随机过程 答案
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
随机过程课后习题答案
随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。
在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。
下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。
解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。
由于该过程是平稳过程，所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。
因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。
根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。
将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。
解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。
根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =E[X(0)X(h)]。
根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。
将t取为0，得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。
所以，该过程的均值为μ。
根据平稳过程的性质，方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。
将t取为0，得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。
随机过程课后题答案
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程习题答案
1 X ( )与 X (1)的联合分布律为 2 1 X( ) 0 1 2 X (1) −1 +2 1 2 0 0 1 2
0, 0, 1 1 , ⇒ F ( x1 , x2 ; ,1) = 2 2 1 , 2 1,
x1 < 0, −∞ < x2 < +∞ x1 ≥ 0, x2 < −1 0 ≤ x1 < 1, x2 ≥ −1 x1 ≥ 1, −1 ≤ x2 < 2 x1 ≥ 1, x2 ≥ 2
假定 Z (t ) = X + Yt , t ∈ R.若已知二维随机变量 例3 σ 12 ( X , Y )的协方差矩阵为 ρσ 1σ 2 的协方差函数.
ρσ 1σ 2 ,试求 Z (t ) 2 σ2
解 CZ (t1 , t2 ) = E[( X + Yt1 − ( µ X + µY t1 ))( X + Yt2 − ( µ X + µY t2 ))] = E[(( X − µ X ) + (Yt1 − µY t1 ))(( X − µ X ) + (Yt2 − µY t2 ))] = E[( X − µ X )( X − µ X )] + t2 E[( X − µ X )(Y − µY )] +t1 E[(Y − µY )( X − µ X )] + t1t2 E[(Y − µY )(Y − µY )]
(3)、令 Z (t ) = aW ( t a 2 ) ⇒ µ Z (t ) = aE[W ( t a 2 )] = 0 C Z (t1 , t 2 ) = E[ aW ( t1 a 2 ) aW ( t2 a 2 )] = a 2 E[W ( t1 a 2 )W ( t2 a 2 )] = a 2σ 2 min{ t1 a 2 , t2 a 2 } = σ 2 min{t1 , t 2 }, t1 , t 2 ≥ 0
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）（2）当i=j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，因此：P112/9．解：（1）（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，令矩阵则有：因此有：P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
《随机过程》课后习题解答
（ k 0, 2, n ）
1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 1 t2
n n i
f (t
i 1 k 1
tk )i k
5
=
i 1 k 1
n
n
i k
1 (ti tk )
2
i 1 k 1
n
n
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk )} n n e jtk e e i k jti = i 1 k 1 e n(1 jtk ) e
1 n n n j ( ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
（2） （3）
其期望和方差； 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)
x
0
p 1 ( jt b ) x
i k
1 M 2
0
ti t k } ） （ M 1max{ i , j n
且 f (t ) 连续 f (0) 1 （2） f (t )
f (t ) 为特征函数
1 1 1 1 1 [ ] 2 2 1 t 1 ( jt ) 2 1 jt 1 jt
3
fZ(k)() t (1 )kk! jk (1 jt)(k1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) ( 1) k k ! k j
n
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。
2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。
