格型自适应滤波器
格型自适应滤波的基本原理和用途
格型自适应滤波的基本原理和用途
一、基本原理
1. 去噪：通过检测噪声，在被处理信号中根据噪声情况调整滤波器参数，以有效抑制噪声，并保持信号恒定。
2. 自适应性：滤波器参数会随被处理信号的变化而变化，从而滤除信
号中的噪声而不影响信号的特征，使滤波效果达到最佳。
3. 空域中心模型：空间域中心模型是一种格型自适应滤波的基本结构，利用输入信号和多个滤波器，根据实际信号噪声比进行参数调整，以
达到去噪的作用。
二、用途
1. 图像处理：格型自适应滤波用于图像处理，利用滤波器参数能够自
动调节，以有效消除图像中的噪声，改进图像的视觉效果。
2. 语音处理：格型自适应滤波可用于语音信号处理，根据实际噪声条
件进行参数设置，有效消除语音信号中的噪声，保持信号的清晰度。
3. 通信技术：格型自适应滤波可以应用于半导体系统通信技术等，能
够根据各种噪声类型快速抑制噪声，并保持信号恒定，使滤波器达到最佳执行效果。
自适应格型滤波器
和
假设滤波器输入信号等于零，i<0,则有
∑λ
i=0
n−1
n−1−i 2 m−1
2 b (i) = ∑λn−ibm−1(i −1) i=1
n
f b ) 如果对上式(10)~(12)所规定的 km−1(n) ， Em−1(n) 及 Em−1(n进行修改， 即把其中i=n项从和式中分开离出来，就可获得它们的递归计 算公式。以式(10)为例，我们将它重新写成下式：
fm−1(i)
b
∑
fm (i)
r km
bm−1(i) (i
z−1
bm−1(i −1 )
∑
bm (i)
图1 格型滤波器的单级 图1表示M阶格型滤波器中第m节（m=1,2,… M）结构，按图中信 号流程可以用下列方程式进行描述： (1) (2)
Kb 式中， 为第m级前向反射系数， m为后向反射系数， (i) fm 为前 bm 为后向预测误差序列。 向预测误差序列， (i) .
(27)
由式(26)知0≤k≤i，对式(27)所示正交性来说，全部k值也在此 范围内而存在正交性关系，所以，时延 必满足不等式条件： l 所以，式(26)右边全部期望项之和必然等于零，得 1 ≤ l ≤ m − i, m > i, 到 .
E[ fm (n)x∗ (n − l)] = 0 :1 ≤ l ≤ m − i, m > i
表1中估计是在时间平均内指数加权之和的形式，其中加权常 数λ为正直范围，即0﹤λ≤1.当输入信号为平稳随机过程时， 选取λ=1。 .
我们可将前向反射系数
b 与后向反射系数 Km(n) 分别表示为
(8) 和
b km (n) = −
km−1(n) f Em−1(n)
第6章自适应滤波器
硬件的巨大发展，使得工程师更关心系统的稳定性，
而不在乎那么一丁点计算量的减少。因此，自适应滤波器常采用FIR结构。 可分为：横向型(直接型)、对称横向型(线性相位型)、格型
第十四页，编辑于星期三：二十三点 四十分。
第十五页，编辑于星期三：二十三点 四十分。
第十六页，编辑于星期三：二十三点 四十分。
第十七页，编辑于星期三：二十三点 四十分。
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第十九页，编辑于星期三：二十三点 四十分。
第二十页，编辑于星期三：二十三点 四十分。
1959年，威德诺，Wn+1=Wn+△W(负比例系数的均方误差函数梯度) 。
②递推最小二乘(RLS)算法 ：使估计误差的加权平方和最小.
