关联体的速度关系
高三物理难点 破解连接体中速度、位移及加速度关联
难点6破解连接体中速度、位移及加速度关联在学习了运动的合成与分解后，我们经常会碰到涉及相互关联的物体的速度求解。
这样的几个物体或直接接触、相互挤压，或借助其他媒介（如轻绳、细杆）等发生相互作用。
在运动过程中常常具有不同的速度表现，但它们的速度却是有联系的，我们称之为“关联”速度。
解决“关联”速度问题的关键有两点：一是物体的实际运动是合运动，分速度的方向要按实际运动效果分解，二是沿着相互作用的方向(如沿绳、沿杆)的分速度大小相等。
下面通过三种关联媒介来破解连接体中的关联物理量的问题。
连接媒介之一：绳杆连接物体的关联 对于绳子或杆连接的两个物体，轻杆与轻绳均不可伸长，绳连或杆连物体的速度在绳或杆的方向上的投影相等。
求绳连或杆连物体的速度关联问题时，首先要明确绳连或杆连物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳或杆的方向和垂直于绳或杆的方向进行分解，令两物体沿绳或杆方向的速度相等即可求出。
【调研1】【2011年高考上海卷第11题】如图，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。
当绳与河岸的夹角为α，船的速率为A 、v sin αB 、v sin αC 、v cos αD 、v cos α 【解析】本题考查运动的合成与分解。
本题难点在于船的发动机是否在运行、河水是否有速度。
依题意船沿着绳子的方向前进，即船的速度就是沿着绳子的，根据绳子连接体的两端物体的速度在绳子上的投影速度相同，即人的速度v 在绳子方向的分量等于船速，故v 船＝v cos α，C 对。
【答案】C 【规律总结】绳端速度的分解是绳端物体（绳端连接体如本题小船）实际速度（对地）的分解，实际速度产生两个效果：一是绳的缩短或伸长；二是绳绕滑轮的转动，且转动线速度垂直于绳。
绕过滑轮的轻绳力的特点是两端拉力相等，速度特点是沿绳的伸长或缩短方向速度相等。
因此绳子关联的物体的分解方法有两种，①将实际速度分解为沿着绳子方向和垂直绳子方向；②绳子两端的速度在绳子上的投影速度相同，比如本题中绳子左端的速度就是拉力的速度与绳子与船连接端的小船在绳子方向上的投影速度大小相等。
“关联”速度问题模型归类例析
关联”速度问题模型归类例析绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。
关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小相等。
绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。
②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。
③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。
关联速度”问题常用的解题思路和方法：先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果，以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。
、绳相关联问题1.一绳一物模型1）所拉的物体做匀速运动例 1 如图 1 所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为厂，当轻绳与水平面的夹角为e 时，船的速度为u,此时人的拉力大小为T,则此时小结人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。
即按图 3 所示进行分解，则水错选 B 选项.平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为u /cos e ，会2)匀速拉动物体例2 如图 4 所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为a时，船的速度是多少？解析方法1——微元分析法取小角度e ,如图5所示，设角度变化e 方法2——运动等效法因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的 A 点的运动情况可以等效为：先以滑轮为网心，以AC为半径做圆周运动到达B,再沿BC直线运动到D。
做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度（即绳上 4 点的速度）的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方2.两绳一物模型例3 如图7 所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住个物体 A ，两边以速度v 匀速地向下拉绳，当两根细绳与竖直方向的夹角都为60。
浅谈连接体的关联加速度问题
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG广东教育·高中2020年第1期图2v 0hv 兹A v //v 子图1v 0hv 兹A浅谈连接体的关联加速度问题■广东省佛山市南海区石门中学余建刚一、问题的由来在高中的习题中，常会见到如下题目：“如图1所示，在离水面高度为h 的岸边，有人用小车通过绳子拉船靠岸，若车的速度恒为v 0，试求：当绳子与竖直方向的夹角为兹时，船的速度为多少？”此题较为简单，由于绳子不可伸长，沿绳各点速率相等，如图2，我们可将船速正交分解为沿绳和垂直于绳；车的速率v 0等于船沿绳分速度v n .即v 0=v n =v cos 兹.既然绳物连接体的沿绳速度相等，那么，倘若小车的加速度为a 0，则船的加速度是否也满足a 0=a cos 兹.即绳物连接体的沿绳加速度是否也相等？不少学生想当然地以为，既然速度沿绳速度相同，则它们沿绳加速度也一定相同，并列出“充分的物理依据”：“根据a =驻v 驻t ，由于绳子不可伸长，则沿绳各点速率相等，又绳子上各点经历时间相等，所以沿绳各点的加速度也必然相等，故有a 0=a cos 兹”.持这一错误的观点的学生不在少数，当前有不少老师对这一的解答比较笼统，不能给学生一个信服的解释，以致学生一知不解，不知所以然.卢瑟福有一句名言：“只有当你能把一个理论讲得连女仆都能听懂，你才算真懂了.”为了给学生一个清晰透彻、有说服力的解答，于是笔者撰写此文，以达抛砖引玉之效.二、问题的分析我们首先来看看学生所认为的沿绳加速度相同，其求解小船所谓的“充分的物理依据”，中出现了概念错误，加速度的定义a 軆=驻v 軆驻t 应是对速度的求导，学生的解法的前提必须是绳与船前进方向间夹角保持不变才可能正确.但实际上船在前进过程中绳子与船前进方向间夹角会发生变化.下面列出二种解法.解法一：高等数学求导法加速度的基本思路：小船合运动是水平运动，先通过绳船速度关系得出小船速度的表达式，并小船实际速度进行求导a=dv dt 即可得小船加速度.由于船前进过程绳子与水平面夹角兹随时间变化，故求导时兹也是时间变量.具体求导如下：a=dv dt =d （v 0cos 兹）dt =a 01cos 兹+v 0·d （v 0cos 兹）dt =a 01cos 兹+v 0·（-1）-sin 兹cos 2兹·d 兹dt =a 0cos 兹+v 0sin 兹cos 2兹·d 兹dt又因为d 兹dt =棕=v 子L =v 0tan 兹L （注：v 子为船垂直于绳的速度分量），代入上式中，可得，小船加速度：a =a 0cos 兹+v 0sin兹cos 2兹·d 兹dt=a 0cos 兹+v 02sin 兹tan 兹L cos 2兹=a 0cos 兹+v 02tan 2兹L cos 兹由上式知：a =a 0cos 兹+v 02tan 2兹L cos 兹≠a 0cos 兹，可得：a cos 兹≠a 0，即小船加速度的沿绳分量不等于车的加速度，沿绳加速度不等！解法二：加速度叠加法如图3，以O 点为参考系，则小船相对于O 点作瞬时圆周运动，船A 相对于O 的径向心加速分量为a A 对O （径向）=v 子2L，v 子为船垂直于绳的速度分量v 子=v //tan 兹=v 0tan 兹；根据加速度关系：a 船对地（径向分量）=a 车对地+a 船对车（径向分量），由小车的对地加速度为a 车对地=a 0，船沿绳加速度分量：a 船对地（径向分量）=a cos 兹，可得：a cos 兹=a 0+v 子2L，将v 子=v 0tan 兹代入，整理，得a cos 兹=a 0+v 02tan 2兹L纵观此两种方法得出相同的结果，对比学生错解，我们不难发现，正解比错解，多出一项v 02tan 2兹L，此项的物理意义是由于船由于绕O 点转动而引起的向心加速度.