答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。
其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。
三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。
计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。
答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。
答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。
随机过程知到章节答案智慧树2023年浙江大学
随机过程知到章节测试答案智慧树2023年最新浙江大学第一章测试1.设随机过程X(t)=At+(1-A)B, -∞＜t＜∞. 其中随机变量A与B独立同分布，P(A=0)=0.4, P(A=1)=0.6. 则以下选项正确的有（）.参考答案:P(X(0)=1, X(1)=1)=0.24.;P(X(0)=0, X(1)=0)=0.16.2.设随机过程X(t)=At+(1-A)B, -∞<t<∞. 其中随机变量A与B独立同分布，P(A=0)=0.4, P(A=1)=0.6. 则自相关函数等于（）.参考答案:.3.如果两个正态过程的均值函数和自协方差函数相同，则它们对应的有限维分布相同. （）参考答案:对4.设随机过程X(t)=At+B, -∞＜t＜∞. 其中随机变量A与B独立同服从区间(0,2)上均匀分布. 则以下选项正确的是（）.参考答案:自协方差函数.5.设随机过程X(t)=At+B, -∞＜t＜∞. 其中随机变量A与B独立同服从区间(0,2)上均匀分布. 则以下选项正确的有（）.参考答案:X(1)-X(0)~U(0, 2).;X(2)-X(1)与X(0)同分布.;X(0)~U(0, 2).第二章测试1.设{Xn; n≥0}是时齐Markov链，状态空间I={1,2,3}，一步转移矩阵.设则以下的选项对的有 ( )参考答案:;;2.2.设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3,4,5,6,7}，一步转移矩阵为.则以下选项正确的有 ( )参考答案:共有三个互达等价类{1,2,3},{4,5}和{6,7}.;只有状态6,7是暂留, 其它都是正常返.;状态1的周期为1, 状态5的周期为1, 状态6的周期为2.3.设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3}，一步转移矩阵为.假设平稳分布为则以下选项中正确的是( ) 参考答案:4.设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3,4}，一步转移矩阵为.令则以下选项正确的是( )参考答案:5.设{Xn; n≥0}是时齐的Markov链，状态空间I={1,2,3,4}，一步转移矩阵为.设则( )参考答案:对第三章测试1.设独立同分布且服从0-1分布，记，则是平稳独立增量过程（）参考答案:对2.随机过程是平稳独立增量过程, 其中是标准布朗运动（）参考答案:对3.已知是强度为2的泊松过程，则以下选项正确的有（）。
随机过程复习题二及其答案
随机过程复习题二及其答案一、选择题1. 随机过程的定义是什么？A. 一系列随机变量的集合B. 一系列确定变量的集合C. 一个随机变量D. 一个确定变量2. 什么是马尔可夫链？A. 一个具有时间序列的随机过程B. 一个具有空间序列的随机过程C. 一个具有独立同分布的随机过程D. 一个具有时间依赖性的随机过程3. 随机过程的期望值定义为：A. \( E[X(t)] \)B. \( E[X] \)C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x,t) \, dx \)D. \( \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i \)4. 以下哪个不是随机过程的属性？A. 期望B. 方差C. 协方差D. 导数5. 什么是平稳随机过程？A. 随机过程的期望随时间变化B. 随机过程的方差随时间变化C. 随机过程的统计特性不随时间变化D. 随机过程的协方差随时间变化答案：1. A2. A3. A4. D5. C二、简答题1. 解释什么是遍历定理，并给出其在随机过程分析中的应用。
2. 描述什么是泊松过程，并解释其主要特点。
3. 简述什么是布朗运动，并解释其在金融领域中的应用。
三、计算题1. 给定一个随机过程 \( X(t) \)，其期望 \( E[X(t)] = t \)，方差 \( Var[X(t)] = t^2 \)，计算 \( E[X^2(t)] \)。
2. 假设一个马尔可夫链 \( \{X_n\} \) 有状态空间 \( S = \{1, 2, 3\} \)，转移概率矩阵 \( P \) 为：\[P = \begin{bmatrix}0.1 & 0.8 & 0.1 \\0.5 & 0.3 & 0.2 \\0.2 & 0.6 & 0.2\end{bmatrix}\]计算状态 1 在第 3 步的概率。
四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用，并举例说明。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述，错误的是：A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的，也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案：D2. 以下哪种过程不是随机过程？A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案：D3. 随机过程的一阶矩描述的是：A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时，该随机过程为：A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案：B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中，正确的是：A. 当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关，与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案：A二、填空题1. 随机过程中，时域函数常用的表示方法是__________。