第四十五页，编辑于星期三：二十三点 四十分。
6.4.2 LMS自适应算法
最小均方算法：Least Mean Squares
维纳滤波器的寻优以最小均方误差为准则；
LMS自适应滤波的寻优就在最小均方误差的基础上稍作改动：
RLS收敛快的原因在于采用类似归一化步长。
wˆ (n) wˆ (n 1)
P(n 1)
x(n) (n)
xH (n)P(n 1)x(n)
值得注意的是：自适应滤波器--时变性，非线性。
非线性：系统根据所处理信号特点不断调整自身的滤波器系数。时 变性：系统的自适应响应/学习过程。
所以，自适应滤波器可自动适应信号的传输环境，无须详细知道信 号的特征参数，无须精确设计滤波器本身。
线性自适应滤波器的两个阶段：
格型滤波器
将AR(k)模型参数{ak,i}看成一个序列，其z变换
Ak ( z ) ak ,i z i
i 0 k
ak ,0 1
{ak,i}的倒序序列{ak,k-i} 的z变换
A R k ( z ) ak ,k i z i ak ,i z ( k i )
这就是前向和后向预测误差递推计算式。
递推从k=0开始 所以
0
A0 ( z ) A 0 ( z ) 1
R e0 ( n ) x ( n ) e0 ( n ) x ( n )
E0 ( z ) A0 ( z ) X ( z ) X ( z )
E (z) A 0 (z) X (z) X (z)
e (n) p
1
2
Z-1 Z-1 Z-1 e0 ( n 1) e ( n) e1 ( n 1) e2 ( n)
1
e (n) p
格型滤波器的两个重要性质：
1.各级参数（反射系数）的模<1，一般情况 下可保证滤波器稳定。
2.极间是去耦的。所以各级达到最优时，滤 波器全局达到最优。
i 0 i0 k k
z k ak ,i z i z在Levinson递推中
a k 1 , i a k , i k 1 a k , k 1 i
i 1,2 k
a k 1 , i a k , i k 1 a k , k 1 i
前向预测误差的z变换 后向预测误差的z变换
Ek ( z ) Ak ( z ) X ( z ) Ek ( z ) A R k ( z ) X ( z )
前向预测误差是x(n)通过冲激响应为 {1，ak,1 ，ak,2 ，…ak,k}的预测误差滤波器的输出 后向预测误差是x(n)通过冲激响应为 {ak,k , ak,k-1 , ak,k-2 ,…1}的预测误差滤波器的输出
第四部分自适应信号处理教学课件
❖ 算法原理
• 基本方程
4)最小代价函数
对于前向预测：
Emf
(n)
u(n)
a Tm
(n)u
* m
(n)
对于后向预测：
E
b m
(n)
v(n)
b
T m
(n)
v
* m
(n)
自适应格-梯型滤波器
❖ 算法原理
• 基本方程
5)W-H方程与Wiener解 a)对于前向预测：
Rm (n 1)am (n) um (n)
(11)
k
自适应格型滤波器
❖ 格型自适应滤波原理
• 格型自适应算法(续)
利用
Em (n) 0
* m
可得n时刻发射系数
w(n
k)
f m1 (k )g
* m1
(k
1)
m (n)
k
w(n k ) f m1 (k ) 2 (1 ) g m1 (k 1) 2
且有
k
m (n) 1
步骤6 令m m 1 ,重做步骤2-5, 直到预测误差功率很小为止.
内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalman滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 自适应格-梯型滤波器 ❖ 无限脉冲响应自适应滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
i0
m
m
gm (n) bm (i)x(n i) am* (m i)x(n i)
i0
i0
(8a) (8b)
自适应格型滤波器
❖ 格型自适应滤波原理
• 格型滤波器设计准则
定义前、后向滤波器的残差能量
自适应滤波器原理 第五版
自适应滤波器原理第五版一、自适应滤波器概述自适应滤波器是一种能够自动调整其内部参数的滤波器，以适应输入信号的变化。
这种滤波器在许多领域都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
自适应滤波器的核心特点是能够根据输入信号自动调整其参数，从而实现最优的滤波效果。
二、最小均方误差准则最小均方误差准则是自适应滤波器设计的重要准则之一。
这个准则的基本思想是使滤波器的输出信号与期望信号之间的均方误差最小。
通过最小化均方误差，自适应滤波器能够逐渐逼近最优滤波器，从而提高信号处理的性能。
三、递归最小二乘法递归最小二乘法是一种常用的自适应滤波算法。
该算法通过最小化误差的平方和来不断更新滤波器的系数，从而实现最优的滤波效果。
递归最小二乘法具有快速收敛和稳定的特点，因此在实践中得到了广泛应用。
四、格型自适应滤波器格型自适应滤波器是一种特殊的自适应滤波器，其结构类似于格型结构。