结论：1.轻绳两端的两个物体沿绳的分速度一定相等，但沿绳方向的加速度不一定相等.当物体有转动的分运动时，绳上两物体体沿绳子方向的加速一定不相同.2.根据运动独立性原理，被牵引物体沿绳方向的加速度分量，可认为由两部分组成，一是牵引端物体加速度的沿绳分量，二是被牵引物体由于转动，由切向速度方向变化而所v 0a 0O hv 兹v 子A v //a图355广东教育·高中2020年第1期理综高参a軆AtA v軆Bt B v軆Anv軆Bn图4图5v軆Ata軆Bt A B a 軆Ana 軆Bnv 軆相L图7自軋CC a Cna C自軋Ba Ct BA 自軋CBD产生是径向加速度.牵引加速度和转动径向加速度二者叠加方为被牵引物的加速度.三、结论的深入与推广上面结论以从绳-物连接体推广到杆-物连接体.其理论分析如下.杆、绳物系关联共同特征是杆和绳都是不可伸长的.由于杆和绳都是不可伸长的，故其上的两个质点间的相对位置不发生变化.如图4所示，杆、绳子上AB 两点的速度，AB 两点的速度可以分解为两个方向的速度：沿杆或沿绳方向为径向速度，垂直于杆和绳子方向v n ，切向速度v 子.由于杆、绳子不可伸长，则AB 在法向的分速度相等v 1n =v 2n .即AB 的相对速度方向为切向方向，B 相对于A 的速度可以表示为：v軆B 对A =v 軆B -v 軆A .以A 为原点，建立参考系，B 相对于A 旋转，若设AB 长度为L ，B 绕A 旋转的角度为棕，B 相对于A 的速度大小可以表示为：v軆B 对A =v 軆B -v 軆A =棕Le 軆如图5所示，AB 两点的的加速度，可以分解为沿杆或绳方向的法向加速度和垂于于杆或绳的切向加速度，以A 为参考点，则B 相对旋转，产生一个法向加速度.若设AB 长度为L ，B 绕A 旋转的相对线速度为v軆B 对A =v 軆B -v 軆A ，则AB 的加速度关联，可以表示a軆Bn -a 軆An =-Le 軆n ，即沿杆或沿绳加速度分量不等.四、结论的应用实例在历届竞赛题中，经常会涉及到绳、杆速度关联和加速度关联，在24届全国中学生物理竞赛复赛题中，此法应用尤其淋漓尽致.【例题】如图6中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图.AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上.BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）.当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度棕转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置.BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角，已知AB 杆的长度为l ，BC 杆和CD 杆的长度由图给定.求此时C 点加速度a c 的大小和方向（用与CD 杆之间的夹角表示）解析：因为B 点绕A 轴作圆周运动，其速度的大小为：自B =棕l (1)B 点的向心加速度的大小为a B =棕2l (2)因为是匀角速转动，B 点的切向加速度为0，故a B 也是B 点的加速度，其方向沿BA 方向.因为C 点绕D 轴作圆周运动，其速度的大小用自C 表示，方向垂直于杆CD ，在考察的时刻，由图可知，其方向沿杆BC 方向.因BC 是刚性杆，所以B 点和C 点沿BC 方向的速度必相等，故有自C =自B cos π4=2姨2棕l (3)此时杆CD 绕D 轴按顺时针方向转动，C 点的法向加速度a Cn =自CD (4)由图7可知CD =22姨l ，由（3）、（4）式得a Cn =2姨8棕2l (5)其方向沿CD 方向．下面来分析C 点沿垂直于杆CD 方向的加速度，即切向加速度a Ct .因为BC 是刚性杆，所以C 点相对B 点的运动只能是绕B 的转动，C 点相对B 点的速度方向必垂直于杆BC .令自CB 表示其速度的大小，根据速度合成公式有自軋CB =自軋C -自軋B 由几何关系得自CB =-姨=2姨2自B =2姨2棕l (6)由于C 点绕B 作圆周运动，相对B 的向心加速度a CB =B CB (7)因为CB =2姨l ，故有a CB =2姨4棕2l (8)其方向垂直杆CD .由（2）式及图可知，B 点的加速度沿BC 杆的分量为（a B ）BC =a B cos π4 (9)所以C 点相对A 点（或D 点）的加速度沿垂直于杆CD 方向的分量a Ct =a CB +（a B ）BC =32姨4棕2l (10)C 点的总加速度为C 点绕D 点作圆周运动的法向加速度a Cn 与切向加速度a Ct 的合加速度，即a C =+姨=74姨8棕2l (11)a C 的方向与杆CD 间的夹角兹=arctan a Ct a Cn=arctan6=80.54° (12)责任编辑李平安v 相2C 2自B 2自C 2自C 2a Cn 2a Ct 2llB 45°A45°CD图656。
高中物理专题关联速度
高中物理专题关联速度关联速度是指用绳、杆相连的物体，在运动过程中，其两个物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等，即连个物体有关联的速度。
解此类题的思路有两个：明确合运动即物体的实际运动速度和明确分运动，一般情况下，分运动表现在沿绳方向的伸长或收缩运动和垂直于绳方向的旋转运动。
解题的原则是速度的合成遵循平行四边形定则。
解题方法是把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。
典例1描述了一个人以恒定速度v通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动的情形。
当细绳与水平面成60°角时，小车在水平面上做加速运动。
典例2描述了一个均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。
当杆滑到某个位置时，B球水平速度为vB加速度为aB杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小。
根据公式，vAvBtanα，aAaBtanα。
专练提升中，问题1描述了一个人在岸上拉船的情形。
已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则人拉绳行走的速度为v/cosθ。
问题2描述了一个用一小车通过轻绳提升一货物的情形。
某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端的绳与水平方向的夹角为θ，此时货物的速度为v/sinθ。
问题3描述了两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上的情形。
若A车以速度v向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度为v(sinα+sinβ)。
最后一个问题描述了水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A。
另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为沿A杆向上，大小为v/cosθ。
5.一根长度为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图4-7所示。
假设物块与地面的摩擦不计，求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度vA（此时杆与水平方向夹角为θ）。
速度的关联讲解