答案：概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。
答案：当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。
答案：时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。
答案：冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。
答案：时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。
随机过程是一种由随机变量组成的集合，表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。
它可以是离散的，也可以是连续的。
随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数，以及相关的统计特征，如均值、方差等。
随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。
2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。
马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关。
其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。
随机过程习题和答案.doc
一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的t对应随机变量X(t)t3te如果对如果对t时取得红球t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族.设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
设随机过程X(t)U cos2t U E(U)5，D(U)5.求：，其中是随机变量，且（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数.设有两个随机过程X(t)Ut2Y(t)Ut3,U随机变量，且D(U)5.，其中是试求它们的互协方差函数。
设A,B,X(t)At3B t T(,)的均值是两个随机变量试求随机过程，函数和自相关函数.A,B,~(1,4),~(0,2),()(,)若相互独立且A N B U则m X t及R X t1t2为多少？一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数，则N(t)为参数为30的poisson过程。
以小时为单位。
则E(N(1))30。
40k(30) P(N(1)40)ek!k030。
在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1，2，当1路公共汽车有N人乘坐后出发；2路公共汽车1在有N2人乘坐后出发。
设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当N1=N，1=22时，计算上述概率。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个是随机过程的数学定义？A. 一系列随机变量B. 一系列确定的函数C. 一系列随机函数D. 一系列确定的变量答案：C2. 随机过程的期望值函数E[X(t)]随时间t的变化特性是：A. 确定性B. 随机性C. 非线性D. 线性答案：A3. 马尔可夫链是具有以下哪个特性的随机过程？A. 无记忆性B. 有记忆性C. 独立性D. 相关性答案：A4. 泊松过程是一种：A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 连续空间随机过程D. 离散空间随机过程答案：A5. 布朗运动是：A. 一个确定的函数B. 一个随机过程C. 一个确定的变量D. 一个随机变量答案：B二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述什么是平稳随机过程，并给出其数学特征。
答案：平稳随机过程是指其统计特性不随时间变化的随机过程。
数学上，如果一个随机过程的任意时刻的一维分布和任意两个时刻的二维分布都不随时间平移而改变，则称该过程为严格平稳过程。
2. 解释什么是遍历定理，并说明其在随机过程中的重要性。
答案：遍历定理是随机过程中的一个基本定理，它提供了时间平均与概率平均之间的联系。
在随机过程中，如果一个随机过程是遍历的，那么对于任意的观测时间点，其时间平均值将趋向于其期望值，这一点在统计推断和信号处理等领域具有重要应用。
3. 描述什么是随机过程的平稳增量，并给出其数学定义。
答案：随机过程的平稳增量是指在固定时间间隔内，随机过程增量的分布不随时间变化。
数学上，如果对于任意的非负整数n和任意的实数h，随机过程{X(t+h) - X(t)}与{X(h) - X(0)}具有相同的分布，则称该随机过程具有平稳增量。
4. 简述什么是马尔可夫性质，并给出一个实际应用的例子。
答案：马尔可夫性质是指一个随机过程的未来发展只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
具有马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫链。