这种滤波器的特点是具有较低的计算复杂度，同时具有良好的性能表现。
格型自适应滤波器广泛应用于实时信号处理和控制系统等领域。
五、自适应滤波器的应用自适应滤波器在许多领域都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
在通信领域，自适应滤波器用于信号的降噪和增强，从而提高通信质量。
在图像处理领域，自适应滤波器用于图像的平滑和锐化，从而提高图像的清晰度。
在控制系统中，自适应滤波器用于实现最优控制，从而提高系统的性能。
六、采样矩阵求逆算法采样矩阵求逆算法是一种求解线性方程组的算法，其在自适应滤波器的设计中也有重要的应用。
通过采样矩阵求逆算法，可以求解出自适应滤波器的最优系数，从而提高滤波器的性能。
七、并行分布式自适应滤波器并行分布式自适应滤波器是一种基于并行结构和分布式思想的自适应滤波器。
这种滤波器的特点是具有较高的计算效率和可扩展性，适用于大规模信号处理和实时系统等领域。
八、开关型自适应滤波器开关型自适应滤波器是一种特殊类型的自适应滤波器，其通过开关电路实现信号的传递和滤除。
自适应滤波第4章
4.1.3Levinson-Durnin算法 一、前向预测误差和后向预测误差的相关系数
定义前向预测误差 emf (n)和后向预测误差 emb (n) 的相关系数 为
m1 E{emf (n)emb (n 1)} (4.1.24)
对于最佳预测系数，根据正交原理可得
m
m1 r(m 1) amir(m 1 i) (4.1.23;2个方程的方 程组
r(0)
r(1) r(m) r(m 1) 1 m
r(1)
r(0)
r(m 1)
r(m)
am1
0
r(m)
r(m 1)
r(0)
r(1)
amm
0
r(m 1) r(m) r(1)
r(0) 0 m1
0 E{[e0f (n)]2} E{x2 (n)} r(0)
2）对于1阶递推
e1f (n) x(n) a1,1x(n 1) a1,1 K1 r(1) / r(0)
1 (1 K12 )0 (1 K12 )r(0)
3）对于2阶递推
e2f (n) x(n) a2,1x(n 1) a2,2 x(n 2)
二、前向线性预测滤波器和前向线性预测误差
实现前向线性预测的滤波器称为“前向线性预测滤波 器”。
定义前向线性预测误差为： m
emf (n) x(n) xˆ(n) x(n) amk x(n k) k 1
(4.1.2)
x(n)
式（4.1.1）和式（4.1.2）
z 1
z 1
z 1
z 1
可用右图表示。
(4.1.14)
后向线性预测滤波器框图
x(n)
x(n 1)
x(n m 2) x(n m 1)
简述格型自适应滤波的基本原理和用途。
简述格型自适应滤波的基本原理和用途。
格型自适应滤波（GridAdaptiveFiltering，简称GAF）是一种基于图像网格结构的自适应滤波算法，它是当前用于图像处理的先进技术。
GAF算法可以高效地抑制图像噪声并保持其颜色和细节。
GAF算法利用图像网格结构，将图像分割成不同的小网格，并且每个小网格内的颜色分量值和灰度分量值相对比较稳定，从而可以有效地抑制图像的椒盐噪声和高斯噪声。
GAF算法利用每个滤波网格中的细节特征来调整滤波参数，从而减少滤波失真并有效抑制噪声，从而获得最优的滤波效果。
GAF算法的另一个优点是它可以根据不同网格的不同特征来有效地抑制噪声，从而实现最大限度的噪声抑制。
GAF算法具有广泛的应用前景，可以用于图像增强、图像恢复和图像去噪等图像处理任务中。
GAF算法可以有效地抑制照片中的噪声，从而使图片更加逼真，特别是受到光照的影响较大的低照度照片中，GAF算法则可以显著地改善图像质量。
此外，GAF算法还可以用于图像恢复，可以有效地改善被误差或噪声破坏的图像。
GAF算法在图像去噪方面也发挥着重要作用。
GAF算法可以有效地实现图像噪声的抑制，特别是在通信领域，GAF算法可以有效地抑制通信信号中的白噪声。
总之，GAF算法是一种基于图像网格结构的自适应滤波算法，它可以有效地降低图像的噪声，如椒盐噪声和高斯噪声，并且可以根据不同网格的不同特征来有效地抑制噪声，从而实现最大限度的噪声抑制，已经广泛应用于图像增强、图像恢复和图像去噪等图像处理任务中。
格型自适应滤波算法具有许多优点，如高效的噪声抑制、调整滤波参数以避免滤波失真以及根据不同滤波网格特征调整滤波参数以实现最佳滤波结果。
这种算法已经在图像处理领域广泛应用，如图像增强、图像恢复和图像去噪等任务中。
以上就是格型自适应滤波算法的基本原理和用途的简述。
格型自适应滤波算法的研究和应用前景还有待进一步深入研究，期待它可以更好地服务于图像处理领域。
数字信号处理知识点整理Chapter
第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。
维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。
本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．。