所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有：1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．3，线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同·类型1 质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．（全国中学物理竞赛试题）图5-1 图5-２类型2 绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度．（全国中学生奥林匹克物理竞赛试题）类型3 直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）图5-３图5-４以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循．首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论．结论1 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．结论2 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方向的平移速度．同理，若直线ｂ固定，直线ａ移动，交点Ｐ的移动速度与直线ａ沿直线ｂ方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线ａ、ｂ各自运动，交点Ｐ的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．图5-５结论3 线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有了操作的章法．下面我们对每一类问题各给出3道例题，展示每一条原则在不同情景中的应用．例1 如图5-６所示，杆ＡＢ的Ａ端以速度ｖ做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为Ｒ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点Ｃ的速度．图5-6分析与解考察切点Ｃ的情况．由于半圆静止，杆上点Ｃ速度的法向分量为零，故点Ｃ速度必沿杆的方向．以点Ｃ为基点，将杆上点Ａ速度ｖ分解成沿杆方向分量ｖ1和垂直于杆方向分量ｖ2（如图5-７所示），则ｖ1是点Ａ与点Ｃ相同的沿杆方向平动速度，ｖ2是点Ａ对点Ｃ的转动速度，故可求得点Ｃ的速度为图5-7ｖＣ＝ｖ1＝ｖ·ｃｏｓθ，又ｖ2＝ｖ·ｓｉｎθ＝ω·ＡＣ．由题给几何关系知，Ａ点对Ｃ点的转动半径为ＡＣ＝Ｒ·ｃｏｔθ，代入前式中即可解得ω＝(ｖｓｉｎ2θ/(Ｒｃｏｓθ．例2 如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点Ａ3以速度ｖ沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度ｖB2．图5-8分析与解顶点Ｂ2作为Ｂ2Ａ1杆上的一点，其速度是沿Ｂ2Ａ1杆方向的速度ｖ1及垂直于Ｂ2Ａ1杆方向速度ｖ1′的合成；同时作为杆Ｂ2Ａ2上的一点，其速度又是沿Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2及垂直于Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2′的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图5-９显见，ｖ2＝ｖ1′，ｖ1＝ｖ2′．故顶点Ｂ2的速度可通过ｖ1、ｖ2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得图5-9ｖ1＝(/２ｖＡ1；ｖ2＝(/２ｖＡ2，于是可得由几何关系可知ｖＡ1∶ｖＡ2∶ｖＡ3＝Ａ0Ａ1∶Ａ0Ａ2∶Ａ0Ａ3＝３∶５∶６，则ｖＡ1＝ｖ/２，ｖＡ2＝(５/６ｖ，由此求得ｖB2＝(/６ｖ．图5-10上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点Ｂ2的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图5-１０所示，若以Ａ1、Ａ2点为基点，则Ｂ2点作为Ｂ2Ａ1杆上的点，其速度是与Ａ1点相同的平动速度ｖＡ1和对Ａ1点的转动速度ｖｎ1之合成，同时Ｂ2点作为Ｂ2Ａ2杆上的点，其速度是与Ａ2点相同的平动速度ｖＡ2和对Ａ2点的转动速度ｖｎ2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知ｖn1＝(/２（ｖA2－ｖA1），代入前式可得ｖB2＝(/６ｖ．两解殊途同归．例3 如图5-11所示，物体Ａ置于水平面上，物体Ａ上固定有动滑轮Ｂ,Ｄ为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮Ｄ、Ｂ后固定在Ｃ点，ＢＣ段水平．当以速度ｖ拉绳头时，物体Ａ沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体Ａ运动的速度是多大?图5-11分析与解首先根据绳约束特点，任何时刻绳ＢＤ段上各点有与绳端Ｄ相同的沿绳ＢＤ段方向的分速度ｖ，再看绳的这个速度与物体Ａ移动速度的关系：设物体Ａ右移速度为ｖx，则相对于物体Ａ(或动滑轮B的轴心，绳上Ｂ点的速度为ｖx，即ｖBA＝ｖx，方向沿绳BD方向；而根据运动合成法则，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参照系Ａ(或动滑轮B的轴心的速度ｖx与参照系Ａ对静止参照系速度ｖxｃｏｓα的合成，即ｖ＝ｖBA＋ｖxｃｏｓα；由上述两方面可得ｖx＝ｖ/(１＋ｃｏｓα．例4 如图5-１２所示，半径为Ｒ的半圆凸轮以等速ｖ０沿水平面向右运动，带动从动杆ＡＢ沿竖直方向上升，Ｏ为凸轮圆心，Ｐ为其顶点．求当∠ＡＯＰ＝α时，ＡＢ杆的速度．图5-12 图5-13分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在Ａ点接触，杆上Ａ点速度ｖＡ是竖直向上的，轮上Ａ点的速度ｖ0是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图5-13所示，即ｖＡｃｏｓα＝ｖ0ｓｉｎα，则ｖＡ＝ｖ0ｔａｎα．故ＡＢ杆的速度为ｖ0ｔａｎα．例5 如图5-14所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子Ａ上，以恒定的速度ｖ拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心Ｏ的运动速度ｖO．设线轴的外径为Ｒ，内径为ｒ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．分析与解当线轴以恒定的速度v拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度ｖ到轴心速度ｖO，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点Ｂ的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上Ｂ点与轴上Ｂ点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图5-１５是轴上Ｂ点与绳上Ｂ点速度矢量图：轴上Ｂ点具有与轴心相同的平动速度ｖO及对轴心的转动速度ｒω（ω为轴的角速度），那么沿切向轴上Ｂ点的速度为ｒω－ｖOsinα；而绳上Ｂ点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度ｖ，于是有关系式，即图5-14 图5-15ｒω－ｖOｓｉｎα＝ｖ．①又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点Ｃ的速度为零，则轴心速度为ｖO＝Ｒω，②由①、②两式可解得ｖO＝(Ｒｖ/(ｒ－Ｒｓｉｎα．若绳拉线轴使线轴逆时针转动，ｖO＝(Ｒｖ/(ｒ－Ｒｓｉｎα，请读者自行证明．例6 如图5-１６所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端Ａ点速度为ｖ，方向水平．以铰链固定于点Ｂ的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为ｒ和Ｒ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．图5-16 图5-17分析与解设木板与线轴相切于Ｃ点，则板上Ｃ点与线轴上Ｃ点有相同的法向速度ｖn，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即ｖn＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２．