (t ) = H ψ (t ) ∂t
薛定谔绘景是把体系物理性质随时间变化的原因归结为 ψ (t ) 满 态矢量随时间的变化，而力学量算符则与时间无关， 足薛定谔方程。 时间演化算符 由薛定谔方程
态叠加原理的本质是指，量子力学的数学程式是建筑 在由态矢所张开的线性空间之上的。态叠加原理同相应函 数空间的基矢的完备性是紧密相关的。
2．2 量子条件
p j 为动量算 基本假设之二（公理二）：设 qi 为坐标算符， 符， i, j = 1,2,..., f , f为自由度，这些算符满足如下的对易关 系式： [qi , q j ] = [ pi , p j ] = 0, [qi , p j ] = ihδ ij
H显含时间t
时间演化算符的性质：
U 0 (t 0 , t0 ) = 1
U 0+ (t , t0 ) = U 0−1 (t , t0 )
U 0 (t0 , t1 )U 0 (t1 , t ) = U 0 (t0 , t )
U 0 (t , t0 ) = U 0−1 (t0 , t )
平均值随时间的变化
ih ∂ I ψ (t ) = H iI ψ I (t ) ∂t
态矢量随时间的变化规律 力学量算符随时间的变化规律
dAI (t ) i i I = [ H 0 , A (t )] = [ H 0 , A]I h h dt
态矢量和算符均随时间变化：态矢量满足的运动方程 与薛定谔绘景中的薛定谔方程形式相同，只是用 H i代替 H，而算符满足的方程与海森堡绘景中的海森堡方程形式 相同，只是用H 0 取代H，兼有薛定谔和海森堡两种绘景的 优点，所以实际计算中往往很方便。
∞ −∞
∂ ∂ ∂ x ) x dx = ih ∫ ( x x ) − ih ∫ x x dx ∂x ∂x ∂x ∂ − ih ∫ x x dx ∂x
再用动量算符右乘完备条件式
两式相等条件
(x x)
∞ −∞
p = ∫ x x pdx = −ih∫
∂ x x dx ∂x
=0
动量算符的矩阵形式
p = −ih ∫
理论（主观人造）描述常有三种彼此等价的方式： （1）薛定谔绘景； （2）海森堡绘景； （3）相互作用绘景。
给定一种态矢和算符与时间相关的方式就给出一种绘景 绘景问题有三个要素： （1）尽管三种绘景观点很不同，但物理上应当等价
ψ S AS ψ S = ψ H AH ψ H = ψ I AI ψ I
（2）约定三种绘景如何定义各自的态矢（三种绘景的定义） （3）为便于转换和比较，约定它们的初态相同
δ ( x − x′) = −( x − x′)
∂ ∂ x x p x′ = −ih x x′ → x p = −ih ∂x ∂x
∂ ∂ x x p x′ = ih x x′ → p x = ih ∂x ∂x′
x ↔ x′
用动量算符左乘完备条件式，给出
p = ∫ p x x dx = ih ∫ ( = ih( x x )
H H
所以，关于坐标和动量算符的海森堡方程分别为
dx H ih H ih = p ， dt m
dp H ih = −ihmω 2 x H dt
联立解得
x H (t ) = x cos ωt +
p H sin ωt ， p (t ) = p cos ωt − mωx sin ωt mω
3、相互作用I—绘景
海森堡绘景中态矢量
ψH
不随时间改变。
力学量算符随时间而变化：
dAH (t ) i i = [ H H , AH ] = [ H , A]H dt h h
海森堡运动方程
H不显含时间时，两种绘景中的哈密顿量相等。
从另一角度考察：S-绘景中ψ ( x, t ) = x ψ (t ) ，基矢 x 不含时间，
讨论3： < A >= ψ A ψ , < B >= ψ B ψ
A = A− < A >, B = B − < B >
ΔA =< A > , ΔB =< B >
2 2 2 1 1 2
证明不等式