3.2 自适应横向滤波器自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．。
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X L L误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221222,,,Tj j j j xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R L令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。
3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。
格型自适应滤波器
第四章格型自适应滤波器本章研究另一类线性自适应滤波器，其是设计基于阶数更新和时间更新的递归算法。
这种新的自适应滤波器与前面章节所研究的滤波器的不同之处在于阶数更新。
而这可以利用均匀采样后时间数据的时移特性来实现。
就结构而言，阶更新获得一种计算高效、模块化以及格型的结构；它可将前面m-1阶计算得到的信息传递到更新后的m阶滤波器。
最后结果是实现其计算复杂度与滤波器m 阶呈线性关系的自适应滤波器。
与其他类型线自适应滤波器相同，阶递归自适应滤波器的设计也是基于下面两种方法：1 随机梯度法它建立在前向线性格型预测器和后向格型预测器的基础上。
2 最小二乘法它建立在卡尔曼滤波器与最小二乘滤波器之间对应关系的基础上。
LMS和RLS滤波器同属于横向自适应滤波器，在实际应用中，一个横向滤波器的最优阶数通常是未知的，这就需要通过比较不同阶数的滤波器来确定最优的阶数。
但是，当改变横向滤波器的阶数时，LMS和RLS算法必须重新运行，这显然是很不方便且费时，而格型滤波器解决了这一难题。
格型滤波器最突出的特点是局部相关联的模化块结构，格型系数对于数值扰动的低灵敏性，以及格型算法对于信号协方差矩阵特征值扩散的相对惰性，使得其算法具有快速收敛和优良数值特性，已被广泛应用于信号预测和滤波处理。
4.1 梯度自适应格型算法梯度自适应格型（GAL，gradient-adeptive lattice ）滤波器具有对称的格型结构，从随机梯度法得出的阶递归自适应滤波器设计简单，但在特性方面是近似的；其设计的简单性在于格型滤波器的每一级只有一个反射系数。
其设计准则和LMS算法一样是使均方误差为最小。
图4.1示出了一个单级格型预测器的方框图：图4.1单级格型预测器[6]其输入输出关系用单个参数——反射系数K m 来表征。
假设输入数据广义平稳且km 为复值。
对于km 的估计，首先考虑代价函数22,1[|()||()|]2fb m m m J E f n b n =+ (4-1) 其中，()m f n 是第m 级前向预测误差，()m b n 是第m 级后向预测误差。
简述格型自适应滤波的基本原理和用途
简述格型自适应滤波的基本原理和用途
格型自适应滤波（GriddedAdaptiveFiltering，GAF）是一种数字信号处理技术，用于去除噪声并提高信号质量。
它是一种用于处理和分析数字信号的有效方法，利用它可以过滤噪声并保留有用信号，从而改善信号的质量。
它属于自适应滤波技术，它能够根据噪声的振幅及其频率特性自动调节滤波器的参数以实现最佳的滤波效果。
格型自适应滤波的基本原理
格型自适应滤波技术的基本原理是以前一时间步的信号采样值
为基础，通过预测下一步的信号采样值得到预测采样值及其噪声，然后基于该噪声自适应调整滤波器的参数，从而使滤波器可以更好地消除噪声。
格型自适应滤波的用途
1.像处理：格型自适应滤波可以很好地消除图像噪声，改善图像性能。
它可以自动调整滤波器的参数，根据不同的图像信息生成最优的滤波效果，提高图像品质。
2.路设计：格型自适应滤波可以很好地抑制电路输出信号中的噪声，使其信号更加稳定。
它可以自动调整滤波器的参数，从而提高信号的可靠性和稳定性，减少系统失真。
3.环境检测：格型自适应滤波可以用来减少环境检测信号中的噪声，使其结果更加精确准确。
它可以自动调整滤波器的参数，从而提高系统的精确度和抗噪声能力，实现更准确的环境检测。
4.信号处理：格型自适应滤波可以很好地抑制信号的噪声，使信
号更加平滑和稳定。
它可以自动调整滤波器的参数，从而提高信号的质量，减少信号处理的失真。
综上所述，格型自适应滤波是一种有效的处理噪声及信号改善质量的技术，应用于许多领域，如图像处理、电路设计、环境检测和信号处理等，使其具有广泛的实用价值。
基于FPGA的高速自适应格型滤波器的实现
基于FPGA的高速自适应格型滤波器的实现作者：程文帆戴在平来源：《现代电子技术》2011年第17期摘要：针对高速高灵敏度数字信号处理时对于自适应滤波器的数值特性和实时性的要求，在一种自适应格型联合滤波器的基础上提出算法改进，采用驰豫超前流水线技术和时序重构技术，在损失较小滤波性能的情况下，在FPGA中实现算法并可以达到较高的工作频率。