例如，在天气预报中，明天的天气可能只与今天的天气有关，而与前几天的天气无关，这就是马尔可夫性质的一个实际应用。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项是随机过程的典型特征？A. 确定性B. 可预测性C. 无记忆性D. 独立增量性答案：D2. 马尔可夫链的哪一性质表明，系统的未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关？A. 独立性B. 无记忆性C. 齐次性D. 可逆性答案：B3. 布朗运动是一个连续时间的随机过程，其增量具有什么性质？A. 独立性B. 正态分布C. 独立增量性D. 所有选项都正确答案：D4. 随机过程的平稳性指的是什么？A. 过程的分布随时间不变B. 过程的均值随时间不变C. 过程的方差随时间不变D. 过程的自相关函数随时间不变答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机过程的任意时刻的分布函数不随时间变化，则称该随机过程是________。
答案：平稳的2. 随机过程的自相关函数R(t,s)表示在时刻t和时刻s的随机变量的________。
答案：相关性3. 随机游走过程是一类具有________性质的随机过程。
答案：独立增量4. 泊松过程是一种描述在固定时间间隔内随机事件发生次数的随机过程，其特点是事件的发生具有________。
答案：无记忆性三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述什么是马尔可夫过程，并给出其数学定义。
答案：马尔可夫过程是一种随机过程，其未来的状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
数学上，如果对于任意的n，以及任意的时间序列t1, t2, ..., tn，满足P(Xt+1 = x | Xt = x_t, Xt-1 = x_t-1, ..., X1 = x_1) = P(Xt+1 = x | Xt = x_t)，则称随机过程{Xt}为马尔可夫过程。
2. 描述布朗运动的三个基本性质。
答案：布朗运动的三个基本性质包括：1) 布朗运动的增量是独立的；2) 布朗运动的增量服从正态分布；3) 布朗运动具有连续的样本路径。
3. 什么是平稳随机过程？请给出其数学定义。
随机过程习题和答案
随机过程习题和答案一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝设离散型随机变量X 服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数 BA ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m UB N A X X 及则且立为多少？一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
4030(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
(完整版)随机过程习题答案
随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程习题和答案
、1.1设二维随机变量（X , F）的联合概率密度函数为:=—i—[l241-ι>⅛= "k"QTh Xl-JF)1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：Hm=(Ip)HPJt=U-试求/的特征函数，并以此求其期望E(X)与方差I K X)¾0 = Efr ir) = ∑e⅛ = *)解：一=⅛α-ri M P=√^∑^α-p)t U O-P) ⅛J1—(I-JI)1—q/(O)=α⅛24(1-小丄0<y<x<l苴它试求：在OJu <■ 1时,求I『F)解：J；240 H)JKfc0<y<l Jj2Jf(I_y)3 0<JF<1P 其它^{θ其它当OJXI 时，Aw)2OT(Xy)y<x<l其它所以：-⅛(0)二丄f PZUr=J Er3-(JEIf)3=^^-^=4PPp2.1袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的t 对应随机变量x(t^3如果对t时取得红球e t如果对t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族2.2设随机过程 W 加吨MIF)∙ gZ I叫，其中吗是常数，/与F是相互独立的随机变量，F服从区间(°2刘上的均匀分布，/服从瑞利分布，其概率密度为x>0x≤0试证明Xu)为宽平稳过程。
解:( 1)⑷+F)} q啊诚如+ f)}= 与无关（2）枚F（M 仪加血I（Q/伽说如"）汁F（才）,f _ t t⅛(Q) =-J PQ ÷g)= -te^t∣Γ÷p ^dt =-2σ1e^i∣Γ=2σ3所以必U）啟0⑴卜"（3）R lM壊M∞¼⅛+Hl∕∞Ψ⅛+y）］｝=豺］£｛oKs（A +Γ）∞<β（A +Γ）｝=2^Jtt 2{α≈(0A + β⅛+ y)-rasfflfc A)I^⅛心’皿叫仏Z L)只与时间间隔有关，所以XU)为宽平稳过程2.3设随机过程 X(t)=Ucos2t,其中U是随机变量，且 E(U)= 5, D(U)= 5.求: (1)均值函数；(2)协方差函数；(3)方差函数2.4设有两个随机过程 X(t)=Ut2, Y(t)=Ut3,其中U是随机变量，且D(U) = 5.试求它们的互协方差函数2.5设代B是两个随机变量，试求随机过程X(t) =At ∙3B,t∙ T =(」：「：)的均值函数和自相关函数若A, B相互独立,且A~ N(1,4), B ~U (0,2),则mχ (t)及Rχ(t1,t2)为多少？3.1 一队学生顺次等候体检。
随机过程试题及答案
一．填空题（每空2分，共20分）分）1．设随机变量X 服从参数为l 的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1)el 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<w F ¥¥ 其中w 为正常数，A 和F 是相互独立的随机变量，且A 和F 服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为1(sin(t+1)-sin t)2w w 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1l的同一指数分布。
的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1³是与泊松过程{}X(t),t 0³对应的一个等待时间序列，则n W 服从G 分布。