①现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn和与轴心相同的平动速度ｖO的矢量和，而ｖＣn是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn应是ｖn＝ｖOｓｉｎα．②又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有ｖ/(Ｒ＋ｒ＝ｖO/Ｒ．③将②、③两式代入①式中，得ω＝(１－ｃｏｓα/(Ｒ＋ｒｖ．例7 如图5-18所示，水平直杆ＡＢ在圆心为Ｏ、半径为ｒ的固定圆圈上以匀速ｕ竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环Ｍ的速度，设ＯＭ与竖直方向的夹角为φ．图5-18分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．例8 如图5-１９所示，直角曲杆ＯＢＣ绕Ｏ轴在如图5-19所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆ＯＡ滑动．已知ＯＢ＝10ｃｍ，曲杆的角速度ω＝０.５ｒａｄ／ｓ，求φ＝６０°时，小环Ｍ的速度．图5-19 图5-20分析与解本题首先应该求出交叉点Ｍ作为杆ＢＣ上一点的速度ｖ，而后根据交叉点速度相关特征，求出该速度沿ＯＡ方向的分量即为小环速度．由于刚性曲杆ＯＢＣ以Ｏ为轴转动，故其上与ＯＡ直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径ＯＭ、大小是ｖ＝ω·Ｍ＝10ｃｍ／ｓ．将其沿ＭＡ、ＭＢ方向分解成两个分速度，如图5-20所示，即得小环Ｍ的速度为ｖＭ＝ｖＭＡ＝ｖ·ｔａｎφ＝10cm／s．例9 如图5-21所示，一个半径为Ｒ的轴环Ｏ1立在水平面上，另一个同样的轴环Ｏ2以速度ｖ从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点Ａ的速度ｖＡ与两环中心之距离ｄ之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环．图5-21 图5-22分析与解轴环Ｏ2速度为ｖ，将此速度沿轴环Ｏ1、Ｏ2的交叉点Ａ处的切线方向分解成ｖ1、ｖ2两个分量，如图5-22，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点Ａ的速度即为沿对方速度分量ｖ1．注意到图5-22中显示的几何关系便可得。
关联速度的问题
关联速度的问题【专题概述】1、什么就是关联速度:用绳、杆相连的物体,在运动过程中,其两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等,即连个物体有关联的速度。
2、解此类题的思路:思路(1)明确合运动即物体的实际运动速度(2)明确分运动:一般情况下,分运动表现在:①沿绳方向的伸长或收缩运动;②垂直于绳方向的旋转运动。
解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则3、解题方法:把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)与平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。
常见的模型如图所示【典例精讲】1、绳关联物体速度的分解典例1(多选) 如图,一人以恒定速度v0通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动,当运动到如图位置时,细绳与水平成60°角,则此时( )A.小车运动的速度为v0B.小车运动的速度为2v0C.小车在水平面上做加速运动D.小车在水平面上做减速运动2、杆关联物体的速度的分解典例2如图所示,水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A.另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动,则从两杆开始相交到最后分离的过程中,两杆交点P的速度方向与大小分别为( )A. 水平向左,大小为vB. 竖直向上,大小为vtanθC. 沿A杆向上,大小为v/cosθD. 沿A杆向上,大小为vcosθ3、关联物体的动力学问题典例3 (多选)如图所示,轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接,A放在倾角为 的光滑斜面上,绳的另一端与套在固定竖直杆上的物体B连接.现BC连线恰沿水平方向,从当前位置开始B以速度v0匀速下滑.设绳子的张力为F T,在此后的运动过程中,下列说法正确的就是( )A. 物体A做加速运动B. 物体A做匀速运动C. F T可能小于mgsinθD. F T一定大于mgsinθ【总结提升】有关联速度的问题,我们在处理的时候主要区分清楚那个就是合速度,那个就是分速度,我们只要把握住把没有沿绳子方向的速度向绳方向与垂直于绳的方向分解就可以了,最长见的的有下面几种情况情况一:从运动情况来瞧:A的运动就是沿绳子方向的,所以不需要分解A的速度,但就是B运动的方向没有沿绳子,所以就需要分解B的速度,然后根据两者在绳子方向的速度相等来求解两者之间的速度关系。
关联速度的分解资料讲解
关联速度的分解收集于网络，如有侵权请联系管理员删除“关联”速度的分解在高中运动的合成与分解教学中，学生常对该如何分解速度搞不清楚、或很难理解，其主要原因是无法弄清楚哪一个是合速度、哪一个是分速度．这里有一个简单的方法：物体的实际运动方向就是合速度的方向，然后分析这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．一、绳、杆连接的物体绳、杆等连接的物体，在运动过程中，其两端物体的速度通常是不一样的，但两端物体的速度是有联系的，称为“关联”速度．关联速度的关系——物体沿杆（或绳）方向的速度分量大小相等．因此，求这类问题时，首先要明确绳连物体的速度为合速度，然后将两物体的速度分别分解成沿绳方向和与绳垂直方向，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出．例1．如图1-1所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？解析：绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图1-2所示进行分解．其中：v =v 物cos θ，使绳子收缩，v ⊥=v 物sin θ使绳子绕定滑轮上的A 点转动，所以v 物=cos v ． 例2．一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图2-1所示，物块以速度v 向右运动，试求当杆与水平方向夹角为θ时，小球A 的线速度v A 图1-图1-2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除图4解析：选取物与棒接触点B 为连结点，B 点的实际速度（合速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2，因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解．由速度矢量分解图得v 2=v sin θ，设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ，令棒绕O 点转动角速度为ω，则ω=v 2/a =v sin 2θ/h ，故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h ．例3．如图3-1所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置，SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？ 解析：由几何光学知识可知，当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则∠SOS ′=60°，此时OS ′=L /cos60°，选取光点S ′为连结点，该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动速度v 1和绕O 点转动线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图3—2可得：v 1=v sin60°,v 2=v cos60°，又由圆周运动知识可得，光线OS ′绕O 转动角速度为2ω，则：v 2=2ωL /cos60°，vc os60°=2ωL /cos60°,解得v =8ωL ．二、相互接触的物体求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出．例4．一个半径为R 的半圆柱沿水平方向向右以速度v 0匀速运动．在半圆柱上放置一根竖直杆，此杆只图2—1 图2—2图3-1 图3—2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 能沿竖直方向运动，如图4所示．当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度．解析：设竖直杆运动的速度为v 1，方向竖直向上，由于弹力沿OP 方向，所以有v v 01、在OP 方向的投影相等，即有v v 01sin cos θθ=，解得v v 10=tan θ．。