关键词：自适应滤波器； FPGA；梯度格型滤波器；流水线；时序重构中图分类号：TN713-34 文献标识码：A文章编号：1004-373X(2011)17-0113-03Implementation of High Speed Gradient Adaptive Lattice Filter Based on FPGACHENG Wen-fan， DAI Zai-ping(Institute of Information Science and Engineering, Huaqiao University, Xiamen 361021, China)Abstract： Considering numerical characteristics and real-time performance requirements of adaptive filters for the high sensitivity and high speed digital signal processing, a pipeline optimization approach based on the technology of delay leading transfer and retiming is proposed to improve GALJP algorithm. The new algorithm implemented in the FPGA can achieve high operating frequencies with small loss of the filtering performance.Keywords： adaptive filter; FPGA; gradient adaptive lattice filter; pipeline; retiming0 引言在处理微弱信号的时候自适应滤波器所处的环境可能是非平稳的,输入信号的自相关矩阵和互相关向量等算法参量将随时间变化，会对滤波器的收敛跟踪性能造成较大影响。
自适应滤波
a)首先产生0～3之间由自然数组成的 =2000个随机数 ；
b)其次将随机信号 进行QPSK调制，将已调QPSK信号过ISI失真信道，并叠加上信噪比为20dB的高斯白噪声，以此即可得到输出数据 ；
c)根据RLS算法，设置遗忘因子 ，滤波器长度为13， ，初始化滤波器权向量为零，设置训练长度500个符号。按照RLS算法更新权值向量，并得到误差 。
RLS算法是基于使每一快拍的阵列输出平方和最小的准则，即最小二乘（LS）准则。它利用了从算法初始化后得到的所有数据信息，用递推方法来完成矩阵的求逆运算，因而收敛速度快，对特征值的散布度不敏感，且能实现收敛速度与计算复杂性之间的折衷。一般在大信噪比的情况下，RLS算法比LMS的收敛速度快一个数量级。
4． 系统逆辨识（Inverse Identification）
为实部与虚部独立的复高斯白噪声，其均值为零，方差为 。
本实验要求基于自适应系统逆辨识模型实现自适应均衡，即由接收信号 估计发送符号 。自适应算法分别采用LMS算法和RLS算法。
2.采用LMS算法的自适应均衡
基于如图4的基带数据传输模型，使用Matlab仿真工具，采用LMS算法的实验步骤如下：
a)首先产生0～3之间由自然数组成的 =2000个随机数 ；
更新权值： 。
LMS滤波器在运行过程中包含反馈，引发稳定性问题。因此，引进步长参数 。为使LMS算法达到均值收敛及均方收敛， 必须满足条件：
其中 是抽头输入x(n)的功率谱密度的最大值，M为滤波器长度。
LMS算法的核心是用每次迭代的粗略估计值代替了实际的精确值，这样大大简化了计算量，但是不可否认，加权系数不可能准确的沿着理想的最陡下降路径来调整自身的参数，而加权系数与 有着密切的关系。因此，适当的选择自适应滤波器性能参数 显得格外重要。
M-3章 自适应格形滤波器分解
245第3章 最小均方误差自适应格形滤波器前面介绍的滤波器是横向结构的（或称为直接形式），这一章我们介绍另一类结构的自适应滤波器，称为自适应格形滤波器。
自适应格形滤波器具有一系列重要优点，使其有着广泛的应用领域，例如用于系统辨识和控制、噪声干扰对消、信道均衡、以及语音分析和合成等。
特别是递推最小二乘格型滤波器具有非常好的数值特性并能跟踪时变信号。
自适应格形滤波器正如自适应横向滤波器一样，有最小均方误差准则和最小二乘准则两种，因而自适应格形滤波器也两类不同的算法及实现结构。
这一章将讨论最小均方误差自适应格形滤波器。
求解线性预测正规方程也可采用Levinson-Durbin 算法，其运算量比直接求解正规方程要小得多。
根据Levinson-Durbin 算法可以发展出格形滤波器。
格形滤波器具有一系列重要优点，使其在自适应中获得广泛应用。
格形滤波器的优点包括：（1）一个m 阶格形滤波器可以产生相当于从1阶到m 阶的m 个横向滤波器的输出。
这使我们能在变化的环境下动态地选择最佳的阶；（对于横向滤波器来说，一旦滤波器的长度改变就会导致一组新的滤波器系数，而新的滤波器系数与旧的完全不同。