分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量ïîïíì=时取得白球如果时取得红球如果t t te tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间212t,t,;e,e 33ìüíýîþ。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为(n)nP P =。
7．设{}n X ,n 0³为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p Î=×å。
8．在马氏链{}n X ,n 0³中，记中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=¹££==³ (n)ij ij n=1f f ¥=å，若ii f 1<，称状态i 为非常返的。
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案1. 题目：简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。
答案：离散时间马尔可夫链（Discrete-time Markov Chain）是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
其基本概念和性质如下：1.1 基本概念：- 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合，记作S。
离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。
- 转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移到下一个状态的概率。
用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率，其中i和j属于状态空间S。
- 转移概率矩阵：转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。
对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵是一个方形矩阵，维数与状态空间大小相同。
- 平稳概率分布：对于离散时间马尔可夫链，如果存在一个概率分布π，满足π = πP，其中π是一个行向量，P是转移概率矩阵，则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。
1.2 性质：- 马尔可夫性：离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。
- 遍历性：若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零，则称该马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。
- 正常概率性：对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵P的元素都是非负的，并且每一行的元素之和等于1。
- 可约性和不可约性：如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。
反之，则称它是可约的。
不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。
- 周期性：对于不可约的离散时间马尔可夫链，如果存在某个状态，从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1，则称该状态是周期的。
若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。
2. 题目：连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些？答案：连续时间马尔可夫链（Continuous-time Markov Chain）是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案一、选择题1. 随机过程的基本定义中，样本空间通常表示为：A. 一个集合B. 一个函数集合C. 一个概率空间D. 一个参数集合答案：A2. 若随机过程的样本轨迹几乎是连续的，则该过程是：A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 泊松过程D. 马尔可夫过程答案：B3. 马尔可夫性质的含义是未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这一性质不适用于：A. 泊松过程B. 布朗运动C. 马尔可夫链D. 所有随机过程答案：D4. 在随机过程中，如果两个随机变量的联合分布可以表示为它们各自的边缘分布的乘积，则这两个随机变量是：A. 独立的B. 相关的C. 正相关的D. 负相关的答案：A5. 随机游走的期望步长是：A. 1B. 2C. 依赖于起始点D. 依赖于步长分布答案：D二、填空题1. 一个随机过程的样本函数是定义在参数集合上的_________函数。
答案：实值或随机2. 在随机过程中，如果给定当前状态，下一状态的条件概率分布仅依赖于当前状态而不依赖于之前的状态，那么该过程是一个_________过程。
答案：马尔可夫3. 随机过程的均值函数（或称数学期望函数）是描述过程长期行为的重要工具，它是一个关于_________的函数。
答案：时间4. 布朗运动是一种连续时间随机过程，其样本轨迹具有_________性质。
答案：无处处可微5. 泊松过程是一种描述事件在时间上随机发生的随机过程，其特点是事件在任意两个不重叠时间区间内发生是_________的。
答案：相互独立三、计算题1. 假设有一个离散时间马尔可夫链，其状态转移矩阵为：\[P = \begin{bmatrix}0.7 & 0.3 \\0.4 & 0.6\end{bmatrix}\]求该马尔可夫链在第二时刻的状态概率分布，给定初始状态概率分布为：\\[\pi_0 = \begin{bmatrix}0.5 \\0.5\end{bmatrix}\]解：首先计算\( P^2 \)，即状态转移矩阵的二次幂，然后利用\( \pi_0 \)和\( P^2 \)来计算第二时刻的状态概率分布。