(ΔA) 2 (ΔB) 2 ≥ − 1 < [ A, B] > 2 4
由此可得
h ΔxΔpx ≥ 2
动量算符的讨论 • 问题：
H = H0 + Hi
ψ (t ) = R (t , t0 ) ψ (t )
I −1
A (t ) = R (t , t0 ) AR(t , t0 )
I
−1
ih
∂ R(t , t0 ) = H 0 R(t ,t 0 ) ∂t
ψ I (t ) = U (t , t0 ) ψ H
AI (t ) = U (t , t0 ) AH (t )U −1 (t , t0 ) U (t , t0 ) = R −1 (t , t0 )U 0 (t , t0 )
ψ (t ) 随时间变化；H-绘景中 ψ H ( x, t )= H x, t ψ
含时间， ψ
H
H
，基矢 x, t
H
不随时间变化-见倪书P15-16。
例题：对于一维谐振子，求海森堡绘景中x，p的表示式。
解：利用海森堡方程，有
dx H ih = [xH , H ]， dt
dp H ih = [ pH , H ]， dt
δ (±a − x′) = 0 → ∫−a
f ( x)
a
∂ f ( x) δ ( x − x′)dx = − f ′( x′) ∂x
∂ δ ( x − x′) = − f ′( x)δ ( x − x′) ∂x
令
f ( x) = x − x′,
f ′( x) = 1
∂ 1 ′ δ ( x − x ) = ( x − x′) x p x′ ih ∂x ∂ ∂ ∂ ∂ x p x′ = −ih δ ( x − x′) = −ih x x′ = ih δ ( x − x′) = ih x x′ ∂x ∂x ∂x′ ∂x′
海森堡绘景与相互作用绘景的关系
ψ I (t ) = U (t , t0 ) ψ H
AI (t ) = U (t , t0 ) AH (t )U −1 (t , t0 )
时间演化算符
ψ I (t ) = U (t , t0 ) ψ I (t0 )
U (t , t0 ) 满足的运动方程为
ih ∂ U (t , t0 ) = H iIU (t , t0 ) ∂t
ψ (t ) = U 0 (t , t 0 ) ψ (t 0 )
ih
∂ U 0 (t , t0 ) = HU 0 (t , t0 ) ∂t
H不显含时间t
i U 0 (t , t0 ) = exp[− (t − t0 ) H ] h
1 t U 0 (t , t0 ) = 1 + ∫ H (t ′)U 0 (t ′, t0 )dt ′ ih t0
∂ x x dx ∂x
ϕ = p ψ → ϕ = −ih ∫
投影到坐标表象
x′ ϕ = ϕ ( x′) = −ih ∫ x′ x
∂ ∂ x x ψ dx = −ih ∫ x ψ ( x)dx ∂x ∂x
∂ ∂ ∂ ψ ( x)dx = −ih ∫ δ ( x − x′) ψ ( x)dx = −ih ψ ( x′) ∂x ∂x ∂x′
∂ 即有 ϕ ( x′) = −ih ∂x′ψ ( x′)
比较
ϕ = pψ
动量算符函数形式
∂ p = −ih ∂x
角动量算符的讨论
角动量算符与自旋算符 （该部分与本科量子力学重复，请同学自己复习）
讨论4：证明 （1）任何二阶方阵均可以由线性组合表出
a0 I + a xσ x + a yσ y + a zσ z
h px − xp = i
x px x′ − x xp x′ =
h x x′ → ( x − x′) x p x′ = ihδ ( x − x′) i 对于任一函数 f ( x) 在区间 − a < x′ < a
∫
a
−a
a ∂ a f ( x) δ ( x − x′)dx = f ( x)δ ( x − x′) −a − ∫ f ′( x)δ ( x − x′)dx −a ∂x
d < A > (t ) i ∂A = < [ H , A] > + < > ∂t dt h