运动的合成与分解——“关联”速度问题
运动的合成与分解——“关联”速度问题●问题概述：绳、杆等有长度的物体,在运动过程中,其两端点的速度通常是不一样的,但两端点的速度是有联系的,称之为“关联”速度。
关联速度的关系——沿杆(或绳)方向的速度分量大小相等。
●关键点：1.绳子末端运动速度的分解,应按运动的实际效果进行。
2.速度投影定理:不可伸长的杆(或绳),尽管各点速度不同,但各点速度沿绳方向的投影相同。
●例题：如图所示,人用绳子通过定滑轮拉物体A,当人以速度v0匀速前进时,物体A将做( )A.匀速运动B.加速运动B.C.匀加速运动 D.减速运动解题探究:①物体A的运动有两个运动效果,分别是什么?②将该物体的速度沿哪两个方向分解?●规律总结求解绳(杆)拉物体运动的合成与分解问题的思路和方法:①先明确合运动的方向：物体的实际运动方向②然后弄清运动的实际效果：沿绳或者杆的伸缩效果；使绳子或者杆转动的效果。
③再确定两个分运动的方向：沿着绳子（杆）、垂直于绳子（杆）●常见的模型●巩固练习1、如图所示，人以水平速度v跨过定滑轮匀速拉动绳子，当拉小车的绳子与水平地面的夹角为β时，小车沿水平地面运动的速度为( )A．V B.vcosβC.vsinβD．v cosβ2、如图所示，纤绳以恒定速率v1沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠向岸边，设小船速度为v2，则小船靠岸过程的运动情况是( )A．加速靠岸，v2＞v1 B．加速靠岸，v2＜v1C．减速靠岸，v2＞v1 D．匀速靠岸，v2＜v13、两根光滑的杆互相垂直地固定在一起,上面分别穿有一个小球,小球a、b间用一细直棒相连,如图所示。
当细直棒与竖直杆夹角为θ时,两小球实际速度大小之比为( )A.sinθB.cosθC.tanθD.cotθ4、如图所示，物体A以速度v沿杆匀速下滑，A用细绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平夹角为θ时，B的速度为（）A．v cosθ B．v sinθC．v/cosθ D．v/sinθ5、（不定项）如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻速度分别为1v 和2v ，绳子对物体的拉力为T ，物体所受重力为G ，则下面说法正确的是( )A ．物体做匀速运动，且v 1=v 2B ．B ．物体做加速运动，且v 1>v 2C ．物体做加速运动，且T>GD ．物体做匀速运动，且T ＝G6、如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连。
高中物理绳杆关联速度问题
高中物理绳杆关联速度问题
高中物理中的绳杆关联速度问题，主要是指通过绳子或杆连接的两个物体在运动过程中，其速度之间的关系问题。
在这个问题中，需要理解并掌握关联速度的概念和规律。
1. 速度规律：在绳、杆等连接的两个物体运动过程中，它们的速度通常是不一样的。
但是，两个物体沿绳或杆方向的速度大小是相等的，我们称之为关联速度。
2. 解决关联速度问题的一般步骤：
确定合运动，即物体的实际运动。
确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳（或杆）方向的平动效果，这个效果改变速度的大小；二是沿垂直于绳（或杆）方向的转动效果，这个效果改变速度的方向。
即将实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）方向的两个分量。
按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图。
根据沿绳（或杆）方向的速度相等列方程求解。
3. 常见的模型：
车拉船模型：当车匀速前进，速度为v，当绳与水平方向成α角时，船速v′是多少？
在解决这类问题时，需要仔细分析物体的运动状态和相互作用，理解关联速度的概念和规律，按照一定的步骤进行求解。
这有助于提高物理问题的解决能力和物理思维的培养。
关联物体速度的关系
关联物体速度的关系《数理天地》高中版物理中的思想和方法2010年第7期慕椰禧瘵的系董建芳(山东省聊城市外国语学校252059)利,海生(聊城大学252059) 1.用导数分析设质点的位置坐标是(-z,),则质点的运动速度是位置坐标对时间t的一阶导数.对于相互关联的物体,如果能找到二者位置坐标之间的关系,利用导数就可以分析二者速度大小的关系.例1在水平固定的光滑细直杆上穿着A,B两个小球,并用两根长度均为L,不可伸长的轻绳分别将A,B两小球与另一小球C连接.已知三个小球质量相同且都可看作质点,现将两根轻绳拉直呈水平状,并同时释放三个小球,试求:在A,B两小球相碰前的某一时刻,A,B两球的运动速度与C球下落速度大小之间的关系.分析A,B沿水平方向运动,根据对称性,二者速度大小相等,C沿着竖直方向运动,建立如图1所示的坐标系,B,C两球的位置坐标满足z.+一L,两边对时间t求一阶导数,2zdx+2dy—O,其中dx,dy分别是B,c的运动速度B,c,所以rz图1——tand..——VBY因为B沿z轴负方向运动,所以<0,～7J即为B沿水平方向运动速度的大小.例2如图2所示,路灯距离地面的高度为H,一个身高为h的行人以速度V0匀速行走,求人头顶在地面上的影子移动速度的大小.分析人和头顶的影子沿着地面做直线运动,以地面为z轴,以路灯正下方的地面为坐标原点,设人和影子的位置坐标分别为z,,根据三角形相似,有H'z—'z'对时问f求导,dx一?,即n￡ndr36图2H一—-o九2.用相对运动分析相互关联的物体A,B的速度满足'l,B相对地面一l,甘相对肖+A相对地面,.在矢量合成的平行四边形中得出二者速度的关系. 例3如图3所示,半径为R的半圆凸轮以速度.沿水平方向向右匀速运动,带动从动杆AB沿竖直方向上升,o为凸轮圆心,P为其顶点,求当A0P—时,AB杆的速度.图3分析A点相对于半圆凸轮运动的速度对沿半圆凸轮的切线向上,AB杆相对地面沿竖直方向运动的速度等于凸轮相对地面运动的速度与对的矢量和,根据平行四边形法则得一"Uotang.例4如图4所示,墙面和地面光滑,物体A,B分别沿水平方向和竖直方向运动,当A向右运动的速度大小为.时,B向下运动的速度是多少?图4分析A物体相对于B物体的速度相舢沿接触面向上,A物体相对于地面的速度.是B物体相对于地面的速度与A相对B的矢量和,v.一+'l,A相对B,根据平行四边形法则得B—ocota.3.速度分解(1)由杆或绳子约束的物体之间的速度关系将杆或绳子视为理想化模型,对于刚性杆或拉直的,不可伸长的绳子,任意两点之间的相对距离不变,因此杆或绳上的每一点在同一时刻具有相同的沿杆或绳方向的分速度.对于例1,B,C两球通过绳子连在一起,根据绳子不可伸长,两球运动时沿绳子方向的分速度大小相等,因此把B,C的速度分别沿绳子方向和垂直绳子的方向进行分解,如图5所示,有图52010年第7期物理中的思想和方法《数理天地》高中版张学慧(甘肃省J临夏市临夏中学731100)题一束单色光斜射到厚平板玻璃的一个表面上,经两次折射后从玻璃板另一个表面射出, 出射光线相对于入射光线侧移了一段距离.在下列情况下,出射光线侧移距离最大的是()(A)红光以3O.的入射角入射.(B)红光以45.的入射角入射.(C)紫光以30.的入射角入射.(D)紫光以45.的入射角入射.分析当入射角相同时,由于紫光的折射率比红光的折射率大,光路如图1所示,紫光相对于入射光线的侧移距离较大,由此可排除(A),(B)项.对(C),(D)项的选择,有如下三种方法.