而格形滤波器的结构是阶次递推式的，它的阶数的改变并不影响其它级的反射系数。
）（2）格形滤波器具有模块式结构，便于实现高速并行处理；（3）格形滤波器系数优良的数值特性。
3.1 线性预测滤波器3.1.1 前向线性预测滤波器前向线性预测是已知)1(-n x ，…，)(m n x -等m 个值，用这m 个值线性组合预测)(n x ，即)()1()(ˆ1m n x a n x a n xmm m -----= ∑=--=mk mkk n x a1)( 3.1.1）mk a 称为前向预测系数。
实现这种处理的滤波器称为前向线性预测滤波器。
前向线性预测误差为245()()()∑=-+=-=mk mkfmk n x an x n xn x e 1)(ˆ （3.1.2）如果把fm e 看成是输出，)(n x 是其输入，这时滤波器称为前向线性预测误差滤波器。
自适应滤波器原理-带图带总结word版
第二章自适应滤波器原理2.1 基本原理2.1.1 自适应滤波器的发展在解决线性滤波问题的统计方法中，通常假设已知有用信号及其附加噪声的某些统计参数（例如，均值和自相关函数），而且需要设计含噪数据作为其输入的线性滤波器，使得根据某种统计准则噪声对滤波器的影响最小。
实现该滤波器优化问题的一个有用方法是使误差信号（定义为期望响应与滤波器实际输出之差）的均方值最小化。
对于平稳输入，通常采用所谓维纳滤波器（Wiener filter）的解决方案。
该滤波器在均方误差意义上使最优的。
误差信号均方值相对于滤波器可调参数的曲线通常称为误差性能曲面。
该曲面的极小点即为维纳解。
维纳滤波器不适合于应对信号和/或噪声非平稳问题。
在这种情况下，必须假设最优滤波器为时变形式。
对于这个更加困难的问题，十分成功的一个解决方案使采用卡尔曼滤波器（Kalman filter）。
该滤波器在各种工程应用中式一个强有力的系统。
维纳滤波器的设计要求所要处理的数据统计方面的先验知识。
只有当输入数据的统计特性与滤波器设计所依赖的某一先验知识匹配时，该滤波器才是最优的。
当这个信息完全未知时，就不可能设计维纳滤波器，或者该设计不再是最优的。
而且维纳滤波器的参数是固定的。
在这种情况下，可采用的一个直接方法是“估计和插入过程”。
该过程包含两个步骤，首先是“估计”有关信号的统计参数，然后将所得到的结果“插入（plug into）”非递归公式以计算滤波器参数。
对于实时运算，该过程的缺点是要求特别精心制作，而且要求价格昂贵的硬件。
为了消除这个限制，可采用自适应滤波器（adaptive filter）。
采用这样一种系统，意味着滤波器是自设计的，即自适应滤波器依靠递归算法进行其计算，这样使它有可能在无法获得有关信号特征完整知识的环境下，玩完满地完成滤波运算。
该算法将从某些预先确定的初始条件集出发，这些初始条件代表了人们所知道的上述环境的任何一种情况。
我们还发现，在平稳环境下，该运算经一些成功迭代后收敛于某种统计意义上的最优维纳解。
仿射投影算法LMS格型滤波器自适应滤波器的算子理论LS格型滤波器
◆前向残 差◆后向残 差
◆⑴ 格型滤波器反射系数的递推 前, 后滤波器系数的递推
◆的递推
和 的递推
◆时， 又◆ ◆时， … … … … … … ◆最后得到 与 的关系：
◆⑴ 的递推 和 的递推 的递推 ◆⑵ 阶数递推何时停止？阶数确定 ( 前、后向耦合？) 否能独立设计（“解耦问题”）
◆性质1. 幂等算子 ◆性质2. 共轭对称性 ◆性质3. 正交性
◆引入符号：
后向移位算子
◆投影算子的应 用
◆前向预测滤波器
◆其中 ◆前向预测误差向量：
◆后向预测滤波器
◆后向预测向量： ◆后向预测误差向量：
◆ 投影矩阵和正交投影矩阵的递推计 算◆已知：数据矩阵 及
◆增加：数据向量
新的数据矩阵
◆问题：求
及
◆更新：如何利用已知的 及 ，求
◆设
则
◆矩阵递推： ◆向量递推： ◆标量递推： ◆所有的递推问题变成了如何选择
4.8 LS格型滤波器
◆抽取向量 ◆前向预测残差： ◆后向预测残差：
◆已知
和
习题
· 题4.22 (投影矩 阵· )题4.24 (投影矩 阵· )题4.25 (格型滤波 法 ◆由以上两式得 ◆其中
· 仿射投影算法与LMS、RLS算法之关系：
LMS算法：点式更新(sample update),计算简单，收敛 差。性
仿射投影(affine projection)：数据块更新(block 计 u算pd量at>eL)M,S，但<RLS。收敛性能逼近RLS算法。
RLS算法：数据块更新(数据量>仿射投影),
计算量>仿射投影>LMS。收敛性能最好。
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第四章格型自适应滤波器本章研究另一类线性自适应滤波器，其是设计基于阶数更新和时间更新的递归算法。
这种新的自适应滤波器与前面章节所研究的滤波器的不同之处在于阶数更新。
而这可以利用均匀采样后时间数据的时移特性来实现。
就结构而言，阶更新获得一种计算高效、模块化以及格型的结构；它可将前面m-1阶计算得到的信息传递到更新后的m阶滤波器。
