(完整word版)数列求和的各种方法

教学目标

1熟练掌握等差、等比数列的前

n 项和公式.

2 •掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

3•能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 教学内容

知识梳理

1求数列的前n 项和的方法 (1) 公式法

①等差数列的前n 项和公式

n n 1 ,

=na i + d .

2

②等比数列的前n 项和公式 (I )当 q = 1 时，S n = na i ;

(2) 分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3) 裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4) 倒序相加法

这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式

可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.

(5) 错位相减法

这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，主要用于求 ｛a n • b n ｝的前n 项和，其中｛a n ｝和｛b n ｝

分

别是等差数列和等比数列.

⑹并项求和法

一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 a n = (— 1)n f (n)类型，可采用两项

合并求解.

例如，S n = 1002— 992+ 982 — 972+…+ 22 — 12= (100 + 99) + (98 + 97)+…+ (2 + 1) = 5 050.

数列求和的方法

n a i a n Si=—

2

(n )当q 丰1时,

a i 1 q n 1 q

a 1 — a n q 1 - q

③常见的数列的前 n 项和：1

+n=垃 1) , 1+3+5+••…+(2r — 1)= n 2

2

12

22

32

+n 2

n(n 罟,13 23 33

+n 3

2

n(n 1)等

2

2. 常见的裂项公式 1 (1)-

n n

=1 _1 ______ 1 ；

⑶ 2n 1 2n 1

2(2n

—1 2n +

1

⑷ =2 -

nn1n2 2nn1 n1n2

1 1 1 1

⑹设等差数列

｛an ｝

的公差为d ,则站=歳-齐).

数列求和题型 考点一公式法求和

一 1

1. (2016新课标全国I)已知｛a n ｝是公差为3的等差数列，数列｛b n ｝满足b 1= 1 , b 2 = 3 , a n b n + 1 + b n +1 = nb n . (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求｛b n ｝的前n 项和.

2. (2013新课标全国I, 17)已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1= 25,且a 1, an , a 13成等比数列 (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求 a 1+ a 4+ a 7+ …+ a 3n — 2.

变式训练 1.

(2015四川，16)设数列｛a n ｝(n = 1, 2, 3,…)的前n 项和S n

满足S n = 2a n — a 1，且a 1, a 2+

1, a 3成等差数

列.

(1)求数列｛ a n ｝的通项公式；

1

⑵设数列 a 的前n 项和为T n ，求T n .

2. （2014 福建，17）在等比数列｛a n ｝中，a 2= 3, a 5= 81. （1）求 a n ；

⑵设b n = log 3a n ,求数列｛b n ｝的前n 项和S n .

1

⑵-

n n k

11 1 k (n n + k )；

(5) n + . n + k

n).

考点二错位相减法1.（山东）已知数a的前n项和S n=3n2+8n, b n是等差数列，且a n b n b n

（I）求数列b n的通项公式；

（I）令C n(a n1）n 1

求数列c n的前n项和T n.

(b n2)n

2.（2015 天津，18）已知数列｛a n｝满足a n+ 2= qa n（q 为实数，且q丰1,）n I N*, a1= 1,

a2 = 2,且a2+ a3, a3+ a4,

a4 + a5成等差数列.

（1）求q的值和｛a n｝的通项公式；

⑵设b n=lpg d, n I N*,求数列｛b n｝的前n项和.

a2n-1

变式训练

1. （2014 江西，17）已知首项都是1 的两个数列｛a n｝, ｛b n｝（b n M0 n IN*）满足a n b n+ 1-a n + 1b n+ 2b n+ 1b n= 0.

（1）令C n=严，求数列｛C n｝的通项公式；

b n

⑵若b n= 3旷1，求数列｛a n｝的前n项和S n.

2. (2014四川，19)设等差数列｛a n｝的公差为d，点(a n, b n)在函数f(x)= 2x的图象上(n I N*).

(1) 若a i = - 2,点(a8, 4b7)在函数f(x )的图象上，求数列｛a n｝的前n项和S n；

1 a n

(2) 若a1= 1,函数f(x)的图象在点(a2, b2)处的切线在x轴上的截距为2-应，求数列恳的前n项和T n.

3. (2015湖北，18)设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1= a1, b2 =2, q = d, S10 = 100.

(1) 求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；

(2) 当d>1时，记C n= b n求数列｛C n｝的前n项和T n.