格型自适应滤波器

第四章格型自适应滤波器

本章研究另一类线性自适应滤波器，其是设计基于阶数更新和时间更新的递归算法。这种新的自适应滤波器与前面章节所研究的滤波器的不同之处在于阶数更新。而这可以利用均匀采样后时间数据的时移特性来实现。就结构而言，阶更新

获得一种计算高效、模块化以及格型的结构；它可将前面m-1阶计算得到的信息传递到更新后的m阶滤波器。最后结果是实现其计算复杂度与滤波器m 阶呈线性关系的自适应滤波器。

与其他类型线自适应滤波器相同，阶递归自适应滤波器的设计也是基于下面两种方法：

1 随机梯度法它建立在前向线性格型预测器和后向格型预测器的基础上。

2 最小二乘法它建立在卡尔曼滤波器与最小二乘滤波器之间对应关系的基础上。

LMS和RLS滤波器同属于横向自适应滤波器，在实际应用中，一个横向滤波器的最优阶数通常是未知的，这就需要通过比较不同阶数的滤波器来确定最优的阶数。但是，当改变横向滤波器的阶数时，LMS和RLS算法必须重新运行，这显然是很不方便且费时，而格型滤波器解决了这一难题。

格型滤波器最突出的特点是局部相关联的模化块结构，格型系数对于数值扰动的低灵敏性，以及格型算法对于信号协方差矩阵特征值扩散的相对惰性，使得其算法具有快速收敛和优良数值特性，已被广泛应用于信号预测和滤波处理。

4.1 梯度自适应格型算法

梯度自适应格型（GAL，gradient-adeptive lattice ）滤波器具有对称的格型结构，从随机梯度法得出的阶递归自适应滤波器设计简单，但在特性方面是近似的；其设计的简单性在于格型滤波器的每一级只有一个反射系数。其设计准则和LMS算法一样是使均方误差为最小。

图4.1示出了一个单级格型预测器的方框图：

图4.1单级格型预测器[6]

其输入输出关系用单个参数——反射系数K m 来表征。假设输入数据广义平稳且km 为复值。对于km 的估计，首先考虑代价函数

22,1[|()||()|]2

fb m m m J E f n b n =+ (4-1) 其中，()m f n 是第m 级前向预测误差，()m b n 是第m 级后向预测误差。()m f n 和()m b n 在第二章已有定义，它们都是在本级滤波器输出端测量的；E 为统计期望算子；引入1/2是为了简化表达式。格型滤波器的输入输出关系为：

*11()()(1)m m m m f n f n K b n --=+- (4-2)

11()(1)()m m m m b n b n K f n --=-+ (4-3)

把式(4-2)和(4-3)代入(4-1)，并对代价函数求关于km 的偏导数，我们得

到：

22

,*1111J ([()][(1)])2[(1)()]m fb m

m m m m m K K E f n E b n E b n f n ----∂=+-+-∂ (4-4) 如令该梯度等于零，则当代价函数,b m J 取得最小值时，即得反射系数最优值为：

*112211[(1)()]1

[|()||(1)|]2m m m m m E b n f n K E f n b n -----=-+- (4-5)

式(4-5)就是反射计算的计算公式。

由于式(4-5)涉及使用集平均。设输入信号()u n 是各态历经的，则可用平均值代替式中分子分母的期望值。于是，m 级格型预测器反射系数K m 的估计为：

*111

22111

(1)()()1(|()||(1)|)2n m m i m n m m i b i f i K n f i b i --=--=-=-+-∑∑ (4-6) 我们定义：

221111

1()(|()||(1)|)2n m m m i n f i b i ε---==+-∑ (4-7) 1()m n ε-是直到时刻n （包含n ）测得的m 级输入前向预测误差和延迟的后向预测误差的总能量.将式(4-6)中的2211|()||(1)|m m f i b i --+-与其他和式分离，即得计算

1()m n ε-总能量的递归公式:

221111(1)=(1)+|()||(1)|m m m m n n f i b i εε------+- (4-8)

采用类似方式，可对6式中的分子写出递归公式，它表示时间平均互相关

1

***11111111(1)()=(1)()+(1)()n n m m m m m m i i b i f i b i f i b i f n -------==---∑∑ (4-9)

将式(4-8)和式(4-9)代入式(4-6)，可得反射系数估计值的递归关系式为：

**111()()(1)()()(1)()m m m m m m m f n b n b n f n K n K n n ε∧∧

---+-=-- (4-10) 为了最终确定梯度格型滤波器算法的表达式，对式(4-8)和式(4-10)做如下两点修改：

1 引入步长参数μ，用来控制从一次迭代到下一次迭代传递中每个反射系数的调整量：

**111()(1)(()()(1)())()m m m m m m m K n K n f n b n b n f n n μ

ε∧∧---=--+- (4-11)

2 修改式(4-8)的能量估计器，使之成为如下形式：

22

1111()(1)(1)(()(1))m m m m n n f n b n εβεβ----=-+-+- (4-12)

式中β是一个介于0<β<1之间的新参数。

导出式(4-10)的递归估计器，原来假设工作在平稳情况下，为了处理非平稳情况下的统计变量，引入修改后的式(4-11)。修改的目的是使估计器具备记忆功能，并借助预测能量最接近的过去值1()m n ε-及现在值来计算反射系数的估计值。

在GAL 算法中，当反射系数()m K n ∧的更新式中使用时变步长参数()m n μ=1()m n μ

ε-时引入了一种类似于归一化LMS 算法的归一化形式。由式(4-12)可以看出，对于较小的前后向预测误差，参数1()m n ε-相应较小；或者等效地，步长参数()m n μ相应较大。从实用观点看，这种性能很比较需要。本质上，小的预测误差意味着自适应格型预测器正在为它所运行的外部环境提供一个精确的模