最后结果是实现其计算复杂度与滤波器m 阶呈线性关系的自适应滤波器。
与其他类型线自适应滤波器相同，阶递归自适应滤波器的设计也是基于下面两种方法：1 随机梯度法它建立在前向线性格型预测器和后向格型预测器的基础上。
2 最小二乘法它建立在卡尔曼滤波器与最小二乘滤波器之间对应关系的基础上。
LMS和RLS滤波器同属于横向自适应滤波器，在实际应用中，一个横向滤波器的最优阶数通常是未知的，这就需要通过比较不同阶数的滤波器来确定最优的阶数。
但是，当改变横向滤波器的阶数时，LMS和RLS算法必须重新运行，这显然是很不方便且费时，而格型滤波器解决了这一难题。
格型滤波器最突出的特点是局部相关联的模化块结构，格型系数对于数值扰动的低灵敏性，以及格型算法对于信号协方差矩阵特征值扩散的相对惰性，使得其算法具有快速收敛和优良数值特性，已被广泛应用于信号预测和滤波处理。
4.1 梯度自适应格型算法梯度自适应格型（GAL，gradient-adeptive lattice ）滤波器具有对称的格型结构，从随机梯度法得出的阶递归自适应滤波器设计简单，但在特性方面是近似的；其设计的简单性在于格型滤波器的每一级只有一个反射系数。
其设计准则和LMS算法一样是使均方误差为最小。
图4.1示出了一个单级格型预测器的方框图：图4.1单级格型预测器[6]其输入输出关系用单个参数——反射系数K m 来表征。
假设输入数据广义平稳且km 为复值。
对于km 的估计，首先考虑代价函数22,1[|()||()|]2fb m m m J E f n b n =+ (4-1) 其中，()m f n 是第m 级前向预测误差，()m b n 是第m 级后向预测误差。
()m f n 和()m b n 在第二章已有定义，它们都是在本级滤波器输出端测量的；E 为统计期望算子；引入1/2是为了简化表达式。
格型滤波器的输入输出关系为：*11()()(1)m m m m f n f n K b n --=+- (4-2)11()(1)()m m m m b n b n K f n --=-+ (4-3)把式(4-2)和(4-3)代入(4-1)，并对代价函数求关于km 的偏导数，我们得到：22,*1111J ([()][(1)])2[(1)()]m fb mm m m m m K K E f n E b n E b n f n ----∂=+-+-∂ (4-4) 如令该梯度等于零，则当代价函数,b m J 取得最小值时，即得反射系数最优值为：*112211[(1)()]1[|()||(1)|]2m m m m m E b n f n K E f n b n -----=-+- (4-5)式(4-5)就是反射计算的计算公式。
由于式(4-5)涉及使用集平均。
设输入信号()u n 是各态历经的，则可用平均值代替式中分子分母的期望值。
于是，m 级格型预测器反射系数K m 的估计为：*11122111(1)()()1(|()||(1)|)2n m m i m n m m i b i f i K n f i b i --=--=-=-+-∑∑ (4-6) 我们定义：2211111()(|()||(1)|)2n m m m i n f i b i ε---==+-∑ (4-7) 1()m n ε-是直到时刻n （包含n ）测得的m 级输入前向预测误差和延迟的后向预测误差的总能量.将式(4-6)中的2211|()||(1)|m m f i b i --+-与其他和式分离，即得计算1()m n ε-总能量的递归公式:221111(1)=(1)+|()||(1)|m m m m n n f i b i εε------+- (4-8)采用类似方式，可对6式中的分子写出递归公式，它表示时间平均互相关1***11111111(1)()=(1)()+(1)()n n m m m m m m i i b i f i b i f i b i f n -------==---∑∑ (4-9)将式(4-8)和式(4-9)代入式(4-6)，可得反射系数估计值的递归关系式为：**111()()(1)()()(1)()m m m m m m m f n b n b n f n K n K n n ε∧∧---+-=-- (4-10) 为了最终确定梯度格型滤波器算法的表达式，对式(4-8)和式(4-10)做如下两点修改：1 引入步长参数μ，用来控制从一次迭代到下一次迭代传递中每个反射系数的调整量：**111()(1)(()()(1)())()m m m m m m m K n K n f n b n b n f n n με∧∧---=--+- (4-11)2 修改式(4-8)的能量估计器，使之成为如下形式：221111()(1)(1)(()(1))m m m m n n f n b n εβεβ----=-+-+- (4-12)式中β是一个介于0<β<1之间的新参数。
导出式(4-10)的递归估计器，原来假设工作在平稳情况下，为了处理非平稳情况下的统计变量，引入修改后的式(4-11)。
修改的目的是使估计器具备记忆功能，并借助预测能量最接近的过去值1()m n ε-及现在值来计算反射系数的估计值。