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2012-2013学年第一学期统计10本《随机过程》期中考试一. 填空题1．设马氏链的一步转移概率矩阵()ij P p =，n 步转移矩阵()()n ij P p =，二者之间的关系为(n)n P P =2.状态i 常返的充要条件为()0n iin p ∞==∑∞。
3.在马氏链{},0n X n ≥中，记()n i jp ={}0,11,n P Xm j m n X j X i ≠≤≤-==，n ≥1.i j p =()1n i j n p ∞=∑,若i j p <1,称状态i 为 。
二. 判断题1. S 是一个可数集，{:0n n X ≥}是取值于S 的一列随机变量，若()1011100111111,,...,(,...,)n n n n n n n n n n n n i i S P i X i X i X i P i i -+++--++-∀≥∀∈X =|====X =|X=并且满足，则{:0n n X ≥}是一个马氏链。
×2. 任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。
×3. 一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。
×4. 若状态i ↔状态j ，则i 与j 具有相同的周期。
√5. 一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。
√三. 简答题1．什么是随机过程，随机序列？答：设T 为[0，+∞）或（-∞，+∞），依赖于t(t ∈T)的一族随机变量（或随机向量）{t ξ}通称为随机过程，t 称为时间。
当T 为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。
2 .什么是时齐的独立增量过程？答：称随机过程{t ξ：t ≥0}为独立增量过程，如果对于01,0,n n t t t ∀∀≤<<<起始随机变量及其后的增量s t s ξξ+-是相互独立的随机变量组；如果s t s ξξ+-的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。
3.由4个状态组成的马氏链的转移概率矩阵000.50.5100001000010P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，确定哪些状态是暂态，哪些状态是常返态？4.考虑由状态0,1,2,3,4组成的马尔科夫链，而0.50.50000.50.5000000.50.50000.50.500.250.25000.5P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，确定常返态？5.设有四个状态{}I=0123，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵1100221100P=2211114444001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1) 对状态进行分类；2) 对状态空间I 进行分解。
解：1) 33303132p 1,p p p =而，，均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记{}1C =3；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记{}2C =01，，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达12C C ，中的状态，而12C C ，中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记{}D=2。
2）状态空间I 可分解为：12E=D C C ⋃⋃3)四. 计算题1. 说是有一位赌徒，他去赌博带有赌资100元，而对手有200元赌资，他们的规则是每次下注五元，每次赢五元或输五元的概率相等, ()5P ε== ()5P ε=-=1/2.当赌徒破产或完胜时停止赌博。
问：（1）该赌徒完胜和破产的概率分别是什么？ （2）赌博结束时，该赌徒平均能赢多少钱？ （3）这场赌博平均要用多长时间？解：（1）由题可得，m=100.M=300.则完胜时: ()()100300m P S m P S ττ====m/M=100/300=1/3, 破产时：()()100()0130011/32/3m P S m P S S τττ====-==-=(2): ()()1000*0*100m m m S E S P S M P S M m ττττE ===+===（元）2. 设子代分布为二项分布B(2，1/2).考察相应的分支过程{:0n n X ≥}及其灭绝时间τ，求灭绝概率ρ解：由子代分布为二项分布B(2，1/2)，可得：Pk= k k n k n C p q -=P0=1/4，P1=1/2，P2=1/4.又知f(ρ)=20i i i P ρρ==∑=1/4+1/2ρ+1/42ρ解得：ρ=13. 设马尔科夫链的转移概率矩阵为:0.30.7000.20.80.700.3P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1).求两步转移概率矩阵(2)P及当初始分布为{}011P X ==，{}{}00230P X P X ====时，经两步转移后处于状态2的概率。
（2）求马尔科夫链的平稳分布。
：4.设马尔科夫链的状态空间I={1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：0.30.40.3000.60.4000010000000.30.70000.10P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求状态的分类，各常返闭集的平稳分布及各状态平均返回时间。
解：（1）状态分类1C ={1,2,3}；2C ={4,5}（2）由常返闭集的定义可知，常返集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。
