坐标曲线积分

x
n
求和 W Wi
近似值
i1
n
[P (i, i) x i Q (i, i) y i].
i 1
n
取极限 W l 0 ii 1 m [P (i,i) x i Q (i,i) y i] .
精确值
二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设L为 xoy 面内从点 A到点 B的一条有 向光滑曲线弧 , 函数 P ( x, y), Q( x, y)在 L 上有界 . 用 L上的点 M 1( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), , M n1 ( xn1 , yn1 )把 L分成 n个有向小弧段 M i1M i (i 1,2, , n; M 0 A, M n B ). 设 xi xi xi1 , yi yi yi1 , 点( i , i )为 M i1M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 0时 ,
Adr
Atds,
其 A 中 {P ,Q ,R } ， t { c ,c o , o c s } s o,s
上点 (x,y,z)处的单位切向 d r t d { d s,d x ,d y }有z 向曲线元；
A t为A 向 在量 t 向 上量 的 . 投影
例1 计算 xy,d 其 xL 中 为抛y物 2x上 线从 L A(1,1)到 B(1,1)的一. 段弧B(1,1)
{
P[
(t
),
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[(t), (t),(t)] (t)
R[(t), (t),(t)](t)}dt
(4) 两类曲线积分之间的联系：
设有向平面L曲 ：线 xy弧 ((tt))为 ,
L上点 (x, y)处的切线向量为 的 ,方 , 向角
则 L P Q d x L d ( P c y o Q c s o ) ds s
LPd Q x dL y 1Pd Q x dL 2 yPd Q x.dy
(2) 设 L是有向 ,L 曲 是L 线 与 方弧 向相反 有向 曲 , 则线 弧
L P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d L y P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d
M i 1 M i ( x i ) i ( y i ) j .
取 F ( i , i ) P ( i , i ) i Q ( i , i ) j , y F(i,i)M
i
B
Mn1
W i F (i,i)M i 1 M i,
L yi
Mi1 x i
M2
A M1
即 W i P ( i ,i ) x i Q ( i ,i ) y i . o
n
P (x ,y,z)d x l i0im 1P (i,i, i) x i.
n
Q (x ,y,z)d y l i0im 1Q ( i, i, i) yi.
n
R (x ,y,z)d zl i0im 1R ( i, i, i) zi.
5.性质
(1)如果 L 分 把 L 1 成 和 L 2,则
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P(x, y),Q(x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为xy
(t), (t),
当参数t单调地由变
到时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
一、问题的提出 y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
M
y
i
i
Mn1
L Mi1 xi
L:A B ,
M2
A M 1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A.B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M , n 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n , B .
解 (1)化为对 x的定积分y， x.
y2 x
xy dxxy dx xydx
L
AO
OB
0
1
1x(x)d x0xxdx
A(1,1)
2
13
x2dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4.
0
5
(2)化为对 y的定积分， x y2, y从1到 1.
其中cos
2(t)(t ) 2(t),cos
(t) , 2(t)2(t)
（可以推广到空间曲线上 ）
上点 (x, y,z)处的切线向量 为的 ,,方 , 向
则 P Q d R x d ( P d c y z o Q c s o R c s ) d o
可用向量表示
Atds
L
a
(2 )L :xx (y) y起c 点 ，为 终 d. 点为
则 P Q d d x { d P [ x ( y y )y ] x , ( y ) Q [ x ( y )y ] , d . }
L
c
x(t) (3)推广 : y(t), t起点 ,终点 .
z(t)
Pdx Qdy Rdz
n
P(i,i )xi的极限存在 , 则称此极限为函
i1
数P(x, y)在有向曲线弧 L上对坐标x的曲线
积分(或称第二类曲线积,分记）作
n
L
P(x,
y)dx
lim
0 i1
P(i
,i
)xi
.
n
类似地定义 LQ (x,y)d yl i0m i1Q (i, i) yi.
其中 P(x,y), Q(x,y)叫做被积 , L叫函 积分数 弧段.
2.存在条件： 当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲 L 线 上连续 , 第时 二类曲线. 积分存在
3.组合形式
LP(x, y)dxLQ(x, y)dy
LP(x, y)dxQ(x, y)dyLFds.
其 F P i Q j 中 ,d d i s d j x . y
4.推广
空间有向曲线弧PdxQdyRd. z
L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在,
且LP(x, y)dxQ(x, y)dy
{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
特殊情形
(1 )L :yy(x ) x 起a 点 ，为 终 b . 点为
则 P Q d x b { d P [ x ,y y ( x ) Q ] [ x ,y ( x )y ( ] x ) d . }x