方法1数学分析法设平板玻璃的厚度为d,折射率为,一束光线以入射角a射到玻璃的上表面,出射光线相对于入射光线的侧移距离为Ax,如图2所示.由几何关系,得(08年全国卷Ⅱ)红紫图1图2△z—BCcosa===d(tana—tanil)COS0~,①又一,c.s卢一,所以ta一一把②式代入①式,得——====———————一,.一sin.a②△z—dsina(1—).③V一S1n口③式是侧移距离Ax关于入射角a的关系式,但不易分析出Ax随a的变化如何变化.考虑到COSa一,二面,③式可变形为f1]Ax—dsinai1一—_====:1.④√+j^f1'一-一由④式可知:当入射角a增大时,侧移距离Ax也增大,选(D)项.方法2数值验证法设入射角a一30.,a一45.时,出射光线相对于入射光线的侧移距离分别为△z,Ax2.则在方法2中推出③式后,可将a--_30.,a一45.,"≈√2分别代人计算,比较得Ax<Ax.,选(D)项.方法3极限分析法当入射角等于0.时,光在平板玻璃两表面处的传播方向不变,即垂直于上表面入射,垂直于下表面出射,出射光线相对于入射光线的侧移距离等于零;当入射角接近9O.时,玻璃中的折射角接近临界角,从下表面出射的光线与法线的夹角(二次折射的折射角)接近90.,即出射光线相对于入射光线的侧移距离约等于平板玻璃的厚度(两表面之间的距离).所以,随着入射角的增大,出射光线相对于入射光线的侧移距离增大,选(D)项.u2——U3,即Bsina—cCOSl:I,所以72(一Btana.(2)相互接触物体的速度关系将相互接触的物体视为刚体,沿接触面法线方向,接触的物体具有相同的法向分速度,否则物体将相互分离或者发生形变.对于例3,杆与凸轮相互接触,在接触点将杆和凸轮的速度分别沿切线和法线方向进行分解,沿法线方向的分速度相等,即VCOSot:==nS1na'所以73一tana.D图637。
关联体的速度关系
关联体的速度关系知识点：1、关联体和关联体运动的概念：关联体一般是由两个（或两个以上）的物体由轻绳或者轻杆联系在一起， 或直接挤压在一起，它们的运动简称关联运动。
一，判断下列运动过程中两者的速度大小是否相等，总结：大小相不相等主要比较------------------------------------------二，关联类问题求解方法：速度的分解1、绳连接的物体的速度的关联问题分解时，首先要确定分解那个物体的速度（分解不沿绳子运动的那个物体的速度）然后找准这个物体的合运动（实际运动）的方向。
最后按照产生的两个实际效果的方向（沿绳子方向和垂直绳子方向）分解。
2、等量关系的建立：①根据沿绳（或者杆）方向的分速度的大小相等建立等量关系②相互接触挤压物体的速度关联问题时，根据两物体沿弹力方向的速度相等（接触点处的相对速度为零所以速度相等）建立等量关系。
例1，如图所示，做匀速直线运动的小车A 通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，设重物和小车速度的大小分别为v B 、v A ，则( )A ．v A >v BB ．v A <v BC ．绳的拉力等于B 的重力D ．绳的拉力大于B 的重力例2,人用绳子通过定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0匀速地拉绳使物体A 到达如下图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速度是( )A ．v 0sin θB .v 0sin θC ．v 0cos θD .v 0cos θ例3、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度大小例4、如图所示，薄板形斜面体竖直固定在水平地面上，其倾角为θ＝37°。
一个“Π”的物体B靠在斜面体的前后两侧，并可在水平面上自由滑动而不会倾斜。
一根光滑细圆柱体A搁在B的竖直面和斜面之间。
所有摩擦都不计，且不考虑圆柱体的滚动，当A被推至离地高为h的P处时停止运动，放手后A下滑时带动B一起运动，当A下滑的速度大小为2m/s时，B的速度为多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8。
物理关联速度
物理关联速度
物理关联速度指的是在物理学中，两个物体之间存在的某种关联关系，可以通过比较它们之间的运动速度来确定。
这种速度可以用来描述两个物体之间的相对运动状态，以及它们之间的距离和时间的变化规律。
在物理学中，有许多不同类型的关联速度。
例如，当两个物体之间存在引力关系时，它们之间的关联速度就是它们之间的相对速度。
这个速度是由牛顿万有引力定律所描述的，可以用来计算它们之间的引力大小和方向。
另一个例子是电磁场的关联速度。
当两个带电粒子之间存在电磁相互作用时，它们之间的关联速度就是它们之间的相对速度。
这个速度可以用来描述它们之间的电荷大小和方向，以及它们之间产生的电磁力的大小和方向。
物理关联速度在许多领域都有应用，包括航天、机械工程、物理学等。
例如，在航天领域中，科学家们需要计算两个行星之间的关联速度，以确定它们之间的距离和轨道。
在机械工程中，工程师们需要计算两个运动部件之间的关联速度，以确保它们的运动是同步的。
因此，物理关联速度是物理学中非常重要的一个概念。
- 1 -。
(完整word版)绳、杆相关联物体的速度求解
绳、杆相关联物体的速度求解江苏省新沂市第一中学张统勋绳、杆等有长度的物体，在运动过程中,如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。
“关联速度”问题特点:沿杆或绳方向的速度分量大小相等。
绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。
②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。
③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。
常用的解题思路和方法：先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向,然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果;另一方面使绳或杆转动的效果。
以确定两个分速度的方向,沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。
一、绳相关联问题1．一绳一物题型⑴所拉的物体匀速运动【例1】如图1所示，人在岸上拉船,已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时,船的速度为v,此时人的拉力大小为T，则此时A．人拉绳行走的速度为v cosθB．人拉绳行走的速度为v/cosθC．船的加速度为D．船的加速度为解析：船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮顺时针转动, 因此将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人=v cosθ， A对, B错;绳对船的拉力等于人拉绳的力,即绳的拉力大小为T，与水平方向成θ角，因此T cosθ—f＝ma，解得:，C正确，D错误。
答案：AC。
点评：人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。
即若按图3所示进行分解，则水平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为v/cosθ，会错选B选项。
⑵匀速拉动物体【例2】如图4所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v,当拉船头的绳索与水平面的夹角为α时,船的速度是多少？解析：方法1——微元分析法取小量θ,如图5所示，设角度变化θ所需的时间为Δt，取CD=CB，在Δt时间内船的位移为AB，绳子端点C的位移大小为绳子缩短的长度AD。
关联速度问题——绳端、杆端或接触面速度分解模型
高考理化 2021年1月关联速廈诃题绳端、杆端或接触面速度分解模型2!■河南省实验中学 王若冰两个或两个以上物体由轻绳或轻杆连接在一起，或直接挤压在一起，称为关联体，它们的运动称为关联运动。
相互关联的两个物体在运动过程中，一般不是都沿绳、杆或接触面运动的，即二者的速度通常不同，但存在某种联系，称为关联速度。