A 对的常返闭集而言解方程组1122123311230.30.60.40.40.31ππππππππππππ=+⎧⎪=++⎪⎨=⎪⎪++=⎩解上述方程组的平稳分布为12330359,,747474πππ===各状态的平均返回时间为123123174174174,,30359t t t πππ====== B 对的常返闭集而言解方程组11221120.30.71πππππππ=+⎧⎪=⎨⎪+=⎩解上述方程组的平稳分布为12107,1717ππ== 各状态的平均返回时间为1212117117,107t t ππ==== 5.若012111,,244P P P ===,它的灭绝概率为0π,且'''012111,,442P P P ===,它的灭绝概率为'0π.求:(1) 0π的值；（2）'0π的值；（3）假定它们的初始时由n 个个体组成，分别求出两者的总体灭绝的概率。
解：（1）由于31,4μ=≤所以0π=1；（2）'0π满足'0π=''200111444ππ++ 解得这个二次方程的最小的正解是'0π=12。
（3）因为总体灭绝当且仅当初始代的每个成员的家庭都灭绝，要求的概率是0nπ。
则n π=1， '0n π=12n⎛⎫⎪⎝⎭6．小张的宾馆刚开张不久，入住的家庭数是均值为λ的随机变量，再假定一个家庭在宾馆停留的天数是参数为(01)P P <<的几何随机变量，（于是在前一个晚上留在宾馆的一个家庭，独立于已经在宾馆呆了多久，将在第二天以概率P 退房），再假定所有的家庭是彼此独立的，在这些条件下容易看出，如果以n X 记在第n 天开始入住宾馆的家庭数，那么{n X ，n ≥0}是马尔科夫链。
求： 此马尔科夫链的转移概率。
解：为了求,i j P ，我们假定在一天开始是宾馆中有i 个家庭，因为这i 个家庭将以概率q=1-q再呆一天，由此推出这i 个家庭中再留一天的家庭数i R 是二项（i,q ）随机变量。
所以，以N 记这天新入住的家庭数，我们看到,()i j i P P R N j =+=对于i R 取条件，并且利用N 是均值为λ的泊松随机变量，我们得到,0(|)ik i ki j i i k i P P R N i R k q p k -=⎛⎫=+== ⎪⎝⎭∑ 0(|)i k i ki k i P N j k R k q p k -=⎛⎫==-= ⎪⎝⎭∑ min(,)()i j k i k k i P N j k q p k -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑min(,)()!j k i j k i kk i eq p k j k λλ---=⎛⎫=⎪-⎝⎭∑7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。
又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。
设0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。
解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，于是(2)0.610.39P PP=0.520.48⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)0.57490.4251P P P 0.56680.4332⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4)00P 0.5749=。
8.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。
写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。
解：一步转移概率矩阵010111P=333010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，9． 设马尔科夫链的状态空间为{}0,1,2I =, 一步转移概率矩阵为0.50.40.10.30.40.30.20.30.5P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦=⎥，求其相应的极限分布。
解：设其极限分布012(,,),W w w w =由W=WP 得到方程组0120012101220120.50.30.20.40.40.30.10.30.51w w w w w w w w w w w w w w w ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ 解方程组得到：01221239,,.626231w w w ===10.设马氏链的转移概率矩阵为P ，求该马氏链的平稳分布及各状态的的平均返回时间？0.70.10.20.10.80.1P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11.设有时齐次的马氏链转移概率矩阵为P ，讨论其马氏性，并求其平稳分布。
1001P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦解 马氏链的状态空间为I={1,2}，均为吸收态，状态空间可分解为两个闭集之和，I={1}+{2}，故其是不可约的马氏链， 1 0P= =PP …P=P(n),0 1所以状态1和状态2都是非周期的，且有LimP11(n)=1不等于LimP21(n)=0,LimP12(n)=0不等于LimP22(n)=1，故不是遍历链，但由A=AP 得A=(A1 A2 ),A1+A2=1 故A1=A1，A2=A2 ,可见平稳吩咐是存在的，且有无穷多个12.设｛:0}n X n ≥是一个马氏链，111333(2)2711999111333,⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=，11533135151ππππππππππ==⎧⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩1123221233方程组试证：00100111,...,()()n n P X i X i X i P X i X i ======。