在GAL 算法中，当反射系数()m K n ∧的更新式中使用时变步长参数()m n μ=1()m n με-时引入了一种类似于归一化LMS 算法的归一化形式。
由式(4-12)可以看出，对于较小的前后向预测误差，参数1()m n ε-相应较小；或者等效地，步长参数()m n μ相应较大。
从实用观点看，这种性能很比较需要。
本质上，小的预测误差意味着自适应格型预测器正在为它所运行的外部环境提供一个精确的模型。
因此，如果预测误差增大，应该是外部环境变化引起的；在这种情况下，能够对这种变化作出快速响应的自适应格型器将是高度合乎需要的。
事实上，可通过设定()m n μ为一个较大值来实现这一目的，这也使得GAL 算法中的式(4-10)一开始就能够快速收敛到新的环境。
但是，加到自适应格型预测器的输入数据含噪过多（即有用信号上加有很强的白噪声成分）则由自适应格型预测器所产生的预测误差相应就大。
在这种情况下，参数1()m n ε-取较大值，或者等效地，步长参数()m n μ取较小值。
因此，这时GAL 算法中式(4-10)并不恰好像我们所希望的那样，能对外界环境的变化作出快速相应。
GAL 算法的流程归纳如下：参数：M=最终预测阶数1(1)m n ε--中的β=μ=0.09多级格型预测：对于阶数m=1,2,…,M,置(0)()0m m f b n == (4-13)1(0)m ε-取0.01，(0)m K 取为0。
.对于时间步：n=1,2,…,置00()()()f n b n u n == (4-14)对于预测阶数m=1,2,…,M,和对于时间步：n=1,2,…,计算221111()(1)(1)(()(1))m m m m n n f n b n εβεβ----=-+-+- (4-15)*11()()(1)m m m m f n f n K b n --=+- (4-16) 11()(1)()m m m m b n b n K f n --=-+ (4-17)**11()(1)()(()()(1)())m m m m m m m K n K n n f n b n b n f n μ∧∧--=--+- (4-18) 4.2 GAL 算法仿真分析用自适应预测来验证新算法的收敛性能。
自适应预测示意图如图2.7所示。
所示。
计算机仿真条件为:设输入信号x(n)由二阶AR 模型所产生x(n)=1.558x(n-1)-0.81x(n-2)+V(n) (4-19)其中a 1=1.558，a 2=-0.81,V(n)为一白噪声， 我们用一个二阶LMS 自适应横向预测器和一个二阶梯度自适应格型预测器分别对a 1和a 2作出估计，通过迭代，这两种方法的估计值1a ∧和2a ∧分别分别趋于1.558和-0.81。
需要注意的是，因为自适应格型预测器估计出的是反射系数1()K n ∧和2()K n ∧，所以需要将其进行换算，也即1a ∧和2a ∧可按下式算出：112a ()()[1()]n K n K n ∧∧∧=-+ (4-20) 22a ()()n K n ∧∧=- (4-21) 图4.2示出了三种算法的1a ∧~n ，2a ∧~n 曲线。
采样点数权值图4.2 两种算法权值收敛轨迹以上曲线均为独立实验100次取平均得来。
由图4.2可见，LMS 算法和GAL 算法算得的1a ∧和2a ∧都分别趋于1.558和-0.81，但自适应格型算法的收敛速度比横向自适应算法快很多。
梯度自适应格型滤波器算法的反射系数用递推算法得来，不涉及矩阵求逆，其计算量比LMS 略高，比RLS 算法低。
可应用与比LMS 算法要求高的场合。
但是，一些场合往往需要更高的收敛速度才能满足要求。
这就迫使我们研究一种收敛更快的格型算法。
那就是下面要介绍的LSL 算法。
4.3 最小二乘格型算法基于最小二乘法的阶递归自适应滤波器比较精确；但其算法表达式需要更多的软件编码关系。
其算法的复杂性在于最小二乘格型预测器的每一级需要两个不同的反射系数来表征它，一个用于前向预测，另一个用于后向预测。
这种非对称的格型滤波器的设计准则采用最小二乘（LS ）方法，使预测误差的平方和为最小。
图4.3是一个LS 格型滤波器。
其中()m n η和()m n β分别为第m 级格型滤波器的前向残差和后向残差，m r 称为反射系数，p 为滤波器的阶数[15]。
与只有一个反射系数m r 的LMS 格型滤波器不同的是，LS 格型滤波器的前向反射系数*,(1)f m k n -和后向反射系数*,(1)b m k n -是不相等的。
图4.3 RLS 自适应格型滤波器[19]由上图可以写出前、后向预测误差的方程，即有*1,1()()()(1)m m b m m n n k n n ηηβ--=-- (4-22)*1,1()(1)()()m m f m m n n k n n ββη--=-- (4-23) 式(4-22)和式(4-23)表明了以下事实：(1) 第m 级滤波器在n 时刻的前（后）向预测误差不仅与前一级n 时刻的前向预测误差1()m n η-有关，而且还决定于前一级n-1时刻的后向预测误差1(1)m n β--。