要想求解关联速度， 就需要找到关联速度间的联系，并正确分解已知速度，下面以由两个物体组成的关联体问o 为例，具体说明。
题型一：由绳连接物体的关联速度问题! !如图1所示，光滑定滑轮固定在天花板上的o 点，一根轻绳 跨过定滑轮系在A 、B 两物体上$若物体A 以速图1度（沿水平地面向左匀速运动，某时刻，系在物体A 、B 上的两段轻 绳分别与水平方向成a 』角，则此时物体B的速度为（）。
A. G l （，方向水平向左cos a B.方向水平向左cos aC.方向水平向右d . ^a ^，方向水平向右*解析：如图2所示，将物体A 的速度沿绳方向与垂直于绳方向进行分解，则v沿绳方向的分速 大小（1 = （cos a （将物体B 的速度 图2沿绳方向与垂直于绳方向进行分解，则沿绳 方向的分速度大小（3=（b C os *。
因为同一根轻绳上沿绳方向的速度大 等，所以（1 =、、、©、、、、a 、（3，解得（B =（，万向水平向右$*答案:C6评：求解由轻绳连接的两个物体的关联速度，需要先将两个物体的速度分别沿绳方向和垂直于绳方向进行分解，再根据两个 物体沿绳方向的分速度相等建立等量关系, 从而使问题得以解决。
题型二：由杆连接物体的关联速度问题!2如图3所示，一（根长直轻杆AB 在墙角沿竖 \直墙面和水平地面滑动，当轻 竖直墙面间的 为5"时，轻杆的A 端沿墙面下图3滑的速度大小为（1 B 端沿z地面滑动的速度大小为（2，则（1、（2的关系 是（）$A. （ 1（ 2 B . （1 （ 2 cos "C.（1 =（2>n "D.（1 =（2 sin "解析：如图4所示，将轻杆A 端的下滑 速度（1分解为沿杆方向的速度（1’和垂直于杆方向的速度5〃，将轻杆B 端的水平速度5 分解为沿杆方向的速度（乙和垂直于杆方向的速度（2〃。
与绳(或杆)相关联物体的速度求解
v
所以 v物 = cos
点评
①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出 参与了某个分运动）；
②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速 度）且速度方向始终不变；
③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行 四边形定则确定分速度方向；
④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。
解法二：应用能量转化及守恒定律 由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做 的功。 设人对绳子的拉力为F，则人对绳子做功的功率为 P1 = Fv；由定滑轮的特点可知，绳子对物体的拉力 大小也为F，则绳子对物体做功的功率为P2 = Fv物 cosθ，因为P1 = P2，所以 v = v物cosθ
，两边同除以△t得：
L x cos
t t
即收绳速率 ，
因此物体的速率为： 点评：
v物
v
cos
①在上述问题中，若不对物体的运动认真分析，就
很容易得出 v物 v cos 的错误结果。
②当物体向左移动，θ将逐渐变大， 逐渐变大，虽
然人做匀速运动，但物体却在做变速运动。
【例2】如图所示，重物 M沿竖直杆下滑，并通过绳 带动小车m沿斜面上升。问： 当滑轮右侧的绳与竖直方向 成θ角，且重物下滑的速率 为v时，小车的速度为多少？
2．由于绳(或杆)具有不可伸缩的特点，由它们连接 的物体，沿绳(或杆)方向的分速度大小必相等。故此类 题中可将物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行 于绳(或杆)的两个分量。
3．对于刚性接触面，相接触的两物体间沿垂直接 触面方向在不分离的前提下无相对运动，即它们在垂直 于接触面方向上的分速度必相等，故此类题中常将物体 的速度分解为垂直于接触面与平行于接触面两个分量。
解法一：重物M的速度v的方向是合运动的速 度方向，这个v产生两个效果：一是使绳的这一 端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳 系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v′运动， 如图所示，由图可知，v′＝vcosθ。
连接体运动的速度分解总结
连接体运动的速度分解总结集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）课题：速度关联类问题求解·速度的合成与分解典型例题问题点知识点：关联体1、关联体和关联体运动的感念：关联体一般是由两个（或两个以上）的物体由轻绳或者轻杆联系在一起，或直接挤压在一起，它们的运动简称关联运动。
2、关联速度分解的步骤：○1确定合运动的方向：物体运动的实际方向就是合运动的方向即合速度的方向。
○2确定合运动的效果：一是沿牵引力方向的平动效果，改变速度的大小，而是垂直牵引力方向的转动效果，改变速度的方向。
○3将合运动按转动，平动的分解，确定合速度与分速度的大小关系。
3、绳连接的物体的速度的关联问题分解时，首先要确定分解那个物体的速度（分解○不○沿○绳子运动的那个物体的速度）然后找准这个物体的合运动（实际运动）的方向。
最后按照产生的两个实际效果的方向（沿绳子方向和垂直绳子方向）分解。
4、等量关系的建立：（1）根据沿绳（或者杆）方向的分速度的大小相等建立等量关系（2）相互接触挤压物体的速度关联问题时，根据两物体沿弹力方向的速度相等（接触点处的相对速度为零所以速度相等）建立等量关系。
典例（1）只需分解一个物体的速度的绳的关联［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？（2）需要分解连个物体的绳的关联［例2］（★★★）如图5-1所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？（3）杆的关联问题［例3 ]（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小（4）相互接触挤压物体的关联问题［例4 ]（★★★★★）一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A（此时杆与水平方向夹角为θ）完成时间完成质量家长确认抽查反馈图图。
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面夹角为θ时，物体B的速率为
，
B
v
寻找分运动效果
【答案】 vB=vsinθ
A
v sin
v
❖ “绳+物”问题：水平运动物体拉水平运动物体
【例题4】如图所示，A、B两物体用细绳相连，在水平
面上运动，当α=450，β=300时，物体A的速度为2 m/s，
这时B的速度为
。
寻找分运动效果
v绳
B
vB
【答案】
2 vB 3
21km/ h
21km/ h
运
动
矢
39km/ h 39km/ h
量
1200
1200
分
析
vBC
vBC
【答案】
t AB
AB vu
1 (h) 30
1
tBC
tCA
(h) 12
t tAB tBC tCA 12(min)
❖ 两杆交点的运动
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.一般说来，此类问题最常用微元法求解，所以根据运动情 况认真做好运动示意图，尤为重要。 2.根据解题的需要，有时也可用运动的合成与分解求解。 此时，以下步骤仍很关键。 ①准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 ②根据运动效果寻找分运动； ③根据运动效果认真做好运动矢量图。
❖ 两杆交点的运动
【例题1】如图所示，一平面内有两根细杆L1和L2，各自 以垂直于自己的速度v1和v2在该平面内运动，试求交点相 对于纸面的速度及交点相对于每根杆的速度。
微元法求解
v1 v2【答案】源自vv v12 v22
L2
L1
❖ 两杆交点的运动
【例题2】细杆OM绕O轴以匀角速度ω转动，并推动套在杆 和钢丝AB上的小球C沿AB运动。O轴与AB的距离为OD=d， 试求小球与D点距离为x时，小球沿AB滑动的速度和沿OM 滑动的速度。
vOM
寻找分运动效果
【答案】
v AB
r
v AB
x2
d2
d
x vOM
x2 d2
d
例9．如图所示的装置中，AB杆水平固定，另一
细杆可绕AB杆上方距AB杆高为h 的O轴转动，两
杆都穿过P 环，若使可动细杆绕O 轴以角速度ω转
动，当可动细杆与竖直方向所成的锐角α=30o时，
环的运动速率为4/3× ω h .
vB
vB sin
x al sin y l alcos
消去θ
x2
y2
a2l 2 l al2 1
vA cos vB sin vB vActg
在水平方向上：
vPx al vB l
vPx avB a ctg vA
在竖直方向上：
vPy l al
vA
l
vPy 1 a vA
❖ “绳+物”问题：绳拉船
【例题1】如图所示，绳以恒定速率v沿水平方向通过定滑
轮牵引小船靠岸，当绳与水面夹角为θ时，船靠岸的速度
是
。若使船匀速靠岸，则绳的速度是
。
（填：匀速、加速、减速）
寻
找
分
v
运
动 效
v'
果
【答案】 v' v
减速
cos
❖ “绳+物”问题：水平运动的车拉物体竖直运动
【例题2】如图所示，汽车沿水平路面以恒定速度v前进，
❖ “杆+物”问题
【例题1】如图所示，滑块B以速度vB向左运动时，触点 P的沿杆移动的速度如何？
寻找分运动效果
vB
【答案】 v vB cos
【拓展】若已知杆长和P点的位置，求小球的速度。
❖ “杆+物”问题
【例题2】如图所示，长L的杆AB，它的两端在地板和竖直
墙壁上，现拉A端由图示位置以速率v匀速向右运动，则B端
❖ “和绳相连的两个物体间的速度关系”问题
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动：实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动：
物体的运动引起绳子的伸长或缩短 3.一般情况下，分运动表现在：
①沿绳方向的伸长或收缩运动； ②垂直于绳方向的旋转运动。 4.根据运动效果画出运动矢量图，是解题的关键。 5.对多个用绳连接的物体系统，要牢记在绳的方向上的速度 大小相等。 6.此类问题还经常用到微元法求解。
v0 cos v cos
Hh H
cos cos
H v H h v0
v
❖ “物+影”问题
【例题5】探照灯照在云底面上，云层的底面是与地面平 行的平面，如图所示，云层底面离地面的高度为h。设探 照灯以匀角速度ω在竖直平面内转动，当光束与竖直线的 夹角为θ时，试求云层底面光点的速度。
寻找分运动效果
S1 = v1Δt ，
v
绳在Δt时间内拉过 S=v Δt ，
由运动的分解， S1 =S /cosα ∴v1 =v /cosα
α逐渐增大， v1也逐渐增大
α
α S1 =v1Δt
❖ “绳+物”问题：竖直运动物体拉水平运动物体
【例题3】如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A，用
细绳通过定滑轮拉动物体B在水平桌面上运动，当绳与水平
❖ “物+影”问题 【例题4】高为H处有一小灯，灯下有一个身高为h的人，由灯 的正下方出发，沿直线方向在水平地面上以v0速度远离小灯。 试求t时刻此人头顶在地面投影的速度。
微元法求解
【答案】
H v H h v0
寻找分运动效果
❖ “物+影”问题
寻找分运动效果
v0
B、D角速度相等 （以后再学这个解 法）
v绝对 v相对 v牵连
❖ 相对运动 【例题1】当自行车向正东方向以5km/h的速度行驶时，人 感觉风从正北方向吹来；当自行车的速度增加两倍时，人 感觉风从正东北方向吹来，求风对地的速度和风向。
运动矢量分析
【答案】 v风 5 5km / h 11.18km / h tg 2
❖ 相对运动
【例题2】模型飞机以相对空气v=39km/h的速度绕一个边 长为2km的等边三角形飞行，设风速u=21km/h，方向与三 角形的AB边平行并和飞机起飞方向相同。求飞机绕三角 形一周需要多少时间?
❖ “物+影”问题
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.一般情况下，分运动表现在：
①沿光线方向的远离或靠近运动； ②垂直于光线方向的旋转运动。 4.根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关键。 5. 此类问题还经常用到微元法求解。
O
解：OP=h/cos 30o α
设环在很短时间内从P1运动到P ， h
v1 = ω× OP= ωh/cos 30o A
v
P P1 B
由运动的分解，v1 =vcos 30o
v1 ω
∴v = v1/cos 30o = ωh/cos 230o
=4ωh/3
v
α
P
P1
v1
❖ 两杆交点的运动
【例题3】两个相同的正方形铁丝框如图放置，并沿对角线
方向分别以速度v和2v向背运动，则两线框交点M的运动速
度为
。
微元法求解
10 【答案】 vM 2 v
❖两杆交点的运动 微元法求解
10
【答案】 vM
v 2
❖ 两杆交点的运动
【例题4】两直杆交角为θ，交点为A，若二杆各以垂直于
自身的速度v1、v2沿着纸平面运动，则交点A运动速度的大
小为
。
微元法求解
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
⑴杆上与A相距al(0<a<1)的P点的运动轨迹； ⑵如果图中θ角和vA为已知，那么P点的x、y方向分运动速 度vPx、 vPy是多少?
寻找分运动效果
【答案】
x2 a2l2
(l
y2 al
)2
1
vPx a ctg vA
vPy (1 a)vA
❖ “杆+物”问题 寻找分运动效果
vA cos
vA
v
r
【答案】
v
h cos2
❖ “物+影”问题 【例题6】如图所示，点光源S距墙MN的水平距离为L，现从 S处以水平速度v0抛出一个小球P，P在墙上形成的影是P’， 在球做平抛运动的过程中，其影P’的运动速度v’是多大？
微元法求解
【答案】
v' gL 2v0
❖ 相对运动
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关键。 4.解题时经常用到的矢量关系式：
6m / s
A
vA
v绳
❖ “杆+物”问题
【问题综述】 此类问题的关键是： 1.准确判断谁是合运动，谁是分运动；实际运动是合运动 2.根据运动效果寻找分运动； 3.一般情况下，分运动表现在：
①沿杆方向的运动； ②垂直于杆方向的旋转运动。 4.根据运动效果认真做好运动矢量图，是解题的关键。 5.要牢记在杆上各点沿杆的方向上的速度相等。 6.此类问题还经常用到微元法求解。
则当拉绳与水平方向成θ角时，被吊起的物体M的速度为
vM=
。
寻找分运动效果
v
vM
【答案】 vM v cos
练习．如图所示，用一根轻绳拉住一置于水平地面
的物体，绳的另一端通过定滑轮被人拉住，则当人
用手匀速向左拉绳时，物体将做 （ C ）
A．匀速运动
B．减速运动
C．加速运动 D．不能确定
解：设经过极短时间Δt物体由图示位置前进